ajuste de escalas de sensación térmica para xalapa

30 Número48,(38-43)Enero-Abril2010

RESUMEN

La determinación de una zona de confort esun objetivo de la bioclimatología humana. Eldesarrollo manual, perceptivo e intelectual delhombredependede lacondición térmicaqueexperimente.Losíndicestérmicoshansidodesa-rrolladosparazonasygruposétnicosespecíficosdelplaneta,porloqueenestetrabajosepresen-taunapropuestadeadecuacióndelos índicesTemperaturaEfectiva(TE)yWind-Chillasícomolaestandarizacióndesusescalasdesensacióntér-micaparalaciudaddeXalapa,Ver.Latempera-turafuelavariableatravésdelacualserealizóesteprocesoylosresultadosobtenidosfueronsa-tisfactoriosalmostrar sensaciones térmicasmuysimilaresambosíndicesendosmesescontrastan-tes. La aplicación de este tipo de informaciónincluyea laarquitecturaya lamedicina,entreotras especialidades.

ABSTRACT

Animportantaimofhumanbioclimatologyisthedeterminationofcomfortzonessincehumande-velopingdependsontheexperimentedthermalconditions imposedby theenvironment. For thispurpose seriesof thermal indexeshasbeenela-

boratedforspecificregionsandethnicalgroups;therefore,themainobjectiveofthispaperistheproposal of themodification of two thermal in-dexes:EffectiveTemperatureandWind-Chill.Thismodificationwasmadebystandardizingthether-malsensationscalesforthecityofXalapa,Ver.Airtemperaturewasthemainvariabletakenintoac-count for thedevelopment of thismodification.Resultswere satisfactory inviewof the fact thatthermal sensation scales for both indexes werevery similar after standardization in at least twocontrastinganalyzedmonths. This resulting infor-mationcanbeuseful,forexampleinarchitecturaldesignandmedicalcareamongothersubjects.

INTRODUCCIÓN

LaOrganizaciónMeteorológicaMundial (OMM,1992)definea laBioclimatología como la cien-ciaqueestudialainfluenciaejercidaporelclimasobre losorganismos vivos. Enconsecuencia, laBioclimatología Humana estudialainfluenciadelclimasobre lossereshumanos.Unode losgran-desobjetivosdelabioclimatologíahumanaesladeterminacióndeunintervaloozonadebienes-tartérmico(o,comohasidoadaptadodelfran-cés:confort)humano.

Entre las razonesparadeterminar lascondi-cionesdeconforttérmicoseencuentranlasrela-tivasaldesarrollodeactividades físicas intensas(Tudela, 1982), así como al reconocimiento dequeeldesempeñointelectual,manualypercep-tivodelserhumanoes,engeneral,mayorcuan-do él se encuentra en confort térmico con susalrededores(Fanger,1970).

Ladefinicióndesensación térmicaestálejosdeserfácil,yenausenciadeuncriterioobjetivo,

AjustedeescalasdesensacióntérmicaparaXalapa,Veracruz,México

1 Centro de Ciencias de la Tierra y Licenciatura en Ciencias At-mosféricas, Universidad Veracruzana, [email protected].

2 Instituto de Ecología, Universidad Nacional Autónoma de Méxi-co, [email protected].

Dr.JuanCervantesPérez1 Dr.VíctorLuisBarradasMiranda2

Palabras clave: Bioclimatología, índices térmicos, sen-sacióntérmica,conforttérmico,Xalapa,Ver.Key words: Bioclimatology, thermal indexes, thermal sensa-tion, thermal comfort, Xalapa, Ver.

Recibido: 29 de julio de 2009, aceptado: 21 de septiembre de 2009


lassensacionessubjetivasqueresultandelestímu-lo térmico han sido adoptadas comomedidasdelacalidadtérmicadelambiente.Así,lassen-saciones térmicas se centran alrededor de dos “cantidades”opuestas:caloryfrío,cadaunadeellas con diferentes intensidades; por ejemplo:lostérminosagradable(confortable),calurosoymuy caluroso por un lado, y agradable-fresco-frío,porotro,sonbienconocidos.Porello,lassen-sacionestérmicaspuedenserenglobadasendoscategoríassimples:confortymalestar.

Paraqueunserhumanoseencuentretotal-mente confortable intervienenmuchos factorescomolosfísicos(temperatura,humedad,viento,etc.), fisiológicos (edad, sexo, salud,etc.),emo-cionales (tristeza, alegría, etc.), sociales (modaenelvestidoycabello,etc.)yvariosmás.Sinem-bargo, si se supone unapersona joven común,que viste apropiadamente, que se encuentrasanafísicaymentalmente,etc.,detalformaquelasensacióndeconfortescausadaúnicamenteporlascondicionestérmicasambientales,enton-cessepuededecirqueelconfortparaesaperso-naes lacondiciónmentalqueexpresasatisfac-ciónconelmedioquelerodea(Fanger,1970).

Porotraparte,loselementosmeteorológicosnoactúandemaneraaislada, laatmósferaac-túacomoun todosobreelorganismohumano.Se ha reconocido que las variables intrínsecasal organismo y meteorológicas más importantes queafectanlacondicióndeconfortson(Fanger,1970yLandsberg,1972):niveldeactividad(pro-duccióndecalorporel cuerpohumano), resis-tenciatérmicadelaropa,temperaturadelaire,flujosdeenergía(calor)intercambiados,rapidezrelativa del viento y presión de vapor del agua (humedad). Henstschel (1986) propone que elgradodeimportanciadelasvariablesmeteoro-lógicasdepende tambiénde la zonaclimáticadondepretende realizarseelestudiobioclimáti-co.En los trópicos,porejemplo, la temperaturadelairey lahumedad,deacuerdoaeseautor,sonlasvariablespredominantes.Esevidentequeelconforttérmicopuedeseralcanzadopormu-chascombinacionesdelasvariablesseñaladas;detalformaqueuníndice de confort, índice tér-mico o índice bioclimático, es unmétodo quepermitelaestimacióncombinadadeloselemen-tosatmosféricossobreelcuerpohumano(Givoni,1974).

Con base en las variables utilizadas, Taesler(1986)identificacuatrolíneasdeinvestigaciónre-

lativasalosíndicestérmicos:la simulación física, en la cual se utilizan “cuerpos” instrumentadosparamedirlosefectoscombinadosdelasvaria-blesatmosféricassobreelcuerpohumano;el mo-delamiento matemático,elcualcalcula índicestérmicos correlacionados a sensaciones térmicas oareaccionesfisiológicasysimulaelbalancedecalorenelcuerpo; los estudios experimentales, queusanobjetivamentepruebasdedesempe-ñoasícomovotossubjetivosencondicionesdecampooencámarasclimáticascontroladas; ylos estudios epidemiológicos, mismos quepartendemétodosestadísticosparaestablecerposiblesrelacionesentrelascondicionesambientalesylaocurrenciadediversasenfermedades.MorganyBaskett(1974)identificandosenfoquesenloses-tudiosbioclimáticos:elsintético o empírico, quecombinadiversasvariablesmeteorológicas para expresarelconforttérmico,yelanalítico,elcualexplicalasbasesfísicasdelconforttérmicoexa-minandolosintercambiosdeenergíaentreelserhumanoysuambiente.

