agradecimientos - uam.es · contables horas de trabajo. ... tal y como hoy lo conocemos, datan de...

Agradecimientos

Durante estos anos son muchas las personas e instituciones que han participado en este trabajoy a quienes quiero expresar mi gratitud por el apoyo y la confianza que me han prestado de formadesinteresada.

En primer lugar quiero agradecer al Departamento de Ingenierıa Matematica de la Universidadde Chile y al Centro de Modelamiento Matematico por su acogida y el apoyo recibido durantelos largos y fructıferos periodos que he desarrollado en ellos mi labor investigadora.

Debo un especial reconocimiento a la Comunidad Autonoma de Madrid por la confianza quemostraron en mı al concederme una beca FPI con la cual fue posible aventurame en esta travesıa.Ademas agradezco a la Republica de Chile, a traves del CONICYT y del MECESUP, y a la UnionEuropea, a traves del Programa ALFA y del TRN “HYKE”, que me han facilitado la movilidadnecesaria para desarrollar mi labor investigadora.

Tambien me complace agradecer la acogida, el apoyo y los medios recibidos en los distintoscentros donde he desarrollado parte de mi Doctorado; el Departamento de Matematica Aplicadade la Universidad Complutense de Madrid y el Departamento de Matematica de la Universidadde Autonoma de Madrid. Asimismo, recuerdo con gratitud los meses pasados en el Centre deMathematiques Appliquees de la Ecole Polytechnique.

No puedo olvidar a mis companeros y amigos con los cuales he compartido despacho e in-contables horas de trabajo. Gracias por los buenos y malos momentos, por aguantarme y porescucharme.

Gracias Julio, Cristina, Claudio, Javiera y Alejo por abrirme vuestro hogar y sentirme comosi estuviera entre mi propia familia. Gracias Ademir por tus caipirinas y por tu humor. GraciasCesar por tu amistad y ayuda que no tiene precio.

Un sincero agradecimiento a mis Directores, Carlos Conca y Enrique Zuazua, por todo eltiempo que me han dado, por sus sugerencias e ideas de las que tanto provecho he sacado, por elrespaldo y la amistad.

Todo esto nunca hubiera sido posible sin el amparo incondicional de mi familia, mis padresy mis hermanos, sin el amor de Analıa y sin el estımulo de Gonzalo y Nahuel. Esto es tambienvuestro premio.

Indice general

Resumen. Abstract 1

1. Introduccion General 31.1. Motivacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Contenido de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Homogeneizacion de Operadores Elıpticos Periodicos por Analisis deBloch 11

2. Homogeneizacion y analisis de Bloch 132.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Un ejemplo de homogeneizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2. Presentacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Metodo de escalas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1. Desarrollo asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Primer corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Ondas de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2. Descomposicion de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.3. Regularidad de autovectores y autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.4. Algunas estimaciones de los autovalores y autofunciones . . . . . . . . . . . 30

2.4. Un resultado fundamental de homogeneizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.1. Ondas de Bloch a escala ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2. Estimaciones de los modos superiores de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.3. Convergencia del primer modo de Bloch a Fourier . . . . . . . . . . . . . . 422.4.4. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5. Presentacion de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.1. Aproximacion de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.2. Descripcion de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Aproximacion de Bloch en homogeneizacion 573.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.1. Survey of the previous results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.2. Presentation of new results: The Bloch approximation . . . . . . . . . . . . 66

i

3.2. Fundamental lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3. Higher Bloch modes are negligible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4. Taylor expansion of the first Bloch eigenvalue and eigenvector . . . . . . . . . . . . 78

3.4.1. First order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4.2. Second order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.3. Third order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.4. Fourth order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5. Convergence of the first Bloch transform to Fourier transform . . . . . . . . . . . . 813.6. Proof of the main convergence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6.1. No concentration of energy at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.6.2. Corrector result in RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6.3. Asymptotic expansion of the Bloch approximation . . . . . . . . . . . . . . 90

4. Aproximacion de Bloch en dominios acotados 954.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2. Survey of previous results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3. Presentation of new results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4. Preliminary lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.5. Asymptotic expansion of the modified Bloch approximation . . . . . . . . . . . . . 1084.6. First order correctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5. Analisis de Bloch. Los desarrollos asintoticos en homogeneizacion 1155.1. Desarrollo asintotico por Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2. Aproximacion de Bloch de orden k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.1. Los modos superiores de Bloch son despreciables . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2.2. Estimacion fuera de un entorno de ξ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.2.3. Identificacion de los terminos de la expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.4. Demostracion de Teorema 5.1. Primera Parte . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3. Desarrollo asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.3.1. Demostracion del Teorema 5.1. Segunda Parte . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3.2. Las expansiones de la aproximacion de Bloch de orden k . . . . . . . . . . . 125

II Homogeneizacion Numerica mediante Analisis de Bloch 129

6. Homogeneizacion Numerica: El problema y resultados 1316.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2. El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.4. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7. Aproximacion en diferencias finitas de problemas de homogeneizacion paraecuaciones elıpticas 1457.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.2. Presentation of the problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.2.1. Homogenization problem with periodic boundary conditions . . . . . . . . . 150

7.2.2. The finite-difference scheme for elliptic PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2.3. Main results in numerical homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.3. Homogenization of the continuous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.3.1. Bloch wave decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.3.2. Homogenization results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.4. Discrete Bloch waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.4.1. Bloch decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.4.2. Properties of Bloch waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.5. Homogenization via discrete Bloch waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.5.1. Estimates on higher order Bloch modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.5.2. First Bloch mode and the discrete Fourier decomposition . . . . . . . . . . 1747.5.3. Numerical homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5.4. Convergence estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.6. Diophantine approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.7. The one-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.8. Properties of Bloch waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.8.1. Properties of Bloch eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.8.2. Regularity of the first Bloch eigenvalue and eigenvector . . . . . . . . . . . 1917.8.3. Derivatives of the first Bloch eigenvalue and eigenvector . . . . . . . . . . . 1927.8.4. Properties of the first Bloch eigenvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

III Expansion Asintotica de un Problema de Evolucion con CoeficientesPeriodicos 203

8. Analisis de Bloch en problemas de evolucion 2058.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.2. Presentacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.3. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9. Expansion asintotica de una ecuacion de ondas dispersiva con coeficientesperiodicos 2139.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.1.1. Setting of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.1.2. Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.2. Bloch wave decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3. Asymptotic expansion when ρ ≡ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.3.1. Bloch component of u with exponential decay . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.3.2. Bloch component of u with polynomial decay . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.4. Proof of the general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.5. Analysis of the periodic functions and constants entering in the asymptotic expansion238

Conclusiones 241

Apendices 245

A. Comportamiento de integrales oscilatorias 245A.1. Estimaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.2. Paso al lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250A.3. Comportamiento asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

B. Derivadas del primer autovalor y autofuncion de Bloch 257B.1. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257B.2. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

B.2.1. Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269B.2.2. Caso multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Bibliografıa 276

RESUMEN. El objetivo de esta tesis es el estudio de algunos problemas de homogeneizacion. Enparticular, en esta tesis se presentan algunos resultados sobre tres temas: la homogeneizacion deecuaciones elıpticas en medios con estructura periodica rapidamente oscilante, el estudio de lasaproximaciones en diferencias finitas de ecuaciones elıpticas de coeficientes fuertemente oscilantesy el comportamiento asintotico a tiempos grandes de las soluciones de ecuaciones hiperbolicas enmedios de estructura periodicas.

ABSTRACT. The objective of this memory is to study some problems of the homogenizationtheory. In particular, in this work we show some results about the following three problems:the homogenization of elliptic equations with periodically oscillating coefficients, the numericalanalysis in finite differences of homogenization problems and the asymptotic behavior of thesolution of hyperbolic equations with periodic coefficients.

Capıtulo 1

Introduccion General

1.1. Motivacion general

En la Mecanica, Fısica, Quımica e Ingenierıa, es frecuente encontrarse con fenomenos modeli-zados mediante Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) en medios con estructura periodica (ma-teriales compuestos, cristales, polımeros, materiales perforados, medios dispersivos, etc.). Cuandoel periodo de la estructura es pequeno comparado con el tamano de la region en consideracion, elestudio de algunas propiedades de estos medios (su temperatura, deformaciones, desplazamientos,etc.) es susceptible de ser abordado en el contexto de la Teorıa de la Homogeneizacion.

Se conoce por el nombre de homogeneizacion al conjunto de tecnicas matematicas que per-miten sustituir un medio heterogeneo por uno homogeneo equivalente. El uso de estas tecnicasse justifica por el deseo de obtener informacion de caracter global sobre medios de naturalezafuertemente heterogenea. Es decir, la homogeneizacion hace referencia al proceso de obtencion deleyes de comportamiento macroscopicas en funcion de informaciones microscopicas. Este procesoencuentra su justificacion en razonamientos de convergencia debil, desarrollos asintoticos,...

Los primeros trabajos matematicos donde el problema de homogeneizacion se formula demanera precisa, tal y como hoy lo conocemos, datan de principios de la decada de los 70. Sondiversos los autores que han de ser citados como impulsores de esta disciplina: I. Babuska, N. S.Bakbalov, E. de Giorgi, J.-L. Lions, O.A. Oleinik, G. Papanicolaou, E. Sanchez-Palencia, S.Spagnolo, ... En la bibliografıa citamos algunos de sus resultados mas relevantes. En particular,Sanchez-Palencia en [90] formula la cuestion como un problema asintotico dependiente de unpequeno parametro (que representa la talla de la microestructura) y a su resolucion mediantetecnicas asintoticas.

Durante los ultimos 30 anos el estudio de los problemas de homogeneizacion ha sido muyprofundo y fructıfero. Los siguientes libros monograficos recogen buena parte de los avances real-izados en el campo: Bensoussan, Lions y Papanicolaou, [16]; Sanchez-Palencia, [91]; J.-L. Lions,[64]; Sanchez-Hubert y Sanchez-Palencia, [89]; Bakhvalov y Panasenko, [13]; Oleinik, Shamaevy Yosifian, [78]; Dal Maso, [40]; Jikov, Kozlov y Oleınik, [62]; Bendsøe, [15]; Cioranescu y SaintJean Paulin, [28]; Cioranescu y Donato, [27]; Allaire, [3];...

3

4 CAPITULO 1. INTRODUCCION GENERAL

Figura 1.1: Ejemplo de estructura periodica: un cristal fotonico.

En esta tesis solo consideraremos el caso de coeficientes periodicos oscilantes. Existe, sobreeste tema, una literatura muy extensa. En [16] se puede encontrar una buena introduccion yabundantes referencias adicionales. Notese que la homogeneizacion no se restringe solamenteal caso de operadores periodicos oscilantes. Ademas, estas mismas cuestiones se plantean paraproblemas de evolucion.

El primer problema que vamos a estudiar esta asociado a una familia de operadores elıpticosde segundo orden Aε, dependientes de la escala microscopica ε, cuyos coeficientes son periodicoscon un periodo del orden de dicha escala. Dada una fuerza externa f consideramos por tanto laecuacion elıptica

Aεuε = f en Ω,

junto con condiciones de contorno apropiadas. Esta ecuacion elıptica describe las configuracionesde equilıbrio de un problema de evolucion en el que el estado uε puede representar deformaciones,temperaturas, etc.

El metodo de homogeneizacion nos conduce, en el lımite cuando ε→ 0, a una ley macroscopica

A∗u∗ = f en Ω,

junto con condiciones de contorno convenientes, donde el operador A∗ es de coeficientes constan-tes. Esta ley macroscopica determina de manera unica el estado asintotico u∗ que se denominahomogeneizado. Se prueba de este modo que uε, cuando ε → 0, converge, en una topologıaadecuada, a u∗.

Es habitual que la convergencia de uε a u∗ tenga lugar en un sentido debil. Ası, aparece deforma natural el problema de encontrar los terminos correctores de la solucion homogeneizadau∗, es decir, hallar alguna funcion ωε

1, distinta de uε − u∗, y facilmente computable tal que

uε − u∗ − ωε1 → 0,

1.1. MOTIVACION GENERAL 5

en algun sentido que mejore la convergencia que ya tenemos. A ωε1 se le llama primer corrector de

la solucion homogeneizada u∗, siguiendo la terminologıa clasica de [16], pag 49. Esta definicionse puede generalizar. De este modo, diremos que wε

m ∈ V es el corrector de orden m o m-esimocorrector, si satisface

‖uε − u∗ − ωε1 − · · · − ωε

m‖V ≤ cεm−1,

siendo ‖ · ‖V la norma natural adaptada al problema en consideracion.

El objetivo fundamental de la teorıa de la homogeneizacion es desarrollar este programa dandoası respuestas a las siguiente cuestiones:

Caracterizacion del problema homogeneizado lımite, i.e. caracterizacion de las propiedadesefectivas del medio homogeneizado o, en otras palabras, de los coeficientes de A∗ y de lascondiciones de contorno que el estado lımite u∗ satisface.

Analisis riguroso del sentido o topologıa en el que se produce la convergencia de uε a u∗.

Calculo de los terminos correctores y analisis riguroso de la convergencia de estos terminosa uε.

Utilizacion de estos resultados analıticos para el desarrollo de metodos numericos de bajocoste computacional y eficientes para el calculo de la solucion uε en el medio fuertementeheterogeneo.

Uno de los objetivos de esta tesis es analizar estas cuestiones desarrollando y profundizandolos metodos basados en las ondas de Bloch ya descritos en [16] y retomados mas recientementepor Conca y Vanninathan en [36], entre otros.

Vamos a considerar dos casos: cuando la frontera de Ω es no vacıa y cuando lo es, i.e.,Ω = RN . En el primer caso, la frontera influye de forma significativa en las estimaciones. Enparticular, para el problema con condiciones Dirichlet en un dominio Ω acotado, despreciandoel efecto de la frontera solo se logra una aproximacion de orden 0 en la norma de H1

0 (Ω). Estees el resultado clasico del primer corrector de [16].1 Para lograr una estimacion de orden ε en lanorma de H1

0 (Ω) es preciso encontrar una funcion cuya energıa se concentra en el borde y paraello se ha de trabajar en dominios de geometrıas adecuadas, por ejemplo, el semiespacio, dominiosrectangulares, esfericos, (ver [73] y [8] para algunos de estos ejemplos). En el segundo caso, elcual incluye el dominio Ω = RN o cuando se satisfacen condiciones de contorno periodicas,la aproximacion macroscopica obtenida a partir de metodos de homogeneizacion nos da unaestimacion de orden ε en la seminorma de H1 (ver [11] y [13]).

En este trabajo vamos a obtener, por un lado, el resultado clasico del primer corrector para undominio acotado mediante una tecnica distinta: las ondas de Bloch. Por otra parte, en los casosen que no existe frontera, procedemos a calcular los sucesivos terminos del desarrollo asintoticode uε y, tambien a estimar su diferencia con respecto a uε. Observamos un fenomeno interesante.Para poder probar estas estimaciones, necesitamos bajar la regularidad del espacio segun vamosobteniendo mas terminos del desarrollo. Ası, en la norma de H1 se obtiene una estimacion de

1En el Capıtulo 2 Seccion 2.3.2 presentamos este resultado de [16].


orden ε, en L2 una estimacion de orden ε2, en H−1 de orden ε3,... Se trata efectivamente de unfenomeno que no se habıa observado anteriormente. Por ejemplo, es bien sabido que esto no esindispensable en el marco del comportamiento asintotico de ecuaciones del tipo parabolico (ver[84] y [81]) puesto que el efecto regularizante permite realizar aproximaciones de orden arbitrarioen L2.

La herramienta principal que nosotros vamos a utilizar en la parte de esta memorıa dedicadaa la homogeneizacion, es la descomposicion mediante ondas de Bloch. Las ondas de Bloch son unafamilia de autofunciones asociadas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periodicosque permiten una descomposicion adecuada de L2(RN ). Estas ondas fueron introducidas por elfısico F. Bloch, [17], en el estudio del movimiento de un electron en un solido cristalino, y masconcretamente, en el analisis espectral de la ecuacion de Schrodinger con potencial periodico. Enuna dimension, es decir, en el contexto de las ecuaciones diferenciales ordinarias, este tipo deproblemas en medios periodicos ya fueron estudiados previamente por Floquet en [52].2

El origen de la utilizacion del analisis de Bloch en homogeneizacion es mas reciente. En [16] sehace una recopilacion de algunos resultados de descomposicion por ondas de Bloch y se conjeturaacerca de su utilidad. Pero es en los ultimos anos donde se produce una amplia e intensa utilizacionde esta tecnica en homogeneizacion: Aguirre y Conca, [1]; Santosa y Symes, [92]; Gerard, [55];Allaire y Conca, [6] y [7]; Conca y Vanninathan, [36] y [37]; Bratteli, Jørgensen y Robinson, [19];Ortega y Zuazua, [84];...

La transformacion de Bloch (adaptacion de las series y transformadas de Fourier a proble-mas lineales periodicos), basada en estas ondas, transforma las ecuaciones diferenciales en unmedio periodico en una familia de ecuaciones algebraicas. Cuando la talla de la microestructuratiende a cero no es difıcil observar formalmente que el lımite de estas ecuaciones algebraicas esprecisamente una ecuacion algebraica facilmente interpretable en terminos de la transformada deFourier y que permite deducir las propiedades del medio homogeneo. La prueba rigurosa de estehecho es sin embargo compleja (vease [36]). Buena parte de esta tesis esta dedicada a desarrollarestas ideas y adaptarlas a diversas situaciones relevantes en el contexto de la homogeneizacion.

Otra parte importante de la tesis esta dedicada al problema de la aproximacion numerica de lasolucion uε. Una de las tendencias mas clasicas consiste en utilizar la teorıa de la homogeneizacionpara evitar el calculo numerico de uε (por costoso y complejo) y sustituirlo por el calculo mumericode la solucion homogeneizada u∗. En la medida que el problema homogeneizado es de coeficientesconstantes, esto permite utilizar los metodos clasicos y las estimaciones del error habituales. Peroeste punto de vista conduce a metodos de bajo orden de convergencia pues nunca se consigueaproximar uε mas alla de la aproximacion que u∗ proporciona y que, a pesar de ser buena, a ε > 0fijo permanece a una distancia finita.

En los ultimos anos, se ha producido un cambio en la orientacion y se busca directamentemetodos numericos que permitan calcular la solucion del problema oscilante con ε > 0. Ejemplosde ello son los siguientes artıculos: Engquist y Luo, [51]; Dorobantu y Engquist, [42]; Hou, Wuy Cai, [60]; Matache, Babuska y Schwab, [65]; Conca, Natesan y Vanninathan, [31]; Piatnitski y

2En [45] puede encontrarse un extenso tratado sobre ecuaciones diferenciales ordinarias con estructura periodica.

1.1. MOTIVACION GENERAL 7

Remy, [85]; Cao, Cui y Zhu, [22], Efendiev y Wu, [46];... Puede decirse que se trata de metodosmixtos puesto que combinan los resultados clasicos del Analisis Numerico junto con tecnicaspropias de EDP en medios altamente heterogeneos.

Estos nuevos metodos han venido precedidos de otros trabajos (Engquist y Hou, [49]; Avel-laneda, Hou y Papanicolaou, [10]; Engquist y Liu, [50]; Babuska y Osborn, [12], etc.) en loscuales se muestra que aproximaciones estandar (elementos finitos, diferencias finitas) convergenmuy lentamente o incluso ni siquiera convergen o producen singularidades a causa de fenomenosde resonancia entre la microestructura y el mallado numerico.

En particular, en [10] se estudia la validez de las aproximaciones en diferencias finitas deecuaciones elıpticas de segundo orden con coeficientes muy oscilantes. Mas concretamente, seanaliza si la aproximacion uε

h tiende a u∗ cuando la escala microscopica ε y el tamano de lamalla h tienden a cero. Cuando esto ocurre se dice que se produce la homogeneizacion numerica.Utilizando resultados de Teorıa Ergodia en [10] se prueba que si la relacion entre h y ε es irracional,uε

h converge a u∗ en el caso unidimensional. En varias dimensiones se observa la necesidad decondiciones adicionales para que se de esta convergencia, en particular, que las componentes dela razon entre h y ε sean numeros irracionales muy proximos a un numero entero. Sin embargo,conviene senalar que, desde un punto de vista computacional, el caso en el que la razon entre hy ε es irracional no es realmente relevante debido a su mayor coste y que es mas conveniente larelacion entre h y ε sea racional.

Nosotros nos planteamos el mismo problema desde un punto de vista distinto con el objeto deaportar algo mas de luz sobre este tipo de resultados de homogeneizacion numerica. Consideramosel caso en que la razon entre ε y h es un numero racional y estudiamos el lımite de uε

h. Observamosque este lımite u∗h/ε depende de la razon entre h y ε, producto de la resonancia entre el medioperiodico y el mallado. Ademas, estimamos la diferencia entre u∗h/ε y u∗.

En nuestro trabajo tambien diferenciamos entre el caso unidimensional y el multidimensional.En el primero, gracias a las formulas explıcitas de uε

h, obtenemos estimaciones explıcitas del errorque dependen de h y del denominador de la razon entre h y ε. Sin embargo, en varias dimensiones,utilizamos una descomposicion por ondas de Bloch adecuadas al problema discreto que tambienes valida para el caso unidimensional (si bien innecesaria). Esta descomposicion nos permite pasaral lımite uε

h. Nuestro analisis por ondas de Bloch, mucho mas preciso que el desarrollado en [10],permite obtener cotas explıcitas del error entre u∗ y uε

h. Ademas estos resultados junto a la teorıadiofantica clasica permiten recuperar los resultados obtenidos en [10] mediante teorıa ergodica,pero siempre con estimaciones precisas sobre tasas de convergencia.

La ultima parte de esta tesis esta dedicada al estudio del comportamiento asintotico de lassoluciones de una ecuacion de ondas en un medio periodico con amortiguamiento. Un ejemplo deeste tipo de ecuaciones es

utt + ut −Au = 0 en RN ,

donde A es un operador elıptico de segundo orden en forma de divergencia cuyos coeficientes sonperiodicos.

Es bien conocido que las soluciones de ecuaciones de ondas con amortiguamiento se comportancomo la gaussiana. En efecto, sea v la solucion de

vtt + vt −∆v = 0 en RN ,


con datos iniciales v(x, 0) = v0 and vt(x, 0) = v1. Consideremos la siguiente familia de funcionesre-escaladas

vλ = λNv(λx, λ2t) λ > 0,

que satisfacen la siguiente ecuacion

λ−2vλ,tt + vλ,t −∆vλ = 0 en RN .

Bajo unas ciertas condiciones de regularidad para las soluciones v, al pasar al lımite λ→∞ en laecuacion para vλ, se observa que, en la ecuacion, de vλ las segundas derivadas en tiempo se van adespreciar. Por lo tanto, si llamamos w al lımite de la familia vλ, este va a satisfacer la siguienteecuacion

wt −∆w = 0 en RN .

Por otra parte, cuando trabajamos con un operador A de coeficentes no constantes, el cambiode escala utilizado afecta tambien al operador. En particular, la funcion uλ = λNu(λx, λ2t) conλ > 0, satisface la ecuacion

λ−2uλ,tt + uλ,t −Aλuλ = 0 en RN ,

Al pasar al lımite λ → ∞ no solamente va a afectar a las segundas derivadas en tiempo, sino aloperador Aλ. Existen resultados en esta direccion. Para el caso unidimensional con coeficientesque tiende en el infinito a dos constantes positivas se tiene, por ejemplo, el trabajo de T. Gallayy G. Raugel [53]. Para el caso de operadores de coeficientes periodicos existen resultados en elcaso de la ecuacion del calor; G. Duro y E. Zuazua [44], y J.H. Ortega y E. Zuazua [84].

