agri men sura
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AGRIMENSURA
GENERALIDADES
Entre las multiples aplicaciones que puede darse a un palno
topográfico pueden citarse: obtención de perfiles,
determinación de pendientes, cálculo de áreas, división de
superficies, cálculo de volúmenes, etc; ya que el interés de
contar con el palno topográfico de un terreno no siempre es
unicamente la obtención de la forma planimétrica y
altimétrica, sino que a partir de dicha representación ha de
obtenerse una serie de datos que son de utilidad para otros
fines y que frecuentemente están ligados o relacionados con
la ingeniería en general.
DEFINICIÓN
El término Agrimensura puede definirse como la técnica que
sirve para determinar la medición de tierras, entendiéndose
que no solamente implica el hecho de la medición misma,
sino también la determinación de lagunas características en
cuanto a forma, superficie, líneas de división, etc.
AREADO DE SUPERFICIES
Para encontrar la superficie de un terreno que este
representado en un plano topográfico puede hacerse uso de
los siguientes métodos:
- Métodos o procedimientos analíticos.
- Métodos o proecdimientos mecánicos.
Entre los procedimientos analíticos están: Descomposición del
área total en figuras parciales, por ordenadas a intervalos
iguales, por las coordenadas de los vétices.
Entre los procedimientos mecánicos pueden citarse:
Método del compás y el papel milimetrado y por medio del
planímetro.
AREADO POR DESCOMPOSICIÓN DEL AREA TOTAL EN FIGURAS PARCIALES
Como su nombre lo indica, el método consiste en dividir el área
total en figuras parciales y que correspondan a: triángulos,
cuadriláteros, rectángulos, cuadrados, trapecios, sectores de
círculos, sectores parabólicos y/o elípticos, etc. Según como
pueden dividirse la superficie total. El valor del área o superficie
total será la suma algebraica de todos los valores de las
superficies parciales.
El método de descomposición generalmente es empleado
cuando la superficie total tiene la forma poligonal o el perímetro
de ella es de forma irregular. En la aplicación de este método,
es aconsejable tener en cuenta las siguientes consideraciones:
- Si la superficie total es un polígono, divídala en rectángulos, fig.
a.- Si la superficie total tiene perímetro irregular (segmentos de
rectas y/o curvas), tener una recta que atraviese las superficie y
baje perpendiculares desde los vértices, a la recta trazada, fig
b.- Tal vez que sea posible, divida la superficie total en el menor
número de figuras parciales.- Toda vez que sea posible tome los segmentos mayores para el
cálculo de áreas.- En algunos casos es conveniente completar figuras, lo cual
debe descontarse en el cálculo matemático.- Cuando se tenga que medir ángulos, no es aconsejablela
medición con transportador, sino calcular el ángulo por
relaciones matemáticas.
S1
S2
S4
S3
FIGURA a.
ni
1ipSS
S : Superficie total
Sp : Superficie parciales
(en este caso triángulos)
ni
1ipSS
S1: Area de un sector circular
S2: Area de un triángulo
S3: Area superficie irregular con ordenadas a intervalos iguales.
S4: Area de rectángulo – Area de un sector parabólico.}
S5: Area de un trapecio
S6: Area de un trapecio
S6
S5
S4
S3
S1
S2
FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS ELEMENTALES:
Triángulo
)(21
))()((
2.
2.
S
cbap
cpbpapp
Senbahb
Cuadrado
a
a
d
hc
a
b
hc
a
b
2S
22 da
b
h
d
Rectangulo
φSen2d
b.tS2
Trapecio
h
b
B
d1 d2mediana:m
φSen2.dd
whb)h(B21
S
21
Cuadrilatero:
b
c
dd1 d2
rocuadrilatedeldiagonaleslasde
direcciónlaenformadoAngulo:
Tg)dcb(a41
φSen2
dxdS
2222
21
Círculo:
dr
4dπ
rπS2
2
Sector Circular:
Sector Parabólico:
I°
rArco
2r.Arco
360rπ
S2
I
ba
a.b32
S
Elipse:
b
b
a ax
y
ax
SenArcbayxsombreadoSector
ba
..
