algebra 4º y 5º

4to Año Razonamiento Matemático 2

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA

GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-

Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a

nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y

aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del

país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana

Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido

lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las

personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su

preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la

calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”

3

POTENCIAS Y RADICALES EN

Son

Que consisten en

En potenciación 1n , n .se tiene:

Propiedades:

1.- Dados ,a n , se tiene: 0 1a

2.- Dados ,a n , 0a , se tiene:

1. . 1n n n n n

na a a a a

a3.-

.....

. . .....

fz

yx x y z fa a

3.- . . .. ....... . ......n

p q m p n q n m na b x a b x

4.- n

n m n m

m

aa a a

a5.- .m n m na a a

Ejemplos

E.1. Encuentre el valor de R si:

3 1

21 15 7 .3

3 6R

Solución

Aplicando las propiedades, obtenemos:

23 1

3 7 6 .35

127 7 18

25

116

25

401

25

R

E.2. Reduce utilizando las definiciones

de potencias, reducir:

89

89 Veces

7 7 7 7 7 ....... 7 7K

Solución

89

89 Veces

89 89

7 7 7 7 7 ....... 7 7

7 7

0

K

K

En radicación 2n , n

1

n na a . Propiedades:

1.-

n

m n ma a

2.- . . .... . . .......

. . .....

m m m mn p q n p q

n m p m q m

a b c a b c

a b c

3.- 1

1

mmm m

mm

a a aa b

b bb

4.-

1

. . .... ( . . .... ).....pm m n p un m n p uu a a a

POTENCIACIÓN Y

RADICACIÓN

OPERACIONES INVERSAS

Dados dos números base y exponente, determinar un tercer número llamado

potencia

Dados dos números radicando e índice, determinar un tercer número llamado raíz

n na b b a

Potenciación y Radicación

I Bimestre

ALGEBRA


4

EJEMPLOS

1.- Calcule: 6 3 412p x x

Solución:

6 36 3 412

412

3 63 6 4 12

4 12

3 6 2 6 1 6

6

xp x x p

x

xx

x

x x

x

2.- Reducir: 2 3 4 5 120M x

Solución:

2 3 4 5 2.3.4.5120 120

120

2.3.4.5 .

M x x

x x M x

3.- Calcular: 2. 2

2. 2. 2M

Solución

La expresión dada es:

2. 2 4

2

2. 2. 2 2. 2. 2

2. 2. 2 2. 2.2

4.2 2.2 4

4

M

M

4.- Efectuar:

1

11

3 1

3 1

n

nn

K

Solución:

Transformando el denominador del radicando:

1 1

11 1

1

1 1 1

11 1

1

1

1 1

3 1 3 1

13 11

3

3 1 (3 1)3

3 1 3 1

3

3 3

3

n n

nn n

n

n n n

nn n

n

n

n n

K

K

5.- Simplificar

48 radicales

8 8 8 8

3 3 310

96 radicales

. ....

.......

x x x xN

x x x x x x

Solución:

48 radicales

8 8 8 8

3 3 310

48 radicales 48 radicales

48 4868 8

40 101048 48 24 1610 3

62

4

2

. ....

........ .......

.

x x x xN

x x x x x x

x x x

xx xx x

xx

x

N x

Aprendiendo a resolver…..resolviendo

1.-En cada caso calcule el valor de x .

5 3

3 2

3 2

325 9

13

53

35 7 11 9

45 2 10

1) 2 2) 4

3) 25 4) 7

5) 0,6 4) 2, 2

42 3 36) 7)

3 3

28) 9)

2

x x

x x

x x

x x

a b a bx x

a b

2.- Simplificar

1 61 2

26

2N f

3.- Reducir 4 2 5m m m

4.-Reduzca la siguiente expresión

5

3 5 20. .L x x x

5.- Completar con la alternativa correcta

1000

2 0 3

2

1. . . . xm

R m m mm m

para R=m

6.- Al reducir a su mínima expresión

3 5 3034 m mM x x .Obtenemos 2.M x Hallar el

valor de 5

m .

7.- Calcule el valor de

1 16J x x

8.- Si: 5 2n , calcular: 1(25) n

a)4 b)16 c) 6,25 d)12,5 e) 3,125

9.- Indicar el exponente final de “x” en:

4 38 5

3 3 54

x x

x x

a)1 b)2 c) 4 d)0 e) x

10.- Mostrar el equivalente de:

1 22

x

xx

xxx

a) x b) x2 c) x

3 d) x

-1 e) 1

11.- Simplificar 1

2 4 2 2

20

2 2

mn

mnmn mn

M

a)2 b)4 c) 5 d) 10 e) 12

12.- El equivalente de:


5

,b a c b

c aa b b c

a a

a a es:

a)1 b) 1a c) a d) 2a e) 2a

13.- Determinar el exponente final de x en:

42 3 5 3

42 3 5 3

x x x x

x x x x

a)3/2 b)16/7 c) 27/14 d)54/32 e)16/3

14.- Reducir: 1 3 5 7

3 5 7 9

3 3 3 3

3 3 3 3

n n n n

n n n n

a)1/3 b)1/9 c) 1/27 d)1/81 e)3

15.- Mostrar el equivalente de:

1 1 12 .2 .2 ....." "

2 .2 .2 ....." "

n n n

n n n

n factores

n factores

a)1 b)2 c) 2

2n d) 2n e) 22 n

16.- Simplificar:

2 2

2

2

2 1

2 1

2 45(25 )

50

m m

m

m

a) 0,1 b)0,01 c) 0,001 d)1 e)10

17.- Simplificar:

991 1

1

991

5 5 5

5 5 5 52 2 2 2

15

. .

. . .....factores

x x x

x x x x

a)1 b) x c)5/2 d) 2x e) 2

18.-Sabiendo que : a b c abc , se pide determinar

el equivalente de:

a b cb c a c b a

ab ac bc

x x xx

x x x

a) x b) abx c)

bcx d) acx e) 1

19.- Efectuar: 2 1 1 25 5 25 5

5

m m m m

m

a)5 b)31 c)25 d) 1/5 e) 37

20.- Si: 10 10n m n m n mx y x y , calcular el valor

de: x yxy

a)1010

b)1/10 c)(1/10)1/10

d) (1/10)10

e) 1

21.- Calcular: 0,4 0,3 0,2 0,1

0,5 0,8

0,1 .0,2 .0,3 .0,4

0,5 .0,3

a)1 b)0,06 c) 1,2 d)0,6 e)0,12

22.- Al efectuar : 3 33 3 23 3 .x x x x

Se obtiene:

a) 5

x b) 3 x c) 9 x d) 59 x e) 2

23.- Luego de simplificar la expresión

3 2 4x x x , el exponente final de x es:

a)19 b)19/24 c) 17/24 d)21/19 e)23/24

ECUACIONES EXPONENCIALES

Definición.- Se denomina Ecuación Exponencial a toda

igualdad condicional que se caracteriza por presentar a

su incógnita formando parte de algún exponente.

Ejm: 2 1 3 22 16; 3 81; 2 64

xx x

Propiedades:

1.- ; 0 1x ya a x y a a>

Ejm.Si: 2 86 6 2 8 6x x x

2.- 0; 0 0x xa b x a b a b> >

Ejm.Si: 2 39 3 2 0 2x x x x

TEOREMAS DE CONVERGENCIA (infinitos)

1.- 1......... ; / 2n n n na a a a n n a

2.- 1......... ; / 2n n n na a a a n n a

EJEMPLOS

1.- Evaluar “ x ” en: 1

1 22 .4 8x

x x

Solución

Expresando cada potencia en función de la base 2

tenemos:

12 3 1 2

1

2 3 62

12

3 62

2 .(2 ) (2 )

2 .2 2

12 . 2 2 3 6

2

13 8 1 6 16

2

17 7 7 17

xx x

x

x x

xx

x xx x

xx x x

x x

2.- Resolver para cada “ x ”:3 3 3 27

x

Solución

La ecuación dada es:

1

3 3 33 33 3 3

12

1 2

3 27 3 3 3 3

1 13 9 3 3

3 3 3

1 13 3 2 -

2

x x x

x

x x

x xx


6

3.- Calcular el valor de “ 2x x ” si se verifica que:

1 2 12 23 9x x

Solución

1 2 1 1 2 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2.2

1 2 2

3 9 3 (3 ) 3 3

2 2 1 2 2 -3

x x x x x x

x x x x x

4.- Resolver: 1 216 ( 1). 16xx xx x

Solución

Desarrollando el exponente del segundo miembro y

transponiendo, se obtiene:

2

1 12

1 12

2 116 2 1 16

16 2 16 2

. 16 16

16 16 ( )

x x

x x

x xx xx x

x xx x x x

xx x

x

x x

Elevando al exponente 1xx a ambos miembros

tenemos:

111

1

2

.16 2 16 2

( )16 2

16 16

16

xxx

x

x

xx x x xx x x

xx

x x

x

Comparando

la igualdad, obtenemos:

2 2 2 216 4 2x xx x x

5.- Resolver:

.. .. ..535

.

35

x xx x

x x

Solución

Para resolver una ecuación de la forma dada se

recomienda utilizar una variable auxiliar.

.. .. ..535

.

35

x xx x

II

I

x x k

De I :

...5

35.

35

xx

x = k3 5

5 5 3 3

5 3 ...................( )

kk k

k

x k x k x k

x k

De II :

...

22 ............

xx k

k

kk

x k x k x k

x k x k

Igualando

y :

5 2

3

2

2

5 25 2 6

3

3 6 2

:

2 2

k kk k k kk k

k k

Luego

x x


1.- Si:

2 5 5 3

3 4

x x

a a , hallar x

a)2/17 b) 33/17 c) 32/7 d)1/5 e) 35/17

2.- Calcular “ x ” si: 5 2 2 327 243x x

a)-2/5 b)-21/5 c)9/5 d) 21/5 e)-9/5

3.- Evaluar “ x ” si: 2 3 2

5 49

7 25

x x

a)1/2 b)-1/2 c)1/4 d) -1/4 e)2

4.- Determinar “ x ” si: 3 4 2x

a)2/3 b)1/3 c)3/2 d) 1/4 e)2/5

5.- Calcular “ x ” si: 54 2 18x

a)3/4 b)4/3 c)2/3 d) 1/4 e)2/5

6.- Evaluar “ x ” si: 2 2

22 2 2x

a)2 b)1/2 c) 2 d) 1/ 2 e)2 2

7.- Si: 5 0,25;x determinar 16xA

a) 0,5 b) 0,25 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,2

8.- Si: 39 512;x evaluar 23 x

a) 9 b)1/2 c) 27 d) 1/27 e)1/81

9.- Determinar “ x ” si: 23 3 216x x

a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8

10.- Encontrar “ m ” si: 11(8 1 8 ) 1040

8

mm

a) 1/3 b)2/3 c) 4/3 d) 10/3 e)7/3

11.- Determinar “ x ” si: 1 2 33 3 3 351x x x

a) 1 b)2 c) 3 d)4 e)5

12.- Resolver para “ x ” si: 1

3 5 25x

x

a) 1/7 b)2/7 c) 3/7 d) 7 e)4/7

13.- Calcular “ x ” si:

2 2 4

8 1642 . 8 8 . 16x x x x

a)2/5 b) 5/2 c) 22/5 d) 5/22 e)7/5

14.- Resolver para “ x ” si: 2240 9 9x x

a) 1/2 b)1/4 c) 1/8 d)1/3 e)1/5

15.- Determinar “ x ”

1 2 3 43 3 3 3 3 360x x x x x

a) 6 b)5 c)4 d)7 e)3


7

16.- Evaluar “ x ” si:

91

3

9

1 1

27 3

x

a) 1/2 b)2 c) 3 d)1/3 e)1/9

17.- Proporcionar el valor de “ x ” que verifica:

2 1255 532 2

xx x

a) 6 b)2 c)4 d)9 e)3

18.- Determinar “ x ” si: 16

75 5

55 25

x

x

a) 6 b)7 c)9 d)5 e)8

19.- Calcular el valor de: N+K, si:

6 6 6 6432 32 32......... ; K=

64

64

N

a) 6 b)66 c)62 d)10 e)5

20.- Simplificar la expresión:

3 3 3

3 2 3 2 3 ....

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

ECUACIONES TRASCENDENTES

Definición.- Se denomina ecuación trascendente a

toda ecuación no algebraica.