En esta tesis vamos a hacer un estudio completo para todo tipo de orden del comportamientoasintotico de las ecuaciones hiperbolicas disipativas con coeficientes periodicos siguiendo las ideasde [84].

1.2. Contenido de la tesis

Esta tesis la hemos dividido en tres partes. La primera es sobre problemas de homogeneizacionasociados a operadores elıpticos en forma de divergencia con coeficientes fuertemente oscilantes.La segunda corresponde con analizar la discretizacion en diferencias finitas de las soluciones de losanteriores operadores. Por ultimo, en la tercera parte estudiamos el comportamiento asintoticode las soluciones de las ecuaciones hiperbolicas disipativas con coeficientes periodicos.

La primera parte esta formada por cuatro capıtulos. En el Capıtulo 2 describimos la formu-lacion matematica del problema de homogeneizacion, definimos las ondas de Bloch, obtenemoslas propiedades y estimaciones basicas necesarias para nuestro analisis, recuperamos el resultadoclasico de homogeneizacion y, por ultimo, presentamos los resultados novedosos de esta tesis. Estecapıtulo es una recopilacion de resultados ya existentes presentados en [16] y [36] junto con otrospropios de esta Tesis Doctoral presentados en [32].

Los Capıtulos 3 y 4 presentamos literalmente los artıculos [32] y [33] donde estudiamos laaproximacion de Bloch en todo el espacio y en dominios acotados, respectivamente. En el Capıtu-lo 5 probamos nuevos resultados que generalizan los del Capıtulo 3.

1.2. CONTENIDO DE LA TESIS 9

Esta parte se complementa con el Apendice A, donde hacemos un analisis de integrales os-cilantes del tipo de las ondas de Bloch, y en el Apendice B, donde realizamos el calculo de losterminos del desarrollo de Taylor de la primera autofuncion y del primer autovalor de Bloch.

El orden que seguimos en la presentacion de los contenidos de esta Parte I es: En primer lugar,definimos una funcion, la aproximacion de Bloch θε, que permite una mejor aproximacion de uε

que el clasico primer termino corrector. En particular, en la Capıtulo 3 probamos estimacionesde orden ε en la norma de la energıa cuando no tenemos en cuenta los efectos de la frontera. Acontinuacion, procedemos a recuperar el resultado clasico del primer corrector de la solucion deun problema Dirichlet en un dominio acotado a partir de la aproximacion de Bloch (Capıtulo 4).Por ultimo, concluımos el capıtulo calculando un desarrollo asintotico completo de la solucionuε en el dominio de todo RN . En particular, estimamos la diferencia entre la expansion y uε

(Capıtulo 5).

En la Parte II de la tesis estudiamos el lımite de las aproximaciones en diferencias finitas deecuaciones elıpticas con coeficientes periodicos fuertemente oscilantes. En el Capıtulo 6 presen-tamos el problema y los resultados, y en el Capıtulo 7 se tiene la prepublicacion de este analisisrealizado conjuntamente con E. Zuazua.

Dentro del Capıtulo 7, la Seccion 7.7 estudiamos el caso unidimensional. El problema envarias dimensiones se aborda en un espacio de Bloch discreto adecuado (ver Seccion 7.4) queconstruımos y analizamos en profundidad. Gracias al analisis en ondas de Bloch se da una nuevaversion mas precisa de los resultados de [10] que permiten cuantificar la tasa de convergencia y loserrores producidos por la aproximacion numerica. La metodologıa que seguimos para determinarel lımite de uε

h y estimar su convergencia son los mismos que seguimos en el problema continuo(Capıtulo 2) y esta desarrollada en la Seccion 7.5.

Esta parte se complementa con el Apendice B donde realizamos el calculo de los terminos deldesarrollo de Taylor de la primera autofuncion y del primer autovalor de Bloch discreto.

Por ultimo, la Parte III de la tesis la dividimos en el Capıtulo 8 donde presentamos el problemay los resultados y en el Capıtulo 8 donde se encuentra de forma literal el artıculo [81].

Parte I

Homogeneizacion de OperadoresElıpticos Periodicos por Analisis de

Bloch

11

Capıtulo 2

Homogeneizacion y analisis de Bloch

2.1. Motivacion

La homogeneizacion es un proceso, de inspiracion Fısica, de derivacion de leyes de compor-tamiento macroscopicas en funcion de informaciones microscopicas. Este proceso encuentra sujustificacion en razonamientos de convergencia debil de operadores dependientes de un pequenoparametro.

Un ejemplo tıpico de problema de homogeneizacion es el del comportamiento de las solucionesde problemas de contorno elıpticos de coeficientes periodicos de periodo ε > 0 que surge, porejemplo, en el estudio de un medio elastico con un gran numero de heterogeneidades.

El problema matematico que describe estos modelos y estudiaremos en parte de esta memoriase expresa de la siguiente manera: Consideramos una familia de operadores elıpticos de segundoorden Aε (con coeficientes oscilantes de periodo proporcional a ε) y una familia de soluciones uε

las cuales, para una funcion f , satisfacen

Aεuε = f en Ω ⊆ RN , (2.1)

junto con condiciones de contorno adecuadas sobre ∂Ω. El problema que nos ocupa es el compor-tamiento de uε cuando ε→ 0.

El primer resultado que se conoce es la existencia de un operador elıptico de segundo ordenA∗ tal que uε converge a u∗ (en una topologıa apropiada) donde u∗ es la solucion de

A∗u∗ = f en Ω ⊆ RN , (2.2)

junto con las condiciones de contorno correspondientes. El operador A∗ se llama operador homo-geneizado de la familia Aε y representa las propiedades efectivas del medio homogeneizado.

Existen diversas tecnicas que permiten abordar la homogeneizacion. Entre las mas clasicastenemos: las expansiones asintoticas, vease [16] y [90]; la Γ-convergencia, vease [39] y [40]; la

13

14 CAPITULO 2. HOMOGENEIZACION Y ANALISIS DE BLOCH

H-convergencia de Murat y Tartar, vease [72]; la G-convergencia de Spagnolo, vease [95]; y losmetodos probabilısticos, vease [16] y [62].

En los ultimos anos se ha realizado un avance sustancial en el estudio de la homogeneizacionmediante otros metodos funcionales: la convergencia a dos escalas de Allaire y Nguetseng, vease[2] y [74]; aproximaciones analıticas mediante analisis de Fourier de Babuska, vease [68] y [69];las medidas de Wigner, vease [55] y [56]; y el analisis de Bloch de Conca y Vanninathan, vease[36].

Como podemos notar, existe una literatura muy extensa sobre este tema. De entre toda ellaqueremos resaltar el libro de Bensoussan, Lions y Papanicolaou [16] y el trabajo de Conca yVanninathan [36] que seran las referencias en que mas nos inspiraremos en esta memoria. Enellas se pueden encontrar una buena introduccion al tema y abundantes referencias adicionales.

2.1.1. Un ejemplo de homogeneizacion

Para fijar ideas, vamos a estudiar un problema unidimensional.1 Consideramos una funciona, tal que

a ∈ L∞(R), a es 2π-periodica,a(y) ≥ α > 0 p.c.t. y ∈ R.

Examinamos la familia de ecuaciones diferenciales con condiciones de borde Dirichlet con respectoal parametro ε > 0,

−∂x

(aε(x)∂xu

ε)

= f en (0, L),uε(0) = uε(L) = 0,

(2.3)

donde aε(x) = a(x/ε) y f ∈ L2(0, L). La formulacion variacional para uε ∈ H10 (0, L) es∫ L

0aε∂xu

ε∂xvdx =∫ L

0fvdx, ∀v ∈ H1

0 (0, L). (2.4)

Tomando v = uε en (2.4) se ve inmediatamente que

‖uε‖H1(0,L) ≤ c ‖f‖L2(0,L). (2.5)

Por lo tanto, se puede extraer una subsucesion, tambien denotada uε, tal que

uε u en H10 (0, L) debilmente, cuando ε→ 0. (2.6)

Por otra parte, por la convergencia debil estrella en L∞(0, L) (debil-∗)2 se tiene

aε M(a) =12π

∫ 2π

0a(y)dy en L∞(0, L) debil-∗. (2.7)

De (2.6) y (2.7), se podrıa pensar que el lımite de la ecuacion (2.3) es−∂x

(M(a)∂xu

)= f en (0, L),

u(0) = u(L) = 0,(2.8)

1El analisis de este problema puede encontrarse en [16], pag. 8–10.2En general, si gn, g ∈ L∞(Ω), gn → g en L∞(Ω) debil-∗ significa que

∫Ω

gnφdx →∫Ω

gφdx, para todo φ ∈ L1(Ω),

(ver [20], pag. 39).

2.1. MOTIVACION 15

Sin embargo, esto no es ası. Para dar con la respuesta correcta argumentamos de la manerasiguiente. Introducimos la funcion σε = aε∂xu

ε. Como los coeficientes aε estan dentro de unconjunto acotado de L∞(0, L), de (2.5) se deduce que σε esta acotada en L2(0, L). Ademas, por(2.3) tenemos

−∂xσε = f ∈ L2(0, L).

Por lo tanto, σε esta acotada en H1(0, L). Como la inyeccion de H1(0, L) en L2(0, L) es compacta(ver [20] pag. 129), existe una funcion σ tal que una subsucesion de σε converge fuerte a σ enL2(0, L). Ası,

1aεσε M(

1a)σ en L2(0, L) debil (2.9)

(ya que 1/aε converge a M(1/a) en L∞(0, L) debil-∗). Dado que

1aεσε = ∂xu

ε

entonces, por (2.6) y (2.9),

∂xu = M(

1a

)σ.

Por otro lado, (2.9) garantiza que −∂xσ = f , con lo cual

−∂x

(1

M( 1a)∂xu

)= f. (2.10)

El paso al lımite de (2.3) a (2.10) se conoce como el proceso de homogeneizacion. El operadorlımite se denomina operador homogeneizado

1M( 1

a)∂2

x = A∗,

y a la constante multiplicativa que acompana a ∂2x se le llama coeficiente homogeneizado. Notemos

que, salvo que el coeficiente a sea constante,

M(a) 6= 1M( 1

a).

El ejemplo que se acaba de desarrollar es tambien el mas simple en el contexto de la compacidadpor compensacion, [70].

2.1.2. Presentacion del problema

El problema de homogeneizacion que estudiamos esta asociado a la familia de operadores

Aε = − ∂

∂xk

(aε

k`(x)∂

∂x`

)+ aε

0(x), (2.11)


Figura 2.1: Ejemplo de estructura periodica: un bloque tridimensional de un cristal fotonico com-puesto de cavidades cubicas de aire separadas por finas placas dielectricas.

con aεk`(x) = ak`

(xε

), donde los coeficientes ak` para k, ` desde 1 hasta N , satisfacen

akl ∈ L∞# (Y ) donde Y =]0, 2π[N , es decir, akl es Y -periodica,medible y esencialmente acotado en RN ,

∃α > 0 tal queN∑

k,`=1

akl(y)ηkηl ≥ α|η|2, ∀η ∈ CN , p.c.t. y ∈ Y (elipticidad),

akl = alk ∀l, k = 1, ..., N (simetrıa),

(2.12)

y a0 satisface a0 ∈ L∞(R), a es Y -periodica,a0(y) ≥ α > 0 p.c.t. y ∈ Y. (2.13)

Por las propiedades de los coeficientes (2.12) y (2.13), la familia de operadores Aε es uniforme-mente elıptica con respecto a ε.3

La teorıa de la homogeneizacion garantiza la existencia de un operador homogeneizado A∗ decoeficientes constantes

A∗ = − ∂

∂xk

(a∗k`

∂

∂x`

)+ a∗0. (2.14)

Las constantes de (2.14) se conocen como coeficientes homogeneizados o efectivos y pueden ser

3La condicion de que a0 este acotada inferiormente por una constante positiva es suficiente para que la formabilineal asociada sea coercitiva en H1(RN ), si bien, en la practica, es frecuente que esta condicion puede serconsiderablemente debilitada. En particular, cuando se trabaja en un dominio acotado puede suponerse que a0 ≡ 0.

2.2. METODO DE ESCALAS MULTIPLES 17

calculados explıcitamente (vease en [16]):

a∗0 = M(a0) =1|Y |

∫Y

a0(y) dy, (2.15)

a∗k` =1|Y |

∫Y

(ak` − akm∂χ`

∂ym)dy, (2.16)

donde χk es la solucion del problema auxiliarAχk = ∂ak`

∂y`en RN ,

χk ∈ H1#(Y ), M(χk) = 0.

(2.17)

La forma de los coeficientes homogeneizados (2.16) merece ser analizada con atencion. Comoya hemos visto en el caso escalar

aεk`(x)

∂uε

∂x`6→ M(ak`)

∂u

∂x`.

Es decir, los coeficientes homogeneizados no son la media de los coeficientes, como cabrıa esperaren una primera aproximacion al problema. En particular, se tiene que el lımite del tensor deesfuerzos satisface

aεk`(x)

∂uε

∂x`→ a∗k`

∂u

∂x`.

Dado que los coeficientes homogeneizados se definen por (2.16), el termino M(akm∂mχk) que

interviene en la definicion de a∗k` aparece como un “corrector” en el lımite del tensor de esfuerzos.Por otro lado, es conocido de [16], pag. 18, que la matriz a∗k` es simetrica definida positiva:

a∗k`ξkξ` ≥ α|ξ|2 ∀ξ ∈ RN ,

donde α > 0 es la misma constante que en (2.12).Uno de los objetivos de este capıtulo es desarrollar los resultados del artıculo de Conca y

Vanninathan [36] con vista a encontrar el operador homogeneizado utilizando la descomposicionpor ondas de Bloch.

2.2. Metodo de escalas multiples

En esta seccion repasamos el metodo clasico de homogeneizacion por escalas multiples dellibro [16]. Este metodo nos va a ayudar a comprender el significado de nuestros resultados.

En particular, presentamos el calculo formal de la expansion asintotica de uε (Capıtulo 1Seccion 2 en [16]) y la demostracion del primer corrector en un problema con condiciones decontorno de Dirichlet (Capıtulo 1, Seccion 5 en [16]).


2.2.1. Desarrollo asintotico

El metodo consiste en introducir funciones φ(x, y), x ∈ Ω, y ∈ RN , Y -periodicas en la variabley, y en asociar a φ(x, y) la funcion φ(x, x/ε).

Se busca por tanto uε que admite un desarrollo asintotico o ansatz de la forma:

uε(x) = u0(x,x

ε) + εu1(x,

x

ε) + ε2u2(x,

x

ε) + · · · , (2.18)

donde las funciones uj(x, y) son Y -periodicas en y.Se inserta (2.18) en la ecuacion (2.123) y se identifica las ecuaciones satisfechas por las fun-

ciones uj segun las potencias en ε.Esto se realiza considerando x e y como variables independientes para luego reemplazar y por

xε . Por otra parte, el operador ∂

∂xjaplicado a una funcion de la forma φ(x, x/ε) se convierte en

∂∂xj

+ ε−1 ∂∂yj

. Con esto en mente, escribimos

Aε = ε−2A1 + ε−1A2 +A3, (2.19)

donde

A1 = − ∂

∂yk

(ak`(y)

∂

∂y`

),

A2 = − ∂

∂yk

(ak`(y)

∂

∂x`

)− ∂

∂xk

(ak`(y)

∂

∂y`

), (2.20)

A3 = − ∂

∂xk

(ak`(y)

∂

∂x`

).

Usando (2.18) y (2.19), la ecuacion (2.123) se convierte en

A1u0 = 0, (2.21)A1u1 +A2u0 = 0, (2.22)A1u2 +A2u1 +A3u0 + u0 = f, (2.23)A1u3 +A2u2 +A3u1 + u1 = 0, etc. (2.24)

Observese que las ecuaciones (2.21)–(2.24) son problemas de contorno periodicos en la variable y.En el Apendice B se demuestra que admiten una unica solucion salvo constantes aditivas siemprey cuando la funcion fuente sea de media nula.4

La unica solucion Y -periodica de (2.21) es u0 que es independiente de la variable y, es decir,

u0(x, y) = u(x). (2.25)

Mas adelante se determina el valor de u. Utilizando (2.25), la ecuacion (2.22) se reduce a

A1u1 =∂ak`

∂yk(y)

∂u

∂x`(x).

4Este resultado es una consecuencia de aplicar la alternativa de Fredholm.


Definimos χ` como la unica solucion, salvo constante aditiva, deA1χ

` = ∂ak`∂yk

,

χ` Y -periodica.(2.26)

Entonces, la solucion general de (2.22) es:

u1(x, y) = χ`(y)∂u

∂x`(x) + u1(x). (2.27)

Pasemos ahora al estudio de la ecuacion (2.23). Para que u2 exista salvo una constante aditiva,ha de satisfacerse que la funcion fuente sea de media nula en la variable y, i.e.,∫

Y

(A2u1 +A3u0 + u0)dy =∫Y

f(x)dy = |Y |f(x). (2.28)

Notemos que por (2.20) y (2.27), se tiene∫Y

A2u1dy = − ∂

∂xk

∫Y

ak`(y)∂u1

∂y`dy = − ∂u

∂xk∂xj(x)∫Y

ak`∂χj

∂y`dy.

Por lo tanto, cambiando la denominacion de los subındices, (2.28) se convierte en:

− 1|Y |

∫Y

(ak` + akj∂χ`

∂yj)dy

∂u

∂xk∂x`+ u = f.

Se trata evidentemente de la ecuacion homogeneizada y, por tanto, el primer termino u es lasolucion homogeneizada, de acuerdo con los resultados de convergencia probados anteriormente.En efecto, dado que el operador A1 esta definido por (2.20), la solucion χ` de (2.26) es la misma(salvo constante aditiva) que la funcion test solucion de (B.11). Por lo tanto, tal y como definimoslos coeficientes homogeneizados en (B.4), resulta que se obtiene la ecuacion homogeneizada y que

a∗k` =1|Y |

∫Y

(ak` + akj∂χ`

∂yj)dy.

Observando (2.23), tenemos que u2 satisface

A1u2 =(ak` − a∗k` + akj

∂χ`

∂yj+

∂

∂yj(akjχ

`))

∂u

∂xk∂x`+∂ak`

∂yk

∂u1

∂x`.

Si introducimos la funcion Y -periodica χk`, unica solucion salvo constantes aditivas de

A1χk` = ak` − a∗k` + akj

∂χ`

∂yj+

∂

∂yj(akjχ

`), (2.29)

se obtiene:u2(x, y) = χk`(y)

∂u

∂xk∂x`(x) + χk(y)

∂u1

∂xk+ u2(x). (2.30)


De igual manera podemos calcular u3(x, y), . . . , en la expansion (2.18). Para que se pueda resolverla ecuacion (2.24) para u3, por la alternativa de Fredholm, es preciso que∫

Y

(A2u2 +A3u1)dy = 0.

Por un calculo explıcito, esta condicon es equivalente a

A∗u1 = M(ak`∂χij

∂y`− aijχ

k)∂3u

∂xi∂xj∂xk.

De esta manera se calcularan explıcitamente las funciones uj(y), uj(x).Notemos que las expansiones asintoticas por escalas multiples nos dan las respuestas correctas

en una primera aproximacion. Sin embargo, para justificar las formulas encontradas necesitamos,en general, de otras herramientas. Por ejemplo, para demostrar que uε converge debilmente a lasolucion de la ecuacion homogeneizada en [16], pag. 23, se utiliza el metodo de la energıa.

Uno de los objetivos de esta memoria es precisamente clarificar la validez de esta expansionasintotica, mediante tecnicas basadas en las ondas de Bloch.

2.2.2. Primer corrector

Una de las mayores dificultades esta relacionada con las condiciones de borde que en laexpansion asintotica de la anterior seccion no han sido tenidas en cuenta.

A continuacion, repasamos los resultados del primer corrector de [16]. En particular, utilizandola expansion asintotica (2.18), se calcula el primer corrector de uε solucion de

Aεuε = f en Ω,uε ∈ H1

0 (Ω),(2.31)

donde Ω ⊂ RN es un abierto y acotado y f ∈ L2(Ω). Es conocido (Teorema 2.2) que uε convergedebilmente en H1

0 (Ω) a u∗ solucion deA∗u∗ = f en Ω,u∗ ∈ H1

0 (Ω).(2.32)

Por lo tanto, por la definicion de primer corrector (2.121), se busca una funcion ωε tal que

uε − u∗ − ωε −→ 0, en H10 (Ω). (2.33)

Dado que el primer termino de la expansion asintotica es u0 = u∗, es natural pensar que elsegundo termino εu1(x, x/ε) pueda ser el corrector. Sin embargo, esto en general no es cierto yaque, tal como hemos definido u1 en la anterior seccion, no esta en H1

0 (Ω) por no anularse en elborde de Ω.

Introducimos entonces las funciones de corte o cut-off mε que satisfacen:mε ∈ D(Ω),mε(x) = 0 si d(x,Γ) ≤ ε (distancia de x a Γ),mε(x) = 1 si d(x,Γ) ≥ 2ε,ε|α||Dαmε(x)| ≤ cα, ∀α ∈ NN .

(2.34)


Entonces, en [16] se define el primer corrector como

ωε = εmε(x)χ`(x

ε)∂u∗

∂x`(x). (2.35)

Con esta eleccion del corrector se tiene (2.33). Notese que en el termino de la expansion u1

definido en (2.27) aparece otra funcion u1. Esta funcion esta acotada en H1 independientementede ε y, por lo tanto, εu1 no juega ningun papel a la hora de demostrar (2.33).

Para demostrar (2.33) en [16] se utiliza el metodo de la energıa. Se considera aε(·, ·) la formabilineal asociada a operador Aε. Se denota mediante aε(φ) la forma cuadratica aε(φ, φ). Llamandoa zε = uε − u∗ − ωε, dadas las caracterısticas del operador Aε, para demostrar (2.33) basta conprobar que aε(zε) → 0. Dado que Aε es un operador autoadjunto, resulta

aε(zε) = aε(uε, zε)− aε(uε, u∗ + ωε) + aε(u∗ + ωε),

y como zε, u∗ + ωε ∈ H10 (Ω), tenemos

aε(zε) = < f, uε − 2(u∗ + ωε) > +aε(u∗ + ωε), (2.36)

donde < ·, · > denota el producto escalar en L2(Ω). Supongamos que

aε(u∗ + ωε) −→ a∗(u∗, u∗) =< f, u∗ > . (2.37)

Entonces volviendo a (2.36):

aε(zε) → − < f, u∗ > +a∗(u∗, u∗) = 0.

Para finalizar se prueba (2.37). Como ωε esta definida por (2.35), resulta que

∂ωε

∂xk= mε

∂χj

∂yk

∂u∗

∂xj+(εχj ∂2u∗

∂xj∂xk+ ε

∂mε

∂xkχj ∂u

∗

∂xj

).

Por las caracterısticas de u∗, χi, mε, y el Teorema la convergencia dominada de Lebesgue (ver[20], pag. 54), la funcion dentro del parentesis tiende a 0 en L2(Ω). Por lo tanto, aε(u∗+ωε) tieneel mismo lımite que

aε(u∗ + ωε) ∼=∫Ω

aεk`

(∂u∗

∂x`+mε

∂χi

∂y`(x

ε)∂u∗

∂xi

)(∂u∗

∂xk+mε

∂χj

∂yk(x

ε)∂u∗

∂xj

).