Engeneral,lostrabajossobreevaluaciónbio-climáticaenelpaíshansidorealizadosconbaseenlosíndicesempíricosque,deacuerdoaMor-ganyBaskett(1974)sonproductode lacombi-nacióndedosomásvariablesmeteorológicasatravésdeexpresionesmatemáticassencillas.Estetipode índices,deacuerdoa Taesler (1986), separticularizanacondiciones, sitios yaúngruposétnicos (enparticular,actividad sedentaria, lati-tudesmediasyblancos). Sibien los índicesqueconsideran los mecanismos de intercambio decalorentreelcuerpohumanoysusalrededoresparaevaluarelbioclimasonexitososydevalidezuniversal,yaquesonproductodelaaplicaciónde laprimera leyde la termodinámica, suapli-caciónsedificultadebidoaltipodeinformaciónrequeridaensuscálculos.

Como sehacomentado,debidoa laparti-cularizacióndesitiosygruposdelosíndicesem-píricos,elobjetivodeestetrabajoesmostrarunajustedelasescalasdesensacióntérmicadelosíndicesdesensacióntérmicaempíricosTempera-turaEfectiva(TE)yWind-Chill (K),paralaciudaddeXalapa,Veracruz,México,comounejemplode loque sepuedehacerparaotrasciudadesdelpaís,pueslaaclimataciónalsitioderesiden-ciajuegaunpapelimportanteenlassensacionestérmicasexperimentadas.Losresultadosdeestetipodetrabajospuedenseraplicadosenramascomolaarquitecturabioclimáticayplaneaciónurbana,entreotras.


MATERIALES Y MÉTODOS

LosíndicesTEyKpropuestosporMissenard(1937)ySippleyPassel(1945),respectivamente,secal-culanconlassiguientesrelaciones:

TE=T-0.4(T-10)(1-HR/100)[°C]K=(10√v+10.45–v)(33-T)[KCal/m2]

dondeT:temperaturadelaire[°C];HR:humedadrelativadelaire [%] y ves la rapidezdel viento[m/s].

En la Tabla 1 se muestran escalas de sensa-cionestérmicasasociadasaestosíndices,dondesedestacandosaspectos:losíndicesfueronge-neradosparalatitudesmediasyaltas,comoeselcasodeK,ylasescalasdesensacionestérmicasno son correspondientes ni simétricas alrededor del confort, además, enel casodeK,mientrasmayor seaelvalor,mayor será la sensación tér-micadefríoasociada.Bajoestaperspectiva,seplantea la siguiente cuestión: ¿Cómo obteneruna escala de sensaciones térmicas para perso-nasdelatitudestropicalesyquealavez,permitacomparardichos índices?Para resolver lacues-tión planteada se procedió de la siguiente mane-ra:seobtuvieronlosdatosmeteorológicoshora-riosdelaño1999delObservatorioMeteorológicodelaciudaddeXalapa,Ver.,lacualseubicaalos19.5°latNy96.5°longW,aunaaltitudde1460msnm,yposeeunclimatempladohúmedoconabundantes lluviasenverano. Secalcularon losíndicesTEyKhorariospara losmesesdeenero,abril, julio yoctubre. Entonces seobtuvieron los

índicesdecorrelaciónentre los índicesy lasva-riablesutilizadasparacalculardichos índices (T,HRyv).PuestoquelaTfuelavariablequemos-trómayorcorrelaciónconlosíndices,seutilizóelconcepto de termopreferendum, elcual indicala temperaturapreferentede laspersonasacli-matadas al sitio del cual se desea calcular los intervalos de sensación térmica. El termoprefen-dum secalculócon la siguienteexpresión (Auli-ciems,1992):

Tp=0.31Tm+17.6

donde Tp es el termopreferendum y Tm es la tem-peraturamediamensual,ambosen °C.Enestepunto,esimportanteseñalarquelatemperaturamediamensual seobtienede lasNormales Cli-matológicas,valor representativodel sitioenunperiodo de tiempo relativamente largo.

Sibienel termopreferendum da un valor de temperaturapreferenteasociadaenestecaso,comoelpuntocentraldelconfort,existeunpe-queño rangoenel cual se siguemanteniendo.Paradeterminareserango,seaplicóelmétodopropuesto por Wakely (1978), que relaciona laamplituddelazonadeconfortconlaoscilacióntérmicamediaanual(mientrasmayorsealaosci-lación,másampliaeslazonadeconfort).

Porotraparte, laescaladesensacionestér-micas de la ASHRAE (1966) es una escala queconsidera siete sensaciones térmicas centradas alrededordelconfortbasadaenlaamplituddela zonadeconfort. Estaescala seocupópara

Rangos de la TE

Sensación térmica Rangos de la K Sensación térmica

>30 Calor pesado

24 a 30 Calor moderado

18 a 24 Calor placentero < 200 Caluroso12 a 18 Placentero 200 a 300 Confortable6 a 12 Fresco 300 a 600 Fresco0 a 6 Muy fresco 600 a 800 Relente

- 6 a 0 Frío ligero 800 a 1000 Frío-12 a -6 Frío 1000 a 1200 Muy frío

-18 a -12 Muy frío 1200 a 1400 Frío mordaz-24 a -18 Frío intenso > 1400 Congelación

< -24 Peligro de congelación

Tabla1. Escalas de sensaciones térmicas asociadas a TE (tomada de Hetschell, 1986) y K (tomada de Terjung, 1966)


aplicarlaalaestandarizacióndelosíndicesypodercompararlos.

RESULTADOS

En la Tabla 2semuestranloscoeficientesdecorrelaciónentrelosíndicestérmicosylasvariablesutili-zadasparasucálculo.UnaspectointeresanteeselbajoíndicedecorrelaciónentrevyK,cuandoelcálculodeesteíndicedependedevademásdeT.

Tabla2. Coeficientes de correlación (r) entre los índices térmicos y las variables utilizadas para su cálculo en la ciudadde Xalapa, Ver.

Índice T HR VTE 0.98 -0.39 0.40

K -0.78 0.41 0.15

El termopreferendum paralaciudaddeXalapatuvounvalorde23.2°Cylaamplituddelrangodeconfortfuede4°C.Bajoestosresultados,enlaTabla 3semuestranloslímitesdelassensacionestérmicas de acuerdo a la escala ASHRAE.

