HYO-2015

ASIGNATURA

MÉTODOS NUMÉRICOS

DOCENTE DE CURSO

GORA GALLO José

ALUMNO

ALARCÓN VILLALBA, Diego Kevin

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

CENTRO DEL PERÚ

FACULTAD DE INGENIERIA CIVILAJUSTE DE CURVAS: FOURIER Y

MÍNIMOS CUADRADOS

INTRODUCCIÓN

Generalmente se dispone de un conjunto de variables previamente establecidas, y lo que hay que hallar son los valores más adecuados de unos coeficientes o de unos parámetros para estas fórmulas. Esto con el objetivo de obtener un F(x) que relacione correctamente todas las variables.Por otra parte usaremos las series trigonométricas de Fourier para poder también aproximar y ajustar curvas; Jospeh Fourier escribió "Théorie Analytique de la Chaleur" (Teoría Analítica del Calor), donde realizó un estudio detallado de las series trigonométricas las cuales utilizó para resolver varios problemas relacionados con la conducción de calor.

AJUSTE DE CURVAS POR MÍNIMOS CUADRADOS

En la ciencia y la ingeniería se da, a menudo, el caso de que un experimento produce un conjunto de datos (x1,y2), (x2,y2), ..., (xn,yn). El objetivo en esta sección es determinar una fórmula y = ƒ(x) que relacione las variables. Generalmente se dispone de un conjunto de variables previamente establecidas, y lo que hay que hallar son los valores más adecuados de unos coeficientes o de unos parámetros para estas fórmulas. Aunque existen muchas funciones que se pueden usar, suele ocurrir que existe un modelo matemático subyacente, basado en la situación física que se esté estudiando y determina la forma de la función salvo algunos coeficientes.

Si la relación entre xi e yi para 1   i   n, es lineal, entonces la función que mejor se ajusta a los datos es una línea de aproximación de la forma:

y = ax + b (ver figura 3.5)

Una forma para encontrar la recta “óptima” es el método de los mínimos cuadrados y consiste en hallar el valor de las constantes a y b de tal manera que reduzcan al mínimo la suma de los cuadrados de los errores entre los valores yidados y los valores y(xi) = axi + b en la línea de aproximación.

(7)

La cantidad (7) se puede considerar una función de dos “variables” a y b, a la que se le quiere hallar un mínimo. Para que ocurra un mínimo es necesario que las

derivadas parciales  sean cero. Observe que las xi e yi son puntos de datos.

Al dividir entre –2 cada una de estas ecuaciones y desarrollar las sumatorias se obtienen las llamadas ecuaciones normales 

(2)

La solución del sistema (2), de dos ecuaciones con dos incógnitas es

(3)

Por lo tanto la recta que mejor se ajusta a los datos (xi, yi), 1   i   n relacionados en forma lineal es y = ax + b con a y b dados por (3). El problema de aproximar un conjunto de datos (xi, yi), 1   i   n con un polinomio algebraico Pm(x) de grado m < n – 1 mediante el procedimiento de mínimos cuadrados, es similar al de y = ax + b (Ver ejercicio 24 de este capítulo).En muchos casos los datos provenientes de pruebas experimentales no son lineales por lo que es necesario ajustarlos a una función que no sea un polinomio de primer grado. Algunas veces conviene suponer que los datos tienen una relación exponencial. Para ello, la función de aproximación debe tener la forma:

 y = Beax (4) o bien

 y = Bxa (5) para algunas constantes a y B

Es posible desarrollar ecuaciones normales para éstas de manera análoga al desarrollo precedente para una recta por mínimos cuadrados si las derivadas parciales se igualan a cero. Tales ecuaciones no lineales son mucho más difíciles de resolver que las ecuaciones lineales. Por esta razón el método que suele utilizarse cuando se “sospecha” que los datos tienen una relación exponencial, consiste en considerar el logaritmo de la ecuación de aproximación:

 y = Beax ln y = ln(Beax) ln y = ln B + ln eax

ln y = ax + ln B (6)

 y = Bxa ln y = ln(Bxa) ln y = ln B + ln xa

ln y = aln x + ln B (7)((6) y (7) se conocen como formas linealizadas)

Observe que en (6) se presenta en una relación lineal entre x y ln y, por lo que se pueden usar las fórmulas dadas en (3) para resolver el problema lineal cambiandoyi por ln yi y b por ln B. Una ventaja adicional de las formas linealizadas es que las gráficas de los datos

en papel Log-Log o en papel semilogarítmico muestran a simple vista si estas formas son idóneas, en el sentido de que una recta representa los datos cuando se trazan de esa manera.