Pasando al lımite en esta ultima integral, se tiene

aε(u∗ + ωε) → M(ak` + akj

∂χ`

∂yj

)∫Ω

∂u∗

∂x`

∂u∗

∂xk+

+M(ak`

∂χj

∂yk

∂χi

∂y`− ai`

∂χj

∂y`

)∫Ω

∂u∗

∂xi

∂u∗

∂xj.

Como χi satisface (2.26), entonces

M(ak`

∂χj

∂yk

∂χi

∂y`− ai`

∂χj

∂y`

)= 0,

y por la definicion de los coeficientes homogeneizados se demuestra (2.37).


2.3. Ondas de Bloch

Consideramos el operador elıptico

A = − ∂

∂yk

(akl(y)

∂

∂yl

)(2.38)

donde los coeficientes akl satisfacen (2.12) y seguimos de cerca el analisis desarrollado en [36].El metodo de Bloch consiste en introducir una familia de problemas espectrales parametriza-

dos por η ∈ RN : Encontrar λ = λ(η) y ψ = ψ(y, η) no identicamente nula tal queAψ(., η) = λ(η)ψ(., η) en RN ,ψ(., η) es (η, Y )-periodica, es decir,ψ(y + 2πm; η) = e2πim·ηψ(y, η) ∀m ∈ ZN , y ∈ RN .

(2.39)

Las soluciones ψ de (2.39) se conocen como ondas de Bloch. Notemos que no hay perdida degeneralidad al confinar η a la celda unidad trasladada Y ′ =] − 1

2 ,12 [N . En efecto, sea ψ una

funcion (η + n, Y )-periodica con n ∈ N y η ∈ Y ′. Por la definicion de (η + n, Y )-periodicidadresulta

ψ(y + 2πm) = e2πim·(η+n)ψ(y) = e2πim·ηψ(y).

Entonces, ψ es una funcion (η, Y )-periodica. Por tanto, a partir de ahora, consideramos queη ∈ Y ′.

Si el medio es homogeneo, o sea, los coeficientes ak` son constantes, es natural tratar elproblema de autovalores utilizando ondas planas eiy·η para resolverlo. Ası, un modo alternativode buscar soluciones de (2.39), es considerar ψ como producto de funciones Y -periodicas conondas planas

ψ(y, η) = eiy·ηφ(y, η)φ(·, η) es Y − periodica, es decir,φ(y + 2πm; η) = φ(y, η) ∀m ∈ ZN , y ∈ RN .

(2.40)

El cambio de autofuncion (2.40) modifica las condiciones de borde y el operador. Ası elproblema espectral se escribe del siguiente modo: Encontrar λ = λ(η) y φ = φ(y, η), no identica-mente nula, tales que

A(η)φ = λφ en RN

φ(., η) es Y -periodica.(2.41)

El operador A(η) se define por

A(η) = −(

∂

∂yk+ iηk

)[ak`(y)(

∂

∂y`+ iη`)

], (2.42)

que tambien podemos escribir como

A(η) = A+ iηkAk + ηkη`ak`(y),

donde

Ak = −ak`(y)∂(·)∂y`

− ∂

∂y`(ak`(y)(·)) . (2.43)

2.3. ONDAS DE BLOCH 23

A(η) se conoce como el operador trasladado (“shifted”en [88]). Notemos que el operador (2.38)se relaciona con (2.42) por

Aeiy·η = eiy·η A(η).

A lo largo de esta memoria vamos a considerar los espacios

L2#(Y ) =

φ ∈ L2

loc(RN )∣∣∣φ es Y -periodica

,

H1#(Y ) =

φ ∈ L2

#(Y )∣∣∣ ∂φ∂yk

∈ L2#(Y ) ∀k = 1, . . . , N

,

L2#(η;Y ) =

φ ∈ L2

loc(RN )∣∣∣φ es (η, Y )-periodica

,

H1#(η;Y ) =

ψ ∈ L2

#(η;Y )∣∣∣ ∂ψ∂yk

∈ L2#(η;Y ) ∀k = 1, . . . , N

.

Estos espacios vectoriales son espacios de Hilbert con respecto al producto interior (complejo) deL2(Y ) o H1(Y ) respectivamente, es decir,

(v, w)L2(Y ) =∫

Yv(y)w(y)dy,

(v, w)H1(Y ) =∫

Y

[v(y)w(y) +∇v(y) · ∇w(y)

]dy.

2.3.1. Autovalores y autovectores

Nuestro proposito es esta seccion es mostrar la existencia y completitud de las ondas deBloch. En particular, para cada η ∈ Y ′ el problema de autovalores (2.41) admite una sucesionde autovalores positivos, cuyas autofunciones son funciones L2-medibles Y -periodicas. Ası, paracada η ∈ Y ′ fijo, se tienen las siguientes propiedades:

0 ≤ λ1(η) ≤ ... ≤ λm(η) ≤ ...→ +∞,

φm(·, η)m forma una base ortonormal de L2#(Y ).

(2.44)

En la literatura, λm(η)m≥1 se denominan como autovalores de Bloch y φm(·, η)m≥1 comoautofunciones de Bloch .

La demostracion de (2.44) la podemos encontrar en [77] y en [16], pag. 614. Procedemosa continuacion a desarrollarla. Para ello necesitamos probar que A(η) es un operador elıptico.Introducimos la forma bilineal asociada al operador A definido en (2.38),

a(φ, ψ) =∫Y

ak`(y)∂φ

∂y`

∂ψ

∂ykdy,


Analogamente, la forma bilineal asociada al operador A(η) definido en (2.42), es:

a(η;φ, ψ) =∫Y

ak`(y)(∂φ

∂y`+ iη`φ

)(∂ψ

∂yk+ iηkψ

)dy

=∫Y

ak`(y)∂(eiη·yφ)∂y`

∂(eiηψ)∂yk

dy.

Tal como tenemos definidos los coeficientes ak` en (2.12), la continuidad de la forma bilinealasociada a A es inmediata. Ademas,

α‖∇φ‖2L2(Y ) ≤ a(φ, φ) ≤ β‖∇φ‖2

L2(Y ) ∀φ ∈ H1#(Y ) (2.45)

siendo α y β constantes positivas. Por lo mismo, la forma bilineal asociada a A(η) satisface

a(η;φ, φ) ≤ 2β(‖∇φ‖2

L2(Y ) + |η|2‖φ‖2L2(Y )

). (2.46)

Sin embargo, la coercitividad de a(η, ·, ·) no es tan inmediata. Para ello probamos el siguienteresultado que esta enunciado como ejercicio en [34], pag. 190.

Lema 2.1 Para φ ∈ H1#(Y ) y η ∈ Y ′, se tiene:

(a) Existe c > 0 independiente de η ∈ Y ′ tal que

|η|‖φ‖L2(Y ) ≤ c‖∇φ+ iηφ‖L2(Y ) ∀φ ∈ H1#(Y ), η ∈ Y ′. (2.47)

(b) Existe C > 0 independiente de η ∈ Y ′ tal que

‖∇φ‖L2(Y ) + |η|‖φ‖L2(Y ) ≤ C‖∇φ+ iηφ‖L2(Y ) ∀φ ∈ H1#(Y ), η ∈ Y ′. (2.48)

Demostracion. En primer lugar, consideramos la funcion

ψ(y, η) = eiη·yφ(y, η).

ψ es una funcion (η, Y )-periodica y ψ ∈ H1#(η, Y ). La siguiente relacion es evidente

ψ(y, η) =1

eiηk − 1

2π∫0

∂ψ

∂yk(y + tek, η)dt ∀k = 1, ..., N.

Ahora, como |eiηk − 1| ≥ c|ηk| resulta que

c|ηk|2|ψ(y, η)|2 ≤∣∣∣ 2π∫

0

∂ψ

∂yk(y + tek, η)dt

∣∣∣2 ∀k = 1, ..., N.


Integrando con respecto de y en Y para todo k, resulta

|η|2‖ψ‖2L2(Y ) ≤ ‖∇ψ‖2

L2(Y ).

Finalmente, ya que ∇ψ = eiη(∇φ+ iηφ) y la norma en L2(Y ) de ψ e φ son iguales, se deduce (a).Para demostrar (b) basta con ver que existe c > 0 tal que se verifica

‖∇φ‖2L2(Y ) ≤ c‖∇φ+ iηφ‖2

L2(Y ) ∀η ∈ Y ′.

Lo haremos por reduccion al absurdo. Supongamos que no se verifica, entonces existe una sucesionηnφn que cumple

‖∇φn‖2L2(Y ) > n‖∇φn + iηnφn‖2

L2(Y ).

Sin perdida de generalidad podemos suponer que ‖∇φn‖L2(Y ) = 1 para todo n. Por lo tanto

‖∇φn + iηnφn‖L2(Y ) → 0, cuando n→∞.

Gracias a (2.47), se tiene que ‖ηnφn‖L2(Y ) converge a cero, con lo cual ‖∇φn‖L2(Y ) → 0, yobtenemos la contradiccion con ‖∇φn‖L2(Y ) = 1.

Ahora ya podemos demostrar la coercitividad de a(η, ·, ·). En efecto, por la elipticidad de loscoeficientes ak`, resulta

a(η, φ, φ) ≥ α‖∇φ+ iηφ‖2L2(Y ),

y aplicando (2.48) se tiene

a(η, φ, φ) ≥ cα(‖∇φ‖2

L2(Y ) + |η|2‖φ‖2L2(Y )

).

Por lo tanto, para cada η ∈ Y ′, si λ ≥ 0, existe c > 0 tal que

〈(A(η) + λ)φ, φ〉 ≥ c‖φ‖2H1

#(Y ).

Definimos entonces el operador

A(η) + λI : H1#(Y ) → H−1

# (Y ),

cuya forma lineal asociada es continua, simetrica y coercitiva. Entonces, por el Lema de Lax-Milgram, (ver [20] pag. 84), tenemos que el operador inverso (A(η) + λI)−1 es un isomorfismo deH−1

# (Y ) en H1#(Y ).

De la compacidad de las inclusiones H1#(Y ) → L2

#(Y ) y L2#(Y ) → H−1

# (Y ) (ver [20] pag.169), se deduce que el operador inverso (A(η) + λI)−1 es compacto de L2

#(Y ) en L2#(Y ).

Ahora, el Teorema de Riesz-Schauder y el Teorema de Hilbert-Schmidt (vease [87]), pag. 203),nos dan que, para cada η ∈ Y ′, el espectro de A(η) esta formado por autovalores aislados conmultiplicidad finita, y ademas sus correspondientes autovectores forman una base completa yortonormal de L2(Y ).

Finalmente, como los coeficientes satisfacen (2.12), las autofunciones φm(·, η) estan enH1

#(Y ).5

5Ver [20], pag. 193.


2.3.2. Descomposicion de Bloch

Utilizando la completitud de las funciones φm(·, η) tenemos el siguiente teorema de descom-posicion:

Teorema 2.1 Sea g ∈ L2(RN ) . Definiendo el m-esimo coeficiente de Bloch de g como

gm(η) =∫

RN

g(y)e−iy·ηφm(y, η)dy ∀m ≥ 1, η ∈ Y ′, (2.49)

se tiene la formula inversa

g(y) =∫Y ′

∞∑m=1

Bmg(η)eiy·ηφm(y, η)dη. (2.50)

La integral de (2.49) la llamamos transformada de Bloch. Ademas, la identidad de Parseval seescribe ∫

RN

|g(y)|2dy =∫Y ′

∞∑m=1

|Bmg(η)|2dη. (2.51)

Se tiene, ası mismo, la identidad de Plancherel:∫RN

g(y)h(y)dy =∫Y ′

∞∑m=1

Bmg(η)Bmh(η)dη ∀ g, h ∈ L2(RN ). (2.52)

Demostracion.6 En vista de la identidad de Parseval, es suficiente probar (2.49)-(2.52) parafunciones g ∈ C∞(RN ) rapidamente decrecientes, es decir, para el espacio de las funciones deSchwartz, S(RN ).

Para este tipo de funciones g, consideramos la funcion

g(y, η) =∑

m∈ZN

g(y + 2πm)e−iη·(y+2πm), η ∈ Y ′. (2.53)

Veamos que es una funcion periodica en y. En efecto, sea n ∈ ZN , entonces

g(y + 2πn, η) =∑

m∈ZN

g(y + 2π[m+ n])e−iη·(y+2π[m+n]) = g(y, η),

por la propia definicion (2.53). Como φm(y, η)m≥1 es completa en L2#(Y ), entonces podemos

escribir

g(y, η) =∞∑

m=1

Bmg(η)φm(y, η), (2.54)

6Esta basada en los trabajos de [54] y [77].


donde

Bmg(η) =∫Y

g(y, η)φm(y, η)dy

=∫Y

∑m∈ZN

g(y + 2πm)e−iη·(y+2πm)φm(y + 2πm, η)dy

=∫

RN

g(y)e−iη·yφm(y, η)dy.

Por lo tanto, los coeficientes de la formula (2.54) son los coeficientes de Bloch que hemos definidoen (2.49). Por otra parte, es inmediato de la definicion (2.53), que

g(y) =∫Y ′

g(y, η)eiy·ηdη. (2.55)

Utilizando la expansion (2.54) en (2.55), resulta la formula inversa (2.50). Para probar (2.51)notemos que, por (2.54) y la ortonormalidad de la base, resulta∫

Y

|g(y, η)|2dy =∞∑

m=1

|Bmg(η)|2. (2.56)

Usando (2.53) e integrando en η, resulta∫Y ′

∫Y

|g(y, η)|2dy dη =∫Y

∑m′,m∈ZN

g(y + 2πm)g(y + 2πm′)∫Y ′

ei2πη·(m′−m)dηdy

=∫Y

∑m∈ZN

|g(y + 2πm)|2dy =∫

RN

|g(y)|2dy.

Ası, integrando con respecto a η ∈ Y ′ en (2.56), probamos (2.51). Finalmente, probamos (2.52)de forma similar a como hemos probado la identidad de Parseval.

Como un simple ejemplo consideramos el caso en que los coeficientes son ak` = δk`, la delta deKronecker. En este caso, el operador A = −∆ es el laplaciano. Es inmediato que las autofuncionesde Bloch son

φm(y, η) = (2π)−N2 eim·y, m ∈ ZN , y ∈ Y,

y φm no depende de η. Sus respectivos autovalores de Bloch son

λm(η) = |η +m|2, m ∈ ZN , η ∈ Y ′.

Por lo tanto, para este caso el Teorema 2.1 es ahora el clasico Teorema de Parseval-Plancherelpara la transformada de Fourier en RN .


El Teorema 2.1 nos dice que la aplicacion g → Bmg(η)m≥1 es un isomorfismo unitario deL2(RN ) en L2(Y ′, `2(N)). Ası, la transformada de Bloch identifica L2(RN ) con L2(Y ′, `2(N)) vıala identidad de Parseval, y

eiy·ηφm(y, η)m≥1, η ∈ Y ′,

forma una base de L2(RN ) en un sentido generalizado. Ademas, dado que

A(eiy·ηφm(y, η)

)= λm(η)eiy·ηφm(y, η),

para g ∈ D(A), resulta que

Ag(y) =∫Y

∞∑m=1

λm(η)Bmg(η)eiy·ηφm(y, η)dη. (2.57)

Por lo tanto, a partir del Teorema 2.1 y los autovalores de Bloch (2.44), se obtiene la resolucionespectral del operador autoadjunto no-acotado A en L2(RN ).

2.3.3. Regularidad de autovectores y autovalores

La dependencia de λm(η) y φm(y, η) con respecto a η ha sido analizada con profundidad en[99] y [36].

Un primer hecho relevante es que A(η), por su definicion (2.42), depende de forma polinomialde η. Pero es bien conocido que los autovalores λm(η) no son, en general, funciones suaves deη ∈ Y ′ debido a los posibles cambios de multiplicidad (ver [88], pag. 60). Usando el principio delminimax, el primer resultado que se tiene es:

Proposicion 2.1 Para cada m ≥ 1, λm(η) es una funcion lipschitziana de η.7

Desafortunadamente, el caracter Lipschitz de los autovalores no es suficiente para estudiarla homogeneizacion mediante el analisis de Bloch. En [99], se muestra que λm(η) es una funcionanalıtica excepto en un conjunto de medida nula en Y ′ para el caso de la ecuacion de Schrodingercon potencial periodico. Para probarlo, Wilcox utiliza la expresion explıcita de la solucion funda-mental de (−∆+λ0) en R3 y su demostracion se basa en la nocion de determinantes de Fredholm.

Para el caso que nos ocupa nos basta con el siguiente resultado.

Proposicion 2.2 Supongamos que ak` satisface (2.12). Entonces, en un entorno U de η = 0, elprimer autovalor de Bloch, λ1(η), es geometricamente simple y define una funcion analıtica deη ∈ U .8

7Teorema 2.2 en [36].8Teorema 2.7 en [36].


La principal propiedad que se utiliza en [36] para demostrar que λ1(η) es analıtico en unentorno de 0, es que λ1(0) (que es igual a 0) es simple tanto geometricamente como algebraica-mente. Esto es consecuencia de que la forma bilineal asociada a A(0) es semidefinida positiva yque el nucleo de esta forma bilineal son las funciones constantes.

Observacion 2.1 Dado que el operador A(η) es polinomial con respecto a η y el primer autovalorλ1(η) no cambia su multiplicidad geometrica y permanece analıtico en un entorno del origen,la eleccion de la primera autofuncion puede hacerse de manera que dependa analıticamente deη ∈ U .9 En particular, se prueba que la aplicacion

η ∈ Bδ 7→ φ1(·, η) ∈ L2#(Y ) (2.58)

es analıtica.

La Proposicion 2.2 y la Observacion 2.1 garantizan que λ1(η) y φ1(y, η) dependen analıti-camente de η en una bola Bδ de centro η = 0. Ası, reduciendo esta bola y afinando la demostracionpodemos elegir la primera onda de Bloch de modo que se verifique la siguiente proposicion:

Proposicion 2.3 Existe δ > 0 tal que el primer autovalor λ1(η) es una funcion analıtica enBδ = η : |η| < δ, y el primer autovector φ1(y, η) puede ser elegido de modo que satisfaga

η ∈ Bδ 7→ φ1(·, η) ∈ H1#(Y ) es analıtica, (2.59)

Im

∫Y

φ1(y, η)dy = 0 ∀η ∈ Bδ, (2.60)

donde Im denota la parte imaginaria. Ademas,

‖φ1(·, η)‖L2(Y ) = 1, ∀η ∈ Y ′, (2.61)

y en particular,φ1(y, 0) = |Y |−

12 = (2π)−

N2 .

Demostracion.10 Notemos que por la elipticidad de los coeficientes se tiene

‖∇φ1(·, η)‖L2(Y ) ≤ c‖φ1(·, η)‖L2(Y ).

De aquı deducimos que la primera onda de Bloch φ1(·, η) ∈ H1#(Y ) y puede ser elegida de manera

que sea una funcion analıtica de η en un entorno de 0. Ası, reduciendo el radio de la bola Bδ

vamos a probar que se satisface simultaneamente (2.59), (2.60) y la siguiente condicion:

‖φ1(·, η)‖L2(Y ) = 1 ∀η ∈ Bδ. (2.62)

9Seccion 2.3 de [36].10En [38] se puede encontrar un resumen de esta demostracion.


Con objeto de justificar (2.60), multiplicamos φ1(·, η) por un numero complejo (α1(η)+iα2(η)),donde α1(η) y α2(η) son reales. Se eligen de modo que

Im

∫Y

(α1(η) + iα2(η))φ1(y, η)dy = 0.

Definiendo

d(η) = (d1(η), d2(η)) =(Im

∫Y

φ1(y, η)dy,Re

∫Y

φ1(y, η)dy),

la condicion anterior es equivalente a

α1(η)d1(η) + α2(η)d2(η) = 0 ∀η ∈ Bδ.

Es claro que tomando α1(η) = −d2(η), α2(η) = d1(η), logramos que se satisfaga (2.60).Normalizando, mantenemos la condicion (2.62). Ademas, al normalizar la autofuncion, se preservala dependencia analıtica con respecto a η y tenemos (2.59), lo cual concluye la demostracion.

Como consecuencia de la Proposicion 2.3 podemos utilizar expansiones de Taylor de λ1 y φ1

en η = 0. En el Apendice B.1 procedemos al calculo de las derivadas de λ1 y φ1 en η = 0.

2.3.4. Algunas estimaciones de los autovalores y autofunciones

En esta seccion vamos a probar algunas estimaciones para los autovalores y autofunciones deBloch que precisamos en nuestro estudio. Algunos de los resultados ya son conocidos pero lospresentamos con su demostracion dado su interes.

En primer lugar vamos a probar que todos los autovalores de Bloch λm(η) con m ≥ 2 estanacotados inferiormente por una constante positiva. Este resultado esta dado en [36], pag. 1653, yes una consecuencia del principio del minimax.

Lema 2.2 Sea λm(η)m≥1 la sucesion de autovalores de Bloch asociada al operador A definidoen (2.44). Entonces,

λm(η) ≥ λ(N)2 > 0, ∀m ≥ 2, η ∈ Y ′, (2.63)

donde λ(N)2 es el segundo autovalor del problema de autovalores del operador A en la region Y ,

con condiciones de contorno Neumann sobre ∂Y .

Demostracion.11 Tenemos que para m ≥ 2, por (2.44),

λm(η) ≥ λ2(η).

11Esta demostracion se encuentra en [83].


Sea Vk# (resp. Vk), el conjunto de todos los subespacios vectoriales de H1

# (resp. H1) de dimensionk. Utilizando el principio del minimax, resulta

λ2(η) = mınW∈V2

#

maxv∈W

∫Y

ak`

(∂v∂y`

+ iη`v)(

∂v∂yk

+ iηkv)dy∫

Y

|v|2dy

= mınW∈V2

#

maxv∈W

∫Y

ak`∂v∂y`

(eiy·ηv

)∂

∂yk(eiy·ηv)dy∫

Y

|v|2dy

≥ mınW∈V2

maxv∈W

∫Y

ak`∂v∂y`

(eiy·ηv

)∂

∂yk(eiy·ηv)dy∫

Y

|v|2dy

= mınW∈V2

maxφ∈W

∫Y

ak`∂φ∂y`

∂φ∂yk

dy∫Y

|φ|2dy= λ

(N)2 .

Ahora estudiamos el primer autovalor. Gracias a la expansion de Taylor de λ1 en η = 0, setiene:

Lema 2.3 La aplicacion η → λ1(η) definida de Y ′ en RN , posee un mınimo estricto global enη = 0. Ademas, existen 0 < c1 < c2 tales que

c1|η|2 ≤ λ1(η) ≤ c2|η|2, ∀η ∈ Y ′. (2.64)

Demostracion.12 En primer lugar, vamos a ver que λ1(η) > 0 para η 6= 0. Notemos que envirtud de (2.41), φ1 y λ1 satisfacen para cada η ∈ Y ′,

A(η)φ1 = λ1(η)φ1 en Y,φ1 es Y -periodica.

Considerando φ1 = eiy·ηψ1, el problema anterior es equivalente aAψ1 = λ1(η)ψ1 en Y,ψ1 es (Y, η)-periodica.

Multiplicando por ψ e integrando por partes, se tiene∫Y

ak`∂ψ1

∂y`

∂ψ1

∂yk= λ1(η)

∫Y

|ψ1|2.

12Parte de esta demostracion se encuentra en [84], pag. 58.


