aislamientos eléctricos

AISLAMIENTOS ELÉCTRICOS


Horacio Torres-Sánchez

Bogotá, D. C., abril de 2011

VICERRECTORÍA DE INVESTIGACIÓN

© Universidad Nacional de Colombia Vicerrectoría de Investigación Dirección de Investigación Sede Bogotá© Editorial Universidad Nacional de Colombia© Horacio Torres-sánchez

Dirección de Investigación Sede BogotáLuis Fernando Niño Vásquez

Director

Editorial UNComité editorialLuis Ignacio Aguilar Zambrano

Gustavo Zalamea Traba

Julián García González

Luis Eugenio Andrade Pérez

Salomón Kalmanovitz Krauter

Gustavo Silva Carrero

Primera edición, 2011ISBN : 978-958-719-955-0 (rústica).

ISBN : 978-958-719-954-3 (impresión bajo demanda).

ISBN : 978-958-719-956-7 (e-book)

Diseño colección DIBÁngela Pilone Herrera

EdiciónEditorial Universidad Nacional de Colombia

[email protected]

www.editorial.unal.edu.co

Bogotá, D. C. Colombia, 2011

Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio

sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Torres Sánchez, Horacio, 1949- Aislamientos eléctricos / Horacio Torres Sánchez. – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Vicerrectoría de Investigación. Dirección de Investigación, 2011 214 p.

Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-719-955-0 (rústica). – ISBN : 978-958-719-954-3 (impresión

bajo demanda). – ISBN : 978-958-719-956-7 (e-book)

1. Aisladores eléctricos 2. Sistemas eléctricos 3. Distribución eléctrica - Alta tensión 4. Descargas eléctricas a través de gases I. Tít.

CDD-21 621.31937 / 2011

A Berthica, a Nandita, a Juan Carlos, a la niña Sofi, al zorrito Juan Diego y a mis dilectos discípulos y amigos del PAAS- UN

9

Contenido

Introduccción 13

Capítulo 1 FUNDAMENTOS 17

Presentación 171.1 Carga eléctrica. Desarrollo histórico de conceptos 17

1.1.1 Las ecuaciones de Maxwell 191.1.2 Ley de Gauss para campos eléctricos en espacio libre 211.1.3 Ley de Gauss para campos magnéticos 221.1.4 Ley de Faraday 231.1.5 Ley de Ampere circuital en espacio libre 241.1.6 Ley de Lorenz 26

1.2 Intensidad del campo eléctrico 271.2.1 Líneas de campo eléctrico 281.2.2 Flujo eléctrico 29

1.3 Potencial eléctrico 291.3.1 Superficies equipotenciales 30

1.4 Métodos de cálculo de campo eléctrico 311.4.1 El método de diferencias finitas 311.4.2 El método de simulación de cargas 461.4.3 Confrontación de resultados 551.4.4 Otras aplicaciones 55

1.5 Comportamiento de dieléctricos sometidos a campos eléctricos 571.5.1 Resistencia dieléctrica y capacidad 57

1.6 Polarización 631.6.1 Polarización por deformación o electrónica 641.6.2 Polarización por orientación 64

1.7 Pérdidas dieléctricas 65

1.8 Permitividad 67

1.9 Combinación de dieléctricos 69

1.10 Factor de utilización 70

Capítulo 2COMPORTAMIENTO DIELÉCTRICO DE LOS GASES 73

Presentación 73

2.1 Principios básicos de la teoría cinética de los gases 74

2.2 Ionización 77

10


2.3 Procesos de ionización 802.3.1 Fotoionización 802.3.2 Termoionización 802.3.3 Desionización 81

2.4 Efectos de los electrodos en el proceso de ruptura dieléctrica 832.4.1 Emisión fotoeléctrica 842.4.2 Emisión por impacto de iones positivos 842.4.3 Emisión termoiónica 84

2.5 Teoría de Townsed para la descarga eléctrica en gases 842.5.1 Primer coeficiente de Townsend 842.5.2 Segundo coeficiente de Townsend 87

2.6 Teoría de canales para la descarga eléctrica en gases 892.6.1 Canal dirigido al cátodo 892.6.2 Canal dirigido al ánodo 90

2.7 Tensión disruptiva - Ley de Paschen 92

2.8 Efecto corona 952.8.1 Aplicaciones industriales 972.8.2 Aplicaciones en subestaciones aisladas con gas 100

Capítulo 3COMPORTAMIENTO DIELÉCTRICO DE LOS SÓLIDOS 103

Presentación 1033.1 Mecanismos de ruptura 103

3.1.1 Ruptura intrínseca o mecánica 1043.1.2 Ruptura eléctrica pura 1063.1.3 Ruptura térmica 1083.1.4 Ruptura por erosión 109

3.2 Aislamiento Sólido frente a Descargas Parciales 113

Capítulo 4COMPORTAMIENTO DIELÉCTRICO DE LOS LÍQUIDOS 117

Presentación 1174.1 Propiedades 1174.2 Clasificación 118

4.2.1 Aceites minerales 1184.2.2 Hidrocarburos aromáticos clorados 1194.2.3 Aceites de silicón y esteres 1204.2.4 Poliésteres perfluorados 121

4.3 Ruptura dieléctrica en líquidos 1214.3.1 Extensión de la teoría de disrupción en gases 1214.3.2 Impurezas sólidas suspendidas 1234.3.3 Presencia de burbujas 123

Capítulo 5SOBRETENSIONES ELÉCTRICAS 127

Presentación 1275.1 Sobretensiones externas 1285.2 Sobretensiones internas 1295.3 Métodos para el cálculo de sobretensiones 130

5.3.1 Ondas viajeras 131

11

5.3.2 Método de Bewley 1365.3.3 Ejemplo de aplicación 1 1395.3.4 Método de Bergeron para el cálculo de sobretensiones 1435.3.5 Formulación matemática del método de Bergeron 1445.3.6 Ejemplo de aplicación 2 1525.3.7 Aplicación digital del método de Bergeron 1555.3.8 El método de las características de Bergeron.

Circuito equivalente de la línea de transmisión 1575.3.9 La regla trapezoidal de integración 1595.3.10 Circuitos equivalentes para la inductancia,

capacidad y resistencia 1605.3.11 Ejemplo de aplicación 3 163

5.4 Los programas digitales-ATP-EMTP 1765.4.1 Ejemplo de aplicación 4. Contribución a la solución

del problema de falla de transformadores de distribución en Colombia 178

Referencias Bibliográficas 199

Índice temático 205

Índice onomástico 211

CONTENIDO

12


Lista de tablas

Tabla 1.1 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial e integral y en función del tiempo. 20

Tabla 1.2 Ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Valores del potencial en la configuración nube - placas. 42

Tabla 1.3 Ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Magnitud y ángulo del campo eléctrico en el espacio interelectródico. 45

Tabla 1.4 Capacidad para diferentes configuraciones geométricas. 62

Tabla 2.1 Energía de ionización en [eV] para algunos gases. 78

Tabla 2.2 Afinidad electrónica en [eV] para algunos gases. 82

Tabla 2.3 Energía de salida en [eV] para algunos metales. 83

Tabla 2.4 Constantes A y B para algunos gases. (T = 20 ºC). 87

Tabla 2.5 Valores del segundo coeficiente de Townsend � para diferentes combinaciones metal-gas. 89

Tabla 2.6 Valores de tensión disruptiva mínima y de presión-distancia (pd) mínima para algunos de los gases más comunes. 94

Tabla 3.1 Estado del aislamiento y medidas según pérdidas dieléctricas y descargas parciales. 114

Tabla 4.1 Propiedades físicas y eléctricas de algunos de líquidos aislantes más comunes. 121

Tabla 5.1 Coeficientes de reflexión y refracción de las ondas de tensión y corriente. 136

Tabla 5.2 Método de Bewley. Coeficientes de reflexión y refracción de la onda de tensión al viajar a través de diferentes medios 1, 2 y 3. 137

Tabla 5.3 Ejemplo de aplicación del método de Bewley. Coeficientes de reflexión y refracción del impulso de tensión. 140

Tabla 5.4 Costos de reposición de transformadores tipo estándar. 196

Tabla 5.5 Costos de reposición de transformadores Prototipo Nuevo Diseño (caso más desfavorable). 196

13

Introducción

Este libro es el fruto de más de 25 años que el autor ha dedicado a la investigación sobre el tema de aislamientos eléctricos en la Universidad Nacional de Colombia, con el invaluable apoyo de los miembros de su grupo de investigación PAAS-UN. Se diseñó como un texto de consulta tanto para ingenieros como para estudiantes de cursos de pregrado y posgrado sobre el tema de aislamientos eléctricos. Está enfocado en dos objetivos básicos: para el mejor entendimiento de los fundamentos de la teoría de campo eléctrico, orientada principalmente a lo relacionado con la técnica de la alta tensión y sus aplicaciones, y para el diseño, evaluación y aplicación de los aislamientos eléctricos gaseosos, líquidos o sólidos.

El libro tiene un enfoque basado en la teoría de los campos electro-magnéticos, con ejemplos prácticos que le permiten al lector entender los mecanismos de disrupción de los aislamientos eléctricos. Está dirigido a:

�� -der la función de los aislamientos eléctricos en los equipos como cables, transformadores, interruptores, y para quienes el entendi-miento del tema les facilitará el trabajo de especificación de equi-pos eléctricos.

�� atractivo pues describe en forma sencilla fenómenos eléctricos en los medios aislantes tales como la descarga eléctrica, el efecto corona o las descargas parciales. Adicionalmente, se presentan ejemplos sencillos de aplicación de cálculo de campo y potencial eléctrico que normalmente, debido a su denominación, parecen teorías complejas: diferencias finitas y simulación de cargas.

�� guía importante el capítulo final del libro acerca de sobretensiones eléctricas, pues se explican de forma sencilla los métodos para su cálculo y son la base para entender conceptualmente el software conocido como EMTP-ATP (Electromagnetic Transients Program – Alternative Transients Program).

14


Se organizó el presente libro partiendo en el primer capítulo con los fun-damentos de la teoría de campo eléctrico, enfocada principalmente a lo relacionado con la técnica de la alta tensión y sus aplicaciones. El segundo capítulo desarrolla los conceptos de disrupción de gases, ya que gran parte de los equipos utilizados, como conductores en líneas de transmisión; trans-formadores, interruptores, seccionadores, etc., son generalmente aislados por algún material en su fase gaseosa. Los aislamientos sólidos constituyen una parte fundamental de las estructuras en los sistemas de potencia eléc-trica, puesto que proveen tanto el soporte mecánico de las partes conduc-toras, como el aislamiento eléctrico de las mismas, que se desarrollan en el tercer capítulo. El capítulo cuarto se centra en los dieléctricos líquidos, por las características intrínsecas que poseen, lo cual resulta beneficioso en aplicaciones que por sus especiales condiciones imposibilitan el uso de dieléctricos sólidos y gaseosos. En el quinto capítulo se exponen los con-ceptos fundamentales de los dos tipos de sobretensiones, las externas o de tipo atmosférico y las internas causadas por maniobras en el sistema, que está compuesto por aislamientos gaseosos, sólidos o líquidos. Igualmente, los métodos de cálculo, presentados al final, están dirigidos a determinar, esencialmente, el comportamiento de estos tipos de sobretensiones en sis-temas de potencia de alta tensión que son la base conceptual del software EMTP-ATP.

El autor agradece a la Universidad Nacional de Colombia por proporcio-nar apoyo y un medio ambiente en el cual se pudieron desarrollar nuestras ideas con los miembros del grupo de investigación PAAS-UN. Este grupo de investigación ha evolucionado dentro de un entorno basado en los elementos de una empresa ética. Se ha logrado una cultura organizacional con valores comunes, que ha guiado el comportamiento de todos los estudiantes y coin-vestigadores que hacen parte de el, con conciencia de que estos valores son construidos colectivamente, y van más allá que unas reglas impuestas. El principio ético fundamental de este grupo de investigación ha sido el talento humano, digno de respeto sin ser tratado como un medio sino como un fin. En este se ha buscado la combinación de bienes tangibles e intangibles, como la armonía, la cooperación, el manejo de conflictos y la convivencia. Estos bienes inmateriales pertenecen al capital del grupo, lo que Adela Cor-tina denomina el Capital Simpatía, que ayuda a generar, sin duda, utilidades para la sociedad.

Por todo lo anterior, el autor desea agradecer y dedicar este libro a todos sus dilectos discípulos que han hecho parte del grupo PAAS-UN a través de estos cinco lustros, quienes con sus ideas plasmadas en las tesis de pregra-do, maestría y doctorado han desarrollado esta investigación. En especial a

15

INTRODUCCIÓN

Alejandro Herrera y Miguel Lozano, quienes lograron recopilar y organizar la versión final del texto.

Finalmente, agradecer a la persona que con su paciencia e inteligencia ha sido el soporte fundamental para poder concretar todas las ideas que hoy son una realidad: mi amada Berthica.

Horacio Torres SánchezProfesor titular, emérito y especial

de la Universidad Nacional de Colombia

17


PRESENTACIÓN

El objetivo de este primer capítulo es proporcionar una visión global de los fundamentos de la teoría de campo eléctrico, enfocada principalmente a lo relacionado con la técnica de la alta tensión y sus aplicaciones. Por tal razón, este capítulo no pretende constituirse en un tratado detallado de la teoría electromagnética en general, la cual puede estudiarse en documentos encaminados a tal fin.

Se ha prestado especial interés a la definición cualitativa de conceptos elementales, como: carga eléctrica, campo eléctrico y potencial eléctrico. Estas definiciones son introductorias al estudio de algunos de los métodos de cálculo de campo eléctrico, utilizados actualmente en diversas aplicaciones, y a la exposición general del desempeño dieléctrico de los diferentes tipos de materiales aislantes usados en alta tensión, posteriormente detallada.

1.1 CARGA ELÉCTRICA. DESARROLLO HISTÓRICO DE CONCEPTOS

En la antigua Grecia, hacia el año 600 a.C., ya se sabía que al frotar ámbar1 con lana, este adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros tales como plumas o pajitas; esta atracción se confundió frecuentemente con la atrac-ción magnética del hierro por la piedra imán. En la actualidad, al interpretar esta propiedad se dice que el ámbar está electrizado, que posee carga eléc-trica, o bien que está cargado eléctricamente. Estos términos derivan de la

1 Resina fósil de color amarillo, dura, quebradiza y aromática.

Fundamentos1

18


palabra griega elektron, que significa ámbar. La palabra magnético procede de Magnesia2.

En el siglo XVI, el físico inglés William Gilbert (1540-1603) estudió sistemáticamente los fenómenos eléctricos y magnéticos, y demostró que muchas sustancias diferentes al ámbar presentan esta propiedad atractiva. Aparentemente, Gilbert no acertó a observar la repulsión eléctrica. Hacia 1729, el inglés Stephen Gray descubrió que la atracción y la repulsión eléc-trica pueden transferirse de un cuerpo a otro si ambos se conectan mediante determinadas sustancias, en especial metales. Tal descubrimiento implica que la electricidad tiene una existencia por sí misma y no es solo una pro-piedad impuesta al cuerpo por frotamiento.

La existencia de dos clases de electricidad fue sugerida por Charles François DuFay (1698-1793), mediante la experimentación con laminillas de oro que eran atraídas por vidrio previamente frotado con piel. Cuando las laminillas de oro eran tocadas por el vidrio adquirían la virtud eléctrica y repelían el vidrio. Si las laminillas se electrificaban tocándolas con ámbar electrificado, entonces eran repelidas por el ámbar y atraídas por el vidrio. A estos dos tipos de electricidad se les dio el nombre de vítrea y resinosa.

En 1747, Benjamín Franklin propuso el modelo de un solo fluido de electricidad, una vez realizado el siguiente experimento: si una persona A que se encuentra de pie sobre un bloque de cera, para aislarse del suelo frota un tubo de vidrio con un paño de seda, y otra persona B, también de pie sobre cera, toca el tubo de vidrio, tanto A como B quedan electrificados. Ambos pueden hacer que salte una chispa a una persona C situada sobre el suelo. Sin embargo, si A y B se tocan entre sí, antes de tocar a C, neutra-lizan su electricidad. Franklin propuso que todo cuerpo tiene una cantidad de electricidad normal. Cuando un cuerpo se frota contra otro, parte de la electricidad es transferida; así pues, uno tiene un exceso y otro una deficien-cia de igual valor. El exceso y la deficiencia pueden describirse con signos positivo (+) y negativo (-). A partir de estas observaciones y de las hechas por DuFay se dedujo que las cargas de signo contrario se atraen y las de igual signo se repelen. Una importante característica del modelo de Franklin es la implicación de la conservación de la electricidad, ahora conocida como ley de conservación de la carga, esto es, cuando un cuerpo se frota contra otro, no se crea carga en el proceso. El estado de electrización se debe a una transferencia de carga de uno de los cuerpos hacia el otro. Por tanto, uno de los cuerpos gana cierta cantidad de carga negativa, en tanto que el otro gana

2 Antigua región en la que se descubrió la magnetita o piedra imán.

19

FUNDAMENTOS

una cantidad igual de carga positiva. Puesto que Franklin llamó positiva al tipo de electricidad vítrea de DuFay, la electricidad resinosa de DuFay es la carencia de electricidad vítrea, o sea, es negativa. El tubo de vidrio al frotar-se adquiere un exceso de electricidad y es positiva, mientras que el trozo de ámbar pierde electricidad cuando se frota, y resulta ser negativa.

En experimentos con vasijas metálicas huecas, Joseph Priestley (1733-1804) demostró que no existe ninguna electricidad en el interior de la vasija. A partir de estas observaciones, Priestley dedujo que la fuerza entre dos cargas varía proporcionalmente al inverso del cuadrado de la distancia que las separa. Esta ley fue confirmada experimentalmente por Charles Coulomb (1736-1806), y actualmente se conoce con el nombre de Ley de Coulomb.

En el siglo XIX fue notorio un rápido crecimiento de los conocimientos en electricidad y magnetismo, culminando con los grandes experimentos de Michael Faraday (1791-1867) y los desarrollos matemáticos de James Clark Maxwell (1831-1879), sobre la teoría de la influencia electrostática y la inducción electromagnética. En 1909, Robert Millikan (1886-1953) demostró que la carga eléctrica siempre se presenta como algún múltiplo entero de alguna cantidad fundamental de carga e; actualmente este con-cepto se conoce como la cuantización de la carga, es decir, que existe como paquetes discretos [47], [60], [69].

En resumen, las propiedades de la carga eléctrica son:a) Existen dos tipos de carga en la naturaleza, positiva (+) y negativa (-).b) Las fuerzas eléctricas entre cargas varían en forma inversamente pro-

porcional al cuadrado de la distancia que las separa.c) La carga se conserva, no se crea ni se destruye, tan solo se transfiere.d) La carga está cuantizada [61], [69].

1.1.1 Las ecuaciones de Maxwell

El conocimiento que hoy tenemos sobre la estructura de la materia ha per-mitido entender y aplicar mucho mejor las teorías y leyes aún vigentes sobre el electromagnetismo que se desarrollaron sistemáticamente durante el siglo XIX. A continuación se presenta un resumen de los conceptos sobre las ecuaciones de Maxwell, que el autor ha desarrollado con base en diferentes autores y las presenta en sus cursos de pre y posgrado. Ver bibliografía 71.

Las ideas de Faraday sobre conservación de la energía y su serie de experimentos de 1831 le llevaron a expresar la corriente eléctrica inducida en un alambre en términos del número de líneas de fuerza que son cortadas por el alambre. El concepto de líneas de fuerza fue rechazado por muchos de los matemáticos y físicos europeos de la época, debido a que ellos asumían

20


que las cargas se atraían y repelían unas a otras por acción de la distancia, haciendo tales líneas de fuerza innecesarias.

Los resultados de los experimentos de Faraday, Ampere y Oersted, entre otros, y el concepto sobre líneas de fuerza convencieron al físico escocés James Clark Maxwell para plantearlos en forma matemática, dando así na-cimiento a la moderna teoría científica de los campos electromagnéticos. Su artículo sobre las líneas de fuerza de Faraday fue leído ante la Sociedad de Filosofía de Cambridge, Inglaterra, en dos partes, durante los años 1885 y 1886. Maxwell mostró así que unas sencillas ecuaciones matemáticas podían expresar el desarrollo de los campos eléctricos y magnéticos y su interrelación.

Estas cuatro ecuaciones se presentan en forma diferencial e integral y en función del tiempo, en la tabla 1.1.

Tabla 1.1 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial e integral y en función del tiempo.

Forma diferencial Unidades Forma integral

.

.

0

0

0

0

E

B

xEB

t

xB

JE

t

v[C/m3]

[T]

[V/m2]

[A/m2]

0

0

E ds dv

B ds

E dld

dtB ds

vVS

S

Sl

.

.

. .

�

�

�

BBdl J ds

d

dtE

S Sl

00

. . . �

El vector de intensidad de campo eléctrico E tiene como unidades la fuerza por unidad de carga (newtons [N] por culombios [C]), mientras que el vector de densidad de flujo magnético B tiene como unidad el weber [Wb] por metro cuadrado o tesla [T].

De acuerdo con el cálculo vectorial, el operador nabla (�, por su pareci-do con cierta lira antigua de Oriente Medio) expresa cómo varían los campos eléctrico (E) y magnético (B) en el espacio tridimensional. Matemáticamen-te, el vector gradiente (escrito grad) de un campo escalar f es expresado en coordenadas rectangulares como:

21

FUNDAMENTOS

grad f = af

xa

f

ya

f

zx y z

(A1)

La presencia de una función común f en cada término de la ecuación (A1) permite separar de esta expresión un operador vectorial de derivadas parciales, el cual se conoce como:

a

xa

ya

zx y z (A2)

El “producto punto (divergencia)” y el “producto cruz: x (rotacional)”, después de �, denotan dos tipos diferentes de variación espacial. El primero es una variación escalar y el segundo una vectorial. J representa una corrien-te eléctrica, mientras que � representa la densidad de las cargas eléctricas. �0 y μ0 no son variables, sino propiedades del medio en que se mide E y B y determinadas mediante experimentación. En el espacio libre estas constan-tes de la naturaleza son:

0

910

36

F/m

0

74 10 . H/m

Las cuatro ecuaciones de Maxwell se conocen en la literatura con otros nombres en honor a aquellos científicos que hicieron posible el entendimien-to del fenómeno electromagnético.

1.1.2 Ley de Gauss para campos eléctricos en espacio libre

La primera de las cuatro ecuaciones de Maxwell expresa cómo un campo eléctrico, debido a cargas eléctricas (electrones, por ejemplo) varía con la distancia, es decir, se debilita cuanto más se aleja de su punto de medición. Pero, cuanto mayor es la densidad de carga, más fuerte es el campo.

22


Figura 1.1 Carga eléctrica contenida solamente dentro del volumen V que rodea la superficie S.

Q

dV

Ex,y,z

S

Esta ecuación también se conoce como Ley de Gauss para campo eléctrico en espacio libre, y se interpreta que la integral de la cantidad (�0 E).ds sobre una superficie cerrada S es una medida de la cantidad de carga eléctrica que está contenida solamente dentro del volumen V que rodea la superficie S.

1.1.3 Ley de Gauss para campos magnéticos

La segunda ecuación de Maxwell expresa que no se puede hacer una afirma-ción comparable a la anterior para magnetismo, porque las “cargas” magné-ticas, que suponía Mesmer, no existen. Por ejemplo, si se corta un imán por la mitad, no existirá un polo norte aislado y un polo sur aislado; cada parte de las cortadas tendrá sus polos norte y sur.

Esta segunda ecuación de Maxwell también se conoce como Ley de Gauss para campos magnéticos, y especifica que la densidad de campo magnético neto (positivo o negativo) que emana de cualquier superficie ce-rrada S en el espacio será siempre cero. Es decir, ley de conservación de la energía: lo que entra es igual a lo que sale.

23

FUNDAMENTOS

Figura 1.2 La densidad de campo magnético B que emana de una superficie cerrada será siempre cero.

I

BS

Figura 1.3 Campo eléctrico (E) inducido por la variación de un campo magnético.

ψm

B

E

1.1.4 Ley de Faraday

La tercera ecuación de Maxwell describe cómo un campo magnético variable induce un campo eléctrico.

24


Esta ecuación también se conoce como Ley de Faraday o Ley de la fuerza electromotriz inducida (emf por sus siglas en inglés), en honor a los trabajos experimentales del físico ingles. La Ley de Faraday establece que la rata de tiempo de decrecimiento del flujo magnético neto que atraviesa cualquier superficie arbitraria S es igual a la integral del campo E alrededor de la línea cerrada que rodea S. Esto es equivalente a decir que un campo E es generado por un flujo magnético variable con el tiempo. El campo E tiene que también variar con el tiempo para satisfacer la ecuación en cada instante. Para campos eléctricos estrictamente estáticos en el tiempo la Ley de Faraday será igual a cero.

1.1.5 Ley de Ampere circuital en espacio libre

La cuarta ecuación de Maxwell describe el complemento de la tercera: cómo un campo eléctrico variable con el tiempo (o una corriente eléctrica) induce un campo magnético.

Frecuentemente a esta ecuación se le llama Ley de Ampere circuital en espacio libre. Esta ecuación indica que la integral de línea del campo B (modificado por la permeabilidad del medio) alrededor de cualquier camino arbitrario cerrado l tiene que, en cualquier tiempo t, ser igual a la suma de la corriente eléctrica neta i más la rata de tiempo de cambio del flujo eléctrico neto, que pasa a través de la superficie S limitada por l.

J

ψe

ψe

i

BFigura 1.4 Densidad de campo magnético B

inducido por la variación de un campo eléctrico E.

25

FUNDAMENTOS

Para el espacio vacío, Maxwell sugirió que la forma correcta de sus ecuaciones era:

.

.

0

0

0

0

0

E

B

xEB

t

xB E

t

(A4)

Maxwell consideró que en el espacio vacío no existen ni cargas ni co-rrientes eléctricas, mientras que sí existe una débil corriente de desplaza-miento, en dieléctricos, de acuerdo con la cuarta ecuación. Maxwell mantu-vo la simetría entre los campos eléctrico y magnético; un campo magnético variable genera un campo eléctrico y viceversa.

Con estas consideraciones, Maxwell demostró que E y B se propagaban por el espacio vacío como si fueran ondas con una velocidad c que calculó como:

c 1

0 0

(A5)

Asombrosamente, Maxwell encontró que las ondas electromagnéticas se propagaban en vacío a la velocidad de la luz; el vacío parecía actuar como dieléctrico. Maxwell vivía en una sociedad mecanicista y propuso un modelo mecánico para la propagación de una onda electromagnética a través de un vacío perfecto. Así, se imaginó el espacio lleno de una sustancia gelatinosa, invisible, incorpórea, a la que llamó éter. Las vibraciones del éter eran la razón por la que la luz viajaba a través de él, igual que las ondas de agua se propagan por el agua y las ondas de sonido por el aire.

La teoría del éter llevaría cuarenta años más tarde a la teoría especial de la relatividad de Einstein, quien demostró de manera concluyente que no hay un éter que sostenga la propagación de ondas electromagnéticas. La

26


onda avanza por sí sola. El campo eléctrico variable genera un campo mag-nético y el campo magnético variable genera un campo eléctrico.

Las ecuaciones de Maxwell muestran que un campo eléctrico rápida-mente variable debería generar ondas electromagnéticas. En 1888, el físico alemán Heinrich Hertz realizó el experimento y encontró que había generado una nueva especie de radiación, ondas de radio. A principios de siglo, el ingeniero croata Nikola Tesla patentó en Estados Unidos la utilización de ondas de radio para la comunicación sin hilos, aunque los aplausos de este hallazgo se los llevó injustamente el italiano Marconi.

1.1.6 Ley de Lorenz

Si los campos E y B existen en un punto P del espacio, su presencia puede ser detectada por medio de una carga de prueba positiva Q+ colocada en ese punto.

+ + + +

_ _ __

Q+

dl1

2

Figura 1.5 Fuerza del campo eléctrico sobre una carga de prueba positiva Q+.

27

FUNDAMENTOS

La fuerza actuando sobre la carga de prueba Q+ está dada por la Ley de Lorenz:

F = Q(E + v x B)

FE = QE (A6)

donde:Q es la carga (en culombios) en el punto Pv es la velocidad (en metros por segundo) de la carga QE es la intensidad de campo eléctrico (en newtons por culombio) en el

punto PFE = QE es la fuerza (en newtons) del campo eléctrico actuando sobre

la carga QFB = Qv x B es la fuerza (en newtons) del campo magnético actuando

sobre QDebido a que la fuerza es un vector y la carga un escalar, el campo

eléctrico E debe ser un vector para satisfacer la ecuación (A6).Mediante la consideración de una carga de prueba positiva, queda de-

terminada la dirección del vector de campo eléctrico E: de positivo hacia ne-gativo. Las líneas de flujo de campo eléctrico �e se presentan como curvas en el espacio, cuyas tangentes coinciden con las direcciones de los vectores de intensidad de campo eléctrico E.

1.2 INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

Se centra la atención a partir de este ítem en las ecuaciones de campo eléctrico, las cuales se aplican a los materiales dieléctricos. Se puede definir un campo eléctrico en cualquier punto del espacio en términos de la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba q0, colocada en ese punto. Con mayor precisión se dice que el vector de campo eléctrico E, en cual-quier punto del espacio, es la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en ese punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q0:

��

EF

q0

(1.1)

Si la fuerza F está en newtons [N] y la carga q0 está en amperios-segundo [A-s], la magnitud de la intensidad del campo eléctrico estará en newtons/amperios-segundo [N/A-s], que es igual a voltios/metro [V/m]. Se

28


debe tener en cuenta que E es el campo externo a la carga de prueba, y no el producido por ella misma. Considerando la carga de prueba como positiva (+), la dirección de los vectores de campo eléctrico E se determina de posi-tivo (+) a negativo (-) [60], [69].

1.2.1 Líneas de campo eléctrico

El concepto de líneas de campo eléctrico se emplea como una ayuda conve-niente para imaginar los patrones seguidos por los vectores de campo eléc-trico. Una línea de campo es una línea imaginaria trazada de forma que su dirección en cualquier punto es igual a la del campo en ese punto. Si todas las líneas de campo eléctrico en un espacio definido tienen igual magnitud, dirección y sentido, se tiene un campo eléctrico homogéneo.

En la figura 1.6 se muestran las líneas de campo para diferentes con-figuraciones de carga: a) una sola carga, b) dos cargas de diferente signo o dipolo y c) cargas de igual signo [61], [69].

++

a.

++ --

b.

++ ++

Figura 1.6 Líneas de campo eléctrico para diferentes configuraciones de carga. a) Una sola carga, b) dos cargas de diferente signo o dipolo y c) cargas de igual signo.

29

FUNDAMENTOS

1.2.2 Flujo eléctrico

El flujo � es una medida del número de líneas de campo eléctrico que atra-viesan cierta superficie. Cuando la superficie que está siendo atravesada encierra alguna carga neta, el número neto de líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en su interior [60], [61], como en la figura 1.7.

dA

dA D

} dαψ

Figura 1.7 Diferencial de área dA sometido a un campo eléctrico.

Si la densidad de campo eléctrico D se define como el cociente entre el flujo y el área perpendicular que atraviesa, la expresión para un diferencial de flujo es [32]:

d D dAcos (1.2)

donde dA es un pequeño diferencial de área cuya representación vecto-rial es perpendicular a la superficie y � es el ángulo entre dicho diferencial y el vector densidad de campo eléctrico. Integrando este diferencial, sobre un área determinada se obtiene el flujo total.

1.3 POTENCIAL ELÉCTRICO

El potencial eléctrico se define en función de la energía potencial de una car-ga de prueba en cualquier punto de un campo eléctrico, la cual representa el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando se lleva dicha carga desde el punto en cuestión hasta un nivel de referencia cero, que a menudo se toma en el infinito [60], [61]. Así, el potencial eléctrico V es la energía potencial U por unidad de carga q0.

30


VU

q0

(1.3)

El potencial estará en voltios [V] si la energía potencial se encuentra en julios [J] y la carga en culombios [C]. La diferencia de potencial Vb - Va entre dos puntos a y b está definido como el cambio de la energía potencial dividido entre la carga de prueba q0. Así [38]:

V VU U

qds

b a

b a

0 b

a

�E (1.4)

1.3.1 Superficies equipotenciales

La distribución del potencial en un campo eléctrico se representa gráfi-camente por superficies equipotenciales. Una superficie equipotencial es aquella en la que el potencial tiene el mismo valor en todos sus puntos. Aunque puede dibujarse una superficie equipotencial en cada punto de un campo eléctrico, en un diagrama se acostumbra a representar solo algunas de ellas. Las superficies equipotenciales y las líneas de campo son perpendi-culares entre sí. En la figura 1.8 se muestran las superficies equipotenciales para diferentes configuraciones de carga: a) una sola carga, b) dos cargas de diferente signo o dipolo y c) cargas de igual signo [61], [69].

a.

+++

b.

++ --

c.

++ ++

Figura 1.8 Superficies equipotenciales para diferentes configuraciones de carga: a) una sola carga; b) dos cargas de diferente signo o dipolo y c) cargas de igual signo.

31

FUNDAMENTOS

1.4 MÉTODOS DE CÁLCULO DE CAMPO ELÉCTRICO

Entre los diferentes métodos numéricos propuestos para solucionar ecuacio-nes diferenciales parciales, y en especial las de Laplace y Poisson, las cuales definen el campo electrostático, se cuenta con el método de diferencias finitas (MDF), el método de elementos finitos (MEF) y el método de simula-ción de cargas (MSC).Existen dificultades inherentes en la solución de estas ecuaciones, según se tengan campos eléctricos en dos o tres dimensiones, condiciones de frontera complejas, materiales dieléctricos de diferente per-mitividad o conductividad, etc. Cada método, sin embargo, presenta venta-jas o desventajas dependiendo del problema específico por ser resuelto; por tanto, cada uno de ellos se constituye en complemento para los demás [41], de ahí que la tendencia en el desarrollo de los métodos es la de combinarlos en los llamados métodos híbridos [33], [34], bien sea entre el MDF y el MSC3 o entre el MEF y el MSC4.

