Álgebra 4to(7-12) corr
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lgebra
7 Matrices I
Orden de la matriz
DEFINICINSe define una matriz como un arreglo rectangular deelementos ordenados en filas y columnas.
As una matriz tiene la siguiente forma general:Donde: a
11, a
12, ..., a
21, ..., a
m1, a
m2, ..., a
mn se llaman
elementos de la matriz A. Adems aij es el elemento
Ejemplo:
Escribe explcitamente la matriz:A = (a
ij)2x3
/ aij= 2i -j
ubicado en la fila i, columna j.
Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces sedice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (nose efecta).
As la matriz A, se puede denotar:
A = (aij)mxn
donde: m, n Z+
i = {1; 2; 3; ... ; m} j = {1; 2; 3; ... ; n}
Tipos de matrices
Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir, es deorden 1 x n.
2. MATRIZ FILA
Ejemplo:
B = (2 -4 6)1x3
Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero yse denota por .
3. MATRIZ NULA
Ejemplo:
=0 0 0
0 0 0
Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir,es de orden m x 1.
1. MATRIZ COLUMNA
Ejemplo:
A =
3x1
53-1
A =
a11
a12
... a1j
... a1n
a21
a22
... a2j
... a2n
ai1
ai2
... aij ... a
in
am1
am2
... amj
... amn
Filas
Columnas
Es aquella matriz cuyo nmero de filas es igual al nmerode columnas. Se denota: A = (a
ij)nxn
o A = (aij)n.
4. MATRIZ CUADRADA
Ejemplo:
A =3 4 -15 2
-6
7 3 1
Diagonal secundaria
Diagonal principal
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4to Secundaria
Traza de una matriz cuadrada
Es la suma de los elementos de su diagonal principal.
Sea la matriz:
nA = (aij) Traz(A) = a
ii i=1
As, en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6
Casos particulares de una matriz cuadrada
a. Matriz triangular superior
Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentrandebajo de la diagonal principal son iguales a cero, esdecir, A = (a
ij)nes una matriz triangular superior si
aij= 0; i > j.
Ejemplos:
A = ; B =-4 0 30 6 20 0 1
3 70 5
b. Matriz triangular inferior
Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentranencima de la diagonal principal son iguales a cero, esdecir, A = (a
ij)nes una matriz triangular inferior si a
ij
= 0; i < j.
Ejemplos:
A = ; B =5 0 00 2 07 1 6
1 02 4
c. Matriz diagonal
Es aquella matriz que simultneamente es triangularsuperior e inferior, es decir, todos los elementos fuerade la diagonal principal son ceros.
A = (aij)nes una matriz diagonal si a
ij= 0; i j.
Ejemplos:
A = ; B = 2 0 00 6 00 0 8
7 00 5
d. Matriz escalar
Ejemplos:
A = ; B =3 0 00 3 00 0 3
6 00 6
Es aquella matriz diagonal cuyos elementos de ladiagonal principal son iguales, es decir:
A = (aij)nes una matriz escalar si a
ij=
k; i = j0; i j
e. Matriz identidad
Ejemplos:
I2= ; I3=
1 0 0
0 1 00 0 1
1 00 1
Es aquella matriz escalar, cuyos elementos de la diagonalprincipal son iguales a la unidad y se denota por I
n.
In= (a
ij) / a
ij=
1; i = j0; i j
Dos matrices son iguales s y slo s son del mismo ordeny todos sus respectivos elementos son iguales.As, dadas las matrices:
Relaciones entre matrices
1. IGUALDAD DE MATRICES
A = (aij
)mxn
; B = (bij
)mxn A = B a
ij= b
ij: i; j
Calcula x -y si las matrices son iguales.
A = ; B =x -3y x 1 y
Ejemplo:
2 6 -y1 6 -x
La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) es unamatriz denotada por At( de orden n x m) que se obtienecambiando las filas por las columnas de la matriz A.
2. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
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lgebra
Ejemplo:
A = At=2 35 4-
1 6
2 5 -13 4 6
Dos matrices son opuestas si son del mismo orden yadems sus respectivos elementos son opuestos.
3. MATRICES OPUESTAS
Ejemplo:
A = su opuesta es:
-A =
2 -1 30 6 -11 4 1
-2 1 -30 -6 1-1 -4 -1
Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matrizsimtrica.
4. MATRIZ SIMTRICA
Ejemplo:
A = At=
como: A = AtA es simtrica.
7 3 23 -1 42 4 -5
7 3 23 -1 42 4 -5
Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta, se
llama antisimtrica.
5. MATRIZ ANTISIMTRICA
Ejemplo:
A = AT=
-AT=
como: A = -AtA es antisimtrica.
0 2 -3-2 0 43 -4 0
0 -2 32 0 -4-3 4 0
0 -2 32 0 -4-3 4 0
Operaciones con matrices
Sean las matrices:
A = (aij)mxn; B = (bij)mxn
luego la matriz suma de A y B es:
A + B = (aij+ b
ij)mxn
1. ADICIN DE MATRICES
Ejemplo:
A = ; B =
A + B = =
4 -11 5
3 2
-5 63 2
2-4
-1 54 75 -2
4-5 -1+61+3 5+23+2 2-4
Observacin
* A -B = A + (-B)
* A + = + A = A* A + B = B + A
* (A + B) + C = A + (B + C)
Las matrices se utilizan en el clculo numrico en la
resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de lasecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.Adems de su utilidad para el estudio de sistemasde ecuaciones lineales, las matrices aparecen deforma natural en geometra, estadstica, economa,informtica, etc.
La utilizacin de matrices (arrays) constituyeactualmente una parte esencial de los lenguajesde programacin, y que la mayora de los datos seintroducen en los ordenadores como tablas organizadasen filas y columnas; hojas de clculo, bases de datos,
entre otros.
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4to Secundaria
EJERCICIOS RESUELTOS
1 32 14 -1
Reemplazando las matrices:
3 -2 +
efectuando:
+ +
+
Resolucin:
1. Dadas las matrices:
A = ; B = ;
C =
calcula 3A -2B + C.