Como ψ esta normalizada en L2(Y ) y los coeficientes ak` son elıpticos y acotados, obtenemosque

α

∫Y

|∇ψ1|2 ≤ λ1(η) ≤ β

∫Y

|∇ψ1|2, η ∈ Y ′. (2.65)

Supongamos que λ1(η) = 0 para algun η 6= 0. Por (2.65), concluımos que ψ es constante enY y por tanto,

φ1 = c eiy·η, η ∈ Y ′.

Pero esta funcion es Y -periodica solo en el caso de que η = 0. Esto esta en contradiccion con elsupuesto η 6= 0. Por lo tanto, hemos probado que λ1 posee un mınimo estricto global en η = 0.

Por otro lado, gracias a la Proposicion B.1, utilizando el desarrollo de Taylor para η ∈ Bδ,resulta

λ1(η) = qk`ηkη` +O(|η|4), en Bδ.

Utilizando el hecho de que los coeficientes homogeneizados son elıpticos y acotados, resulta

α|η|2 +O(|η|4) ≤ λ1(η) ≤ β|η|2 +O(|η|4), η ∈ Bδ.

Por tanto, tenemos (2.64) para η ∈ Bδ. Ademas, dado que λ1 es Lipschitz por la Proposicion 2.1y λ1(η) > 0 para η 6= 0, probamos (2.64) para todo η ∈ Y ′.

Para finalizar este apartado presentamos algunas estimaciones de las autofunciones de Bloch.

Lema 2.4 Los coeficientes ak`, ademas de satisfacer (2.12), verifican

ak` ∈W 1,∞# (Y ) ∀k, ` = 1, ..., N. (2.66)

Es decir, las primeras derivadas de los coeficientes estan acotadas. Entonces:∥∥∥∂φm

∂yk(·, η)

∥∥∥L2(Y )

≤ c1λm(η)12 , ∀η ∈ Y ′, m ≥ 1, k = 1, ..., N, (2.67)∥∥∥ ∂2φm

∂yk∂y`(·, η)

∥∥∥L2(Y )

≤ c2λm(η), ∀η ∈ Y ′, m ≥ 2, k, ` = 1, ..., N, (2.68)∥∥∥ ∂2φ1

∂yk∂y`(·, η)

∥∥∥L2(Y )

≤ c3λ1(η)12 , ∀η ∈ Y ′, k, ` = 1, ..., N. (2.69)

La constante c1 depende de ‖ak`‖L∞(Y ) mientras que c2 y c3 dependen de ‖ak`‖W 1,∞(Y ), siendotodas ellas independientes de m.

Demostracion. Para simplificar, denotamos a φm(·, η) por φm(η). Utilizando la coercitividad delos coeficientes ak` se tiene que

α‖∇φm(η) + iηφm(η)‖2L2(Y ) ≤ a(η, φm(η), φm(η)) = λm(η)‖φm(η)‖2

L2(Y ).

De la Proposicion 2.1 sabemos

c‖∇φm(η)‖2L2(Y ) ≤ ‖∇φm(η) + iηφm(η)‖2

L2(Y ).


Basta ahora con recordar que ‖φm(η)‖L2(Y ) = 1 para tener (2.67).Para deducir (2.68) y (2.69) necesitamos estimar derivadas de segundo orden de las soluciones

de esta familia de ecuaciones

A(η)φm(η) = λm(η)φm(η) m ≥ 1.

Para ello, vamos a emplear el metodo clasico de L. Nirenberg (vease en [57], p. 173).En primer lugar, denotamos por 〈·, ·〉(−1,1) el producto de dualidad de H−1

# (Y ) con H1#(Y ).

Observemos que para toda f ∈ H−1# (Y ) satisfaciendo

〈f, 1〉(−1,1) = 0,

por la alternativa de Fredholm, existe una unica solucion del problema variacional

u ∈ H1#(Y ) \ R, a(u, v) = 〈f, v〉(−1,1) ∀v ∈ H1

#(Y ),

que ademas satisface

‖∇u‖L2(Y )N ≤ c‖f‖H−1# (Y ).

El metodo de L. Nirenberg nos asegura que si f ∈ L2(Y ) entonces

‖u‖H2(Y ) ≤ c2‖f‖L2(Y ).

Esto es posible utilizarlo pues: (i) Tenemos condiciones de frontera periodicas, y (ii) hemossupuesto que ak` ∈W 1,∞

# (Y ).Para aplicar esta estimacion escribimos nuestro problema de autovalores de la forma Aφm(η) =

fm(η) con

fm(η) = λm(η)φm + iηkak`∂φm(η)∂y`

+ iη`ak`∂φm(η)∂yk

+ iη`∂ak`

∂ykφm(η)− ηkη`ak`φm.

Vamos a acotar en L2(Y ) los diversos terminos de fm(η) para cada m. Utilizaremos la cota (2.67)del gradiente de φ1 y las siguientes cotas inferiores de λ1:

c|η|2 ≤ λm(η) ∀m ≥ 1, η ∈ Y ′,0 < λ

(N)2 ≤ λm(η) ∀m ≥ 2, η ∈ Y ′.

Estas cotas estan probadas en Lema 2.3 y 2.2, respectivamente. Recordemos que λ(N)2 es el segundo

autovalor del problema de autovalores asociado a A en la celda Y con condicion Neumann en lafrontera ∂Y .

Primero estudiamos el casom ≥ 2. El cuarto sumando de fm(η) esta acotado por |η|‖ak`‖W 1,∞ ≤d2λm(η)

12 mientras el resto de los sumandos estan acotados por d1λm(η). Entonces se obtiene

‖fm(η)‖L2(Y ) ≤ λm(η)12

(d2 + d1λm(η)

12

), m ≥ 1. (2.70)

Escribiendo d2 = d(λ(N)2 )

12 , y dado que λ

(N)2 ≤ λm(η), resulta de (2.70) que

‖fm(η)‖L2(Y ) ≤ c2λm(η), m ≥ 2,

donde c2 = d+ d1. Ası, tenemos (2.68) aplicando el metodo de Nirenberg.Analogamente, para m = 1, de (2.70) se obtiene (2.69) para

c3 = maxd2 + d1λ1(η), η ∈ Y ′.


Observacion 2.2 Si los coeficientes ak` son constantes, es decir, en el caso homogeneo, entoncesel cuarto termino de fm(η) se anula, resultando

‖fm(η)‖L2(Y ) ≤ c2λm(η) ∀m ≥ 1, η ∈ Y ′.

Esto implica que la estimacion (2.68) es cierta para m = 1, con la constante c2 dependiendo solode ‖ak`‖L∞(Y ). Esta es la gran diferencia con el caso no homogeneo.

2.4. Un resultado fundamental de homogeneizacion

El problema de homogeneizacion que estudiamos es el asociado a operadores elıpticos en formadivergencia y con coeficientes periodicos. Para cada ε > 0, consideramos el operador Aε donde

Aε = − ∂

∂xk

(aε

k`(x)∂

∂x`

)con aε

k`(x) = ak`

(xε

), x ∈ RN . (2.71)

De la teorıa de la homogeneizacion, ver [16], se conoce la existencia de un operador homo-geneizado A∗ dado por

A∗ = − ∂

∂xk

(a∗k`

∂

∂x`

), (2.72)

donde los coeficientes homogeneizados a∗k` son constantes y estan dados por (2.16).Nuestro primer objetivo es expresar la ecuacion

Aεuε = f, en Ω ⊆ RN , (2.73)

utilizando los coeficientes de Bloch de uε y f . Para ello, vamos a utilizar la descomposicion porondas de Bloch pero adaptada al operador (2.71) tal y como se hizo en [36]. Despues procederemosa pasar al lımite cuando ε→ 0 en la expresion obtenida.

Siguiendo esta tecnica, en [36], Conca y Vanninathan obtuvieron una nueva demostracion delsiguiente resultado clasico de homogeneizacion.

Teorema 2.2 13 Sea Ω un dominio arbitrario en RN . Supongamos que los coeficientes ak` sat-isfacen (2.13). Consideramos una sucesion uε de H1(Ω), u∗ ∈ H1(Ω) y f ∈ L2(Ω) tales quecuando ε→ 0

uε u∗ debil en H1(Ω),Aεuε = f en Ω.

Entonces el vector de esfuerzos σεk = aε

k`∂uε

∂x`converge debil en L2(Ω) al correspondiente vector de

esfuerzos homogeneizado, i.e.:

σεk a∗k`

∂u∗

∂x`debil en L2(Ω), ∀k = 1, ..., N.

13Este resultado clasico se demuestra en [36] utilizando la descomposicion por ondas de Bloch. Utilizando otrastecnicas (metodo de la energıa, H-convergencia, convergencia a dos escalas, etc.) se prueba en [16], [72], [2],...

2.4. UN RESULTADO FUNDAMENTAL DE HOMOGENEIZACION 35

En particular, u∗ satisface el problema homogeneizado

A∗u∗ = f en Ω.

Como casos particulares de este teorema se tienen los siguientes corolarios. En el primeroconsideramos los dominios en los que se puede aplicar la desigualdad de Poincare, mientras queen el segundo se considera como dominio todo RN .

Corolario 2.1 Sea Ω un dominio acotado en RN . Consideramos (ak`) y f como en el Teorema2.2. Sea vε la unica solucion de

Aεvε = f en Ω, vε ∈ H10 (Ω).

Entonces

vε v∗ debil en H10 (Ω),

aεk`

∂vε

∂x` a∗k`

∂v∗

∂x`debil en L2(Ω), ∀k = 1, ..., N,

donde v∗ es la unica solucion del problema homogeneizado

A∗v∗ = f en Ω, v∗ ∈ H10 (Ω).

Corolario 2.2 Consideramos (ak`) y f como en el Teorema 2.2. Sea wε la unica solucion de

Aεwε + wε = f en RN , wε ∈ H1(RN ).

Entonces

wε w∗ debil en H1(RN ),

aεk`

∂wε

∂x` a∗k`

∂w∗

∂x`debil en L2(RN ), ∀k = 1, ..., N,

donde w∗ es la unica solucion del problema homogeneizado

A∗w∗ + w∗ = f en RN , w∗ ∈ H1(RN ).

Estos resultados ya fueron probados por L. Tartar usando su metodo de homogeneizacion(H-convergencia o metodo de la energıa). La demostracion mediante el metodo de la energıa sepuede encontrar en [16] y [64].

A continuacion se presentaran los resultados que fueron necesarios para probar el Teore-ma 2.2 en [36]. Ademas, en esta presentacion, estos resultados van acompanados de significativasmejoras, las cuales nos seran utiles en la demostracion de los resultados de la Parte I de estamemoria. Finalmente, en la Seccion 2.4.4, presentaremos con detalle las ideas de la demostraciondel Teorema 2.2.


2.4.1. Ondas de Bloch a escala ε

Llamamos λεm(ξ)∞m=1 y φε

m(x, ξ)∞m=1 a los autovalores y los autovectores de Bloch en laε-escala asociados al operador Aε, respectivamente. Esta familia de autovectores diagonaliza eloperador Aε tal y como se vio en la Seccion 2.3 con el operador A.

En vista de la forma del operador Aε, consideramos el cambio de variable y = x/ε. Ası,

Aε = −ε−2 ∂

∂yk

(ak`(y)

∂

∂y`

)= ε−2A.

Por otra parte, dado el cambio de variable y = x/ε, las ondas planas satisfacen que

eiy·η = eix·ηε , η ∈ Y ′.

Ası, la variable dual viene dada por ξ = η/ε y por homotecia, se tienen las siguientes relaciones:

λεm(ξ) = ε−2λm(η),

φεm(x, ξ) = φm(y, η),

(2.74)

donde las variables (x, ξ) e (y, η) se relacionan por

y =x

ε, η = εξ. (2.75)

Es habitual referirse a x e y como variables lenta y rapida, respectivamente. Notemos que φεm(·, ξ)

es εY -periodica en x. De la misma manera, ψεm(·, ξ) es (εY, ε−1Y ′) -periodica ya que

ψεm(x, ξ) = eix·ξφε

m(x, ξ).

Recalquemos que como η ∈ Y ′, ξ ∈ ε−1Y ′. Con estas notaciones, se tiene el siguiente resultadoanalogo al Teorema 2.1.

Teorema 2.3 Sea g ∈ L2(RN ) y consideramos el m-esimo coeficiente de Bloch de g a escala ε:

Bεmg(ξ) =

∫RN

g(x)e−ix·ξφεm(x, ξ)dx ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′. (2.76)

Entonces se tiene la siguiente formula inversa:

g(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

Bεmg(ξ)e

ix·ξφεm(x, ξ)dξ. (2.77)

Ası mismo, se cumple la identidad de Parseval∫RN

|g(x)|2dx =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

|Bεmg(ξ)|2dξ, (2.78)


y la identidad de Plancherel∫RN

g(y)h(y)dy =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

Bεmg(ξ)Bε

mh(ξ)dξ ∀g, h ∈ L2(RN ). (2.79)

Finalmente, para toda g en el dominio de Aε, se tiene

Aεg(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)Bε

mg(ξ)eix·ξφε

m(x, ξ)dξ. (2.80)

Demostracion. Se procede como con la prueba del Teorema 2.1. Basta con considerar funcionesg ∈ C∞(RN ) rapidamente decrecientes. Definimos entonces

gε(x, ξ) = εN∑

m∈ZN

g(x+ 2πmε)e−iξ·(x+2πmε), ξ ∈ ε−1Y ′. (2.81)

Es inmediato que gε es una funcion εY -periodica. Como φm(y, η)m≥1 es completa en L2#(Y ),

entonces φεm(x, ξ)m≥1 es completa en L2

#(εY ) y podemos escribir

gε(x, ξ) =∞∑

m=1

Bmgε(ξ)φε

m(x, ξ), (2.82)

donde los coeficientes satisfacen (2.76). En efecto,

εNBmgε(ξ) =

∫εY

gε(x, ξ)φεm(x, ξ)dx

= εN∫εY

∑m∈ZN

g(x+ 2πmε)e−iξ·(x+2πmε)φεm(x+ 2πmε, ξ)dx

= εN∫

RN

g(x)e−iξ·xφεm(x, ξ)dx.

Por otra parte, es inmediato de la definicion (2.81), que

g(x) =∫

ε−1Y ′

gε(x, ξ)eix·ξdξ. (2.83)

Utilizando la expansion (2.82) en (2.83), resulta la formula inversa (2.77). Para probar (2.78)notemos que, por (2.82) y la ortogonalidad de la base, resulta∫

εY

|gε(x, ξ)|2dy = εN∞∑

m=1

|Bmgε(ξ)|2. (2.84)


Usando (2.81) e integrando en ξ, resulta∫ε−1Y ′

∫εY

|gε(x, ξ)|2dx dξ = ε2N

∫εY

∑m′,m∈ZN

g(x+ 2πmε)g(x+ 2πm′ε)∫

ε−1Y ′

ei2πεξ·(m′−m)dξdx

= εN∫εY

∑m∈ZN

|g(x+ 2πmε)|2dx = εN∫

RN

|g(x)|2dx.

Ası, integrando con respecto a ξ ∈ ε−1Y ′ en (2.84), se prueba (2.78). La demostracion de (2.79)y (2.80) se deduce de lo probado anteriormente.

Por el Teorema 2.3, para cada ε, la ecuacion elıptica (2.73) para Ω = RN , equivale al siguientesistema algebraico para los coeficientes de Bloch:

λεm(ξ)Bε

muε(ξ) = Bε

mf(ξ) ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y. (2.85)

Nuestro objetivo ahora es pasar al lımite en este sistema de ecuaciones algebraicas. Convienesubrayar la doble dependencia en ε de los coeficientes Bε

muε(ξ). Primero, por la definicion de

coeficiente de Bloch a escala ε, vease (2.76). Segundo por ser la solucion de (2.73).Para pasar al lımite en (2.85) se va a proceder del siguiente modo: Tomamos f ∈ V (en

particular, V = L2(RN )) y se considera una sucesion uε de H1(RN ) tal que

Aεuε = f en RN ,

uε u∗ debil en H1(RN ),uε → u∗ fuerte en L2(RN ).

Bajo estas naturales hipotesis, en la proxima seccion veremos que podemos despreciar las ecua-ciones (2.85) para m ≥ 2. Para m = 1, procederemos a estudiar el lımite de la identidad

λε1(ξ)B

ε1u

ε(ξ) = Bε1f(ξ) ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y. (2.86)

2.4.2. Estimaciones de los modos superiores de Bloch

En esta seccion, consideramos el problema:

Aεuε = f en RN , uε ∈ H1(RN ). (2.87)

Esta ecuacion es equivalente en el espacio de Bloch a la familia de identidades (2.85). Noteseque para cada f ∈ L2(RN ), de (2.85) no se puede garantizar que uε ∈ H1(RN ). Sin embargo,∇uε ∈ L2(RN ) cuando f = div(~g) y ~g ∈ (L2(RN ))N .

En primer lugar, utilizando la identidad de Parseval del Teorema 2.3 con ciertos pesos depen-dientes de los autovalores, encontramos expresiones de las normas H1 y H−1 en funcion de loscoeficientes de Bloch.


Lema 2.5

(i) Para toda funcion g ∈ H1(RN ), tenemos

c1‖∇g‖2L2(RN ) ≤

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ ≤ c2‖∇g‖2(L2(RN ), (2.88)

donde c1 y c2 son constantes independientes de ε y g.

(ii) Para toda g ∈ H−1(RN ), tenemos

c1‖g‖2H−1(RN ) ≤

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

11 + λε

m(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ ≤ c2‖g‖2H−1(RN ), (2.89)

donde c1 y c2 son constantes independientes de ε y g.

La demostracion de este lema la desarrollaremos al final de la seccion. Notemos que la esti-macion (2.88) junto a la identidad de Parseval (2.78) nos dice que, para g ∈ H1(RN ) podemosescribir su norma como

‖g‖H1(RN ) ≡

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

[1 + λεm(ξ)]|Bε

mg(ξ)|2dξ

12

. (2.90)

Y por (2.89), para g ∈ H−1(RN ), podemos escribir su norma como

‖g‖H−1(RN ) ≡

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

11 + λε

m(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ

12

. (2.91)

A continuacion se presentan estimaciones en diferentes espacios de Sobolev de la componentede uε formada por la antitransformada de Bloch de todos los coeficientes de Bloch mayores que1. La llamamos

vε(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=2

Bεmu

ε(ξ)eix·ξφεm(x, ξ)dξ, x ∈ RN . (2.92)

Las siguiente estimacion de vε nos permite despreciar este termino en el problema.

Proposicion 2.4 14 Sea vε la funcion definida en (2.92). Entonces,

‖vε‖L2(RN ) ≤ cε‖∇uε‖L2(RN ), (2.93)

donde c > 0 es independiente de ε.14Proposicion 3.5 en [36]. En [92] y [93] se pueden ver resultados similares.


Demostracion. Toda la prueba se basa en que λ(N)2 > 0 es la cota inferior de todos los autovalores

λm(η) para m ≥ 2, vease (2.61). De este resultado, tenemos que

supm≥2

ξ∈ε−1Y ′

1λε

m(ξ)≤ 1

λ(N)2

ε2. (2.94)

Por la identidad de Parseval, resulta que

‖vε‖2L2(RN ) =

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

|Bεmu

ε(ξ)|2dξ.

Utilizando la estimacion (2.94), se tiene que

‖vε‖2L2(RN ) ≤

ε2

λ(N)2

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

λεm(ξ)|Bε

muε(ξ)|2dξ,

y por (2.88) se concluye la demostracion.

Notese que, en general, la norma de uε en H1(R) esta acotada. Ası, la norma L2 de vε tiendea 0 como ε.

Siguiendo las ideas de la demostracion de la Proposicion 2.4 vamos a mejorar la estimacion(2.93). En particular, se tienen los siguientes resultados:

Proposicion 2.5 Sea vε la funcion definida en (2.92). Entonces,

1. Si f ∈ H−1(RN ) : ‖∇vε‖L2(RN ) ≤ c‖f‖H−1(RN ), (2.95)‖vε‖L2(RN ) ≤ cε‖f‖H−1(RN ). (2.96)

2. Si f ∈ L2(RN ) : ‖∇vε‖L2(RN ) ≤ cε‖f‖L2(RN ), (2.97)

‖vε‖L2(RN ) ≤ cε2‖f‖L2(RN ). (2.98)

3. Si f ∈ H1(RN ) : ‖∇vε‖L2(RN ) ≤ cε2‖f‖H1(RN ), (2.99)

‖vε‖L2(RN ) ≤ cε3‖f‖H1(RN ). (2.100)

Demostracion. La prueba se basa en utilizar la estimacion (2.94). Ademas, gracias a la ecuacionalgebraica (2.85), se puede escribir que

Bεmu

ε(ξ) =Bε

mf(ξ)λε

m(ξ)∀m ≥ 2.

Consideremos f ∈ H−1(RN ) y demostremos (2.95) y (2.96). Para estimar el gradiente de vε,aplicaremos (2.88) con g = vε

‖∇vε‖2L2(RN ) ≤ c

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

1λε

m(ξ)|Bε

mf(ξ)|2dξ

≤ c supm≥2,

ξ∈ε−1Y ′

1 + λεm(ξ)

λεm(ξ)

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

|Bεmf(ξ)|2

1 + λεm(ξ)

dξ.


Por (2.94), se tiene que

supm≥2

ξ∈ε−1Y ′

1 + λεm(ξ)

λεm(ξ)

≤ c,

y gracias a (2.89), se tiene (2.95).Para demostrar (2.96), vamos a aplicar (2.89) del Lema 2.5 y, de nuevo, la ecuacion algebraica

(2.85). Como

‖vε‖2L2(RN ) =

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

|Bεmu

ε(ξ)|2dξ =∫

ε−1Y ′

∞∑m=2

1λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2dξ,

considerando que

1λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2 =1 + λε

m(ξ)λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2

1 + λεm(ξ)

,

y utilizando (2.94), se deduce que

1λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2 ≤ cε2|Bε

mf(ξ)|2

1 + λεm(ξ)

, ∀m ≥ 2.

La demostracion de (2.96) se completa gracias a la estimacion (2.89).Finalmente, se demuestra (2.97)–(2.100) siguiendo la misma tecnica; utilizar las ecuaciones

algebraicas (2.85) y la cota (2.94).

Con esta proposicion vemos que vε no juega ningun papel a la hora de estudiar el lımite de uε

cuando ε→ 0. Los resultados de la Proposicion 2.5 nos muestran que vε tampoco va a contar paraanalisis mas finos. Estas mejores estimaciones de la Proposicion 2.5 requieren, como es natural,de mayor regularidad de f pero no de los coeficientes ak`.

Para finalizar esta seccion procedemos a continuacion con la demostracion del Lema 2.5:

Demostracion de Lema 2.5. Por la elipticidad de Aε, tenemos

α

∫RN

|∇g|2dx ≤∫

RN

Aεggdx ≤ β

∫RN

|∇g|2dx.

Aplicando la identidad de Plancherel del Teorema 2.3, y usando la descomposicion espectral deAε, tenemos ∫

RN

Aεggdx =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ.

Esto completa la demostracion de (i).Demostremos (ii). Sabemos que el operador (Aε+I) : H1(RN ) → H−1(RN ) es un isomorfismo

continuo. Entonces para cada g ∈ H−1(RN ) existe una unica u ∈ H1(RN ) tal que

Aεu+ u = g, (2.101)


y, ademas(λε

m(ξ) + 1)Bεmu

ε = Bεmg ∀m ≥ 1.