Ejem. 1 22 6; 4; 0,7; 5 6x x xx x senx x x

CRITERIOS DE COMPARACIÓN

Si: x ax a x a

Si: x bx b x b


1.- Resolver: ( 1)( 1) 256xx

a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8

2.- Resolver: 3 9 0,3x

x

a) 1/2 b)1/3 c) 1/4 d)1/5 e)1/8

3.- Calcular x , si: 6 2

2xx

a) 12 6 b) 12 8 c) 4 d)2 e)3

4.- Resolver: 3(3 ) 4xx

a) 3/2 b)1/3 c) 2/3 d)1/5 e)1/2

5.- Calcular x , si: 5

5xxx

a) 3 5 b) 5 5 c) 5 d) 5 e)3

6.- Calcular x , si: 3 3

27xxx

a) 3 5 b) 3 3 c) 5 d) 5 e)3

7.- Resolver para x sí: 26

4

30x

x-

a) 7 b) 8 c) 5 d)9 e) 10

8.- Encontrar el valor de x en: 4 4

x

x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9.- Resolver para x sí: 4

xx1

=2

a) 3/2 b)1/8 c) 1/4 d)1/16 e)1/2

10.- Resolver para x sí: 21 116. 16

x xxx x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.- Determinar x si:

95 3

5 3 15

x

x

x

a) 5 15 b) 9 15 c) 3 5 d) 15 3 e) 9 5

12.- Un valor de x en: 211 4x x ; es:

a) 10 b) 4 c) 63 d) 64 e) 62

SEGUNDO BIEMESTRE

UNIDAD I

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

es un

representada por dadas por

TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)

Definición.- Es la mínima parte de una expresión

algebraica, en el no existen operaciones de adición o

sustracción.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CONJUNTO DE TÉRMINOS

QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD

CONSTITUIDA POR

VARIABLES CONSTANTES

LETRAS NÚMEROS

OPERACIONES

MATEMÁTICAS ELEMENTALES


8

Ejem: 3

22 2 6 3

5 ; 7 ;xy

x y x yz

Todo termino algebraico presenta tres partes, las

cuales son:

Exponentes

5 3 77x y

Variables

Coeficiente

TÉRMINOS SEMEJANTES

Definición.- Son aquellos términos que presentan las

mismas variables e iguales exponentes respecto a la

Variable común.

Ejem: 5 57 4xy xy son semejantes

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

A.- Según su Naturaleza

1.- Expresión Algebraica Racional.

Es aquella expresión en donde los exponentes de

las variables son números enteros. Estas a su vez se

dividen en:

1.A Expresión Algebraica Racional Entera

Ejem: 4 27 4 4 2 1xy x y x y

2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Ejem: 2 27 5 1xy xy

x

2.- Expresión Algebraica Irracional

Es aquella expresión en donde existe al menos una

variable afectada de algún signo radical o exponente

fraccionario.

Ejem: 2

1 4 4 1 5

2 5 3

2 3 3 2

xy x y x

x y xy x

B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS

Monomio……………….1 término

Binomio…………………2 términos

Trinomio…………………3 términos

…………………………………….

Polinomio………………más de 3 términos

EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE

Ejem: 2

2 5 5 3

2 cos

yxy x x

x senx x

Ejercicios resueltos

1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?

2 1 3 23 ;3 3;3 5;28; 4 1xxx x x x x

Solución

Son expresiones algebraicas:

2 1 33 ;3 5;28x x x x

2.- Si los términos : 3 1 5 24 a b a bx y x y

Son semejantes; calcular a.b

Solución

Podemos plantear:

3 1 5 24 a b a bx y x y

Donde: 3 5 2 8 4

1 2 1 1

. 4

a a a a

b b b b

a b


1.- Si: 2 7

5 3 ;

A x y

B x y

Determinar: 5 2A B

a) 9 x b) 9 y c) 41 x d)41 y e)20 x –41 y

2.- Si: 1 5 21 ; 2 . ;b aa x b x a b x

Son términos semejantes, calcular: 2 2a b

a) 31 b) 33 c) 35 d)47 e)19

3.- Si:

2 3 4

5 2 2

4 ;

A x y xy

B x y xy

C x y xy

Evaluar: A B C

a) 6 7x y xy b) 6x y xy c) 3 4x y xy

d) 2 10 4x y xy e) 6x y

4.- Si: 2 4 5 1n mx y x y ; determinar: m n

a) 4 b) 5 c) 3 d)-4 e) 1

5.- Si: 1 42 5nx x se reduce a un solo término, ¿Cuál

es valor de n?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2


9

6.- ¿Cuántas de las siguientes:

1 2 1 4 x2 4 ; 2 3; 3; log 2 ; 3xx y x x x no

son expresiones algebraicas?

a)1 b)2 c) 3 d)4 e) 5

7.- Si se divide la suma por la diferencia de los

términos: 2 3 2 35 3 ,x y x y se obtiene:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) xy

8.- Si los siguientes términos son semejantes:

22 5 5 43 8m n n mx y x y Proporcionar el mayor

valor de: m n

a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

es un

VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Definición.- Es aquel valor que se obtiene al

reemplazar las variables por constantes o variables y

efectuar dichas operaciones.

Ejem: Sea ( ) 5 3P x x . Hallar:

(0); (1); ( 3)P P P x

Solución

:

0 (0) 5(0) 3 3

1 (1) 5(1) 3 8

3 ( 3) 5( 3) 3 5 18

si

x P

x P

x x P x x x

VALORES NUMERICOS NOTABLES

Si ( )P x es un polinomio, se cumple:

(0)P = término independiente

(1)P = suma de coeficientes

Ejem: Si ( 3) 5 16P x x

Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes

Solucion

Se pide (0)P + (1)P

(0)P : ) 3 0 -3i x x . Reemplazando en:

( 3 3) 5( 3) 16 1

(0) 1

P

P

(1)P : ) 3 1 -2i x x . Reemplazando en:

( 2 3) 5( 2) 16 6

(1) 6

P

P

FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE

VARIABLE X

1 2

0 1 2 1( ) ...................n n n

n nP x a x a x a x a x a

Donde:

; n n grado del polinomio

0 1 2 1, , ,.........., , :n na a a a a son los coeficientes tales

que:

0 0 :a Coeficiente Principal (C.P)

:na Término Independiente (T.I)

POLINOMIOS ESPECIALES

1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio que

tiene todos sus términos el mismo grado.

Ejem: 3 2 2 3( , ) 3 4P x y x x y xy y

2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que esta

ordenado con respecto a una variable llamada

ordenatriz, donde los exponentes de la mencionada

variable van aumentando o disminuyendo.

Ejemplos:

5 3 3 2 2 4( , ) 9 2 4 3P x y x y x y x y y

4 3 2 2 3 4( , ) 9 2 4P x y x x y x y xy y

17 12 6( ) 5 2 1Q x x x x x

3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el que

el grado de todos sus términos van desde un máximo

valor hasta el de exponente cero (término

independiente)

Ejem: 5 4 3 2( ) 9 2 4 3 5P x x x x x x

4 3 2 2 2( , ) 9 4 10P x y x y x y x xy y

Propiedad

GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

EXPONENTE QUE CARACTERIZA A LA EXPRESION ALGEBRAICA

ABSOLUTO SI SE REFIERE A TODAS LAS VARIABLE

RELATIVO SI SE REFIERE A UNA

SOLA VARIABLE

SÓLO UN TÉRMINO

TODA LA EXPRESIÓN


10

En todo polinomio completo y de una sola variable, el

número de términos es equivalente al grado aumentado

en uno.

Es decir: número de términos = Grado + 1

4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las

mismas variables son idénticos si tienen el mismo valor

numérico para cualquier valor o valores asignados a

sus variables.

Ejemplos: 2 2( ) ( 2) ( ) 2 8P x x Q x x x

3 3 2 2( , ) ( , )P x y x y Q x y x y x xy y

5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas

expresiones que son equivalentes a cero. Estando

reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a

cero. Notación: ( ) 0P x


1.- Determinar el grado de:

4 5 2 6( , ) ( ) ( )P x y x y

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 55

2.- Indicar el grado de:

2 3( ) 1 2 3 ............20N x x x x factores

a) 210 b) 220 c) 410 d)20 e) 100

3.- ¿Para qué valor de n: 2 4( ) nP x x es de 2º

grado?.

a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5

4.- Si el trinomio:

2 2 1( ) 1 4 4 4aP x a x x x a

Es de tercer grado. ¿Cuál es la suma de sus

coeficientes?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

5.- Resolver “ab” si: ( ) 18 ( ) 9GA N GR y

Siendo: 2 2, 5a a b a bN x y x y

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

6.- Efectuar ”a+b” si el grado del monomio:

2 1 3( , ) ( ) ,a bQ x y a b x y es igual a 17 y su

coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo de

“x”

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

7.- Si el monomio

72 3

3

14

.( )

n n

n

x xP x

x

es de grado 2.Calcular el valor de

“n”

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

8.- Si el monomio 2 4 3 1 5 8( , , ) 5 n n nM x y z x y z el

grado relativo a z es 12, hallar el G.A(M)

a) 13 b) 15 c) 17 d) 29 e) 19

10.- Si el grado absoluto de:

3 1 2 2 2 3 3( , ) 2n n n n n nP x y x y x y x y es 11.

Calcular el valor de n

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

11.- Si el polinomio

2 9( , ) 2 3 (2 4 )b a b aP x y a x y b x y es homogéneo

y la suma de coeficientes es 9, hallar el valor de ab.

a) -28 b)-42 c) 28 d) 42 e) 16


2 3 6 3 4( , ) 4 2 ( 1)b q a b a b a bP x y a x y b x abx y , es

completo y ordenado con respecto a x en forma

decreciente, hallar la suma de sus coeficientes.

a) 6 b) 16 c) 26 d) 28 e) 32

13.- Si 2 2 8( , ) 15 2m n m n n m n m nP x y x y x y x y

Es un polinomio homogéneo, calcular m

a) 8 b) 1/16 c) 64 d) 1/24 e) 32

14.- Sabiendo que:

2 2

( )P x ax b

P p x a x b

Hallar: P(-1)

a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2

15.- Se sabe que: ( ) 4;

9

P x ax

Q x x b

siendo ,a b

Además: 2P Q x Q P x .Calcular: (a/b)

a) 6 b) 9 c) 3/17 d) 6/9 e) 7

16.- Sea: 3 2

3 2

( ) 3 2 1 3

( ) 3

P x x a b x c x

Q x dx x a b x c

Si la suma de P(x) Y Q(x) da un polinomio

idénticamente nulo. Hallar: “a+b+c+d”

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

17.- Calcular el grado absoluto del monomio

2 2 26( , , ) . .

a b b c a cP x y z x y z .Si: 4a b b c

a) 1 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64


11


1 2 2 5( , ) a n m c a b n n aP x y bx cx y ax y ny

es homogéneo y la suma de sus coeficientes es 4.

Calcular: 2 2m n

a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25

PRODUCTOS NOTABLES

son

Por ejemplo

2 2 22a b a ab b

2 2 22a b a ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Definición.- Se denominan así a todas aquellas

multiplicaciones o potenciaciones cuyos resultados:

Productos o potencias, tienen una frecuencia que las

hace reconocibles en una inspección.

Algunos resultados mas:

1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

2 2

2 2m n m n m n

a b a b a b

a b a b a b

2.- TRINOMIO AL CUADRADO

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c a b c ab ac bc




3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

a b a a b ab b

a b a a b ab b

Ejemplo 1

Efectuar: 2 22 3 2 2L x y x y x y

Solución

Efectuando la multiplicación:

2 2

2 2 2 2

2

2 3 2 2

3 6 2 2 2

5

L x y x y x y

L x xy xy y x y

L x xy

Ejemplo 2

Calcular: 2 2 25 2 2 6 19M x x x x

Solución

Desarrollando cada potencia por separado

2 2

2 2

5 10 25

2 4 4

x x x

x x x

. Luego podemos notar:

2 2 2 2

2

5 2 10 25 4 4

2 6 29

x x x x x x

x x

Luego 2 22 6 29 2 6 19

10

M x x x x

M

Ejemplo propuestos para clase 3

Efectuar:

1.- E = (x–y)2 – (y–z)

2 + (z–w)

2 –(w–

x)2 + 2(x–z)(y–w)

Rpta.

2.-Efectuar:

E = (a+b)2(a

2+2ab-b

2) – (a–b)

2(a

2–

2ab–b2)

Rpta.

.

PRODUCTOS NOTABLES

RESULTADOS DE DETERMINADAS MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN

BINOMIO SUMA AL CUADRADO

BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO

BINOMIO SUMA

AL CUBO

BINOMIO DIFERENCIA

AL CUBO


12

3.-Efectuar:

E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)

2] +

+ (a–b) [(a+b)2 + 4(a

2+b

2)–(a–b)

2]

Rpta.

4.- Efectuar:

1563030651M

Rpta.

5.- Calcular el valor de E para 2x

E = [(x+1)2(x

2+2x–1) –

– (x–1)2(x

2–2x–1)]

2/3

Rpta.

6.- Calcular el valor numérico de:

E = (a2+b

2)3 + (a

2–b

2)3 – 6b

4(a

2–b

2)

Para a3 =2, b

3 = 3

Rpta.

7.- Simplificar:

yx

xyyxxyyE

22222 222

Rpta

8.- Calcular

33

33

721

33

721

Rpta.