.S
AREADO POR ORDENADAS A INTERVALOS IGUALES
Fracuentemente la forma de superficie cuya area se desea
calcular tiene uno o mas de sus lados perimetrales de la forma
de una línea irregular o de segmentos de curvas con inflexiones
en uno y otro sentido; en estos casos es adecuado trazar una
linea recta de referencia al interior o al exterior de la figura total
(según convenga), para luego tomar perpendiculares a
intervalos (espacios) iguales hacia la línea irregular. El área
limitada por la línea de referencia, las ordenadas extremas y la
línea irregular, pueden ser calculadas siguiendo los siguientes
métodos:
- Regla de trapecio, y
- Regla de Simpson.
Regla del Trapecio o Regla de Bezout:
Este metodo considera que los segmentos de la línea irregular
que cortan las ordenadas, son segmentos de rectas
obteniendose por consiguiente una serie de trapecios unos tras
de otros. Este método se aplica inidistintamente si el número de
ordenadas es par o impar. Sea la figura:
h1
h2
h3 h
4h
5 hn-1
hn
d d d d d d d
Línea irregular
La regla del trapecio o regla de Bezout se expresa:
“El valor de la superficie total, es igual al producto del valor de
intervalo constante por la suma de la media de las ordenadas
extremas mas las ordenadas intermedias”
Demostración:
1n432n1
n1nn
433
322
211
h.............hhh2
hhdS
2hh
dS
................ ...
2
hhdS
2
hhdS
2hh
dS
Regla de Simpson:
Este método considera que los segmentos de la línea irregular
que cortan las ordenadas, son segmentos de parábolas. Este
método se aplica directamente cuando el número de ordenadas
es impra y se desea tener el valor más aproximado de la
superficie ya que da resultados más exactos que el método del
trapecio. La regla de Simpson se expresa:
“El valor de la superficie es igual al tercio de la
multiplicación del valor del intervalo constante por la
suma de las ordenadas extremas con el doble de la
suma de las ordenadas impares y el cuadruple de la
suma de las ordenadas pares”
Demostración:
Con referencia a las figuras anteriores, si se toma las dos
primeras superficies parciales, asumiendo que la líena irregular
es un arco de parábola:
321
31231
312
31
h4hh3d
2
hh2h
32d
hhd
2
hhh
3
22d
2
hh2d
BCDparabólicosectorAreaABDEtrapecioAreaLDCBAArea
Tomando las dos siguientes superficies parciales, tendremos
que:
54343 h4hh3d
S
A
B
CD
E
h1h3h2
S1S2
d d
Parabola
Y así sucesivamente:
S.... = .... ..............
n1-n2-nn1n h4hh3d
S
Sumando todas las superficies se tiene:
1n422n53n1 h...hh4h...hh2hh3d
S
Ejercicio:
Calcular el valor de la superficie de la figura:
S5
S4
S3S1
S2
17.2 19.011.6
22.2
66.8
25.5
cuadradasunidades3,147.63S
u851.702
25.566.8S
u812.522
22.673.2S
u424.562
11.673.2S
u555.752
19.058.5S
u503.102
17.258.5S
25
24
23
22
21
Ejercicio:
Calcular el valor de la superficie de la figura:
S5S6 S7
S2S1
S3S4
66.7
41.0
120.9
108.0
132.8
48.2
20 20 20 20 48.0 72.471.8
G
H
I
AF
E
D
C
B
g h o
121.3 127.9 130.5 125.8 117.2 129.2 96.1
124.2 130.0 128.6 120.1 120.0 52.0
69.5°
Solución:
SUPERF VALORES PARA EL CALCULO AREA u2
S1 1/2 (72.4 X 71.8) 2599.16
S2 1/2 (48) (96.1 + 77.2) 4159.20
S3 3.1416 X 522 X 69.5° X 1/360° 1639.98
S4 1/3 (20) (250.0 + 1002.8 + 2491.6) 24966.00
S5 1/3 (41.0 X 66.7) 911.57
S6 1/2 (120.9) (41.0 + 108.0) 9007.05
S7 1/2 (132.8) (48.2 + 108.0) 10371.68
Superficie Total: S = 53654.64
Por el método de la Ruta Nor Este – Sur Este
Ruta Nor Este: Ruta Sur Este:
460.2 x 270.3 = 124392.06 215.6 x 685.1 = 147707.56
685.1 x 530.4 = 363377.04 270.3 x 743.7 = 201022.11
743.7 x 810.2 = 602549.74 530.4 x 564.8 = 299569.92
564.8 x 700.5 = 395642.40 810.2 x 200.6 = 162526.12
200.6 x 355.4 = 71293.24 700.5 x 162.1 = 113551.05