1 4
0 3
-1 0
1 22 1-1 0
1 40 3
-1 01 2
2 1-1 0
3 120 9
2 0-2 -4
2 1-1 0
5 12-2 5
2 1-1 0
7 13-3 5
2. Dado el polinomio:f(x)
= 3x2-5x -2 y adems
A = . Halla f(A)
.1 2
3 1
Reemplazando el valor x = A, en el polinomio y laidentidad 1 del polinomio por I (matriz identidad),obtenemos:f(A)
= 3A2-5A -2I
Calculamos:
A2= A . A =
=
Luego:
f(A)
= 3 -5 -2
f(A)
= + +
Resolucin:
1 23 1
1 23 1
7 46 7
7 46 7
1 23 1
1 00 1
21 1218 21
-5 -10-15 -5
-2 00 -2
14 23 14
sumando las matrices obtenemos:
f(A)
=
Resolucin:
3. Construye la matriz:A = (a
ij)2x3
/ a
ij= i + j ; i j
aij= i . j ; i < j
A =
A =
A =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
1+1 1x2 1x32+1 2+2 2x3
2 2 3
3 4 6
Resolucin:
3A =
2I =
3A -2I =
4. Sea la matriz:
A = , calcula 3A -2I.-1 2 13 2 11 -2 0
-3 6 3
9 6 3
3 -6 0
2 0 0
0 2 0
0 0 2
-5 6 3
9 4 3
3 -6 -2
5. Si:
x + y = x -y =
calcula xT.
Resolucin:
3 -1-4 -12 3
x + y =
x -y =
1 32 1
4-
13 -1-4 -12 3
2 -1 3
1 0 1
(2x) = .
x =
xT=
12
4 2-2 06 2
12
2 1-1 03 1
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lgebra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Construye la matriz:
A = (aij)2x3
/ aij= i + j
Resolucin:
Si se cumple que:
=
calcula el valor de:
E = a2+ b2+ c2+ d2
Resolucin:
3 a -3 c + 22a c 7
3 2b + 1 d8 b2+ 3 7
Sea la matriz:
A =
calcula su transpuesta.
Resolucin:
4 6 33 2 -1
Sea:
A = , B =
halla A + B.
Resolucin:
3 0 12 -1 24 0 1
4 1 -25 0 73 -4 5
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4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Halla la matriz X que resuelve:
+ X =
da como respuesta la suma de sus elementos.
Resolucin:
1 32 1
11 47 3
Calcula traz(E) si E es una matriz diagonal.
E =
Resolucin:
3a+2b a-b3a-2b-5 2a-b
7. Dada la matriz A, calcula A + 6I.
A =2 21 0
8. Si
A = (aij)2x3
/aij=
calcula la suma de los elementos de la matriz A.
2i-j; i j2i+j; i < j
9. Dadas las matrices:
A = ; B =
C =
seala la suma de los elementos de la matriz X,que se obtiene al resolver la ecuacin matricial:
3(X-2A) = 5(B -C) + 2(X-A-B)
-7 32 -1
-3 5-2 2
2 -34 5
10. Sean las matrices:
A =2x-y x+y 3 x-y ; B =
-1 4x3 -2y/3 ;
C =-5 86 -7
Si A = B, halla 2B-
C.
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lgebra
11. Sea:
A = , B =
donde A = B. Indica A + B.
2 4 32 1 4
m2-
1 2 1
m n pk l q
3 2 1
12. Dados:
A = , B =
si P(x, y)
= 2x -y + 3, determina P(A, B)
.
1 2-1 0
1 0-1 2
1. Representa la matriz A.
A = (aij) K
3x2/ a
ij= i + j
a)3 54 65 7
b)2 33 44 5
c)5 76 87 9
d)4 20 01 4
e)5 34 67 5
2. Representa la siguiente matriz:
B = (bij)3x3/ bij= i2+ j2
a)1 5 125 10 6
12 6 16 b)
2 6 106 8 9
10 9 18
c)2 5 105 8 1310 13 18
d)
1 4 9
4 6 169 16 25 e)
2 9 16
9 16 2516 25 36
3. Si las matrices A y B son iguales, calcula x + y + w.
A = ; B =
a) 2 b) 6 c) 7d) 9 e) 10
3 y -2x + 1 4
3 32 w
4. Halla la suma de los elementos de X, tal que:
= + X
a) -2 b) 6 c) 1
d)-
3 e)-
6
-2 12 1
-2 5-4 0
5. Sea la matriz:
A = +
calcula el valor de a12
+ a22
+ a32
.
a) 2 b) 3 c) 6d) 4 e) 5
-2 4-1 -53 7
-1 03 -24 1
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4to Secundaria
6. Dada la matriz A, calcula 6A + I.
A =2 21 0
a) 12 125 2
b)13 126 1
c) 15 162 7
d) 11 1213 15
e)10 96 8
7. Calcula la traza de la matriz B si es una matriz
diagonal.
B =m+n m-2 n-3 m.n
a) 6 b) 10c) 11d) 12 e) 30
8. Si:
A =1 23 4 ; B =
4 32 1
;
C =2 34 5
halla X, si:
2(X-3A) = (B-C) + 4(X-A-B)
a)6 42 0
b)1 00 1
c)4 62 0
d) 6 40 2 e) 6 32 1
9. Sea la matriz A = (aij)2x2
definida de la siguienteforma:
aij
i -j ; i < j ij ; i = ji + j ; i > j
halla la traza de A.
a) -3 b) 5
c) 2d) 4 e) 6
10. Sean las matrices:
A =3 -1 32 6 -4
y B = 2 0 -1-2 -4 3
calcula (A + B)t.
a)
5 0-1 22 1
: b)5 0-2 12 2
:
c)5 1-2 01 2
:
d)
5 1
-2 3
3 -1: e)
5 -1
2 0-1 1
:
11. Sea:
A =5 4 3
2 1 7/2m2-1 4 2
; B =x n2 pk l q6 y 2
donde A = B. Indica A + B.
a)3 8 64 1 43 4 2
b)
10 8 6
4 2 76 8 4
c)4 8 64 2 86 4 2
d)5 4 26 8 212 8 2
e)3 8 64 1 43 4 2
12. Sean las matrices:
A =x-3y x
1 y ; B =2 6
-y
1 6-x
C =-4 -82 3
Si A = B, halla 3A + 2C.