Tomandocomobaselatemperatura,enlatabla4sepresentanlosmodelosderegresiónlinealentrelosíndicesTEyKyestavariable.Así,estesencillopasopermitióajustarlaescaladelosíndicesseñaladosutilizandoloslímitestérmicosdelaTabla 3.

Tabla3.Límites de las sensaciones térmicas de la escala ASHRAE a la ciudad de Xalapa, Ver., con base en la temperatura

Rango de Temperatura (°C) Sensación Térmica> 33.2 Muy caluroso

29.2 a 33.2 Caluroso

25.2 a 29.2 Ligeramente caluroso

21.2 a 25.2 Confortable

17.2 a 21.2 Ligeramente fresco

13.2 a 17.2 Fresco

< 13.2 Frío

Tabla4. Modelos de regresión lineal, coeficientes de determinación y errores estándar de estimación de los índices térmi-cos y la temperatura en la ciudad de Xalapa, Ver.

Modelo Coeficiente de correlación

Coeficiente de determinación

Error estándar de estimación

TE = 3.62 + 0.69T 0.98 0.96 0.78 °C

K = 599.3 – 15.7T -0.78 0.62 2.37 KCal/m2

En las Tablas 5 y 6semuestranlasescalasdesensacionestérmicasestandarizadasatravésdelasregresiones lineales.

Parafinesdecomparación,enlasFiguras 1 y 2 sepresentanlasmarchasdiurnaspromediodelassensacionestérmicasparaTEyKestandarizadosalaescalaASHRAEparalosmesesdeeneroyabril,contrastantes en cuanto a sensaciones térmicas.


Tabla5. Escala de sensaciones térmicas de K una vez estandarizada a la escala ASHRAE a través del termopreferendum y rango de oscilación

Sensación térmica Límites de TE (KCal/m2)Muy Caluroso (MC) < 54.5Caluroso (C) 54.5 – 112.0Ligeramente Caluroso (LC) 112.0 – 169.5 Confortable (CO) 169.5 – 227.0Ligeramente Fresco (LF) 227.0 – 284.4Fresco (F) 284.4 – 341.9Frío (Fr) > 341.9

Tabla6. Escala de sensaciones térmicas de TE una vez estandarizada a la escala ASHRAE a travésdel termopreferendum y rango de oscilación

Sensación térmica Límites de K (°C)Muy Caluroso (MC) > 29.1Caluroso (C) 26.0 – 29.1Ligeramente Caluroso (LC) 22.8 – 26.0 Confortable (CO) 19.7 – 22.8Ligeramente Fresco (LF) 16.5 – 19.7Fresco (F) 13.4 – 16.5Frío (Fr) < 13.4

ComoseobservaenlasFiguras 1 y 2,lassensaciones térmicas obtenidasdespuésdees-tandarizarlosíndicessonuntantosimilares.Enelcasodelmesdeenero,lassensacionestérmicasde TEoscilande FR (Frío)a Ligeramente Fresco

(LF),entantoqueparaKsolamentelohacenen-treFrío(FR)yFresco(F).Desde luego, lassensa-cionesdemayor“frío”ocurrenhacialashorasdelasalidadelsol,mientrasquelasdemayor“ca-lor”ocurrenhacialasprimerashorasdelatarde.

Figura1. Marcha horaria diurna promedio de TE y K durante el mes de enero de 1999 en la ciudad de Xalapa, Ver.


Enelmesdeabril,ambosíndicesoscilanen-tretressensacionestérmicas:LigeramenteFresco(LF), Confortable (CO) y Ligeramente Caluroso(LC).Comparadasconelmesdeenero,desdeluego,sonsensacionesdemayor“calor”.Enestecontexto, almenos en la sensación térmica, lacoincidenciadelosíndicesesalta.

DISCUSIÓN

Larelaciónbidireccionalqueexisteentreelcuer-po humano y la atmósfera es evidente; de talformaquemuchosde losestudiosque iniciaronconelobjetivodemantenerunaaltaproducción(agrícola,minera,industrial,etc.)sehanextendi-

doen laactualidadconfinesdemejorarelde-sarrollomanual,perceptivoe intelectualdel serhumano(Tudela,1982).

Sonmuchaslasvariables,factoresycondicio-nesqueserequierenparaalcanzareldesarrolloóptimo del ser humano, además de que estetipodeestudiossehangeneradoparalatitudesygruposétnicosespecíficos,por loqueenestetrabajo sólo se presentan dos índices térmicossencillos que combinan a la temperatura conotra variable (en este caso, humedad relativaparaun índiceyvientoparaotro). Este tipodeíndiceshansidoutilizadosennuestropaísdesdehaceyavariasdécadasyactualmenteyafuturo

Figura2. Marcha horaria diurna promedio de TE y K durante el mes de abril de 1999 en la ciudad de Xalapa, Ver.

La relación bidireccional que existe entre el cuerpo humano y la atmósfera es evidente.

La sensación térmica depende de muchos factores: edad, género, actividad física que se realiza, estado de salud,

ambiente alrededor, etc. Pero en su mayor parte depende de las condiciones meteorológicas.


conlosmismosfines(porejemploJáuregui,1971;Jáuregui et al.,1997;JáureguiyTejeda,2001),yaunqueexistennuevastendenciasymodelos,laaplicacióndeencuestasdeconfortparazonasylugaresespecíficossonunafuentedeinforma-ciónreferentealaspreferenciasdelosindividuosen cuanto a sus necesidades para alcanzar elconfort(García,2008).Sibienenestetrabajonose aplicaron encuestas como se señala en el pá-rrafoanterior, sebuscóatacar laadecuaciónyestandarizacióndeescalasdedos índicesparacompararlos.

CONCLUSIONES

Conbaseenloaquípresentado,seconcluyequelosíndicesempíricosTEyKpuedenseraplicadosa una ciudad de clima templado como lo es la ciudaddeXalapa,Ver.,despuésdellevaracabolaestandarización, las sensaciones térmicasob-tenidas sonmuy similares. La estandarización através del termopreferendum considera, de al-gunamanera,laaclimatacióndelaspersonasalsitiodeestudio,puesconllevaensucálculotanto

a la temperatura media como a la oscilación tér-mica del lugar.

Los índices aquí expresados representan laventaja de utilizar para su cálculo informaciónque,generalmente,esmedidaenunobservato-riometeorológicocomoloeslatemperatura,lahumedadrelativayelviento.