162.1 x 215.6 = 34948.76 355.4 x 460.2 = 163555.08
2.4606.215
1.1624.355
6.2005.700
8.5642.810
7.7434.530
1.6853.270
2.4606.215
Suma = 1592199.24 m2 Suma = 1087931.84 m2
2m252133.7021087931.84-1592199.24
S
AREADO POR MEDIO DEL PAPEL MILIMETRADO Y EL
COMPAS
Este método es una variación del método de descomposición
del área total en figuras parciales y que en este caso, dado que
la figura, al encontrarse dibujada en papel milimetrado, ya está
dividida en una serie de trapecios (muchas veces triangulos en
los extremos), entonces puede aplicarse la regla de Bezout para
el cálculo del área. En consecuencia en la figura:
ni
1iiSS
Pero: Si = Base x Mediana
= (a) x (m)
En consecuencia:
ni
1iimaS
a a a a a a
m1 m2 m3 mn
El valor de la sumatoria de las medianas se obtiene con la ayuda del compás de puntas secas, por aberturas sucesivas al ir sumando los segmentos representativos de las medianas. Muchas veces las figuras parciales de los extremos no llegan a tener la altura igual al valor: “a”, en estos casos se calcula por separado estas áreas, para luego agregarse al valor encontrado por la multiplicación de: a Σ mi
AREADO POR MEDIO DEL PLANTIMETROEl plantímetro polar es un instrumento que consta basicamente de:- Un polo (que se ubica fijo) unido por un brazo a la rueda de la caja integradora.- Una rueda integradora.- Una punta que debe recorrer todo el perímetro de la figura por arear, unida a la caja de la rueda integradora por un brazo diferente al del polo.
- Un vernier de lectura para las unidades integradas.
Para determinar el área de superficie por medio del planímetro
polar puede optarse por disponer el polo dentro o fuera de la
superficie. La fórmula específica para determinar el area
cuando el polo del planímetro se encuentra fuera del área es:
S = K (Lectura final – Lectura inicial)
En donde:
S = Superficie areada
K = Constante del planímetro, para una longitud del brazo
del polo y para una escala específica del plano.
- Compruebe que la constante K, es la correcta.- Ejecute todo el trabajo sobre una superficie totalmente
horizontal.- En ningún instante la rueda integradora debe salir de la
lámina que conviene la superficie por arear, ya que los
golpes en los bordes pueden hacer saltar las lecturas.- Asegúrese que el polo del planímetro permanece totalmente
fijo durante el areado.- Si la superficie es muy grande, dividala en áreas parciales.- Asegúrese que las lecturas son las correctas.- Es aconsejable que para cada areado se ejecute cuando
menos cuatro operaciones de determinación del area,
obteniéndose luego el promedio de ellas.
Entre las recomendaciones que debe tenerse presente para un buen trabajo con el planímetro, se cita:
- Con la punta trazadora, recorra con mano firme todo el
perímetro de la superficie, habiendo marcado previamente el
inicio del recorrido.
El uso del planímetro es ampliamente ventajoso cuando la
superficie tiene perímetros totalemente irregular, asimismo
cuando tiene segmentos de rectas.
VOLUMETRIA
Otros de los muchos fines, a que se puede destinar un plano a curvas de nivel es para la determinación del volúmen contenido entre las curvas, el caso mas patético es el de volúmenes de embalse, asimismo cuando se tiene las secciones transversales o través de un eje longitudinal también es posible encontrar el volúmen que contendrían dicahs secciones como es el caso de secciones de canales o carreteras.
VOLÚMENES DE EMBALSE
Entre los métodos para determinar el volúmen contenido
entre dos curvas de nivel consecutivas y que se cierran, se
tiene: la fórmula de la superficie terminal y la fórmula del
prismatoide.