Por lo anterior, y con el fin de confrontar resultados y limitaciones, en este apartado se presenta la teoría básica y la aplicación a un ejemplo prác-tico de dos de los métodos: el MDF y el MSC.

1.4.1 El método de diferencias finitas

Este método se fundamenta en la solución de las ecuaciones de Poisson y Laplace por medio de diferentes herramientas como las series de Taylor [41] o las ecuaciones trigonométricas hiperbólicas [38]. En esta sección se expone la solución por medio de las series de Taylor.

La ecuación de Poisson es matemáticamente definida como el laplacia-no de una función escalar f(x,y,z):

2

2

2

2

2

2

f

x

f

y

f

zk

x y z x y z x y z( , , ) ( , , ) ( , , ) (1.5)

Un caso particular es la ecuación de Laplace que se presenta cuando la anterior ecuación es igual a cero, es decir, la constante k = 0:

3 M. Adbel-Salam, and M. T. EL Mohandes (1989). Combined method based on finite differences and charge simulation for calculating electric fields. IEEE Trans. on Industry Applications, 25, 1060-1066.

4 H. Steinbigler. (1979). Combined application of finite element method and charge simulation method for the computation of electric fields. 3rd International Symposium on High Voltage Engineering.

32


2

2

2

2

2

20

f

x

f

y

f

z

x y z x y z x y z( , , ) ( , , ) ( , , )

(1.6)

Como se verá posteriormente, el empleo de las ecuaciones de Poisson o de Laplace, radica en el hecho de considerar, o no, carga espacial en aque-llas zonas del espacio en las que se tiene campo eléctrico.

Es importante tener presente el concepto de densidad de carga espacial �, definido como:

lim

v

q

v

dq

dv0 (1.7)

El diferencial de carga dq se puede tomar como:

dq D dA � �

(1.8)

donde D representa el vector de densidad superficial de carga y dA es la representación vectorial de un pequeño diferencial de área.

El diferencial de volumen dv se toma como:

dq D dA � �

(1.9)

33

FUNDAMENTOS

z

xy

Dz + dDzDy

D x

Dx + dDxDy + dDy

Dz

Para establecer las relaciones que permiten determinar la densidad de carga espacial se emplea el diagrama de la figura 1.9.

Figura 1.9 Diferencial de volumen dv = dxdydz que permite determinar las relaciones de densidad de carga espacial.

El diferencial de volumen es atravesado por líneas de flujo que se pue-den descomponer según los ejes de referencia. Cada superficie la atraviesa un vector de densidad de campo D. Por ejemplo, sobre el diferencial de superficie formado por dy y dz, en x = 0, se tiene el vector densidad Dx, y sobre el formado por dy y dz, en x = dx, se tiene Dx + d Dx. Por tanto, la carga en el interior del diferencial de volumen correspondiente al eje x será:

dq D dA Dx dDx dydz Dx dydzx � � � � �

( ) ( ) (1.10)

Al tomar las mismas relaciones para todas las superficies, se tiene:

dq=(Dx+dDx)dydz - (Dx)dydz +

(Dy+dDy)dx

� � �

� �ddz - (Dy)dxdz +

(Dz+dDz)dxdy - (Dz)dxd

�

� � �yy

34


Simplificando:

dq = dDx dydz + dDy dxdz + dDz dxdyr v r

Al dividir esta expresión entre el diferencial de volumen se encuentra la densidad de carga espacial �.

= dq

dv

dDx dydz + dDy dxdz + dDz dxdy

d

� � �

xxdydz (1.11)

� � ��Dx

x +

Dy

y+

Dz

zdiv D (1.12)

En otras palabras:

�D

Recordando que la densidad de campo es:

� �D= E�

y que el campo eléctrico es una función vectorial que se puede escribir como el gradiente de la función escalar potencial:

�E grad

se pueden escribir las siguientes ecuaciones:

= div D = div E = div E = - div � � �

ggrad = - lap

o bien:

2

35

FUNDAMENTOS

que es la misma ecuación (1.5) con k

y la ecuación de Laplace,

empleada cuando la carga espacial � es cero:

02

2

2

2

2

2

x y z

Una serie de Taylor se define para una función escalar f(x)5 como:

f x f cf c

x cf c

x c

f

( ) ( )( )

!( )

( )

!( )

(

1 22

ccx c

f c

nx c

nn

)

!( )

( )

!( )

( )

33 � �

Desde un punto de vista geométrico, la serie de Taylor permite conocer el valor de f(x) en cualquier punto x a partir del valor de la función en el punto conocido c y de la distancia entre x y c. Para funciones definidas en un plano, la serie de Taylor se puede definir como:

f f x xf

xy y

f

y

x

a b

1

1

1

2

0 0!

!

xf

x

x x y yf

x y

y y

0

2 2

2

0 0

0

2 2

2

ff

y 2

�

La utilización de la serie de Taylor para funciones escalares, como el potencial eléctrico j, se explica a partir de la figura 1.10 que muestra cinco

5 Se supone que f(x,y) se representa por una serie de potencias en x-c. f x a x cn

n

n( ) ( )

0

.

36


puntos, del plano x-y, contenidos en una región donde se supone la presencia de un campo eléctrico y, por tanto, de diferentes potenciales en su interior.

y

x3 (-a,0)

2 (0,a)

0

4 (0,-a)

1 (a,0)

Figura 1.10 Diagrama explicativo de la utilización de la serie de Taylor para funciones escalares como el potencial eléctrico.

El potencial es conocido en los puntos 1, 2, 3 y 4, y se desea conocer en el punto 0. La separación entre cada punto de potencial conocido y el punto 0 es a. Una aproximación que se puede hacer, sin cometer un error apreciable, es emplear la serie de Taylor hasta el término de segundo orden; por tanto, las ecuaciones que definen el potencial en los puntos 1, 2, 3 y 4 son:

1 02

2

2

1

2 a

xa

x

2 02

2

2

1

2 a

xa

x

3 02

2

2

1

2 a

xa

x

37

FUNDAMENTOS

4 02

2

2

1

2 a

xa

x

Igualmente se puede obtener que:

1 3 02

2

22

2

2 1 3 02 2 a

xa

x

2 4 02

2

22

2

2 2 4 02 2 a

ya

y

Al sumar las ecuaciones anteriores:

1 3 0 2 4 02

2

2

2

22 2

ax y

Al considerar que no existe carga espacial en la zona del campo eléc-trico, los términos entre paréntesis se remplazan por la ecuación de Laplace en dos dimensiones; por tanto:

1 3 0 2 4 0

2 2

4 00 1 3 2 4

La anterior ecuación es la que permite el cálculo del potencial 0 co-nocidos 1, 2, 3 y 4. Es importante aclarar que la configuración de los puntos es la mostrada en la figura 1.10. La distancia entre cualquier punto 1, 2, 3 o 4 y el punto 0 es a. Cualquier otra disposición de los puntos, por ejemplo en rectángulo, requiere el mismo tipo de análisis que conduzca a resultados análogos.

En una configuración de electrodos de campo eléctrico, el método de diferencias finitas propone la construcción de un reticulado que permita ubi-car todos los puntos sobre los cuales se desea conocer el potencial eléctrico, lo mismo que los vectores de campo. Una vez se planteen las ecuaciones

38


que relacionan los potenciales de todos los puntos del reticulado, se obtiene un sistema matricial de la siguiente forma:

[A] [X] = [b]�

donde:[A] = Matriz de coeficientes de . [X] = Vector de potenciales desconocidos k.[b] = Vector de términos constantes. Corresponde a los valores de po-

tencial conocidos, generalmente, en la frontera del reticulado.Para explicar la manera como se plantea el sistema matricial del reticu-

lado, considérense los cuatro puntos mostrados en la figura 1.11.Las ecuaciones correspondientes serán:

- 41 + 2 + 3 + 75 + 100 = 0

- 42 + 75 + 4 + 1 + 100 = 0

- 43 + 4 + 0 + 25 + 1 = 0

- 44 + 25 + 0 + 3 + 2 = 0

75 [KV]

100 [KV]

21 75 [KV]

25 [KV] 43

0 [KV]

25 [KV]

Figura 1.11 Método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Planteamiento del sistema matricial.

39

FUNDAMENTOS

Reordenando:

- 41 + 2 + 3 + 0 = -175

1 - 42 + 0 + 3 = -175

1 + 0 - 43 + 4 = -25

0 + 2 + 3 - 44 = -25

El sistema matricial correspondiente es:

-4 1 1 0 1 -175

1 -4 0 1 2= -175

1 0 -4 1 3-25

0 1 1 -4 4-25

Cuya solución es:

1 = 68,75 [kV]

2 = 68,75 [kV]

3 = 31,25 [kV]

4 = 31,25 [kV]

Como ejemplo de aplicación para ilustrar el método de diferencias fini-tas, se aplicará lo anteriormente expuesto a la configuración de electrodos mostrada en la figura 1.12.

Se desea conocer el potencial y el campo eléctrico en el interior de los electrodos, compuestos por una malla rectangular que simula una nube car-gada eléctricamente y por unas placas circulares paralelas que conforman una antena de medición de campo eléctrico.

40


Figura 1.12 Ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Configuración de electrodos.

2,6 m

26 cm

2,4 m

El potencial tiene los valores conocidos de 1500 [V] en la malla supe-rior que llamaremos nube y de 1 [V] en las placas6.

Teniendo en cuenta que las condiciones de frontera establecen los va-lores de potencial para determinados puntos del reticulado, se hacen las siguientes aproximaciones:a) Alargar los extremos de la nube 20 cm a cada lado con el fin de tener

un potencial de 1,5 [kV] en los correspondientes puntos del enmallado como valores conocidos. Con esto la nube tendría 3,0 m en total.

b) Colocar las placas de la antena 10,0 cm por debajo de la posición plan-teada inicialmente, es decir, la distancia nube-placas sería de 2,5 m

c) El potencial asociado a las placas se considera como un valor solución de la ecuación de potencial en un punto k perteneciente al reticulado. Se asume dicho potencial igual a 0,001 [kV] y como puntual.

En la figura 1.13 se muestran los 55 puntos tenidos en cuenta. Las fronteras de la retícula, sobre las que se tiene potencial cero, se deben ubicar a unas distancias mayores, con el fin de tener condiciones más cer-canas a las reales. Igualmente se debe incrementar el número de puntos, cada uno correspondiente a una ecuación, lo que aumentaría la exactitud, y complejidad, del método. Por los fines didácticos de este ejemplo, se toman

6 En realidad, las dos placas tienen diferente potencial, lo que permite la medición de campo eléctrico, que es la función de esta antena [1], [12], [78].

41

FUNDAMENTOS

las condiciones mostradas en la figura 1.13 para el planteamiento de la solución del problema.

Las anteriores consideraciones modifican el problema original a otro bien diferente, puesto que el límite de potencial definido, cero en este caso, debe ubicarse adecuadamente; del mismo modo, el número de puntos debe ser mayor, lo que sugiere el diseño de un programa computacional complejo para el cálculo del campo eléctrico.

O [v]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 1,5 [kv] 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

O [v] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 O [v]

30 31 32 33 34 35 36 37 38

39 40 41 42 43 44 45 46 47

48 49 50 51 52 53 54 551 [v]

O [v]

0,5 m

0,5 m

Figura 1.13 Ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Distribución de puntos en la retícula.

Siguiendo con el análisis expuesto, se plantean las 55 ecuaciones co-rrespondientes a cada uno de los puntos del reticulado, obteniéndose la matriz de coeficientes [A] y el vector de términos constantes [b] correspon-diente a los valores de potencial conocidos en la frontera del reticulado, en la nube y en las placas.

La solución del sistema matricial da como resultado los valores de po-tencial, en voltios, consignados en la tabla 1.2:

42


Tabla 1.2 Ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Valores del potencial en la configuración nube - placas.

1 =296,8

2 =628,5

3 =717,3

4 =740,9

5 =745,3

6 =740,9

7 =717,3

8 =628,5

9 =296,8

10 =598,7

11 =598,7

12 =438,0

13 =892,5

14 =1061,3

15 =1126,3

16 =1143,5

17 =1126,3

18 =1061,3

19 =892,5

20 =438,0

21 =300,8

22 =570,6

23 =726,4

24 =800,5

25 =821,3

26 =800,5

27 =726,4

28 =570,6

29 =300,8

30 =194,6

31 =362,7

32 =473,3

33 =528,1

34 =540,5

35 =528,1

36 =473,3

37 =362,7

38 =194,6

39 =114,9

40 =212,4

41 =275,7

42 =298,2

43 =284,5

44 =298,2

45 =275,7

46 =212,4

47 =114,9

48 =52,7

49 =96,1

50 =119,1

51 =104,6

52 =104,6

53 =119,1

54 =96,1

55 =52,7

Con el fin de tener una idea sobre cómo sería el potencial en el espacio interelectródico, se trazan las superficies equipotenciales7, obteniéndose el trazado mostrado en la figura 1.14.

Para calcular el campo eléctrico se parte de las siguientes ecuaciones, fácilmente deducibles:

0 1 3

2x a

7 Mediante el empleo de las opciones gráficas de Microsoft Excel 5.0a. La figura 1.14 corresponde a la planta de las superficies en 3-D.

43

FUNDAMENTOS

0 2 4

2y a

Si se desea conocer el campo eléctrico E en un punto k, se tiene:

�E

k

k kx

iy

j=

0 0

ˆ ˆ

11 3 2 4

2 2

ai

aj

k k

ˆ ˆ

Como en el ejemplo a = 0,5 m y 2a = 1 m:

�E

k ki

k=

1 3 2 4

ˆ

Ex

1 3

Ey

2 4

La magnitud de �E se obtiene de:

E E Ex y

2 2

Y el ángulo:

E tnE

Ey

x

1

Para cada uno de los puntos se calcula la magnitud y el ángulo del campo, obteniendo los resultados consignados en la tabla 1.3.

Como era de esperar, el campo eléctrico, al igual que el potencial, pre-senta una distribución simétrica respecto al eje central de la configuración.

44


La mayor concentración de campo eléctrico se encuentra en los puntos que están más cerca de la nube y más alejados de la antena; estos son los pun-tos 2 y 8. De la misma manera, la menor concentración de campo eléctrico se encuentra en los puntos que están más alejados de la nube y más cerca de la antena; estos son los puntos 48 y 55.

1400-1500

1300-1400

1200-1300

1100-1200

1000-1100

900-1000

800-900

700-800

600-700

500-600

400-500

300-400

200-300

100-200

Figura 1.14 Ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Superficies equipotenciales.

45

FUNDAMENTOS

Tabl

a 1.3

Eje

mpl

o de

apl

icac

ión

del m

étod

o de

dife

renc

ias

finita

s pa

ra c

alcu

lar

cam

po e

léct

rico.

Mag

nitu

d y

ángu

lo d

el c

ampo

elé

ctric

o en

el e

spac

io in

tere

lect

ródi

co.

E[V

/m]

�E[V

/m]

�E[V

/m]

�E[V

/m]

�E[V

/m]

�

18

40

,9-4

1,6

32

15

57

,9-7

4,3

33

1504,2

-85,7

24

1500,3

-88,9

35

1500,0

90,0

0

61

50

0,3

88

,93

71

50

4,2

85,7

28

1557,9

74,3

39

840,9

41,6

310

1506,6

-5,3

8

11

15

06

,65

,38

12

92

9,0

16,1

213

1119,1

56,1

514

808,2

73,1

815

704,3

83,3

0

16

67

9,0

88

,55

17

70

4,3

-83,3

018

808,2

-73,1

819

1119,1

-56,1

520

929,0

-16,1

2

21

62

0,3

23

,10

22

67

9,6

51,2

223

631,4

68,6

424

605,7

80,9

925

603,0

-90,0

0

26

60

5,7

-80

,99

27

63

1,4

-68,6

428

679,6

-51,2

229

620,3

-23,1

030

407,6

27,1

3

31

45

3,6

52

,10

32

48

0,1

69,8

433

506,8

82,3

734

536,8

-90,0

035

506,8

-82,3

7

36

48

0,1

-69

,84

37

45

3,6

-52,1

038

407,6

-27,1

339

255,4

33,7

540

311,4

58,9

1

41

36

4,4

76

,37

42

42

3,6

88,8

143

540,5

-90,0

044

423,6

-88,8

145

364,4

-76,3

7

46

31

1,4

-58

,91

47

25

5,4

-33,7

548

149,8

50,1

149

222,5

72,6

550

275,9

88,2

3

51

32

1,1

-68

,23

52

32

1,1

68,2

353

275,9

-88,2

354

222,5

-72,6

555

149,8

-50,1

1

46


Figura 1.15. Ejemplo de aplicación del método de diferencias finitas para calcular campo eléctrico. Vectores de campo eléctrico.

Es importante tener presente que el valor del ángulo � ha sido calculado a partir de los componentes Ex y Ey; por tanto, se debe referenciar adecua-damente cada vector en el momento de representar la distribución total del campo eléctrico en la configuración, como se aprecia en la figura 1.15, la cual representa la distribución de los vectores de campo eléctrico, mas no el concepto de densidad del mismo.

1.4.2 El método de simulación de cargas

El método de simulación de cargas ha sido empleado para calcular campos eléctricos por décadas [65] en diferentes aplicaciones de ingeniería. Una de las principales ventajas de este método es la precisión para calcular los es-fuerzos dieléctricos sin recurrir a un gran trabajo computacional, aun para campos altamente no homogéneos [66].

El método consiste en remplazar un problema, que comprenda uno o más elementos conductores cargados estáticamente, con uno equivalen-te de cargas puntuales localizadas adecuadamente en la superficie de los conductores, que produzcan precisamente el mismo campo eléctrico que

47

FUNDAMENTOS

el problema original. Así, se pueden utilizar los campos conocidos de las cargas puntuales para obtener una solución del problema inicial en el valor de frontera [38].

La configuración de cargas lineales paralelas es una alternativa intere-sante que permite la aplicación del método para encontrar el campo eléctri-co de conductores paralelos de área transversal circular. En la figura 1.16 se muestran dos cargas lineales paralelas de longitud infinita a una distancia 2d y que tienen densidades de carga uniformes q/l y -q/l. En razón a la lon-gitud infinita del sistema, el análisis se puede limitar al plano z=0, lo que lo restringe a las dos dimensiones (x,y) como en la vista longitudinal de la figura 1.17. El potencial eléctrico (x,y) en P se calcula a partir de la super-posición de los potenciales (+) y (-) debidos a cada línea.

(d, 0, 0)

(-d, 0, 0)

----------------------------------

y

0

x

z

+++++++++++++++++++++++++++++++++

-q/ l

q/ l

+

Figura 1.16 Simulación de cargas. Cargas lineales paralelas de densidad uniforme.

48


(d ,0)

y

P (x ,y)

r2r1

0x

ϕ=0 (potencial de referencia)

(-d ,0)

Figura 1.17 Simulación de cargas. Vista de las cargas de líneas paralelas en el plano z=0.

Tomando como referencia todo el eje y, los potenciales en P debidos a q/l y -q/l son:

( )

12

lnd

r

q

l

( ) -

2ln

d

r2

q

l

Su suma es el potencial total en P:

( , ) ( )x y ( ) +2

lnr

r2

1

q

l

donde:

r d x y1

2 2

r d x y2

2 2

Se pueden obtener las superficies equipotenciales igualando la anterior ecuación a cualquier valor de potencial constante = 0:

q

2ln

r

r2

1

l

0

49

FUNDAMENTOS

El problema anterior se puede extender para el caso en que se tengan n cargas lineales, es decir, si el potencial ji en un punto i del espacio es debido a diferentes cargas ubicadas en los puntos 1, 2, 3, ... n, se puede emplear la siguiente ecuación para calcular i

i j

j

n j

j

x yr

r( , ) ln

1

2 1

2

1l

q

(1.13)

Tal como se expresó anteriormente, el método de simulación de cargas ha sido empleado para calcular campo eléctrico por más de veinte años [65]. Se ha utilizado, principalmente, para calcular esfuerzos dieléctricos en regiones interelectródicas con no más de dos dieléctricos en su interior y, ge-neralmente, en dos dimensiones. Existen investigaciones sobre el tema que han propuesto sobrepasar este limitante para hacer que el método de simu-lación de cargas sea aplicable a problemas más complejos, en geometría y combinación de dieléctricos. Una de estas investigaciones es la desarrollada en torno al método de simulación de cargas orientado a regiones [66].

La principal característica de este nuevo desarrollo se basa en la divi-sión, en varias regiones, del espacio interelectródico, según los diferentes materiales dieléctricos en su interior. Para el cálculo del campo eléctrico se tienen en cuenta únicamente las cargas simuladas y discretas que rodean cada región, y no las cargas superficiales que se simulan al emplear el mé-todo convencional, presentado anteriormente. Entonces, la diferencia más notable entre estos dos métodos, orientado a regiones y orientado a superfi-cies8, es la facilidad que permite el primero para calcular los esfuerzos die-léctricos en configuraciones con más de dos materiales dieléctricos, siendo esta una limitación del segundo. Igualmente, el método orientado a regiones tiene aplicabilidad en problemas de dos o tres dimensiones, con lo que se elimina la restricción del método orientado a superficies al ubicar las cargas simuladas en sistemas con geometría de cierta complejidad.

Cada región se determina de acuerdo con las características dieléctricas lineales de cada material que conforma el espacio interelectródico. Cada una de estas regiones es encerrada separadamente por un conjunto de cargas que permiten el cálculo del campo eléctrico mediante la superposición de las cargas circundantes a cada región, como lo muestra la figura 1.18.

8 Z. Andjelic et al. (1992). Integral Methods for the calculation of electric fields. Scientific Series of the International Bureau Research Center. Juelich.

50


+ + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

+ + +

+ + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

+ +

+ +

+ + +

+

+ + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + +

+ + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + +

REGIÓN OELECTRODO

REGIÓN 1DIELÉCTRICO

REGIÓN 2DIELÉCTRICO

REGIÓN 3ESPACIO EXTERIOR

a)

b)

1

2

3

Figura 1.18 Método de simulación de cargas orientado a regiones. a) Cargas simuladas para toda la configuración; b) cargas empleadas en el cálculo del campo eléctrico en cada región.

Es importante la correcta identificación de todas las regiones determi-nadas, por ejemplo con números enteros. A los electrodos, donde el campo no requiere ser calculado, se les designa con el número 0. Como se aprecia, las cargas asociadas a cada región no se ubican en su interior, pero sí a cierta distancia de su límite.

Una importante ventaja de este método es la capacidad para resol-ver problemas que involucren láminas delgadas, bien sean conductoras o dieléctricas. El método convencional requiere la ubicación de las cargas simuladas sobre la superficie de cada electrodo, conductor o dieléctrico, lo que se traduce, para una adecuada precisión, en un número elevado de cargas que son difíciles de ubicar cuando uno o varios electrodos son muy delgados9. El método orientado a regiones ubica las cargas tan lejos como se desee de las láminas electródicas, siempre y cuando existan regiones definidas a lado y lado de dicha lámina, como en la figura 1.19, en donde

9 Tal como se muestra en el ejemplo de aplicación del método de simulación de cargas.

51

FUNDAMENTOS

el espacio interelectródico se divide en las regiones 1 a 6 con base en los límites ficticios mostrados en línea discontinua.

Figura 1.19 a) Ejemplo de configuración de electrodos con lámina conductora y elemento dieléctrico; b) regiones 1 a 6 creadas con base en límites ficticios.

Se muestran las cargas simuladas para la región 4.

2

1

3 4 5

+ + +

+ +

+ + +

+ +

+ + + +

+ + + +

+ +

+ +

+

6

lámina conductoraelemento dieléctrico

a)

b)

�� cada región se determinan fácilmente, como se aprecia para la número 4. La formulación del problema se realiza teniendo en cuenta las ecuaciones para los elementos de superficie, para los electrodos con potencial definido y para la compensación de flujo de campo en cada región [66].

Como ejemplo de aplicación, al igual que con el método de diferencias finitas, se aplicará el método de simulación de cargas a la configuración de electrodos mostrada en la figura 1.12. Se desea conocer el potencial y el campo eléctrico en el espacio interelectródico. Dicho potencial desconocido es debido al sistema de cargas equivalentes cuyos valores se desean cono-cer. La figura 1.20 muestra los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, donde se ubican

52


76

F GE

1 2 3 4 5

A B C D

las cargas equivalentes al problema original y que corresponden a cargas lineales de densidad uniforme y longitud infinita. Se hubiese podido escoger otro tipo de sistema de cargas equivalentes, formado por esferas o cualquier otro elemento geométrico, pero el análisis anterior se desarrolló para varillas cargadas linealmente.

2,4 m

2,4 m

54321

2,4 m

2,4 m

x

y

0,325

Figura 1.20 Ejemplo de aplicación de simulación de cargas. Configuración de cargas equivalentes y puntos de potencial conocido.

También en la figura 1.20 se ubican los puntos A, B, C, D, E, F y G, sobre los cuales se conoce el potencial eléctrico, 1500 [V] en la nube y 1 [V] en las placas.

Las distancias entre las cargas, reales y virtuales, y los puntos de poten-cial conocido se muestran en la figura 1.21.

Figura 1.21 Ejemplo de aplicación de simulación de cargas. Distancias entre cargas equivalentes y puntos de potencial conocido.

53

FUNDAMENTOS

Como muestra de cálculo se desarrolla el potencial en el punto A, según la ecuación (1.13):

A

A

A

A

A

A

A

qr

r

qr

r

qr

r

1

2

1

1

1

2

2

2

3

3

3l

ln

ln

ln

�

qr

rA

A7

7

7

ln

(1.14)

Con A=1500 [V] y los valores respectivos para rK’A y rKA, se tiene que:

1500

2 =q 3,39 q 3,39 q 2,29

q 1,

1 2 3

7

l

� 001

En general, se plantea el siguiente sistema matricial:

1500 3,3 3,3 2,2 1,7 1,4 1,0 1,0 q1

1500 2,2 3,3 3,3 2,2 1,7 1,1 1,0 q2

1500 1,7 2,2 3,3 3,3 2,2 1,0 1,1 q3

1500 ��!"�l = 1,4 1,7 2,2 3,3 3,3 1,0 1,0 q4

1 1,0 1,0 1,1 1,0 0,9 4,3 3,2 x q5

1 0,9 1,0 1,1 1,0 0,9 3,6 3,6 q6

1 0,9 1,0 1,1 1,0 1,0 3,2 4,3 q7

54


Que tiene la solución:

q1 -2910,07

q2 4930,24

q3 -4312,56

q4 = 4930,24 ��!"�l

q5 -2910,07

q6 -5,81

q7 -5,81

Para estos valores de carga se puede establecer el campo eléctrico de-bido a ellas, en magnitud y ángulo, en cualquier punto P del espacio inte-relectródico, que será equivalente al del problema original. Con la ayuda computacional de una hoja de cálculo10, y las ecuaciones respectivas, se determina el valor de campo eléctrico en [V/m], para los puntos del plano x-y de la figura 1.21, cada 0,5 [m] en cada eje, obteniéndose la intensidad de campo eléctrico mostrada por la figura 1.22.

Figura 1.22 Ejemplo de aplicación método de simulación de cargas. Intensidad de campo eléctrico.

10 Excel de Microsoft, por ejemplo.

2625000-3000000

2250000-2625000

1875000-2250000

1500000-1875000

1125000-1500000

750000-1125000

375000-750000

55

FUNDAMENTOS

1.4.3 Confrontación de resultados

La comparación cualitativa de los resultados obtenidos para el cálculo de campo eléctrico por medio del método de diferencias finitas (MDF) con los obtenidos por medio del método de simulación de cargas (MSC), indica buena correlación; sin embargo, de acuerdo con las consideraciones hechas en el planteamiento del problema en cada método, los resultados que se obtienen corresponden a problemas bien diferentes.

En el MSC no es necesario que la región de campo eléctrico esté li-mitada por una región cerrada, mientras que en el MDF esta condición es necesaria y que, como se indicó, debe ubicarse a unas distancias adecuadas para el potencial cero.

Una de las opciones para que los resultados obtenidos con el MSC coincidan en magnitud con los del MDF es la ubicación y selección del tipo de las cargas simuladas de acuerdo con una metodología de ensayo y error [66]. De igual manera, las cargas imagen deber ser tantas como superficies de potencial cero se tengan, es decir, si en el caso mostrado en el MDF se tiene un límite rectangular de potencial cero, se deben tomar 8 cargas imá-genes que mantengan el límite a ese potencial definido en el MSC [38].

El tipo de información obtenida de cada método, junto con las herra-mientas computacionales disponibles, facilita o no la presentación de resul-tados. De ahí que para el MDF sea fácil mostrar las curvas equipotenciales y los vectores de campo eléctrico y no la intensidad del mismo; en cambio, en el MSC se facilita la representación de la concentración de campo eléctrico.

1.4.4 Otras aplicaciones

Entre las actuales aplicaciones de los métodos de cálculo de campo eléctri-co, se encuentran las encaminadas a establecer los posibles efectos de los campos producidos por el transporte y la utilización de la energía eléctrica en el ser humano. Es así como, específicamente, el método de simulación de carga es empleado para determinar la distribución de campo, las cargas inducidas y las corrientes en un cuerpo humano sometido al campo eléctrico producido por líneas de transmisión de alta tensión. El máximo valor de campo eléctrico entre conductores de líneas de transmisión de 525 [kV] y el suelo es cercano a 9 [kV/m], mientras que para líneas de 275 [kV] y 132 [kV] es de 6 [kV/m] y 2 [kV/m], respectivamente11. Estos valores se modifi-

11 EPRI (1983). Transmission line reference book 345 kV and above. USA.

56


can en presencia de un ser humano12, lo que hace que se incrementen las corrientes inducidas en el cuerpo a valores por encima de los considerados como seguros13. Además, en la vecindad de las líneas de potencia existe un campo eléctrico de 60 ciclos en el espacio, entre los conductores energiza-dos y tierra; por esto, un cuerpo aislado puede adquirir un potencial, que al equilibrarlo cuando entre en contacto con un objeto aterrizado, le puede producir un choque eléctrico, asociado a la corriente de corto circuito de la descarga.

Para determinar tanto el campo eléctrico y las cargas en la superficie del cuerpo como las corrientes inducidas, mediante el método de simulación de cargas, es necesario asumir, entre otras: campo eléctrico, entre el con-ductor y tierra uniforme y dirigido verticalmente hacia abajo; el conductor energizado se puede representar por un disco metálico cuya carga superficial es simulada por un arreglo de cargas lineales, y el cuerpo humano como un elemento conductor.

El cuerpo es modelado por: una esfera como la cabeza, un cilindro para el cuello; el tronco, incluidos los brazos, es otro cilindro de mayor diámetro, y las piernas son otro cilindro de diámetro adecuado, tal como lo muestra la figura 1.23. La carga superficial se simula por un arreglo de cargas en anillo a lo largo del cuerpo. Las imágenes de la simulación de carga respec-to a tierra son consideradas, y la simetría con el eje Z reduce a la mitad el número de cargas.

Figura 1.23 Simulación de cargas de un cuerpo humano sometido a un campo eléctrico.

12 B. J. Maddock et al. (1985). 50 Hz electric and magnetic fields near power transmission circuits and some associated exposure and health studies. Proc. International Conference of Electromagnetic fields. Med. Biol. London.

13 T. Matsumoto (1987). Measurement for human exposure to AC electric fields. Proc. Int. Symp. HV Eng. Braunschweig.

Z

h

R

57

FUNDAMENTOS

El proceso de cálculo es similar al desarrollado en el ejemplo de apli-cación de la configuración nube placa analizado anteriormente, y da como resultados un aumento de los valores de densidad de carga en el cuerpo humano, un aumento del campo eléctrico en la cabeza respecto a las otras partes del cuerpo y unos valores de corrientes inducidas también superiores a los considerados como normales. Estos resultados se han comparado con estudios similares, utilizando otros métodos de cálculo no necesariamente matemáticos, y se ha llegado a las mismas conclusiones, lo que indica que el método de simulación de cargas es un mecanismo sencillo y eficaz para este tipo de aplicaciones [44].

1.5 COMPORTAMIENTO DE DIELÉCTRICOS SOMETIDOS A CAMPOS ELÉCTRICOS

Desde el descubrimiento de la energía eléctrica, los desarrollos tecnológicos en torno a ella han sido continuos y progresivos; incluso, la gran mayoría de las áreas del conocimiento están soportadas en su aprovechamiento, llegándose al punto de convertirse en un servicio absolutamente impres-cindible, que eleva constantemente el nivel de vida de todos sus usuarios. Sin embargo, la manipulación de dicha energía puede resultar peligrosa y altamente complicada si no se ejerce correcto control en la interacción de las partes energizadas con elementos conductores, bien sean del propio equipo o independientes de él, como es el caso del ser humano. Para garantizar su adecuada interacción, es necesario recurrir a elementos no conductores, también llamados aislantes o dieléctricos, que separen adecuadamente los diferentes flujos de energía eléctrica en una máquina o en un conductor. De-pendiendo de la aplicación específica, estos elementos dieléctricos pueden ser materiales gaseosos, sólidos o líquidos, y van a ser objeto de estudio en posteriores capítulos. Como base teórica para la adecuada compresión de dichos capítulos, el presente apartado explica de manera sintética los principales conceptos relacionados con el comportamiento de los materiales dieléctricos cuando se les somete a la acción de un campo eléctrico.