Finalmente, es importante destacar dos as-pectos:lainformaciónbioclimáticatienediferen-tes tipos de aplicaciones como la arquitectura(bioclimática), laplaneaciónurbana, laevalua-cióndegastosdeenergíay lamedicina,entreotras.Y sibien,hoydía sehabladelefectodelcambioclimático,elcrecimientourbanotieneunefectomayoraéste,pueslosmaterialesconlosqueseconstruyen lasciudades sonbuenosab-sorbedoresyemisoresdecalor,paracuyocasosedebenrealizarotrotipodeestudiosqueque-danfueradelobjetivodelpresente.

Agradecimientos:Esta investigación fueparcial-mentefinanciadaporDGAPA-PAPIIT,UNAMenelproyectoIN213209-3.

Los índices empíricos TE y K pueden ser aplicados a una ciudad de clima templado como Xalapa, Ver.

La información bioclimática tiene diferentes tipos de aplicaciones como la arquitectura (bioclimática), la planeación urbana, la evaluación de gastos de energía y la medicina, entre

otras.


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• Fotografíaspropiedaddelautor.


ABSTRACT

The goal of this study is to know the effects ofbiosolid leachates on freshwater biota. Severalbioessayswereconducted inorder toevaluatethe effects on the growth andmortality (LC50)in selected species. For Nannochloris ocula-ta 500 ppmormore of elutriates inhibited theirgrowing.ElutriatesLC50,valueselutriatesat48h;for Oreochromis niloticus,Lecane quadridenta-ta and Limnodrilus hoffmeisteriwere8.6%,42.4%and>80%,respectively.SoildrainagesamendedwithbiosolidsaffectedtoN. oculata. Drainages LC50,valuesat48h;foraquaticfaunawere90t/ha,206t/haand432t/ha,forspeciesmentio-nedpreviously.LC50valuesobtainedarehigherandtheyarenotcommoninnature,onlywithanaccidentahighleachateconcentrationanditsdrainingreachtofreshwaterecosystems.

INTRODUCCIÓN

Los biosólidos, subproducto del tratamiento delas aguas residuales, constituyen una fuenteimportante de materia orgánica y de minerales quepuedenutilizarsecomofertilizanteymejora-dordesuelo(Girovich,1996).Losbeneficiosenlaproductividadagrícolaha sidoampliamentere-portada(Salcedo-Pérezet al.,2007).Sinembargo,en algunos de ellos se presentan altas concentra-cionesdevarioselementoscomolosmetales,com-puestosorgánicos tóxicosy patógenosquepue-dendisminuirsuusobenéfico(Epstein,2003).

Recientemente,laUniversidadAutónomadeAguascalientes (UAA) ha realizado diversos es-tudiosconelobjetivodeconocer yevaluar losefectos adversos de los biosólidos provenientesde la planta tratadora de aguas residuales en

RESUMEN

Elobjetivodeesteestudioesconocerlosefectosqueproducenloslixiviadosdelosbiosólidossobrediversosrepresentantesdelabiotadulceacuíco-la.Losefectossobreelcrecimientoolamortali-dad(CL50)en lasdiferentesespeciesseevalúana través de diversos bioensayos. Nannochloris oculata resultóafectadaensucrecimientoporconcentracionesmayoresa500ppmde lixivia-dos.LasCL50,alas48h.,paralasespeciesdelafaunafueron8.6%,42.4%y>80%paraOreochro-mis niloticus,Lecane quadridentata y Limnodrilus hoffmeisteri, respectivamente. Los drenajes delsueloadicionadoconbiosólidos tambiénafec-taron a N. oculata,mientrasquelasCL50,alas48h;paralafaunaacuáticafueron90t/ha,206t/hay432t/haparalasespeciesyamenciona-das. Lasconcentracionesobtenidasen losbio-ensayos son altas y difícilmente se presentaránenlanaturaleza,amenosquepordescuidoenel manejode losbiosólidos seconcentren loslixiviadosenelcampo,lleguenypermanezcanenlosecosistemasdulceacuícolas.

Lixiviadosdebiosólidossobrelabiotadulceacuícola

1 Departamento de Biología, Centro de Ciencias Básicas, Univer-sidad Autónoma de Aguascalientes, [email protected], [email protected],[email protected].

2 Estudiante de Biología, Centro de Ciencias Básicas, Universidad Autónoma de Aguascalientes, [email protected].

Francisco José Flores Tena 1,LizbethFloresPardavé1,IrisdelCarmenValenzuelaCárdenas1,EduardoAndrésFloresSalinas2

Palabras clave: Biosólidos,bioensayos,Nannochloris ocu-lata,Lecane quadridentata,Oreochromis niloticus, Limno-drilus hoffmeisteri.Key words: biosolids, bioassays, Nannochloris oculata, Lec-ane quadridentata, Oreochromis niloticus, Limnodrilus hoff-meisteri.

Recibido: 22 de julio de 2009, aceptado: 22 de septiembre de 2009


Aguascalientes(FloresyFlores,2005;Flores,et al., 2008),de loscualessehaobtenidoinformaciónimportante para su uso.

Para conocer de una manera más comple-talosefectosdelusodelosbiosólidos,seconsi-derópertinenteevaluarsuacciónsobrelabiotadelmedioacuático, realizandobioensayosconlixiviadosdebiosólidosydedrenajesagrícolassi-mulados,adicionadosconbiosólidosenespeciesrepresentativas de ecosistemas dulceacuícolas:Nannocloris oculata, especie fitoplanctónica,Lecane quadridentata, representante del zoo-plancton,Oreochromis niloticus, especie nectó-nicaexóticaque, juntoconotrasespeciestam-biénexóticas,conformanel80%delaictiofaunaenloscuerposdeaguadelaentidad(MartínezyRojas,2008),yLimnodrilus hoffmeisteri,habitantedelbentos.

MATERIALES Y MÉTODOS

Se tomaron muestras de 5 kg de biosólidos enpesohúmedode laplanta tratadoradeaguasresiduales de la ciudad de Aguascalientes. Los elutriadosseobtuvieronconlatécnicapropues-taporlaEnvironmentalProtectionAgency(EPA),en 1998. Paraobtener losdrenajesagrícolasaunmatrazde1Lseleagregaron100gdesueloseco,provenientede laPostaZootécnicade laUAAdeltipoplanosoleútrico,20gdebiosólidosy520mldeaguadestilada(representa600t/hadebiosólidos)ysesiguióelprocedimientoseñaladoporlaEPAparalaobtencióndeelutriados.Tantoaloslixiviadoscomoalosdrenajesagrícolasselesdeterminaronlassiguientescaracterísticasquími-cas: pH, SólidosDisueltos Totales (SDT), conduc-tividad, nitratos, sulfatos, nitrógeno amoniacal,fosfatos,cloruros,alcalinidad,dureza,DemandaQuímicadeOxígeno(DQO)y losmetalespesa-dosCd,Cr,Cu,Fe,Ni,PbyZn.