1. Simplificar: E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) +

+ (z–x)(z+x–y)

a)0 b) x+y+z c) x–y+z d) x+y–z d) y+z–x

2. Simplificar:

1x

1xxxxxxxx1x1xQ

9

36136124

A) x18

+1 B) x9–1 C) x

9+1

D) 1 E) –1

3. Simplificar:

bab2babaab4E2/1

A) a B) b

C) ba D) a2

E) ba

4. Determinar el valor numérico de: (a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)

12a ; 2b ; 12c

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

5. Si:

3 111972x ;

111969y

Hallar el valor de:

x9 – 9x

3y

3 – y

9

A) 27 B) 72 C) 30

D) 20 E) 25

6. Simplificar:

E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) + (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –

–2(x2+x–10)

2 + 56

A) 5x–20 B) x2+3x–84


13

C) 3(x–10) D) Cero

E) Uno

7.- Si: a . b–1

+ a–1

b = 3; hallar el valor de: 3

2

23

2

2

11ab

ba

E

F) 27 G) 81 H) 189

I) 243 J) 486

8.- Si: 1;x y calcular 2 2

2 2x y x y

a) -1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 4

9.- Por cuanto se debe multiplicarse: 3

3

1x

x

Para obtener: 6

6

1x

x

a) 1x x b) 1x x c) 4 2x x d) 3 3x x

e) 3 3x x

10.- Simplificar 2

2: 4 2 1 2 3E x x x x x x

a) 0 b) 3 c) 2 d) 3x e) 4

11.- Si: 0x y z .Calcular:

3 3 32 2 2x y z y z x z x y

Rxyz

a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81

12.- Si: 5 5 0a c ac calcular:

5

5 5

acA

a c a c

a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81

13.- Si se cumple:

3 3 32 2 2

2 2 23

a bc b ac c ab

a bc b ac c ab

Calcular el valor numérico de:

b c c a a b a b c

a b c b c c a a b

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

14.- Simplificar la expresión:

2 2 4 4 2 2 4 4

2 2 4 4 2 2 4 4

m n m n m n m nJ

m n m n m n m n

a) 2m

n b) 2

m

n c)

m

n d) 2

m

n e) 2mn

15.- Si: 3 3

3 3

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

a

b

.Indicar el valor de:

4 2 2 4 2 23 3

64

a a b b a bR

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

EQUIVALENCIAS NOTABLES

1.- Equivalencias de Legendre

2 2 2 2

2 2 2 2

2

4

a b a b a b

a b a b a b

2.- Equivalencias de Steven

2

3 2

x a x b x a b x ab

x a x b x c x a b c x ab ac bc x abc

3.- Equivalencias de Lagrange

2 22 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2

a b x y ax by ay bx

a b c x y z ax by cz ay bx az cx bz cy

4.- Equivalencias de Argand

4 2 2 4 2 2 2 2m m n m m m n m m m n na a b b a a b b a a b b

Equivalencias Condiconales

Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

. a2 + b

2 + c

2 = –2(ab + bc + ac) .

. (ab + bc + ac)2 = (ab)

2 + (bc)

2 + (ac)

2 .

. a3 + b

3 + c

3 = 3abc

Ejemplos

1. Efectuar:

E = (x–y)2 – (y–z)

2 + (z–w)

2 –

– (w–x)2 + 2(x–z)(y–w)

Rpta

2. Efectuar:


14

E = (a+b)2(a

2+2ab-b

2) –

– (a–b)2(a

2–2ab–b

2)

Rpta.

3. Efectuar:

E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)

2] +

+ (a–b) [(a+b)2 + 4(a

2+b

2)–(a–b)

2]

Rpta.

4. Calcular el valor de E para 2x

E = [(x+1)2(x

2+2x–1) –

– (x–1)2(x

2–2x–1)]

2/3

Rpta.

5. Simplificar:

yx

xyyxxyyE

22222 222

Rpta.

6. Calcular

M= 33

33

721

33

721

Rpta.


1. Simplificar: E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) +

+ (z–x)(z+x–y)

a) 0 b) x+y+z c) x–y+z d) x+y–z e) y+z–x

2. Simplificar:

1x

1xxxxxxxx1x1xQ

9

36136124

a) x18

+1 b) x9–1 c) x

9+1

d) 1 e) –1

3. Simplificar:

bab2babaab4E2/1

a) a b) b

c) ba d) a2

e) ba

4. Determinar el valor numérico de: (a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)

12a ; 2b ; 12c

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

5. Si:

3 111972x ;

111969y Hallar el valor de: x9 – 9x

3y

3 – y

9

a) 27 b) 72 c) 30

d) 20 e) 25

6. Simplificar:

E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) + (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –

–2(x2+x–10)

2 + 56

a) 5x–20 b) x2+3x–84

c) 3(x–10) d) Cero

e) Uno

7. Si: a . b–1

+ a–1

b = 3; hallar el valor de: 3

2

23

2

2

11ab

ba

E

a) 27 b) 81 c) 189

d) 243 e) 486

8. Si:

aabcxabcx 88

babcxabcx 88

cabcxabcx 44

Hallar:

abcxabcxR

a) ab b) bc c) 2 d) 2abc e) a

2

9. Si: 33 3232E

Hallar el valor numérico de:

3 3 233EEP

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 2 e) 3 3

10. Sabiendo que: a + a–1

= 3; determinar el valor de: aaaa aaaaM 111

1

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60


15

41 42

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición.- Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relación:

. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .

Donde:

D(x) : Dividendo

d(x) : Divisor

Q(x) : Cociente

R(x) : Residuo o Resto

Propiedades de la División

Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN

MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER

Pasos a seguir:

1. Coeficiente del dividendo ordenado

decrecientemente en una variable completo o

completado.

2.- Coeficiente del divisor ordenado

decrecientemente en una variable, completo o

completado, con signo contrario salvo el primero.

3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir

la suma de los elementos de cada columna entre el

primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del

cociente se multiplica por los demás coeficientes

del divisor para colocar dichos resultados a partir

de la siguiente columna en forma horizontal.

4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar

la columnas finales una vez obtenidos todos los

coeficientes.

OBSERVACIÓN:

LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO

TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL

DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:

MÉTODO DE PAOLO RUFFINI

Pasos a seguir:

1.-Coeficientes del dividendo ordenado

decrecientemente, completo o completado, con

respecto a una variable.

2.- Valor que se obtiene para la variable cuando el

ALGEBRA

II Bimestre


16

divisor se iguala a cero

3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de

sumar cada columna, luego que el coeficiente

anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en

la siguiente columna.

4.- Resto de la división que se obtiene de sumar la

última columna

OBSERVACIÓN:

SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES

DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE

OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE

VALOR.

TEOREMA DEL RESTO

Se utiliza para obtener el resto de una división.

Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la

mayor potencia de la variable, para que sea

reemplazada en el dividendo.

OBSERVACIÓN:

DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE

COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO

OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.

Ejemplo:

2

1023

xxx

Resolución:

d(x) = x – 2 = 0 x = 2. Reemplazo “x” en D(x):

R(x) = (2)3 + 2(2) – 10 R(x) = 2

Ejemplos para clases

1. Sea R el resto y Q el cociente de la división:

32

222323

234

xxxxx

Hallar Q + R

Rpta.

2. Al efectuar la división:

3x4x

baxbxaxx2

234

El residuo, es (–6x–7), hallar: (a.b)

Rpta.

3. En la división exacta:

anxxbaxnxx

2

32

23

Hallar: E = a9 + b

6

4. Si al dividir:

132

52522

234

xxmxxx

Los coeficientes del cociente son iguales, hallar el

resto.

Rpta.

5. El residuo de la división:

22

5322345

y3xy3x2

y4yxyx17yx5x6


17


1. Hallar el residuo de la división:

24

23552823

2345

xxxxxxx

a) 1 b) x c) x2

d) x + 1 e) x2 + 1

2. Hallar el valor de (k + m) para que la siguiente

división sea exacta:

1

5524

2345

kxxaxmxaxxax

a) 5 b) 1 c) 6

d) 2 e) 4

3. El polinomio

P(x) = 2x6–x

5–11x

4+4x

3+ax

2+bx+c

Es divisible separadamente entre los

binomios (x–1), (x+1) y (x2–3); según esto,

¿Cuánto vale a+2b+3c?

a) 25 b) –17 c) –15

d) 20 e) 18

4. Calcular la suma de coeficientes del polinomio

cociente, que se obtiene de la siguiente división:

6 x 5 x

1 x 2 x x2

5273

a) –69 b) 69 c) –65

d) –63 e) 63

5. Sabiendo que el resto de la siguiente división:

8x5+4x

3+mx

2+nx+p entre

2x3+x

2+3, es: R(x) = 5x

2–3x–7; calcular el valor de:

(m+np)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Encontrar la relación entre “p” y “q” para que: x3 –

3px + 2q; sea divisible entre (x+a)2

a) p = q b) p2 = q c) p

3 = q

2

d) p = 2q e) p = –q

7. Dar la suma de coeficientes del cociente de la

siguiente división indicada:

321

364914 246

xxxxxx

a) 24 b) 22 c) 20

d) 23 e) 26

8. Al efectuar la división indicada: se obtiene

como residuo (x – 2). Determinar el resto que

se obtiene al efectuar: 12

3

x

xP

a) x b) x + 1 c) x – 2

d) 3x – 2 e) 11x –2

9. Calcular: ab ab3 ; sabiendo que al dividir: (ax2 –

ax – 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto ”2b” y

además el término independiente del cociente es (–

4a)

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

10. Al dividir el polinomio:

P(x) = 2x5–3x

4–x

3+1

entre x3+x

2+bx+b

Se obtiene del resto R(x). Hallar el resto de dividir

dicho resto entre x+1

a) –6 b) –1 c) –3

d) 1 e) 4

11. Al efectuar la división: 4 3 2

2

6 5

2 1

x Ax Bx Cx

x x

Se obtiene un residuo igual a 3 2x .Si la

suma de coeficientes del cociente entero es 5,

calcular el valor de: /A B A

a) 1 b) -1 c) -2 d) -3 e) 3

12. Calcular el valor de A B si la división:

4 3 2

2

6 14 5

2 5

x Ax x Bx

x x deja como residuo:

3 5x


18

51

a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13

COCIENTES NOTABLES

Definición.- Son aquellos cocientes que se pueden

obtener en forma directa sin necesidad de efectuar

la operación de división.

Condiciones que debe cumplir: yx

yx mm

Donde

x; a bases iguales

m Z+; m 2

CASOS

1. Si: R = 0 xqyxyx nm

cociente entero

o exacto (C.N.)

2. Si: R = 0 yx

xRxq

yxyx nm

cociente completo

También según la combinación de signos se puede

analizar 4 casos.

DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES

DIVISIÓN

INDICADA

COCIENTES n Z+

yxyx nn

=xn-1

+xn-2

y+xn-3

y2+...+y

n-1+; n (C.N.)

yxyx nn

=x

n-1+x

n-2y+x

n-3y

2+...+y

n-1+

yxy n2

; n (cociente

completo)

yxyx nn

ompletocociente cn par ;

yx

yy...yxyxx

C.N.imparn;y...yxyxxn

nnnn

nnnn

212321

12321

yxyx nn

ompletocociente cn impar ;

yx

yy...yxyxx

C.N.parn;...nyyxyxxn

nnnn

nnnn

212321

12321

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA

OBTENER UN C.N.

De: qp

nm

yx

yx se debe cumplir: r

q

n

p

m; r Z

+

FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.

Es una fórmula que nos permite encontrar un

término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin

necesidad de conocer los demás.

De la división: yx

yx nn

a) Si d(x) = x – y: . tk = xn–k

yk–1

.

b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1

xn–k

yk–1

.

Donde:

tk término del lugar k

x 1er. término del divisor.

y 2do. término del divisor.

n número de términos de q(x)

Ejemplos:

43223455

yxyyxyxxyxyx

(C.N.)

yx

yyxyyxx

yx

yx 43223

44 2

(Cociente Completo)

86336633

1212

yyxyxxyx

yx (C.N.)

TAREA DE CLASE

1. Efectuar:

24677

2221

1

1

1xxx

xx

xx


19

Rpta.

2. Reducir aplicando cocientes notables,

indicando el número de términos del cociente.

1...

1...4242832

2666870

xxxxxxxx

Rpta

3. Hallar el valor de (m + n), si el t60 del desarrollo de:

nm

nm

yx

yx42

296148

Es x140

y1416

, si es cociente notable

Rpta.

4. Sabiendo que: n2 – 31

n + 234 = 0; hallar el número

de términos de la siguiente división exacta.

2

1

yxy

yyx nn

Rpta.

5. Hallar el valor numérico del término de lugar

29 del C.N.

3x2

x3x 3636

, para x = –1


1. Hallar el quinto término del desarrollo:

3515

73

yx

yx

a) 35 y b) 35 5y c) 15 4y

d) 35 5y e) 15 4x

2. El término independiente del desarrollo:

xx

xx

1

2

1

64 6

6

; es:

a) 1 b) No existe c) 3

d) 4 e) 2

3. Simplificar:

1...