1.5.1 Resistencia dieléctrica y capacidad

El concepto de resistencia dieléctrica se introduce para modelar la oposición al flujo eléctrico; es así que si se toma un pequeño diferencial de volumen, limitado por dos superficies equipotenciales de área A, separadas una dis-tancia ds y en cuyo interior exista un campo homogéneo, tal como se ob-

58


serva en la figura 1.24 [61], [32], se puede definir un diferencial de dicha resistencia dieléctrica como:

dR =

dsdi � �

0 rA

(1.15)

ds

Adv

Ψ

Figura 1.24 Campo eléctrico homogéneo dentro de un diferencial de volumen limitado por superficies equipotenciales de área A.

donde �� = 8.854 x 10-12 [F/m] es la permitividad del espacio vacío, �r es la permitividad relativa del material y el producto �� r es igual a �, que es la llamada constante dieléctrica o permitividad.Según la Ley de Ohm para campo electrostático, en la cual la corriente es �� , se tiene:

dV = dR

di

(1.16)

dV representa la diferencia de potencial entre las dos superficies equi-potenciales. Teniendo en cuenta que el flujo es proporcional a la carga, como ya se había mencionado anteriormente, al integrar se obtiene [32]:

V = R R

di di q

(1.17)

59

FUNDAMENTOS

De aquí:

q =R

di

V

C V

(1.18)

Como se puede observar, C es el inverso de la resistencia dieléctrica y se denomina capacidad, la cual es la relación entre la magnitud de la carga en cualquiera de las dos superficies equipotenciales y la diferencia de potencial entre ellas.

Cuando se tienen dos conductores sometidos a una diferencia de po-tencial, se puede calcular la capacidad, propiedad que tiene un conductor para almacenar carga, determinando primero la diferencia de potencial entre dichos conductores y luego aplicando la ecuación (1.18) [32].

r2r1

Figura 1.25 Conductores coaxiales.

Así, por ejemplo, para determinar la capacidad de una configuración de dos conductores cilíndricos coaxiales como los de la figura 1.25, se tiene:

V = - V12 1 2

V drr

r

r vE

1

2

(1.19)

60


Como el campo eléctrico para esta configuración es:

�E =

q

2 r0 r

l

(1.20)

V =q

2120 r

lln

r

r2

1

(1.21)

La magnitud del campo eléctrico E y de potencial V para esta configura-ción se puede determinar utilizando las dos ecuaciones anteriores, tal como se observa en la figura 1.26.

La no linealidad en el decrecimiento del campo eléctrico hace que se presenten mayores esfuerzos en el material aislante, lo que puede producir deformaciones y calentamiento de dicho material. Para disminuir los esfuer-zos por unidad de longitud, usualmente se colocan láminas coaxiales de material conductor que ayudan a la linealización del campo eléctrico, como lo muestra la figura 1.27.

++

V

E

r

r2r1 r1r2

r

r2r1 r1r2

Figura 1.26 Magnitud de campo y de potencial para conductores cilíndricos coaxiales.

61

FUNDAMENTOS

Figura 1.27 Reducción de esfuerzos en material aislante linealizando la magnitud de campo eléctrico mediante láminas coaxiales de material conductor.

++

E

r

r2r1 r4 r3

Para determinar tanto la resistencia dieléctrica como la capacidad, se puede remplazar la ecuación (1.21) en las ecuaciones (1.17) y (1.18), obteniéndose para Rdi y C:

R1

2 li0 r

d

r

r

ln 2

1 (1.22)

Cr

r

0 r

2 l

ln 2

1

(1.23)

62


Se puede proceder de igual manera con el objeto de determinar la ca-pacidad para diferentes configuraciones geométricas, como las consignadas en la tabla 1.4 [61].

Tabla 1.4 Capacidad para diferentes configuraciones geométricas.

Geometría Capacidad

Esfera cargada aislada de radio R C R 4 0 r

Condensador de placas paralelas con área A y separación d entre ellas. C

A

d

0 r

Conductores coaxiales de radio interno y externo r1 y r2, respectivamente.

Cr

r

0 r

2 l

ln 2

1

Conductores esféricos de radio interno y externo r1 y r2, respectivamente.

Cr r

r r

0 r4

1 2

2 1

De igual manera, la figura 1.28 muestra la variación de la capacidad por unidad de longitud en función del valor geométrico �, el cual a su vez es función del radio r y la separación s, así:

� = r + (s/r)

63

FUNDAMENTOS

Figura 1.28 Capacidad por unidad de longitud en función del valor geométrico �.

1.6 POLARIZACIÓN

El mecanismo de los efectos de la polarización dieléctrica resultantes al aplicar un campo eléctrico puede ser explicado en términos de los despla-zamientos microscópicos de las cargas positivas y negativas constituyentes de su posición de equilibrio, producido por las fuerzas de campo eléctrico de Lorentz sobre las cargas.

Tales desplazamientos son solo una fracción de un diámetro molecular en el material, pero el número total de partículas involucradas puede causar un cambio significativo en el campo eléctrico desde su valor en la ausencia del material dieléctrico. Las moléculas de un dieléctrico se pueden clasificar en polares o no polares. Una molécula no polar es aquella en la que los centros de gravedad de los núcleos positivos y los electrones normalmente coinciden, mientras que en una molécula polar no lo hacen. Cada molécula polar es un diminuto dipolo eléctrico [60], [32]. La polarización dieléctrica puede darse por las siguientes causas:

c [pF/cm]

Cilindros

Esferas

9

7

5

3

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.08

108

6

4

2

0.9

0.7

0.5

0.3

0.1

1 1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 �

64


1.6.1 Polarización por deformación o electrónica

Se presenta cuando una molécula no polar o un átomo se somete a la in-fluencia de un campo eléctrico, y dicha molécula o dicho átomo se deforma convirtiéndose en un dipolo eléctrico. Otra explicación es cuando en el límite, la nube de electrones de carga negativa, sometido a un campo eléctrico, es desplazado de su posición de equilibrio relativo hacia los núcleos positivos.

La figura 1.29 muestra la deformación de una molécula no polar.

± ±

a).

b).

+ + - - E

Figura 1.29 a) Molécula no polar en ausencia de un campo eléctrico; b) molécula no polar en presencia de un campo eléctrico.

1.6.2 Polarización por orientación

Se presenta en materiales que poseen dipolos dieléctricos permanentes orientados aleatoriamente en ausencia de un campo eléctrico externo, pero que se orientan hacia el vector de campo eléctrico aplicado, dependiendo de la magnitud de E. El agua es el mejor ejemplo de una sustancia que presen-ta efectos de polarización por orientación. En la figura 1.30 se presenta la polarización de un material no conductor por orientación de sus moléculas bajo la influencia de un campo eléctrico.

65

FUNDAMENTOS

Figura 1.30 Polarización por orientación. a) Moléculas polares en ausencia de un campo eléctrico; b) moléculas polares en presencia de un campo eléctrico.

+ + - -

+ + - -

+ + - - + + - -

+ + - -

+ + - -

+ + - -

E

+ + - -

+ + - -

+ + - - + + - -

+ + - -

+ + - -

+ + - -

b)a)

La polarización de un dieléctrico en un campo eléctrico da lugar a capas delgadas de cargas ligadas en las superficies, como se observa en la figura 1.31.

E

++-- ++-- ++-- ++-- ++--

++-- ++-- ++-- ++-- ++--

++-- ++-- ++-- ++-- ++--

++-- ++-- ++-- ++-- ++--

++-- ++-- ++-- ++-- ++--

Figura 1.31 Cargas ligadas en las superficies de un dieléctrico polarizado.

1.7 PÉRDIDAS DIELÉCTRICAS

En la polarización por orientación, cuando se presenta el giro dipolar, los átomos del material dieléctrico se ven sometidos a fuerzas relativamente grandes, a las que se oponen fuerzas de fricción, con lo cual se producen pérdidas por polarización también llamadas pérdidas dieléctricas. El com-portamiento de las corrientes que fluyen en dicho material dieléctrico se puede modelar mediante el circuito equivalente mostrado en la figura 1.32,

66


el cual se compone de una capacidad C en paralelo con una resistencia R [28]. El ángulo de desfase entre la corriente total y la corriente capacitiva es llamado ángulo de pérdidas �.

Figura 1.32 Representación de las corrientes en un material dieléctrico. a) Corrientes resistivas y capacitivas; b) ángulo de pérdidas �.

b)

I r

I c

V

δ

a)

IR

C

I r

Ic

V

El factor de pérdidas, para una tensión V y una frecuencia �, es [32]:

dI

I R Cr

c

tan

1

(1.24)

Y la potencia de pérdidas:

P

V

RV C

d

22 tan (1.25)

Si se tiene un condensador de placas paralelas, con un área de placa A, una distancia entre placas d, en un campo eléctrico E tendrá unas pérdidas dieléctricas:

P

V

dAd

d r

2

0 tan

(1.26)

67

FUNDAMENTOS

La experiencia muestra que para un mismo material, el factor de pér-didas no es constante; depende de condiciones como la temperatura o la intensidad de campo eléctrico (ver figura 1.33).

°C 0 20 40 60 80 100

tan δ

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1

2

3

Figura 1.33 Variación del factor de pérdidas con la temperatura para diferentes materiales: 1) papel; 2) porcelana; 3) vidrio.

1.8 PERMITIVIDAD

La permitividad � es una relación de fuerzas que, bajo ciertas condiciones, cuantifica el fenómeno de polarización, estableciendo la diferencia entre un buen y un mal aislante.

Si se tiene, por ejemplo, un condensador de placas paralelas cuyo die-léctrico sea el vacío, inicialmente cargado a una tensión V 0 y se separa de la fuente de tensión, tal que en lo sucesivo la carga en el condensador en vacío sea:

q c V0 0 0

y suponiendo un campo homogéneo Ea entre las placas, al introducir un dieléctrico, sus dipolos no orientados, los cuales poseen su propio campo eléctrico ED, experimentarán la acción de un momento de torsión.

68


Junto con la orientación de todos los dipolos, son alineadas también las componentes de intensidad de campo eléctrico ED, que al ser sumadas dan origen al vector Ei, con lo que resultaría un pequeño campo eléctrico Ea - Ei, mostrando su variación en la figura 1.34 [32].

E a

- + + +

--E D + + --

E D

+ + -- E D

+ + -- E D

a )

- +

E a

+ + --E D + + --

E D + + --

E D + + --E D

E i

b )

Figura 1.34. Dipolos de un material dieléctrico sometido a un campo eléctrico homogéneo.

La tensión entre las placas desciende a un valor por debajo de V0, de-bido a que la carga q0 no puede variar, según lo indica la ecuación (1.18), para una reducción de la resistencia dieléctrica, así como para un aumento de �. Debido a que la densidad de flujo D tampoco puede haber cambiado, se cumple que:

D E E Ea r a i

0 0

( ) (1.27)

De donde la permitividad relativa �r es:

r

a

a i

E

E E

( )

(1.28)

La permitividad relativa también se puede expresar de la siguiente for-ma:

r

i

a

E

E

1

1

(1.29)

69

FUNDAMENTOS

Medidas experimentales muestran que �r es independiente de la densi-dad de flujo, cuando se supone una relación Ei / Ea constante. La orientación de dipolos sigue la intensidad de campo Ea con regularidad lineal.

La permitividad en la mayoría de los aislantes crece con la temperatura. La orientación de dipolos es acelerada con el aumento del movimiento térmi-co de las moléculas. Si el movimiento térmico es tan intenso que comienza a interesar la estabilidad de la orientación, a una determinada temperatura puede volver a descender, como en el caso del cloruro de polivinilo o PVC [32].

1.9 COMBINACIÓN DE DIELÉCTRICOS

Frecuentemente en instalaciones y equipos sometidos a altas tensiones se presenta combinación de dieléctricos de diferente permitividad relativa. Esta combinación, realizada adecuadamente, puede aumentar considerablemen-te la rigidez dieléctrica, garantizando una mayor seguridad al aumentar la tensión disruptiva [28].

Si se tienen tres materiales, como en la figura 1.35, con diferente per-mitividad relativa, entre dos placas planas paralelas, la distribución de ten-sión es:

V E a E b E c

14 1 2 3 (1.30)

donde E1, E2, y E3 son las intensidades de campo eléctrico en las tres secciones de aislamiento de espesores a, b y c, de permitividades �r1, �r2 y �r3. Como el flujo � y la densidad de flujo D permanecen constantes para las tres secciones, la ecuación (1.30) queda:

VD a b c

r r r14

0 1 2 3

(1.31)

Como:

DE

0

70


el valor de la intensidad de campo es:

EV

a b c

V

k

rr r r

r p

14

1 2 3

14

(1.32)

εr1 εr3 -+ εr2

1 2 3 4

x

a b c

0 x1 x2 x3 x4

y

a b c

V1=VV2

V3

V4 = 0

VE3

E2

E1

E

a b cxx

b)

a)

Figura 1.35 a) Combinación de dieléctricos sometidos a una diferencia de tensión; b) intensidad de campo eléctrico y potencial para la misma combinación de dieléctricos.

1.10 FACTOR DE UTILIZACIÓN

En la realización de pruebas en alta tensión, se utilizan frecuentemente electrodos de diferentes configuraciones, ofreciendo diversas alternativas dependiendo de las condiciones bajo las que se ejecute el ensayo. El factor de utilización, además de definir la homogeneidad del campo eléctrico en un sistema de electrodos para compararlos entre sí, ayuda a determinar

71

FUNDAMENTOS

los esfuerzos a que se pueden someter los dieléctricos dentro de un campo eléctrico.

d

El factor de utilización se puede definir como la relación entre el campo eléctrico medio Emed y el máximo valor de campo eléctrico Emáx, para determi-nada configuración de electrodos. Por ejemplo, si se toma el campo eléctrico no homogéneo de una configuración de electrodos punta-placa, como el de la figura 1.36, la máxima intensidad de campo para una tensión V aplicada aparecerá sobre el electrodo punta14, y el campo eléctrico medio es:

E

V

dmed

(1.33)

donde V es la tensión aplicada, d es la distancia de disrupción y Emáx es la máxima intensidad de campo. Así el factor de utilización es:

E

EE Emed

medmax

max

(1.34)

14 La concentración de líneas de campo se hace mayor en los bordes y superficies terminadas en punta, lo que facilitaría una eventual disrupción, razón por la cual los bordes de los equipos que están some-tidos a altas tensiones generalmente son redondeados.

Figura 1.36 Electrodos configuración punta-placa.

72


Para campos homogéneos � es igual a 1 y para campos no homogéneos � es menor que 1.

Si se remplaza la ecuación (1.34) en la ecuación (1.33), se puede esta-blecer la tensión de ruptura de un dieléctrico en un sistema dado:

V E d max

(1.35)

En la práctica se emplean diferentes gráficas que relacionan el fac-tor de utilización para diferentes configuraciones; tales gráficas se encuen-tran disponibles, generalmente, en diferentes textos o documentos [32].

73


PRESENTACIÓN

La investigación de las características dieléctricas de los gases es de gran importancia en las aplicaciones de la técnica de alta tensión, ya que gran parte de los equipos utilizados, como conductores en líneas de transmisión, transformador, interruptor, seccionador, etc., son generalmente aislados por algún material en su fase gaseosa.

El inicio de esta investigación [36], [47] se remonta a finales del siglo XVII, cuando se observó que los conductores cargados perdían gradualmente su carga y que la velocidad de pérdida variaba con las condiciones ambien-tales. En el siglo XVIII se estableció que dicha pérdida ocurría no a través de los soportes u otro dieléctrico, sino a través de la atmósfera circundante. En el siglo XIX se descubrió el arco eléctrico al poner en contacto los electrodos de una batería; junto a esto siguieron investigaciones, como la de Faraday, sobre descargas a presiones por debajo de la atmosférica. Desde entonces, el avance en las investigaciones ha sido continuo, con leves periodos de es-tancamiento; sin embargo, actualmente se han conseguido notables logros en temas como descargas parciales, mecanismos de disrupción según el tipo de material, desarrollo de nuevos y mejores materiales aislantes, etc.

2 Comportamiento dieléctrico de los gases

74


2.1 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA TEORÍA CINÉTICA DE GASES

Antes de tratar con profundidad los procesos de ionización, que son los que conducen a la ruptura dieléctrica de los materiales gaseosos, es necesario tener en cuenta los principios básicos de la teoría cinética de los gases, la cual se fundamenta en las siguientes condiciones1:a) Cualquier gas está compuesto por moléculas de la misma masa. Tales

moléculas se asumen de forma esférica.b) Las moléculas que conforman un gas se encuentran en constante movi-

miento aleatorio; por tanto se ven sometidas a colisiones.c) Las colisiones entre moléculas son de tipo elástico.d) La distancia de separación entre moléculas es mucho mayor que su

propio diámetro.e) Bajo condiciones normales de presión y temperatura, las fuerzas entre

las moléculas y las paredes del recipiente que contiene el gas son insig-nificantes.

La distancia recorrida por una molécula entre dos colisiones recibe el nombre de camino libre �. El camino libre es una cantidad aleatoria cuyo valor medio depende de la concentración de partículas o de la densidad del gas. Para calcular el camino libre medio se asume un conjunto de moléculas estacionarias de radio r1 y un estrecho grupo de pequeñas partí-culas en movimiento de radio r2, como lo muestra la figura 2.1.

A medida que las pequeñas partículas avanzan, su densidad disminuirá en razón a la dispersión originada por las colisiones con las moléculas del gas.

1 L. B. Loeb. (1963). The Kinetic Theory of Gases. New York: Wiley.

75

COMPORTAMIENTO DIELÉCTRICO DE LOS GASES

Figura 2.1 a) Modelo empleado para determinar el camino libre; b) área de colisión presentada por una molécula.

a)

r 1 + r 2

r1

r2

b)

x dx

2r 12r 2

En la figura 2.1 b) se aprecia que el área de colisión presentada por una molécula es:

A colisión = r r1 2

2

es decir, ocurrirá una colisión cada vez que la distancia entre el centro de una partícula y el centro de la molécula, medida perpendicularmente al movimiento, sea menor que r1 + r2. Si N es el número de partículas por unidad de volumen de gas, el área efectiva de interceptación, cuya correcta determinación es motivo de investigación a nivel mundial [55], será:

A efectiva de interceptación = N r r1 2

2 (2.1)

Considerando el diferencial de longitud dx a una distancia x del origen, y n(x) como el número de partículas que sobrepasan la distancia x, enton-ces la disminución de partículas que avanzan, debido a la dispersión en el diferencial dx, es:

dn n x N r r dx

1 2

2 (2.2)

76


Asumiendo que el número de partículas en el origen (x=0) es n0, inte-grando se obtiene:

n x =n e

0

-N r r1 2

2

x

(2.3)

Como en el modelo el camino libre se asume2 de longitud x, el camino libre medio x se obtiene al diferenciar la ecuación (2.3):

f x =dn

n=N r r e

01 2

2 -N r r1 2

2

x dx

Para el camino libre medio:

x xf x dxx

( )0

N r r xe1 2

2 -N r r1 2

2

x

x 0

1

N r r1 2

2

(2.4)

El denominador de la ecuación (2.4) tiene dimensiones de área, y el #��"$1+r2)

2 se designa por �, es decir:

1

N (2.5)

2 La probabilidad de que el camino libre sea de longitud x es igual a la probabilidad de que se presenten colisiones entre x y x+dx.

77


Las colisiones entre partículas en movimiento y las moléculas del gas conducirán a procesos de ionización, excitación y recombinación.

2.2 IONIZACIÓN

La ionización es el proceso energético por medio del cual una molécula o un átomo cambia su estado de carga neutro a un estado de carga definido, positivo o negativo; es decir, si dicha molécula o átomo se somete a la ac-ción de una energía externa, puede disociarse en sus partículas elementales, cargadas positiva o negativamente.

Cuando una molécula neutra es impactada por una partícula cargada negativamente, esta última pierde muy poca energía cinética; sin embar-go, debido a la acción de fuentes externas, como campos eléctricos, se incrementa rápidamente. Una gran parte de esta energía cinética se puede transferir en forma de energía potencial, ocasionando, por ejemplo, la ioni-zación de las moléculas impactadas. La efectividad de la ionización, por el impacto de partículas cargadas negativamente, depende de la ganancia de energía DU de un electrón a lo largo del camino libre medio en la dirección del campo.

En la figura 2.2 se muestra cómo la energía U aplicada a una molécula, por ejemplo de hidrógeno, puede traducirse en el incremento de la separa-ción de cargas y, por tanto, del radio orbital rB; a este estado de energía se le denomina impulso. Una vez el electrón retorne al nivel energético original, liberará la energía absorbida como radiación electromagnética; a este estado de energía se le denomina fotón.

Recordando que la densidad de campo de la carga esférica está dada por:

� �D

q

re

4 2 0 (2.6)

y que la expresión de energía es:

U F dr q E dri

re

rB B

� �

(2.7)

78


Figura 2.2 Proceso de ionización de una molécula. a) Impulso, b) fotón y c) ionización.

++

--

a)

U

c)

b)

rB

se puede establecer la energía de ionización Ui:

U q E rdr

r

q E r

r

q

ri e K kr

e K k

B

e

BB

22

2 2

04

(2.8)

En la tabla 2.1 se indican los valores de la energía de ionización Ui para algunos gases3, calculados a partir de la ecuación (2.8).

Tabla 2.1 Energía de ionización en [eV] para algunos gases

Gas Ui [eV]

Mercurio 10,4

Oxígeno 12,5

Nitrógeno 15,8

Hidrógeno 15,9

Flúor 18,6

SF6 19,3

3 W. Mosch, und W. Hauschild. (1979). Hochspannungsisolierungen mit Schwefelhexafluorid (SF6). Berlin: Heidelberg; A. Roth (1965). Hochspannungstechnik. Aufl. Wien.

79


La energía de ionización es un indicativo de la capacidad dieléctrica de un material gaseoso, es decir, de la facilidad con que se disocia un electrón en el proceso de ionización, lo que podría conducir a la ruptura dieléctrica en el gas. Así, entre mayor sea el valor de la energía de ionización Ui, mejor será el aislamiento que proporciona un gas para determinadas aplicaciones eléctricas, como por ejemplo el hexafluoruro de azufre (SF6) empleado en aislamiento de equipos en subestaciones eléctricas de alta tensión.

El fenómeno de ionización es probabilístico, puesto que depende del área de colisión que produciría ionización �, expresada como el producto Pis, donde Pi es la probabilidad de ionización por colisión y s el área de colisión presentada por una molécula definida por la ecuación (2.5). La variación de si respecto a la energía del electrón, expresada en [eV], para hidrógeno, oxígeno y nitrógeno se muestra en la figura 2.3 [41].

Energía del electrón en [eV]

Área de colisión

σi_[x10

-20

m2]

101 102

101

102

1

2

3

Figura 2.3 Variación del área de colisión si que produciría ionización con respecto a la energía del electrón para 1) hidrógeno, 2) oxígeno y 3) nitrógeno.

Se aprecia que para cada gas existe un rango de energía del electrón para el cual se obtiene una máxima probabilidad de ionización.

80


2.3 PROCESOS DE IONIZACIÓN

Existen diferentes procesos, aparte de la colisión de electrones o de iones positivos, mediante los cuales se puede obtener la ionización de un gas; los más importantes son los de fotoionización y termoionización.

2.3.1 Fotoionización

El proceso conocido como fotoionización se produce cuando radiación elec-tromagnética, en forma de fotones, incide sobre un átomo, dando como resultado un electrón liberado y un átomo con deficiencia de carga negativa. La figura 2.4 muestra de manera esquemática dicho proceso.

Para que ocurra la ionización se debe cumplir que:

hf = Ui

donde hf es la energía del fotón, h la constante de Planck y f la fre-cuencia de oscilación del fotón [70]. Por tanto, si la diferencia (hf - Ui) es pequeña, la probabilidad de que el fotón ionice el gas es máxima.

++

--

±±

-- ==fotón

Figura 2.4 Proceso de ionización por incidencia de fotones.

2.3.2 Termoionización

Este término se aplica a la ionización por colisiones entre moléculas, radia-ción y colisión de electrones, cuando el gas está sometido a altas tempera-turas. Si un gas se eleva a una temperatura suficientemente alta, muchos de sus átomos o moléculas adquirirán una alta velocidad, adecuada para

81


causar ionización al impactar con otros átomos o moléculas. La ionización térmica es la principal fuente de arcos eléctricos y flameo en gases someti-dos a alta presión.

2.3.3 Desionización

Los iones o partículas cargadas, positiva o negativamente, tienden a formar átomos neutros mediante recombinación. Los elementos que tienen esta pro-piedad de recombinación pertenecen a los grupos VI y VII de la tabla perió-dica, como el oxígeno y los gases halógenos, fuertemente electronegativos.

Las energías potencial y cinética transferidas en la recombinación son liberadas como quantums de radiación o fotones. La figura 2.5 representa simbólicamente dicho proceso.

++

--

±±

--==

fotón

Figura 2.5 Proceso de desionización por recombinación de iones.

La rata de recombinación es directamente proporcional a la concentra-ción de iones positivos n+ y negativos n-

Asumiendo concentraciones iguales, se tiene:

dn

dt

dn

dtn n

(2.9)

82


donde � es el coeficiente de recombinación. Si n+ » n- = ni, y se asume que en t = 0 ni = ni0 y en el tiempo t ni = ni(t), entonces la ecuación (2.9) queda:

dn

dtni

i 2

dn

ndti

i

t

n

n

i

i

20

0

nn

n ti t

io

io

1

(2.10)

ni(t) será el número de recombinaciones en el tiempo t.Se define la afinidad electrónica como la medida de la tendencia de

un ion positivo para capturar iones negativos, expresada en términos de energía. Esta energía representa la solidez del enlace entre el átomo y el ion negativo que ha sido capturado.

Algunos valores de afinidad electrónica en [eV] son dados en la tabla 2.2.

Tabla 2.2 Afinidad electrónica en [eV] para algunos gases.

Elemento Afinidad [eV]

Helio 0,08

Oxígeno 1,47

Azufre 2,1

Yodo 3,2

Bromo 3,53

Flúor 3,6

Cloro 3,75

La recombinación entre iones positivos y electrones es un indicativo de la capacidad con que un material gaseoso recupera o restituye su capacidad dieléctrica, una vez se haya producido una descarga eléctrica en su interior.

83


2.4 EFECTO DE LOS ELECTRODOS EN EL PROCESO DE RUPTURA DIELÉCTRICA

Los electrodos, y en especial el cátodo, desempeñan un papel muy im-portante mediante emisión de electrones en el proceso de formación de la descarga, o ruptura dieléctrica, en gases. Bajo condiciones normales los electrones de los electrodos sólidos difícilmente pueden ser extraídos de sus superficies, debido a la interacción de las fuerzas electrostáticas entre iones y electrones en la estructura molecular. La energía necesaria para remover un electrón de una superficie metálica se conoce como energía de salida Ua

y tiene un valor diferente para cada material. La energía de salida Ua se calcula en forma análoga a la energía de

ionización [32], [62]:

Uq E r

ra

e K k

B

2

4

(2.11)

En la tabla 2.3 se presentan las energías de salida en [eV] para algunos metales4. El rango de valores indica la sensibilidad de la energía de salida a la contaminación de los electrodos.

Tabla 2.3 Energía de salida en [eV] para algunos metales.

Metal Ua [eV]

Cobre 4 – 4,8

Aluminio 1,8 – 3,9

Hierro 4 – 4,7

Plata 3 – 4,7

Oro 4,8

Cromo 4,8

Existen diferentes maneras para suministrar la energía necesaria para liberar electrones de una superficie metálica.

4 Ibíd.

84


2.4.1 Emisión fotoeléctrica

Ocurre cuando los fotones que inciden en la superficie catódica poseen una energía mayor a la energía de salida (hf > Ua), produciéndose la emisión de electrones.

2.4.2 Emisión por impacto de iones positivos

Para causar la emisión de un electrón, de la superficie catódica, el ion neutro impactado debe liberar dos electrones, uno de los cuales neutraliza la carga del ion positivo incidente. La energía necesaria para emitir un electrón por efecto del impacto de iones positivos es dos veces la energía de salida, es decir, Uk + Up = 2Ua, donde Uk y Up son, respectivamente, la energía ciné-tica y potencial del ion positivo incidente.

2.4.3 Emisión termoiónica

A temperatura ambiente, los electrones de una superficie metálica no poseen energía térmica suficiente para ser liberados. Si la temperatura del metal se incrementa a algún valor entre 1500 y 2500 °K, los electrones obtendrán suficiente energía, debida a las fuertes vibraciones de la estructura molecu-lar, para abandonar la superficie del metal.

2.5 TEORÍA DE TOWNSEND PARA LA DESCARGA ELÉCTRICA EN GASES

La investigación que realizó Townsend se basó en el planteamiento de dos coeficientes que modelan tanto el comportamiento de las moléculas del gas, como la influencia de los electrodos en el proceso de la descarga eléctrica en gases.

2.5.1 Primer coeficiente de Townsend

Townsend estudió el comportamiento dieléctrico de los gases mediante el análisis de la variación de la corriente medida entre dos electrodos paralelos en función de la tensión aplicada5, encontrando que esta corriente se incre-menta proporcionalmente con la tensión, hasta un valor a partir del cual se satura, como se aprecia en la figura 2.6 [3].

5 J. S. Townsend (1914). Electricity in gases. Ed. Oxford .

85


Figura 2.6 Relación tensión-corriente antes de la descarga.

I

VV2V1

i0

El valor de saturación de corriente puede ser superado incrementando la tensión, con lo cual la corriente presentará un comportamiento exponen-cial, el cual fue explicado en términos del número de pares de electrones disociados producidos por un electrón que se desplaza dentro y en la direc-ción del campo eléctrico. A este concepto Townsend lo denominó a o primer coeficiente de ionización de Townsend.

Al asumir que n es el número total de electrones a una distancia x del cátodo, el incremento de electrones dn a una distancia dx está dado por:

dn = �n dx

que al integrar para todo el espacio interelectródico d, se obtiene:

n = n0 e�.d (2.12)

donde n0 es el número inicial de electrones generados en el cátodo. La ecuación (2.12) puede ser empleada en términos de corriente

I = I0 e�.d (2.13)

86


El término e�d en la ecuación (2.12) es llamado avalancha de electro-nes, y representa el número de electrones producidos por un electrón en su viaje desde el cátodo hasta el ánodo.

La multiplicación de electrones dentro de la avalancha se muestra es-quemáticamente en la figura 2.7.

Figura 2.7 Representación esquemática de la multiplicación de electrones dentro de la avalancha de electrones.

dx

E

d

x

Ánodo

no

nx

---- --

--------

-- -- -- -- -- -- -- --

λi

Cátodo

La probabilidad de ionización dependerá de la densidad o presión p del gas; por tanto:

� = p f (E/p)

o �/p = f (E/p) (2.14)

En la ecuación (2.14) se plantea la dependencia de a/p en E/p, la cual, por métodos experimentales, conduce a:

/ / / / / /pT

e Aei T V E p B E pi i

kk

donde

AT

BV

T

i

i i

k

k

87


Estas expresiones son teóricas y distan de los valores experimentales. La constante k es la constante universal de Boltzmann y T es la temperatura del gas. Las constantes A y B caracterizan el proceso de ionización para determinados rangos de E/p y se pueden determinar experimentalmente6. La tabla 2.4 muestra los valores de A y B para algunos de los gases más comunes dentro de los rangos especificados de E/p [41], [32].

Tabla 2.4 Constantes A y B para algunos gases. (T = 20 ºC).

GASA

[Torr cm]-1

B

[V/Torr cm]

rango E/p

[V/Torr cm]

Aire 15 365 100 - 800

H2 5 130 150 - 600

N2 12 342 100 - 600

CO2 20 466 500 - 1000

En la tabla 2.4 es pertinente aclarar que los valores A y B no son cons-tantes en todo el rango de E/p especificado. La referencia 41 del autor Kuffel se contradice en esta tabla con relación a la figura 5.22 del mismo autor.

2.5.2 Segundo coeficiente de Townsend

De acuerdo con la ecuación (2.13), una curva de log I vs.d, debe mostrar una línea recta de pendiente a, si para una presión p dada, E se mantie-ne constante. Sin embargo, Townsend comprobó experimentalmente7 que a partir de cierto valor de d, se presenta no linealidad en la curva, tal como lo muestra la figura 2.8.

Figura 2.8 Variación de la corriente en función de la distancia interelectródica.

6 A. Von Angel (1965). Ionised Gases (2nd ed.)Ozleworth: Clarendon Press.7 J. S. Townsend. Electricity in gases, op. cit.

log I

log I0

Distancia interelectródica

88


Para explicar esta no linealidad, Townsend planteó un segundo coefi-ciente � que debía afectar el comportamiento de dicha corriente. Primero consideró la liberación de electrones en el gas ocasionada por la colisión de iones positivo, y posteriormente la liberación de electrones del cátodo por la incidencia de los mismos, de acuerdo con el mecanismo explicado en el numeral 2.4.2.

Siguiendo el planteamiento de Townsend se puede representar el pro-ceso completo teniendo en cuenta ambos coeficientes, � y �. Tomando n0 como el número de electrones por segundo procedentes del cátodo debido a la radiación externa, n como el número de electrones por segundo proce-dentes de todas las fuentes que llegan al ánodo y n+ como el número de electrones por segundo procedentes del cátodo por emisión secundaria, en-tonces se tiene que el número total de electrones por segundo que proceden del cátodo es n0 + n+. La multiplicación de electrones debe cumplir:

n = (n0 + n+) e�.d

La diferencia entre el número de electrones que llegan al ánodo y el número de los que abandonan el cátodo, es igual al número de iones que llegan al cátodo; por consiguiente:

�(n - (n0 + n+)) = n+

Eliminando n+ de las dos ecuaciones anteriores:

nn e

e

d

d

0

1 1

o en términos de corriente:

II e

e

d

d

0

1 1

(2.16)

Igualmente, recordando la ecuación (2.12), se puede plantear la si-guiente relación:

89


n

ne ed K

0

1

(2.17)

En la tabla 2.5 se muestra el valor de � para algunas combinaciones metal-gas [32].