Los organismos planctónicos seleccionados paraesteestudiofueronlaclorofitaN. oculata y elrotíferoL. quadridentata,ambosproporciona-dosporelLaboratoriodeToxicologíaacargodelDr.RobertoRico;lascríasdetilapia(O. niloticus)seobtuvieronde laestaciónpiscícoladePabe-llóndeHidalgo,Ags.yeltubifícidoL. hoffmeisteri seobtuvodelalocalidaddeMangas,Hgo.To-dos losorganismos fueron sometidosa lascon-dicionesdelaboratoriomínimodossemanas.Lacepa de N. oculatafuecrecidaenmedioBold con12hluz(1700Lux)y12hoscuridaddurante14días.Concluidoesteperíodo,seañadieronlos

lixiviadosenlacantidadnecesariaparaobtenerconcentracionesde50,200,500y1000ppmylosdrenajesagrícolasparaprobarlasdosisde400y800t/ha.Serealizarondosexperimentoscondosréplicascadauno;eltiempodeexposiciónfuedeunasemana.Paraconocerladensidad(células/mL) se realizaronconteosconelmicroscopioadiferentesdensidadesópticasparaconstruirunacurva,posteriormente,seinterpolaronlosresulta-dosobtenidoscolorimétricamentebajolasdife-rentes condiciones experimentales, obteniendodeestamaneraladensidadpoblacionalbajolasdiferentes condiciones experimentales. La con-centracióndeclorofilafueevaluadadeacuer-doalatécnicadescritaporVollenweider(1974).TambiénserealizaronbioensayosconmedioBold diluídoun50%y concentracionesmayores delixiviados(1000,2000y5000ppm)ydedrenajesagrícolas(2000y4500t/ha).

Losbioensayoscon L. quadridentata consis-tieronentresrepeticionesconlixiviadosytrescondrenajesagrícolasconcadaunadelassiguientesconcentraciones:0,6.25,12.5,25y50%y0,37.5,75,150,y300t/haparaelcasodedrenajesagrí-colas.Tambiénseutilizóuncontrolnegativo(tresgotasdemetilparatión).Secolocarondiez rotí-ferosencadapocilloparacadaconcentración,seexpusierondurante48hdespuésdelascualessecuantificaronelnúmerodeorganismossobre-vivientes.ConlosresultadosdelosbioensayossecalcularonlasCL50paralocualseutilizóelsoft-waredelaUniversidaddeMontpellier(1983).Dela misma manera para L. hoffmeisteriserealizarontres repeticionescon lixiviadosy trescondrena-jesagrícolasencadaunadelassiguientescon-centraciones:0,10,20,40y80%,paraelcasodeloselutriados0,200y600t/haparalosdrenajesagrícolas.Secolocarondieztubifícidosencadafrascode250mlquecontenían15gdearenay185mldesolución.Elbioensayodurócuatrodías;alas48h,72hy96hserealizaronlosconteosparadeterminarelnúmerodesobrevivientes.ConlosresultadosobtenidossecalcularonlasCL50paracadaunodelostiemposyparacadabioensayo.

Para la realizaciónde losbioensayoscon latilapia (O. niloticus ) se colocaron 20 peces deunatallade5±1cmencadapecerade20 lde capacidad. Se seleccionaron las concentra-cionesde0,5,10,15y20%paraelcasode loslixiviadosyde0,60,120,180,240y300t/haparalosdrenajesagrícolas(Figura 3).Cada24horasserevisaronlaspecerasyseretiraronlosejemplaresmuertos.Conlosdatosrecabadosalas48h,72


hy96hsecalcularonlasCL50paralosdiferentesbioensayos.ParalosanálisisestadísticosseutilizóelpaqueteestadísticoMinitab (2008).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Las características químicas de los lixiviados delosbiosólidosydelosdrenajesagrícolasutilizadosparalosbioensayossepresentanenlaTabla 1,enellosseapreciaqueelcontenidodemetalespesadosesmuybajoenamboscasos,almenos,unordendemagnitudinferioraloestablecidoenlaNOM-001-ECOL-1996paralaproteccióndelavidaacuática(SEMARNAP,1996),hechoque in-dicaquenoexistecontaminaciónporpartedeestos elementos.

Lacomposiciónquímicadeloslixiviadosmos-tróunacantidadimportantedesalesminerales:Nitratos,fosfatos,sulfatos,cloruros,bicarbonatos,

mismosquepuedenserutilizadosporlosvegeta-lesparasucrecimiento,enestecasolaclorofila,hechoqueyahasidoreportadoporotrosautorescomoBell y Elmeteri (2007). LosbioensayosconN. oculata mostraron que dosis de 50 ppm delixiviados producen un mayor crecimiento quecuando no se agrega lixiviado, la dosis de 200ppmprodujo un crecimiento similar al testigo ysolamentedosisde500y1000ppmprodujeronundecrementoconrespectoaél.YaqueelmedioBold contiene todos los elementos en concen-tracionesóptimas,unexcesodesalescomo lasdosissuperioresprodujeronunadisminuciónenelcrecimiento.Cuando sediluyóal 50%elmedioBoldsólo laadiciónde5000ppmdelixiviadosyde 4500 t/ha de drenaje causaron efecto ne-gativoen laespecie,concentracionesmenoresproporcionaronpartedelosmineralesfaltantes,debidoa ladilución,yquesonnecesariosparasucrecimiento(Reynoldset al.,1988).Laconcen-

Tabla1. Caracterización química de elutriados de biosólidos y de drenajes agrícolas utilizados en los bioensayosde toxicidad

Parámetro Elutriados Drenaje agrícola600 t/ha

Elutriados* Drenaje agrícola600 t/ha*

pH 8.92 7.37 8.29 7.22

SDT (g/L) 0.436 1.034 1.059 0.933

Conductividad (µS/cm²)671 1590 1629 1435

Nitratos (mg/L) 12 186 36.3 161.3

Sulfatos (mg/L) 30 186 80 123

Nitrógeno Amoniacal (mg/L)70 64 142 5

Fosfatos (mg/L) 0.19 52 86.5 45.5

Cloruros (mg/L) 23.9 2.39 14.39 4.79

Alcalinidad (mg/L) 180 160 386 750

Dureza (mg/L) 480 940 880 460

DQO (mg/L) 138 168 131 55

Metales (mg/L)

Cd 0.04 0.04

Cr 0.61 0.01

Cu 0.02 0.7

Fe <0.05 6.84

Ni <0.01 <0.01

Pb <0.01 <0.01

Zn <0.01 0.03*UtilizadossolamenteconO. niloticus


tracióndeclorofilasolamenteaumentósignifica-tivamentecuandoseagregó50ppmdelixiviadoydisminuyó significativamentecuando seutilizóel medio Bolddiluídoyseagregó5000ppmde

lixiviadoy4500t/hadedrenaje.Loanteriorcoin-cideconladisminuciónenladensidadbajoes-tasmismascondiciones(Tabla 2).