1...

1...

1...

8910

54550

34

113344

xxxxxxx

xxxxxx

M

a) 2 b) 3 c) 1

d) 4 e) 5

4. Obtener el 20avo. término del desarrollo del

cociente notable.

11

2310

2

x

xx

a) x–1 b) 2 c) 3

d) 1 e) 4

5. Qué lugar ocupa dentro del desarrollo del cociente

notable:

52

1090436

yx

yx

El término que contiene a “x” e “y” con exponentes

iguales.

a) 67 b) 66 c) 65

d) 64 e) 63

6. Si la división siguiente:


20

59

2

8n

2

6n

22n63n6

ax

ax

Es un cociente notable, hallar el número de

términos de su desarrollo

a) 25 b) 24 c) 26

d) 27 e) 28

7. Se sabe que el resto de la división:

nn

mm

zxzx

Es cero, según esto ¿Cuántos términos tiene

el cociente?

a) mn b) mn–1

c) m–1

n

d) nm

e) mn

8. Reconocer el 5to. término del siguiente

cociente notable, si se sabe que al 3ero. es

x36

y2

yx

yx nm

2

a) x30

y6 b) x

36y

4 c) x

32y

4

d) x32

y6 e) x

34y

2

9. Efectuar y simplificar:

1

1

1

1

11

23

nnn

n

n

n

xxxx

xx

a) xn+1 b) x

2n–1 c) x

n–1

d) x2n

+2 e) x2n

+1

10. Hallar “n” si l décimo término del desarrollo:

5

153

yx

yx nn

; tiene grado absoluto: 185

a) 40 b) 27 c) 45

d) 60 e) 50

11. Si la siguiente división:

5 12 4n p

n p

x y

x y; genera un

cociente notable, donde uno de los términos en su

desarrollo es: 24 3x y .Calcular “np”

a) 12 b) 15 c) 24

d) 36 e) 48

FACTORIZACIÓN

Definición.- Proceso inverso de la multiplicación por

medio del cual una expresión algebraica racional entera

es presentada como el productos de dos o más

factores algebraicos.

Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor

de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual

también es llamado divisor.

Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel

polinomio que no se puede descomponer en otros

factores. Racionales dentro del mismo campo.

Ejemplo:

El proceso

x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

es una multiplicación.

En cambio el proceso

x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)

es una factorización

Donde:

(x + a), (x + b), son factores primos.

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Factor Común Monomio

Consiste en extraer la parte que se repite en

todos los términos para lo cual se extrae la

expresión repetida, elevada a su menor exponente.

Ejemplo:

Factorizar E = 7x5y

5 – 2x

3y

3 + x

2y

2

El factor común monomio será x2y

2. Ahora

dividiremos cada uno de los términos cada uno de

los términos entre dicho factor común, para lo que

queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se

tendrá:


21

61

Factor Común Polinomio

Se usa este método cuando el polinomio posee un

factor común de 2 o más términos. Por lo general, se

encuentra luego de agrupar términos y bajo los

siguientes criterios:

- De acuerdo al número de términos

Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos

agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.

- De acuerdo a los coeficientes de los términos:

Ejemplo:

Factorizar

E = x12

+ x8y

4 + x

4y

8 + y

12

Como no hay factor común monomio podemos agrupar

los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada.

En cada uno de los tres grupos:

E = x6(x

4 + y

4) + y

8(x

4 + y

4)

Factor Común Polinomio (x4 + y

4). Ahora dividamos

cada agrupación entre el factor común polinomio.

Los factores primos no se pueden descomponer en

nuevos factores, tiene un único divisor que es sí mismo

Esta expresión tendrá 2 factores primos

Método de las Identidades

Aplicación de identidades notables para estructuras

conocidas.

Recordemos los siguientes:

A) Trinomio Cuadrado Perfecto

A2 2AB + B

2 = (A B)

2

OBSERVACIÓN:

EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL

DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUADRADO, SE

CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO

DE LA RAÍZ DE DOS DE SUS TÉRMINOS ES IGUAL AL

TERCER TÉRMINO:

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en

binomio al cuadrado.

B) Diferencia de Cuadrados

A2 – B

2 = (A + B) (A – B)

Ejemplos:

1. Factorizar: x4 – 4b

2

solución:

Se tiene: (x2)2 – (2b)

2 = (x

2 + 2b) (x

2 – 2b)

2. Factorizar: x2 + 2xy + y

2 – z

6

solución:

x2 + 2xy + y

2 – z

6 (x + y)

2 – (z

3)2 = (x + y + z

3)

(x + y – z3)

C) Suma o Diferencia de Cubos

A3 B

3 = (A B) (A

2 AB + B

2)

Ejemplo:

Factorizar: 27x3 – 8

solución:

(3x)3 – 2

3 = (3x - 2) (9x

2 + 6x + 4)

ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar expresiones trinomios

o aquella que adopten esa forma:

Ax2m

+ Bxmy

n + Cy2

n


22

62

Ejemplos:

Factorizar: a2 + b

2 + 3a + 3b + 2ab - 28

(a + b)2 + 3(a + b) – 28 (a + b + 7) (a + b – 4)

ASPA DOBLE

Se utiliza para factorizar polinomios de la

forma: Ax2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F

Ejemplos:

1. Factorizar:

La expresión factorizada es:

(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)

2. Factorizar:

La expresión factorizada es:

(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)

ASPA DOBLE ESPECIAL

Se utiliza para factorizar polinomios de la

forma:

Ax4 + Bx

3 + Cx

2 Dx + E.

Regla:

1. Se descompone el término de mayor grado y el

término independiente, se calcula la suma del

product6o en aspa.

2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que

haga falta para ver el término central. La expresión

agregada es la que se descompone para

comprobar los otros términos del polinomio

Ejemplo:

1. Factorizar

MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

Con éste método se busca uno o más factores

binomios primos

Consideraciones:

1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de

P(x).

2. Los demás factores se encuentran al efectuar:

0xxxP

3. Los valores que anulan a P(x); se pueden

encontrar:

ceros

Posiblesx Pincipal deCoef. Divisores

xde PT. indep. Divisores x

Pr0

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = x3 + 6x

2 + 11x – 6

1

6

Divisor deDivisores

erosPosibles c

Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)

Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini


23

R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego

un factor es (x . 1)

Luego: P(x) = (x +1) (x2 – 5 x + 6)

x –3

x –2

P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)

TAREA PARA LA CLASE

1. Factorizar e indicar un factor de:

3a2 – 6ab + 3b

2 – 12c

2

Rpta.

2. (a2 + b

2) (a1

2 + b1

2)–(aa1 + bb1)

2 es

equivalente a:

Rpta.

3. Indicar un factor de:

(x3–x

2+x–

1) (x+1)(x

4+1) + x

4 + 2 (x

3 – x

2 + x –

1)

Rpta.

4. Factorizar e indicar la suma de sus factores

primos

2(a + b)2 + c(3c + 5a) + 5bc

Rpta.

5. Cuantos factores admite

25(a4 + b

4)2 – 16(a

4 – b

4)2

Rpta.

6. Si a uno de los factores de:

(x+1)3 + (x+2)

3 + (x+3)

3 – (2x+1) (x+9) – 21

Se le evalúa para (x = 2), se obtiene 7; indicar el

valor que arroja este mismo factor para x = 4.

Rpta.

7. Factorizar e indicar el número de factores

binómicos:

(2x4–1)(2x

4–2)+(2x

4–2)(2x

4–3) +

+ (2x4–3) (2x

4–1) + 1

8. Determinar el número de factores binómicos

de:

xn+2

– xn + x

3 + x

2 – x – 1; n N

Rpta.

9. Cuántos factores primos de primer grado admite:

a2(b–c) + b

2(c–a) + c

2(a–b)

Rpta.

10. Factorizar:

x4 – 3x

3 – 7x

2 + 27x - 18

Indicando la suma de sus factores primos.


24


1. Cuántos divisores admite:

x10

+ x9 + x

6 + 3x

5 + x

4 + x + 1

a) 12 b) 11 c) 10

d) 9 e) 8

2. Indicar uno de los cuatro factores de:

x8 + x

4 + 1

a) x2–x–1 b) (x

2– 3 x+1)

c) x2+1 d) x+1

e) x–1

3. Factorizar

(x+1)(x+3)(x–2)(x–4) + 24

e indicar la suma de los coeficientes de uno

de los factores

a) 41 b) 5 c) –8

d) –7 e) –6

4. Factorizar:

4x2 – 15y

2 + 17xy + 12x – 9y

e indicar la suma de sus factores primos

a) x–5y–3 b) x3+3y

c) x+y+1 d) 5x+2y+3

e) 5x–2y–3

5. Indicar el número de factores primos en:

(x2+7x+5)

2 + 3(x

2+1) + 21x + 2

a) 1 b) 3 c) 2

d) 4 e) 5

6. Los polinomios

P(x) = x4 + 2x

3 – x – 2

Q(x) = x3 + 6x

2 + 11x + 6

Tienen un factor común. Indicar la suma de

coeficientes de dicho factor común

a) –1 b) Cero c) 3

d) 4 e) 5

7. Si: A(x) = x2 – 4x + m + 1

B(x) = x2 – (m+1)x + 4

Admiten un factor común lineal, halle “m”, si A(x)

B(x) m Z

a) 0 b) 3 c) –2

d) –10 e) –6

8. Un factor primo de:

A(x) = x10

+ x2 + 1; es:

a) x3+x+1 b) x

4-x+1

c) x6–x

4+1 d) x

2+x+1

e) x5+x+1

9. Cuantos factores lineales admite:

5 3 24 4P m m m m

a) 5 b) 4

c) 3 d) 2

e) 1

10. Si: 2 2 2

2

x a c b b a c c b a

y c b a ab ac bc

Calcular /x y

a) 2 b) 2(a+b)

c) 1 d) (a-b)

e) -1

11. Uno de los factores primos de:

3 10 7 6 11 2( , ) 626 625P x y x y x y x y es:

a) x+2y b) 5x+2y

c) 2x y d) y+5x

e) x+1

12. La suma de coeficientes de un factor primo

de: 4 2 2( , ) 2 4 50P x y x y x y xy x y

es:

a) 17 b) 11

c) 15 d) 26

e) 10

13. Factorizar: 4 2 2( , ) 3 2P x y x x y y

señalando el termino independiente de un

factor.

a) 1 b) -1

c) 2 d) -2

e) 3


25

M.C.D. – M.C.M. – FRACCIONES

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Definición.- El Máximo Común Divisor de 2 o más

polinomios es otro polinomio que tiene la característica

de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se

obtiene factorizando los polinomios y viene expresado

por la multiplicación de factores primos comunes

afectado de sus menores exponentes.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

Definición.- El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más

polinomios es otro polinomio que tiene la característica

de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene

factorizando los polinomios y viene expresado por la

multiplicación de los factores primos comunes y no

comunes afectados de sus mayores exponentes.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:

A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (x–2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x

2+1)

3 (x–2)

4 (x+5)

8

C(x) = (x+5)4 (x

2+1)

2 (x–2)

3 (x+3)

3

Rpta: como ya están factorizados el:

M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)

2 (x–2)

M.C.M. (A,B,C) = (x2+1)

6 (x–2)

4 (x+3)

4 (x+7)

6 (x+5)

6

Propiedad:

Solo para dos polinomios: A(x), B(x).

Se cumple:

M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción Algebraica

Definición.- Una fracción algebraica, se obtiene

como la división indicada de dos polinomios N(x) y

D(x) siendo D(x) polinomios no constantes.

Denotado: xDxN

Donde:

N(x): polinomio numerador (no nulo).

D(x): polinomio denominador (no constante)

Ejemplo:

2

12

xx

; 2

17

4

x

x;

4

4822

xxx

Signos de una Fracción

a) Signo del Numerador: +

b) Signo del Denominador: –

c) Signo de la fracción propiamente dicha: –

yx

F

ALGEBRA

III Bimestre


26

73

OBSERVACIÓN:

SI INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN

MISMO SIGNO EL VALOR DE LA FRACCIÓN NO SE

ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:

yx

yx

yx

yx

F

También:

BA

BA

BA

Ejemplo: Sumar: x 0

yx

y

yx

x

xy

y

yx

xS

1yx

yxS

Ejemplo:

Simplificar

6116

1923

2

xxx

xxF

solución:

Factorizando y Simplificando:

2

3

321

133

xx

xxxxxx

F

OPERACIONES CON FRACCIONES

1. Adición o Sustracción

Se presentan los siguientes casos:

A) Para fracciones homogéneas:

Ejemplo:

2222 x

zyx

xz

x

y

xx

B) Para fracciones heterogéneas:

Ejemplo:

bdfbdebfcadf

fe

dc

ba

C) Para 2 fracciones

Regla practica:

ywyzwz

wz

yx

2. Multiplicación

Ejemplo:

fdbeca

fe

dc

ba

..