Tabla 2.5 Valores del segundo coeficiente de Townsend � para diferentes combinaciones metal-gas.

Metal \ Gas H2 N2 Aire

Aluminio 0,100 0,100 0,035

Cobre 0,050 0,065 0,025

Hierro 0,060 0,060 0,020

2.6 TEORÍA DE CANALES PARA LA DESCARGA ELÉCTRICA EN GASES

Esta teoría surge de la necesidad de explicar algunos fenómenos de la ruptu-ra dieléctrica que, bajo ciertas condiciones de presión, la teoría de Townsend no aclara satisfactoriamente. Según Townsend, la ruptura debe producirse después del tiempo de tránsito del electrón ti, o por lo menos en ese tiem-po; sin embargo, resultados experimentales8 demostraron que en algunas ocasiones la ruptura ocurría en un tiempo menor a ti sin presentarse efectos secundarios o de emisión catódica. Es así como Raether, Meek y Loeb des-criben el proceso de la ruptura dieléctrica en gases mediante la teoría de canales, dirigidos al cátodo o al ánodo.

2.6.1 Canal dirigido al cátodo

Fue desarrollado por Meek y Loeb para campo uniforme, y se puede describir de la siguiente forma: cuando la avalancha electrónica cruza la región inte-relectródica, los portadores de carga negativa son absorbidos por el ánodo, dejando un volumen de cargas positivas de forma cónica, como se aprecia en la figura 2.9 a).

8 H. Raether (1964). Electron avalanches and breakdown in gases. London: Butterworth; J. M. Meek, and J. D. Craggs (1953). Electrical Breakdown of gases. Oxford: Oxford Clarendon Press; L. B. Loeb (1955). Basic processes of gaseous electronics. Berkeley University of California Press.

90


Esta región de cargas positivas no es suficiente para producir la des-carga, puesto que su densidad es muy baja. No obstante, en el gas que se encuentra alrededor de la avalancha se producen procesos de fotoionización, generando electrones que sí tienen alta densidad.

Las avalanchas auxiliares, producidas por estos electrones, se generan alrededor de la avalancha principal, intensificando la carga espacial en di-rección al cátodo, figura 2.9 b). Este proceso es, a su vez, ayudado por el refuerzo de campo que produce la carga espacial. El proceso continúa hasta generarse una canal de ionización que se extiende desde el ánodo hasta el cátodo, figura 2.9 c).

Figura 2.9 Teoría de canales para la descarga eléctrica en gases. Canal dirigido al cátodo.

Ánodo+

Ánodo+

Ánodo+

Cátodo-c)

Cátodo-b)

Cátodo-a)

2.6.2 Canal dirigido al ánodo

El desarrollo de esta teoría se debe a Raether. Se basa en el desplazamiento de portadores de carga dentro de la avalancha, los iones positivos hacia el cátodo y los electrones hacia el ánodo, generando una concentración de carga en el espacio interelectródico. La carga espacial produce un campo eléctrico que es capaz de distorsionar el campo eléctrico externo, aumen-tándolo en los extremos de las dos nubes de portadores y debilitándolo en medio de ellas. Dicha distorsión se manifiesta en la transformación de la avalancha en canales de ionización o flameos, que permiten el proceso de la descarga. En la figura 2.10 se representa la distorsión del campo eléctrico debido a la carga espacial en una avalancha de electrones. La hipótesis del mecanismo de canales de este tipo se fundamenta en la existencia de una

91


primera ionización por impacto, de acuerdo con el segundo coeficiente de Townsend �, y la fuerte ionización en la cabeza de la carga espacial, debida a efecto fotoeléctrico.

La carga espacial de portadores, positivos y negativos, se separa en dos esferas, como se aprecia en la figura 2.10, estando, por su movilidad, más adelante la carga espacial negativa. El tamaño y la forma de las cargas espaciales dependen de variables físicas tales como la difusión en el medio, la velocidad de arrastre de las cargas, la densidad del gas y la temperatura.

Figura 2.10. a) Formación de la carga espacial debida a la avalancha de electrones; b) distorsión del campo eléctrico E0 debido al campo eléctrico asociado a la carga espacial.

E0

Cátodo-

-

--------

-- ------

--

--------

++ --

----

--

------

--

--

--++++++

++++

++

++

++

++

Ánodo+

Ánodo+

E0

a)

b)

Algunas de las principales diferencias entre la teoría de Townsend y la teoría de canales se mencionan a continuación:a) Para que la avalancha electrónica planteada por Townsend se transfor-

me en canales de ionización, debe alcanzarse una cantidad crítica del número de portadores de carga �d � 18. Este valor corresponde para un campo homogéneo en el aire a un (pd) = 1500 [Torr cm].

b) El tiempo de formación de la descarga por el mecanismo de canales se estima en un valor cercano a 10-7 segundos, mientras que para el mecanismo de Townsend es aproximadamente igual a 10-5 segundos,

92


en una separación de un centímetro y bajo condiciones normales de presión.

c) El mecanismo de canales tiene su fundamento en la consideración de la carga espacial.

d) El mecanismo de ruptura por canales se presenta cuando los efectos en el gas, ionización por iones positivos, fotoionización, etc., predominan sobre los secundarios en los electrodos, incidencia de iones, fotoemi-sión, etc.

e) Sin embargo, si los efectos electródicos que prevalecen son los del gas, se tendría descarga eléctrica según la teoría de Townsend.

Es necesario mencionar que, en los últimos años, se han encontrado algunas inconsistencias [35] en la formulación de la teoría planteada por Meek en 1940, sobre la formación de la descarga eléctrica; sin embargo, la generalización de sus resultados obliga a su actual utilización mientras se realizan estudios más profundos al respecto.

2.7 TENSIÓN DISRUPTIVA - LEY DE PASCHEN

Para campos homogéneos y condiciones de presión constante existe una tensión Vd determinada, bajo la cual se va a presentar disrupción para una determinada configuración y composición tanto de electrodos como del die-léctrico.

De la ecuación (2.17) se obtiene que �d = K = ln (1+1/�) y teniendo en cuenta que E = Vd /d, ecuación (1.4), la ecuación (2.15) se puede escri-bir como:

K d Ap e Bpd Vd/ /

de donde:

VBpd

Apd

K

d

ln

(2.18)

93


La ecuación (2.18) es conocida como la Ley de Paschen, quien la de-terminó experimentalmente9 en 1889. La ecuación (2.18) no implica que la tensión disruptiva Vd aumente linealmente con el producto (pd); sin em-bargo, en la práctica se encontró que es aproximadamente lineal para cier-tos rangos de la curva. La relación entre Vd y el producto presión-distancia interelectródica (pd) toma la forma de la curva mostrada en la figura 2.11.

Figura 2.11 Relación entre la tensión disruptiva Vd y el producto presión-distancia interelectródica (pd). Ley de Paschen.

Para determinar el valor de (pd)mín para el que se tiene tensión disrup-tiva mínima Vd mín., se iguala a cero la derivada de la ecuación (2.18) con respecto a (pd), obteniéndose:

pd

e

A

min

ln1

11

(2.19)

9 B. Gänger (1953). Der elektrische Durchschlag von Gasen. Berlin: Ed. Springer verlag; L. Sirotinski (1955). Hochspannungstechnik Bd. I, Teil 1. Gasentladungen. Berlin: Ed. Springer verlag.

pd

V

V d mín

pd min

94


que al sustituir en la ecuación (2.18), da como resultado:

V

B

Admin. ln

2 718 1

1

(2.20)

En la práctica, las constantes (pd)mín y Vd mín se determinan experimen-talmente. La tabla 2.6 muestra, para los gases más comunes10, algunos de estos valores, los cuales concuerdan satisfactoriamente con los calculados a partir de las ecuaciones (2.19) y (2.20).

Tabla 2.6 Valores de tensión disruptiva mínima y de presión-distancia (pd) mínima para algunos de los gases más comunes.

Gas (pd)mín [Torr cm]

Vd mín [V]

Helio 4,0 155

Hidrógeno 1,05 230

Nitrógeno 0,65 240

Neón 4,0 245

Aire 0,55 352

Gas carbónico 0,57 420

Oxígeno 0,7 450

SF6 0,26 507

Se observa que gases como el hexafluoruro de azufre, o el oxígeno, presentan valores más altos de Vd mín para pequeños valores de (pd)mín. Esta característica es tenida en cuenta actualmente en aplicaciones de alta ten-sión cuando se presentan limitaciones de espacio, por ejemplo en el diseño de equipos para subestaciones eléctricas.

La Ley de Paschen es aplicable para un amplio rango de valores del parámetro (pd) por encima de los 2000 [Torr cm]. Sin embargo, para valo-res más elevados, se ha encontrado que la tensión disruptiva Vd aumenta ligeramente cuando se disminuye la distancia interelectródica, manteniendo

10 J. J. Thomson, and G. P. Thomson (1969). Conduction of Electricity through Gases. New York: Dover Publications Inc.

95


constante el producto (pd). Esta variación de la curva se asocia con la trans-formación de la avalancha en canales de ionización.

Por otra parte, las variaciones de la Ley de Paschen a muy bajas pre-siones se presentan cuando la descarga en el gas empieza a ser influida por los efectos secundarios en los electrodos, más que por los efectos de las partículas en el gas; es decir, cuando el mecanismo de canales de ionización es remplazado por el mecanismo de descarga de Townsend. No obstante, el valor de (pd) para el que se presenta esta transición no está completa-mente definido. Por consiguiente, algunas de las investigaciones en esta área están enfocadas a determinar el valor característico de presión para el cual se presenta descarga eléctrica en gases utilizados en alta tensión, como hexafluoruro de azufre o argón, bien sea por el mecanismo de canales de ionización o por el mecanismo de Townsend [51]. Las conclusiones de estas investigaciones se derivan de la comparación de las curvas de Pas-chen determinadas por el modelamiento matemático de la descarga en el gas con las obtenidas experimentalmente. Tal modelamiento requiere de la descripción del proceso de disrupción, con el planteamiento de ecuaciones en función de los coeficientes de la avalancha que son dependientes de la presión y el campo eléctrico11, es decir, � y �.

Se ha encontrado que el mecanismo de ruptura dieléctrica en Argón, por encima de los 6 [Torr cm] es del tipo de canales de ionización; por debajo de este valor la ruptura sigue el mecanismo de Townsend. Para el hexafluoruro de azufre este límite ha sido establecido en 0,6 [Torr cm]. Igualmente se ha hallado que para valores bajos del producto (pd) la ruptura dieléctrica se efectúa sobre los bordes de los electrodos, dadas las condiciones energéticas favorables de los caminos interelectródicos que allí se presentan.

El estudio de los mecanismos de descarga en gases para valores bajos del producto (pd) adquiere relevancia cuando las características de elemen-tos que operan en este rango, como descargadores de sobretensión aislados en gas, pueden ser optimizadas.

2.8 EFECTO CORONA

En los gases, bajo la presencia de campos eléctricos no homogéneos, se presentan diferentes manifestaciones, audibles y luminosas [56], antes de que ocurra la descarga completa, asociada a la presencia de chispas. Dichas manifestaciones pueden ser transitorias o estables, y se les conoce como

11 A. Pedersen (1970). Criteria for spark breakdown in SF6. IEEE Trans. on Power Delivery, 89, 2043-2048.

96


efecto corona, cuyo nombre se debe a las observaciones realizadas por los marinos a las descargas eléctricas, en forma de racimos o coronas, presen-tes en los mástiles de los barcos [7].

Este fenómeno es importante en aplicaciones de ingeniería en las que campos eléctricos no homogéneos son inevitables; del mismo modo, es res-ponsable de pérdidas de potencia en líneas de transmisión de alta tensión y del deterioro de los elementos aisladores, por la acción combinada del impacto de iones en su superficie y la injerencia de compuestos químicos formados durante la descarga. Sin embargo, recientes estudios han demos-trado que este fenómeno amortigua los efectos de las sobretensiones para un particular tipo de ellas [29].

El término corona se aplica a una categoría especial de descargas par-ciales12 que se presenta en aquellos casos en los que no se cuenta con superficies de aislamiento sólido o que están muy distantes de la región de descarga [74].

Las designaciones de corona positiva o negativa se refieren a la pola-ridad de la tensión aplicada al electrodo que soporta los mayores esfuerzos eléctricos, asumiendo que este puede ser definido; por ejemplo, en una con-figuración punta-placa, es tangible que el electrodo punta será el de mayores esfuerzos. En el caso de disposición punta-punta, la designación de polari-dad carece de sentido. En general, el comportamiento de la corona positiva o negativa es bastante diferente, lo que las hace fácilmente distinguibles. La descarga corona positiva, en configuración punta-placa, empieza con leves estallidos y continúa en forma de flameos, análogos a los que se presentan en campos homogéneos con valores elevados de (pd). El flameo aumenta, tanto en longitud como en el número de ramas que lo conforman. Una característica interesante es que las ramas nunca se cruzan unas a otras. A medida que se incrementa la tensión aplicada, el flameo da lugar a una corona brillante o luminosa que termina en una descarga completa. Para la corona negativa, con la misma configuración, la forma inicial de la descarga son los pulsos Trichel13, seguidos por una corona no pulsante y la descarga completa, como se muestra en la figura 2.12 [16], [23], [37].

En un arreglo de electrodos coaxiales o conductor-placa, el efecto co-rona se presenta en forma de un recubrimiento uniforme azulado sobre la superficie del conductor positivo o como un tenue flameo que parte del mismo. De otra parte, el efecto corona aparece como crestas o pestañas

12 Explicadas en el numeral referente al comportamiento dieléctrico de los sólidos.13 G. W. Trichel (1938). Mechanism of the negative point-to-plane corona near onset. Phys. Rev., 54,

1078-1084.

97


brillantes rojizas distribuidas a lo largo del conductor negativo [16]. Estudios estroboscópicos concluyen que con tensiones alternas, el efecto corona tiene la misma apariencia que con tensiones directas [41].

++ ++ ++ ++

-- ----

a)

b)

Figura 2.12 Esquema de la formación de diferentes tipos de descargas corona. Configuración de electrodos punta-placa. a) Punta positiva; b) punta negativa.

2.8.1 Aplicaciones industriales

En razón a que la descarga corona es relativamente fácil de establecer, ha encontrado varias aplicaciones, principalmente en procesos de purificación ambiental y como respaldo a procesos de manufactura industrial, dentro de los que se cuentan: precipitación electrostática, electrofotografía, control de estática en la industria de semiconductores, instrumentación para detección y medición de ionización, control de gases ácidos emanados por fuentes de combustión, la destrucción de compuestos tóxicos y la generación de ozono [16], [30], [50].

Entre las aplicaciones de purificación ambiental se destaca la de los precipitadores electrostáticos, cuyo desarrollo histórico ha estado relaciona-do principalmente con la reducción de la concentración de partículas libera-das por las chimeneas de industrias o plantas de generación térmica [57]. En esta aplicación existen diferentes diseños, pero el principio general es el mismo y consiste en transportar el aire contaminado a una región de descar-

98


ga corona, en donde las partículas indeseadas quedarán recolectadas sobre los electrodos, según el esquema de la figura 2.13.

Alambres conductores

Placas de recolección

Gas contaminado

Tierra

generadores de descarga corona Gas limpio

Partículas recolectadas en las placas

Figura 2.13 Conformación simple de un precipitador electrostático.

Cuando una tensión elevada es aplicada al alambre conductor, el cam-po eléctrico creado produce una región de descarga corona formada por iones y electrones. El campo, establecido entre la región corona y las placas colectoras, extrae los iones, los cuales ceden carga eléctrica a las partículas, conduciéndolas entonces a las placas colectoras. Para la recolección de par-tículas cargadas más grandes se requiere la aplicación de elevados picos de tensión, mientras que una recolección más rápida implica valores altos de tensión, promediados en el tiempo. En general, la investigación en esta área se ha orientado a mejorar el método y los equipos necesarios para suminis-trar la alta tensión requerida para elevar la eficiencia de los precipitadores electrostáticos [52].

En términos de soluciones de ingeniería a los problemas potenciales de salud ocupacional asociados con la exposición a altas concentraciones de polvo en el aire del ambiente, la mejor opción es minimizar la tasa de emisión de polvo en la fuente. Los desarrollos iniciales para lograr lo anterior emplean precipitadores electrostáticos parcialmente cerrados sobre la fuen-te emisora. El cierre parcial actúa de por sí como electrodo de recolección. Uno de los últimos avances en esta área se ha enfocado a la purificación de

99


grandes volúmenes de aire en la cercanía de procesos industriales polvorien-tos. La idea es aprovechar la baja presión de los flujos de aire generados en las operaciones industriales que involucran maquinaria rotativa [39].

Otra de las aplicaciones importantes de la descarga corona es la relacio-nada con la generación de ozono para ser usado como desinfectante en lugar de cloro [15]. Existen varias razones para ello, pero la más relevante es que el ozono, por ser altamente inestable, rápidamente se restablece en forma de oxígeno, y además, a diferencia del cloro, no reviste peligros ambientales. Debido a su inestabilidad, el ozono no puede ser almacenado, y por tanto ha de ser generado en el sitio de uso, lo que implica, convencionalmente, el es-tablecimiento de una descarga corona de corriente alterna. Dicha descarga se genera dentro de un par de placas metálicas en cuyo interior se tienen uno o más dieléctricos sólidos, en serie con aire u oxígeno14. Es por esto que a este tipo de descarga corona se conoce como descarga barrera o silenciosa, y esencialmente consiste en un gran número de flameos de corona indepen-dientes, cada uno de los cuales es extinguido o apagado por efecto de la carga espacial acumulada en la superficie de cada barrera sólida [16].

La eficiencia de este proceso es baja, en razón a que la mayor parte de la energía de entrada se pierde como calor indeseado. Una alternativa más eficiente, desarrollada recientemente15, prescinde de la barrera die-léctrica y emplea una configuración de electrodos de campo altamente no homogéneo, como punta-placa o electrodos coaxiales. Con la disposición electródica anterior y con la aplicación permanente de tensión CA o CD, la tensión aplicada debe ser mantenida por debajo del valor de ruptura del dispositivo, lo que implica una descarga corona muy débil en donde se ge-nera una cantidad muy pequeña de ozono. Si la tensión se suministra como un pulso individual, o como un tren de pulsos, se pueden aplicar tensiones mayores que el valor de ruptura, siempre y cuando la duración del pulso sea suficientemente corta. La duración del pulso requerida para una tensión dada es controlada por la tasa de crecimiento de la región corona. Mediante la simulación computacional de las características de la transición de la avalancha de electrones en flameo, se establecen las condiciones bajo las cuales la generación de ozono, dada como función de la duración del pulso de tensión, es óptima [15], [55].

14 B. Elliasson, M. Hirth, and U. Kogelschatz (1987). Ozone synthesis from oxygen in air barrier dischar-ge. Journal Appl. Phys., 20, 1421-1437.

15 I. D. Chalmers, L. Zanella, S. J. Macgregor, and A. Wray (1994). Ozone generation by pulsed corona discharge. IEE Colloquium Digest.

100


2.8.2 Aplicaciones en subestaciones aisladas con gas

La creciente demanda de energía por parte de una población constantemen-te en aumento ha obligado al diseño de mejores aislamientos en los sistemas de potencia, de tal forma que garanticen continuidad y confiabilidad en la generación, transformación, transmisión y distribución de los cada vez más elevados niveles de tensión. Es así como, aprovechando las características dieléctricas del SF6, descritas en el apartado 2.7, se ha generalizado su uso como aislante en el diseño de subestaciones, cuando las condiciones de espacio y de impacto ambiental así lo requieren.

Este tipo de subestaciones presentan, entre otras ventajas, el poco mantenimiento que necesitan para garantizar continuidad en su operación; sin embargo, si se presenta la suspensión del servicio ocasionada por una falla, el proceso de reconexión puede durar días e incluso semanas. Es por esto que actualmente se concentran esfuerzos para prever cualquier contin-gencia.

Estudios estadísticos16 demuestran que el motivo más común por el cual se presentan fallas en subestaciones encapsuladas en SF6 es la presen-cia de partículas metálicas libres en el gas, además de deficientes contactos entre sus componentes, lo que produce descargas corona, también llamadas descargas parciales externas [45], y el posterior rompimiento del dieléctrico. El método de predicción de fallas en subestaciones encapsuladas en SF6 se basa en la detección de estas descargas parciales.

Las descargas parciales en gases son descargas eléctricas de longitud inferior a un milímetro [30], que producen un súbito aumento de la tempe-ratura de las moléculas del gas, emitiendo luz y sonido además de la genera-ción de nuevos elementos químicos por la ionización y recombinación de sus partículas. Eléctricamente, la repentina modificación de la tensión produce energía electromagnética. Concretamente, entre los fenómenos físicos, quí-micos y eléctricos asociados a las descargas parciales en gases que puede poner en evidencia su presencia, están:a) Emisión lumínica. Utilizando fotomultiplicadores es posible detectar

los fotones provenientes de las descargas corona. Este método es una poderosa herramienta para uso en laboratorio; sin embargo, presenta muy poca sensibilidad a la hora de detectar la presencia de descargas parciales en las subestaciones aisladas en gas.

16 N. Fujimoto, and G. L. Ford (1990). Results of recent GIS fault survey. IEEE Workshop on Gas Insula-ted Substations. Toronto.

101


b) Formación de subproductos químicos. Los subproductos provenientes de la descomposición del SF6 y que pueden diagnosticar la presencia de descargas parciales en las subestaciones encapsuladas son el SOF2 y el SO2F2. Aunque este mecanismo de detección tiene la ventaja de no producir interferencia eléctrica, el gran volumen de gas en las cámaras de la subestación hace casi imperceptible la presencia de cualquiera de estos subproductos.

c) Emisión acústica. Este método aprovecha la emisión de ruido provenien-te de cualquier tipo de descarga eléctrica, originada por la expansión de las partículas al ser sometidas al súbito cambio de temperatura en el proceso de ionización del gas. Para poder determinar la emisión acús-tica en subestaciones aisladas en gas, se hace necesario utilizar [45]: sensores como micrófonos, acelerómetros o sensores piezoeléctricos, además de cadenas de detección que pueden incluir, entre otros, sen-sores ópticos [14], para transmitir la señal acústica con un mínimo de interferencia.

d) Emisión eléctrica. La presencia de fenómenos de naturaleza eléctrica se puede detectar mediante sensores convencionales de descargas parcia-les o mediante métodos de cámaras de resonancia que utilizan las com-ponentes de ultra-alta frecuencia UHF [31], ocasionadas por la tensión en las descargas corona, para monitorear las subestaciones encapsula-das.

Los métodos de detección de descargas parciales en subestaciones encapsuladas en SF6 basados en la emisión acústica y emisión eléctrica, además de ser los más utilizados, actualmente son objeto de mayor in-vestigación a nivel mundial [22], debido a las ventajas comparativas que presentan, como la exactitud y la precisión de sus resultados, no obstante el costo de los mismos17.

17 C. J. Jones et al. (November, 1992). The use of diagnostics predictive maintenance to minimize swit-chgear life cycle costs. Paper 5-23, 9th Conference on Electric Power Supply Industry, Hong Kong.

103


PRESENTACIÓN

Los aislamientos sólidos constituyen una parte fundamental de las estruc-turas en los sistemas de potencia eléctrica, puesto que proveen tanto el soporte mecánico de las partes conductoras, como el aislamiento eléctrico de las mismas. En la práctica, el aislamiento de tales estructuras implica combinaciones de medios sólidos con medios gaseosos o líquidos; de ahí la importancia de comprender los diferentes mecanismos de ruptura dieléctrica en los materiales sólidos.

Los materiales sólidos aislantes empleados en aplicaciones de alta ten-sión se pueden clasificar en [24]:a) Orgánicos. Empleados en aplicaciones que requieren flexibilidad y del-

gadez. Tal es el caso de los materiales polímeros, termoplásticos1 y ter-moestables2. Igualmente, se emplean materiales como caucho y papel.

b) Inorgánicos. Ampliamente utilizados en instalaciones eléctricas al aire libre, dada su buena resistencia a la intemperie, como es el caso de la porcelana y el vidrio.

3.1 Mecanismos de rupturaEn la actualidad, el mecanismo de ruptura dieléctrica en los gases ha

sido ampliamente identificado y comprendido; sin embargo, no sucede lo mismo con los sólidos. A pesar de que numerosos investigadores han es-

1 Cloruro de polivinilo (PVC), polietileno (PE), polipropileno (PP) y poliestireno (PS), entre otros.2 Resinas epóxicas y siliconas.

Comportamiento dieléctrico de los sólidos3

104


tudiado el fenómeno durante por lo menos un siglo, formulando diversas teorías y conceptos encaminados a explicar cuantitativamente los procesos de falla en los sólidos, el conocimiento en el área es aún un poco inconcluso e incompleto. No obstante, en este numeral se exponen, de manera concisa y cualitativa, los mecanismos de ruptura actualmente aceptados en aislantes sólidos.

En términos generales, la rigidez dieléctrica de los sólidos es función del tiempo de aplicación de la tensión; es decir, un material dieléctrico sólido puede fallar al aplicarle una tensión por un determinado tiempo, pero el pro-ceso de falla es distinto cuando a este se le aplica una tensión más elevada en un tiempo más corto. Por tanto, es práctico dividir el tiempo de aplicación de la tensión en diferentes zonas correspondientes al tipo de mecanismo que en cada una tiene lugar, como se aprecia en la figura 3.1.

Figura 3.1 Variación de la rigidez dieléctrica y tipo de mecanismo de ruptura en dieléctricos sólidos en función del tiempo de aplicación de la tensión.

0 10-8 10-4 100 104

IntrínsecaPor avalancha

Electromecánica

Térmica Por erosiónElectroquímica

Seg

3.1.1 Ruptura intrínseca o mecánica

Si el material bajo prueba es puro y homogéneo, la temperatura y las con-diciones ambientales controladas cuidadosamente y el esfuerzo eléctrico al que está sometido suficientemente alto para evitar descargas externas, el valor de rigidez dieléctrica se incrementará, para tensiones aplicadas en un corto tiempo, por encima de un límite superior llamado rigidez dieléctrica intrínseca. Se asume que este límite superior se alcanza cuando los electro-nes del material adquieren suficiente energía, de parte del campo aplicado,

105

COMPORTAMIENTO DIELÉCTRICO DE LOS SÓLIDOS

para cruzar la zona prohibida de energía, establecida desde el nivel de valencia hasta el nivel de conducción. Varios modelos han sido propuestos en un intento por predecir el valor crítico de campo que causa la ruptura intrínseca, pero aún no se ha encontrado una respuesta completamente sa-tisfactoria. Los modelos empleados difieren unos de otros en lo referente al mecanismo de transferencia de energía de los electrones en la estructura molecular del material y a su distribución misma [41].

En general, la ruptura dieléctrica intrínseca la originan las fuerzas elec-trostáticas de compresión en el material. Estas fuerzas de compresión sur-gen como resultado de la atracción electrostática entre las cargas superficia-les que aparecen cuando la tensión se aplica sobre el material3. Al asumir tal material de espesor x0, colocado entre electrodos de área superficial S, como lo muestra la figura 3.2, se presentará una fuerza F que actúa sobre el espesor x, a una distancia Dx, cuando se aplica la tensión V.

Δx

x

x0

F

F

Figura 3.2 Material dieléctrico sólido sometido a la acción de un campo eléctrico. Fuerzas electrostáticas que originan la ruptura intrínseca.

Se puede determinar que esta fuerza electrostática está dada por:

F

V

xSr

0

2

2 (3.1)

3 K. H.Stark, and C. G. Garton (1955). Nature Editorial. London.

106


Teniendo en cuenta que F/S corresponde al esfuerzo mecánico sD [24], expresado como:

F

SY

x

xD

ln 0

(3.2)

Siendo Y el módulo de elasticidad del material en [N/m2]. Se pueden combinar las ecuaciones (3.1) y (3.2) para establecer Em, el valor máximo de campo que determina la ruptura de tipo mecánico:

0

20

0

2

0

2r V

x

x

xY

x

x

ln

EV

x

Y x

x

x

xr

2

0

2

0 0

2

0

2

ln

cuyo valor máximo se obtiene al derivar respecto a x

x0

e igualando a

cero, obteniéndose:

EY

mr

0 60650

.

(3.3)

Con este valor, y conociendo el espesor de la muestra de material, se puede calcular el valor de tensión disruptiva para descarga intrínseca o de tipo mecánico [32]. Bajo ciertas condiciones, en campos homogéneos, la ruptura dieléctrica puede producirse después del paso de una avalancha de electrones sencilla, desarrollada de manera similar a la que se presenta en los gases [41].

3.1.2 Ruptura eléctrica pura

Como se mencionó, en los sistemas de potencia, los aislamientos sólidos se encuentran sometidos a esfuerzos dieléctricos en compañía de uno o más

107


materiales diferentes. Si uno de estos materiales es, por ejemplo, gaseoso o líquido, la tensión de ruptura está determinado más por el material débil que por el sólido.

La figura 3.3 muestra un ejemplo simple, la prueba de un dieléctrico sólido entre electrodos de configuración esfera-placa, con un dieléctrico más débil, por ejemplo gas, en la zona libre.

d

x1

x2

ε1

ε2

Figura 3.3 Ruptura dieléctrica de un material sólido debida a combinación de dieléctricos.

La tensión aplicada a los electrodos se divide en V1, sobre el dieléctrico gaseoso, y en V2, sobre el dieléctrico sólido. A una distancia d del punto de contacto esfera-sólido, la tensión V1 es igual a:

VVx

x x1

1

1

1

22

(3.4)

donde x1, x2 representan los espesores, y �1, �2 las permitividades del gas y del sólido, respectivamente.

Los esfuerzos dieléctricos son mayores en el medio gaseoso que en el sólido, debido a que �1 es menor que �2. Para el caso mostrado, los esfuerzos dieléctricos en el gas se incrementan a medida que se reduce d, lo mismo

108


que x1. En consecuencia, la disrupción en el gas se producirá aún con valores relativamente bajos de la tensión aplicada, modificando significativamente la uniformidad del campo eléctrico aplicado, que se vuelve fuertemente no homogéneo, similar al que rodea a un electrodo punta.

La concentración de carga en el punto frontal del canal de descarga puede ser muy alta, llegando a producir campos locales del orden de 10 [MV/cm] [41], que son mayores al valor crítico de campo que causa la rup-tura intrínseca. La ruptura total se produce por la acción de varios canales de descarga en el sólido, y que se extienden paso a paso en todo el espesor del material.

En general, la ruptura dentro del material adquiere una estructura rami-ficada, semejante a la de un árbol, como ha sido demostrado4 por la aplica-ción de un impulso de tensión a un electrodo punta, embebido dentro de un material sólido transparente, por ejemplo, flexiglass.

3.1.3 Ruptura térmica

Cuando un aislante es sometido a esfuerzos dieléctricos se puede generar calor en su interior, debido a las corrientes de conducción transitorias y a las pérdidas dieléctricas por polarización. Por tanto, la ruptura térmica se presenta como resultado de la disipación de este calor, según la condición crítica establecida por las características térmicas del material, es decir, por la conductividad térmica �t y el coeficiente térmico �t.

El cálculo de la condición crítica para la ruptura térmica implica la solu-ción de una ecuación diferencial compleja, que asume dicha condición como resultado de la pérdida de las propiedades aislantes del material y cuando la temperatura en algún punto del material excede un valor crítico. Tal ecua-ción es resuelta teniendo en cuenta el tipo de función de campo eléctrico aplicado al material, obteniéndose valores de campo y tensión críticos para una ruptura térmica [41].

Otros modelos propuestos para determinar el valor de tensión crítica para ruptura térmica asumen una relación entre dicha tensión y la tempe-ratura [32]:

Vf

etc

t

t ro

t a

0 7480

20

.

(3.5)

4 R. Cooper (1963). International Journal of Electrical Engineering Education. Ed IJEE

109


donde f es la frecuencia de la tensión aplicado, �a la temperatura ex-terna y �0 la temperatura de referencia, �”ro relaciona la permitividad del material con las pérdidas dieléctricas que en él se presentan:

ro r

tan0

siendo tan� el factor de pérdidas dieléctricas. Se aprecia cómo la ten-sión crítica para ruptura térmica, según este modelo, es independiente del espesor del aislante; por consiguiente, la rigidez dieléctrica térmica no puede ser mejorada aumentando el espesor del material, sino mediante el rempla-zo del material por otro de mejores condiciones térmicas.

Algunas de las investigaciones recientes en esta área están encaminadas a establecer modelos que expliquen satisfactoriamente la ruptura térmica en los aislantes sólidos. Se ha estudiado en varios polímeros, por ejemplo, la dependencia de la rigidez dieléctrica sobre la temperatura5, estableciéndose, de acuerdo con análisis cualitativos, que para bajas temperaturas el proceso de ruptura es electrónico6, mientras que para altas temperaturas el proceso es térmico7, debido a las corrientes transitorias de conducción [27], [48].

3.1.4 Ruptura por erosión

Los elementos aislantes sólidos a menudo contienen cavidades o espacios vacíos en su interior o en las zonas de contacto con los electrodos. Usual-mente, estas cavidades se encuentran llenas de algún medio, gaseoso o lí-quido, de menor rigidez dieléctrica que la del material sólido. Por otra parte, la permitividad del medio en la cavidad es también menor, lo que origina una mayor intensidad de campo eléctrico en su interior. Por consiguiente, bajo condiciones normales de trabajo8, la tensión en la cavidad puede exceder el valor de ruptura, produciéndose descargas internas o descargas parciales que conducen a la falla total del material sólido.

La figura 3.4 muestra la sección transversal de un dieléctrico sólido de espesor d en cuyo interior se encuentra una cavidad, en forma de disco9, de espesor x. Igualmente se muestra el circuito equivalente.