Tabla2. Densidad y concentración de clorofila “a” de N. oculata bajo diferentes condiciones experimentales

Condición Densidad (105 células/ml)

Clorofila “a”( mg/l)

Testigo 8.64 ± 1.12a 7.29 ± 0.28ª50 ppm lixiviado 10.72 ± 0.22b 8.29 ± 0.73b

200 ppm lixiviado 8.36 ± 0.40ª 7.42 ± 0.51ªb

500 ppm lixiviado 6.50 ± 0.36c 7.23 ± 0.09ª1000 ppm lixiviado 6.23 ± 0.31c 7.10 ± 0.10ªMB (50%) + 1000 ppm lixiviado 9.34 ± 0.24ab 7.47 ± 0.43ab

MB (50%) + 2000 ppm lixiviado 8.19 ± 0.57ª 6.51 ± 0.52ªMB (50%) + 5000 ppm lixiviado 6.78 ± 0.26c 3.83 ± 0.31c

Drenaje 400 t/ha 7.12 ± 0.22a 6.90 ± 0.16ªDrenaje 800 t/ha 7.22 ± 0.25ª 7.03 ± 0.21ªMB (50%) + Drenaje 2,000 t/ha 7.67 ± 0.42a 6.93 ± 0.42a

MB (50%) + Drenaje 4,500 t/ha 6.42 ± 0.36c 4.54 ± 0.28c

Diferenteliteralsignificadiferenciasignificativaα=0.05.MB = Medio Bold.

Los valores de las CL50obtenidasdelosbioen-sayosconlafaunadulceacuícolasemuestranenelCuadro3,enelqueseobservaquelaespeciemássensibleenesteestudiofueO. niloticus y la más resistente L. hoffmeisteri.

ElnúmerodeorganismosmuertosdeL. qua-dridentata se incrementóen lamedidaenqueseaumentó laconcentraciónde lixiviadosydedrenajeagrícola. Lamortalidadpudodeberse,entreotrosfactores,alpHylasalinidad;Wallaceet. al., (1993)mencionanqueelpHóptimoparaestaespecieoscilaentre6.5y8.5,yelpHdelixi-viadosfuede8.92.

L. hoffmeisteri mostró una gran tolerancia a los lixiviados (Figura 1), yaqueaúna unacon-centracióndel80%,sóloseregistróun6%demor-talidad,probablemente,laconcentracióndelosdiversoscomponentesdeloslixiviadosnoprodu-jocambio importanteen lafisiologíade losani-males,obien, noconteníanalgúncomponen-tetóxicoquelescausaradaño.Elcontenidodesalinidadenlaconcentracióndel80%(400mg/l)estuvocercanoallímiteinferiordelasaguassa-lobresde500mg/l(Lewis,1980),sinembargo,deacuerdoconKennedy (1965)y Berezina (2003)estosorganismossonresistentesacambiosenlasalinidad.Cuandoseutilizarondrenajesagrícolassíseobservaronefectosnegativosenlaconcen-

Especie Lixiviados (%) Drenaje agrícola (t/ha)48 h 72 h 96 h 48 h 72 h 96 h

O. niloticus 8.6 7.9 7.6 90 90.5 121

L. quadridentata 42.4 206

L. hoffmeisteri >80 >80 >80 432 388 373

Tabla3.Valores de CL50 en bioensayos con lixiviados y drenajes agrícolas en O. niloticus, L. quadridentata y L. hoffmeisteri


traciónde600t/ha,lacualpuedeserunadosisrecomendada para suelos pobres en minera-les como litosoles y planosoles, comunes en laentidad, para ciertos cultivos forrajeros comoelmaíz (Floresy Flores, 2005); enestaconcen-tración se registraronmuertes significativasa las48h,72hy96h,debidoaunposiblefactorcomomayorsalinidaddeldrenajeagrícola(1.1g/l).Loanterior,indicaqueexisteunlímitedetoleranciaalcontenidodesalesparalaespecie,apesardereconocersecomoresistentealasalinidad(LinyYo,2008).

Sibienlatilapia(O. niloticus)esmuyresistentea la variaciónde losparámetros físico-químicosdelhábitat(El-Shafaiet al., 2007),lasconcentra-ciones que presentan los lixiviados, específica-mentelasalinidadylaDQO,pudieroncontribuirde manera importante para incrementar la mor-talidadaconcentracionesdel 10%o superiores(Figura 2).Enelbioensayocondrenajeagrícola,nohubomuchamortalidadyaque la salinidady,sobretodo,laDQOfueronmenores.Unhechoque desconcertó fue que lamayormortalidadocurrióaconcentracionesintermedias(180t/ha),enperiodosdeexposición relativamentecortos(48h).

CONCLUSIONES

Loslixiviadosylosdrenajesagrícolasadicionadosconbiosólidoscontienensalesquepuedenservir

comofertilizanteparaeldesarrollodeN. ocula-ta. Aunque con las concentraciones utilizadasseobservaronefectosnegativos,encondicionesnaturales,laconcentracióndesalesenloscuer-pos de agua suele ser menor a la del medio Bold utilizadoenesteestudio.

Las CL50 obtenidas para los representantesdel zooplancton, del necton y bentos (L. qua-dridentata, O. niloticus y L. hoffmeisteri) indican diferentegradodesusceptibilidad,siendoelpezel más sensible y el tubifícido el más tolerante,tantopara los lixiviadoscomopara losdrenajesagrícolas con suelode tipoplanosol eútricodela región. Engeneral,losresultadosobtenidosindicanquelabiotaacuática se vepocoafectadapor losbiosólidos,porloquelaimplementacióndeestesubproductocomo fertilizanteen loscultivos re-comendados,como los forrajes,nodebeconsi-derarsecomounriesgoambiental,amenosdeque sucedaalgúnderrameaccidentaldeellosoalgúnotrosucesoqueelevelaconcentración,detalmanera,quesealcanceenloscuerposdeagualasconcentracionesqueprodujerondañoenlosbioensayosrealizadosenesteestudio.Porotro lado, también se tienequeconsiderarqueaunqueseutilicenconcentracionesde400y600t/hadebiosólidosparalafertilizacióndelossue-losdelaregión,sólounafracciónalcanzaalle-gara loscuerposdeaguayafectara labiotadulceacuícola.

Figura1.Ejemplar de L. hoffmeisteri expuesto a una con-centración de 80% de elutriados durante 96 h.

Figura1.Bioensayo de elutriados con O. niloticus. Se aprecian ejemplares muertos a una concentración de

10%.


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• Fotografíaspropiedaddelautor.