FOURIER

 

Una expansión trigonométrica de una función f(x) está dada por una sumatoria o serie del tipo:

 

Esta serie puede ser finita o infinita.

 

Las expansiones trigonométricas surgieron en el siglo 18 durante estudios de vibración de cuerdas y otros fenómenos similares pero no fueron tratadas de una manera sistemática sino hasta que, en 1808, Jospeh Fourier escribió "Théorie Analytique de la Chaleur" (Teoría Analítica del Calor), donde realizó un estudio detallado de las series trigonométricas las cuales utilizó para resolver varios problemas relacionados con la conducción de calor. Su trabajo fue controversial en su momento y, aún después de dos siglos, las series de Fourier son importantes, tanto práctica como teóricamente y siguen siendo objeto de investigación.

 

Existen diversas razones para expandir una señal como una serie trigonométrica. Por ejemplo, si f(t) es una señal como podría ser la música que emite un instrumento musical, la descomposición de la función en la serie nos da las frecuencias de los componentes que forman la señal.

  

En este ejemplo t es la variable independiente y se refiere al tiempo. Una señal como 2sin(t) -50sin(3t) +10sin(200t) tiene componentes que vibran a 1, 3 y 200 veces por período. Por los coeficientes podemos ver que el que predomina es50sin(3t).

 Una tarea común en el análisis de señales es la eliminación del ruido de alta frecuencia. Un enfoque para llevar esto acabo es expresar la señal como una serie trigonométrica y poner a cero los coeficientes de las frecuencias altas. 

 Otra tarea es la compresión de datos. Aquí el enfoque puede ser, expresar la función en términos de una expansión trigonométrica y conservar solo aquellos términos cuyos coeficientes sean mayores que algún umbral de tolerancia.  

Pues bien empecemos con el aspecto práctico. Una serie de Fourier está dada por:

 

  El objetivo es encontrar a0, ak y bk para sustituirlas en la expresión anterior.  ak y bk están definidas por:  

 para k = 0,1,2,…, n.

 para k = 1,2,…, n. 

(Nota:Para fines de este artículo estamos considerando sólo intervalos de -pi a pi).

 

 

Ya que en la serie, el coeficiente a0 está dividido entre 2, podemos abreviar su cálculo expresándolo de la siguiente forma:

 

 

Por lo que se puede utilizar directamente para calcular a0 :

 

 

 

Si queremos utilizar esta última definición, se tendría que modificar la serie para que no dividiera entre 2 el coeficiente a0 , ya que nosotros lo acabamos de hacer, del siguiente modo:

 

  Esta última forma es la que estaremos utilizando en los ejercicios presentados.   Resumiendo, nuestra serie de Fourier y sus coeficientes estarían dados por: 

 

Antes de comenzar, a modo de simplificar los posibles cálculos requeridos durante la expansión de una función en su serie de Fourier, es bueno recordar a las funciones pares e impares y sus respectivas integrales.

 Una función par es aquella que cumple con la condición de f(x) = f(-x). Esto quiere decir que el valor de f(x) es el mismo para x o -x. Por ejemplo, la función x2 o cualquier función elevada a una potencia múltiplo de 2 es par. Si f(x)=x2, entonces, para verificar si es par, basta con evaluar por ejemplo f(2) = 4 y f(-2) = 4. Por el contrario, una función impar cumple con la condición de que f(-x) = -f(x). x3 o x elevado a cualquier potencia impar son ejemplos de funciones impares.Para verificarlo podemos evaluar f(x)=x3 con x=2 f(-2)=-8 y f(2)=8 por lo que –f(2)=-8.

 Gráficamente se puede interpretar como se muestra en las siguientes imágenes: 

Función Par

 

Función Impar

 

Ahora bien, hay que tener en cuenta que la multiplicación de dos funciones:

Par y Par = Función Par

Par e Impar = Función Impar Impar e Impar = Función Par

 

Todo esto es importante ya que existen dos teoremas que indican que la integral para el intervalo [-a,a] es 0 para las funciones impares y, para las pares, es igual a 2 veces la integral de [0,a].

Sabiendo que seno es impar y coseno es par, esto quiere decir que podemos simplificar nuestros cálculos si nuestra funcíón a expandir es par o impar. Si es par, podemos dar por hecho que bk será cero y simplemente calcular ak o viceversa, si nuestra función es impar, podemos dar por hecho que ak será 0 y simplemente calcular bk.