5 J. J. O’Dwyer (1973). The theory of electrical conduction and breakdown in solid dielectrics. Oxford: Clarendon Press.

6 Similar al modelo de avalancha de electrones previa a la ruptura eléctrica pura.7 La ruptura térmica ocurre cuando la temperatura local alcanza el punto de fusión del material analiza-

do.8 Esfuerzos dieléctricos nominales.9 Perpendicular al campo eléctrico.

110


Figura 3.4 a) Ruptura dieléctrica de un material sólido debida a la descarga eléctrica en una cavidad interior; b) circuito análogo o modelo abc.

A

d x

V a C a C c

C b V c

a)

b)

En el circuito análogo, llamado modelo abc, la capacidad Cc corres-ponde a la de la cavidad, Cb a la capacidad del dieléctrico en serie con la cavidad, y Ca al material dieléctrico restante; luego:

CA

d xb

r

0

CA

xc

0

111


La tensión a través de la cavidad es:

VC

C CV

V

d

x

c

b

c ba

a

r

1

11

(3.6)

Asumiendo que la concentración de campo que produce ruptura en la cavidad es Ecr y que la tensión correspondiente es Vcr = Ecr x, entonces, de la ecuación (3.6) se obtiene:

V E xd

xai crr

1

11

(3.7)

donde Vai es la tensión, aplicada al dieléctrico sólido, que inicia la des-carga en la cavidad [32].

La validez del modelo abc está limitada a los casos en que los bordes de la cavidad coincidan con superficies equipotenciales, tanto antes como des-pués de la descarga. En cavidades esféricas, que es el caso más frecuente, esto no se cumple y el modelo abc pierde validez, teniéndose que recurrir a otros modelos de representación de la descarga en la cavidad10.

Cuando Vc alcanza el valor de ruptura V+, se produce una descarga en el interior de la cavidad; Vc cae repentinamente y empieza a subir nueva-mente hasta V+, cuando ocurre una nueva descarga. Se presentarán varias descargas durante la parte ascendente de la tensión aplicada. La secuencia de descargas parciales, con tensión sinodal aplicada, se muestra en la figura 3.5. La línea punteada indica, de manera cualitativa, la tensión que se de-bería tener en la cavidad si no ocurriesen descargas. De manera similar, en la parte descendente de la tensión aplicada, las descargas en la cavidad se producen cuando Vc alcanza el valor V-.

Cuando se produce la ruptura en la cavidad, las superficies del material aislante suministran un cátodo y un ánodo instantáneos. Algunos de los electrones que chocan con el ánodo poseen la suficiente energía para degra-dar o romper los enlaces químicos en la superficie del aislante.

10 A. Pedersen (1989). Proceedings of the 3rd International Conference on Conduction and Breakdown in Solid Dielectrics (pp. 107-116).

112


Figura 3.5 Secuencia de descargas en la cavidad de un dieléctrico sólido [41].

V

V+

V-

Vc

t

Igualmente, las colisiones de iones positivos sobre el cátodo originan deterioro de la superficie por el incremento de la temperatura. Además, se forman canales y perforaciones que se extienden dentro del material, aumentando la conducción al interior del mismo. Una degradación química adicional se produce como resultado de los productos activos de la descar-ga, como O3 o NO2 [41].

Cualquiera que sea el mecanismo de deterioro que opera, el efecto neto es el de una lenta erosión del material y la consecuente reducción del espesor del material aislante. La experimentación con aislantes sólidos, en cuyo interior se implementan cavidades de diferente profundidad y diámetro constante y la posterior confrontación con modelos teóricos, permite esta-blecer que las características del mecanismo que se presenta dentro de la cavidad corresponden al de un flameo o canal de ionización [19].

Otro fenómeno importante relacionado con el mecanismo de erosión es la formación de caminos de conducción permanentes, generalmente de carbón, en el interior del dieléctrico.

Para que se cumpla lo anterior, el material sólido debe contener alguna sustancia orgánica, como en los materiales polímeros, en los que se ha establecido que los caminos de conducción y la erosión misma son fenóme-

113


nos causados por el calor absorbido por el material durante cada descarga parcial de una serie de descargas sucesivas [76].

3.2 AISLAMIENTO SÓLIDO FRENTE A DESCARGAS PARCIALES

Para muchas de las investigaciones sobre dieléctricos sólidos y su óptimo desempeño dentro de los sistemas eléctricos, ha sido un objetivo funda-mental el relacionar el fenómeno de descargas parciales con la vida útil del sistema de aislamiento [26], [43], [64]. Una relación así definida no es fácil de plantear; no obstante, la medición de descargas parciales ha ganado suma importancia durante las últimas dos décadas, dado que, dentro de ciertos niveles, las variables vinculadas con las descargas parciales pueden ser determinadas sin deteriorar significativamente el sistema de aislamiento [41], [63].

La determinación de las variables relacionadas con las descargas par-ciales en materiales sólidos se basa en los intercambios de energía que tie-nen lugar durante la descarga. Estos intercambios se manifiestan como:a) Impulsos de corriente eléctrica11.b) Pérdidas dieléctricas.c) Radiación electromagnética.d) Sonido o ruido.e) Incremento de la presión en gases cercanos.f) Reacciones químicas.

Las técnicas de detección y medición de descargas parciales se basan en la observación de alguno de los anteriores fenómenos [63]. Los métodos más usados y de mejores resultados son los eléctricos, enfocados a distinguir los impulsos de corriente de cualquier otro fenómeno. La corriente induce el traslado de carga aparente entre los electrodos del sistema de aislamiento. Esto puede ser detectado por algún tipo de dispositivo de medida apropiado y procesado por filtros adecuados. El pico de tensión de salida es proporcio-nal a la carga aparente [26], [41]. La adecuada aplicación de los diferentes detectores de descargas parciales supone un conocimiento fundamental de los fenómenos eléctricos dentro de las muestras de ensayo y de los circuitos de prueba [59].

11 Semejantes a algunos tipos de descarga brillante o luminosa.

114


El diagnóstico de deterioro del aislamiento a partir de mediciones de descargas parciales se dificulta en razón al amplio rango de anomalías que pueden provocarlas y a los muchos procesos de degradación en los cuales pueden terminar. La mayoría de defectos en dieléctricos sólidos que causan descargas parciales bajo condiciones normales de operación provocarán, con el tiempo, el inicio de una ruptura que concluirá en la falla total del material. Otros tipos de defectos, como el incremento de esfuerzos dieléctricos o la presencia de contaminantes conductores, pueden causar la ruptura sin que se hayan detectado descargas parciales previas. Por tanto, la evaluación sig-nificativa de las mediciones obtenidas del fenómeno de descargas parciales, en términos de la tasa de degradación o de la vida útil del aislamiento, re-quiere la correcta descripción microscópica del defecto que las origina [43].

En términos generales, son dos las variables importantes que influyen en la determinación del estado del aislamiento eléctrico en una aplicación específica y de las medidas, preventivas o correctivas, que deben ser toma-das según el caso; estas son:a) Pérdidas dieléctricas. Determinadas por el factor de pérdidas tan�. De-

ben ser bajas, y la resistencia de aislamiento alta, para prevenir así la ruptura dieléctrica por efecto térmico.

b) Descargas parciales. Deben ser limitadas en cantidad para garantizar la vida útil estimada del aislamiento [64].

La conjunción de estos criterios se puede resumir en la tabla 3.1 [28]:

Tabla 3.1 Estado del aislamiento y medidas según pérdidas dieléctricas y descargas parciales.

Pérdidas dieléctricas

Bajas Bajas Altas Altas

Descargas parciales

Bajas Altas Bajas Altas

Estado del aislamiento

Sin deterioro Bajo deterioro Pronta ruptura Alto deterioro

Medidas En operaciónConstante revisión

Sacar de operación

Es igualmente importante revisar brevemente algunos aspectos relacio-nados con el estado del aislamiento desde la perspectiva de su degradación y según el campo de aplicación de los dieléctricos sólidos.

115


En el área de los cables para alta tensión, progresivamente han empe-zado a ser usados dieléctricos extruidos de bajas pérdidas como polietileno [4]. Es así como los estudios sobre el envejecimiento prematuro de los polí-meros, originado por rupturas con estructura ramificada [17], han generado gran cantidad de literatura científica en los últimos años [54]. El empleo del polietileno de enlace cruzado (XLPE) se ha extendi do a los sistemas de 500 [kV]; por tanto, el diseño de aislamiento a largo plazo se constituye en un impresionante logro tecnológico.

Muchos de los aspectos operacionales o problemas investigados en subestaciones aisladas en SF6 no están enfocados hacia el mecanismo de envejecimiento. Desde la perspectiva operacional, los problemas surgen como resultado del deterioro del sellamiento y del agotamiento de los ab-sorbentes de contaminantes, provocando la contaminación del gas aislante. El deterioro por envejecimiento, debido a descargas parciales de bajo nivel, de los soportes epóxicos en conductos de subestaciones aisladas en gas, establece un desafío en el desarrollo de las técnicas de medición.

117


PRESENTACIÓN

La importancia de los dieléctricos líquidos en la técnica de la alta tensión ra-dica en las características intrínsecas que poseen, lo cual resulta beneficioso en aplicaciones que, por sus especiales condiciones, imposibilitan el uso de dieléctricos sólidos y gaseosos.

Entre sus principales cualidades se encuentran la de permitir la trans-misión de calor por convección, siendo utilizado como refrigerante, por ejemplo, en transformadores de potencia; también protege los equipos del contacto con la humedad y el aire, además de absorber vapores y reducir la temperatura en equipos de maniobra como interruptores.

4.1 PROPIEDADES

A la hora de escoger un dieléctrico líquido para un determinado equipo es necesario tener en cuenta sus propiedades eléctricas, físicas y químicas. Las propiedades eléctricas determinan el comportamiento aislante del material cuando se le somete a esfuerzos eléctricos.

Entre las propiedades físicas están, por ejemplo, la viscosidad, que pre-cisa el grado de movilidad de un fluido y, por ende, la capacidad de disipar calor por convección; así, entre mayor sea su viscosidad, disminuyen sus propiedades refrigerantes. Otra propiedad física es la densidad, la cual, si es menor que la del agua y se produjese mezcla, el aislante flotaría impidiendo su evaporación provocando oxidación o facilitando la ruptura dieléctrica. Los

Comportamiento dieléctrico

de los líquidos4

118


puntos de ignición y de solidificación son otras propiedades físicas que hay que tener en cuenta cuando se va a escoger un aislante líquido.

Las características químicas han sido esenciales en la evolución de los dieléctricos líquidos; por ejemplo, la prohibición o la utilización de uno u otro material ha dependido de la generación de gases tóxicos al presentarse recombinación de iones, después de una disrupción.

4.2 CLASIFICACIÓN

En un comienzo, el aceite mineral era el único dieléctrico líquido empleado en los transformadores, y en menor escala, en los condensadores e interrup-tores [58]. En los años treinta se introdujeron los hidrocarburos aromáticos clorados, especialmente los bifeniles, debido a la necesidad de operación de transformadores de distribución en lugares donde la inflamabilidad bajo ningún motivo era permitida, como en hospitales, centros comerciales, mi-nas, etc. Posteriormente se utilizaron los hidrocarburos fluorados, pero con limitadas aplicaciones debido a su alto precio y a la disponibilidad de los hidrocarburos clorados. En los años setenta se determinó la toxicidad de los bifeniles clorados, lo que forzó su prohibición en los años ochenta [9], y con-secuentemente se desarrollaron nuevos líquidos aislantes como los ésteres y los aceites de silicón [10].

Hoy en día, gran parte de la labor investigativa está encaminada a encontrar sustitutos a estos hidrocarburos que cumplan las siguientes ca-racterísticas:a) Buenas propiedades eléctricas y térmicas.b) Estabilidad química y térmica.c) Baja inflamabilidad.d) Compatibilidad con otros aislantes líquidos.e) Biodegradabilidad y no toxicidad.f) Bajo costo.

Por ejemplo, se está investigando en el impacto que en el medio am-biente pueden producir nuevas familias de fluidos aislantes como los poliés-teres perfluorados [53].

4.2.1 Aceites minerales

Son hidrocarburos producidos a partir del petróleo, cuyo uso es generalizado debido a propiedades [58] como la alta rigidez dieléctrica, buena conducti-vidad térmica, bajo punto de solidificación y bajas pérdidas dieléctricas. Sin embargo, la facilidad con que desprenden gases como hidrógeno, además

119

COMPORTAMIENTO DIELÉCTRICO DE LOS LÍQUIDOS

de otros hidrocarburos inferiores como el metano, pueden provocar mezclas explosivas con el aire. Esto, unido a la inflamabilidad, limita su uso para equipos que se localicen en lugares con buena ventilación y temperaturas no muy elevadas.

Es necesario tener en cuenta que estos aceites, bajo condiciones de ser-vicio y por la acción combinada del calor y el oxígeno del aire, no conservan indefinidamente sus propiedades originales, formando productos de oxida-ción como los ácidos y los lodos. Estos últimos al depositarse, por ejemplo, en los bobinados de los transformadores, dificultan la disipación de calor. Para evitar su contacto con el oxígeno, los transformadores generalmente se construyen con un depósito de dilatación.

Históricamente, los aceites derivados del petróleo crudo usados para aislamiento en transformadores provienen de hidrocarburos nafténicos; sin embargo, en los años setenta aparecieron como remplazo los hidrocarburos parafinados, los cuales resultaron con deficientes propiedades en cuanto a temperatura se refiere, sobre todo bajo condiciones extremas como las de climas árticos. Estos problemas han sido eventualmente solucionados con la adición de aditivos o mejorando las técnicas de refinado [25].

4.2.2 Hidrocarburos aromáticos clorados

Debido a su inflamabilidad y a su propiedad de generar gases explosivos, los aceites minerales empezaron a ser remplazados por los hidrocarburos aromáticos clorados, de los cuales los de mayor uso fueron los bifeniles policlorados, que puros o mezclados con otras sustancias se conocen con los nombres comerciales de Ascarel, Pyranol, Aroclor o Clophen, y fueron utilizados principalmente en transformadores y condensadores. Las propie-dades dieléctricas varían con el grado de cloración de los bifeniles, tal como se aprecia en la figura 4.1 [58].

Los hidrocarburos clorados pueden conservar sus propiedades aislantes inalterables, incluso después de una descarga, no siendo necesario esperar un tiempo para que estos se regeneren antes de volver a energizar el equipo. Son poco inflamables, lo que disminuye el peligro de ignición en lugares donde haya presencia de chispas; así mismo, durante su combustión gene-ran ácido clorhídrico, que aunque es un vapor altamente corrosivo, sofoca el fuego.

La toxicidad y la no biodegradabilidad de estos aislantes líquidos han hecho que representen un peligro para el medio ambiente, siendo comple-tamente opacadas todas las ventajas que como aislantes poseen. Aunque en los países desarrollados a comienzos de los años ochenta fueron com-

120


pletamente prohibidos, y no obstante los considerables progresos que en el campo se han realizado, difícilmente se reparará el daño ambiental hecho desde hace casi cuatro décadas. Actualmente no se sabe qué hacer con las existencias de estos hidrocarburos aromáticos clorados provenientes de los viejos equipos. Someterlos a altas temperaturas o hacerles un tratamiento químico con metales de sodio parecen ser dos de los métodos más viables por ahora [25].

Figura 4.1 Influencia del grado de cloración del bifenil sobre la permitividad � y el factor de pérdidas tan�.

0 10 20 30 40 50 60 70

% Cloro

Tan δ

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

6

5

4

3

2

1 2 3 4 5 6

Tan δ

ε

ε

4.2.3 Aceites de silicón y esteres

Después del fracaso de los bifeniles clorados, se han venido utilizando como remplazo aceites de silicón y esteres como los conocidos con los nombres de Basilone y Midel, respectivamente. Estos aislantes, principalmente los acei-tes de silicón, presentan un factor de pérdidas menor al de los hidrocarburos clorados y al de los aceites minerales. Mediante pruebas realizadas se ha determinado que dicho factor de pérdidas depende, en forma casi lineal, de la temperatura. También, a diferencia de los dos dieléctricos mencionados

121


en los apartados anteriores, la ruptura dieléctrica no depende de su conte-nido de agua. Este especial comportamiento posiblemente es debido a una singular forma de asociación del agua con las moléculas que los componen [10].

Cabe mencionar que aunque los aceites de silicón no son inflamables, su permitividad es baja y su precio es alto, mientras que los esteres son económicos y tienen una razonable permitividad, pero son inflamables y con un bajo punto de ignición [25].

4.2.4 Poliésteres perfluorados

Otra familia de dieléctricos líquidos son los fluorados como los hidrocarburos y los éteres, estos últimos de reciente utilización. Como ya se mencionó, los hidrocarburos fluorados no tuvieron mucho campo de aplicación debido a su alto precio y a la disponibilidad de otros dieléctricos más económicos. La presencia de átomos de flúor con su alta afinidad, la cual se puede ob-servar en la tabla 2.2, ejerce una influencia favorable sobre las propiedades eléctricas de dichos materiales. Sin embargo, al sometérseles a altas tempe-raturas, como las provocadas en la ruptura dieléctrica, tienden a descompo-nerse. Al disminuir la temperatura, la recombinación con el oxígeno genera otros elementos cuyo comportamiento en el medio ambiente puede llegar a ser perjudicial. Estudios realizados [53] han determinado, aparte de su buen comportamiento dieléctrico y su gran estabilidad química, la emisión de pe-queñas cantidades de gases. La composición de la mayoría de estos gases ha sido identificada y confirma la no toxicidad de los mismos.

En la tabla 4.1 se presentan algunas de las principales propiedades físicas y eléctricas de los aislantes líquidos más usados en aplicaciones in-dustriales [53].

Tabla 4.1 Propiedades físicas y eléctricas de algunos de líquidos aislantes más comunes.

DieléctricoDensidad [g/cm 3]

Viscosidad [cSt]1

Permitividad �2 tan� Vd [kV]

Aceite mineral 0,89 20 2,2 5 >40

Bifenil policlorado 1,45 30 4,5 10 >40

Basilone (silicón) 0,96 60 2,662 1,7 58 ± 4

Éter perfluorado3 1,73 1 2,060 2,0 47 ± 2

122


4.3 RUPTURA DIELÉCTRICA EN LÍQUIDOS

En la mayoría de los casos, bajo condiciones normales de presión y tem-peratura, la capacidad dieléctrica de los líquidos, comparada con la de los gases, es superior. Esto, sumado a las características anteriormente men-cionadas, ha hecho que las diversas aplicaciones obliguen al estudio de los mecanismos de ruptura; sin embargo, los conceptos físicos que explican este fenómeno aún no presentan la profundidad ni la exactitud de las teorías de disrupción en gases e incluso en sólidos. La investigación hasta el momento puede dividirse en tres escuelas de pensamiento.

4.3.1 Extensión de la teoría de disrupción en gases

Esta teoría es aplicada a líquidos puros y se basa en la formación de una avalancha de electrones producida por la ionización sucesiva de moléculas cuando se somete dicho líquido a un campo eléctrico elevado.

Debido a que procedimientos experimentales muestran que la conduc-ción del líquido depende tanto de la temperatura como de la intensidad de campo, se ha concluido que los electrones iniciales son liberados de los electrodos, ya sea por la acción directa del intenso campo eléctrico, también llamada emisión de campo, o por emisión termoiónica [41].

Recientes investigaciones [25] han determinado la influencia de la in-terfase electrodo líquido, en la formación de la descarga. Es así como se plantea la segunda ley de equilibrio de la termodinámica, como el motivo del desprendimiento de electrones de los electrodos. Esta emisión espontá-nea se presenta antes de haber campo eléctrico y en una pequeña parte del electrodo, en donde la energía de salida es menor a 1 [eV]. En el momento en que aparece una diferencia de tensión, los electrones emitidos empiezan a moverse desordenadamente a lo largo del dieléctrico. Aunque pueden ser muchos los electrones emitidos, uno solo es el que lidera el proceso de ruptura dieléctrica. Una vez el electrón liberado está en el líquido, este es acelerado por la acción del campo eléctrico hasta que gana la suficiente energía para ionizar las moléculas al chocar con ellas, momento en el cual comienza la avalancha.

Aunque esta teoría predice satisfactoriamente la magnitud relativa del valor crítico de rigidez dieléctrica, no es exacta para determinar los periodos de formación de la avalancha, ya que en la práctica son mucho mayores1.

1 J. A. Kok (1961). Electrical breakdown in insulating liquids. London: Philips Tech. Library.

123


4.3.2 Impurezas sólidas suspendidas

Las partículas sólidas suspendidas en el dieléctrico líquido aumentan la probabilidad de que se presente ruptura dieléctrica, ya que generalmente tienen una mayor permitividad que la del aislante, causando una notable disminución en la rigidez dieléctrica del medio. En esta teoría se consideran partículas polarizables de forma esférica, las cuales experimentan fuerzas, las que les provocan un desplazamiento hacia las regiones de mayor intensi-dad de campo. La sucesiva concentración de partículas origina la formación de un puente en el espacio interelectródico, lo que motiva la ruptura dieléc-trica, tal como se observa en la figura 4.2.

Figura 4.2 Formación del puente de partículas que produce la ruptura dieléctrica en aislantes líquidos.

Numerosas experiencias han demostrado que, como en el caso de par-tículas esféricas, si se someten fibras a la acción de un campo eléctrico, estas se alinean formando un puente, siendo atraídas hacia las zonas de máxima intensidad de campo [58].

4.3.3 Presencia de burbujas

Los líquidos aislantes con frecuencia presentan burbujas de elementos en fase gaseosa que, como las partículas sólidas, facilitan la ruptura dieléctri-ca2. Los procesos que motivan la formación de burbujas son [41]:a) Cámaras de gas en la superficie de los electrodos.b) Cambios en la temperatura y la presión del dieléctrico.

2 A. H. Sharbaugh, and P. K. Watson (1962). Progress in dielectrics, 4, 199-248. Haywood.

124


c) Colisión de electrones que puede generar subproductos gaseosos al di-sociar las moléculas del material aislante.

d) Evaporación del dieléctrico al aumentar la temperatura en las proximi-dades de las descargas coronas, ocasionadas, por ejemplo, por irregula-ridades en los electrodos.

Estudios sobre el comportamiento de los aislantes líquidos3 concluyen que el campo eléctrico crítico necesario para que haya ruptura dieléctrica depende del tamaño inicial de la burbuja, la cual es afectada por la presión y la temperatura externa. De esta forma, cuando la intensidad de campo eléctrico en una burbuja gaseosa alcanza cierto valor, esta se ioniza y la superficie líquida envolvente se calienta. A determinada tensión el líquido hierve, se vaporiza y la burbuja aumenta de tamaño, de tal modo que al cabo de sucesivos incrementos de volumen del gas ionizado se produce la descarga total [58].

Estudios [75], motivados por el avance en las técnicas electro-ópticas [25], explican, de manera más profunda, el mecanismo de ruptura, ocasio-nado por la presencia de burbujas en el líquido, planteándola en tres etapas fundamentales:a) Expansión de la burbuja. Está íntimamente ligada con el cambio en la

magnitud de la energía cinética de la superficie del fluido vecino a la burbuja, la pérdida en los valores de viscosidad del líquido y la aparición de fuerzas contrarias a la tensión superficial.

b) Inestabilidad en las paredes de la burbuja. La interacción de fuerzas eléctricas, como las producidas por el campo eléctrico, y de fuerzas hidrodinámicas ocasionadas por la expansión de la burbuja, como la presión, determinan la formación de ondas en la interfase, cuya ampli-tud crece rápidamente. Esta progresiva inestabilidad es el preámbulo del flameo.

c) Flameo. Se caracteriza por el torrente de electrones que atraviesa el espacio interelectródico. La velocidad de propagación es generalmente proporcional a la tensión aplicada, y para una tensión dada, esta velo-cidad permanece constante.

Como ejemplo de las investigaciones relacionadas con el tema de los dieléctricos líquidos, que han ayudado a expandir el conocimiento en el campo, están las encaminadas a determinar la velocidad de viaje de los portadores de carga, en el espacio interelectródico.

3 K. C. Kao (1976). Trans. AIEEE Electric insulators, E1-11, 121-128.

125


Para la creación de portadores de carga de una forma controlada se han desarrollado dos técnicas. La primera, mediante la incidencia de rayos X de baja intensidad a través del líquido y perpendicularmente a la dirección del campo eléctrico. La segunda técnica emplea electrodos hechos de metales alcalinos que, cuando son irradiados con un pulso ultravioleta de alta inten-sidad, liberan electrones al líquido, los cuales se mueven desordenadamente por la influencia del campo eléctrico. El arribo de los electrones, emitidos por cualquiera de las dos técnicas, es deducido por los trazos reflejados en el osciloscopio. Si se conoce la separación interelectródica, es posible calcular la velocidad de estos portadores de carga y, consecuentemente, se puede determinar su movilidad, es decir, la velocidad por unidad de campo. La primera técnica tiene el inconveniente de que los rayos X causan cambios químicos en líquidos altamente puros, y la segunda técnica solo se usa en líquidos que no adquieran conductividad debido a la absorción de radiación ultravioleta4.

4 W. F. Schmidt (1977). Electron mobility in non polar liquids: the effect of molecular structure, tempe-rature and electron mobility. Can. J. Chem., 55, 2197-2209; A. O. Allen (1976). Drift mobilities and conduction band energies of excess electrons in delectric liquids. NSRDS-NBS 58.

127


PRESENTACIÓN

Los sistemas de potencia eléctrica se ven sometidos frecuentemente a sobre-tensiones que tienen su origen en descargas eléctricas atmosféricas (DEAT), por lo cual son llamadas sobretensiones externas; también a las generadas por conexión y desconexión de componentes del sistema, o por fallas en la iniciación o extinción del sistema. Estas últimas son denominadas sobre-tensiones internas, las cuales pueden ser subdivididas a su vez en sobre-tensiones temporales, si son oscilatorias a frecuencia industrial o armónica, y en sobretensiones por maniobra, si son fuertemente amortiguadas y de corta duración. Debido a su origen común, las sobretensiones temporales y las sobretensiones por maniobra ocurren simultáneamente; por tanto, sus efectos combinados se deben tener en cuenta en el diseño de sistemas de aislamiento en alta tensión [41].

La magnitud de las sobretensiones externas es independiente del dise-ño del sistema, mientras que la magnitud de las sobretensiones internas se incrementa con el aumento de la tensión operativa del sistema. En conse-cuencia, al aumentar dicha tensión, el factor determinante en el diseño del aislamiento del sistema son las sobretensiones por maniobra.

Hasta los 300 kV, el sistema de aislamiento debe ser diseñado para soportar, principalmente, sobretensiones de origen atmosférico; por encima de este valor se deben considerar, además, las sobretensiones causadas por maniobras en el sistema, y para sistemas de extra alta tensión, 765 kV y más, las sobretensiones por maniobra, en combinación con la contamina-

Sobretensiones eléctricas5

128


ción del sistema de aislamiento, se convierten en el factor predominante en el diseño de dicho sistemas1.

Por lo anterior, en el presente capítulo se exponen los conceptos fun-damentales de estos dos tipos de sobretensiones, las externas o de tipo at-mosférico y las internas causadas por maniobras en el sistema. Igualmente, los métodos de cálculo, presentados al final, están dirigidos a determinar, esencialmente, el comportamiento de estos tipos de sobretensiones en siste-mas de potencia de alta tensión.

5.1 SOBRETENSIONES EXTERNAS

Las sobretensiones externas se pueden presentar a partir de diferentes fe-nómenos:a) Descargas eléctricas atmosféricas (DEAT) del tipo nube-tierra, que im-

pactan directamente sobre los diferentes elementos del sistema, como líneas de transmisión o subestaciones.

b) DEAT tipo nube-tierra o nube-nube, que impactan en la cercanía del sistema e inducen sobretensiones denominadas en la literatura técnica como tensiones inducidas [18], [78].

Los procesos físicos relacionados con la formación de una DEAT han sido estudiados y analizados por diferentes investigadores a nivel mundial, los cuales han desarrollado y perfeccionado diversos modelos que permiten calcular sus parámetros más importantes [49], [71], [72], [73], [78].

El peligro al que se ven expuestos los sistemas eléctricos y sus equipos se debe a las elevadas tensiones que las DEAT pueden producir a lo largo del aislamiento. El aislamiento de los sistemas de potencia se puede clasificar en dos categorías: externo e interno.

El aislamiento externo se compone de aire o porcelana etc., como los espacios entre elementos conductores y torres de soporte en líneas de trans-misión o barrajes en subestaciones. Si la sobretensión causada por la DEAT excede la rigidez dieléctrica del aislamiento, se produce flameo o ruptura, según los mecanismos de descarga expuestos en los capítulos 2 y 3. El fla-meo sobre el aislamiento externo generalmente no causa daños al equipo; lo peor que puede suceder es una breve interrupción del servicio para rempla-zar algunos aisladores dañados que, por lo general, son económicos [41].

1 Hydroquebec Symposium on Extra High Voltage Current. October. 1973.

129

SOBRETENSIONES ELÉCTRICAS

En la mayoría de los casos, el aislamiento interno consiste en papel, aceite o algún material sintético, y aísla los conductores de alta tensión de tierra en equipos costosos como transformadores, generadores, reactores, condensadores, interruptores, etc. Las fallas del aislamiento interno ocasio-nan interrupciones de servicio más prolongadas e implican un costo más elevado cuando involucran daños en el equipo [41].

Investigaciones realizadas sobre los rangos de corriente y tensión de la DEAT han ayudado a establecer los valores del impulso normalizado de tensión para simular sobretensiones externas [78]. Dicho impulso tiene una forma de onda no periódica que alcanza su valor máximo en 1,2 [μs] y de-crece a la mitad de su valor máximo lentamente, en 50 [μs].

Para la protección de los equipos contra sobretensiones, internas o ex-ternas, generalmente se usan descargadores de sobretensión (DST) que, en términos generales, son dispositivos que limitan el valor de las sobreten-siones cuando su magnitud se aproxima a la tensión disruptiva del sistema eléctrico; es decir, cuando la sobretensión sobrepasa un determinado valor, llamado tensión de disparo del DST, este conduce a tierra las corrientes de descarga originadas por la sobretensión, tomando un valor de resistencia muy bajo. En condiciones normales de operación, el DST presenta un valor de resistencia elevado.

5.2 SOBRETENSIONES INTERNAS

Las características de las sobretensiones internas están determinadas por parámetros propios del sistema; por ejemplo, su amplitud depende de la tensión de servicio y puede alcanzar hasta tres veces el valor de la tensión fase-tierra. La frecuencia de dichas sobretensiones oscila generalmente en-tre los 100 Hz y algunos kHz, y su duración puede ser de algunos milise-gundos.

Como en el caso de las sobretensiones externas, también se han esta-blecido los valores del impulso normalizado de tensión para simular sobre-tensiones internas, el cual tiene una forma de onda no periódica con tiempo de frente 250 [μs] y tiempo de cola de 2500 [μs].

Las sobretensiones internas se presentan generalmente por maniobras de conexión y desconexión de componentes del sistema, como líneas de transmisión, transformadores o condensadores, por fallas en la red y por fenómenos de resonancia, incluyendo todos los tipos de ferrorresonancia.

Debido a su amplitud o a la forma de onda de tensión originada, las principales causas de este tipo de sobretensión son:

130


a) Cortocircuitos monofásicos en redes con el punto neutro no puesto a tierra.

b) Desconexión de condensadores o líneas en vacío, especialmente si en los interruptores se originan reencendidos.

c) Interrupción de corrientes inductivas, siendo especialmente crítica la desconexión de transformadores poco tiempo después de su energiza-ción en vacío.

d) Conexión de líneas de gran longitud, tales como maniobra de recierre de la línea con carga después de un corto tiempo.

e) Desconexión de instalaciones de alta tensión para hornos de fundición de arco eléctrico.

f) Reacción de fusibles de alta tensión bajo elevadas corrientes de corto circuito [13].

Para evitar la propagación de este tipo de sobretensiones se utilizan principalmente los DST; además, existen mecanismos para impedir o limitar este fenómeno, tales como el amortiguamiento de los circuitos oscilantes, una correcta puesta a tierra del punto neutro, la fabricación de interruptores con resistencias de preinserción y condensadores de control, además de una gran velocidad en la apertura, etc. [13], [78].

5.3 MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE SOBRETENSIONES

Los problemas de propagación de ondas viajeras fueron estudiados por me-dio de métodos gráficos en los años 1920 y 1930, mucho antes de que fue-sen disponibles herramientas computacionales adecuadas. Básicamente se emplean dos técnicas: el método del diagrama lattic2, propuesto por Bewley3 y el método de Bergeron4. En la técnica del diagrama lattice se mantiene un registro de las ondas reflejadas y refractadas; su magnitud es calculada a partir de los coeficientes de reflexión y refracción, respectivamente [8]. El método de Bergeron no emplea tales coeficientes; en cambio, hace uso de las relaciones lineales entre corriente y tensión, que permanecen invariables cuando son vistas desde la perspectiva de un observador ficticio que se des-plaza junto con la onda [5]. Como se verá posteriormente, el avance de los

2 Celosía, retícula o grilla.3 L. V. Bewley (1951). Traveling waves on transmission systems. New York: Wiley. 4 L. J. B. Bergeron (1949). Du Coup de Belier en Hydraulique au Coup du Foudre en Electricite. Paris:

Dunod.

131


computadores digitales permitió el desarrollo del método de Bergeron hacia técnicas más perfeccionadas como las propuestas por Dommel [21].

Antes de presentar los métodos para el cálculo de sobretensiones es necesario tener en cuenta otros aspectos indispensables para la correcta modelación del problema en sí, tales como: fundamentos de la teoría de ondas viajeras, modelos de las líneas de transmisión, tipos de parámetros por utilizar, condiciones del problema, etc.