a)-1 -17 9 b)
-2 06 9
c)-2 -17 6
d) -2 -18 9
e) -2 -17 9
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8Matrices II
Multiplicacin de matrices
Ejemplo:
Definamos el producto de multiplicar un escalar(cualquiera) por una matriz de un cierto orden, comoaquella matriz del mismo orden cuyos elementos seencuentran multiplicando por ese escalar. Sea:
1. MULTIPLICACIN DE UN ESCALAR POR UNAMATRIZ
A = (aij)mxn
kA = (kAij)mxn
/ k R
Sea A =
(-6)A =
=
1 3
0-24 2
-6(1) -6(3)-6(0) -6(-2)-6(4) -6(2)
-6 -180 12-24 -12
Definimos el producto de multiplicar la matriz A =(a
ij)mxr
por la matriz B = (bjk
)rxn
(en ese orden),
a la matriz denotada por AB = C = (c ik)mxn. Donde elelemento c
ikse calcula multiplicando la i-sima fila de
A por la k-sima columna de B.
Es decir:
2. MULTIPLICACIN DE DOS MATRICES
nAB = C = (c
ik)mxn
/ cik= a
ij. b
jk j=1
Ejemplo:
Sean A =2x2
;
B =
2x3
C = AB =
2 -36 4
-1 0 1
5-
2 3c
11 c
12 c
13c
21 c
22 c
23
-17 6 -714 -8 18
Potenciacin de matrices
* Dado una matriz cuadrada A y n N / n 2; definimos:
DEFINICIONES
An= A A ... An veces
Sean A y B matrices del mismo orden.
* Si AB = BA se dice que A y B son conmutativas.
* Si AB =-BA entonces A y B son anticonmutativas.
* matriz AA1= A
c11
= 2(-1) + (-3)(5) = -17
c12
= 2(0) + (-3)(-2) = 6
c13
= 2(1) + (-3)(3) = -7
c21
= 6(-1) + 4(5) = 14
c22
= 6(0) + 4(-2) = -8
c23
= 6(1) + 4(3) = 18
\ C =
Sean A, B y C matrices del mismo orden y { ; }escalares para los cuales estn definidas las operaciones demultiplicacin con una matriz.Entonces se verifican:
I. A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) (A + B) = A + B (+ )A = A + A -A = (-1)A
II. A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC AB = 0 no implica que A = 0 B = 0 AB = AC no implica que B = C
PROPIEDADES
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4to Secundaria
Como A y B son conformes a la multiplicacin, sea:C = AB = [a
ib
j]3x3
donde aies la i-sima fila de A y
bjes la j-sima columna de B.
Entonces:traza(AB) = a
1b
1+ a
2b
2+ a
3b
3
traza(AB) = (8 -2) + (-8 -2) +(0 + 3) = -1
\ traza(AB) = -1
Resolucin:
1. Si A = y B = halla traza(AB).2 -1-1 20 1
4 8 12 -1 3
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolucin:
2. Siendo A = y B = , calcula
AB y BA.
1 -1 1
-3 2
-1
-2 1 0
1 2 3
2 4 61 2 3
* AB =
= = 0 (Matriz nula)
Ntese que AB = 0 no implica que necesariamente A = 0 B = 0.
* BA =
=
De donde AB BA, en forma general.
1 -1 1-3 2 -1-2 1 0
1 2 32 4 61 2 3
0 0 00 0 00 0 0
1 -1 1-3 2 -1-2 1 0
1 2 32 4 61 2 3
11 6 -1-22 12 -2-11 6 -1
3. Demuestra que las matrices son
permutables; a; b; c y d.
Resolucin:
Siendo P = y Q =
deseamos demostrar que PQ = QP
PQ =
=
QP =
=
a bb a
c dd c
a bb a
c dd c
a bb a
c dd c
ac+bd ad+bcbc+ad bd+ac
c dd c
a bb a
ac+bd bc+adad+bc bd+ac
a bb a
c dd c
Resolucin:
Calculemos previamente A2y B2.
A2=
=
= A A2= A
B2=
=
= B B2
= B
Adems, observa que A + B = I.
Luego (A + B)2= I2= I A2+ B2= A + B = I
4. Dadas las matrices
A = ; B =
calcula (A + B)2y A2+ B2.
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
2 -3 -5-1 4 51 -3 -4
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
-1 3 51 -3 -5-1 3 5
Los ordenadores analgicos comenzaron a construirse a
principios del siglo XX. Los primeros modelos realizaban
los clculos mediante ejes y engranajes giratorios.
Con estas mquinas se evaluaban las aproximaciones
numricas de ecuaciones demasiado difciles como para
poder ser resueltas mediante otros mtodos. Durante las
dos guerras mundiales se utilizaron sistemas informticos
analgicos, primero mecnicos y ms tarde elctricos,
para predecir la trayectoria de los torpedos en los
submarinos y para el manejo a distancia de las bombas
en la aviacin.
Luego PQ = QP P y Q son conmutables opermutables,
y son conmutables o permutables.
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4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Sea:
A =1 20 0
, halla A4.
Resolucin:
Sea:
P(x) = x2+ 3, halla P(A) si:
A =
1 1
3 1 .
Resolucin:
9. Sea:
A =2 14 5
, B =1 20 1
y C =a db c
;
halla (a . b) si AB = C.
7. Sea:
A = 1 12 3
, B =1 00 2
y C =3 02 1
;
halla ABC.
8. Se tiene:
A =0 20 1
, B =1 -20 0
y C = 4 52 1
;
halla (A + B)C.
10. Calcula a + b + c + d si:
A =2 55 13
, B =a bc d , C =
1 00 1
,
AB = C
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lgebra
11. Sea:
A =1 10 2 , B =
2 13 0
y C = x zy w
;
donde A2+ B2= C, halla xw -yz.
12. Dada la matriz:
A =4 31 2 y la funcin f(x) = x
2-x -1,
halla traz(f(A)).