Ası, para toda v ∈ H1(RN ), aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y las anterioresecuaciones algebraicas, se tiene

〈g, v〉H−1×H1 =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)Bε

muεBε

mvdξ

≤( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)|Bε

muε|2dξ

) 12( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)|Bε

mv|2dξ) 1

2

≤( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

|Bεmg|2

(λεm(ξ) + 1)

dξ) 1

2( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)|Bε

mv|2dξ) 1

2.

Como por el apartado (i) de este lema,

‖v‖H1(RN ) =( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)|Bε

mv|2dξ) 1

2,

tenemos que

c1‖g‖2H−1(RN ) ≤

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

11 + λε

m(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ.

La otra desigualdad de (ii) es una consecuencia directa de la dependencia continua de la solucioncon respecto a g en la ecuacion (2.101) y de la identidad de Parseval.

2.4.3. Convergencia del primer modo de Bloch a Fourier

Con el objetivo de pasar al lımite cuando ε→ 0 en (2.86), vamos a demostrar la convergenciadel primer coeficiente de Bloch a escala ε a la transformada de Fourier. Existe un resultado previoen esta direccion, la Proposicion 3.6 en [36], que a continuacion presentamos:

Proposicion 2.6 15 Sean gε una sucesion en L2(RN ) y g ∈ L2(RN ). Denotamos por Bε1g

ε elprimer coeficiente de Bloch a escala ε de gε y g la transformada de Fourier de g. Entonces, lossiguientes resultados son ciertos :

(i) Si gε g debil en L2(RN ), entonces χε−1Y ′B

ε1g

ε g debil en L2loc(RN ) siempre que existe

una region compacta K tal que sop(gε) ⊂ K, para todo ε. Notemos que χε−1Y ′ es la funcion

caracterıstica de ε−1Y ′.15Proposicion 3.6 en [36].


(ii) Si gε → g en L2(RN ), entonces χε−1Y ′B

ε1g

ε → g en L2loc(RN ).

Nuestro proposito al pasar al lımite en (2.86) es hacerlo sobre la fuente, es decir, sobre elprimer coeficiente de Bloch a escala ε de f . Notemos que en este caso la unica dependencia enla sucesion Bε

1f es debida a la escala de la primera transformada de Bloch. Por lo tanto, es deesperar un mejor resultado de convergencia que el dado en (ii) de la Proposicion 2.6. Ademas, esobvio que la convergencia va a depender de la regularidad de la funcion fuente f , como veremosen Proposicion 2.7.

Otro objetivo que nos proponemos en esta seccion, y que aparece de forma natural por lodicho anteriormente, es el desarrollar una expansion asintotica del primer coeficiente de Bloch aescala ε de una funcion f .

Por ello dividimos la seccion para estudiar por un lado el lımite del primer coeficiente deBloch y por otro para construir una expansion asintotica.

Lımite del primer coeficiente de Bloch

Observemos que para cada ξ ∈ ε−1Y ′ fijo, tenemos que

φε1(x, ξ) → (2π)−

N2 , cuando ε→ 0.

Luego es natural que el primer coeficiente de Bloch

Bε1g

ε(ξ) =∫

RN

g(x)e−ix·ξφε1(x, ξ)dx, ξ ∈ ε−1Y ′

converja a la transformada de Fourier de g,

g(ξ) = (2π)−N2

∫RN

g(x)e−ix·ξdx, ξ ∈ RN .

En particular, tenemos los siguientes resultados:

Proposicion 2.7 Llamamos χε−1Y ′ a la funcion caracterıstica de ε−1Y ′. Se tiene que

(i) Para toda g ∈ L2(RN ) con soporte compacto:

χε−1Y ′(ξ)B

ε1g

ε(ξ) → g(ξ) en L∞loc(RNξ ). (2.102)

(ii) Si g ∈ L2(RN ), tenemos

χε−1Y ′(ξ)B

ε1g

ε(ξ) → g(ξ) en L2(RNξ ). (2.103)


Esta proposicion va a ser consecuencia de un estudio mas general de transformadas tipo Bloch(vease Apendice A), es decir, de integrales con un nucleo con fuerte oscilacion. En el caso quenos concierne (la primera transformada de Bloch) el nucleo oscilante es la primera autofuncionde Bloch, φε

1(x, ξ).Utilizando los resultados del Apendice A, vamos a probar la Proposicion 2.7

Demostracion de la Proposicion 2.7.Si g ∈ L2(RN ) con soporte compacto K, se tiene la siguiente estimacion para ξ ∈ RN :

|χε−1Y ′(ξ)B

ε1g

ε(ξ)− g(ξ)| ≤ |χε−1Y ′(ξ)(B

ε1g(ξ)− g(ξ))|+ |(χ

ε−1Y ′(ξ)− 1)g(ξ)|

≤ c|K|‖g‖L2(RN )‖φ1(·, εξ)− φ1(·, 0)‖L2(Y ) + |(χε−1Y ′(ξ)− 1)g(ξ)|.

Si |ξ| es acotado, entonces, usando que η 7→ φ1(·, η) ∈ L2#(Y ) es Lipschitz cerca de η = 0 (ver

Proposicion 2.1), se deduce

||φ1(·, εξ)− φ1(·, 0)‖L2(Y ) ≤ cε.

Esto completa la demostracion de (i).La demostracion de (ii) es mas complicada. En primer lugar, de acuerdo con la igualdad de

Parseval del Teorema 2.3, tenemos la siguiente cota uniforme:∫ε−1Y ′

|Bε1g

ε(ξ)|2dξ ≤∫

RN

|g(x)|2dx.

Por lo tanto, utilizando argumentos de densidad, es suficiente probar (ii) para una funciong ∈ S(RN ). Las funciones de S(RN ) estan en el marco de las hipotesis de la Proposicion A.1.Consideramos en este caso, ρ = φ1, y cuando ε→ 0 se tiene que

ρ0(εξ) → (2π)−N2 ∀ξ ∈ RN ,

lo cual implica, por el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue, que

(2π)N/2χε−1Y ′ ρ

(0)g → g en L2(RNξ ).

Entonces por la Proposicion A.1 se tiene (ii).

Desarrollo asintotico del primer coeficiente de Bloch

Ahora, procedemos a generalizar el resultado obtenido en la Proposicion 2.7. Para ello, vamosa utilizar la expansion de Taylor de la primera autofuncion de Bloch.

El desarrollo de Taylor de orden k-esimo, lo escribimos de la siguiente manera

Ek

Tayφ1(y, 0) =

k∑`=0

1`!

∑|α|=`

ηαDαφ1(y, 0),


donde α ∈ NN , |α| = α1 + · · ·+ αN , ηα = ηα11 · · · ηαN

N y

Dα =∂α1

(∂η1)α1. . .

∂αN

(∂η1)αN.

Notemos que se puede calcular explıcitamente el desarrollo de Taylor de la funcion φ1 en η = 0(vease la Proposicion B.2). Ademas, como consecuencia de la Proposicion 2.3, tenemos que∥∥∥∥φ1(·, η)− Ek

Tayφ1(·, η)

∥∥∥∥H1(Y )

≤ c|η|k+1, ∀|η| ≤ δ. (2.104)

Ahora, utilizando los desarrollos de Taylor de φ1, nos disponemos a demostrar el siguienteresultado:

Proposicion 2.8 Consideramos la siguiente funcion

Ekε f(ξ) =

∫RN

f(x)e−ix·ξEk

Tayφ1(

x

ε, 0)dx, ξ ∈ ε−1Y ′ (2.105)

Entonces, para f ∈ L2(RN ), se tiene que:∫ε−1Y ′

|Bε1f(ξ)− Ek

ε f(ξ)|2(1 + |ξ|2)−(k+1)dξ ≤ cε2(k+1)‖f‖2

2. (2.106)

Demostracion. En primer lugar tenemos que reducir el problema para |ξ| ≤ ε−1δ. Para ellodemostramos que ∫

ξ∈ε−1Y ′|ξ|≥ε−1δ

|Bε1f(ξ)|2(1 + |ξ|2)−(k+1)dξ ≤ cδε

2(k+1)‖f‖2

2(2.107)

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≥ε−1δ

|Ekε f(ξ)|2(1 + |ξ|2)−(k+1)dξ ≤ cε2(k+1)‖f‖2

2. (2.108)

Es inmediato que para |ξ| ≥ ε−1δ:

(1 + |ξ|2)−1 ≤ ε2(ε2 + δ2)−1 ≤ δ−2ε2.

Entonces, aplicando la estimacion (A.3), resulta que∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≥ε−1δ

|Bε1f(ξ)|2(1 + |ξ|2)−(k+1)dξ ≤ cδε

2(k+1)

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≥ε−1δ

|Bε1f(ξ)|2dξ,

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≥ε−1δ

|Ekε f(ξ)|2(1 + |ξ|2)−(k+1)dξ ≤ cε2(k+1)‖f‖2

2

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≥ε−1δ

|Ekε f(ξ)|2dξ,


con lo cual demostramos (2.107). Para demostrar (2.108), basta con demostrar que la norma de|Ek

ε f | esta uniformemente acotada en L2(εY ′) cuando ε→ 0. Esto es cierto si

Dk

Taylorφ1(·, η) ∈ L∞(Y ′, L2(Y )),

lo cual se cumple ya que los coeficientes ak` satisfacen (2.12) y por las ecuaciones que satisfacenlas derivadas de φ1, vease Observacion B.1.

Gracias a (2.107) y (2.108), nos queda por estudiar la siguiente integral,∫|ξ|≤ε−1δ

|Bε1f(ξ)− Ek

ε f(ξ)|2(1 + |ξ|2)−(k+1)dξ.

Notese que por (2.74) y (2.75), se tiene

[Bε1f(ξ)− Ek

ε f(ξ)](1 + |ξ|2)−k+12 =

∫RN

f(x)e−ix·ξ[φ1(x

ε, εξ)− Ek

Tayφ1(

x

ε, 0)](1 + |ξ|2)−

k+12 dx.

Por (2.104) y (A.3), se tiene que∫|ξ|≤ε−1δ

|Bε1f(ξ)− Ek

ε f(ξ)|2(1 + |ξ|2)−(k+1)dξ ≤ ε2(k+1)‖f‖2

2sup

|ξ|≤ε−1δ

[|ξ|2(k+1)(1 + |ξ|2)−(k+1)],

con lo que demostramos (2.106).

2.4.4. Demostracion

Primero, vamos a pasar al lımite en la ecuacion del primer modo de Bloch (2.86) de una manerano muy rigurosa pero que nos va a permitir entender como se obtiene la ecuacion homogeneizadautilizando el metodo de Bloch.

En primer lugar, recordemos que, por los resultados de la Seccion 2.4.2, todos los modosm ≥ 2 son despreciables en el estudio del lımite de la ecuacion (2.73). La ecuacion del primermodo de Bloch la escribimos como

ε−2λ1(εξ)Bε1u

ε(ξ) = Bε1f(ξ) ∀ ξ ∈ ε−1Y, (2.109)

donde Bε1u

ε, Bε1f denotan la primera transformada de Bloch de uε y f , respectivamente. Desar-

rollando la serie de Taylor alrededor de ξ = 0 y usando los resultados del Apendice B, resulta[12∂2λ1

∂ηkη`(0)ξkξ` +O(ε|ξ|3)

]Bε

1uε(ξ) = Bε

1f(ξ). (2.110)

Ahora, pasando al lımite y por la Proposicion 2.6, tenemos que localmente se satisface

12∂2λ1

∂ηkη`(0)ξkξ`u∗(ξ) = f(ξ), (2.111)


ya que u∗ es el lımite L2 de uε.Gracias a (B.4) resulta que el hessiano de λ1 en η = 0 es la matriz de los coeficientes ho-

mogeneizados modulo el coeficiente multiplicativo 1/2. Por lo tanto, la ecuacion (2.111) es latransformada de Fourier de la ecuacion homogeneizada. Conviene hacer notar que el paso allımite nos ha dado un resultado local en el espacio de Fourier ya que la convergencia de uε

1 a u∗

tiene lugar en L2loc (vease Proposicion 2.6).

Para probar el Teorema 2.2, en [36] se utilizaron tecnicas de localizacion que esbozamosseguidamente.

Demostracion del Teorema 2.2.16

Sea ϕ ∈ D(Ω) arbitraria.17 Si uε satisface Aεuε = f en Ω, entonces su localizacion ϕuε satisface

Aε(ϕuε) = ϕf + gε + hε en RN , (2.112)

donde

gε = −2aεk`

∂uε

∂x`

∂ϕ

∂xk− aε

k`

∂2ϕ

∂xk∂xùε = −2σε

k

∂ϕ

∂xk− aε

k`

∂2ϕ

∂xk∂xùε

hε = −∂aε

k`

∂xk

∂ϕ

∂xùε.

Utilizando los argumentos que hemos desarrollado en (2.109)–(2.111) pasamos al lımite en (2.112).Primero, como ϕuε esta acotada en H1(RN ), podemos despreciar todos los modos superiores(m ≥ 2) por la Proposicion 2.4. Pasando al lımite en la ecuacion correspondiente a m = 1, nosqueda

12∂2λ1

∂ηkη`(0)ξkξ`ϕu∗(ξ) = ϕf(ξ) + lım

ε→0Bε

1gε + lım

ε→0Bε

1hε. (2.113)

Procedemos a pasar al lımite en la primera componente de Bloch de gε y hε, respectivamente.Como σε

k esta acotada en L2(Ω), existe una subsucesion que converge debilmente en L2(Ω).A esta funcion lımite extendida por 0 fuera de Ω la llamamos σ∗. Usando este lımite se tiene

gε g∗ = −2σ∗∂ϕ

∂xk−M(ak`)u∗

∂2ϕ

∂xk∂xèn L2(RN )-debil.

Ası, de la Proposicion 2.6, Bε1g

ε converge a g∗ en L2loc(RN ) debil.

Notemos que hε no esta acotado en L2, por lo tanto no podemos aplicar la Proposicion 2.6 aBε

1hε. Sin embargo,

Bε1h

ε(ξ) = (2π)−N2

∫RN

hε(x)e−iξ·xdx+∫

RN

hε(x)e−iξ·x[φ1

(xε, εξ)− φ1

(xε, 0)]dx

= Iε1(ξ) + Iε

2(ξ). (2.114)

Integrando por partes en la primera integral resulta

Iε1(ξ) = (2π)−

N2

∫RN

aεk`

[∂2ϕ

∂x`∂xkuε +

∂ϕ

∂x`

∂uε

∂xk− iξk

∂ϕ

∂xùε

]e−iξ·xdx,

16Pag. 1654 de [36].17D(Ω) denota el espacio de funciones C∞(Ω) de soporte compacto incluido en Ω.


y haciendo ε→ 0, se tiene

Iε1(ξ) (2π)−

N2

M(ak`)∫

RN

[∂2ϕ

∂x`∂xku∗ − iξk

∂ϕ

∂xù∗]e−iξ·xdx +

∫RN

σ∗k∂ϕ

∂xè−iξ·xdx

,

en L2(RN ) debil. Por otro lado, utilizando el desarrollo de Taylor de φ1 en ξ = 0 en la segundaintegral de (2.114), resulta

Iε2(ξ) = −ε−1

∫RN

∂ak`

∂yk

(xε

) ∂ϕ

∂xùεe−iξ·x

[ε∂φ1

∂ηj

(xε, 0)ξj +O(ε2|ξ|2)

]dx.

Ası, cuando ε→ 0, tenemos

Iε2(ξ) −M

(∂ak`

∂yk

∂φ1

∂ηj(·, 0)

)ξj

∫RN

u∗∂ϕ

∂xè−iξ·xdx,

en L2(RN ) debil, y concluımos con el lımite de hε.Usando todos estos resultados en (2.113) y los resultados del Apendice B, resulta

a∗k`ξkξ`ϕu∗(ξ) = ϕf(ξ)− (2π)−

N2

∫RN

σ∗k∂ϕ

∂xè−iξ·xdx

−iξk(2π)−N2 a∗k`

∫RN

u∗∂ϕ

∂xè−iξ·xdx, (2.115)

y esta expresion es la localizacion de la ecuacion homogeneizada en el espacio de Fourier. Enefecto, tomando la transformada inversa de (2.115), resulta:

A∗(ϕu∗) = ϕf − σ∗k∂ϕ

∂x`− a∗k`

∂

∂xk

(u∗∂ϕ

∂x`

)en RN . (2.116)

Por otro lado, calculamos directamente A∗(ϕu∗):

A∗(ϕu∗) = ϕA∗u∗ − 2a∗k`

∂u∗

∂xk

∂ϕ

∂x`− a∗kù

∗ ∂2ϕ

∂x`∂xken RN . (2.117)

Comparando (2.116) y (2.117), obtenemos

ϕ(A∗u∗ − f) =(a∗k`

∂u∗

∂xk− σ∗k

)∂ϕ

∂xèn RN .

Y como esta relacion es cierta para toda ϕ ∈ D(Ω), concluımos la prueba del Teorema 2.2.

2.5. PRESENTACION DE LOS RESULTADOS 49

2.5. Presentacion de los resultados

Anteriormente hemos estudiado el proceso de homogeneizacion de operadores elıpticos desegundo orden con coeficientes periodicos. Ahora continuamos con este estudio y para ello con-sideramos una familia de operadores

Aε = − ∂

∂xk

(aε

k`(x)∂

∂x`

)(2.118)

con aεk`(x) = ak`

(xε

), donde los coeficientes ak` para k, ` = 1, . . . , N , satisfacen:

akl ∈ L∞# (Y ) donde Y =]0, 2π[N ,

∃α > 0 tal queN∑

k,`=1

akl(y)ηkηl ≥ α|η|2 ∀η ∈ CN , p.c.t. y ∈ Y

akl = alk ∀l, k = 1, ..., N,

(2.119)

y una familia de soluciones uε de

Aεuε = f en Ω ⊆ RN .

Suponiendo que la sucesion uε converge en H1(Ω)-debil a una funcion u∗, hemos visto en elTeorema 2.2 que u∗ satisface

A∗u∗ = f en Ω ⊆ RN .

El operador A∗ se denomina operador homogeneizado y vimos que es de la forma

A∗ = − ∂

∂xk

(a∗k`

∂

∂x`

)(2.120)

donde los coeficientes a∗k` son constantes y estan definidos en (2.16)-(2.17).El objetivo de este capıtulo es encontrar los terminos correctores de la solucion homogeneizada

u∗, es decir, hallar alguna funcion ωε1, distinta de uε − u∗, y facilmente computable tal que

uε − u∗ − ωε1 → 0,

en algun sentido que mejore la convergencia que ya tenemos. Como uε converge a u∗ debilmente enH1(Ω), buscaremos una funcion ωε

1 ∈ H1(Ω), que dependa de ε de forma sencilla y que satisfaga:

‖uε − u∗ − ωε1‖H1(Ω) → 0 cuando ε→ 0. (2.121)

A ωε1 se le llama primer corrector de la solucion homogeneizada u∗, siguiendo la terminologıa

clasica de [16], pag 49. Esta definicion se puede generalizar. De este modo, diremos que wεm ∈

H1(Ω) es el corrector de orden m o m-esimo corrector, si satisface

‖uε − u∗ − ωε1 − · · · − ωε

m‖H1(Ω) ≤ cεm−1. (2.122)

Son diversos los metodos que permiten obtener y justificar aproximaciones del tipo de (2.121).Un metodo clasico de obtener los correctores de manera formal es utilizar una expansion en escalas


multiples (ver [16]). Pero la justificacion de la convergencia (2.121), exige de otras herramientascomplementarias, como el metodo de la energıa. En la Seccion 2.2 repasamos la expansion enescalas multiples y como se obtiene la convergencia (2.121).

Otro metodo para justificar la convergencia (2.121) es el de la convergencia a dos escalas,debida a Allaire y Nguetseng (vease en [2] y [74]). La nocion de convergencia a dos escalasconsiste esencialmente en lo siguiente: Una sucesion de funciones vε en L2(Ω), siendo Ω un dominioarbitrario, se dice que converge a dos escalas a una funcion v0(x, y) de L2(Ω × Y ) si, para todafuncion ψ(x, y) infinitamente diferenciable e Y -periodica en y, se verifica

lımε→0

∫Ω

vε(x)ψ(x,x

ε

)dx =

∫Ω

∫Y

v0(x, y)ψ(x, y) dx dy.

En [74] se justifica el primer miembro de la expansion en dos escalas de [16] (vease la Seccion 2.2)para la homogeneizacion en el sentido de la convergencia a dos escalas. En particular, se demuestraque uε converge a dos escalas a u0, primer termino de la expansion, y que esta convergencia implicala convergencia debil en H1 de uε a

u∗(x) =∫Y

u0(x, y) dy.

El mismo metodo permitio a Allaire en [2] obtener el corrector θε1 en el sentido de la convergencia

a dos escalas que coincide con el segundo termino de la expansion obtenido en [16].

A la hora de calcular los correctores de orden superior vamos a considerar dos casos: cuandoexiste frontera y cuando no, i.e. Ω = RN . En el primer caso, la frontera influye de forma sig-nificativa en las estimaciones. En el caso de condiciones de contorno Dirichlet, para lograr unaestimacion de orden ε en la norma de H1

0 (Ω) es preciso encontrar una funcion cuya energıa seconcentra en el borde y para ello se ha de trabajar en dominios adecuados (ver [73] y [8]).

En el segundo caso, el cual incluye el dominio Ω = RN o cuando se satisfacen condicionesde contorno periodicas, la aproximacion macroscopica obtenida a partir de metodos de homo-geneizacion nos da una estimacion de orden ε en la norma de la energıa (ver [11] y [13]). Noexisten resultados sobre correctores de orden mayor que 2 en el sentido de la definicion (2.122).Otro de los objetivos de este capıtulo es abordar este problema mediante las aproximaciones deBloch.

2.5.1. Aproximacion de Bloch

En este apartado vamos a motivar la relevancia de lo que denominamos la aproximacion deBloch en el calculo de los correctores.

Para hacer la presentacion lo mas sencilla posible consideramos la ecuacion

Aεuε + uε = f en RN . (2.123)

Utilizando el Teorema 2.3, podemos expresar la ecuacion (2.123) de una manera equivalente:

(1 + λεm(ξ))Bε

muε(ξ) = Bε

mf(ξ) ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y, (2.124)


donde Bεmu

ε, Bεmf denotan los m-esimos coeficientes de Bloch de uε y f , respectivamente, es

decir,

Bεmu

ε(ξ) =∫

RN

uε(x)e−ix·ξφεm(x, ξ)dx ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′,

Bεmf(ξ) =

∫RN

f(x)e−ix·ξφεm(x, ξ)dx ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′.

En el proceso de homogeneizacion de este sistema, es decir, cuando pasamos al lımite (ε→ 0),podemos prescindir de todos los terminos m ≥ 2 (vease Proposicion 2.5). Basta entonces analizarla ecuacion:

(1 + λε1(ξ))B

ε1u

ε(ξ) = Bε1f(ξ) ∀ ξ ∈ ε−1Y (2.125)

En la Seccion 2.4.4 se vio que u∗ el lımite debil en H1 de uε, satisface la ecuacion homogeneizadaen el espacio de Fourier

(1 + a∗k`ξkξ`)u∗(ξ) = f(ξ). (2.126)

Aquı, f denota la clasica transformada de Fourier

f(ξ) = (2π)−N2

∫RN

f(x)eiξ·xdx.