.....

7

7

7

1.

2.

2

7.

1 xx

xx

xx

xx

xx

3. División

Ejemplo:

c

d.

b

a

d

c

b

a…. Invirtiendo

bcad

dcba

TAREA DE CLASE

1. Hallar el M.C.D. de: P = 20x4 + x

2 – 1

Q = 25x4 + 5x

3 – x – 1 y R = 25x

4 – 10x

2 + 1

Rpta.

2. Hallar el M.C.M. de: P = x2 – 2x – 15

Q = x2 – 25 y R = 4ax

2 + 40ax + 100a

Rpta.

3. Hallar el M.C.D. de los polinomios:

P(x) = x3 + 5x

2 – x + 5 , Q(x) = x

4 + 2x

3 – 2x – 1


27

4. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:

P = 3x3 + x

2 – 8x + 4 y Q = 3x

3 + 7x

2 – 4

E indicar el producto de sus factores no comunes

Rpta.

5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:

P(x) = x4 – 11x

2 – 18x – 8 , Q(x) = x

4 – 1

R(x) = x3 – 6x

2 + 32

Rpta.

6. El producto de dos polinomios es:

(x6 – 2x

3 + 1) y el cociente de su M.C.M. y su

M.C.D. es (x–1)2. Hallar el M.C.D.

Rpta.

7. Hallar la suma de los términos del M.C.D. de

los polinomios:

P(x,y) = x3 –xy

2 + x

2y – y

3

Q(x,y) = x3 – xy

2 – x

2y + y

3

R(x,y) = x4 – 2x

2y

2 + y

4

Rpta.


1. Hallar el M.C.D. de:

P(x) = x3 – 1 y Q(x) = x

4 + x

2 + 1

a) x2+x+1 b) x

2+1

c) x–1 d) x2–x+1

e) x2–1

2. Hallar el número de factores primos en que se

descompone el M.C.M. de lños polinomios

P(x) = x2 – 3x + 3, Q(x) = x

2 – 5x + 6 y

R(x) = x2 – 4x + 3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. El M.C.D. de:

x4 + 2x

3 – px

2 + qx + r y x

3 + 7x

2 – qx + 20

es (x2+3x+5), hallar: pqr.

a) –340 b) 340 c) 680

d) –680 e) 170

4. El producto de dos polinomios es: (x2–1)

2 y el

cociente de su M.C.M. y M.C.D. es (x–1)2. Calcular

el M.C.D.

a) x+1 b) x2+1 c) –(x+1)

d) x–1 e) –(x–1)

5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:

x3 + 9x

2 + 24x – 24 y x

3 + 2x

2 – 13x + 10

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

6. Al simplificar:

4 2 2

2 3 2

27 20 100 100.

7 30 3 9 3

a a a a a

a a a a a a

Obtenemos:

a) 10

3

aa

b) 10

3

aa

c) 3

3

aa

d) 10

3

aa


28

e) 1

7. Hallar el valor de E en la expresión:

baxbax

bxax

E2

23

Para: 2

bax

a) 1 b) a+b c) a–b

d) (a–b)3 e) Cero

8. Simplificar:

xybbybxaxya

abxy4baxyyxabM

222

22

a) ax+by b) ax–by

c) byax

byax d)

byax

byax

e) 1

9. Calcular el valor de la expresión:

M= nana

mama

2

2

2

2 Cuando:

bmmn

a4

a) 1 b) Cero c) 4mn

d) m+n e) 2

10. Si:

bcacb

x2

222

22

22

acb

cbaz

Calcular:; xzzx

E1

a) Cero b) 1 c) a+b+c

d) abc e)

abc1

11. Calcular n-k+c si:

2

22

5 12 13

7 5 37 5 3

x x n kx c

x x xx x x

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12. Luego de simplificar la fracción:

22

22

5 36

6 25

x x

x x

sus términos suman:

a) 2 2x b) 10 x c) 12

d) 10 12x e) 22 10x x

BINOMIO DE NEWTON

FACTORIAL

Definición.- El factorial es un operador exclusivo de

números naturales. Matemáticamente se define:

2n/Nn;xn.....x3x2x1n

22

63x2x13

244x3x2x14

Propiedad:

1. 1nnn

Ejem: 7 6 7 6 6 6 6

2. 1 1

3. 0 1

Observación: Existen 2 operadores mas ; los cuales son:

)n2(x....x8x6x4x2n2

nx2n2

)xn2(x).....3x2(x)2x2(x)1x2(n2

n

Cofactorial:

)1n2(x.......x7x5x3x11n2

n2

1n21n2

n

Propiedad:

1n1n.n


29

NÚMERO COMBINATORIO

Definición.- Siendo n y k números naturales, la

notación n

kC que denota: Combinatorio de n en k y se

define de la manera:

, 0n

k

nC n k k n

n k k

Propiedades Básicas:

1) 1C:nC;1C n

n

n

1

n

0

2) Complemento:

n

kn

n

k CC

3) Degradación:

1n

1k

n

k Ck

nC

4) Reducción:

1n

1k

n

1k

n

k CCC

BINOMIO DE NEWTON

Definición: Es una expresión matemática que tienen la

forma de una función polinomial.

Es un binomio de la forma:

(a+b)n , para n = 0,1,2,3,.......

Sabemos:

nonn

22nn2

1nn1

onno

n

3233

222

1

0

baC....baCbaCbaC)ba(

bab3ba3a)ba(

bab2a)ba(

ba)ba(

1)ba(

.

.

.

en forma polimonial:

Zn

1 2 2

1 2( , ) ( ) .....n n n n n n n n n

o nP x a x a C x C x a C x a C a

Ejm:

44

4

34

3

224

2

134

1

44

0

4 aCxaCaxCaxCxC)ax(

5

a

4

xa4

3

ax6

2

ax4

1

x)ax(

4322344

Para n =4 5ObtuvoSeTérminos

En general:

Un polinomio: P (x + a)n Tiene (n + 1) Términos

Un binomio: (x + a) n . Tiene (n + 1) Términos

Ejem:

P (x + a) = (10x + 3a) 5

Tiene 5 + 1 = 6 Términos

Término General:

Contenido de Izquierda a derecha:

kknn

K1K axCT

donde:

T K+1 es el término de lugar ( k+1)

Ejm:

En el desarrollo de P (x,a) = ( x2+a

3) 6

, determine el

tercer termino

Solución:

686

2

23426

2123 axC)a()x(CTT

Contando de derecha a izquierda:

knkn

K1K axCT

donde:

T K+1 es el término de lugar ( k+1)

Ejm: En el desarrollo de P (x,a) = ( x3+a

2) 5

, determine

el término de lugar con respecto al final.

Solución:

495

3

22335

3134 axC)a()x(CTT

Término Central:

El desarrollo del binomio tendrá un único término

central en cambio si “ n ” es par, luego la posición que

ocupa este Término es:

11

n . 2

n

2

n

n

2

n)1

2

n(

axCTTc ; n es par


30

Ejem: En el siguiente problema; Determinar el término

Central del desarrollo de:

P(x; a) = (x2 + a)

6

Como : n = 6

n es par la posición será 32

n;1

2

n

6 2 3 3 6 6 3

3 31 ( ) ( )2

nTc T C x a Tc C x a

Sabemos:

Propiedades:

1. (a+b) n tiene (n+1) Términos.

2. Exponente de a van

disminuyendo de n hasta 0

Exponente de b van aumentando de 0 hasta

3. En cada término , la suma de exponentes de a y b

es igual a “n”.

4. Coeficientes del 1° y último Término son iguales a

1.

Coeficientes del 2° y penúltimo término son iguales

a “n”.

En general: los coeficientes son SIMÉTRICOS.

Definiciones Previas Combinatorios:

- !nn

nx....x2x1n

- nkosiendoCC n

kn

n

k

- n

kCk

n

TAREA DE CLASE

1. En el desarrollo del Binomio:

14

x

1x

¿Qué lugar ocupa el término de 2do grado?

Rpta.-

2. Señale el término independiente de x en el

desarrollo de:

92

5.0

x

x

5.0

Rpta.-

3. Hallar (n+k,) si T3= 405 xk al desarrollar :

n2 )3x(

Rpta.-

4. Calcular (n +m). Si:

14mn

8

Rpta.-

5. Efectuar: 98710

Rpta.-

6. Hallar (k+n) si:

2

n228

3

n43

1k2

2111

k2

227

36

6

3

ax20Tc

201x2x3

4x5x6C

!! 1 1

!

( ) ! ! !

( ) ! ! ! 1 1

a aa b

b b

axb a x b

a b a b a b


31

7. ¿Qué valor asume “n” en : (xn

+ x-2

) 17

de modo

que el producto de los términos centrales sea

constante?

Rpta.-

8. Al efectuar:

n12n2n2 )x1()1x()xx( Se obtiene 31

términos. Halle el segundo término.

Rpta.-

9. Determine la suma de los coeficientes del

desarrollo de:1n24 )xynx( , sabiendo que uno

de sus términos admite como parte literal x9y

10

Rpta.-

10. ¿Qué lugar ocupa el Término que tiene como

grado absoluto 17 ; en el desarrollo de:

142 )y2x(

Rpta.-

11. Calcular el valor de “n” para que el décimo

término del desarrollo de:

15

n

2

3 xcontenga,x

1x

Rpta.-


1. Reducir:

1xx

1xx

22

22

a) x b) x-1

c) 1 d) xx e) x2

2. Hallar el valor de “n”

)2n2(99)!n2()!1n2(

)!n2()!1!n2(

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3. Siendo : 42!b!a

!10

Calcular: ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4. Si se cumple que:

1

2!x

2

2!x

3

3!x

Calcular : (x + 1)!

a) 60 b) 24 c) 6 d) 20 e) 720

5. Indicar el valor de “k” en el desarrollo de (x + 1)36

. si

los términos de lugar k-4 y k2, tienen igual

coeficientes.

a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 10

6. Si el grado absoluto del Término en el desarrollo

de:

30es)cba( n2

Hallar el grado absoluto del término central.

a) 28 b) 27 c) 26 d) 25 e) 24

7. Dado el binomio (x + a)4.

Calcular: 42 T.T

a) 44ax16 b)

44ax4 c) 33ax16 d)

33ax4 e) 4xa

8. En el desarrollo del binomio (x5+x

3) 10

. Calcular el

séptimo término.

a) 32x210 b)

34x210 c) 36x210 d)

38x210

e) 32x200


32

5039nn....33221

Radicando

9. ¿Qué lugar ocupa el término cuya suma de

exponentes de x e y sea 48 con el desarrollo del

binomio. (x2+ y

3) 18

.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. Dado el binomio n14 )xx( .Hallar “n” para que

el 5to término resulte del 1er grado.

a) 12 b) 14 c) 18 d) 20 e) 24

11. Dado el binomio

n

2x

x

1el término de lugar 17

es de la forma .xCT 2n

1617

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

12. Indicar el valor de “m” es (x7+ y

m) 25

si el término de

lugar 14 es de la forma: .yx 3984

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13. Si en el desarrollo del binomio (3x3 + 2x

-1y

2) n existe

un término cuyas potencias de “x” e “y” son

respectivamente 5 y 8 encontrar el número de

términos del desarrollo.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6

14. Calcular el quinto términos del desarrollo de:

8

x

4

4

x

a) 59 b) 69 c) 70 d) 71 e) 19

15. Halla el valor de “n”

a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9.

16. Dar el número de términos del desarrollo de:

.)zyx( 6

a) 28 b) 56 c) 7 d) 21 e) 30

RADICACIÓN

Definimos la raíz n-ésima principal de un número real “a” denotado por :

n a

Sea: 0by0adondebaba nn Si

“n” es par y a , b son números reales arbitrarios si “n” es impar:

El símbolo n a para la raíz n – ésima principal de a se

le llama RADICAL ; el entero “ n ” es el INDICE y “ a ”

es el RADICANDO.

n a

Propiedades básicas de los radicales:

Sean n 2 y m 2 enteros positivos y a , b son

números reales, si todos los radicales están definidos.

Tenemos las siguientes propiedades:

1) nnn baab

2) n

n

n

b

a

b

a

3) mnn m )a(a

4) mnm n aa

Operaciones:

Sea: .Radicalesn

xxxx

21

1.2

1x2

1

2/1

1

xxxx1n

22

12

2x2

n.2x2

4/34 3

2

xxxxxx2n

Índice


33

5 4 3 n46n2n

)x( x2x3x4x5M

1X x1xx

xx 1xxx

xA

23

1.2

2x2x2

12x2x2

8/78 7

3

xxxxxxx3n

.