1. Sea A =2 31 1
y B =1 20 1 ;
halla 3A y 5B.
a)6 93 2
5 100 0 ,
b)6 93 3
5 105 0
;
c)6 93 3
5 100 5
,
d) 6 33 3
5 50 5
,
e)6 93 9
5 50 10
;
2. Sea:
A =1 23 1
y B =1 10 2
;
halla (A . B).
a)4 53 5
b) 1 53 4
c) 1 53 5
d) 1 43 5 e) 4 55 3
3. Sea:
A = 1 30 2
y B =0 32 0
;
halla (B . A).
a)0 26 6 b)
0 62 6
c)0 16 6
d)0 60 6 e)
0 00 2
4. Sea:
A =1 01 2 , halla A
3.
a)1 07 8 b)
1 01 8
c)0 10 2
d) 1 0
0 8 e) 1 0
0 1
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
14/36
100
4to Secundaria
7. Sea:
A =
2 13 1 , B =
2 01 1
y C =1 01 1 ;
halla (ABC).
a)4 29 4 b)
2 49 4
c)4 69 6
d)9 34 4
e)6 94 2
8. Se tiene A = 4 12 3 ,
B =1 1-2 0 y C =
1 00 1
;
halla (A + B)C.
a)4 20 3 b)
1 11 1
c)5 20 3
d)
3 2
0 1 e)
0 1
3 4
9. Sea:
A =1 10 0 , B =
0 12 0
y C =m np q ;
donde A2+ B2= C, halla mnpq.
a) -2 b) -1 c) 1d) 2 e) 0
12. Calcula la traza de (A . B) si:
A =senq cosq-cosq senq
B =senq -cosqcosq senq
a) 2 senq b) 2 cosq
c) 2 secq
d) 2 tgq e) 2
11. Sea:
A =
2 1 -3
3-2 4 y B =
1 1
2 31 2 ;determina (AB).
a)0 12 4
b)-1 22 5
c) 1 -13 6
d)1 -13 5
e)2 -21 5
10. Halla la matriz X que resuelve:
1 32 1
. X = 11 47 3
Da como respuesta la suma de sus elementos.
a) 2 b) 1 c) 3
d) 7 e) 8
5. Sea
A =
1 01 2 , halla A3.
a)1 07 8 b)
1 01 8
c)0 10 2
d)1 00 8
e)1 00 1
6. Sea:
P(x) = x2+ 2x + 1, halla P(A) si A =1 20 0
a)4 11 0 b)
3 00 2
c) 2 00 2
d)4 11 1
e) 4 00 1
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
15/36
101
lgebra
9Determinantes
Sea B = (bij)3
B =
=b11
-b21
+b31
Definicin del Determinante para una:
DEFINICINEl determinante viene a ser una funcin que aplicada a unamatriz cuadrada lo transforma en un escalar. Usualmenteel determinante de una matriz cuadrada A lo denotamospor |A| o det(A).
Ejemplo:
Sea A = (-4) |A| = -4
Se llama determinante de una matriz de primer orden,formada por el elemento a, al propio elemento a.
1. MATRIZ DE ORDEN UNO
Ejemplo:
2. MATRIZ DE ORDEN DOS
Sea M = |M| =
= 3(7) -(5)(-4) = 41
3-4
5 73
-4
5 7
3. MATRIZ DE ORDEN TRES
b11
b12
b13
b21
b22
b23
b31
b32
b33
b22b23b
32b
33
Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden:
1. det(A + B) det(A) + det(B)
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det(A) = det(At)
4. Un determinante en el que los elementos de dos
columnas (o filas) son respectivamente proporcionales,
es igual a cero.
5. Cuando se permutan dos columnas (o filas) el
determinante cambia de signo.
6. Un determinante en el cual todos los elementos de una
fila o columna son ceros; es igual a cero.
7. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o
columna) del determinante por un escalar, el mismo
determinante queda multiplicado por dicho escalar.
8. El determinante no vara si a todos los elementos de una
fila (o columna) se le aade el mltiplo de otra fila (o
columna).
9. Si a todos los elementos del determinante se le multiplica
por un escalar a, el determinante de la matriz queda
multiplicado por andonde n es el orden de la matriz.
Propiedades
Sea A = (aij)2
|A| = = a11
a22
-a21
a12
a
11 a
12a
21 a
22
b12b13b
32b
33
b12b13b
22b
23
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
16/36
102
4to Secundaria
Efectuando las siguientes transformaciones: c1-c
2;
c2-c
3; c
3-c
4y c
4-c
5, se obtiene:
|A| =
= 1 . 2 . 3 . 4 . 5
|A| = 5! = 120
Resolucin:
1. Calcula |A| =
5 4 3 2 18 8 6 4 29 9 9 6 3
8 8 8 8 45 5 5 5 5
1 1 1 1 10 2 2 2 20 0 3 3 30 0 0 4 4
0 0 0 0 5
Sumando todas las columnas en la primera y luego,sacando factor comn, se tiene:
|A| =
= 10 .
Resolucin:
2. Calcula |A| =
1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3
10 2 3 410 3 4 110 4 1 210 1 2 3
1 2 3 41 3 4 11 4 1 21 1 2 3
Restando la primera fila de las dems y luego f3-2f2yf
4+ f
2, resulta:
|A| = 10 .
= 10 .
Luego: |A| = 10 . 1 . 1 . (-4)(-4)
\ |A| = 160
1 2 3 40 1 1 -30 2 -2 -20 -1 -1 -1
1 2 3 40 1 1 -30 0 -4 40 0 0 -4
Sumando todas las filas a la primera y luego sacandofactor comn de sta, se tiene:
|A| =
= (a+b+c)
Restando la primera columna de las otras:
|A| = (a+b+c)
Luego:|A| = (a+b+c)(-a-b-c)(-a-b-c)
|A| = (a + b + c)3
Resolucin:
3. Halla |A| =a-b-c 2a 2a 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b
a+b+c a+b+c a+b+c 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b
1 1 12b b-c-a 2b2c 2c c-a-b
1 0 02b -a-b-c 02c 0 -a-b-c
4. Halla x.
= 0
1 1 1 1x a 0 0x 0 b 0x 0 0 c
Resolucin:
Efectuando f4-cf
1, se tiene:
= 0
1 1 1 1 x a 0 0
x 0 b 0x-c -c -c 0
Desarrollando por la regla de Sarrus:ab(x -c) + bcx + acx = 0
Luego: x =
abcab + bc + ac
x a 0x 0 bx-c -c -c
- = 0
EJERCICIOS RESUELTOS
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
17/36
103
lgebra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Sea:
A =3 00 0
, halla |A|.