Para encontrar los correctores, gracias a la Proposicion 2.5, podemos prescindir de los modossuperiores. Ası, estudiar uε es lo mismo que estudiar su proyeccion sobre el primer subespacio deBloch que denotamos por

Bε1u

ε(x) =∫

ε−1Y ′

Bε1u

ε(ξ)eix·ξφε1(x, ξ)dξ, x ∈ RN . (2.127)

Sustituyendo en (2.127) Bε1u

ε por la solucion u∗ del problema lımite obtenemos una aproximacionde uε que denominaremos aproximacion de Bloch y la denotamos por

θε(x) =∫

ε−1Y ′

u∗(ξ)eix·ξφε1(x, ξ)dξ, x ∈ RN . (2.128)

En primer lugar, conviene observar que θε se encuentra en el mismo subespacio de Bloch queBε

1uε y que va a mantener gran parte de la informacion del medio oscilante. Ademas, es conocido

que el primer coeficiente de Bloch de uε converge a la transformada de Fourier de u∗. Todo estonos hace pensar de la adecuada eleccion de θε.

Finalmente, este proceso se puede generalizar y extender para obtener aproximaciones demayor orden. La idea es mantenerse en el primer subespacio de Bloch y desarrollar en potenciasde ε el primer coeficiente de Bloch uε

1. Consideramos ası la aproximacion de Bloch de orden k

θεk(x) =

∫|ξ|≤ε−1δ

k∑`=0

(−iε)`

`!

∑|α|=`

ξαuε,∗(α)(ξ)

eix·ξφε1(x, ξ)dξ, x ∈ RN . (2.129)


Para una definicion detallada de los elementos de esta expansion vease Capıtulo 5 la Seccion 5.2.Notese que en (2.129) consideramos unicamente frecuencias ξ tales que |ξ|ε ≤ δ, donde δ dependedel orden de aproximacion (a mayor k, δ menor) pero nunca de la escala ε.

Por otra parte, las funciones uε,∗(α) son soluciones de ecuaciones algebraicas en el espacio de

Fourier asociadas al operador homogeneizado y cuya funciones fuente pertenecen a L2, aunquepueden ser oscilantes. Mas concretamente, las funciones fuente van a ser la transformada deFourier de f con pesos adecuados que son las derivadas de φ1 en η = 0. Estas funciones, que sonperiodicas en x, estan definidas en la Proposicion 2.8.

A continuacion, vamos a presentar, por un lado, en que sentido se aproxima θε (y su general-izacion θε

k) a la solucion uε y cual es el orden de convergencia, y por otro, la expansion asintoticade θε y θε

k.

2.5.2. Descripcion de los resultados

El objetivo de este capıtulo es estudiar las propiedades de la aproximacion de Bloch y par-ticularmente su relacion con los correctores y las expansiones asintoticas. La presentacion de losresultados sigue el siguiente orden:

1. Definicion y propiedades de la aproximacion de Bloch sin considerar los efectos de la fron-tera.

2. Generalizacion de la aproximacion de Bloch y obtencion de expansiones asintoticas para lasolucion de (2.123).

3. Aproximacion de Bloch en dominios acotados regulares.

En primer lugar, consideramos el caso en el que no se tienen en cuenta los efectos de lafrontera.

Teorema 2.4 Suponemos que los coeficientes ak` verifican (2.119). Sea uε una sucesion quesatisface

Aεuε = f en RN ,

para f ∈ L2(RN ). Se define θε como en (2.128) donde (en este caso) u∗ satisface

A∗u∗ = f en RN .

Entonces, se tiene la siguiente estimacion

‖∇uε −∇θε‖2 ≤ cε‖f‖2. (2.130)

En la literatura existen estimaciones del tipo (2.130) (ver [16], pag. 66), obtenidas utilizandoel principio del maximo pero con mas hipotesis de regularidad para los coeficientes ak` y f . Aquı,obtenemos estas estimaciones bajo hipotesis optimas.


Realizando el desarrollo de Taylor de la primera autofuncion de Bloch se obtiene:

θε(x) = u∗(x) + εχk(x

ε)∂u∗

∂xk(x) + ε2

(χk`(

x

ε) + βk`

) ∂2u∗

∂xk∂x`(x) + · · · . (2.131)

En el Apendice B damos una definicion detallada de los diversos elementos de esta expansion.Esta expansion va a ser rigurosamente probada en lo sucesivo. El siguiente teorema proporcionauna justificacion rigurosa de los tres primeros terminos.

Teorema 2.5 Supongamos que los coeficientes ak` satisfacen (2.119) y u∗ es la solucion de(2.130) para Ω = RN .

(i) Si u∗ ∈ H1(RN ), entonces θε → u∗ fuerte en L2(RN ), es mas,

‖θε − u∗‖L2(RN ) ≤ cε‖u∗‖H1(RN )

. (2.132)

(ii) Supongamos que u∗ ∈ H2(RN ). Consideramos χk ∈W 1,∞# (Y ), solucion de (B.10) y χk

ε(x) =χk(x

ε ). Entonces se tiene∥∥∥∥θε − u∗ − εχkε

∂u∗

∂xk

∥∥∥∥H1(RN )

≤ cε(‖u∗‖H1(RN )

+ ‖u∗‖H2(RN )

). (2.133)

(iii) Supongamos que u∗ ∈ H3(RN ). Sean χk, χk` ∈ W 1,∞# (Y ), donde χk` es la solucion de

(B.11), χ`kε (x) = χ`k(x

ε ) y βk` son constantes definidas en (B.6). Entonces∥∥∥∥θε − u∗ − εχkε

∂u∗

∂xk− ε2

(χk`

ε + βk`

) ∂2u∗

∂xk∂x`

∥∥∥∥H1(RN )

≤

≤ cε2(‖u∗‖H2(RN )

+ ‖u∗‖H3(RN )

). (2.134)

El resultado de este teorema se puede generalizar a otros espacios de Sobolev como H−1. Enparticular, se pueden calcular estimaciones de θε de orden εk (k ∈ N) en la norma del espaciohomogeneo Hs cuando u∗ ∈ Hs(RN ) ∩ Hs+k+1(RN ).

La demostracion del Teorema 2.4 se encuentra en el Capıtulo 3 en la Seccion 3.6.2 y la delTeorema 2.5 en la Seccion 3.6.3. Los Teoremas 2.4 y 2.5 son originales de esta memoria y hansido publicados en [32].

Ahora, presentamos los resultados que generalizan la aproximacion de Bloch y el sentido enque se tienen en todo RN . Para ello definimos el espacio de Bloch

Hkε (RN ) =

f(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

Bεmf(ξ)eix·ξφε

1(x, ξ)dξ con x ∈ RN ,

tal que∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(1 + λεm(ξ))k|Bε

mf(ξ)|2dξ <∞


y su norma se define por

‖f‖Hk

ε (RN )=

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

(1 + λεm(ξ))k|Bε

mf(ξ)|2dξ.

12

.

Conviene subrayar que por Parseval H0ε(RN ) = L2(RN ) y, por el Lema 2.5, se tiene que

H1ε(RN ) = H1(RN ) y H−1

ε (RN ) = H−1(RN ).

Para k ≥ 2 es difıcil que estos espacios se puedan identificar con los espacios de Sobolev debidoa que los coeficientes son rapidamente oscilantes.

Teorema 2.6 Sea θεk, k = 0, 1, . . . , la funcion definida en (2.129). Sea uε la solucion de

Aεuε + uε = f en RN ,

para f ∈ L2(RN ). Entonces,

‖uε − θεk‖H1−k

ε (RN )≤ ckε

1+k‖f‖2

k = 0, 1, . . . , (2.135)

donde c solo depende de k y N .

En primer lugar, queremos llamar la atencion sobre el hecho de que la funcion fuente f sesupone en L2(RN ). Se pueden probar otras variantes de este Teorema bajo diversas otras hipotesissobre f . En particular, si f se supone en H−s(RN ) (s > 0) se prueba que


ε (RN )≤ cε1+k−s‖f‖

−s,2.

Ahora senalamos que las funciones θεk se pueden desarrollar asintoticamente en los espacios

H1−kε siguiendo la misma filosofıa que en el Teorema 2.5 y entonces, por la estimacion (2.135)

podemos calcular la expansion de uε. En particular, para los espacios H1ε , H0

ε y H−1ε (los cuales,

como ya hemos dicho, se identifican con espacios de Sobolev) probamos el siguiente resultado:

Teorema 2.7 Sea uε la solucion de

Aεuε + uε = f en RN ,

para f ∈ L2(RN ), u∗ la solucion homogeneizada, uε,∗k y uε,∗

k` definidas por (5.32) y (5.35), respec-tivamente, y χk

ε , χk`ε dadas en el Teorema 2.5. Entonces,∥∥∥∥uε − [u∗ + εχk

ε

∂u∗

∂xk]∥∥∥∥

1,2

≤ c0ε‖f‖2, (2.136)∥∥∥∥uε − [u∗ + εχk

ε

∂u∗

∂xk+ ε

∂uε,∗k

∂xk]∥∥∥∥

2

≤ c1ε2‖f‖

2, (2.137)∥∥∥∥uε −

(u∗ + εχk

ε

∂u∗

∂xk+ ε2[χk`

ε + βk`]∂2u∗

∂xk∂x`+

+ε∂uε,∗

k

∂xk+ ε2χ`

ε

∂2uε,∗k

∂xk∂x`+ ε2

∂2uε,∗k`

∂xk∂x`

)∥∥∥∥−1,2

≤ c2ε3‖f‖

2. (2.138)


La demostracion del Teorema 2.6 se encuentra en el Capıtulo 5, Secciones 5.2.4 y 5.3.1. Lospasos para calcular explıcitamente la aproximacion de Bloch (2.129) se dan en el Capıtulo 5,Seccion 5.2. La demostracion de las expansiones (2.136)–(2.138) se encuentra en el Capıtulo 5,Seccion 5.3.

Finalmente, vamos a considerar tambien el problema de Dirichlet,Aεuε = f en Ω,uε = 0 en ∂Ω,

cuando Ω es un dominio acotado y f ∈ L2(Ω). Es conocido (ver Seccion 2.1) que uε convergedebilmente enH1

0 (Ω) a u∗, la solucion homogeneizada. En esta memoria, gracias a la aproximacionde Bloch, recuperamos el primer corrector de u∗.

En (2.128) se define la aproximacion de Bloch en todo el espacio. Ası, para poder utilizar laaproximacion de Bloch en dominios acotados debemos modificarla para que se tenga en cuentalas condiciones de contorno de que se disponen. Para ello, utilizaremos una funcion de truncaturaque satisface las siguientes condiciones

ϕε ∈ C1(R),ϕε(0) = ∂ϕε

∂t (0) = 0,ϕε(t) = t, si |t| ≥ ε,∣∣∣∂2ϕε

∂t2(t)∣∣∣ ≤ cε−1, para casi todo t ∈ R.

(2.139)

Definimos la aproximacion de Bloch asociada al dominio Ω como:

θε(x) =∫

ε−1Y ′

ϕε u∗(ξ)eix·ξφε1(x, ξ)dξ para x ∈ Ω. (2.140)

Notemos que ϕε u∗ es la transformada de Fourier de la funcion ϕε u∗, donde es la funcioncomposicion y por u∗ consideramos a la extension por 0 a todo RN de la solucion homogeneizada(que tambien hemos llamado u∗).

La formula (2.140) se trata efectivamente de una expresion semejante a la introducida (2.128)en el caso de RN salvo que en esta ocasion, a traves de la funcion ϕε, la solucion del prob-lema homogeneizado ha sido debidamente truncada en torno a ∂Ω. Ahora, calculamos los dosprimeros terminos del desarrollo de θε y estos nos van a dar el resultado del primer correctorcomo enunciamos en el siguiente teorema:

Teorema 2.8 Sea χk la unica solucion de (B.11) tal que χk ∈W 1,∞# (Y ). Sea θε la aproximacion

de Bloch definida en (2.140) y ϕε la funcion truncatura que satisface (2.139). Supongamos quela solucion homogeneizada satisface |∇u∗| ∈ L4(Ω). Entonces, se tiene que

θε − ϕε u∗ − εχkε

∂(ϕε u∗)∂xk

→ 0 en H1(Ω).

Ademas,

uε − ϕε u∗ − εχkε

∂(ϕε u∗)∂xk

→ 0 en H10 (Ω).

La demostracion de este resultado se presenta en el Capıtulo 4.

Capıtulo 3

Aproximacion de Bloch enhomogeneizacion

RESUMEN. Es este capıtulo se estudia el clasico problema de homogeneizacion de operadoreselıpticos con coeficientes periodicos. El metodo de la homogeneizacion consiste en el estudiodel comportamiento aasintotico de las soluciones uε de problemas de contorno asociadoscon tales operadores cuando el periodo ε > 0 de los coeficientes es pequeno. En el trabajoanterior de C. Conca and M. Vanninathan [36], se logra una nueva demostracion de laconvergencia debil a la solucion homogeneizada cuando ε→ 0 usando la descomposicion porondas de Bloch.

Siguiendo esta misma aproximacion, introducimos la que llamamos Aproximacion de Blochla cual nos permite aproximarnos a la solucion uε en la norma de la energıa. Como unasimple aplicacion, obtenemos que la aproximacion de Bloch contiene tanto al primero comoal segundo corrector.

57

3.1. INTRODUCTION 59

BLOCH APPROXIMATION IN HOMOGENIZATION

AND APPLICATIONS 1

by

C. Conca, R. Orive and M. Vanninathan

ABSTRACT. The classical problem of homogenization of elliptic operators with periodicallyoscillating coefficients is revisited in this paper. As is well-known, homogenization processin classical framework is concerned with the study of asymptotic behaviour of solutions uε

of boundary value problems associated with such operators when the period ε > 0 of thecoefficients is small. In a previous work by C. Conca and M. Vanninathan [36], a newproof of weak convergence as ε → 0 towards the homogenized solution was furnished usingBloch wave decomposition.

Following the same approach here, we go further and introduce what we call BlochApproximation which will provide energy norm approximation for the solution uε. We developseveral of its main features. As a simple application of this new object, we show that itcontains both the first and second order correctors. Necessarily, the Bloch approximation willhave to capture the oscillations of the solution in a sharper way. The present approach shedsnew light and offers an alternative to view classical results.

Key words: homogenization, Bloch waves, correctors.

3.1. Introduction

In this paper, the classical problem of homogenization of elliptic operators with periodicallyoscillating coefficients is revisited. As is well known, homogenization process is concerned withthe study of the behavior of solutions uε of boundary value problems associated with such op-erators when the coefficients are periodic with small period ε > 0. For an excellent introductionto this subject, the reader is referred to the book of A. Bensoussan, J.L. Lions and G. Pa-panicolaou [16]. In a previous work by C. Conca and M. Vanninathan [16], a new proofof weak convergence of uε towards the homogenized solution u∗ was furnished using Bloch wave

1Transcripcion del artıculo [32]

60 CAPITULO 3. APROXIMACION DE BLOCH EN HOMOGENEIZACION

decomposition. Following the same approach, we go further and introduce what we call Bloch Ap-proximation of the solution uε. As a simple application of this new object, we treat the problemof correctors in homogenization. At this point, it is worthwhile to remark that the homogenizedsolution u∗ is merely the weak limit of solutions uε as ε → 0. The idea behind introducingcorrectors is to look for terms (called first order correctors) which when added to the homoge-nized solution provide an approximation in the energy norm for all ε sufficiently small. Secondorder correctors yield an error estimate in the energy norm of order O(ε). The main feature ofBloch approximation is that it contains both the first and second order corrector terms. Anotherimportant feature is that it is easily computable in principle.

Historically, a classical way of obtaining such correctors is to work in the physical space anduse multiscale expansion of the solution which was first introduced in the basic book just cited.As we will see, the method of Bloch waves sheds new light and offers an alternative to viewthe classical results. This method naturally leads us to work in the Fourier space, and thus in aframework dual to the one used in L. Tartar [98]. However, it is important to mention that theBloch wave method does not presuppose any multiscale structure of the solution; on the contrary,such a structure of the solution will be a consequence of the present method. Although correctorsare generally not unique, our approach yields aposteriori the same ones as those obtained in [16].

Before proceeding further, we mention a word about the notations adopted in the sequel.Unless mentioned explicitly, the usual summation convention with respect to the repeated indicesis understood. The constants appearing in various estimates independent of ε are genericallydenoted by c, c1, c2 etc. Apart form the usual norms in Sobolev spaces H1, H2, we will also usethe following semi-norms:

|v|H1

= N∑

j=1

∥∥Djv∥∥2

L2

12, |v|

H2= N∑

j,k=1

∥∥D2j,kv∥∥2

L2

12.

Let us now introduce the problem to be studied in this work. We consider the operator

Adef= − ∂

∂yk

(ak`(y)

∂

∂y`

), y ∈ RN (3.1)

where the coefficients satisfyak` ∈ L∞# (Y ) where Y =]0, 2π[N , i.e., each ak` is aY -periodic bounded measurable function defined on RN , and∃α > 0 such that ak`(y)ηkη` ≥ α|η|2 ∀η ∈ RN , y ∈ Y a.e.,ak` = a`k ∀k, ` = 1, . . . , N.

(3.2)

For each ε > 0, we consider also the operator Aε where

Aε def= − ∂

∂xk

(aε

k`(x)∂

∂x`

)with aε

k`(x) = ak`(x

ε) x ∈ RN . (3.3)

In homogenization theory, it is usual to refer to x and y the slow and the fast variables respectively.They are related by y = x

ε . Associated with Aε, let us consider the following boundary-valueproblem

Aεuε = f in Ω, uε ∈ H10 (Ω), (3.4)


which is posed in an arbitrary bounded domain Ω in RN and f is a given element in L2(Ω). It isclassical that the above problem admits one and only one solution.

From the classical work [16], it is known that one can associate to Aε a homogenized operatorA∗ given by

A∗def= − ∂

∂xk

(qk`

∂

∂x`

). (3.5)

The homogenized coefficients qk` are constants and their definition is given below. The solutionuε of (3.4) converges weakly in H1

0 (Ω) to the so-called homogenized solution u∗ characterized by

A∗u∗ = f in Ω, u∗ ∈ H10 (Ω). (3.6)

In the present paper, we do not consider the effects of boundaries postponing them to asubsequent article [33]. In the case of RN , it is natural to replace the operator Aε by (Aε + I). Inthat case, if wε satisfies

(Aε + I)wε = g in RN ,wε w∗ in H1(RN )-weak,

(3.7)

where g is a given function in L2(RN ), then it can be seen that (see Proposition 3.11 below)

wε → w∗ in L2(RN )-strong. (3.8)

In view of the above result, there is no concentration of L2-energy at infinity and therefore, wewill consider throughout this paper a sequence uε and a function f ∈ L2(RN ) satisfying

Aεuε = f in RN ,uε u∗ in H1(RN )-weak,uε → u∗ in L2(RN )-strong.

(3.9)

The central issue in the analysis of the first order correctors is to obtain functions uε1 ∈ H1(RN ),

which can be easily constructed and have the following characteristic property

‖uε − u∗ − εuε1‖H1(RN )

→ 0 as ε→ 0. (3.10)

By definition, second order correctors uε2 ∈ H1(RN ) will enjoy the property

‖uε − u∗ − εuε1 − ε2uε

2‖H1(RN )≤ cε. (3.11)

One of the purposes in this article is to carry out a more general construction than the classicalone for correctors, namely Bloch approximation θε, which contains all the above correctors andjustify the procedure. Apart from this, θε contains a lot of information about the periodic mediumwhich will be amply demonstrated in this paper.


3.1.1. Survey of the previous results

In the classical book [16] the authors obtain an asymptotic expansion (with y = xε ) of the

form

uε(x) = u∗(x) + ε

χ

k(y)

∂u∗

∂xk(x) + u1(x)

+

+ε2χ

k`(y)

∂2u∗

∂xkx`(x) + χ

`(y)

∂u1

∂x`(x) + u2(x)

+ · · ·

(3.12)

Here, χk

is the unique solution of the cell problem

Aχ

k=∂ak`

∂y`in RN ,

χk∈ H1

#(Y ), MY (χk) def=

1|Y |

∫Y

χkdy = 0.

(3.13)

The function χk`

is characterized as the unique solution of

Aχk`

= ak` + akm∂χ`

∂ym− ∂

∂ym(amkχ`

)−MY (ak`)−MY (akm∂χ`

∂ym) in RN ,

χk`∈ H1

#(Y ), MY (χk`

) = 0.(3.14)

Further u1(x), u2(x), ... are independent of ε and satisfy equations of the type A∗uj = gj in RN ,where, for instance, g1(x) = bjk`D

3jk`u

∗, where bjk` are constants:

bjk` = MY

(ajm

∂χk`

∂ym+ ak`χj

)∀j, k, ` = 1, ..., N.

With these notations, the classical formula of the homogenized coefficients is as follows:

qk` = MY

(ak` + akm

∂χ`

∂ym

)∀k, ` = 1, ..., N.

(another characterization of qk` is given in Proposition 3.2 below).Using the above expansion, the first order corrector term is obtained in [16]. More precisely,

we have

Theorem 3.1 We assume that the coefficients ak` satisfy assumptions (3.2), f ∈ L2(RN ), andthe solution χ

k∈W 1,∞(Y ), k = 1, ..., N . Then the first order corrector is defined by

uε1(x) = χ

k(x

ε)∂u∗

∂xk(x),

which means that

‖uε − u∗ − εuε1‖H1(RN )

→ 0 as ε→ 0.


In this paper, we obtain a more general result using a different approach introduced in [16].The basic tool of this new approach is Bloch waves ψ associated with A which we define now.Let us consider the following spectral problem parameterized by η ∈ RN : find λ = λ(η) ∈ R andψ = ψ(y; η) (not identically zero) such that

Aψ(·; η) = λ(η)ψ(·; η) in RN , ψ(·; η) is (η;Y )-periodic, i.e.,ψ(y + 2πm; η) = e2πim·ηψ(y; η) ∀m ∈ ZN , y ∈ RN .

(3.15)

Next, we define φ(y; η) = e−iy·ηψ(y; η) and (3.15) can be rewritten in terms of φ as follows:

A(η)φ = λφ in RN , φ is Y -periodic. (3.16)

Here, the operator A(η) is defined by

A(η) def= −(

∂

∂yk+ iηk

)[ak`(y)(

∂

∂y`+ iη`)

], (3.17)

which can be rewritten as

A(η) = A+ iηkCk + ηkη`ak`(y) (3.18)

with

Ckφdef= − akj(y)

∂φ

∂yj− ∂

∂yj(akj(y)φ). (3.19)

It is clear from (3.15) that the (η, Y ) periodicity condition is unaltered if we replace η by(η+ q) with q ∈ ZN and η can therefore be confined to the dual cell η ∈ Y ′ = [−1

2 ,12 [N . It is well

known (Conca, Planchard and Vanninathan [34]) that for each η ∈ Y ′, the above spectralproblem admits a discrete sequence of eigenvalues with the following properties:

0 ≤ λ1(η) ≤ · · · ≤ λm(η) ≤ · · · → ∞,∀m ≥ 1,λm(η) is a Lipschitz function of η ∈ Y ′.

Besides, the corresponding eigenfunctions denoted by ψm(·; η) and φm(·; η) form orthonormalbases in the spaces of. all L2

loc(RN )-functions which are (η;Y )-periodic and Y -periodic respec-tively; these spaces are denoted by L2

#(η;Y ) and L2#(Y ). It is worthwhile to remark that these

eigenfunctions belong in fact to the spaces H1#(η;Y ) and H1

#(Y ) respectively, where

H1#(η;Y ) =

ψ ∈ L2

#(η;Y )∣∣∣ ∂ψ∂yk

∈ L2#(η;Y ) ∀k = 1, . . . , N

,

H1#(Y ) =

φ ∈ L2

#(Y )∣∣∣ ∂φ∂yk

∈ L2#(Y ) ∀k = 1, . . . , N

.