.

n2

12

.Radicalesn

n

xx.....xxnn

Si tenemos :

?aaa2 3 4

a a a1 3 1 4 1

X +

(Multiplica y se suma)

(1x3+1) 4+1 = (4x4) +1 = 7

en el denominador : 2 x 3 x 4 = 24

24

17

a 3 4 aaaa

TAREA DE CLASE

1. Calcular x – 2y si: 2

15 62 8 y 3 81x y x y

Rpta.- 2. Calcular ab si:

14 32 8 y 3 3 9

b a b aa b a b

Rpta.-

3. Si:2aa 32163 . Calcular “ x ” en:

1289a1x

1a 2

Rpta.- 4. Calcular “ x ” si:

Rpta.-

5. Calcular “ x ” si: 63x8x8n3n3

Rpta.- 6. Para que sea el valor de “ n ” la expresión: Resulte ser un monomio de 2° grado. Rpta.- 7. Reducir: Rpta.-

8. Reducir: 3 3 3 432 ......xxxxR

Rpta.-

9. Resolver:

22)22

x(2x

2.x

Indicando el valor de:

)1xx)(1xx( 22

Rpta.-

10. Efectuar:

2

1

aa

ax ax3x2xx

xx

x....xxxK 2x 3232x

2x2


34

6228)2(B;8A

8

Rpta.-

11. Si: 1XXXa Hallar

x 1x axR

Rpta.- 12. Si al Reducir

Radicales20

x........xxx

El exponente final de “ x ” es de la forma ;

20

20

n

1n; n N. Halle : “ n ”

Rpta.- 13. Si se cumple que:

Calcular: 32aa

Rpta.- 14. Si:

2

2x x

Calcular: x.)2(243 )2()2(

Rpta.-

15. Racionalizar: 33 18122

10

Rpta.-


1. Si: m = X

x122x

5P

;5n;5

Hallar “ x ” en P nm 232

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Indicar la mayor solución al resolver:

5

x

5

x21

5

x2

)6(13)2(6)3(2

a) -5 b) -10 c) 10 d) 2 e) 5

3. Calcular “ x ”Si:

511x2x2n3n3

a) 1n4 b)

1n8 c) n16 d)

1n2 e) 1n8

4. Calcular: 1b1a

abbaM

Si: 2

1a;5b

ba

a) 57 b) 50 c) 58 d) 62 e) 64

5. Si: Calcular: A

B

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1/4

6. Evaluar:

122

2 2

2

22

a) 1 b) 2 c) 2 d) 22 e) 4

7. Efectuar:

3 3

3 3

4 )21(

12 )122(

2

2

a) 2 b) 2 c) 3 2 d) 3 4 e) 3 2 +1

8. Si: abba aba.b

Halle el equivalente de:

11....66a........55253


35

.....xxxxxxX

...

X1X1

b1 a1a.bE

a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 4

9. Reducir:

1a1a

a1a a

44

44

a) 1 b) 2 c) 4 d) ½ e) ¼

10. Obtener

3 3319 1313 9.3

a) 3 3 b) 3 c) 3 d) 33 e) 3 3 3

11. Resolver:

x

1

x3

4x

1

x

1

3x

1

Siendo: x 1 a) 4/3 b) 2 c) 3/2 d) 5 e) 3

12. Hallar “ x ” en :

2

4x

1

x xx

1x

2

a) ½ b) -½ c) ¼ d) -¼ e) 1/16

13. Resolver:

a) ½ b) ¾ c) 8/27 d) 4/9 e) 2/3

14. Hallar “ x ” en:

0x,x39x 34

3

6

3

4

3

a) 3/3 b) 1 c) 3 d) 3 e) 3 3

15. Calcular:

Radicales15

x......xxx

a)15

14

2

12

x b) 16

16

2

12

x

c) 15

15

2

12

x d) 12

1215

15

x e) 15

15

2

12

x

16. Calcular:

2611E

a) 23 b) 223 c) 33 d) 23

e) 223 17. Calcular:

7 333

3 222

XXX

XXXE

a) 24

15

x b) 12

11

x c) 24

19

x d) 12

13

x e) 24

13

x

18. Hallar “x ”

xxx

x

2

1

x64

16x

a) 2 b) 4

c) 8 d) 16

e) 32 19. Evaluar:

122 2 2 22

2

a) 1 b) 2

c) 2 d) 22

e) 4 20. Hallar “ a ” Si:

n......1212a3

Siendo : 3n = .....662

a) 4 b) 3

c) 8 d) 5

e) 6


36

2 2 2 3 ( )

2 4 2 3 3 1

3 1 3 1

2 22

L Artificio

L

L

RADICALES DOBLES

Tiene la expresión: Ba (A B +)

es llamado radical doble.

Ejm: 75;32 Son ejemplos de radicales

dobles.

En algunas ocasiones es necesario expresar un radical

doble como la suma de dos radicales simples (es decir

BA ) el proceso mediante la cual esto es llevado a

cabo se llama transformación de radicales dobles a simples.

Nos preguntamos cuando es posible descomponer un

radical doble en la suma de dos radicales simples, el

siguiente teorema establece para que esto sea posible.

Teorema:

Si BAC2

es un cuadrado perfecto entonces

2

CA

2

CABa

Transformación de un Radical doble de la forma

B2a en radicales simples

yxB2a ; x y

Donde:

x . y = B x + y = A

Ejm:

271429

15526

32L

TAREA DE CLASE

1. Hallar: “x” )1x(248216

Rpta.:

2. Si: x63425 . Hallar “x”

Rpta.:

3. Efectuar: 625

2223E

Rpta.:

4. Calcular “M” si la expresión:

)1xx(X22M

Siendo x 1

Rpta.:

ALGEBRA

IV Bimestre


37

5. Determinar el valor de “M”

13

M24583

Rpta.:

6. Dada un función que depende de x:

1)n(2x;1xx)x(f 2

Hallar la suma de 3 primero términos, siendo n N.

Rpta.:

7. Si: 5M5M)M30(2

Hallar “M”

Rpta.:

8. Si C es un cuadrado perfecto BAC 2

Se cumple: 2

7

B

A

Y su radical doble tiene la expresión BA ,

donde A 15. Hallar “B”.

Rpta.:

9. Si A = 11 y B = 72 de un radical doble, se tiene en la expresión final a simples:

)3x4x

Hallar “x”:

Rpta.:

10. Simplificar: 333 48216132E

Rpta.:


1. Si: E24621217

Siendo: E un radical simple, donde su radical el

doble tiene la expresión: 2)1N(N

Hallar “N”:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Se cumple que:

2

n151nn19

2

Hallar “n”:

a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2

3. Calcular: J= 6363079

a) 4 b) 6 c) 7 d) 5 e) 3

4. Hallar “E”:

EE21029214512

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6

5. Determinar: “x”: 34252x

a) 22 b) 23 c) 32 d) 6 e) 5

6. Hallar las soluciones de “x”:

6)221029(xx

a) 2,4 b) -2,3 c) -2, -4 d) 1,3 e) 2,3

7. Hallar “M”: 5821

5252461M

a) -1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1 e) 2


38

8. Hallar: M= 3

231628

a) 122 b) 322 c) 12 d) 122

e) 342

9. Reducir: 362831028E

a) 26 b) 32 c) 13 d) 34 e) 13

10. Hallar “n”:

n554)1n2(

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8

11. Si: 1nn3628

Hallar: 3n24

a) 2 b) 3 c) 1

d) 22 e) 3

12. Si: n53)1n(282

a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32

13. Si: 11CA

2

3

C

A Hallar el radical doble:

a) 223 b) 353

c) 353 d) 659

e) 659

14. Resolver: 4

5352461

a) 2 b) 1 c) 1/3 d) 2 e) 1/2

15. Determinar “M”:

261183M

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

16. Determinar: H= 32431239

a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8

17. Hallar:

2

2223

a) 1/2 b) ¼ c) 1/3 d) 2 e) 1

18. Resolver:

10

24926112

a) 2 b) 1 c) 1/3 d) ½ e) ¼

19. Reducir:

6224

224324

a) 1 b) 1/4 c) 2 d) 1/2 e) 2

2

20. Si:

3nn526 2

Hallar “n”

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4


39

RACIONALIZACION

Definición.- Racionalizar un cociente es rescribir este

cociente de modo que el denominador no contenga

radicales. Aquí la idea principal para lograr lo que la

definición se pide determinar una expresión adecuada

de modo que, al ser multiplicada por el radical en el

denominador, el nuevo denominador no tenga

radicales.

Factor Racionalizante (F.R.): Es el menor número

irracional que multiplicado por otro irracional da como

resultado un número Racional.

Número Irracional x (FR) = Número Racional

Ejemplo: ( 22 ) ( 2 ) = 8

FR

Casos:

I) PARA MONOMIO:

m nA FR A A es primo.

Ejemplo: 3 22

N

222 33 2

primo F.R.

Así concluimos:

n nmAFR ; A un número primo

II) PARA BINOMIO: Aquí consideramos como productos notables:

3322

3322

22

babababa

babababa

bababa

OBS: Para denominadores:

* 1n21n2 ba sale: a b

* n2n2 ba no acepta C – N

* n2n2 ba sale a – b (Por C – N)

TAREA DE CLASE

1. Simplificar:

108

126273

Rpta.:

2. Resolver: 7

218

122

9

Rpta.:

3. Hallar: M= 2

20

12

10

Rpta.:

4. Determinar: E2 – 2. Si:

23

2

23

9E

Rpta.:

5. Hallar “x”: si x 0

x2 + mx + m = 0

Además: 13

8

3

12m


40

6. Racionalizar:9 25yx

3

Rpta.:

7. Racionalizar: 221217

1

4

Rpta.:

8. Si: 2

a2a

14012

1

. Hallar “a”

Rpta.:

9. Hallar: “E2 + 1”

6

12

627

5E

2

Rpta.:

10. Hallar:

1228

4

Rpta.:

11. Resolver “m”

01mm30211

11

Rpta.:

12. Efectuar:

232323

1

412

Rpta.:


1. El valor Racionalizado de: 22

2 es:

a) 22 b) 224 c) 22 d) 224

e) 2

22

2. La sgte. Expresión:

2

34

23

23

a) Es un número entre 3 y 4. b) Igual a 5. c) Igual a 4. d) Es un # comprendido entre 4 y 5. e) Entre 2 y 3.

3. Hallar: “a”

7

aa27

70430

2

a) 3 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 4


41

4. Racionalizar:

325

325

a) 4

517 b)

3

214 c)

2

313

d) 5

214 e)

3

615

5. Calcular “x”:

348

4

1027

3

x211

1

a) 30 b) 5 c) 20 d) 13 e) 10

6. Racionalizar: 25

3

a) 25 b) 2

25 c)

3

25

d) 5

32 e)

10

25

7. Racionalizar: 3

3

32

a) 3

93

b) 2

273

c) 3

183

d) 3

163

e) 3

323

8. Simplificar: 85072

2 se obtiene:

a) 1/3 b) 1/9

c) 2/9 d) 4/9

e) 18/99

9. Racionalizar: 33 43

1

a) 33 43 b) 7

43 33

c) 7

12229 333

d) 33 34 e) 3 34 2

10. La expresión:

aba

b

22

2

es:

a) ba b) bba22

c) 22

bab

d) aab e) aba22

11. Efectuar:

23

347

32

23

a) 32 b) 26 c) 26 d) 32

e) 13

12. Efectuar:

1027

3

30211

1

1228

1

a) 0 b) 1 c) 15 d) 32 e) 6

13. Después de racionalizar el denominador es:

532

532

a) 9 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17

14. Racionalizar:

)52()5b2a5(

)445)(35)(b25a(

a) 1055

4 b) 95 c) 510

5

3

d) 105 e) 5 3 .

15. Racionalizar: 321

3

a) 5

6213 b) 36

4

3 c) 622

9

3

d) 4

262 e) 2 6 2

2

16. Racionalizar: 1x1x

2x1x

a) 11x2

b) x1x2

c) x1x2

d) 1x1x e) x1x2

17. Simplificar: 1x22x1x22x

1

a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/3 e) 4


42

ECUACIONES

Ecuaciones: (Igualdad Condicional)

Es una igualdad que sólo se satisface o verifica para

sistemas particulares de valores numéricos atributos a

sus letras. Las letras reciben el nombre de incógnitas,

que por lo general se representa con las últimas letras

del alfabeto.

Así: 5x – 3 = 3x + 1

2x = x = 2

Ya que: 5(2) – 3 = 3 (2) + 1

7 = 7

Clasificación de las ecuaciones:

Las ecuaciones pueden ser:

1. Ecuación posible o compatible.- Admite solución. Pueden ser:

- Determinada.- # limitado de soluciones. - Indeterminada.- # ilimitado de soluciones.

2. Ecuación Imposible incompatible o absurda.- Aquella que no admite solución

3. Ecuación Algebraica.- Pueden ser:

- Racional.- Pueden ser racional entera o fraccionaria.

- Irracional.- Si alguita incógnita, figura bajo radical

Ejm:

(1) 4x + 9 = x2 – 12 racional entera.

X = (-3) y x =7

(2) 1x

5

4x

1x3racional

fraccionaria.