Resolucin:
Sea:
B =1 20 3
, halla |B|.
Resolucin:
Halla:
|A| si A =3 0 12 -1 24 0 1
Resolucin:
Si:
x 21 x
= 2, indica el valor negativo de x.
Resolucin:
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
18/36
104
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Halla x en la ecuacin:
1 22 2
2 33 3
3 44 4
x x+1x+1 x+1
+ + + ... + = -209
Resolucin:
7. Halla el determinante:
2 3 14-1 7 -75 2 35
Dado:
m n px y z
2 1 3
= 1,
hallam n px y z6 3 9
Resolucin:
8. Si:a b cd e f
4 7 8 = 3,
halla
a c bd f e4 8 7
9. Simplifica:
z 0 xy x 00 z y
xyz
10. Sea la matriz:
H =x2 -3x 1
, tal que det(H) = 4.
Luego H2es:
11. Calcula:0 a
1 a
2-a
1 0
a3
-a2 -a
3 0
12. Si:
a bc d
= 2, halla el valor de:
2+a b2+c d + 2 1 d1 b
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
19/36
105
lgebra
1. Halla:
6 0 2 6
a) 2 b) 6 c) 3d) 6 e) 4
2. Halla:
3 3 43 2 27
a) -2 b) -1 c) 1d) 2 e) 0
3. Halla:
1 2 11 3 10 2 1
a) 0 b) -1 c) 1d) 2 e) 3
4. Halla |B| si:
B =
4 1 -25 0 73 -4 0
a) 162 b) 173 c) 145d) 342 e) 247
5. Si:
x+3 5 4 x+2 = 0, halla
la suma de valores de x que cumplen con eldeterminante.
a) -3 b) -2 c) 5d) -5 e) -1
6. Calcula el valor de:
H =
2 3+3 2 -2 3+3 2
2 3-3 2 2 3+3 2
a) 30 b) 45 c) 60d) 24 6 e) -14 6
8. Dadox y z6 8 11 1 3
= 4, halla
x y z
12 16 23 3 9
a) 4 b) 8 c) 16d) 24 e) 36
9. Si
a 4 7b 5 8c 6 9
= 20,
halla4 a 75 b 86 c 9
a) -20 b) 20 c) 10d) -10 e) 40
10. Calcula el valor de:
S =
1 2 41 4 161 6 36
1 1 11 3 51 9 25
1 2 31 1 11 4 9
+ -
a) 36 b) 25 c) 32d) 34 e) 30
11. Calcula |E| si:
E =
a+b a-ba-b a+b
a) 2ab b) 2(a2+b2) c) a2+ b2
d) 4ab e) a2-b2
12. Halla un valor de x que verifique:
2-x -3 6 4 x+1 -2 2 -1 x+2
= 0
a) 3 b)-2 c)
-1
d) -3 e) 4
7. Dado:
a b cd e f1 3 5
= 5, halla2a 2b 2cd e f1 3 5
a) 0 b) 4 c) 2d) 10 e) -10
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
20/36
106
4to Secundaria
10SistemadeEcuacionesLineales
SOLUCIN DE UN SISTEMA
Conjunto de valores de todas sus incgnitas que al sersustituido en las ecuaciones las convierten en identidades.
Sistemas
Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultneamentepara los mismo valores de sus incgnitas.
Conjunto Solucin (C.S.)
Es la unin de todas las soluciones de un sistema.
Ejemplo:
* x + y = 9x -y = 3
Solucin: (6; 3) C.S. = {(6; 3)}
* x2+ y2= 13x . y = -6
Solucin: (3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3)
C.S. = {(3; -2)(-3; 2)(2; -3)
(-2; 3)}
Sistema de Ecuaciones Lineales
Es el sistema en el cual cada una de sus ecuaciones es deprimer grado.
Ejemplo:
* a1x
1+ b
1x
2+ c
1x
3= d
1
a2x
1+ b
2x
2+ c
2x
3= d
2
a3x1+ b3x2+ c3x3= d3 Solucin: (r, s, t)
Incgnitas: x1, x
2, x
3
Coeficientes: a1, a2, a3, ..., d1, d2, d3
Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los
siguientes mtodos:
1. Reduccin (Gauss)
2. Sustitucin
3. Igualacin
4. Determinantes (regla de Cramer)
5. Matricial
6. Por grfico
Sistema de dos Ecuaciones con dos incgnitas
Regla de Cramer:
Sea el sistema :
a1x + b
1y = c
1 a
2x + b
2y = c
2
El conjunto solucin es:
donde:Dsistema = Determinante del sistema Dx = Determinante de x Dy = Determinante de y
Dsistema = = a1b
2-a
2b
1
Dx = = c1b
2-c
2b
1
Dy = = a1c
2-a
2c
1
a1 b
1a
2 b
2
x = DxDsistema
y = DyDsistema
;
c1 b
1c
2 b
2
a1 c
1a
2 c
2
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
21/36
107
lgebra
Ejemplo:
Resuelve: 5x + 3y = 5 4x + 7y = 27
x = =
= = -2
y = =
= = 5
5 x 7 -27 x 35 x 7 -4 x 3
5 327 75 34 7
35 -8135 -12
5 x 27 -5 x 45 x 7 -4 x 3
5 54 275 34 7
135 -2035 -12
CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS
1. Sistema Compatible
Es aquel sistema que admite por lo menos una solucin.Estos sistemas pueden ser:
a. Sistema Compatible Determinado
Se conoce as cuando el nmero de soluciones eslimitado, generalmente un sistema es de este tipocuando el nmero de ecuaciones es mayor o igual alnmero de incgnitas.
Ejemplo:
2x + 10y = 12 8x -7y = 5
b. Sistema Compatible Indeterminado
Es cuando el nmero de soluciones es ilimitado;generalmente un sistema es de este tipo cuando elnmero de ecuaciones es menor que el nmero deincgnitas.