5.3.1 Ondas viajeras

Para realizar adecuadamente el análisis cualitativo de los efectos de las so-bretensiones en sistemas eléctricos, es preciso estudiar los fundamentos de la propagación de ondas. Dichos fundamentos son la base de los métodos más utilizados para el cálculo de sobretensiones, los cuales serán presenta-dos posteriormente.

Se considera un pulso ondulatorio que viaja hacia la derecha sobre una cuerda larga estirada, con una rapidez constante v, como en la figura 5.1. El pulso se mueve a lo largo del eje x, y el desplazamiento transversal de la cuerda se mide sobre la coordenada y. En cualquier instante la forma del pulso se puede representar por y = f(x).

Puesto que la rapidez del pulso ondulatorio es v, recorre hacia la dere-cha una distancia vt1 en un tiempo t1.

Figura 5.1 Pulso ondulatorio, de rapidez constante v, sobre una cuerda larga estirada.

x

t = 0

v

y

ymáx

y

x

vt1v

t = t1

132


Si la forma del pulso ondulatorio no cambia con el tiempo, el desplaza-miento y se puede representar por medio de un sistema de referencia esta-cionario con el origen en 0 para todos los tiempos posteriores, es decir:

y = f (x - vt)

En forma similar, si el pulso ondulatorio viaja hacia la izquierda, su desplazamiento se obtiene de:

y = f (x + vt)

El desplazamiento y, algunas veces denominado función de onda, de-pende de las dos variables x y t.

Muchos fenómenos ondulatorios de la naturaleza, como las sobreten-siones eléctricas, no se pueden describir mediante un simple pulso en movi-miento; por tanto, se deben analizar formas de onda complejas en términos de combinación de muchas ondas viajeras. Para tal efecto se emplea el principio de superposición: si dos o más ondas viajeras se están moviendo a través de un medio, la función de onda resultante, en cualquier punto, es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales [2], [61].

Para establecer la formulación matemática de las ondas viajeras electro-magnéticas, se analizará su propagación a través de un medio determinado, tal como una línea de transmisión. Considerando una sección infinitesimal Dx del conductor, paralelo a un plano infinito de referencia o tierra, se pue-den definir los siguientes parámetros distribuidos del elemento en cuestión:a) R: resistencia por unidad de longitud del circuito conductor-tierra.b) L: inductancia por unidad de longitud del circuito conductor-tierra.c) G: conductancia por unidad de longitud del conductor a tierra.d) C: capacidad por unidad de longitud del conductor a tierra.

Con lo anterior, se puede tener el circuito equivalente de la figura 5.2, ��%��&��"��%��'67]:

133


R Δx LΔx I(t) I(t) + ΔI(t)

G Δx CΔxV(t) V(t) + ΔV(t)

Δx

Figura 5.2 Circuito equivalente para una sección infinitesimal Dx de un conductor paralelo a tierra.

Un análisis mediante las leyes de Kirchhoff permite obtener las ecua-ciones de estado:

V t

V t V t R x I t L xI t

t

(5.1)

I t

I t I t G x V t V t C xV t VV t

t

(5.2)

Reordenando las ecuaciones (5.1) y (5.2):

V t

x

R I t LI t

t

I t

x

G V t V t CV t V t

t

134


La sección infinitesimal Dx se puede tomar tan pequeña como se quie-ra, con el fin de observar las variaciones de tensión y corriente, punto a punto, sobre todo el conductor.

lim

x

V t

x

V t

xR I t L

I t

t

0

lim

x

I t

x

I t

xG V t C

V t

t

0

La solución de estas ecuaciones diferenciales se consigue para el caso particular en el que se desprecian las pérdidas sobre la línea y la distorsión de la onda [21], es decir, tomando R = G = 0:

V t

xL

I t

t

(5.3)

I t

xC

V t

t

(5.4)

Por tanto:

2

2

2

2

V t

xLC

V t

t

(5.5)

2

2

2

2

I t

xLC

I t

t

(5.6)

Recordando la ecuación general de onda:

2

2 2

2

2

1f t

x v

f t

t

(5.7)

135


donde v es la velocidad de la onda y f es la amplitud. Según el matemá-tico francés Jean Le-Rond D´Alambert [5], la solución de la ecuación (5.7) es del tipo:

y = f (x ± vt)

En consecuencia, para las ecuaciones (5.5) y (5.6), se tiene que:

1 12v

LC vLC

(5.8)

La solución general de las ecuaciones (5.5) y (5.6) es del tipo:

V x t f x vt f x vt,

(5.9)

I x t g x vt g x vt,

(5.10)

El signo (+) indica desplazamiento en un sentido determinado y el signo (-) en sentido contrario.

La relación punto a punto e instante a instante entra las ondas positivas y negativas de tensión y corriente determina una constante llamada impe-dancia característica (Z), del medio de propagación.

V

IZ

L

C

(5.11)

V

IZ

L

C

(5.12)

136


Nótese que, de las ecuaciones (5.8) y (5.11), se puede determinar que:

1

vZ LC

L

CL (5.13)

1 1

v ZLC

C

L (5.14)

5.3.2 Método de Bewley

Para el cálculo de sobretensiones, cabe recordar que siempre que una onda viajera electromagnética alcanza una frontera, parte de la onda se refleja y parte se transmite en el interior del medio que se encuentre al otro lado de la frontera. Las cantidades de onda reflejada y refractada dependen precisa-mente de la impedancia característica Z:

En la tabla 5.1 se indican los coeficientes de reflexión � y refracción � de las ondas de tensión y corriente al cambiar de un medio de propagación Z1 a otro Z2 [77]:

Tabla 5.1 Coeficientes de reflexión y refracción de las ondas de tensión y corriente.

Coeficiente de reflexión � Coeficiente de refracción �

Onda de tensión (Z2 - Z1)/( Z1 + Z2) 2Z2 /( Z1 + Z2)

Onda de corriente (Z1 - Z2)/( Z1 + Z2) 2Z1 /( Z1 + Z2)

Estas propiedades de reflexión y refracción de las ondas viajeras fueron aprovechadas por Bewley mediante la proposición del método del diagrama lattice para análisis de ondas viajeras electromagnéticas [77], [78].

Si una sobretensión incide en el medio de propagación 1, de impedan-cia característica Z1, y viaja a través de él hasta el punto A, donde encuentra el medio de propagación 2, de impedancia característica Z2, experimenta un fenómeno de refracción y reflexión, tal como se aprecia en la figura 5.3. Este fenómeno se repite cuando la sobretensión llega al punto B, a partir del cual se propaga en el medio 3, de impedancia característica Z3.

137


A BVbVc Va

1 2 3

τ

2τ

3τ

4τ

2τ 2τ

Figura 5.3 Método de Bewley. Diagrama de Lattice.

Los cambios que experimenta la onda de tensión están dados por los coeficientes � y �, así:

Tabla 5.2 Método de Bewley. Coeficientes de reflexión y refracción de la onda de tensión al viajar a través de diferentes medios 1, 2 y 3.

Cambio de medio coeficiente de reflexión coeficiente de refracción

1 a 2 �12 �12

2 a 1 �21 �21

2 a 3 �23 �23

La onda inicial se discretiza en diferentes pulsos de tensión Va, Vb, Vc, etc., correspondientes a cada intervalo de tiempo de 2t, siendo t el tiempo que tarda el pulso de tensión en ir del punto A al punto B. El valor de t está determinado por la velocidad de propagación de la onda en el medio 2 y de la longitud del mismo.

En t = 0, el pulso de tensión Va incide en el punto A, donde se refracta con una magnitud de �12Va; igualmente en este instante se produce reflexión

138


de Va. Una vez el pulso refractado llega al punto B, en t = t1, se refleja y refracta nuevamente. El pulso reflejado tiene magnitud �

23.�12V

a, y el re-fractado de �23. �12Va. Cuando el pulso reflejado incide en A, en t = 2t, el siguiente pulso de tensión Vb lo hace también, con lo que el pulso siguiente tendría un valor total de �12Vb más �21.�23.�12Va. De esta forma, el valor de la tensión en cualquiera de las dos fronteras, para un determinado valor de t, está dado por la suma de los pulsos reflejados y refractados al lado izquier-do, o al lado derecho, de dicho punto. Por ejemplo, la tensión en el punto A, para t = 2t es:

V V V V

A

2 23 12 a 12 b 21 23 a

12 (5.15)

Reordenando la ecuación (5.15) se obtiene:

V V V

A 2 23 12 a 21 12 b

1

(5.16)

Generalizando para el caso en que Z1 sea igual a Z3, con lo que b21 = b23, el valor de la tensión en el punto A se puede determinar como:

V VaA -0 12

V V Vb aA -2 12 21 21 12

1

V V V V

c b aA -4 12 21 21 12 213

121

V V V Vd c bA -6 12 21 21 12 21

312 21

51

112

Va

Y en el punto B:

V VaB -1 12 21

1

V V Vb aB -3 12 12 12

1

2

139


100

Tiempo [μs]

Vol ta je [kV]

1 10

V V V Vc b aB -5 12 12 12 21

41

2

V V V V Vd c b aB -5 12 12 12 21

42161

2

Con los valores de tensión así determinados, se puede obtener la gráfica tensión contra tiempo para los puntos de frontera A y B.

5.3.3 Ejemplo de aplicación 1

Para comprender mejor lo anteriormente explicado, se aplicará el método de Bewley al siguiente caso: una sobretensión viaja por una línea de transmi-sión de impedancia característica Z1 = 500 [W], atraviesa una subestación eléctrica de impedancia característica Z2 = 50 [W] y longitud 50 [m] y vuel-ve a salir a través de otra línea de transmisión de impedancia característica Z3 = 500 [W].

La sobretensión está representada por un impulso con tiempo de frente de 1 [μs] y tiempo de cola de 10 [μs] y amplitud máxima 100 [kV], tal como se observa en la figura 5.4.

Figura 5.4. Ejemplo de aplicación del método de Bewley. Impulso de tensión aplicado.

El frente del impulso de tensión se representa por:

V 100 10 t9

140


Y la cola por:

V 20 10 t 1200009

La velocidad de propagación de la onda en la subestación se asume como c = 3 x 108 [m/s]; por tanto, el tiempo en que la recorre una vez es:

l

c

50

3 108

m

x m s/=166,66 ns

Los coeficientes de reflexión y refracción se indican en la tabla 5.3.

Tabla 5.3 Ejemplo de aplicación del método de Bewley. Coeficientes de reflexión y refracción del impulso de tensión.

Cambio de medio coeficiente de reflexión coeficiente de refracción

Línea a subestación �12 = -818,182 x 10-3 �12 = 181,818 x 10-3

Subestación a línea �23 = �21 = 818,182 x 10-3 �23 = �21 = 1,818

Para obtener mayor información con los resultados obtenidos, se dis-cretiza el impulso de tensión en intervalos de tiempo t1, siendo t1 igual a:

t1

2

533,33 ns

Es decir, el tiempo que toma la onda en recorrer la subestación desde el punto A hasta el punto B y regresar de nuevo al punto A, dividido cinco veces. Con la ayuda computacional de una hoja electrónica, se establecen los valores de la tensión en los puntos A y B, obteniéndose las curvas mos-tradas en la figura 5.5.

141


Figura 5.5 Ejemplo de aplicación del método de Bewley. Curvas de tensión contra tiempo para los puntos A y B.

Se aprecia que los valores máximos de tensión son:

VA-máx.��

VB-máx��

Cabe destacar la importancia del valor de impedancia característica de los medios de propagación de la onda, puesto que de este depende el comportamiento de la sobretensión, especialmente en la subestación. Es así como se aprecia que la sobretensión en los puntos A y B no sobrepasa el valor máximo del impulso, es decir 100 [kV]. Sin embargo, si se aumenta el valor de impedancia característica de la subestación a 500 [W], y se dismi-nuye el de las líneas de transmisión a 50 [W], se pueden presentar valores de tensiones muy elevadas e, incluso, de signo negativo, tal como lo muestra la figura 5.6.

Método de Bewley

Punto APunto B

Tiempo [S]

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

-10000

0

142


Figura 5.6 Ejemplo de aplicación del método de Bewley. Curvas tensión contra tiempo para los puntos A y B con valores de impedancia característica diferentes.

0.0E

+00

1.0E

-06

2.0E

-06

3.0E

-06

4.0E

-06

5.0E

-06

6.0E

-06

7.0E

-06

8.0E

-06

9.0E

-06

1.0E

-05

1.1E

-05

1.2E

-05

1.3E

-05

1.4E

-05

1.5E

-05

1.6E

-05

1.7E

-05

1.8E

-05

Tiempo [s]

Método de Bewley

Punto A

Punto B

Volt

aje

[V]

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

Ya se mencionó anteriormente que los valores elevados de sobreten-sión, como los mostrados en la figura 5.6, podrían ocasionar daños seve-ros en los diferentes elementos de la subestación. Por esta razón se deben emplear elementos de protección adecuados, como los descargadores de sobretensión (DST).

La figura 5.7 muestra las curvas tensión contra tiempo para los puntos A y B, cuando en el punto A se ha instalado un DST de tensión de disparo de 80 [kV]. La tensión en el punto A se limita a un máximo valor de 80 [kV], mientras que en el punto B la tensión se modifica ligeramente.

143


0.0E

+00

1.0E

-06

2.0E

-06

3.0E

-06

4.0E

-06

5.0E

-06

6.0E

-06

7.0E

-06

8.0E

-06

9.0E

-06

1.0E

-05

1.1E

-05

1.2E

-05

1.3E

-05

1.4E

-05

1.5E

-05

1.6E

-05

1.7E

-05

1.8E

-05

Tiempo [s]

Método de Bewley

-20000-10000

0100002000030000400005000060000700008000090000

Punto A

Punto B

Figura 5.7 Ejemplo de aplicación del método de Bewley. Curvas tensión contra tiempo para los puntos A y B con valores de impedancia característica

diferentes y DST de tensión disruptiva de 80 [kV] instalado.

5.3.4 Método de Bergeron para el cálculo de sobretensiones

Otro de los métodos empleados para determinar el comportamiento de so-bretensiones en sistemas eléctricos es el de Bergeron, presentado como método de solución para problemas en hidráulica causados por choques de presión en tuberías, según publicaciones de 1928 y 1929 del austría-co Löwy5 y el suizo Schnyder6. El método consiste en establecer la curva tensión-corriente de la onda incidente, al desplazarse dentro de un medio de impedancia dada, dentro de las condiciones de frontera determinadas por las impedancias a la entrada y a la salida del medio.

Bergeron, profesor en la École Centrale des Arts et Manufactures, había escrito solamente sobre solución de problemas hidráulicos. Sin embargo, pronto reconoció su utilización universal, para la investigación de fenómenos de dispersión electromagnética en conductores. Su trabajo sobre propaga-ción de ondas a lo largo de líneas y método gráfico fue presentado en una reunión general de la Société Française des Électiciens y la Société des Ingé-nieurs Civils de France, el 23 de abril de 1937. En el mismo año aparece un trabajo sobre el método de Blondel. Solamente en el año 1950 aparece una

5 R. Löwy (1928). Druckschwankungen in Druckrohrleitungen. Austria: Springer. 6 O.Schnyder (1929). Druckstösse in Pumpensteigleitungen. Schweitzerland: ETH Zürich.

144


descripción general del método de Bergeron en forma de libro, bajo el título: Du coup de bélier en hydraulique au coup de foudre en électricité.

El profesor Maduit, de la Universidad de Nancy, Francia, contribuyó me-��*��#��<<��?��^��_��`��$?��{�� |}~!��del método de Bergeron. En lo que atañe a la utilización práctica del método de Bergeron, hasta el año 1962 habían sido publicados informes de Cigre, descripciones sobre tensiones de retorno por fenómenos de maniobra, in-vestigaciones sobre áreas de protección de pararrayos contra sobretensiones en líneas aéreas y otros trabajos más. En un trabajo más reciente de Frey y Althammer, ya comienzan a aparecer las utilizaciones prácticas del método, mediante la utilización del computador digital, y es en el año 1969 cuando Hermann Dommel publica un programa digital utilizado para simular tran-sitorios electromagnéticos, basado en el método de las características de Bergeron para parámetros distribuidos y la regla trapezoidal de integración para parámetros concentrados.

5.3.5 Formulación matemática del método de Bergeron

Al remplazar la ecuación (5.13) en la (5.3), se obtiene:

V t

x v

I t Z

t

1 (5.17)

Y la ecuación (5.14) en la (5.4):

I t

x v

V t Z

t

1 /

I t Z

x v

V t

t

1

(5.18)

145


V(t)

I(t)

α = tn-1 -Z

V(t) = -Z I(t) + K+

V(t) = Z I(t) + K-

α = tn-1 Z

V(t)

I(t)

Combinando, mediante adición y sustracción, las ecuaciones (5.17) y (5.18), se deduce:

V t I t Z

x v

V t I t Z

t

1

cuya solución, como se dijo anteriormente, es la ecuación de una recta, de la forma:

V t I t Z f x vt K

� (5.19)

siendo K± una constante.

La interpretación del anterior planteamiento se realiza en términos de un marco de referencia de un observador ficticio que se desplaza junto con la onda. Un análisis de este concepto en la época en que Albert Einstein presentó su teoría de la relatividad, hace pensar que influyó en la teoría de Bergeron. Como la velocidad v de la onda permanece constante, también lo hará la expresión (x - vt)7. Entonces, la ecuación (5.19) significa que el cambio de estado de la onda en posición y tiempo se puede representar, en un diagrama V(t) contra I(t), como una línea recta de pendiente -Z. Para el caso en que el desplazamiento sea de B hacia A, la pendiente de la recta es Z. La figura 5.8 muestra las rectas descritas, conocidas como líneas rectas de Bergeron.

Figura 5.8 Líneas rectas de Bergeron.

7 La variación constante de posición está dada por la distancia desde el punto inicial A al final B del medio de propagación. El tiempo que tarda en recorrer dicha distancia es t, que define la variación constante en tiempo.

146


Como en el método de Bergeron el observador se desplaza a la misma velocidad que la onda, la variable tiempo está implícita, es decir, aparece en el diagrama V(t) contra I(t) como un parámetro que se define por sí solo. Para un medio de propagación como el de la figura 5.9 a), con una línea de transmisión o una subestación en la que incide una función paso de amplitud Vp, la construcción de la gráfica resultante, figura 5.9 b), comien-za con el trazado de las líneas rectas de tensión-corriente de los circuitos equivalentes [42] a la entrada y a la salida del medio; en este caso es la línea recta que parte de (Vp,0) con pendiente Re, y la que parte del origen con pendiente RC.

Como la función paso empieza en V(t) = 0 [V], la construcción de la gráfica empieza en el origen. Para determinar la sobretensión, se traza una línea desde el origen, con pendiente Z0, hasta cortar la línea característica de la entrada en el punto P. La siguiente línea, de pendiente -Z0, se dibuja desde P hasta cortar la línea característica de la salida en el punto Q. Luego, una línea, de pendiente Z0, desde Q hasta cortar la línea característica de entrada en el punto R. El procedimiento se repite hasta alcanzar el punto final X. Los puntos P, R, T, etc., definen las tensiones y corrientes en la entra-da, punto A, en los instantes de tiempo 0, 2t, 4t, etc., y los puntos Q, S, U, etc., definen las tensiones y corrientes en la salida, punto B, en los instantes de tiempo t, 3t, 5t, etc.

Vp

Re

RCVent Vsal

Zo, τ

a)

V(t)

I(t)

Vp

0

P

Q

R

S

UT

VW

X

b)

A B

Figura 5.9 Construcción gráfica de las líneas rectas de Bergeron. a) Circuito equivalente general; b) gráfica resultante.

147


V(t)

Vp

P

R

T

VW

U

S

Q

1τ0 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τ

X

t

Como se observa, el instante de tiempo correspondiente al origen de la gráfica es –t; es decir, el análisis comienza cuando el observador ficticio parte con la onda desde el punto B. En la figura 5.10 se muestran las ondas de tensión resultantes en el punto de entrada A y en el de salida B.

Se pueden presentar otras condiciones de frontera para el medio de propagación, de acuerdo con los valores de Re y RC.

Figura 5.10 Ondas de tensión resultante en los puntos A y B.

En la figura 5.11 se muestra el caso en el que la impedancia de salida se encuentra en circuito abierto, es decir RC�� valor de 5Z0. La característica de salida es una línea vertical que parte del origen.

La figura 5.12 muestra las ondas de tensión correspondientes para el punto de entrada A y para el de salida B.

148


Figura 5.11 Construcción gráfica de las líneas rectas de Bergeron para RC��`e = 5Z0. a) Circuito equivalente general; b) gráfica resultante.

Para el caso en que la salida se encuentre en corto circuito, RC = 0, y la impedancia de entrada sea Z0/5, la situación es la que se muestra en la figu-ra 5.13. La característica de salida es una línea horizontal trazada desde el origen. El método de construcción es el mismo que el descrito para la figura 5.9, pero hay que anotar que la línea de pendiente -Z0 dibujada desde C ha sido proyectada hacia abajo para intersecar la característica de salida en el punto L. En este caso no se presenta la tensión de salida, pero Vent puede ser determinado a partir de los puntos C, D, E, F, etc. La figura 5.13 muestra la onda de tensión para el punto A.

Vp

Re = 5Z0

Vent Vsal

Zo, τ

a)

pend.: Z0

V(t)

I(t)

Vp

pend.: -Z0

pend.: Re

0

P

Q

R

S

U

T

VW

b)

A B

149


V(t)

Vp

P

R

T

VU

S

Q

1τ0 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τt

Figura 5.12 Ondas de tensión resultante en los puntos A y B para RC��`e = 5Z0.

Si en la salida del circuito equivalente de la figura 5.14 a) se presenta un circuito abierto, la línea recta de pendiente -Z0 se proyecta hacia arriba hasta intersecar el eje y, que representa la característica de salida, en circui-to abierto, en el punto D. La línea de pendiente Z0 se traza hacia abajo desde el punto D hasta el punto E, en donde corta la característica en entrada. Este caso muestra cómo una construcción en espiral de las líneas rectas de Bergeron, figura 5.14 b), se asocia a un efecto oscilatorio, figura 5.14 c).

150


Vp

Re = Z0/5

Vent Vsal

Zo, τ

a)

V(t)

I(t)

Vp

0

F

E

D

b)

A B

C

L M N O

G

V(t)

Vp

1τ0 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τt

C

D

E

FG

c)

Figura 5.13 Construcción gráfica de las líneas rectas de Bergeron para RC = 0 y Re = Z0/5. a) Circuito equivalente general; b) gráfica resultante; c) ondas de tensión en el punto A.

151


Figura 5.14 Construcción gráfica de las líneas rectas de Bergeron para RC��`e = Z0/5. a) Circuito equivalente general; b) gráfica resultante; c) ondas de tensión en los puntos A y B.

V(t)

0 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ 8τ

E

C GI

D

F

H

c)

I(t)

V(t)

I(t)

Vp

0

F

E

D

b)

CG

I

HVp

Re = Z0/5

Vent Vsal

Zo, τ

a)

A B

152


Como se aprecia, el método de Bergeron es una herramienta adecuada para analizar el comportamiento de sobretensiones en diferentes tipos de circuitos, incluso en aquellos que contienen elementos no lineales, como diodos, transistores, etc. [42].


Al igual que con el método de Bewley, se desarrollará el método de Bergeron al caso expuesto en el numeral 5.3.3. Una sobretensión viaja por una línea de transmisión de impedancia característica Z1 = 500 [W], atraviesa una subestación eléctrica de impedancia característica Z2 = 50 [W] y longitud 50 [m] y vuelve a salir a través de otra línea de transmisión de impedancia característica Z3 = 500 [W].

La construcción gráfica de las líneas rectas de Bergeron, para el proble-ma propuesto, es la misma que se muestra en la figura 5.9, con la diferencia de que la línea característica de entrada, de pendiente -Re = -Z1, cambia de posición cada intervalo de tiempo t, debido a que la onda de tensión de entrada corresponde a una función tipo rampa. El punto de corte de estas líneas con el eje de tensión se determina, para cada instante de tiempo, de acuerdo con las siguientes ecuaciones:

t < 0 V = 0 0 para t > 1 [ms] V = 100 x 109 t 1 [ms] para t > 10 [ms] V = -20 x 109 t + 120000 t para 10 [ms] V = 0

153


La figura 5.15 indica el valor de la tensión de entrada para diferentes instantes de tiempo.

A B

t = - τ V = 0

A B

t = 0 V = 0

A B

t = τ V =16,66 [kV]

A B

t = 2 τV = 33,33 [k V]

A B

t =3τ V = 50 [k V]

Figura 5.15 Valor de tensión de entrada para diferentes instantes de tiempo para el ejemplo de aplicación del método de Bergeron.

Para realizar un correcto análisis, la gráfica de la figura 5.16 parte del origen, siendo este el punto B de la subestación en el instante t = -t. Par-tiendo del punto B, se debe llegar al punto A en t = 0, cuando la tensión de entrada también es cero. Nuevamente se recorre la subestación hasta el punto B, al que se llega en el instante t = t. A partir del punto B se llega al punto A en el tiempo t = 2�, momento en el cual la tensión de entrada, punto de corte con el eje de tensión, corresponde a 33,33 [kV]. Una vez

154


más, se recorre la subestación hasta el punto B, habiendo transcurrido un tiempo total de 3t.

Como se aprecia, el valor de la tensión en el punto A se determina en los instantes correspondientes a 0, 2t, 4t, 6t, etc., y en el punto B en 1t, 3t, 5t, 7t, etc.

Figura 5.16 Construcción gráfica de las líneas rectas de Bergeron para el ejemplo de aplicación.

V(t) [kV]

0

6,66

13,33

20

26,66

33,33

40

46,66

53,33

60

−τ .0 .τ

3τ 2τ

4τ

5τ

6τ

7τ

8τ 9τ

10τ 11τ 12τ

13τ 14τ 16τ

36

I(t)

pend.: Z

= 10 Z

pend.: -Z

1 = -10 Z

2

pend.: Z 2

pend.: -Z 2

66,66 73,33 80 86,66 93,33 100

155


En la figura 5.17 se muestran las gráficas resultantes para la tensión en los puntos A y B.

0 5τ 10τ 15τ 20τ 25τ 30τ 35τ 40τ 45τ t

V(t) [kV]

0

6,66

13,33

20,00

26,66

33,33

40,00

Figura 5.17 Ondas de tensión resultante en los puntos A y B para el ejemplo de aplicación del método de Bergeron.

5.3.7 Aplicación digital del método de Bergeron

La relativa sencillez del método de Bergeron para el cálculo de sobretensio-nes y el auge de la informática, incentivaron la utilización de herramientas computacionales que facilitaran el trabajo y a la vez brindaran exactitud en los resultados. Es así como en el año de 1969, el profesor alemán de la Universidad Técnica de Munich, Hermann Dommel, publica una aplicación digital de dicho método para el análisis de transitorios electromagnéticos. El objeto del presente apartado es explicar los fundamentos del método y des-cribir, mediante la formulación de un ejemplo, el procedimiento que se debe seguir para el análisis de transitorios en un sistema de potencia real. Este

156


método es la base de los programas digitales conocidos como EMTP-ATP (Electromagnetic Transients Program-Alternative Transients Program).

El análisis nodal de Dommel, basado en el método de compensación8, se ha utilizado ampliamente en las últimas décadas para el análisis de tran-sitorios eléctricos en sistemas de potencia. Este método fue desarrollado empleando el análisis nodal clásico y el principio de compensación, teorema de superposición.

La mayor ventaja del método radica en que evita la repetida formula-ción y factorización de la matriz nodal de admitancia, para el análisis en una red no lineal, lo que reduce considerablemente el tiempo de solución, en comparación con la aplicación del clásico análisis nodal [40].

El método se basa en dos principios:a) Si el tiempo de propagación de la onda viajera es despreciable con el

tiempo de frente de la onda, se hace una simulación a través de pará-metros concentrados, y para esto utiliza la regla trapezoidal de integra-ción.

b) Si el tiempo de propagación de la onda viajera no es despreciable con el tiempo de frente de la onda, se aplica una simulación a través de parámetros distribuidos, y para esto se utiliza el método de las caracte-rísticas de Bergeron.

Los transitorios electromagnéticos son resueltos por el método de la matriz de admitancia nodal basado en los dos principios anteriores.

El computador digital no puede dar una historia continua del fenómeno ��#��discretización causa errores de truncamiento que se pueden ir acumulando de un paso al siguiente, dando resultados errados. Por esta razón, la regla trapezoidal fue escogida para integrar las ecuaciones diferenciales ordinarias de las inductancias y capacitancias concentradas; es simple, numéricamen-te estable y bastante preciso para los propósitos prácticos.

8 H. W. Dommel (1969). Digital computer solution of electromagnetic transients in single and multipha-se networks. IEEE Trans. on PAS-88, 388-398.

157


5.3.8 El método de las características de Bergeron. Circuito equivalente de la línea de transmisión

A continuación se realizará la formulación matemática para la determinación del circuito equivalente de la línea de transmisión utilizando los postulados que Bergeron plantea en su método.

Se considera inicialmente la ecuación (5.19):

V t I t Z f x vt K

� (5.19)

Además se tiene en cuenta el tiempo � que tarda un observador ficticio en viajar a lo largo de una línea de transmisión a velocidad v, desde el punto m hasta el punto k, tal como se observa en la figura 5.18 a). Dicha expre-sión, encontrada por el observador cuando sale del nodo m en el tiempo (t -�), tiene que ser la misma que cuando arriba al nodo k en el tiempo t. Para esto se toma la primera parte de la ecuación (5.19):

v t i t Z v t Z i tm m k k k m

, ,

Reordenando se obtiene:

I t

Zv t i t

m k m m k, ,

1

(5.20)

Si se introduce el término:

I tZ

v t i tm k m m k, ,

1

Que al remplazarlo en la ecuación (5.20), establece una versión simpli-ficada de la ecuación (5.20):

i t

Zv t I t

k m k m k, , 1

(5.21)

158


Análogamente, se puede determinar la ecuación de la corriente que fluye desde el nodo m hasta el nodo k en una línea de transmisión:

i t

Zv t I t

m k m m, 1

(5.22)

Las expresiones I tm

e I tk

se interpretan como fuentes equi-valentes de corriente, las cuales son conocidas en el estado de tiempo t de la historia pasada (t -�), y así se puede obtener el circuito equivalente de impedancia, de la figura 5.18 b), el cual describe totalmente la línea de transmisión.

a)

vm(t)Ik(t- τ)Zvk(t)

ikm(t)

Im(t- τ) Z

imk(t)

b)

Terminal k Terminal m

imk(t)

i km(t)

Figura 5.18 a) Línea de transmisión; b) circuito equivalente de Dommel.

Como se puede observar, topológicamente no existe ninguna conexión entre los terminales de la línea.

159


5.3.9 La regla trapezoidal de integración

El comportamiento de los elementos que almacenan energía, como la induc-tancia y la capacidad, obedece al siguiente tipo de ecuación:

f t AdF t

dt

o F tA

f t dt

1

t

t

(5.23)

Como para cada intervalo de tiempo es necesario calcular una integral, la cual varía su grado de dificultad dependiendo de la función, una buena aproximación es resolverla por medio del método del área trapezoidal [68].

Si se tiene una función f(t), como la que se puede observar en la figura ~�|}��*�^��#��$�{��#��

T f f

2

t t

f(t)

f(t-Δ)

T(Δ)

t-Δ t

f(t)

t

S(Δ)

Figura 5.19 Integración de una función f(t) por medio del método del área trapezoidal.

160


��$�{��#��

S T f t dt D

t

t 3

12

donde D es el máximo valor de d f t

dt

2

2

para el intervalo en cuestión.

&��#��3, por lo que se deduce que este método no es tan exacto como un método de orden superior; sin embargo, las rápidas y sencillas operaciones de cálculo, además del poco requerimiento de memoria, hace aceptable su utilización, siempre y cuando ��%��#��Empleando el método del área trapezoidal, la ecuación (5.23) queda:

F t

Af t f t

2

(5.24)

5.3.10 Circuitos equivalentes para la inductancia, capacidad y resistencia

Si entre los nodos k-m existe una inductancia L, tal como se observa en la figura 5.20, la tensión entre dichos nodos es:

v t v t L

di

dtk m

k m , (5.25)

Para determinar la corriente que fluye del nodo k al nodo m se hace ne-cesario integrar la ecuación (5.25), entre el estado conocido t��desconocido t:

v t v t L

di

dtk m

k m

t

t

t

t

,

161


Integrando y aplicando la regla trapezoidal, ecuación (5.23), se obtiene:

i tL

v t v t Ik m k m k m, ,

2t

donde Ik,m se puede interpretar como una fuente equivalente de corrien-te, la cual es conocida de la historia pasada:

I iL

v vk m k m k m, ,

t t t t

2

Si se quiere determinar la corriente que fluye entre los nodos k y m, entre los cuales existe una capacidad C, se realiza un procedimiento similar al anterior, por medio del cual se obtiene:

i tC

v t v t Ik m k m k m, ,

2

t

Donde Ik,m se puede interpretar como una fuente equivalente de corrien-te, la cual es conocida de la historia pasada:

I iC

v vk m k m k m, ,

t t t t

2

La ecuación de la corriente cuando entre los nodos k y m existe una resistencia es:

I tR

v t v tk m k m,

1

Los circuitos equivalentes para la inductancia, capacidad y resistencia se presentan en la figura 5.20.

Las ecuaciones nodales se pueden establecer después de haber rem-plazado los circuitos originales de la red por los circuitos equivalentes; así el resultado es un sistema de ecuaciones, que matricialmente tiene la forma:

Y v t i t I ( ) ( )

162


donde [Y] es la matriz de admitancia construida a partir de los circuitos equivalentes, [V(t)] representa el vector columna de tensiones nodales en el tiempo t, [i(t)] es el vector columna de corrientes nodales inyectadas en la red e [I] es el vector columna de corrientes I construido a partir de las fuentes equivalentes.