(3) 31x

1

5

1xIrracional

4. Ecuación Trascendente.- Son no algebraicas. Ejm:

(1) log 0211x

(2) ax + 1

= 5 (3) Sen 3x + 1 = 0

Ecuaciones Equivalentes: Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones.

Ejm:

5x – 3 = 2x + 9 4x – 1 = x + 11

3x = 12 3x = 12

x = 4 x = 4

Ambas soluciones es x = 4, son iguales.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Definición: Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b = 0

Siendo:

a y b coeficientes

Resolviendo

ax = -b

Pasando b al segundo miembro con signo cambiado.

. De acuerdo a los valores que tomen a y b pueden suceder:

1) Si a 0 , b 0 tendremos:

a

bx

2) Si a 0 y b 0 tendremos: x = 0

3) Si a = 0 y b = 0 tendremos: 0x = 0

Observamos que x puede tomar cualquier valor.

4) Si a = 0 y b 0 tendremos: 0x = -b

Observamos que esta solución es absurda.

Ejm:

. Resolver y discutir:

m2 (x – 1) = 5 (5x – m)

Solución:


43

5m

m

)5m)(5m(

)5m(mx

Efectuando: m2x – m

2 = 25x – 5m

(m2 – 25) x = m

2 – 5m

(m + 5) (m – 5) x = m (m – 5)

Discusión:

(1) Si m2 – 25 0

(2) Si m = 5 ; 0x = 0

La ecuación es compatible indeterminada.

(3) Si: m = -5 ; 0x = 50

La ecuación es incompatible.

Ecuación de Segundo Grado:

Forma General: ax2 + bx + c = 0

x incógnita

Hay dos soluciones:

a2

ac4bbx

a2

ac4bbx

2

2

2

1

Discusión de las Raíces.- Se define como

discriminante de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 ; a 0

D = 2 4b ac

D Discriminante

1) Si D 0 ; las soluciones son números reales diferentes.

2) Si D = 0 ; las soluciones son números reales iguales.

3) Si D 0 ; las soluciones son números complejos conjugados.

Propiedades de las Raíces:

Sea: x1 , x2 raíces de ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Suma: x1 + x2 = -b/a

producto: x1 + x2 = c/a

Diferencia: x1 + x2 = a

D ; x1 x2

TAREA DE CLASE

1. Para que valor de m: las raíces de la ecuación:

1m

1m

12x5

x3x2

, serán iguales en magnitud pero de

signo contrario.

Rpta.:

2. Resolver: 14

5x7

3

4x3

2

2x5

Rpta.:

3. Resolver: 6

1x7

2

1x

3

2x5

Rpta.:

4. Resolver:

2

2

2

2x

3x

10x6x

5x4x

Dos formas de resolver una

ecuación de 2do grado


44

Rpta.:

5. Resolver la ecuación. 721xx 2

Rpta.:

6. Dar los valores de x: 2

5

2x

3x

3x

2x

Rpta.:

7. Dar los valores de X:

09x3x23x3x2 22

Rpta.:

8. Resolver:

2x14x14

x14x1433

33

Rpta.:

9. Hallar el valor de x:

2 2 24 9 5 7 1 2x x x x x x

Rpta.:

10. Resolver:

3xx2xx2

1

Rpta.:

11. Resolver: 2235x12x27x12x22

Rpta.:

12. Hallar m, n tal que tengan igual solución:

(5m – 52) x2 – (m – 4) x + 4 = 0

(2n + 1) x2 – 5nx + 20 = 0

Rpta.:


1. Resolver la ecuación:

2

5

x2

x6

x6

x2

a) {9 , 6/5} b) {36/25 , 10} c) {9 , 36/25} d) {19}

e) {6/5}

2. Resolver: 5

6

5x2

5

x5

x

a) {5/4} b) {45/4 , 95} c) {95} d) {5/4 . 45/4}

e) {5/4 , 95}


45

3. Resolver: x3xx

3x

3xx

3x

a) {2} b) {3/2} c) {3/2 , 2} d) e) {5/2 , 2}

4. Dar: a2 + ab + b

2, para que las raíces de la

ecuación sea igual

a3;

1b

bx

1a

ax

bx

1a

ax

1b

a) 3 b) 3/2 c) ¾ d) 3/5 e) 1/3

5. Hallar los valores de k de modo de que las raíces

de la ecuación 4x2 – 16x + k

2 = 0, estén en el

intervalo 1 , 3 , si k a , b c , d . Hallar

“a + b + c + d”

a) -3 b) -2 c) -4 d) 0 e) 5

6. Si r, s son las raíces de la ecuación x2 + bx + 4c = 0

; (2r + b), (25 + b) de x2 + mx + n;

hallar:

c16b

n4mE

2

2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 1/2

7. Resolver: (x – 5,5)4 + (x – 4,5)

4 = 1

a) -5,5 b) -4,5 c) 4,5 d) 3,5 e) 6,5

8. Dada la ecuación –x2 + mx – m = 3. Hallar si existe

el menor entero m para que una de sus raíces sea

menor que 10. Dar la suma de las cifras “m”.

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

9. Resolver la ecuación: x6 – 9x

5 + 30x

4 = 45x

3 – 30x

2

+ 9x – 1. Si una raíz es de la forma 2

BA.

Hallar “A + B”

a) 5 b) 3 c) 8 d) 7 e) 6

10. Resolver la ecuación: 1x1x23

. Dar

la suma de todas las raíces.

a) 2 b) 1 c) 10 d) 12 e) 13

11. Si a 1, obtener la suma de las soluciones reales

de la ecuación: xxaa .

a) -1/2 b) 2

3a41 c)

2

a411

d) 2

a411 e)

2

5a41

12. Dar (m + n) para las cuales las ecuaciones:

(m – 2)x2 – (m + 2)x – (n

3 + 6) = 0 (m – 1)x

2 – (m

2 +

1)x – (4n3 – 4) = 0

Tendrán las mismas relaciones.

a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 1

13. Halar “m” a fin de que la suma de las raíces

positivas de la ecuación bicuadrada: x4 –

(3m + 4) x2 + (m + 1)

2 = 0 sea 6.

a) 3 b) 23 c) 34 d) 6 e) 15


xx2

xx2a

xx2x1

xx2x1 3

2

2

a) (a – 1)2 b) 2ª c)

a2

1a2

c) 2

)1a(

ae)

a

)1a(2

15. Si el conjunto solución de la ecuación: mx2 + nx + 2

= 0, es 12

,1

, calcular “n”.

a) -10 b) -6 c) 0 d) 2 e) 5

16. Si es el discriminante positiva de la ecuación:

04

19x)1(x2

determinar el

conjunto solución:

a) {5/2 , 9/2} c) {5/2 , 11/2} d) {3/2 , 9/2}

b) {3/2 , 1/2} e)


46

INECUACIONES

Definición: Es una desigualdad.

Desigualdad: Es una relación que nos indica que una

cantidad o expresión es mayor o menor que otra.

Estos se establecen solo en el campo de los números

reales.

Signos: (Sirven para designar a las desigualdades)

diferente a

mayor que

menor que

También:

mayor o igual que

menor o igual que

- +

| | | | | | | | |

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Si a es (+) a 0

Si a es (-) a 0

Definiciones:

1. Se dice que una cantidad “a” es mayor que otra

cantidad “ b ”, si la diferencia (a – b) es una

cantidad positiva, es decir:

a b si a – b 0

Ejm: -2 -7 porque -2 – (-7) = 5 , es (+)

2. En caso contrario:

Si a b

a – b 0

Ejm: -3 -1 -3 – (-1) = -2, es (-)

3. Si: a b c d son desigualdades de sentido contrario.

Propiedades de las Desigualdades

1. Sea: a b Si se le suma o resta: c

a c b c (NO VARIA)

2. Si los dos miembros de una desigualdad se

multiplican o dividen por la misma cantidad, el

sentido de la desigualdad NO VARIA.

Si: a b ac bc

y c 0 c

a

c

b

3. Si a b c 0

Cumple:

c

b

c

a

bcac

se invierte

4. Si a b b c

a b c a c

5. Si a b c > d

Se cumple: a + c b + d

6. Si a b c d

Se cumple: a – c c - d

7. Si a b c d b 0 d 0

Se cumple: ac bd

Consecuencias: Si a b siendo b 0

nn

nn

ba

ba

Menores de cero (-)

Mayores de cero (+)


47

8. Si: a b c d siendo b 0 c 0

Se cumple: c

a

d

b

Inecuaciones de Primer Grado con una incógnita

Definición.- Una inecuación de primer grado con una

incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b 0 ó ax + b 0

Si: ax + b 0 a

bx

Si: ax + b 0 a

bx

Ejm:

Resolver la inecuación:

3

2

2

1x2

6

2x3

5

1x2

Solución: 5 – 6 – 2 – 3 | 30

Multiplicando por 30:

3

230

2

1x230

6

2x330

5

1x230

12x – 6 + 15x – 10 30x + 15 + 20

-3x 51

x -17

Graficando:

| | |

- -17 0

+

- x -17 ó x - , -17

Inecuaciones de 2do

grado:

Toda inecuación de 2do grado puede reducirse siempre a:

ax2 + bx + c 0 ; a 0

El conjunto solución: {x R / ax2 + bx + c 0} y

dependerá de la naturaleza del discriminante.

= b2 – 4ac

Luego:

Caso 1: Si = b2 – 4ac 0 = ax

2 + bx + c, tiene dos

raíces reales diferentes, por ejemplo x1, x2, con x1 x2

entonces.

ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2)

1.1) ax2 + bx + c 0 a (x - X1) (x – x2)

0

a) Si a 0 x - , x1 U x2 ,

b) Si a 0 x x1 , x2

c)

1.2) Ax2 + bx + c 0 a (x – x1) (x – x2) 0

a) Si a 0 x x1 , x2

b) Si a 0 a (x – x1) (x – x2) 0

Caso 2: Si = b2 – 4ac = 0 ax

2 + bx + c, tiene dos

raíces iguales, es decir: x1 = x2, luego:

Sea: ax2 + bx + c = a(x – x1)

2

2.1 ax2 + bx + c 0 a (x – x1)

2 0

a) Si a 0 x R – {x1}

b) Si a 0 x

2.2 Ax2 + bx + c 0. a (x – x1)

2 0

a) Si a 0 x

b) Si a 0 x R – {x1}

Caso 3: Si = b2 -4ac 0 ax

2 + bx +c, no tiene

raíces reales:

3.1. Si a 0

ax2 +bx + c 0 , x R

3.2. Si a 0

ax2 + bx + c 0 , x R

Ejm: Sea: x2 – 7x + 6 0

(x - 6) (x - 1) 0

x - , 1 U 6 ,


48

TAREA DE CLASE

1. Si: -1 b a 0; donde a y b R de las siguientes proposiciones:

I. a2 b

2

II. a2 b

3

III. a3 b

3 ¿Son ciertas?

Rpta.:

2. Resolver en “x” 2

2

2

2

2

2

2

2

b

ax

a

b

a

bx

b

a,

si: a b a , b R+

Rpta.:

3. Si: 5

1;

8

1a ¿A que intervalo pertenece:

a213 ?

Rpta.:

4. Resolver en x:

3bxax

cx

)cx(ax

bx

cxbx

ax

2

22

Rpta.:

5. Resolver:

2x

3x2

Rpta.:

6. Resolver:

4x

2x

2x

4x

Rpta.:

7. Resolver:

1xx5

)4x3x2(2xx22

22

0

Rpta.:

8. Resolver:

x2 – x – 6 0

Rpta.:

9. Resolver: x4 – 5x

2 – 36 0

Rpta.:

10. Resolver:

x8 – 2x

4 + 1 0 indicando la suma de los valores

que la verifiquen.