Ejemplo:
x + y + z = 1 0 2 x + 3 y + 5 z = 2 0
2. Sistema Incompatible
Es aquel sistema que no admite solucin.
Ejemplo:
x + y + z = 9 y -z + 2x = 9 2x -y = 1
ANLISIS GRFICO DEL SISTEMA
a1x + b
1y = c
1a
2x + b
2y = c
2
1. Determinado
Si:
y
x
(x0, y
0)
[2] [1]
a1
a2
b1
b2
Solucin nica
2. Incompatible Si:
a1
a2
b1
b2
=c
1c
2y
x
[2]
[1]
Las rectasson paralelas
3.Indeterminado
Si:
a1
a2
b1
b2
=c
1c
2=y
x
[2]
[1]
Las rectas estnsuperpuestas
Si multiplicamos la ecuacin (I) x 3y (II) x 5; se obtiene:
6x + 15y = -72 40x -15y = 95
46x = 23 x = 23/46 x = 1/2
Resolucin:
1. Resuelve: 2x + 5y = -24 ... (I) 8x -3y = 19 ... (II)
EJERCICIOS RESUELTOS
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
22/36
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
23/36
109
lgebra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Resuelve: 7x + 8y = 29
5x + 11y = 26
Resolucin:
Resuelve: 3x -25 = 2y
3y + 5 = -2x
e indica x + y.
Resolucin:
Del sistema:
3(x + 2) -3(y -4) = 12
2(x -3) + 4(y -3) = 8
halla 5x + y.
Resolucin:
El par (2; 1), verifica el sistema:
ax + by + 10 = 0
ax -by + 2 = 0
halla a -b.
Resolucin:
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
24/36
110
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Dado:
nx + 3y = 2n + 3
2x + (n -1)y = 4n -6
determina el valor de n para que el sistemasea compatible indeterminado.
Resolucin:
Resuelve:
x + 1
y-3 = 0
x
y + 1 +
12
=32
indicando el valor de x -y.
Resolucin:
8. Para qu valores reales del parmetro k elsistema tiene solucin nica?
3x + (k -2)y = k + 3 3x + 5y = 8
7. En el siguiente sistema: ax + 2y = 12 6x -5ay = -12 determina el valor de a de modo que x e y
tengan el mismo valor.
9. Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2 2x -3y = 2a -1 determina el valor de a para que x valga el
doble de y.
10. Calcula el valor de en el sistema si el con-junto solucin es: {(n+12; n)}
3x -2y = 2x + 3y =
11. Halla y en:
2x + 5y = -24 8x -3y = 19
12. Halla y en:
6x + 2
-8y -3
= -2
9x + 2
+2y -3
= 4
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
25/36
111
lgebra
1. Halla 3x + 3y si: 2x + 3y = 20002
x + 2y = 19992
a) 3 999 b) 1 333 c) 1 1997
d) 6 000 e) 1 999
2. Resuelve:
10x + 9y = 8
8x -15y = -1
y da como respuesta x + y.
a) -5/6 b) -1/6 c) 1/6
d) 5/6 e) 1
3. Resuelve:
x(3 + y) = y(5 + x) -25
4(3 -y) = 2(x -2) + 18 -2y
a) (-3; 2) b) (5; -2) c) (-5; 2)
d) (-15/4; 11/4) e) (-3; 0)
4. Resuelve:
20/x -12/y = 3
8/x + 30/y = 7
indica x + 2y.
a) 10 b) 16 c) 12
d) -4 e) 20
5. Halla el valor de m para que el sistema no tengasolucin.
(5m + 1)x + (5m + 2)y = 7
(3m -2)x + (3m -1)y = 4
a) 0 b) -1/2 c) -3/2
d) 3/2 e) 1/2
6. Halla (m + n) para que el sistema sea compatibleindeterminado.
5x + 3y = 1
mx -ny = 4
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10
7. Qu valor debe tener a para que x sea iguala y en el siguiente sistema?
ax + 4y = 119 5x -ay = 34
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. Si el sistema es compatible indeterminado, cal-cula a + b.
(a -3)x + (b -2)y = 8
(a + 1)x + (b + 4)y = 24
a) 9 b) 7 c) 10d) 13 e) 5
9. Si el par ordenado que verifica: nx + y = 4
y + mx = 2 es (1; 2), halla nm.
a) 1 b) 2 c) 0d) -1 e) -2
10. Resuelve: 3x -2y + 1 = 0 7y + z -4 = 0 2x + 4z + 3 = 0 si (x, y, z) es solucin del sistema. Calcula el valor de:
a) -1 b) 3 c) 5d) 0 e) 1
11. La suma de dos nmeros es 191. Si el mayor se divide
por el menor, el cociente es 4 y el residuo es 16.Entonces la diferencia positiva de dichos nmeros es:
a) 100 b) 102 c) 121d) 132 e) 156
12. Resuelve:
2(x + a) -yb= 2a
bx + y -2b = -b indicando el valor de y.
a) 1 b) 2 c) 2b/3d) b/3 e) b/4
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
26/36
112
4to Secundaria
11 SistemasNoLineales
Ejemplos:
Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Es el conjunto de dos o ms ecuaciones en el cual lasexpresiones matemticas que intervienen en el sistemapueden ser algebraicas o no algebraicas.
y = x2
2x + 5y = 20
Sistema algebraico
log(2x) + y = 5yx1/2
+ 5y = 20
Sistema no algebraico
Para poder resolver el Sistema de Ecuaciones No Lineales
no existe un mtodo general; sin embargo, de acuerdo a
la forma que presenta el sistema, se resolver utilizando:
productos notables, factorizacin, diversos artificios, inclusive
grficamente.
x2+ xy + y2= 4(+)
x + xy + y = 2 x2+ 2xy + y2+ x + y = 6
Resolucin:
1. Al resolver:x2+ xy + y2= 4 ... (1)
x + xy + y = 2 ... (2) (x
0, y
0) es una solucin con x
0< y
0. Halla x
0y0.
(x + y)2+ (x + y) -6 = 0 (x + y + 3)(x + y -2) = 0
I) Si x + y = -3 en (2) xy = 5 y = -x -3 x(-x -3) = 5 x2+ 3x + 5 = 0
Cuya ecuacin no deja soluciones reales.