The functions ψm(·; η) and φm(·; η) (referred to as Bloch waves) introduced above enable usto describe the spectral resolution of A (an unbounded self-adjoint operator in L2(RN )) in theorthogonal basis eiy·ηφm(y; η)|m ≥ 1, η ∈ Y ′. More precisely, we have


Theorem 3.2 Let g ∈ L2(RN ). The mth Bloch coefficient of g is defined as follows:

(Bmg)(η) =∫

RN

g(y)e−iy·ηφm(y; η)dy ∀m ≥ 1, η ∈ Y ′.

Then the following inverse formula holds:

g(y) =∫Y ′

∞∑m=1

(Bmg)(η)eiy·ηφm(y; η)dη.

Further, we have Parseval’s identity:∫RN

|g(y)|2dy =∫Y ′

∞∑m=1

|(Bmg)(η)|2dη.

Finally, for all g in the domain of A, we have

Ag(y) =∫Y ′

∞∑m=1

λm(η)(Bmg)(η)eiy·ηφm(y; η)dη.

To obtain the spectral resolution of Aε in an analogous manner, let us introduce Bloch wavesat the ε-scale:

λεm(ξ) = ε−2λm(η), φε

m(x; ξ) = φm(y; η), ψεm(x; ξ) = ψm(y; η),

where the variables (x, ξ) and (y, η) are related by y = xε and η = εξ. Observe that φε

m(x; ξ) isεY -periodic (in x) and ε−1Y ′ periodic with respect to ξ. In the same manner, ψε

m(·; ξ) is (εξ; εY )periodic because of the relation ψε

m(x; ξ) = eix·ξφεm(x; ξ). Note that the dual cell at ε-scale is

ε−1Y ′ and hence we take ξ to vary in ε−1Y ′ in the sequel. With these notations, we have thefollowing result analogous to Theorem 3.2.

Theorem 3.3 Let g ∈ L2(RN ). The mth Bloch coefficient of g at the ε-scale is defined as follows:

(Bεmg)(ξ) =

∫RN

g(x)e−ix·ξφεm(x; ξ)dx ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′.

Then the following inverse formula and Parseval’s identity hold:

g(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(Bεmg)(ξ)e

ix·ξφεm(x; ξ)dξ,

∫RN

|g(x)|2dx =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

|(Bεmg)(ξ)|2dξ.

Finally, for all g in the domain of Aε, we get

Aεg(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)(Bε

mg)(ξ)eix·ξφε

m(x; ξ)dξ.


Using the above theorem, the classical homogenization result was deduced in [16]. Let usrecall the main steps. The first one consists of considering a sequence uε ∈ H1(RN ) satisfying(3.9). We can express the equation Aεuε = f in RN in the equivalent form

λεm(ξ)(Bε

muε)(ξ) = (Bε

mf)(ξ) ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′. (3.20)

In the homogenization process, one can neglect all the relations for m ≥ 2. More precisely, it isproved in [16] that the following result holds.

Proposition 3.1 Let

vε(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=2

(Bεmu

ε)(ξ)eix·ξφεm(x; ξ)dξ. (3.21)

Then ‖vε‖L2(RN ) ≤ cε.

Thus we can concentrate our attention only on the relation corresponding to the first Bloch wave:

λε1(ξ)(B

ε1u

ε)(ξ) = (Bε1f)(ξ) ∀ξ ∈ ε−1Y ′. (3.22)

The homogenized equation in the Fourier space

qk`ξkξ`u∗(ξ) = f(ξ) ∀ξ ∈ RN (3.23)

is obtained from (3.22) by passing to the limit as ε→ 0. Here, the symbol stands for the classicalFourier transformation

f(ξ) =1

(2π)N/2

∫RN

f(x)e−ix·ξdx.

To this end, the following results were established and applied in [16]:

Proposition 3.2 We assume that ak` satisfy (3.2). Then there exists δ > 0 such that the firsteigenvalue λ1(η) is an analytic function on Bδ

def=η | |η| < δ, and there is a choice of the firsteigenvector φ1(y; η) satisfying

η → φ1(·; η) ∈ H1#(Y ) is analytic on Bδ,

φ1(y; 0) = p(0) (= |Y |−1/2 = 1(2π)N/2 ).

Moreover, we have the relations

λ1(0) = 0, Dkλ1(0) =∂λ1

∂ηk(0) = 0 ∀k = 1, ..., N,

12D2

k`λ1(0) =12∂2λ1

∂ηk∂η`(0) = qk` ∀k, ` = 1, ..., N,

and there exist constants c and c such that

c|η|2 ≤ λ1(η) ≤ c|η|2 ∀η ∈ Y ′, (3.24)

0 < λ(N)2 ≤ λm(η) ∀m ≥ 2, η ∈ Y ′, (3.25)

where λ(N)2 is the second eigenvalue of the spectral problem for A in the cell Y with Neumann

boundary conditions on ∂Y .


Apart from the above result of regularity on the Bloch spectrum, we need to prove that thefirst Bloch transform is an approximation to Fourier transform. This result is naturally expectedfrom the fact that φε

1(x; ξ) → (2π)−N/2, as ε→ 0, ∀ξ ∈ RN .

Proposition 3.3 Let gε and g be in L2(RN ). Then

(i) If gε g weakly in L2(RNx ), then χ

ε−1Y ′Bε1g

ε g weakly in L2loc(RN

ξ ) provided there is a

fixed compact set K such that supp (gε) ⊂ K, ∀ε.

(ii) If gε → g in L2(RNx ), then χ

ε−1Y ′Bε1g

ε → g in L2loc(RN

ξ ).

These results easily lead us to the following homogenization theorem in RN :

Theorem 3.4 We consider a sequence uε satisfying (3.9). Then

aεk`

∂uε

∂x` qk`

∂u∗

∂x`in L2(RN ), ∀k = 1, ..., N.

In particular, u∗ satisfies A∗u∗ = f in RN .

Once the homogenization result in RN is established, it is an easy matter to deduce thecorresponding result in a bounded domain Ω by localization techniques using a cut-off functionφ ∈ D(Ω) (see [16]).

3.1.2. Presentation of new results: The Bloch approximation

Let us consider the sequence uε satisfying hypotheses (3.9). The Bloch Approximation of uε

is defined by the following formula:

θε(x) def=∫

ε−1Y ′

u∗(ξ)eix·ξφε1(x; ξ)dξ, x ∈ RN . (3.26)

First of all, let us remark that this object is not difficult to be computed in principle. Our goalthroughout this paper is to study properties of this function and particularly its relations withvarious correctors terms. It is worth noticing that θε is defined only in terms of the first Blochmode φε

1. We will see in Section 3.3 that higher Bloch modes φεm, m ≥ 2 do not contribute

at all in the analysis of the correctors of first and second order in the energy norm. (It will beinteresting to know whether these higher order modes play a part in the analysis of correctors instronger norms H2, . . . etc. For H2 estimates, we refer to our work [37]). Thus we are motivatedto introduce the projection onto the first Bloch mode: for all g ∈ L2(RN ), we define

P ε1 g(x) =

∫ε−1Y ′

Bε1g(ξ)e

ix·ξφε1(x; ξ)dξ, x ∈ RN . (3.27)

We note by the item (ii) of the Proposition 3.3 that the Fourier transform u∗ is an approximationof Bε

1uε. Therefore, heuristically speaking, the Bloch approximation θε is close to P ε

1uε, and hence

to uε. With these notations, we will prove


Theorem 3.5 Assume that the coefficients ak` satisfy (3.2). Let uε be the sequence introducedin (3.9). Then if f ∈ L2(RN ), we have

(uε − θε) → 0 in H1(RN ). (3.28)

Furthermore, we have the estimate

|uε − θε|H1(RN )

≤ cε‖f‖L2(RN )

. (3.29)

It is worth remarking that even though error estimates of the type (3.29) are sometimesfound in the literature, they are usually obtained using maximum principle with more regularityhypotheses on ak` and f . Here, we obtain these natural estimates under optimal hypotheses.

Thanks to the above result, we are reduced to expand θε in terms of ε in order to be able tocompare it with the classical correctors for uε. To fulfill this task, it is clear from the definitionof θε, that it is necessary to obtain asymptotic expansions of the first eigenvalue λε

1(ξ), and thefirst Bloch mode φε

1(·; ξ). (In addition, for our purposes below, we need an asymptotic expansionof the first Bloch transform Bε

1g(ξ) for which we refer the reader to Section 3.5. These resultsstrengthen previous ones, in particular, Proposition 3.3). We state now results in this directionand their proofs will be taken up in the following sections along with other auxiliary results.First, we introduce some test functions χk`, χk`m, χk`mn defined by the following cell problems(observe that the first ones of them are nothing but the functions already introduced in (3.14)): Aχ

k`= (ak` − qk`)−

12

(Ckχ`

+ C`χk

)in RN ,

χk`∈ H1

#(Y ), MY (χk`

) = 0.(3.30)

Aχ

k`m=

13

[(ak` − qk`)χm

+ (a`m − q`m)χk

+ (amk − qmk)χ`− Ckχ`m

− C`χmk−

−Cmχk`

]in RN ,

χk`m

∈ H1#(Y ), MY (χ

k`m) = 0.

(3.31)

Aχk`mn

=14!D4

k`mnλ1(0)− 14

(Cnχ

k`m+ Ckχ`mn

+ C`χmnk+ Cmχ

nk`

)+

+13!

[(ak` − qk`)χmn

+ (a`m − q`m)χkn

+ (akm − qkm)χ`n

+

+(amn − qmn)χk`

+ (a`n − q`n)χkm

+ (akn − qkn)χ`m

]in RN ,

χk`mn

∈ H1#(Y ), MY (χ

k`mn) = 0.

(3.32)

Proposition 3.4 All odd order derivatives of λ1 at η = 0 vanish, i.e.,

Dβλ1(0) = 0 ∀β ∈ ZN+ , |β| odd.


All even order derivatives of λ1 at η = 0 can be calculated in a systematic fashion. For instance,the fourth order derivatives have the following expressions: for all k, `,m, n = 1, ..., N

14!D4

k`mnλ1(0) =14

1|Y |

∫Y

Cnχ

k`m+ Ckχ`mn

+ C`χmnk+ Cmχ

nk`

dy −

− 13!

1|Y |

∫Y

(ak` − qk`)χmn

+ (a`m − q`m)χnk

+ (amn − qmn)χk`

+

+ (ank − qnk)χ`m+ (akm − qkm)χ

`n+ (a`n − q`n)χ

km

dy.

Various derivatives of φ1 at η = 0 can also be calculated in a systematic fashion.

Proposition 3.5 We have the following expressions

Dkφ1(y; 0) = ip(0)χk(y),

12!D2

k`φ1(y; 0) = −p(0)χk`

(y)− β(2)k` p

(0),

13!D3

k`mφ1(y; 0) = −ip(0)χk`m

(y)− i

3

(β

(2)k` χm

(y) + β(2)`mχk

(y) + β(2)mkχ`

(y))p(0),

14!D4

k`mnφ1(y; 0) = p(0)χk`mn

(y)− 13!

(β

(2)k` χmn

(y) + β(2)`mχnk

(y) + β(2)mnχk`

+

+β(2)nk χ`m

(y) + β(2)kmχn`

(y) + β(2)`n χkm

(y))p(0) + β

(4)k`mnp

(0)

with

β(2)k` =

12!

1|Y |

∫Y

χ`χ

kdy,

β(4)k`mn =

1|Y |

∫Y

14

[χ

`mnχ

k+ χ

kmnχ

`+ χ

n`kχ

m+ χ

k`nχ

n

]dy −

− 1|Y |

∫Y

16

[χ

`mχ

kn+ χ

kmχ

n`+ χ

`kχ

nm

]dy +

+1|Y |

12

(β

(2)k` β

(2)mn + β

(2)kmβ

(2)n` + β

(2)kn β

(2)m`

).

We note that all odd order derivatives of φ1 at η = 0 are purely imaginary and all even orderderivatives are real.

Since φ1(·; η) is proved to be analytic for |η| ≤ δ, we can expand it and this give rises to anasymptotic expansion of θε which is as follows:

θε(x) = u∗(x) + εχk(x

ε)∂u∗

∂xk(x)− ε2

(χ

k`(x

ε) + β

(2)k`

)∂2u∗

∂xk∂x`(x) + · · · (3.33)

This can be rigorously proved. Our next result is a sample where we specify the precise hypothesesneeded to justify the above expansion up to three terms.


Theorem 3.6 Assume that the hypotheses of Theorem 3.5 hold.

(i) If u∗ ∈ H1(RN ), then‖θε − u∗‖

L2(RN )≤ cε‖u∗‖

H1(RN ).

(ii) If f ∈ L2(RN ) and χk ∈ W 1,∞# (Y ) where χk is the solution of (3.13) and χε

k(x) = χk

(xε

),

then we have ∥∥∥∥θε − u∗ − εχεk

∂u∗

∂xk

∥∥∥∥H1(RN )


.

(iii) If f ∈ H1(RN ) and χk, χk` ∈ W 1,∞# (Y ) where χk` is the solution of (3.30), β(2)

k` areconstants defined in Proposition 3.5 and χε

k`(x) = χk`

(xε

), then∥∥∥∥θε − u∗ − εχε

k

∂u∗

∂xk+ ε2

(χε

k` + β(2)k`

) ∂2u∗

∂xk∂x`

∥∥∥∥H1(RN )

≤ cε2‖f‖H1(RN )

.

It is important to note that these above expansions are of Taylor type owing to the analyticityof λ1(η) and φ1(·; η). This is the main difference between this approach and the classical one foundin [16] where the expansion has a multiscale structure.

Concerning the hypotheses on the smoothness of functions χk and χk` in statement (ii) and(iii), it is worth mentioning from regularity theory of elliptic boundary value problems that W 1,∞-estimates are hard to come by. This is why, they are usually assumed in homogenization theory.However, several numerical studies with simple fibers show that these assumptions are valid. Thusthey are reasonable hypotheses to work with as far as certain applications are concerned.

The expansions of λ1(η), φε1(·; η), and Bε

1g(ξ) obtained in Propositions 3.2, 3.4, and Propo-sitions 3.8, 3.9, and 3.10 below has further interesting consequences which will be developed ina forthcoming paper. For the time being, we will be content with a few remarks. Since higherorder modes can be neglected, the first eigenvalue λ1(η) along with the first eigenvector φ1(·; η)represent the periodic medium under consideration. Their contributions occur somewhat sepa-rately without interaction at the levels of homogenized equation and correctors. More precisely,the first eigenvalue λ1(η) contributes at various levels through its derivatives at η = 0. The firsteigenvector φ1(·; η) and its first derivatives contribute through the first Bloch transform Bε

1g(ξ)and its expansion described in Propositions 3.9, 3.10.

In the homogenized equation, for instance, we see the product of the second order derivativesof λ1(η) at η = 0 with the 0th order term of Bε

1g(ξ), namely g(ξ). We see a similar structure in thecorrectors too. There seem to be situations where both interact and contribute jointly in a mannerdifferent from the above. One example of such a situation is the study of the propagation of wavesin a periodic medium. It appears that the homogenized medium is not good enough to provide anapproximation to the propagation for large times because of the appearance of dispersion effectsshown numerically in F. Santosa and W.W Symes [92]. We feel that this is an appropriateplace to highlight the improvements achieved in this work with respect to [92]. Apart from themathematical rigor, the main point is that the third order derivatives of λ1(η) at η = 0 are shownto be zero even in the multi-dimensional case. (In fact all odd order derivatives vanish). Moreover,our arguments are more general compared with the one-dimensional case covered in [92]. This


will have consequences in the propagation of waves in periodic media. We plan to cover theseaspects in a future publication.

We conclude this Introduction by saying how the rest of this paper is organized. Section 3.2is devoted to certain fundamental lemmas which are indispensable. As an immediate application,we prove, in Section 3.3, that the higher order Bloch modes are negligible. Taylor expansion for λ1

and φ1 are obtained in Section 3.4 which proves Propositions 3.4 and 3.5. Section 3.5 is devotedto the description of the asymptotic behavior of the first Bloch transform Bε

1 whose definition isgiven in Theorem 3.2. Finally, in Section 3.6, we present the proofs of the main results, namelyTheorem 3.5 and Theorem 3.6.

3.2. Fundamental lemmas

In this section, we prove a series of results which generalize the Parseval’s identity statedin Theorem 3.3. These estimates will be useful in the sequel for the analysis of correctors. Thefollowing two lemmas are easily seen to be generalizations of well-known classical results for −∆.

Lemma 3.1 For all g ∈ H1(RN), we have

c1|g|2H1(RN )

≤∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ ≤ c2|g|2H1(RN )

where c1 and c2 are constants independent of ε and g.

Proof. First of all, by uniform ellipticity of Aε, we have

α

∫RN

|∇g|2dx ≤∫

RN

Aεggdx ≤ β

∫RN

|∇g|2dx.

We can rewrite the middle term by applying Plancherel identity:∫RN

g(x)h(x)dx =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

Bεmg(ξ)Bε

mh(ξ)dξ ∀g, h ∈ L2(RN ). (3.34)

Indeed, using the spectral resolution of Aε, we get∫RN

Aεggdx =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ.

This completes the proof.

By using the duality between H1(RN ) and H−1(RN ), we deduce

Lemma 3.2 For all g ∈ H−1(RN ), there exist c1 and c2 which are independent of ε and g, suchthat

c1‖g‖2

H−1(RN )≤

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

11 + λε

m(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ ≤ c2‖g‖2

H−1(RN ).

3.2. FUNDAMENTAL LEMMAS 71

Proof. It is well-known that (Aε + I) : H1(RN ) → H−1(RN ) is an isomorphism. For everyg ∈ H−1(RN ) there exists a unique solution u ∈ H1(RN ) of Aεu+ u = g in RN . We can expressthe previous equation in the equivalent form:

(λεm(ξ) + 1)Bε

mu(ξ) = Bεmg(ξ) ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′.

Therefore, an application of Cauchy-Schwarz’s inequality yields

〈g, v〉 =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)Bε

muBεmvdξ

≤( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)|Bε

mu|2dξ)1/2( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)|Bε

mv|2dξ)1/2

≤( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

|Bεmg|2

(λεm(ξ) + 1)

dξ)1/2( ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(λεm(ξ) + 1)|Bε

mv|2dξ)1/2

for all v ∈ H1(RN ), g ∈ H−1(RN ). Here, 〈·, ·〉 denotes the H1(RN ) and H−1(RN ) duality pairing.By virtue of Lemma 3.1 and Parseval’s identity, the second term in the right hand side is equivalentto the H1-norm of v. Thus we deduce the existence of a constant c1 such that

c1‖g‖2

H−1(RN )≤

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

11 + λε

m(ξ)|Bε

mg(ξ)|2dξ,

which is the lower estimate in Lemma 3.2. To prove the upper estimate is enough to use thecontinuity of the solution u ∈ H1(RN ) with respect to the right hand side g ∈ H−1(RN ).

In our next lemma, we consider gε = gε(ξ) a measurable function defined on ε−1Y ′, andanother function ρ = ρ(y; η) measurable with respect to (y; η) and Y -periodic in y. We thenintroduce

Gε(x) =∫

ε−1Y ′

gε(ξ)eix·ξρ(x

ε; εξ)dξ, x ∈ RN . (3.35)

The following result estimates its L2(RN ) and H1(RN ) norms.

Lemma 3.3 We assume gε ∈ L2(ε−1Y ′) and ρ ∈ L∞(Y ′;H1#(Y )). Then we have

‖Gε‖2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖ρ(·; εξ)‖2

L2(Y )dξ,

|Gε|2H1(RN )

=∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖iξρ(·; εξ) + ε−1∇yρ(·; εξ)‖2

L2(Y )Ndξ.


Proof. We expand ρ(y; η) as a function of y in the orthonormal basis φm(y; η)∞m=1 where η isa parameter:

ρ(y; η) =∞∑

m=1

am(η)φm(y; η).

Introducing this expression in (3.35), we get

Gε(x) =∫

ε−1Y ′

gε(ξ)∞∑

m=1

am(εξ)eix·ξφεm(x; ξ)dξ.

Applying the Parseval’s identity of Theorem 3.3, we get

‖Gε‖2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2∞∑

m=1

|am(εξ)|2dξ.

This completes the proof of the first part of the lemma if we use the Parseval’s identity in L2(Y ):

‖ρ(·; η)‖2

L2(Y )=

∞∑m=1

|am(η)|2 ∀η ∈ Y ′. (3.36)

For the second part of the lemma, we differentiate formally Gε(x) with respect to x. We obtain

∇xGε(x) =

∫ε−1Y ′

gε(ξ)eix·ξ(iξρ(

x

ε; εξ) + ε−1∇yρ(

x

ε; εξ)

)dξ.

We remark that the above integral is of the same type as the one analyzed in the first part. Thiscompletes the proof.

The next lemma presents H1 estimates on the Bloch modes.

Lemma 3.4 We suppose that the coefficients ak` satisfy (3.2). Then there exists a constant c,depending on ‖ak`‖L∞(Y ) such that∥∥∥∂φm

∂yk(·; η)

∥∥∥L2(Y )

≤ c1λm(η)1/2 ∀η ∈ Y ′, m ≥ 1, k = 1, ..., N. (3.37)

To prove this, let us introduce the bilinear forms associated with the operators A(η) and A,respectively.

a(η;φ, ψ) =∫Y

ak`(y)(∂φ

∂y`+ iη`φ

)(∂ψ

∂yk+ iηkψ

)dy,

a(φ, ψ) =∫Y

ak`(y)∂φ

∂y`

∂ψ

∂ykdy.


The basic estimates on them are obtained in [34], p. 190: There exist constants c, c which areindependent of η ∈ Y ′ such that for all φ ∈ H1

#(Y )

c

(‖∇φ‖2

L2(Y )N+ |η|2‖φ‖2

L2(Y )

)≤ a(η;φ, φ) ≤ c

(‖∇φ‖2

L2(Y )N+ |η|2‖φ‖2

L2(Y )

), (3.38)

c‖∇φ‖2

L2(Y )N≤ a(φ, φ) ≤ c‖∇φ‖2

L2(Y )N(3.39)

Proof of Lemma 3.4 For simplicity, we denote φm(·; η) by φm(η). We recall that it satisfies

a(η;φm(η), ψ) = λm(η)(φm(η), ψ) ∀ψ ∈ H1#(Y ). (3.40)

To deduce (3.37), it is enough to take ψ = φm(η) and use (3.38).

Our next result concerns the estimation of expressions which are inverse to (3.35). We define

Jεg(ξ) =∫

RN

g(x)e−ix·ξρ(x

ε; εξ)dx for ξ ∈ ε−1Y ′, (3.41)

where g = g(x) is a measurable function defined on RN and ρ = ρ(y; η) is a measurable functiondefined on Y ×Y ′. We assume that ρ is Y -periodic in y. The required hypotheses on these functionswill depend on the estimate deduced on Jεg. This is illustrated in the results that follow whichare analogous to classical estimates on Fourier transform.

Lemma 3.5 (i) If g ∈ L2(RN ) and ρ ∈ L∞(Y ′;L2#(Y )), then we have

‖Jεg‖L2(ε−1Y ′)

≤ ‖g‖L2(RN )

‖ρ‖L∞(Y ′;L2

#(Y )).