Lk m

Ik,m(t - Δ)ikm(t)

R = 2L/Δvk(t) vm(t)

Ik,m(t - Δ)ikm(t)

R = Δ /2Cvk(t) vm(t)

Ck m

k Rm vk(t) vm(t)

Rikm(t)

a)

b)

c)

Circuito original Circuito equivalente

Figura 5.20 Circuitos equivalentes de Dommel: a) para la inductancia; b) capacidad y c) resistencia.

��*��*��*�^��^�

Como se puede deducir fácilmente, al resolver este sistema matricial se pueden determinar las tensiones de la red original. Las corrientes del sistema se establecen realizando sustituciones en las ecuaciones expuestas antes, teniendo en cuenta las corrientes de historias pasadas y las tensiones

163


nodales halladas. Todo lo anterior se trata de explicar mediante la resolución del siguiente ejemplo.


La figura 5.21 muestra algunos elementos en una subestación eléctrica. En el nodo 1 se presenta una sobrecorriente, en el nodo 5 hay un transformador y en el nodo 4 se instala un descargador de sobretensión (DST). La figura 5.21 muestra también las características de la sobrecorriente y del DST. La teoría de Dommel permite determinar la tensión que se presentaría en cual-quier nodo del sistema.

Figura 5.21 Diferentes elementos en una subestación sometida a un fenómeno transitorio.

3

Z 1 = 370 [Ω ]

= 370 [Ω

Ω

Ω

]

τ1 = 1,1 [

[

μs]

μs]

Y 7 = 30 [ ]

R 10 = 3 [ Ω]

2

4

6

7

1

8 C 11 = 4,4 [nF]

t [ μs]

I [kA]

8

4501

I [kA] 3 10

V [kV] 660590

Z 2 = 370 [ Ω ] 0 2 = 0,1 [ μs]

Z 3

= 370 [Ω ] Z 4

= 370 [Ω ] Z 6

= 0,1

R 9 = 5 [ k ]

5

C 8 = 1 [nF]

τ2

[ μs] = 0,1 τ3

[ μs] = 0,1 τ2

= 370 [Ω ] Z 5 [ μs] = 0,1 τ2

[ μs] = 0,1 τ4

164


En la figura 5.22 se presentan los circuitos equivalentes de Dommel de la subestación.

I21 (t- τ1)

i21

Y1

i 2 3

2

Y2I23(t- τ2)

i24

Y3I24(t- τ2)

I0

i12

1

Y1I12( t- τ1)

5

Y8I5(t- Δ)

i54

Y7I54 (t- τ3) Y9

i76

7

Y5I76(t- τ2)

i86

8

Y6I86(t- τ4)

V0

4

i32

3

Y2I32(t- τ2)

i42

Y3I42(t- τ2)

i46

Y4I46(t- τ2)

i45

Y7I45(t- τ3) Y10

iP

6

i64

Y4

i 67

Y5I67 (t- τ2)

i68

Y6I68(t- τ4) Y11 I6(t- Δ)I64(t- τ2)

Figura 5.22 Circuitos equivalentes de Dommel.

De los circuitos equivalentes de Dommel se obtienen las siguientes ecuaciones:

V1Y1 = I0 - I12(t-�1)

V2(Y1+Y2+Y3) = - [I21(t-t1) + I23(t-t2) + I24(t-t2)]

165


V3Y2 = - I32(t-t2)

V4(Y3+Y4+Y7+Y10) - V0Y10 = - [I42(t-t2) + I46(t-t2) + I45(t-t3)]

V5(Y7+Y8+Y9) = - [I54(t-t3) + I5(t-D)]

V6(Y4+Y5+Y6+ Y11) = - [I64(t-t2) + I67(t-t2) + I68(t-t4) + I6(t-D)]

V7Y5 = - I76(t-t2)

V8Y6 = - I86(t-t4)

Con todos los elementos de la red remplazados por sus circuitos equi-valentes, es muy simple establecer las ecuaciones nodales para el sistema considerado. El resultado es un sistema de ecuaciones algebraicas que des-cribe el estado del sistema en el tiempo t:

Y v t i t I ( ) ( )

La corriente inyectada en el nodo 1, I0(t), se determina a partir de las siguientes ecuaciones:

8.e9 .t [kA] 0 < t < 1ms

8081,63 – 81,63t [kA] 1ms < t < 50 ms

De las ecuaciones obtenidas de los circuitos equivalentes se construye el sistema matricial:

Y1 V1(t) I0 I12 (t-t1)

Y1+Y2

+Y3

V2(t) 0 I21 (t-t1) + I23 (t-t2) + I24 (t-t2)

Y2 V3(t) 0 I32 (t-t2)

Y3+Y4

+Y7+Y10

V4(t) = V0 x Y10 - I42 (t-t2) + I46 (t-t2) + I45 (t-t3)

Y7+Y8

+Y9

V5(t) 0 I54 (t-t3) + I5 (t-D)

Y4+Y5

+Y6+Y11

V6(t) 0 I64 (t-t2) + I67(t-t2) + I68(t-t4) + I6(t-D)

Y5 V7(t) 0 I76(t-t2)

Y6 V8(t) 0 I86(t-t4)

166


Es importante mencionar que no todos los valores de t tienen igual magnitud; depende de la velocidad de propagación de la onda en cada una de las líneas. Para el ejercicio propuesto se ha seleccionado un valor de Dt igual a 0,1 ms.

Iteración número 1:

t = Dt = 0,1 ms

a) Almacenamiento historias pasadas

I12 (t - t) = I12 (0,1 – 1,1) = I12 (-1) = 0

I21 (t - t) = I21 (0,1 – 1,1) = I21 (-1) = 0

I23 (t - t) = I23 (0,1 – 0,1) = I23 (0) = 0

I24 (t - t) = I24 (0,1 – 0,1) = I24 (0) = 0

I32 (t - t) = I32 (0,1 – 0,1) = I32 (0) = 0

I42 (t - t) = I42 (0,1 – 0,1) = I42 (0) = 0

I46 (t - t) = I46 (0,1 – 0,1) = I46 (0) = 0

I45 (t - t) = I45 (0,1 – 0,1) = I45 (0) = 0

I54 (t - t) = I54 (0,1 – 0,1) = I54 (0) = 0

I5 (t - D) = I5 (0,1 – 0,1) = I5 (0) = 0

I64 (t - t) = I64 (0,1 – 0,1) = I64 (0) = 0

I67 (t - t) = I67 (0,1 – 0,1) = I67 (0) = 0

I68 (t - t) = I68 (0,1 - 1000) = I68 (-999) = 0

I6 (t - D) = I6 (0,1 – 0,1) = I6 (0) = 0

I76 (t - t) = I76 (0,1 – 0,1) = I76 (0) = 0

I86 (t - t) = I86 (0,1 - 1000) = I86 (-999) = 0

167


b) Iteración

2,7 V1(0,1) 800 0

8,1 V2(0,1) 0 0

2,7 V3(0,1) 0 0

39,1 x10-3 V4(0,1) = 0 - 0

53,53 V5(0,1) 0 0

96,1 V6(0,1) 0 0

2,7 V7(0,1) 0 0

2,7 V8(0,1) 0 0

De donde:

V1(0,1) = 296,3 [kV]

V2(0,1) = 0 [kV]

V3(0,1) = 0 [kV]

V4(0,1) = 0 [kV]

V5(0,1) = 0 [kV]

V6(0,1) = 0 [kV]

V7(0,1) = 0 [kV]

V8(0,1) = 0 [kV]

c) Actualización historias pasadas

I12 (0,1) = - Y12 V2 (0,1) - i21(0,1) = -(1/370) (0) - (0) = 0

I21 (0,1) = - Y21 V1 (0,1) - i12(0,1) = -(1/370) (296e3) - (800) = -1600


t = 2Dt = 0,2 ms


I12 (t - t) = I12 (0,2 - 1,1) = I12 (-0,9) = 0

I21 (t - t) = I21 (0,2 - 1,1) = I21 (-0,9) = 0

I23 (t - t) = I23 (0,2 - 0,1) = I23 (0,1) = 0

168


I24 (t - t) = I24 (0,2 - 0,1) = I24 (0,1) = 0

I32 (t - t) = I32 (0,2 - 0,1) = I32 (0,1) = 0

I42 (t - t) = I42 (0,2 - 0,1) = I42 (0,1) = 0

I46 (t - t) = I46 (0,2 - 0,1) = I46 (0,1) = 0

I45 (t - t) = I45 (0,2 - 0,1) = I45 (0,1) = 0

I54 (t - t) = I54 (0,2 - 0,1) = I54 (0,1) = 0

I5 (t - D) = I5 (0,2 - 0,1) = I5 (0,1) = 0

I64 (t - t) = I64 (0,2 - 0,1) = I64 (0,1) = 0

I67 (t - t) = I67 (0,2 - 0,1) = I67 (0,1) = 0

I68 (t - t) = I68 (0,2 - 1000) = I68 (-999,8) = 0

I6 (t - D) = I6 (0,2 - 0,1) = I6 (0,1) = 0

I76 (t - t) = I76 (0,2 - 0,1) = I76 (0,1) = 0

I86 (t - t) = I86 (0,2 - 1000) = I86 (-999,8) = 0

b) Iteración

2,7 V1(0,2) 1600 0

8,1 V2(0,2) 0 0

2,7 V3(0,2) 0 0

39,1 x10-3 V4(0,2) = 0 - 0

53,53 V5(0,2) 0 0

96,1 V6(0,2) 0 0

2,7 V7(0,2) 0 0

2,7 V8(0,2) 0 0

De donde:

V1(0,1) = 592,6 [kV]

V2(0,1) = 0 [kV]

V3(0,1) = 0 [kV]

V4(0,1) = 0 [kV]

V5(0,1) = 0 [kV]

169


V6(0,1) = 0 [kV]

V7(0,1) = 0 [kV]

V8(0,1) = 0 [kV]

c) Actualización historias pasadas

I12 (0,1) = - Y12 V2 (0,1) - i21(0,1) = -(1/370) (0) - (0) = 0

I21 (0,1) = - Y21 V1 (0,1) - i12(0,1) = -(1/370) (296e3) - (800) = -1600

Se observa que hasta este punto el proceso es repetitivo, es decir, trans-currirán 1,1 [ms] u once iteraciones, hasta que la onda de corriente llegue al nodo 2. Por tanto, el cálculo de las tensiones, hasta ahora sólo el del nodo 1, se obvia y se consigna el resultado obtenido.

Iteración número 3: t = 3Dt = 0,3 ms

V1(0,3) = 888 [kV]


t = 4Dt = 0,4 ms

V1(0,4) = 1184 [kV]


t = 5Dt = 0,5 ms

V1(0,5) = 1480 [kV]


t = 6Dt = 0,6 ms

V1(0,6) = 1776 [kV]


t = 7Dt = 0,7 ms

V1(0,7) = 2072 [kV]


t = 8Dt = 0,8 ms

V1(0,8) = 2368 [kV]

170



t = 9Dt = 0,9 ms

V1(0,9) = 2664 [kV]


t = 10Dt = 1,0 ms

V1(1,0) = 2960 [kV]


t = 11Dt = 1,1 ms

V1(1,1) = 2956,88 [kV]


t = 12Dt = 1,2 ms


I12 (t - t) = I12 (1,2 - 1,1) = I12 (0,1) = 0

I21 (t - t) = I21 (1,2 - 1,1) = I21 (0,1) =-1600

I23 (t - t) = I23 (1,2 - 0,1) = I23 (1,1) = 0

I24 (t - t) = I24 (1,2 - 0,1) = I24 (1,1) = 0

b) Iteración

2,7 V1(1,2) 7984 0

8,1 V2(1,2) 0 -1600

2,7 V3(1,2) 0 0

39,1 x10-3 V4(1,2) = 0 - 0

53,53 V5(1,2) 0 0

96,1 V6(1,2) 0 0

2,7 V7(1,2) 0 0

2,7 V8(1,2) 0 0

V1(1,2) = 2953,959 [kV]

V2(1,2) = 197,33 [kV]

V3(1,2) = 0 [kV]

171


V4(1,2) = 0 [kV]

V5(1,2) = 0 [kV]

V6(1,2) = 0 [kV]

V7(1,2) = 0 [kV]

V8(1,2) = 0 [kV]


t = 13Dt = 1,3 ms


I12 (t - t) = I12 (1,3 - 1,1) = I12 (0,2) = 0

I21 (t - t) = I21 (1,3 - 1,1) = I21 (0,2) = -3200

I23 (t - t) = I23 (1,3 - 0,1) = I23 (1,2) = 0

I24 (t - t) = I24 (1,3 - 0,1) = I24 (1,2) = 0

I32 (t - t) = I23 (1,3 - 0,1) = I23 (1,2) = -533,33

I42 (1,2) = - Y24 V2 (1,2) - i24(1,2) = -(1/370) (197,333e3) - (0) = -533,33

I46 (1,2) = 0

I45 (1,2) = 0

b) Iteración

2,7 V1(1,3) 7975,5 0

8,1 V2(1,3) 0 -3200

2,7 V3(1,3) 0 -533,33

39,1 x10-3 V4(1,3) = 0 - -533,33

53,53 V5(1,3) 0 0

96,1 V6(1,3) 0 0

2,7 V7(1,3) 0 0

2,7 V8(1,3) 0 0

172


V1(1,3) = 2950,939 [kV]

V2(1,3) = 394,666 [kV]

V3(1,3) = 65,77 [kV]

V4(1,3) = 13,7674 [kV]

V5(1,3) = 0 [kV]

V6(1,3) = 0 [kV]

V7(1,3) = 0 [kV]

V8(1,3) = 0 [kV]


t = 14Dt = 1,4 ms


I12 (0,3) = - Y12 V2 (0,3) - i21(0,3) = -(1/370) (0) - (0) = 0

I21 (0,3) = - Y12 V1 (0,3) - i12(0,3) = -(1/370) (888e3) - (2400) = -4800

I23 (1,3) = - Y23 V3 (1,3) - i32(1,3) = -177,77

I24 (1,3) = - Y24 V4 (1,3) - i42(1,3) = -533,33

I32 (1,3) = - Y32 V2 (1,3) - i23(1,3) = -(1/370) (394,666e3) - (0) = -1066,666

I42 (1,3) = - Y42 V2 (1,3) - i24(1,3) = -(1/370) (394,666e3) - (0) = -1066,666

I46 (1,3) = 0

I45 (1,3) = 0

I54 (1,3) = - Y54 V4 (1,3) - i45(1,3) = -(1/370) (13,767e3) - (0) = -458,914

I5 (t -D) = I5 (1,3) = - Y8 V5 (1,3) - i5(1,3) = 0

I64 (1,3) = - Y64 V4 (1,3) - i46(1,3) = -(1/370) (13,767e3) - (0) = -458,914

173


b) Iteración

2,7 V1(1,4) 7967,35 0

8,1 V2(1,4) 0 -5511,1

2,7 V3(1,4) 0 -1066,6

39,1 x10-3 V4(1,4) = 0 - -1066,6

53,53 V5(1,4) 0 -458,914

96,1 V6(1,4) 0 -458,914

2,7 V7(1,4) 0 0

2,7 V8(1,4) 0 0

V1(1,4) = 2947,918 [kV]

V2(1,4) = 679,7036 [kV]

V3(1,4) = 394,66 [kV]

V4(1,4) = 27,535 [kV]

V5(1,4) = 8,5725 [kV]

V6(1,4) = 4,775 [kV]

V7(1,4) = 0 [kV]

V8(1,4) = 0 [kV]


t = 15Dt = 1,5 ms


I12 (0,4) = - Y12 V2 (0,4) - i21(0,4) = -(1/370) (0) - (0) = 0

I21 (0,4) = - Y12 V1 (0,4) - i12(0,4) = -(1/370) (1184e3) - (3200) = -6400

I23 (1,4) = - Y23 V3 (1,4) - i32(1,4) = -(1/370) (394,66e3) - (0) = -1066,666

I24 (1,4) = - Y24 V4 (1,4) - i42(1,4) = -(1/370) (27,535e3) - (0) = -74,4189

I32 (1,4) = - Y32 V2 (1,4) - i23(1,4) = -(1/370) (679,7036e3) - (0) = -1837,037

I42 (1,4) = - Y42 V2 (1,4) - i24(1,4) = -1837,037

I46 (1,4) = - Y46 V6 (1,4) - i64(1,4) = -(1/370) (4,775e3) - (0) = -12,9054

174


I45 (1,4) = - Y45 V5 (1,4) - i54(1,4) = -(1/30) (8,5725e3) - (0) = -285,65

I54 (1,4) = - Y54 V4 (1,4) - i45(1,4) = -(1/30) (27,535e3) - (0) = - 917,83

I5 (t -D) = I5 (1,4) = - Y8 V5 (1,4) - i5(1,4) = -171,45

I64 (1,4) = - Y64 V4 (1,4) - i46(1,4) = -(1/370) (27,535e3) - (0) = - 917,83

I67 (1,4) = - Y67 V7 (1,4) - i76(1,4) = 0

I64 (1,4) = 0

I6 (t -D) = I6 (1,4) = - Y11 V6 (1,4) - i6(1,4) = -420,2

I76 (1,4) = - Y76 V6 (1,4) - i67(1,4) = -12,91

I86 (-998,5) = 0

b) Iteración

2,7 V1(1,5) 7959,184 0

8,1 V2(1,5) 0 -7541,085

2,7 V3(1,5) 0 -1837,037

39,1 x10-3 V4(1,5) = 0 - -2135,692

53,53 V5(1,5) 0 -1089,28

96,1 V6(1,5) 0 -1338,03

2,7 V7(1,5) 0 -12,91

2,7 V8(1,5) 0 0

V1(1,5) = 2944,89 [kV]

V2(1,5) = 930,067 [kV]

V3(1,5) = 679,704 [kV]

V4(1,5) = 55,13 [kV]

V5(1,5) = 20,348 [kV]

V6(1,5) = 13,922 [kV]

V7(1,5) = 4,775 [kV]

V8(1,5) = 0 [kV]

175


A manera de conclusión, se presenta una síntesis de los resultados obtenidos para las primeras 15 iteraciones, es decir para los primeros 1,5 [ms]. Es importante observar los instantes de tiempo en los que se presenta tensión en cada nodo, figura 5.23.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5Tiempo [μs]

V1 (t) V2 (t) V3 (t)

0

10

20

30

40

50

60

1,1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5Tiempo [μs]

V4 (t) V5 (t) V6 (t) V7 (t) V8 (t)

Figura 5.23 Ejemplo de aplicación del método de Dommel. Tensiones nodales hasta la iteración 15.

176


Puesto que la línea 6-8 tiene un valor de t de 1 [ms] o 10000 Dt, sólo hasta la iteración 10000-ésima se tendría tensión en dicho nodo.

Con el fin de obtener los valores de tensión nodal para los tiempos siguientes, se requiere continuar con el proceso iterativo. No obstante, la cantidad de variables y parámetros involucrados implica una alta inversión de tiempo de cálculo; por tanto, lo ideal es disponer de una herramienta adecuada para obtener resultados confiables y de manera rápida. Dicha herramienta podría ser una hoja de cálculo o un programa de computador como los que han sido desarrollados en algunos trabajos de grado [6], [20] [46] o por entidades como la Bonneville Power Administration [11]. Por lo anterior, sólo se presentan los resultados calculados manualmente.

En el planteamiento de la solución, se asignó un valor de corriente in-yectada I* en el nodo 4. Dicha corriente concierne a la del DST, que actuaría según la característica voltamperimétrica correspondiente. Para las primeras 15 iteraciones, esta corriente no se tiene en cuenta debido a que la tensión del nodo 4 no alcanza el valor de disparo del descargador.

Para determinar si el transformador está debidamente protegido para este tipo de sobrecorriente por el DST, se necesitaría realizar un número de iteraciones que permitiera que en el nodo 4 se alcanzara la tensión de dispa-ro del DST, es decir 590 [kV]. Dichas iteraciones son aproximadamente 60, que es un número bastante grande para cálculos manuales.

5.4 LOS PROGRAMAS DIGITALES EMTP-ATP

Con base en los métodos de Bergeron y la regla trapezoidal de integración, explicadas en los párrafos anteriores, el profesor Dommel de la Universidad Técnica de Munich, Alemania, propuso en la década de 1960 un programa digital que denominó el Electromagnetic Transients Program (EMTP); poste-riormente, el investigador y colega de Dommel, Scott Meyer, de la Universi-dad de Lovaina, Bélgica, propuso un programa alternativo para los nacientes computadores personales que denominó el Alternative Transients Program (ATP), el cual es un software libre (Royalty free en idioma inglés), y hoy en día de uso extensivo en investigaciones y diseño en ingeniería eléctrica en la mayoría de países del mundo. Con el transcurso del tiempo, investigadores han aportado, con tesis de posgrado, diferentes subrutinas y mejoras a este programa.

El programa ATP no es comercializable; se entrega únicamente a ins-tituciones y se maneja a través de grupos de usuarios locales; para el caso colombiano, a través del grupo ATP presidido por la Universidad Nacional de Colombia.

177


El programa ATP tiene las siguientes características para modelar:�� $��{�� #��$��`��?{�� %��$��-

tes de la frecuencia).�� `��$��%��

R(t))�� $��%��{�� $��{�� %��$��

a punto vía Fortran).�� $��%��%��&?{�� ?��

– Operaciones lineales y no lineales.– Tratamiento de señales.– Modificaciones al circuito simulado.

�� ^��%��– Formato libre.– Rutinas externas.– Cualquier lenguaje de programación.

Y los siguientes programas anexos al software del ATP:

�� ?��?��$��%�{�� `��$?�#��%��{�� `��`��?�`�� `�� *��%�� %��

zinc. Para análisis estadístico es posible calcular la densidad de probabilidad

de las sobretensiones producidas por maniobras mediante el método de Monte Carlo para tiempos de cierre y apertura de interruptores.

Se encuentran las siguientes versiones del ATP:

��

– Watcom

– Salford

– GNU.(mingw32)

�� Linux. – GNU

178


Para análisis de transitorios es posible modelar:�� *�� ?��

Y solución en el dominio del tiempo, mediante la regla trapezoidal de integración y simulación de no linealidades por medio de representación a pedazos.

Para análisis en frecuencia se puede modelar la variación de impe-dancias con Frequency Scan, y la propagación de armónicos mediante la herramienta Harmonic Frequency Scan.

El ATP funciona con los siguientes tipos de archivos y funciones:

�� – Lectura de las tarjetas del archivo de texto.– Conectividad de los elementos.– Solución de estado estacionario.– Variables de salida punto a punto.– Impresión por medio de caracteres (opcional).– Valores extremos de las variables de salida.– Errores en el circuito.

�� – Archivo para graficación.

5.4.1 Ejemplo de aplicación 4. Contribución a la solución del problema de falla de transformadores de distribución en Colombia

La falla de transformadores de distribución, principalmente en zonas rurales de alta actividad de rayos, ha sido un problema constante para las empresas de energía colombianas en las últimas décadas. Centros de investigación y firmas de consultoría han realizado trabajos de diagnóstico particular y solu-ciones puntuales. Sin embargo, el problema de falla de transformadores de distribución en Colombia persiste, con costos que superan los 6 millones de dólares anuales, con consecuencias directas en baja calidad de la energía eléctrica [78].

En el año 1989, el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Uni-versidad Nacional de Colombia, Programa PAAS-UN, inició un proyecto de investigación continuo, sistemático, metodológico, con el objetivo de con-tribuir a encontrar soluciones técnico-económicas, sobre bases científicas y

179


tecnológicas firmes y objetivas a la alta mortalidad de transformadores de distribución9.

Durante el primer periodo de investigación, que duró cerca de seis años, se trabajaron los modelos matemáticos de transformadores de distribución fabricados en Colombia. Para ello se contó con la colaboración de dos em-presas multinacionales fabricantes de transformadores y la cofinanciación de la Empresa de Energía de Bogotá, Colciencias y la Universidad Nacional de Colombia.

Para poner a prueba los estudios teóricos y de laboratorio llevados a cabo con los modelos de los transformadores, se propuso en 1995 a la Em-presa de Energía de Bogotá, EEB (hoy Codensa) un estudio sistemático de campo, desarrollado en dos fases.

En la primera fase de este estudio, que se denominó: “Metodología para la solución de un gran reto tecnológico: la falla de los transformadores de distribución”, se efectuó una evaluación de los estudios realizados y de la información existente, tanto de mortalidad de transformadores como del entorno (descargas eléctricas atmosféricas, servidumbre, puestas a tierra, manipulación e instalación) con el fin de realizar un diagnóstico integral y plantear hipótesis preliminares para buscar una solución objetiva al proble-ma.

En la segunda fase se plantearon las contingencias a las cuales puede estar sometido un sistema eléctrico de distribución rural. En 1997, se selec-cionó un circuito piloto experimental localizado en una zona de alta morta-lidad de transformadores y alto riesgo por rayos, en este caso ubicado en el municipio de Topaipí (Cundinamarca), vereda Guachipay; con el objetivo de implementar dos innovaciones tecnológicas: diseño interno del transforma-dor que llevó al aumento del BIL (Basic Insulation Level) en kilovoltios un nuevo sistema de puesta a tierra.

Complementario a lo anterior, se controlaron las principales variables que inciden directamente en la falla de transformadores, como son: cre-cimiento de árboles alrededor de la zona de servidumbre, manipulación e instalación del transformador, componentes eléctricas de la red, elementos de protección, resistencia de puesta a tierra y actividad eléctrica atmosférica en la zona. Esta última fue monitoreada mediante la Red Colombiana de Localización de Rayos (Recma).

9 Este proyecto fue cofinanciado por la Empresa de Energía de Bogotá S.A. ESP., Interconexión Eléctrica S.A. ESP., Colciencias, Siemens, C&CO Transformadores, Seg. Eléctrica y la Universidad Nacional de Colombia.

180


El proceso de monitoreo de las variables que fue llevado a cabo mues-tra que, a pesar de los más de 130 rayos que impactaron a menos de 100 m del circuito, las innovaciones tecnológicas implementadas respondieron satisfactoriamente.

Como fruto de la experiencia del circuito piloto experimental, se di-señaron, fabricaron e instalaron otros 15 transformadores Prototipo Nuevo Diseño a mediados del año 1999 y en abril de 2001 en un nuevo circuito experimental localizado en una de las dos zonas de mayor actividad eléctrica atmosférica del mundo: la zona rural del municipio de Samaná (Caldas).

Para lograr que una solución a un problema de ingeniería sea eficiente, adaptable, económica, y de esa manera lograr altos estándares de calidad de la energía eléctrica, es necesario garantizar tres fases que deben estar integralmente relacionadas:

�� &��%��*�� #��%��%��%�� ?��#��*��

Un diagnóstico integral implica:�� #��%��#�� *�� ?��%�� ¡��%��#��%�

Hecho el diagnóstico integral del problema, se procede a plantear al-ternativas tecnológicas de solución del problema. Una vez analizadas estas alternativas, se escoge una o más y se procede al diseño y a la implemen-tación de la solución propuesta, de una manera integral. Para ello se deben tener en cuenta los siguientes aspectos:��

sistema�� in situ y en laboratorio�� &�� %��*�� %��^��#��*��

mejoramiento de puestas a tierra.�� %��%��

Finalmente, es necesario realizar control, monitoreo y mantenimiento del sistema implementado (protecciones, puestas a tierra, equipos, red), de tal manera que se puedan ajustar o mejorar las soluciones, se mantenga la implementación en óptimas condiciones y se puedan inferir conclusiones confiables sobre la solución.

181


Estas tres fases de la metodología pueden tardar varios años, y sus costos son relativamente altos. Pero ante un problema crónico, como es el caso de la falla de transformadores de distribución, esta metodología resulta mucho más económica en el mediano y largo plazo que la solución a corto plazo, coyuntural y puntual como, generalmente, se atacan este tipo de pro-blemas de ingeniería en Colombia.

Para el circuito experimental de propiedad de la EEB (hoy Codensa) localizado en la vereda de Guachipay (Cundinamarca), se analizaron 26 es-tudios relacionados con falla de transformadores de distribución, realizados en Colombia por firmas consultoras, empresas de energía y universidades, entre 1975 y 1996.

Los 26 estudios se clasificaron en cinco grupos así: Selección de protec-ciones; Análisis de descargas eléctricas atmosféricas; Fabricación, selección y manejo de transformadores; Análisis de fallas, coordinación de aislamien-tos y Modelos.

Un aspecto común de los 26 estudios es que ninguno planteó índi-ces de supervisión de la solución y tampoco se hizo un seguimiento de corto y mediano plazo, mediante monitoreo y control a la solución planteada, ni relación costo-beneficio de la solución.

La falla de un transformador de distribución se presenta por la interac-ción de diversos factores, los cuales lo deterioran en mayor o menor grado, hasta conducirlo a la falla definitiva. Una de las herramientas de análisis más útiles para procesos de este tipo es el diagrama de causa-efecto, tam-bién conocido como diagrama de Ishikawa (ver figura 5.24), el cual permite observar las interacciones entre los diferentes factores involucrados y dar orientación sobre alternativas tecnológicas de solución.

El sistema eléctrico de distribución para análisis se descompone en:El transformador, el cual se descompone a su vez en un subsistema que

involucra:�� Diseño (bobinas, núcleo, accesorios, tanque, nivel de aislamiento –

BIL)�� %�� %��

La red, al igual que el transformador se descompone en:�� &��

– Civil (configuración, ruta, estructuras)– Eléctrico: protecciones (descargadores de sobretensión, cortacir-

cuitos, etc.)�� $��%��%��{�� #��$��{

182


�� %��#�� $��#��

y eléctrico)�� %��^��$��-

tructuras y puesta a tierra)La carga, la cual se considera un subsistema compuesto por:

�� %��cuenta parámetros eléctricos (potencia, tensión, regulación)

�� %��-nistradora de energía.El entorno del sistema, el cual se considera compuesto por:

�� %�� #�� $��atmosféricas, viento, vegetación, etc.)

�� %�� $��%�� #��-mo).

Un análisis del diagrama causa-efecto y de los 26 estudios realizados mostraron que la falla de transformadores ha tratado de solucionarse mo-dificando únicamente los elementos que componen la red, como son las estructuras, las protecciones, la puesta a tierra, los aislamientos, pero no el transformador en sí.

Figura 5.24 Diagrama de causa-efecto para análisis de falla de transformadores.

TRANSFORMADOR CARGA

Diseño

Diseño

Construcción

Construcción

RED ENTORNO

FALLA

Notas:Elementos del sistema

Parámetros del sistema

Parámetros susceptibles de:

Innovación Tecnológica

Seguimiento

DE

TRANSFORMADORES

ConfiguraciónRuta y longitud

Estructuras

Parámetros EléctricosNivel Aislamiento

Puestas a tierraProtecciones

Operación y mantenimiento Planeación

Fenómenos Naturales

Fenómenos no NaturalesOperación y Mantenimiento

Operación

183


5.4.1.1 Caracterización del entorno

En los estudios sobre descargas eléctricas atmosféricas realizados por el Programa de Investigación PAAS-UN desde hace más de 30 años, se ha encontrado que Colombia, por su ubicación geográfica en zona tropical, pre-senta variaciones en las magnitudes de los parámetros de rayos respecto a los de otras latitudes [78], [79].

Con base en los datos obtenidos de parámetros del rayo en zona tropi-cal, y consignados en la Norma Técnica Colombiana NTC4552 de 2008, como son la corriente y la densidad de rayos a tierra, se elaboró una matriz de riesgo por rayos, la cual indica que en Colombia existen zonas de alto, moderado o medio y bajo nivel de riesgo.

La figura 5.25, por ejemplo, presenta el mapa de riesgo por rayos para la zona del departamento de Cundinamarca, que cubre la actual empre-sa Codensa. Su distribución, como se puede observar, no es homogénea, presentando zonas de alto riesgo por rayos en el noroeste, municipio de La Palma, en donde se escogió un circuito piloto experimental para aplicar la metodología propuesta.

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

SANTAFE DE BOGOTA

LA PALMA

5,80

5,60

5,40

5,20

5,00

4,80

4,60

4,40

4,20

4,00

3,80

-75,00 -74,80 -74,60 -74,40 -74,20 -74,00 -73,80 -73,60 -73,40 -73,20 -73,00

Figura 5.25 Mapa de índices de riesgo por rayos para el departamento de Cundinamarca.

184


Una evaluación de la información disponible en la antigua Empresa de Energía de Bogotá (EEB) sobre fallas de transformadores muestra resultados altamente correlacionados entre las zonas de alta mortalidad de transforma-dores y alto riesgo por rayos, tal como se presenta en el mapa de la figura 5.26 sobre mortalidad de transformadores.

Esta observación planteó la necesidad de estudiar con más profundidad los diseños, el modelamiento, su mantenimiento, operación, manipulación, y la relación del transformador con el entorno electromagnético.

Figura 5.26 Mapa de mortalidad de transformadores 1995-1996

para el área de cobertura de la empresa Codensa.

185


5.4.1.2 Zonas de compatibilidad electromagnética (riesgo por rayos)

De acuerdo con la norma IEC 61000-3, la compatibilidad electromagnética (CEM) se define como la capacidad de un equipo o sistema eléctrico o electrónico para operar satisfactoriamente en su entorno electromagnético. Operar satisfactoriamente significa no introducir perturbaciones intolerables en ese ambiente o en otros equipos y soportar las producidas por el ambien-te electromagnético u otros equipos o sistemas.

Los parámetros de diseño de la mayoría de equipos eléctricos y elec-trónicos han sido estimados en latitudes no tropicales. Sin embargo, a es-cala local, entorno tropical, las condiciones particulares de operación de los mismos no siempre coinciden con las condiciones para las cuales fueron diseñados; es decir, no se tiene en cuenta el ambiente electromagnético en el cual van a operar. Un mejor conocimiento (caracterización) de las exigen-cias propias del ambiente electromagnético existente en el medio tropical colombiano puede cuantificar los niveles de perturbación y la interacción entre fuentes y receptores (el medio y los equipos o sistemas).