II) Si x + y = 2 en (2) xy = 0 y = 2 -x x(2 -x) = 0
Donde: x = 0 x = 2
y = 2 y = 0
Como x < y x = 0 y = 2
\ xy= 0
Sumando a la ecuacin (2), 4 veces
la ecuacin (1) se obtiene:5xy = 4y3/x + x3/y 4y4-5x2y2+ x4= 0
Factorizando:(4y2-x2)(y2-x2) = 0
De donde:x = 2y ; x = y
I) x = y en (1):x2-6 = x2 x
II) x =-y en (1):
-x2-6 = -x2 x
Resolucin:
2. Indica el nmero de soluciones del sistema: xy -6 = y3/x ... (1) xy + 24 = x3/y ... (2)
EJERCICIOS RESUELTOS
-
7/25/2019 lgebra 4to(7-12) Corr
27/36
113
lgebra
III) x = 2y en (2): 2y2+ 24 = 8y2 y = 2 x = 4 ; y = 2 (4; 2)
es solucin x = -4 ; y = -2 (-4; -2)
es solucin
IV) x = -2y en (2):-2y2+ 24 = -8y2
y = 2i x = -4i; y = 2i (-4i; 2i)
es solucin x = 4i; y = -2i (4i; -2i)
es solucin
\ existen 4 soluciones.
De (1) y (3)x + y = 3 ... (1)
y = 3 -x 5x -3y = 7 ... (3)
En (3): 5x -3(3 -x) = 7 x = 2
En (1):y = 3 -2 y = 1
En (2):a(2) + b(1) = 5b
2a = 4b
\ a = 2b
Resolucin:
3. Cmo debe ser la dependencia entre a y b para queel sistema tenga solucin nica? x + y = 3 ... (1) ax + by = 5b ... (2) 5x -3y = 7 ... (3)
(1) + (3):y + mx + x + my = 5
y(m + 1) + x(m + 1) = 5(m + 1)(x + y) = 5
pero (x + y) = 10 ,
(m + 1) . 10 = 5
\ m = -1/2
Resolucin:
4. Qu valor debe darse a m para que el sistema admita
solucin nica? y + mx = 2 ... (1) x + y = 10 ... (2) x + my = 3 ... (3)
(1) + (2) + (3):x2+ y2+ z2+ 2xy + 2xz + 2yz = 64
(x + y + z)2= 64 x + y + z = 8 x + y + z = -8
En (3): z(x + y + z) = 8
I) Si x + y + z = 8 z = 1 x + y -z = 6
II) Si x + y + z =-8 z =
-1
x + y -z = -6
\ (x + y -z)2= 36
Resolucin:
5. Luego de resolver, indica el valor de (x + y -z)2.
x2+ xy + xz = 24 xy + y2+ yz = 32 xz + yz + z2= 8
Observacin
Sistemas equivalentes son aquellos que poseen unamisma solucin.
* Si Dsistema 0 compatible determinada
* Si Dsistema = Dx =Dy = 0 compatible indeterminada
* Si Dsistema = 0 y (D x 0, D y 0) inconsistente o indeterminada
E n e l e c t r n i c a d econsumo, los circuitosintegrados han hechoposible el desarrollo demuchos nuevos productos,como computadoras ycalculadoras personales, relojes digitales y videojuegos.Se han utilizado tambin para mejorar y rebajar elcosto de muchos productos existentes, como lostelevisores, los receptores de radio y los equipos de altafidelidad. Su uso est muy extendido en la industria,la medicina, el control de trfico (tanto areo comoterrestre), control medioambiental y comunicaciones.
-
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lgebra
Rpta:
5
Rpta:
6
7. Resuelve: x + y -z = 2
x -y + z = 3 -x + y + z = -5 y halla x + y + z.
8. Al resolver el sistema: x + y = 4
x2y2+ 12 = 7xy {x; y} R+; x y, halla (x -y)4.
9. Al resolver: x2+ x + y = 22 xy(x + 1) = 40
da como respuesta un valor de xy.
Dado el sistema:
x3+ y3= 35
xy(x + y) = 30
determina la suma de las soluciones realespara x e y.
Resolucin:
Encuentra el valor de y en:
x(x + y + z) = 48
y(x + y + z) = 12
z(x + y + z) = 84
Resolucin:
10. Resuelve: x + y = 5
x + 2y + z = 12 x + z = 6 y halla y.
11. Halla el valor de k para que en el sistema:
3x + 7y + 2z = 1 2x + 3y + 7z = 1 kx + 2y + 3z = 0 el valor de y sea igual a z.
12. Resuelve el sistema y da el valor de z:
xy + x + y = 23 xz + x + z = 41 yz + y + z = 27
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4to Secundaria
1. Si (x0, y
0) es una solucin del sistema:
x2+ xy + y2= 5 x + xy + y = 7 calcula el mayor valor (x
0+ y
0).
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Resuelve: x + y = 4
y + z = 9
z + x = 1 y halla x + y + z.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
3. Resuelve: x + 2y + z = 4
x + y + 2z = 1 2x + y + z = 7 y halla x + y + z.
a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) 20
4. Si: x/y (x + y) = 12 y/x (x + y) = 3 halla xy.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 1
5. Halla x . y . z en:
x + y = 10 y + z = 6 z + x = 8
a) 21 b) 24 c) 34d) 48 e) 56
6. Halla x -y si: x + 2y + 4z = 31 5x + y + 2z = 29 3x + y + z = 10
a) 0 b) 2 c)-1
d) 1 e) 3
7. Resuelve: x + y + 2z = 4
x + 2y + z = 3 2x + y + z = 5 y halla x.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
8. Sea el sistema: x + y + z = 6 2x + y -z = 1 3x -2y + z = 2
halla xyz.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
9. En el siguiente sistema de ecuaciones: m + n + r = 4 m + n -r = 0 5r -3m + 4n = -3
halla el valor de R =m + n
r
a) 1 b) 3 c) 2/5
d) 1/3 e) 5/2
10. Resuelve: x2+ xy + xz = 24 ... (1) yx + y2+ yz = 32 ... (2) xz + yz + z2= 8 ... (3) y halla el valor de (x + y + z)2.