RESUMEN

Se presenta un esquema no estándar dediferencias finitas para aproximar las solucionespositivasdeunaecuaciónmodificadadeFisher-KPPqueapareceenelestudiode ladinámicade poblaciones. El método es consistente deorden cuadrático y provee aproximaciones nonegativas para cualquier elección de un perfilinicial positivo. La técnica fue validada contrasolucionesanalíticasparaunproblemadevalorinicial.

ABSTRACT

We introduce a non-standard finite-differencescheme to approximate positive solutions ofa modified Fisher–KPP equation appearing inthe investigation of population dynamics. Themethod isconsistent tothesecondorder,and itprovides non-negative approximations for non-negative initial profiles. Themethod is validatedagainst known analytical solutions for an initial-boundary-value.

INTRODUCCIÓN

Las condiciones de no negatividad en las soluciones de modelos matemáticos son de gran importanciacuandolasvariablesaestudiarsonmedidas en unidades absolutas. Por ejemplo,cuandolavariabledeinterésesladensidaddepoblaciónenbiologíamatemáticao,cuandolatemperaturaesmanipuladaenKelvin,entonces,elrequerimientodepositividadenlassolucionesseconvierteenunacondiciónfísicasignificativaquedebeserobservada.

Hoydía,algunosproblemasfísicosasociadosa la ecuación de onda con amortiguamiento (Mickens y Jordan) y la evolución temporal depoblaciones (Mickens,Moghadas yMoghadas)han sido resueltos a través de varias técnicasnuméricasquefuerondiseñadasconelobjetivodegarantizarquelasaproximacionesfuesennonegativas.Ensumayoría,laconstruccióndeestastécnicasestábasadaenlanocióndeesquemasdediferenciasfinitasnoestándares introducidas(Mickens). Estos métodos han generadoresultados satisfactorios tanto para ecuacionesdiferenciales parciales parabólicas de segundoorden como para elípticas. En este trabajo seestudia unmodelo hiperbólico que describe ladensidaddeciertaspoblaciones,basadoenunageneralización de un método no estándar dediferenciasfinitaspropuesto(MickensyJordan).

Losmodelosparabólicoshansidoempleadosconunéxitoparcialencuantoaladescripcióndefenómenosdifuso-reactivos.Comoejemplo,FisheryKolmogorovet al. estudiaron simultáneamente la propagación de genes mutantes que soncruciales para la supervivenciadepoblacionesdistribuidasenhábitats lineales.Sumodelollegó

Unesquemadediferenciasfinitasqueconservalapositividaddeunaecuación

modificadadeFisher-KPP

1 Departamento de Matemáticas y Física, Centro de Ciencias Bá-sicas, Universidad Autónoma de Aguascalientes,

[email protected]., [email protected].

JorgeEduardoMacíasDíaz1

JavierRuizRamírez1

Palabras clave:Problemahiperbólicodevalor inicial,es-quemadediferenciasfinitas,positividad,ecuaciónlinea-lizadadeFisher-KPP.Key words: Hyperbolic initial-value problem, finite-differen-ce scheme, positivity, linearized Fisher–KPP equation.

Recibido: 13 de agosto de 2009, aceptado: 6 de enero de 2010


a ser conocido como la ecuación de Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov(enla literaturatambiénsepuedeencontrarcomolaecuacióndeFisher-KPPo simplementecomo laecuacióndeFisher).Suexpresióneslasiguiente:

(1)

Aquí juega el papel del coeficiente dedifusión, el cual es un número real positivo,y, , siendo una constante tambiénpositiva.LaecuacióndeFisher-KPPeselcasomássimpledeunareacciónnolinealdifusoreactiva y ha sido extensivamente estudiadatanto por la literatura matemática como por la física y biológica. A pesar de la importanciaque ha tenido desde su concepción, en 1937,la ecuación de Fisher presenta la desventajade que cualquier perturbación en el mediodescrito por estemodelo, se propagacon unarapidezinfinita.Parapodersalvarestadificultad,se han propuesto varias modificaciones de lamisma,siendolasgeneralizacionesaecuacionesdiferenciales parciales no lineales hiperbólicaslas más interesantes. De hecho, la inclusiónde un tiempo de relajación ha sido aplicadasatisfactoriamenteenelestudiode ladinámicade poblaciones de parásitos (Hadeler y Dietz),la propagación de virus en placas cuando se considera el tiempo de retraso atribuido a lareproducción del mismo (Fort y Mendez) y lamigración de poblaciones durante el periodoNeolíticoenEuropa(FortyMendez),entreotrassituaciones realistas.

Elmodelopostuladoenesteartículopuedeserconsideradocomounageneralizacióndelaecuación de Heaviside propuesta para el estu-diodelfenómenodetransferenciadecalorparaescalasdetiempodelordendezeptosegundos(Marciak-KozlowskayKoslowski), lainvestigacióndelaecuaciónmodificadadeSchrödingerpro-puesta para describir las interacciones de loselectrones dentro de los átomos en una escala detiempodelosattosegundos(Marciak-Kozlows-kayKoslowski),ydelaecuaciónmodificadadeKlein-Gordonquefueempleadaparaestudiarlapropagación del estado térmico inicial del uni-verso (Koslowski yMarciak-Kozlowska).Como semencionaráalfinaldeestetrabajo,esteartícu-lointentaconstruirunpuentequecomuniqueelestudio de la ecuación de onda amortiguada a travésdeesquemasnoestándaresdediferencias

finitasqueconservanlapositividaddelassolucio-nes,yelcorrespondienteestudiodelasversioneshiperbólicasgeneralizadasdelaecuacióndeFis-her-KPPqueincluyen,entreotrascaracterísticas,lapresenciadecoeficientesnoconstantes.

Es importante mencionar que los métodosnuméricosquesepresentanenestetrabajohansido diseñados siguiendo los paradigmas postu-ladosporMickens.Enparticular,seaprovechalaidea de representar a las derivadas parciales de primerordencomouna sumadistribuidadedi-ferenciasadelantadasycentradas.Además, seaproximan las derivadas parciales de segundoordenconrespectoaunavariablefijautilizandola aproximación de Dufort-Fraenkel (Lari), estoconelobjetivodesimplificar laexpresiónde losesquemasexplícitosqueresulten.

En la segunda sección de este artículo,presentamos la ecuación lineal hiperbólicade interés. A continuación, se introducela notación numérica y los esquemas noestándaresdediferenciasfinitasparaaproximarnuestro problema. Luego, se lleva a cabo unavalidación sistemática y detallada del código computacional, contrastándolo con solucionesexactasderivadasanteladamente.Finalmente,eltrabajoterminaconunaseccióndeconclusiones.