Dicha caracterización conduce al planteamiento de zonificar el fenóme-no de la perturbación de las descargas eléctricas atmosféricas, determinan-do zonas de compatibilidad electromagnética, pudiendo llegar al plantea-miento de cambios en el diseño de equipos y en las normas de construcción de una empresa, que posteriormente pueden llevarse a normas técnicas nacionales.

Como un elemento del diagnóstico y seguimiento se estudiaron, para los transformadores de la EEB, índices de fallas. Con base en este diagnós-tico se obtuvo el índice de vida útil, el cual fue elaborado con una muestra de 2500 transformadores, según los formatos de falla de la antigua EEB. Se dividió, de acuerdo con el índice de riesgo por rayos, en tres zonas: alto, moderado o medio y bajo. El resultado se presenta en la figura 5.27.

Estas curvas presentan años de vida útil de transformadores de distri-bución muy por debajo de lo garantizado por las empresas fabricantes, con valores del 50% probable de 2 años para zonas de alto riesgo por rayos, 6 años para riesgo medio o moderado y 8 años para zonas de riesgo bajo.

186


Figura 5.27 Probabilidad acumulada de vida útil de los transformadores de distribución.

100 %

90 %

80 %

70 %

60 %

50 %

40 %

30 %

20 %

10 %

0 %0 5 30 25201510

Probabilidad acumulada de vida útil para los transformadores falladosen el sistema rural EEB para tres niveles de riesgo por rayos (ene/94 - jun/96)

Riesgo bajoRiesgo medioRiesgo alto

Vida útil (Años)

Baja Tensión

Elipse Promedio

Canal α

P.2R

1

Alta Tensión

Núcleo

Figura 5.28 Forma elíptica de la bobina de los transformadores de distribución.

5.4.1.3 Alternativas tecnológicas e implementación de las soluciones

Debido a que la sección transversal de las bobinas de los transformadores de distribución no es circular, se aproxima, entonces, a una sección elíptica, que es una geometría más cercana a la realidad, resaltando que el foco no permanece constante.

187


Para el cálculo de las capacidades del transformador trifásico es más sencillo emplear un método numérico como el de simulación de cargas, expuesto en el ítem 1.4.2.

Las expresiones de cálculo de inductancia reportadas en la literatura se aplican a devanados de sección circular. Cuando la geometría del devana-do no presenta una simetría cilíndrica, se aplica la ecuación de Neumann, la cual expresa la inductancia mutua entre dos elementos circulares en el espacio libre, separados una distancia (d) en el espacio. Planteando esta ecuación en términos matemáticos, utilizando los radios equivalentes r1, r2 de las elipses parametrizadas en función de un ángulo �, se obtiene una expresión que representa la inductancia mutua entre dos elementos elípticos (79):

M = N Nr r d dz dz

0 1 2- l

l

- l

l

0

1 2 1 2

2

2

1

1

cos

(( z - z ) + r + r - 2 r r

1 22

12

22

1 2 cos

con:N1, N2: Número de espiras por unidad de longitud de cada uno de los

devanados en la dirección axial.

�’: Ángulo de azimut.

Un caso especial de esta expresión ocurre cuando se desea encontrar la inductancia propia de un devanado, cumpliéndose:

N1 = N2 = N

r1 = r2 = r

2l1 = 2l2 = h

De lo cual resulta:

a y b: Semiejes mayor y menor, respectivamente, de la elipse promedio del devanado.

N: Número total de espiras del devanado por unidad de longitud. Los parámetros de todos y cada uno de los transformadores diseñados

y construidos fueron medidos en laboratorio y comparados con los modelos matemáticos desarrollados para el EMTP/ATP. Los resultados de más de 50 transformadores probados en laboratorio y modelados en el EMTP/ATP durante cinco años muestran una muy buena correlación entre los valores

188


obtenidos con el modelo matemático del transformador de distribución y los obtenidos en la medición, con errores que no superaron el 10%.

5.4.1.4 Modelamiento en el EMTP-ATP

El programa (EMTP-ATP) permite, con la ayuda de un adecuado modela-miento, la predicción del comportamiento de los sistemas eléctricos en con-diciones de estado estacionario o en condiciones de estado transitorio.

En esta investigación, el EMTP-ATP fue utilizado para evaluar el com-portamiento del sistema en cuanto a sobretensiones presentes en la red, los transformadores, los descargadores de sobretensiones y la carga, cuando se presentan impactos de rayos sobre la red de distribución, dependiendo de los diferentes tipos de transformadores instalados.

5.4.1.5 Evaluación del pulso transferido

Se desarrollaron los modelos matemáticos de los transformadores de dis-tribución fabricados en Colombia. Para el cálculo de las capacidades se usaron ecuaciones basadas en métodos electromagnéticos o por medio del método de simulación de cargas. Para los transformadores mono y trifásicos, la inductancia propia fue calculada por medio de una expresión analítica derivada de consideraciones de campos electromagnéticos.

Para la implementación computacional del modelo matemático del transformador de distribución se utilizó el módulo “Transformer” del progra-ma EMTP-ATP, el cual permite incluir las capacidades y la curva de satura-ción. Se desarrollaron tres modelos para cada tipo de transformador, cada uno de los cuales permite representar el comportamiento del transformador ante señales de media, baja y alta frecuencia (60Hz hasta impulsos tipo rayo).

Con la ayuda del modelo del transformador para altas frecuencias de-sarrollado para el EMTP-ATP (figura 5.29), e igualmente de las mediciones realizadas sobre los diferentes tipos y potencias de transformadores y cál-culos teóricos, se elaboraron los modelos matemáticos de todos y cada uno de los tipos y potencias de transformadores, con el objetivo de evaluar el fenómeno de tensiones transferidas entre el devanado de alta tensión y el de baja tensión y, de esta manera, analizar cuál es la mejor configuración para el mismo.

189


Figura 5.29 Modelo del transformador para altas frecuencias.

Donde:Cga: Capacidad a tierra devanado alta tensiónCgb: Capacidad a tierra devanado baja tensiónCab: Capacidad entre devanadosR, L: Resistencia e inductancia propias de los devanadosRmag: Resistencia de magnetizaciónSATURA: Curva de magnetización del transformador (subrutina del

ATP)

El objetivo de las simulaciones que se presentan a continuación fue el de comparar el comportamiento del transformador que se ha denominado Prototipo Nuevo Diseño, con el de los transformadores de diseño estándar.

Para tal fin se escogieron los siguientes tipos de transformadores:�� }~��£��?��%��*�^��

núcleo (que se llamará de ahora en adelante TIPO 1).�� }~��£��?��%��

núcleo (que se llamará de ahora en adelante TIPO 2).�� |~¤¥�~��£��?��%��*�^��

contra núcleo (que se llamará de ahora en adelante TIPO 3).�� #� &�� $��

adelante TIPO 4).

Las simulaciones se realizaron comparando los transformadores por aparte, con base en el pulso transferido a partir de ondas paso unitario e impulso, a un montaje como el que se muestra en la figura 5.30.

190


Figura 5.30 Modelo de transformador para análisis de pulso transferido.

P SU +

Figura 5.31 Pulso transferido para cuatro tipos de transformadores.

70000

60000

50000

40000

30000

20000

Tensión Máxima

Pulso transferido para 4 clases de transformadores (Onda paso)

10000

0

0 20000 40000 60000 80000 10000 12000

95 BN

95 AN

150 AN

PROT

00

Se varió la amplitud del paso desde 10 V hasta 100000 V y se obtu-vieron las curvas presentadas en la figura 5.31, para cada uno de los cuatro tipos de transformadores. Como se puede fácilmente observar, el transforma-dor Prototipo Nuevo Diseño presenta valores de tensión de pulso transferido de primario a secundario 4 veces menor al tipo fabricación estándar con BIL aumentado y 6 veces menor para los transformadores tipo estándar.

191


Una muestra de las formas de onda del pulso transferido se muestra en la figura 5.32.

Figura 5.32 Curvas de tensiones de pulso transferido en los cuatro tipos de transformadores analizados, para ondas tipo paso.

Figura 5.33 Modelo de transformador para análisis de pulso transferido.

P S H

U

60000

40000

20000

0

-20000

-40000

-60000

Comparación del pulso transferido

DS-150BN DS-150BN DS-150BN DS-150BN

Para impulsos tipo rayo de onda 1,2/50 se utilizó un montaje como el que aparece en la figura 5.33.

192


La fuente de tensión utilizada para simular el impulso se obtuvo me-diante la ecuación de Heidler. Se varió la magnitud del impulso desde 10 V hasta 100000 V y se obtuvieron las curvas de tensión presentadas en la figura 5.34. Los resultados comparativos entre transformadores tipo es-tándar y Prototipo Nuevo Diseño son similares a los presentados en el ítem anterior.

Figura 5.34 Pulso transferido para los cuatro tipos de transformadores.

Luego de la simulación de cada uno de los transformadores individual-mente, se procedió a simular cada uno de los componentes del sistema (descargadores de sobretensión, puestas a tierra, líneas) y completamente el circuito experimental.

El modelo del circuito donde se instalaron los transformadores Prototipo Nuevo Diseño corresponde al ubicado en el municipio de Topaipí, vereda Guachipay.

Las características del circuito que se tuvieron en cuenta para la simu-lación fueron las siguientes:�� -

rámetros de las líneas para alta y baja frecuencia utilizando el modelo JMarti de parámetros variables con la frecuencia.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000

95 BN

95 AN

150 BN

PROT

Tensión Máxima [V]

Pulso transferido para cuatro clases detransformadores (onda tipo rayo)

193


�� |!��%��-ductores de 6 m en alta tensión. En baja tensión se simularon líneas monofásicas de 100 m de longitud y una separación de 40 cm entre los conductores.

�� #��%��~¤¤�¦��sitios de la red.

�� diseño estándar para todas las simulaciones.

�� %��#��aproximadamente balanceadas.

�� se colocó en las simulaciones del pulso transferido.

Las simulaciones que se realizaron son de eventos típicos que ocurren en las redes de distribución en zonas de alta actividad de rayos. Para cada uno de los casos se obtuvo la tensión en el lado de baja tensión del transfor-mador y conectado entre las Fases A y B. Los resultados de las simulaciones presentan valores de pulsos transferidos en los transformadores Prototipo Nuevo Diseño, muy por debajo de los valores de pulso transferido de los transformadores tipo estándar, ante descargas tipo rayo en una de las fases, como era de esperarse de acuerdo con los resultados de los modelamientos individuales. En los tres años que se hizo seguimiento al circuito experimen-tal de Guachipay, el resultado es similar a lo modelado. Se logró disminuir la tasa de falla de transformadores en este circuito, de 50% anterior a la insta-lación de los transformadores Prototipo Nuevo Diseño a 0% en 1998, a 7% en 1999 y a 0% en el año 2000, con más de 130 descargas presentadas a menos de 100 metros del circuito.

5.4.1.6 Control y monitoreo de variables

Ninguna inferencia estadística o conclusión puede ser válida en la solución de un problema de ingeniería, si previamente no se ha tenido en cuenta el control del mayor número de variables involucradas. Para ello se implemen-taron las siguientes actividades:

Puestas a tierra: se realizaron mediciones de la puesta a tierra de cada uno de los transformadores instalados en el circuito piloto experimental de Guachipay, antes y después del mejoramiento. Además, se llevaron a cabo tres seguimientos con el fin de verificar que los valores en los cuales se de-jaron las puestas a tierra se mantuvieran.

Servidumbre: para evitar las fallas de alta impedancia se hizo una lim-pieza de la servidumbre de la línea del circuito piloto experimental y, en cada

194


uno de los seguimientos, se verificó la ausencia de vegetación cercana a la red.

Descargas eléctricas atmosféricas en la zona: a partir de la instalación de los transformadores Prototipo Nuevo Diseño, se realizó un monitoreo de la actividad eléctrica (descargas nube-tierra) en el circuito piloto experimen-tal de Guachipay con el fin de poder evaluar la incidencia de descargas y, en caso de falla, si el origen fue una de ellas.

El circuito tiene una longitud aproximada de 7,5 km y está comprendi-do dentro de un área de 6 km x 3 km. Al realizar un análisis temporal de la actividad eléctrica, se encontró que las tormentas se presentan en las horas de la tarde y parte de la noche.

Se hizo un filtrado para identificar aquellas descargas que impactaron en un rango de menos de 100 m, alrededor del corredor de la línea. La máxima corriente fue de –47,83 kA y 46,02 kA, para descargas negativas y positivas, respectivamente. Haciendo una proyección de los datos tomados durante todo un año, la densidad de rayos a tierra por kilómetro cuadrado sería de 19 aproximadamente, lo cual es coincidente con los mapas de densidad de la zona.

Desde finales de 1997 hasta mayo de 2001 solo han sido reportados dos casos de fallas: una salida de una de las líneas del circuito piloto experi-mental sin falla de ningún transformador, y una falla de uno de los transfor-madores Prototipo Nuevo Diseño. El análisis de estas fallas muestra que las descargas subsecuentes (return strokes) ocurren con diferencias muy cortas entre una y otra (del orden de los 100 m), lo cual no permite que la energía entregada al elemento, en este caso el fusible, se disipe; en cualquiera de los casos se tendría que la energía entregada supera la capacidad de los fusibles y, por tanto, ocasionaría la fusión del elemento fusible. De acuerdo con los cálculos desarrollados, se efectuó una simulación en el transformador más cercano a la incidencia de esta descarga, encontrándose un valor de tensión en el lado de alta de 33 kV con una correcta operación del descargador de sobretensión y, en baja tensión, un valor de 15,2 kV de sobretensión. Cabe anotar que el transformador es de BIL 150/45 kV; por tanto, con estas mag-nitudes sus aislamientos soportaron el impulso.

Como fruto de las experiencias con el circuito piloto experimental de Guachipay, y el circuito en el municipio de Samaná, Caldas, los siguientes son, en resumen, los ocho criterios básicos por tener en cuenta para la ópti-ma operación del transformador de distribución Prototipo Nuevo Diseño:

�� |!~¥<¤��£�

�� &�� **��%��

195


�� &��%��$?��{��-nales en red si es necesario.

�� *��#��*��$¤�!��%��{��#��burbujas (combinación de dieléctricos) durante el transporte.

�� *�^�#��%��$§�!¤��{�� $��-

tecciones, transformador, puestas a tierra, vegetación).�� %��-

tes mecánicos para transporte.�� #��%��*��

5.4.1.7 Evaluación de la relación costo-beneficio

Respecto al último criterio, se evaluó la relación costo-beneficio para los transformadores instalados en el circuito piloto experimental de Guachipay. Se consideró el caso más desfavorable, es decir, un costo del transformador Prototipo Nuevo Diseño 1,5 veces el costo de un transformador estándar. El costo del transformador Prototipo Nuevo Diseño depende de varios aspectos, como el fabricante y el número de unidades para adquirir, pero puede llegar a tener un costo igual al de un estándar.

Adicionalmente, el haber considerado un costo de 1,5 veces, se hizo sobre la base de la construcción de un solo transformador; sin embargo, por economía de escalas, el costo disminuirá en la medida que se construyan cientos o miles de los mismos. Los resultados obtenidos para el caso más desfavorable es el siguiente:

Se consideró un horizonte de tiempo de 10 años con una cantidad de 100 transformadores instalados en el año cero, un crecimiento anual de la demanda del 2%. Se estimó un valor unitario de 1000 para un transforma-dor de diseño estándar y de 1.500 en el caso del transformador Prototipo Nuevo Diseño, para una potencia media de 15 kVA.

Los costos del Prototipo Nuevo Diseño (1500) incluyen: costos de fabri-cación (CSP, protección por baja tensión, BIL mejorado en alta y baja tensión, adecuación de tanque, mejoramiento de tierras y limpieza de servidumbre). No se tiene en cuenta el costo de mano de obra por cambio del transforma-dor. Este costo sería a favor de los costos del Prototipo Nuevo Diseño, pues tendría una vida útil mayor, por tanto menor número de cambios.

Otro costo a favor del Prototipo Nuevo Diseño es el aumento en la confiabilidad del sistema eléctrico de los circuitos que se implementen con este transformador, sobre todo, ante las nuevas exigencias sobre calidad del servicio de energía eléctrica, según lo cual, los indicadores DES y FES

196


(resoluciones CREG: 070-98, 025-99 y 096-00) implicarán costos para el operador de red que no cumpla con estos indicadores de confiabilidad.

Se asumió que tanto las unidades falladas como las nuevas requeridas para satisfacer el crecimiento de la demanda se remplazaban con transfor-madores Prototipo Nuevo Diseño.

En la estimación de la cantidad de unidades falladas fueron empleadas las curvas de vida útil obtenidas para el periodo comprendido entre 1994 y 1997, con una muestra de más de 2500 unidades falladas de transforma-dores no reparados. La tabla 5.4 presenta los costos de reposición de trans-formadores tipo estándar por cada 100 transformadores estándar instalados en el año 0. La tabla 5.5 señala los costos de reposición de transformadores Prototipo Nuevo Diseño por cada 100 transformadores estándar instalados en el año 0.

Tabla 5.4 Costos de reposición de transformadores tipo estándar.

Nivel de riesgo por rayos

Índice de fallas (promedio anual %)

% Transformadores fallados en diez años

Costos reposición de trafos tipo estándar

por cada 100 trafos estándar

instalados en el año cero

Alto 12,86 335 335.000

Medio 8,62 329 329.000

Bajo 4,82 160 160.000

Tabla 5.5 Costos de reposición de transformadores Prototipo Nuevo Diseño (caso más desfavorable).

Nivel de riesgo por rayos

Índice de fallas (promedio anual %)

% Transformadores fallados

Costos reposición de trafos nuevo diseño por cada 100 trafos

estándar instalados en el año cero

De alto a medio 9,96 258 387.000

De alto a bajo 7,50 206 309.000

Considerando equilibrio entre el valor actual de pérdidas por reposición de transformadores de diseño estándar y el Prototipo Nuevo Diseño:

197


Para reducción del índice de riesgo alto a medio se admite un sobrecos-to de máximo el 1,3% para el transformador Prototipo Nuevo Diseño sobre el costo actual del transformador estándar.

Para una reducción del índice de riesgo de alto a bajo se admite un sobrecosto del 1,62%.

Considerando un sobrecosto del 1,3%, y pasando de riesgo alto a riesgo bajo:

Para esta condición el punto de equilibrio entre costos actuales e in-versión se logra en el séptimo año. A partir del séptimo año, la empresa de energía obtendrá ganancias por disminución de fallas y mejoramiento de la calidad de la energía eléctrica. Si el transformador Prototipo Nuevo Diseño tiene un costo similar al de un transformador tipo estándar, las ganancias para la empresa de energía serán inmediatas.

199

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205

Índice temático

AAceite(s)

de silicón y esteres 118, 120-181derivados del petróleo 119minerales 118-121

Actividad eléctrica 179-180, 194Aislamiento(s)

eléctrico(s) 13-14, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 103-104, 106, 108, 110, 112, 114, 118, 120, 122, 124, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158, 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 174, 176, 178, 180, 182, 184, 186, 188, 190, 192, 194, 196, 200, 202, 204 aplicación 13diseño 115,127evaluación 13

gaseosos 14líquidos 14sólidos 14, 96, 103, 106, 113

Aislante(s) 13, 17, 57, 60, 61, 67, 69, 73, 100, 103-104, 108-109, 111-112, 115, 117-121, 123-124

Afinidad electrónica 82Almacenamiento 166-167, 170-173Alta tensión 13-14, 17, 55, 70, 73, 79,

94-96, 98, 103, 115, 117, 127-130, 186, 188-189, 193-194, 200, 202

técnica de la 13-14, 17, 117, 202Alternativas tecnológicas 180-181, 186Análisis

cualitativo 109, 131

de coordinación 181de descargas eléctricas 181de fallas 181-182de la variación 84, 199de transitorios 155-156, 178

Ámbar 17-19Antena 39-40, 44Aplicación(es)

en subestaciones aisladas 100-101digital 155industriales 97, 121

Átomo(s) 64-65, 77, 80-82, 121Atracción magnética 17Avalancha de electrones 86, 90-91, 99,

106, 109, 122

BBobinas 181, 186, 194Burbujas 123-124, 195

CCables 13, 115, 177, 199-200, 202Campo(s) eléctrico(s)

desarrollo de los 20homogéneo 28, 58, 68líneas de 28-30, 71magnitud del 60no homogéneos 95-96vector de intensidad 20

Campo electrostático 31, 58Campo(s)

homogéneos 57, 67, 72, 91-92, 96, 106

no homogéneos 72Campo(s) magnético(s)

densidad de 22-24desarrollo de los 20

206


Canal(es)al ánodo 90de ionización 90, 112dirigido al cátodo 89-90

Capacidadvariación de la 62

Carga(s) eléctrica(s)cuantización de la 19desarrollo histórico 17fuerza entre dos 19lineales 47, 49, 52, 56negativa 18, 63-64, 80, 89positiva 19, 63, 89-90propiedades de 19

Circuito(s)equivalentes 65, 109, 132-133,

146, 148-151, 157-158, 160-162, 164-165

original 161-162Coeficiente de Townsend

primero 84segundo 12, 87, 89, 91

Colisión(es)área de 75, 79de iones 88, 112tipo elástico 74

Comportamiento dieléctricode los gases 73, 75, 77, 79, 81,

83-85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101

de los líquidos 117, 119, 121, 123, 151propiedades eléctricas, químicas,

físicas 117de los sólidos 96, 103, 105, 107,

109, 111, 113, 115Condensadores 62, 66-67, 118-119, 129-

130Conductividad 31, 108, 118, 125Constante

de Planck 80dieléctrica 58Corriente eléctrica 21, 24, 113inducida 19

Costos de reposición 196

DDepartamento de Ingeniería Eléctrica 178,

199-202Descarga eléctrica 13, 82, 84, 89-90, 92,

95, 101, 110, 199

Desempeño dieléctrico 17Desionización 81Diagrama de Ishikawa 181Dieléctrico(s)

combinación de 49, 69-70, 107, 195

líquido(s) 14, 117-118, 121, 123-124

ruptura dieléctrica 89, 95, 103, 105-107, 110, 114, 117, 121-124

Dipolo 28, 30, 63-64, 67-69Diseño eléctrico 13Disrupción(es)

de gases 14, 122de los aislamientos eléctricos 13

EEcuación(es)

algebraicas 163de campo eléctrico 27de Laplace 31, 35, 37de Maxwell 19-24, 26de Neumann 187de Poisson 31-32diferencial(es) 31, 108, 134, 156trigonométricas hiperbólicas 31

Efecto(s)corona 13, 95-97, 200-201

negativa 96positiva 96

de los electrodos 83en el proceso de ruptura 83fotoeléctrico 91

Electricidadclases de 18normal 18resinosa 19transferida 18vítrea 19

Electromagnetismo 19Elektrón 18Emisión(es)

acústica 101de campo 122eléctrica 101fotoeléctrica 84lumínica 100por impacto de iones positivos 84termoiónica 84, 122

Energía(s)

ÍNDICE TEMÁTICO

207

de ionización 78-79, 83eléctrica 55, 57, 100, 178, 180,

195, 197Entorno electromagnético 184-185Equipos eléctricos 13, 185Espacio interelectródico 42, 45, 49, 51, 54,

85, 90, 123-124Estudios estroboscópicos 97Éter 25, 121Evaluación

de la relación costo-beneficio 195del impulso de tensión 140

FFactor de utilización 70-72

Fenómeno(s)eléctricos 13, 18, 100, 113electromagnético 21físicos 100magnéticos 18naturales 182no naturales 182químicos 100

Flameo(s) 91, 90, 96, 99, 112, 124, 128Flexiglass 108Flujo(s)

eléctrico 24, 29, 57magnético 20, 24

Fotoionización 80, 92Fotón(es) 77-78, 80-81, 84, 100Frontera del reticulado 38, 41

HHidrocarburo(s)

aromáticos clorados 118-120nafténicos 119

IImpulsos tipo rayo 188, 191Impurezas sólidas 123Ingeniería eléctrica 176, 178, 199-202Intensidad

de campo eléctrico 20, 27, 54, 67-68, 70, 109, 124

Interruptores 13-14, 73, 117-118, 129-130, 177

Investigadores 14, 103, 128, 176, 201Ionización

de las moléculas 77

efectividad de la 77energía de 78-79, 83fenómeno de 79medición de 97procesos de 74, 77, 80

Iteración 166-176

LLenguaje de programación 177Ley(es)

de Ampere circuital 24

de conservación de la carga 18de la energía 22

de Coulomb 19de Faraday 23-24de Gauss 21-22de Kirchhoff 133de Lorenz 26-27de Ohm 58de Paschen 92-95

Línea(s)de fuerza 19-20de Faraday 20de transmisión 14, 55, 73, 96, 128-

129, 131-132, 139, 141, 146, 152, 157-158, 177, 202

MMagnesia 18Materia(s) 19

estructura de la 19Material(es)

dieléctrico(s) 27, 31, 49, 57, 63, 65-66, 68, 104-105, 110

sólidos 103, 107-110, 112-113Matriz de riesgo 183Mecanismo(s)

de disrupción 13, 73de ruptura 103-104, 122

Mediciones in situ 180Medio ambiente 14, 118-119, 121Medios aislantes 13Método(s)

de Bergeron 130-131, 143-144, 146, 152-153, 155, 199

de Bewley 136-137, 139-143, 152de cálculo 14, 17, 31, 55, 57, 128de campos eléctricos 95

208


de construcción 148de detección de descargas 101de diferencias finitas 31, 37-42, 44-

46, 51, 55de elementos finitos 31de Monte Carlo 177de predicción de fallas 100de simulación de cargas 31, 46, 49-

51, 54-57, 188del diagrama laticce 130, 136gráficos 130, 143híbridos 31numéricos 31, 187orientado a regiones 49-50para el cálculo de sobretensiones

130-131Metodología 55, 179, 181, 183Modelamiento(s) 95, 184, 188, 193

matemático 95, 180Modelo(s)

de Franklin 18de transformador 190-191JMarti 192matemáticos 179, 187-188mecánico 25

Molécula(s)no polares 63-64polar(es) 63, 77

NNube 39-42, 44, 52, 57, 64, 90, 128,

194

OOnda(s)

de radio 26electromagnéticas 25-26individuales 132viajeras 130-132, 199, 136, 156

Operación(es)industriales 99lineales 177no lineales 177

PPérdidas dieléctricas 65-66, 108-109, 113-

114, 118Permitividad(es)

del espacio vacío 58del gas y del sólido 107del material 109del medio 109relativa 58, 68-69

Placas colectoras 98Polarización

pérdidas por 65por deformación o electrónica 64por orientación 64-65

Potencial eléctrico 13, 17, 29, 35-37, 47, 52

Poliésteres perfluorados 118, 121Principios básicos de la teoría cinética

de gases 74Proceso(s)

de fotoionización 80, 90de ionización 78-80, 87, 101de manufactura industrial

control de estática 97electrofotografía 97instrumentación 97precipitación electrostática 97

de ruptura dieléctrica 83, 122de termoionización 80industriales 99

Programa(s)ATP 13-14, 156, 176-178, 187-

189digital(es) 144, 156, 176PAAS-UN 13-14, 178, 183, 200

Propagación de armónicos 178Pulsos Trichel 76Punto(s)

de medición 21divergencia 21rotacional 21

RRadiación electromagnética 77, 80, 113Red Colombiana de Localización de Rayos

(Recma) 179Reflexión 130, 136-137, 140

coeficiente de 136-137, 140Regla trapezoidal 144, 156, 159, 161,

176, 178Refracción 130, 136-137, 140

coeficiente de 136-137, 140Repulsión eléctrica 18Resistencia(s)

dieléctrica 57-59, 61, 68

ÍNDICE TEMÁTICO

209

no lineales 177Rigidez dieléctrica intrínseca 104Riesgo por rayos 179, 183-186, 196Ruptura(s)

dieléctrica en líquidos 122eléctrica 106, 109intrínseca 104-105, 108por erosión 109térmica 108-109

SSeccionador(es) 14, 73Sensor(es)

acelerómetro 101convencionales 101micrófonos 101ópticos 101piezoeléctricos 101

Series de Taylor 31Simulación de cargas 13, 31, 46-52, 54-

57, 187-188Sistemas de potencia eléctrica 14, 103,

127Sistema(s)

componentes del 127, 129, 180, 192

de aislamiento 113, 127-128de control dinámico 177de potencia 14, 100, 103, 106,

127-128, 155-156, 202eléctrico(s) 113, 128-129, 131,

143, 179, 181, 185, 188, 195matricial 38-39, 41, 53, 162, 165

Sobretensiones eléctricasde tipo atmosférico 14, 128descargas eléctricas 96, 100, 127-

128, 178-179, 181-183, 185, 194, 200-201

externas 14, 127-129internas 127, 129por maniobra 127temporales 127tipo de 129-130, 176

Software 13-14, 176-177, 199Subestaciones aisladas 100-101, 115Superficies equipotenciales 30, 42, 44, 48,

57-59, 111

TTécnica(s)

de detección 113electro-ópticas 124

Temperatura(s) 67, 69, 74, 80, 84, 87, 91, 100-101, 104, 108-109, 112, 117, 119-124

Tensión(es)de disparo 129, 142, 176disruptiva 12, 69, 92-94, 106, 129,

143máxima 190, 192nodal 176sinodal 111valor de la 129, 138, 153-154

Teoría(s)cinética de los gases 74

condiciones 74principios básicos 74

de campo eléctrico 13-14, 17de canales para la descarga 89-90de disrupción 122de Dommel 163de la influencia electrostática 19de los campos electromagnéticos

13, 20de Townsend 84, 89, 91-92del éter 25electromagnética 17, 201especial de la relatividad 25

Termoionización 80Transformador(es)

capacidad del 187clases de 190, 192de diseño estándar 189, 195-196de potencia 117diseño interno del 179fabricación de 181, 190manejo de 181operación y mantenimiento del 181potencia de 188, 195Prototipo Nuevo Diseño 180, 189-

190, 192-197selección de 181tipo estándar 190, 192-193, 196-

197trifásicos 187, 188, 193

Tratamiento de señales 177

UUniversidad(es)

de Lovaina 176de Nancy 144

210


Nacional de Colombia 13-15, 176, 178-179, 199-204

técnica de Munich 155, 176Utilización

factor de 70-72

VValor(es)

de campo eléctrico 54-55, 71de tensión disruptiva 94, 106del segundo coeficiente 89

Variablescontrol y monitoreo 180, 193de salida 178físicas 191

Varillas 52Velocidad

de la luz 25

de la onda 135de pérdida 73de propagación 124, 137, 140, 166

Vector(es)de campo eléctrico 27-28, 46, 55,

64de densidad 20, 32-33de intensidad 20, 27gradiente 20, 34

Vidrio 18-19, 67, 103Virtud eléctrica 18

ZZona(s)

de compatibilidad 185del campo eléctrico 37

tropical 183

211

Índice onomástico

AAdbel-Salam, M. 31Allen, A. O. 125Althammer 144Ampere 20, 24Andjelic, Z. 49

BBergeron, L. J. B. 130-131, 143-146, 148-

157, 176, 199Bewley, L. V. 130, 136-137, 139-143,

152Blondel 143Boltzmann 87

CChalmers, I. D. 99, 200Chem, C. J. 125Codensa 179, 181, 183-184Colciencias 179Cooper, R. 108Cortina, A. 14Coulomb, C. 19Craggs, J. D. 89

DD´Alambert, J. 135Dommel, H. W. 131, 144, 155-156, 158,

162-164, 175-176, 199-200DuFay, C. F. 18-19

EEL Mohandes, M. T. 31Elliasson, B. 99

Empresa de Energía de Bogotá S.A. ESP 179, 184

FFaraday, M. 19, 20, 23-24, 73Ford, G. L. 100Franklin, B. 18-19Frey 144Fujimoto, N. 100

GGänger, B. 93Garton, C. G. 105Gauss 21-22Gilbert, W. 18Gray, S. 18

HHauschild, W. 78Heidler 192Herrera, A. 15Hertz, H. 26Hirth, M. 99

IInterconexión Eléctrica S.A. ESP 179Ishikawa 181

JJones, C. J. 101

KKao, K. C. 124Kirchhoff 133

212


Kogelschatz, U. 99Kok, J. A. 122

LLaplace 31-32, 35, 37Lattice 130, 136, 137Loeb, L. B. 74, 89Lorenz 26-27Löwy, R. 143Lozano, M. 15

MMacgregor, S. J. 99Maddock, B. J. 56Maduit 144Marconi 26Matsumoto, T. 56Maxwell, J. C. 12, 19-26Meek, J. M. 89, 92, 201Mesmer 22Meyer, S. 176Millikan, R. 19Mosch, W. 78

NNeumann 187Newton, I. 20, 27

OO’Dwyer, J. J. 109Oersted 20Ohm 58

PPaschen 92-95, 202Pedersen, A. 95, 111

Planck 80Poisson 31-32Priestley, J. 19

RRaether, H. 89-90Roth, A. 78, 202

SSchmidt, W. F. 125Schnyder, O. 143Sharbaugh, A. H. 123Stark, K. H. 105Steinbigler, H. 31, 203

TTaylor 31, 35-36Tesla, N. 20, 26Thomson, G. P. 94Thomson, J. J. 94Torres Sánchez, H. 15, 17, 73, 103, 117,

127Townsend, J. S. 84-89, 91-92, 95Trichel, G. W. 96

VVon Angel, A. 87

WWatson, P. K. 123, 203Weber 20Wray, A. 99

ZZanella, L. 99, 200

aislamientos eléctricos

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