a) 25 b) 64 c) 60d) 81 e) 90
11. Resuelve: a(a + 2b + 3c) = 50 b(a + 2b + 3c) = 10 c(a + 2b + 3c) = 10 da como respuesta la suma de las componentes
de una de las soluciones (a0, b
0, c
0).
a) 6 b) 8 c) 9d) -7 e) -8
12. Calcula el menor valor de y luego de resolver: x2-y = 47 x2y = 98
a)-49 b) 48 c)
-60
d) 79 e) -63
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lgebra
12Desigualdades
Sea R el conjunto de nmeros reales, provisto de dos opera-ciones; la adicin (+), la multiplicacin (x) y una relacinde orden (< : menor que) que constituye el Sistema de losNmeros Reales. R : (+, x,
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4to Secundaria
1. Si a = b; entonces a + c = b + c, a, b, c R.
2. Si a = b; entonces ac = bc, a, b, c R.
3. Si a . c = b . c; entonces c = 0 a = b, a, b, c R.
4. a . 0 = 0, a R.
5. a . b = 0 a = 0 b = 0.
TEOREMAS BSICOS DE LA IGUALDAD
a < b b -a> 0
RELACIN DE ORDEN
a R se cumple una y solamente una de las siguienterelaciones:
a > 0 a < 0 a = 0
AXIOMA DE TRICOTOMA
1. a < b a + c < b + c ; a, b, c R
2. a < b c > 0 ac < bc; a, b R
TEOREMAS BSICOS DE LA DESIGUALDAD
Son conjuntos de nmeros definidos mediante la relacinde orden en el campo de los nmeros reales y son de variasclases.
INTERVALOS
[a; b] = {x R / a x b} en el cual se incluye a losextremos a y b en la recta real.
A. Intervalo Cerrado
a
- +
b
- +
b
- +
a
- +
ba
- +
ba
- +
ba
- +
ba
- +
= {x R / a < x < b} en el cual no se incluyea los extremos a y b en la recta real.
B. Intervalo Abierto
[a; b> = {x R / a x < b}
C. Intervalos Semiabiertos
bc, a, b R
4. ab > 0 {(a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)}
(signos iguales)
5. ab < 0 {(a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)}
(signos diferentes)
6. a R-{0} : a y a-1presentan el mismo signo.
a > 0 (1/a) > 0
a < 0 (1/a) < 0
7. a < b a2n-1< b2n-1, n N
8. 0 < a < b a2n< b2n, n N
9. a < b < 0 a2n> b2n, n N
10. Si a < x < b ab < 0; entonces 0 x2mx(a2, b2)
11. Si a < b c < d; entonces a + c < b + d
12. Si 0 < a < b 0 < c < d; entonces ac < bd13. Si 0 < a < b; entonces:
a < < b
14. Si 0 < a < b; entonces a < ab < b
15. Para dos nmeros reales positivos a y b.
16. Si 0 < a/b < c/d; entonces:
< = {x R / x a}
a}
a + cb + d
ab
cd
-
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lgebra
Ejemplo:
Del grfico, se tiene:
x
-
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4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Si x [1, 3], indica a qu intervalo pertenecela expresin:
f(x) = 2x + 3
Resolucin:
Si: {x; y; z} +
Calcular el mnimo valor de:
xy
+ +yz
zx
Resolucin:
Si x
-
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lgebra
Rpta:
5
Rpta:
6Si:
2 < 4x < 10; calcula el intervalo de16
2x + 3
Resolucin:
Si x [5, 8]; indica el mayor valor que toma
la expresin:
x -3
x + 1
Resolucin:
7. Si:
x [-2, 3]; indica el intervalo de y = x2.
8. Si a, b, c R+, cul es el menor valor de K?
K = (a + b)2
ab(b + c)2
bc(a + c)2
ac -6+ +
9. Calcula el menor valor de:
M si 4x -x2-10 M para todo valor real de x.
10. Indica cul es el mximo valor que toma laexpresin:
f(x) = -x2+ 2x + 9
11. Si la suma de dos cantidades positivas es 20, hallael mayor valor que toma el producto.
12. Si x
-
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4to Secundaria
1. Si x [-1, 4], indica el intervalo de la expresin
f(x) = 4x + 1
a) [-1, 13] b) [13, 17] c) [5, 13]
d) [-3, 17] e) [3, 15]
2. Calcula el mayor valor entero que toma:
y =3x -1
4si x [3, 7>
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
3. Si x [-4, 1>; indica el intervalo de y = x2+ 1.
a) [1, 17] b) e) [1, 17>
4. Si 1 x < 6; calcula el intervalo de f(x) = x2-6x + 5
a) [-4, 5> b) [-5, 4] c)
d) [-9, -4> e) [5, 9]
5. Indica cul es el mnimo valor que toma la ex-presin:
f(x) = x2-6x + 2
a) -5 b) -6 c) -7
d) -8 e) -9
6. Si 1 x < 3; calcula el intervalo de:
f(x) =1
x + 2
a) b)
7. Si x [2, 3]; indica el intervalo de3x + 33x -2
a) [12/5, 9/2] b) [12/7, 9/4]
c) [7/5, 9/4]
d) [5/7, 5/4] e) [2/3, 4/3]
8. Si 3 x 7; adems la expresin
M =2x + 12x - 5p e r t e n e c e a l
intervalo [a, b]. Calcula 3a + 2b.
a) 12 b) 14 c) 19
d) 31 e) 27
9. Indica cul es el mximo valor que toma laexpresin:
y = x2-6x -1 si -1 x 5
a) -10 b) 10 c) 8
d) -4 e) 6
10. Si:
a + b + c = 6
{a; b; c}+. Calcular el mximo valor de:
abc.
a) 3 b) 9 c) 18
d) 27 e) 81
11. Si x [-1, 9/5] y A 3 -5x
2 B, calcula el valor
de A2+ B2.
a) 12 b) 13 c) 25
d) 34 e) 26
12. Si x [-2, 5>; indica el intervalo de:
f(x) = (x -3)2
a) [4, 25> b) [4, 25]
c) [4 22>