Fórmula de la Superficie terminal:
El volumen contenido entre dos curvas de nivel consecutivas y
separadas por la distancia vertical: “h”, es:
2
SShV 21
21
S1, S2 : áreas encerradas por las curvas de nivel.
En el caso de tener que determinar el volúmen contenido entre
varias curvas de nivel y que todas ellas se encuentren
separadas a una misma distancia vertical: “h”, la fórmula será:
1n432
n1 S.........SSS2
SShV
Fórmula del Prismatoide:
Este método brinda mejores resultados que le método anterior,
ya que no supone que la variación del relieve del terreno entre
dos curvas de nivel consecutiva es lineal sino que este varía
como un prismatoide.
La fórmula es:
221121 SSSS3h
V
Para el cálculo del volúmen comprendido entre varias curvas
de nivel separadas la distancia vertical “h” constante, la
fórmula se transforma en:
n1n433221
1n432n1
SS...........SSSSSS
S.............SS2(SSS3h
V
Ejercicios:
Determinar el volúmen contenido por el siguiente cuerpo de
agua:
Curva de nivel Superficie Observaciones
2126.4 m.s.n.m. 13580 Fondo de cuerpo2128.0 19990
2130.0 31820
2132.0 44900
2134.0 50250
2136.0 62660
2138.0 74480
2140.0 88230
2142.0 108430
2144.0 134510
2145.0 161420 Espejo del agua
Solución:
El volúmen total, para efectos del cálulo, se considerará que
está dado por la suma de tres (3) volúmenes parciales
comprendidos entre las curvas de nivel: 2126.4 y 2128.0 (V1) ,
2128.0 y 2144.0 : (V2) y el comprendido entre 2144.0 y 2145.3
para (V3).
a) Por la fórmula de la superficie terminal:
V1 = 1.6 (13580 + 19990) / 2 = 26856 u3
V2 :Curva Superficie Coeficient
eProducto
2128 19990 1/2 9995
2130 31820 1 31820
2132 44900 1 44900
2134 50250 1 50250
2136 62660 1 62660
2138 74480 1 74480
2140 88230 1 88230
2142 108430 1 108430
2144 134510 1/2 67255
Suma = 538020 xAltura (h) = 2Volúmen V2 = 1076040 m3
V3 = 1.3 (134510 + 161420) / 2 = 192354.5 m3
En consecuencia el volúmen total será:
V = 26856 + 1076040 + 192354.5 = 1295250.5 m3
b) Por la fórmula del prismatoide se tiene:
31 u26691.319990013580x199913580
31.9
V
V2 : Curva Superficie Coeficiente
Producto
2128 19990 25220.6 1 19990
2130 31820 37798.3 2 63640
2132 44900 47499.7 2 89800
2134 50250 56112.9 2 100500
2136 62660 68314.8 2 125320
2138 74480 81064.0 2 148960
2140 88230 97809.9 2 176460
2142 108430 120768.0 2 216860
2144 134510 1 134510
21SS
Sumas: 534588.2 1076.040 + 534588.2 1610628.2
33
3
m8.19208816142016142013451013451033.1
m1.10737522.161062832
V2
xV
Volúmen total:
26691.3 + 1073752.1 + 192088.8 = 1292532.2 m3
VOLUMENES POR SECCIONES TRANSVERSALES
La determinación del volúmen de corte y/o relleno en los trabajos de explanación de una carretera es posible calcularlos si se tiene las secciones transversales de los puntos de estacado, los casos que se presentan.
D
C1
C2
21C CC2D
V
AMBOS PERFILES EN
CORTE COMPLETO
AMBOS PERFILES EN
RELLENO COMPLETO
D
R1
R2
21R RR2D
V
D
C1
C2
R2
R1
AMBOS PERFILES A MEDIA
LADERA CON
CORRESPONDENCIA DE AREAS
21R
21C
RR2D
V
CC2D
V
UNO DE LOS PERFILES EN
CORTE COMPLETO Y EL OTRO
EN RELLENO COMPLETO
DR
C
RCR
2D
V
RCC
2D
V
2
R
2
C
Como se podrá observar, las fórmulas anteriormente indicadas tienen
su fundamento en la fórmula de la superficie terminal ( o área media)
y que suficiente aproximación para la precisión requerida en los
trabajos de exploraciones de carreteras o canales.