Problema matemático

Sean τ, k y bnúmeros realespositivos, sea unaconstante no negativa y sea I un intervalo cerrado yacotadodel sistemade los números reales . Asúmasequeuesunafunciónde ,donde y . El punto de partida de esta investigación es la ecuación diferencial lineal parcial yhomogéneaconcoeficientesconstantes:

(2)

Cabe mencionar que esta ecuación puedeser fácilmente identificada con otras en ciertoscasosespeciales.Porejemplo,éstasetransformaenlaecuacióndeondaclásicaconrapidezdepropagación igual a en el caso en queambos γ y b sean iguales a cero; la ecuaciónde onda amortiguada con la misma rapidezde propagación aparece en la ecuación (2)si b = 0. La ecuación de Helmholtz (Zwillinger)– una expresión derivada de la ecuación deMaxwell para estudiar la propagación de


ondas–esobtenidasiambos,τ y γ, son igualesacero.LaecuaciónclásicadeSchrödingerconpotencial constante aparece cuando

donde denota laconstanteoriginaldePlanckdivididapor ,yrepresentalamasa;porotrolado,laecuación

de Klein-Gordon amortiguada de la mecánicacuánticarelativistaresultade(2)sibesunnúmerocomplejopuro.Sinembargo,comosemencionóanteriormente, en este trabajo se enfoca laatención al caso cuando γesunnúmerorealnonegativo y τ,k y b2 son positivos.

Otras variantes de (2) ecuación aparecenenvarias ramasde la física,químicaybiología.Como ejemplo, la ecuación linealizada deLandau-Ginzburg de la superconductividad(Kudryavtsev), se obtiene si γ = 0, y laecuación de Maxwell-Cattaneo con uso en latermodinámica se deriva de (2) cuando b = 0.Másrelevantemente,(2)esunamodificacióndela ecuación de Heaviside (también conocidacomo la ecuación del telégrafo), la ecuaciónclásicadeHeavisidesiendoobtenidade(2)sibesunnúmerocomplejopuro.

Problema en un dominio acotado

Enel terrenode la física, γ esdifícilmentecero.Además, laecuación(2)estáacompañadadelas condiciones iniciales y/o de frontera en elconjuntoI. Para propósitos de validación será de particularimportanciaconsiderarelconjuntodecondicionesinicialesydefrontera

(3)

asociadasconlaecuaciónmodificadadeFisher-KPPbajoestudio,enelintervalo . Después deaplicarlatécnicadeseparacióndevariables,lasoluciónanalíticaconlascondicionesdevalorinicialydefronterageneradaporlaecuación(2)ylascondiciones(3),es:

(4)

donde

(5)

y

(6)

Esquema de diferencias finitas-Nomenclatura

Enlapresentesección,seintroduceelesquemadediferencias finitas noestándar utilizadoparaaproximar las solucionesde (2). En loque restade la misma, I representará un intervalo fijoycerradode la forma , y las solucionesdela ecuación modificada de Heaviside seránaproximadas en el intervalo temporal. Con este fin, fijaremos particiones regulares

y de los intervalos I y ,respectivamente,denorma

y en cada caso. Con esta notación, denotarálaaproximaciónnuméricadelvalordeu en ,para y .

Después de haberse desarrollado el análisisnodimensionalde(2),esfácilobservarqueunasimplificación para su estudio se encuentra alalcance al tomar unaconvenciónquese seguirá a partir de este punto en adelante. Además,porsimplicidad,seemplearálasiguientenotaciónestándar:

(7)

asícomolanomenclatura(notanestándar)

(8)

donde se sobreentiende que α es un númeroreal.Esclaroquelasfórmulasparalassegundasdiferencias centrales en (7) aproximan lassegundas derivadas parciales de u respecto a


x y t, respectivamente,mientras que laprimeraexpresiónenlaecuación(8)aproximalaprimeraderivada parcial de u respecto a t,ylasegundaaproximalasegundaderivadarespectoax.Cabeseñalarqueelparámetroαes un parámetro de ponderación entre dos aproximaciones de laprimera derivada con respecto al tiempo. En estos términos, la primera ecuación en (8) esunamaneranoestándardeaproximacióna laprimera derivada temporal.

-Esquema de diferencias finitas

El esquema de diferencias finitas no estándarutilizadoparaaproximarlassolucionesde(2)es:

(9)

Es importante mencionar que el tipo desegunda diferencia utilizada en este esquemaparaaproximar lasegundaderivadaparcialdeu respecto xesconocidacomolaaproximaciónde Dufort-Frankel (Lari), la cual fue empleadaexitosamente en el estudio de la ecuación deonda clásica con amortiguamiento (Mickensy Jordan). Esta última expresión es obtenidade la anterior al reemplazar por Una aplicación de los criterios de Neumann fácilmente expone que el esquema antespresentadoesestablebajolacorrectaseleccióndelosparámetroscomputacionales.Noesdifícilcomprobarqueelesquemadediferenciasfinitaspuedeserreescritodelamanerasiguiente:

(10)

donde las constantes , dependen de los parámetros computacionales y , y de los del modelo , , y .Dehecho,laTabla 1 proporcionaunaexpresiónconcretaparacadaconstante.

- PositividadEn la esta sección, se establecen condicionesen los parámetros , , y en (21), conel objetodegarantizar que las aproximacionesen el ésimo paso de tiempo sean no negativas,asumiendoquelasaproximacionesenlos y ésimos pasos son no negativas. Defínase

(11)

Sea – el coeficiente de – igual a R. Es posibleestablecer rápidamentequeelvalordeαylosvaloresdeloscoeficientesde y son,respectivamente,

(12)

Seoptaporforzarlaigualdadconelobjetivodesimplificarlaexpresióndelesquemaexplícito;esdecir,igualamos .Bajoestascircunstancias,

elesquemasetransformaen:

(13)

Porconveniencia,laTabla 2 presenta el valor de αquehacequeelcoeficiente, y ser igual a R,y losvaloresde loscoeficientes , y en términos de α.

Validación computacionalConsidérese el problema con valor inicial-frontera descrito por la versión no lineal dela ecuación diferencial (2) y las condiciones(6). Además, con el propósito de generarsoluciones no negativas de este problemade valor mixto, se seleccionan los parámetros

y Computac iona lmente ,se fijan y , de forma que

Bajo estas circunstancias, el coeficiente, y para este esquema es cero. Se procede aaproximarlassolucionesdelproblemaconvalorinicialyde frontera,utilizandoelesquemaparadiferentes valores de tiempo. Los resultados delas simulaciones y las soluciones exactas sonpresentados en la Figura 1. Éstos, exhiben que,bajo las condiciones computacionales antesmencionadas,lasaproximacionesseencuentranen excelente acuerdo con los resultadosesperados.

Tabla1. Relación de la expresión de cada parámetro , con la expresión explícita del esquema

considerado

ajuste de escalas de sensación térmica para xalapa

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