Rpta.:

11. Resolver:

2x6x5x3x3 23

Rpta.:


49

12. 0x4x

1x 8

Rpta.:


1. Dar el equivalente al conjunto:

35x/RxA

a) - ; 14 b) 5 ; + c) 5 ; 14 d) 5 ; 14

e) 0 ; 14

2. Dado: 35x/ZxB

Indique el menor valor que presenta:

a) 15 b) 14c) 13 d) 12 e) 16

3. Dado: x2x/ZxM

Indique su cardinal:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Resolver: 41x3

a) x -65 ; + b) x c) x -63 ; +

d) x 1 ; + e) x R

5. Resolver: |2x – 7| 9

a) x 1 ; 6 b) x 1 ; 8) c) x 1 ; 2

d) x -1 ; + e) x -1 ; 8

6. Hallar los valores de “a” para que la desigualdad:

21xx

2axx3

2

2

Se verifique para todo valor real de x.

a) -1 , 4 b) -1 , 2 c) -1 , 0 d) 1 , 2

e) 12

7. Resolver:

(x - 7)2 – 9|x – 7| + 18 0

a) 1 ; 4 U 12 ; 14 b) 1 ; 5 U 6 ; 7

c) 1 ; 4 U 10 ; 13 d) 2 ; 5 U 10 ; 16

e) - ; 5 U 10 ;

8. Calcular:

x

|20x3||20x5|E

Si: x -3 , -2

a) -2 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5

9. Resolver: 2x2 – 10x – 12 0

a) x -1 ; 6 b) x -1 ; -6 c) x 2 ; 4

d) x -2 ; 8 e) - ; 14

10. Resolver:

049x9

12

indicar el intervalo de la solución:

a) 8

7;0x b)

8

7;

3

7x

c) x d) x - , e) x -3 ; 3

11. Resolver: x2 – 14x + 50 0

a) x R b) x R –{3} c) x 2 ; 4

d) x -7 ; e) x

12. Resolver: |x2 - 4| (x + 2)

2 Hallar su intervalo.

a) x 0 ; -{2} b) x 0 ; U {-2}

c) x 0 ; 7 U {-2} d) x e) x R

13. Si: x R se verifica x2 + (m – 1) x + 4 0.

El mayor valor natural de “m” es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

14. Hallar los valores de “m” de modo que las raíces de la ecuación:


50

4x2 – 16x + m

2 = 0

Estén en el intervalo 1 ; 3 . Si:

m a , b U c , d

Entonces: ad – bc es:

a) -3 b) -2 c) -4 d) 0 e) 5

15. Resolver:

2x

2x2

2x

4

a) x 0 ; + b) x -0 ; + c) x 2 , +

d) x -1 , + e) x -4 , +

16. La solución de la desigualdad es:

x33x6x

a) -3 x 3 b) -6 x

c) - x -6 , 3 x d) x = 3 e) x = -6

17. Si: 55x

1x33 ; su intervalo de “x” es:

a) 5 ; b) 3 ; 5 c) - ; 5 d) 12 ;

e) 15 ;

18. Hallar “x” si se cumple: 2x

1x

19

12

1x

x, es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. La solución es: 3x1x

a) -3 ; -1 b) -3 ; 1 c) -1 ; -1 d) -3 ; -1

e) -3 ; 1

20. Los valores de “x“ son: 1x

xx224 2

a) 0 x 4

b) 2 x 4

c) -6 x 0

d) -6 x 0 ; 3 x 4

e) -6 x -3 ; 3 x 4

VALOR ABSOLUTO

Definición:

El valor absoluto de un número real “a” se denota por |a| y se define:

0aSia

0aSiaa

Ejm: |2| = 2 : 5)5(|5|

Si

31xsi,x31

31xSi,1x3

01x3si),1x3(

01x3si,1x3|1x3|

Teorema:

- valor de a: |a| 0 Se cumple:

Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0 |a| = |-a| a |a| -a |a|

Supóngase: que a 0 b 0 entonces:

2baba

|a| |b| = |ab|

0b,|b|

|a|

b

a

|a

n| = |a|

n , n entero

Desigualdad Triangular:

Dada por: |a + b| |a| + |b|

Ecuaciones con Valor Absoluto:

El siguiente teorema es utilizado en la solución de

ecuaciones con valor absoluto:

Teorema: , ,a b se tiene:

0a b b a b a b

TAREA DE CLASE

1. Resolver: |x – 1| = -3x

Rpta.:


51


|x + 1| + |x – 1| = 6.

Rpta.:

3. Resolver:

(x – 3)2 – 8 |x – 3| + 15 = 0

Rpta.:

4. Dados los conjuntos de números reales:

S = {P R / 2P + 6 – P }

T = {q R / |aq + b| |a + b – aq|, -2b a 0}

Entonces: S T es:

Rpta.:

5. Si:

A = {x R / |3x – 1| = 2x + 5}

B = {x R / |x + 2| + 6 = 3x}

Hallar la suma de los elementos de A B:

Rpta.:

6. Resolver la siguiente ecuación:

|5x – 3| = 4x + 1

T = {q R / |aq + b| |a + b – aq|, -2b a 0}

Entonces: S T es:

Rpta.:

7. Si:

A = {x R / |3x – 1| = 2x + 5}

B = {x R / |x + 2| + 6 = 3x}

Hallar la suma de los elementos de A B:

Rpta.:

8. Resolver la siguiente ecuación:

|5x – 3| = 4x + 1

9. Las soluciones de la ecuación:

|x| + x3 = 0

Rpta.:

10. El conjunto solución de:

|2x – 5| = 4

Rpta.:


52


1. Indicar la mayor solución al resolver:

12xx

6xx2

2

a) -2 b) 2 c) 0 d) 3 e) -3

2. Resolver:

3x25x

a) -2 b) 8/3 c) 3/8 d) -1/2 e) a y b

3. ¿Cuántos elementos tiene el C.S. de:

|x2 – 2| = 2 – 3x?

a) 4 b) 3 c) 3 d) 1 e) 0

4. Proporcionar el cardinal del conjunto solución de la

ecuación:

|x + 3| - |x – 1| = x + 1

a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2

5. Calcular:

x

|20x3||20x5|E si: x -3 , -2

a) -2 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5

6. Indicar la suma de las soluciones:

41x

1x3

a) 41 / 7 b) 38 / 7 c) 13 / 7 d) 19 / 5

e) 32 / 5

7. Si: x1 y x2 son las soluciones de:

||15 – 2x| - 4| = 8

Calcular |x1 – x2|

a) 8 b) 10 c) 11 d) 14 e) 12

8. Indicar el producto de las soluciones:

|x2 – 6| = |x|

a) 18 b) -18 c) 36 d) -24 e) -20

9. Indicar la suma de las soluciones de:

3 |x + 1| + |x – 8| = 19

a) 4/3 b) 9/4 c) 5/7 d) ½ e) 11/6

10. Resolver:

|x – 2| + |x – 3| = |2x - 5|

a) x - , 2 3 , +

b) x - , -1 3 , +

c) x R

d) x

e) x - , 4

11. ¿Cuántos valores de “x” verifican la ecuación:

|x + 3| = |2x – 4| + 5?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguna

12. Resolver:

||x| - 1| 2 – x

a) {3/2} b) {-3/2} c) {1/2} d) {3/2 ; 1/2}

e) {3/2 ; 1/4}

13. Resolver:

||x + 4| +4| -2 = 0

Indicar la suma de todos los valores que asume “x”

a) -8 b) -6 c) 3 d) 0 e) No existe tal suma

14. Indicar una raíz al resolver:

06|1x2|2

7

2

1x2

2

a) 1 b) -2 c) 3/2 d) -5/2

e) Más de una es correcta

15. Las soluciones de la ecuación.

|18 – 3x – x2| = 3 – x son


53

a) -5 y 3 b) -7 y -5 c) -6 y 2 d) -5; -7 y 3

e) -5 ; -6 y 3

16. La suma de las valores de y es:

y – 2 |x| = -3

|y| + x = 3

a) -2 b) 6 c) 7 d) 10 e) 13

17. Las soluciones de la ecuación:

x2 . 3

x + 3.+3

|x–5|+ 6 = x

2 . 3

|x–5|+ 8+ 3

x+1

a) x = {-1/3 , 1/3} b) - x 5 c) 5 x

d) x = {-1/3 , 1/3} - x 5

e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5 x

18. Después de resolver la ecuación:

||x – 5 | + 3| = 2, se puede decir que:

a) x = 5 b) x = 8 c) x = 0 d) es una indet..

e) es imposible

19. Resolver: (x1 + x2)

|x + 9| = 16

a) -12 b) -16 c) -4 d) 9 e) 15

20. Resolver:

|x2 – 4| = 5

a) {3 , -3} b) {-3} c) {1 , -1} d) {3}

e) R

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Sabemos: 0a,a

0a,a|a|

La solución de inecuaciones con Valor absoluta se basa

en los siguientes teoremas:

Sean x a R entonces:

o Si |x| a a 0 -a x a

o Si |x| a a 0 -a x a

o Si |x| a a 0 x -a

o Si |x| a a 0 x -a

Teorema:

Dados a,b R:

1. |a| |b| (a + b) (a - b) 0

2. |a| |b| (a + b) (a – b) 0

3. |a| |b| (a + b) (a – b) 0

Ejm:

Resolver: |2x – 3| 1

|2x – 3| 1 1 0 -1 2x – 3 2

1 0 1 x 2

1 x 2

C.S. -1 , 2

TAREA DE CLASE

1. Resolver la siguiente inecuación:

|3x – 5| 7

Rpta.:

2. Resolver:

|4x – 3| 5

Rpta.:


|x2 – 6x + 8| 4 – x

Rpta.:


54


|3x – 5| 7

Rpta.:

5. Resolver:

|4x – 3| 5

Rpta.:


|x2 – 6x + 8| 4 – x

Rpta.:

7. Resolver:

|3x – 1| |x|

Rpta.:

8. Si:

A = {x R / 2- |2x + 3| 3}

B = {x R / 2- |x + 2| 0}

Hallar: (B – A)

Rpta.:

9. Hallar el conjunto solución:

0|8x7||1x2|

|8x||3x2|

10. Hallar el C.S. de:

||x – 3| + 3| -2

Rpta.:

11. Si:

|2x|

1

1x12

5/RxA

Hallar: AC

Rpta.:

12. Hallar el menor de los números M tales que.

5,2xsi,M6x

9x

Rpta.:

13. Hallar el C.S.:

3x2 x


55


1. Si: 6;5

1

x

2; determinar el menor valor entero

de M para que se cumpla:

M6x

3x

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

2. Resolver:

|x3 – 1| x

2 + x + 1 es:

a) 1 x 2

b) 0 x 1

c) 0 x 2

d) -1 x 0

e) 0 x 2

3. La solución d la inecuación:

a) 2 – 4 2 x -2

b) 2 – 4 2 x -2

c) 2 – 4 2 x 2

d) 2 – 4 2 x -2 ; -2 x 2

e) - x 2

4. Hallar los valores de “x”

X2 + 4 |x + 2| 20, es:

a) - x 4

b) 4 x

c) -3 x 4

d) Ninguna valor

e) Todo valor de x

5. La solución de:

|x3 – 7x + 6| 19x – x

3 – 18 es:

a) x - , -3 -3 , 1

b) x -3 , 1 3 ,

c) x - , 1 3 x

d) - x 1 ; 1 x

e) x - , 0 3 ,

6. El intervalo que satisface al siguiente sistema de

inecuación:

|x2 – 4| 5 … (1)

|x2 – 5x + 6| … (2)

a) 1 x 3

b) 1 x 3

c) 1 x 3

d) -3 x 3

e) -3 x 4

7. Resolver:

|2x2 + x – 5| x

2 + 2x – 3

a) x - , 1

b) x 1 , 2

c) x - ; -3 + 10

d) x - , 6

1053

e) x - ,6

1053 2,

8. Resolver:

|x – 4| - |x – 2| |x – 1|

Indique la suma de los valores naturales menores

que 15

a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) N.A.

9. La desigualdad:

x2 + 3 |x| + 28 0 Es equivalente a:

a) x 7

b) -3 x 3

c) x 3 x -3

d) x -7 x 7

e) x -3 x 7

10. Para cuantos valores enteros se verifica:

|5x – 10| + |14 – 7x| |2x – x<2|

a) 23 b) 24 c) 22 d) 21 e) 20


56

11. Indique el valor que no verifica la inecuación:

x

1

|x|1

x

a) 532 b) 216 c) 2

17

d) 2062 e) 2

288

12. Resolver:

14x

|1x|

a) - , -4 -5/2 , +

b) - , -4 1 , 2

c) -4 ,

d) -5/2 , +

e) -2,

13. 2|1x|

|x|

a) 1 ,

b) - , 0

c) - , 1

d) - , 2/3

e) - , 3

2 2 ,

14. Resolver:

05x

|2|1x|||1x|2

2

a) 2 , 3

b)

c) R

d) 0 , 2

e) -1 , 3

MISCELANEA

01) Efectuar: 27 6)27(

02) Efectuar:

6n4n2n

6n4n2n

222

222P

03) Reducir:

b3ab2a

baba

36

1824

04) Hallar “x” en:

6 6 6323x .....3232323x2

05) Resolver:

2x22x32 216

06) Resolver:

2x+2

x – 1+2

x – 2+2

x – 3+2

x – 4 =248

07) Calcular M, sabiendo que: a + b + c = 2p

Si: bc2

acb1M2

222

08) Sabiendo que: 79

x

x

a 9

9, hallar la expresión:

49

49 9

x

x

a

09) Si: x – y = 8. Hallar: (x – 3y)

2 – 4y(2y – x) + 8

10) Si:yx

4

y

1

x

1,calcular:

y3x

y2

x2

y2x

xy

yxM

22

11) Determinar el valor de:

(2b)2x

– (2b)–2x

, si se sabe que: (2b)8x

+ (2b)–8x

= 7 y

0 < b < 2

1

12) Si:

196)2x)(1x)(6x)(5x(H

Hallar: 25,16HR

algebra 4º y 5º

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