(ii) If g ∈ H1(RN ) and ρ ∈ L∞(Y ′;H1#(Y )), then we have

‖(1 + |ξ|2)1/2Jεg(ξ)‖L2(ε−1Y ′)

≤ c

‖∇g‖

L2(RN )‖ρ‖

L∞(Y ′;L2(Y ))+

+ε−1‖g‖L2(RN )

‖∇yρ‖L∞(Y ′;L2(Y )N )

.

Proof. The idea is to consider the product space L2(Y ′;L2#(Y )) and expand ρ(y; η) in two steps.

First using the fact that φm(·; η)∞m=1 is an orthonormal basis in L2#(Y ), we get

ρ(y; η) =∞∑

m=1

am(η)φm(y; η) ∀y ∈ Y, η ∈ Y ′.

Next, for each m, we can expand am(η) in the usual Fourier series:

am(η) =∑

n∈ZN

amne2πin·η ∀η ∈ Y ′.


The corresponding Parseval’s identities are as follows:

‖ρ(·; η)‖2

L2(Y )=

∑m

|am(η)|2 ∀η ∈ Y ′,∫Y ′

|am(η)|2dη =∑

n∈ZN

|amn|2 ∀m ∈ N.

Using this expansion, we can rewrite Jεg as follows:

Jεg(ξ) =∞∑

m=1

∑n∈ZN

amne2πiεn·ξ

∫RN

g(x)e−ix·ξφm(x

ε; εξ)dx

which, according to the definition of Bεmg(ξ) is equal to

Jεg(ξ) =∞∑

m=1

∑n∈ZN

amne2πiεn·ξBε

mg(ξ) =∞∑

m=1

am(εξ)Bεmg(ξ).

By Cauchy-Schwarz inequality,

|Jεg(ξ)|2 ≤

( ∞∑m=1

|am(εξ)|2)( ∞∑

m=1

|Bεmg(ξ)|2

)

= ‖ρ(·; εξ)‖2

L2(Y )

( ∞∑m=1

|Bεmg(ξ)|2

)

≤ ‖ρ‖2

L∞(Y ′;L2#(Y ))

( ∞∑m=1

|Bεmg(ξ)|2

).

The proof of (i) is complete if we integrate the above inequality with respect to ξ ∈ ε−1Y ′ andapply Theorem 3.3. For the proof of (ii), we multiply (3.41) by (−iξk), and obtain

(−iξk)Jεg(ξ) =∫

RN

g(x)(−iξk)e−ix·ξρ(x

ε; εξ)dx

which, by integration by parts, can be rewritten as

(−iξk)Jεg(ξ) = −∫

RN

∂g

∂xk(x)e−ix·ξρ(

x

ε; εξ)dx− ε−1

∫RN

g(x)e−ix·ξ ∂ρ

∂yk(x

ε; εξ)dx.

It is now sufficient to apply (i) to each of the terms on the right hand side of the above relation.

Next, we will need some properties of the classical discrete Fourier transform in our asymp-totic description of the first Bloch transform. In particular, we are interested in the relationbetween discrete and continuous Fourier transforms. To this end, let us begin by introducingsome necessary notations. Let Y ε

` `∈ZN be the mesh of RN generated by the cell εY . More pre-cisely, Y ε

` = xε` + εY where xε

` = 2πε` is the origin of the cell Y ε` . We recall the definition of the


discrete Fourier transform of a function corresponding to this mesh: Let p > N be given. Forg ∈W 1,p(RN ) with compact support we define

F εg(ξ) =∑

`∈ZN

g(xε`)e

−ixε` ·ξ ∀ξ ∈ ε−1Y ′. (3.42)

It is worthwhile to recall that W 1,p(RN ) is embedded in C0(RN ) when p > N and so g(xε`) is

well-defined.

Lemma 3.6 For g ∈W 1,p(RN ) (p > N) with compact support K, we have

(i) εN (χε−1Y ′F

εg)(ξ) → 1(2π)N/2 g(ξ) for ξ ∈ RN .

(ii) ‖εNF εg‖L2(ε−1Y ′)

≤ c|K|p−22p

‖g‖

Lp(RN )+ ε‖∇g‖

Lp(RN )N

, |K| denotes the measure of K.

(iii) εNχε−1Y ′F

εg → 1(2π)N/2 g in L2(RN ).

Proof. To prove (i), we multiply (3.42) by εN to get

εNF εg(ξ) =1

(2π)N

∑`∈ZN

g(xε`)e

−ixε` ·ξ|Y ε

` |.

We regard the right side of the above equality as a Riemann sum of the integral

1(2π)N

∫RN

g(x)e−ix·ξdx

and hence converges to it as ε→ 0.To prove (ii), we observe that the right side of (3.42) is nothing but the Fourier series in the

variable ξ ∈ ε−1Y ′. Therefore, by Parseval’s identity, we get

εN∫

ε−1Y ′

|F εg(ξ)|2dξ =∑

`∈ZN

|g(xε`)|2.

We multiply this relation by εN and rewrite it as

ε2N

∫ε−1Y ′

|F εg(ξ)|2dξ =1

(2π)N

∑`∈ZN

|g(xε`)|2|Y ε

` |. (3.43)

To estimate the right side of the above equality, we integrate the inequality

|g(xε`)|2 ≤ 2

|g(x)|2 + |g(x)− g(xε

`)|2, x ∈ Y ε

` .

over Y ε` to obtain

|g(xε`)|2|Y ε

` | ≤ 2∫

Y ε`

|g(x)|2dx+∫Y ε

`

|g(x)− g(xε`)|2dx

. (3.44)


Since p > N , we can use the classical Morrey’s inequality (see Brezis [20], p. 167) to deduce

|g(x)− g(xε`)| ≤ cε

1−Np |∇g|

Lp(Y ε` )N

.

Using the above estimate in (3.44) and using Holder inequality, and summing over ` ∈ ZN , wecomplete the proof of (ii).

To prove the statement (iii) we first use (i) and (ii) to deduce that

εNχε−1Y ′(ξ)F

εg(ξ) 1

(2π)N/2g(ξ) in L2(RN )-weak.

Let us now expand∥∥∥∥εNχε−1Y ′Fεg − 1

(2π)N/2g

∥∥∥∥2

L2(RN )

= ε2N‖F εg‖2

L2(RN )+

1(2π)N

‖g‖2

L2(RN )−

− 2εN

(2π)N/2(χ

ε−1Y ′Fεg, g)

Now the relation (3.43) shows that

ε2N‖F εg‖2

L2(RN )→ 1

(2π)N

∫RN

|g|2dx =1

(2π)N‖g‖2

L2(RN ).

Thanks to the above weak convergence, the second term converges to

− 2(2π)N/2

1(2π)N/2

‖g‖2

L2(RN ).

This simple computation establishes the strong convergence in L2(RN ).

3.3. Higher Bloch modes are negligible

In this section, we consider a sequence of solutions uε of the equation with f ∈ H−1(RN ):

Aεuε = f in RN , uε ∈ H1(RN ). (3.45)

Let us recall that the above equation is equivalent to (3.20) in the Bloch space. In what follows,we present a systematic method of obtaining estimates on the solution in Sobolev spaces L2 andH1. In particular, we show that the component of uε in the higher Bloch modes do not play anyrole in the analysis of correctors of first and second order provided f is sufficiently smooth. Thuswe consider vε defined in (3.21) which is nothing but the projection of uε corresponding to allhigher Bloch modes. Estimates on vε derived in this section improve Proposition 3.1.

Proposition 3.6 We have the following estimates for f ∈ L2(RN ),

(i) |vε|H1(RN )


,

(ii) ‖vε‖L2(RN )

≤ cε‖f‖H−1(RN )

.

3.3. HIGHER BLOCH MODES ARE NEGLIGIBLE 77

Proof. To show (i), we apply Lemma 3.1 with g = vε, and use the equation (3.20). We obtain

‖∇vε‖2

L2(RN )N≤ c

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

1λε

m(ξ)|Bε

mf(ξ)|2dξ

≤ c supm≥2, ξ∈ε−1Y ′

1λε

m(ξ)‖f‖2

L2(RN ).

Proof of (i) is over since we have (cf. (3.25)):

supm≥2, ξ∈ε−1Y ′

1λε

m(ξ)≤ 1

λ(N)2

ε2. (3.46)

For the proof of (ii), we apply Lemma 3.2 with g = f and the equation (3.20). We have

‖vε‖2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

|Bεmu

ε(ξ)|2dξ

=∫

ε−1Y ′

∞∑m=2

1λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2dξ.

Writing

1λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2 =1 + λε

m(ξ)λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2

1 + λεm(ξ)

,

and using (3.46), we deduce that

1λε

m(ξ)2|Bε

mf(ξ)|2 ≤ cε2|Bε

mf(ξ)|2

1 + λεm(ξ)

.

The proof is complete if we use Lemma 3.2.

While the above proposition shows that vε can be neglected at the level of the first ordercorrectors (cf. (3.10)), the next result will demonstrate that vε can be neglected at the level ofcorrectors of first and second order. These finer estimates require naturally higher order regularityof f but not of the coefficients ak`(y). Let us state the following proposition whose proof is similarto the previous one and hence will not be repeated.

Proposition 3.7 We have the following estimates for f ∈ H1(RN ),

(i) |vε|H1(RN )

≤ cε2‖f‖H1(RN )

,

(ii) ‖vε‖L2(RN )

≤ cε2‖f‖L2(RN )

.

Assuming ak` are in W 1,∞# (Y ) and further assumptions, we can obtain H2-estimates on the

solution. This is difficult as it involves more subtleties (see [37]).


3.4. Taylor expansion of the first Bloch eigenvalue and eigenvec-tor

The purpose of this section is to indicate a systematic method to compute derivatives of thefirst Bloch eigenvalue λ1(η) and the first Bloch eigenvector φ1(·; η) at η = 0. In particular, we willbe proving Proposition 3.4 and 3.5. Recall that λ1(η) and φ1(·; η) depend analytically on η in asmall neighbourhood Bδ of η = 0. At the cost of reducing this neighbourhood, we claim that thebranch η 7→ φ1(·; η) can be so chosen that the following conditions are satisfied simultaneously:

η ∈ Bδ 7→ φ1(·; η) ∈ H1#(Y ) is analytic, (3.47)

‖φ1(·; η)‖L2(Y ) = 1 ∀η ∈ Bδ, (3.48)

Im

∫Y

φ1(y; η)dy = 0 ∀η ∈ Bδ. (3.49)

In the sequel, we will see that the above conditions fix uniquely the eigenvector φ1(·; η). Weremark that the condition (3.48) is classical whereas the condition (3.49) is somewhat unusualand it can be achieved as indicated below. The idea consists of multiplying φ1(·; η) by a complexnumber (α1(η)+ iα2(η)) where α1(η) and α2(η) are real analytic with respect to η and are chosensuch that

Im

∫Y

(α1(η) + iα2(η))φ1(y; η)dy = 0.

If we define

d(η) = (d1(η), d2(η))def=(Im

∫Y

φ1(y; η)dy,Re

∫Y

φ1(y; η)dy)

then the above condition is equivalent to

α1(η)d1(η) + α2(η)d2(η) = 0 ∀η ∈ Bδ.

Obviously, one such choice which is analytic is as follows:

α1(η) = −d2(η), α2(η) = d1(η).

Of course, the above procedure has destroyed the condition (3.48) (but not condition (3.47)).However, it can be regained by dividing by |d(η)|. This is possible because d(0) 6= 0 by our choiceof φ1(·; 0) (see Proposition 3.2).

Thanks to our choice of the branch satisfying (3.47) - (3.49), we will now draw some conse-quences which will simplify the computations below. In fact, differentiating (3.48) with respectto η, we get successively for all k, `,m, n = 1, ..., N ,

Re〈Dkφ1(·; η), φ1(·; η)〉 = 0, (3.50)

Re〈D2k`φ1(·; η), φ1(·; η)〉+ Re〈Dkφ1(·; η), D`φ1(·; η)〉 = 0, (3.51)

3.4. TAYLOR EXPANSION... 79

Re〈D3

k`mφ1(·; η), φ1(·; η)〉+ Re〈D2k`φ1(·; η), Dmφ1(·; η)〉+

+Re〈D2kmφ1(·; η), D`φ1(·; η)〉+ Re〈Dkφ1(·; η), D2

`mφ1(·; η)〉 = 0,(3.52)

Re〈D4k`mnφ1(·; η), φ1(·; η)〉+ Re〈D3

k`mφ1(·; η), Dnφ1(·; η)〉++Re〈D3

k`nφ1(·; η), Dmφ1(·; η)〉+ Re〈D2k`φ1(·; η), D2

mnφ1(·; η)〉++Re〈D3

kmnφ1(·; η), D`φ1(·; η)〉+ Re〈D2kmφ1(·; η), D2

`nφ1(·; η)〉++Re〈D2

knφ1(·; η), D2`mφ1(·; η)〉+ Re〈Dkφ1(·; η), D3

`mnφ1(·; η)〉 = 0,

(3.53)

where 〈·; ·〉 denotes the scalar product in L2#(Y ). On the other hand, differentiation of (3.49)

yields

Im

∫Y

Dβφ1(y; η)dy = 0 for all β ∈ ZN+ . (3.54)

From these sets of relations, it follows that∫Y

Dβφ1(y; 0)dy = 0 for all β ∈ ZN+ with |β| odd. (3.55)

3.4.1. First order derivatives

If we differentiate the eigenvalue equation (A(η)−λ1(η))φ1(·; η) = 0, once with respect to ηk,we obtain

Dk(A(η)− λ1(η))φ1(·; η) + (A(η)− λ1(η))Dkφ1(·; η) = 0. (3.56)

Taking scalar product with φ1(·; η), we get

〈[Dk(A− λ1)]φ1, φ1〉 = 0, (3.57)

where we have suppressed the dependence on η for ease of writing. We will continue with thisconvention in the sequel provided there is no ambiguity. It follows from (3.18) that

DkA(0) = iCk ∀η ∈ Y ′, (3.58)

where the operator Ck is defined in (3.19).If we evaluate the relation (3.57) at η = 0 and use the structure of Ck, we get immediately

that

Dkλ1(0) = 0 ∀k = 1, ..., N. (3.59)

The next step is to compute the first order derivatives of φ1 at η = 0. To this end, we go back to(3.56) and use (3.59). We obtain

ADkφ1(·; 0) = −DkA(0)φ1(·; 0) = −iCkφ1(·; 0).

Taking into account (3.55) and the above equation, we can solve uniquely for Dkφ1(y; 0), andobtain

Dkφ1(y; 0) = iφ1(y; 0)χk(y) = ip(0)χ

k(y), (3.60)

where, we recall, χk satisfies (3.13) and the constant p(0) was fixed in Proposition 3.2. Thus, thefirst order derivative is completely determined and

Dkφ1(y; 0) is purely imaginary. (3.61)


3.4.2. Second order derivatives

Our starting point is the relation (3.56) which we differentiate once with respect to η. Weobtain

[D2k`(A− λ1)]φ1 + [Dk(A− λ1)]D`φ1 + [D`(A− λ1)]Dkφ1 + (A− λ1)D2

k`φ1 = 0. (3.62)

Taking scalar product with φ1, we get

〈[D2k`(A− λ1)]φ1, φ1〉+ 〈[Dk(A− λ1)]D`φ1, φ1〉+ 〈[D`(A− λ1)]Dkφ1, φ1〉 = 0, (3.63)

for all η ∈ Bδ. If we use the information obtained in Paragraph 3.4.1 on Dkλ1(0), Dkφ1(·; 0),DkA(0), and the following

D2k`A(η) = 2ak`(y) ∀k, ` = 1, ..., N, η ∈ Y ′, (3.64)

we obtain

12!D2

k`λ1(0) =1|Y |

∫Y

ak`(y)dy −1

2|Y |

∫Y

(Ckχ`(y) + C`χk

(y))dy

=12(qk` + q`k) = qk` ∀k, ` = 1, ..., N. (3.65)

As before, the next step is to compute D2k`φ1(·; 0). For this purpose, we go back to (3.62) and

rewrite it with η = 0 as follows:

AD2k`φ1(·; 0) =

−2(ak` − qk`) + Ckχ`

+ C`χk

φ1(·; 0).

By comparing the above equation with (3.30) and using the simplicity of the eigenvalue underconsideration, we see that D2

k`φ1(·; 0) is of the form

12!D2

k`φ1(y; 0) = −p(0)χk`

(y)− β(2)k` p

(0)

for some constant β(2)k` . Thanks to (3.51) and (3.54), we can infer that

β(2)k` and D2

k`φ1(·; 0) are real. (3.66)

Moreover, β(2)k` admits the expression given in Proposition 3.5.

3.4.3. Third order derivatives

From the calculations done so far, it is now clear how to proceed further to calculate higherorder derivatives. So, we will be brief here. Differentiating (3.62), we get

[D3k`m(A− λ1)]φ1 + [D2

k`(A− λ1)]Dmφ1 + [D2`m(A− λ1)]Dkφ1+

+[D2km(A− λ1)]D`φ1 + [Dk(A− λ1)]D2

`mφ1 + [D`(A− λ1)]D2kmφ1+

+[Dm(A− λ1)]D2k`φ1 + (A− λ1)D3

k`mφ1 = 0.(3.67)

3.4. CONVERGENCE OF THE FISRT BLOCH TRANSFORM ... 81

Taking scalar product with φ1, we get〈[D3

k`m(A− λ1)]φ1, φ1〉+ 〈[D2k`(A− λ1)]Dmφ1, φ1 + 〈[D2

`m(A− λ1)]Dkφ1, φ1〉++〈[D2

km(A− λ1)]D`φ1, φ1〉+ 〈[Dk(A− λ1)]D2`mφ1, φ1〉+

+〈[D`(A− λ1)]D2kmφ1, φ1〉+ 〈[Dm(A− λ1)]D2

k`φ1, φ1〉 = 0.(3.68)

To conclude that D3k`mλ1(0) = 0, it is enough to use the following information in the above

relation: DkA is purely imaginary, D2

k`A is real, D3k`mA = 0,

φ1(0), D2k`φ1(0) are real, Dkφ1(0) is purely imaginary.

(3.69)

It is evident that the above argument is very general and so can be used to establish that all oddorder derivatives of λ1 at η = 0 vanish. This proves the first part of Proposition 3.4.

To find the third order derivatives of φ1 at η = 0, we realize that (3.67) defines a periodicproblem for D3

k`mφ1(·; 0) which can be compared with (3.31). Further, the relation (3.55) saysthat its average vanishes. These observations are enough to get the expression of D3

k`mφ1(·; 0)given in Proposition 3.5. We conclude by observing the following important property:

D3k`mφ1(y; 0) is purely imaginary. (3.70)

3.4.4. Fourth order derivatives

To arrive at the expressions for the fourth order derivatives of λ1 and φ1 at η = 0 given inPropositions 3.4 and 3.5, we follow the same arguments as in Paragraph 3.4.3.

3.5. Convergence of the first Bloch transform to Fourier trans-form

This section is devoted to the proof of next proposition which shows the sense in which Fouriertransform is approximated by the first Bloch transform.

Proposition 3.8

(i) For every g ∈ L2(RN ) with compact support, we have

χε−1Y ′(ξ)B

ε1g(ξ) → g(ξ) in L∞loc(RN

ξ ).

(ii) If g ∈ L2(RN ), we have

χε−1Y ′(ξ)B

ε1g(ξ) → g(ξ) in L2(RN

ξ ).

This will be a consequence of a more general result. In order to state it, we need to introducesome new notations. To every function ρ = ρ(y; η) defined on Y × Y ′ which is Y -periodic in y,we associate the following function:

ρ(0)(η) =1|Y |

∫Y

ρ(y; η)e−iy·ηdy, η ∈ Y ′. (3.71)

With this notation, we have


Proposition 3.9 We suppose ρ ∈ L∞(Y ′;L2#(Y )). Then for all g ∈ W 1,p(RN ) with compact

support K and with p > N , we have

χε−1Y ′(ξ)

(Jεg(ξ)− (2π)N/2ρ(0)(εξ)g(ξ)

)→ 0 in L2(RN

ξ ). (3.72)

where, we recall, Jεg was defined in (3.41).

The proof will be taken up later. Admitting it for the moment, we turn our attention toProof of Proposition 3.8 If g ∈ L2(RN ) with compact support K, we have for all ξ ∈ RN :

|χε−1Y ′(ξ)B

ε1g(ξ)− g(ξ)| ≤ |χ

ε−1Y ′(ξ)(Bε1g(ξ)− g(ξ))|+ |(χ

ε−1Y ′(ξ)− 1)g(ξ)|

≤ c|K|‖g‖L2(RN )‖φ1(·; εξ)− φ1(·; 0)‖L2(Y )

+ |(χε−1Y ′(ξ)− 1)g(ξ)|.

If |ξ| is bounded, then using the fact that the map η 7→ φ1(·; η) ∈ L2#(Y ) is Lipschitz near η = 0,

we deduce

||φ1(·; εξ)− φ1(·; 0)‖L2(Y )

≤ cε.

This completes the proof of (i).The proof of (ii) is more involved. Firstly, according to Theorem 3.3, we have the uniform

estimate: ∫ε−1Y ′

|Bε1g(ξ)|2dξ ≤

∫RN

|g(x)|2dx

and so, by the usual density arguments, it is enough to prove (ii) with g ∈ D(RN ). We can nowcomplete the proof using Proposition 3.9. Indeed, with ρ = φ1, we see that

ρ(0)(εξ) → p(0) and Bε1g(ξ) = Jεg(ξ) ∀ξ ∈ RN ,

which implies, by Lebesgue’s dominated convergence theorem, that

(2π)N/2χε−1Y ′(ξ)ρ

(0)(εξ)g(ξ) → g(ξ) in L2(RNξ ).

Proof of Proposition 3.9 The key point is that the variation of ρ(xε ; εξ) with respect to x is

faster than that of g. To exploit this, we consider the ε-mesh Y ε` `∈ZN generated by the cell εY

which was already introduced at the end of Section 3.2. We decompose

Jεg(ξ) =∑

`∈ZN

∫Y ε

`

g(x)e−ix·ξρ(x

ε; εξ)dx =

∑`∈ZN

g(xε`)∫Y ε

`

e−ix·ξρ(x

ε; εξ)dx+ rε

1(ξ), (3.73)

where

rε1(ξ) =

∑`∈ZN

∫Y ε

`

(g(x)− g(xε`))e

−ix·ξρ(x

ε; εξ)dx. (3.74)

3.5. CONVERGENCE OF THE FISRT BLOCH TRANSFORM ... 83

The first term on the right side of (3.73) can be, by means of the change of variables x = xε` + εy,

transformed into

|Y |εNF εg(ξ)ρ(0)(εξ)

where F εg is the discrete Fourier transform of g and ρ(0) is defined in (3.71). Since we know thatχε−1Y ′(ξ)εNF εg(ξ) → 1

(2π)N/2 g(ξ) in L2(RN ) (cf. Lemma 3.6), our hypothesis on ρ ensures that∥∥∥χε−1Y ′(ξ)

|Y |εNF εg(ξ)− (2π)N/2g(ξ)

ρ(0)(εξ)

∥∥∥L2(RN )

→ 0. (3.75)

Thus, to complete the proof, it is enough to show that

‖rε1‖L2(ε−1Y ′)

≤ c(K)(1− N

p )ε‖ρ‖

L∞(Y ′;L2#(Y ))

‖∇g‖Lp(RN )

. (3.76)

To this end, we rewrite rε1 in a slightly different form, namely

rε1(ξ) =

∫RN

gε1(x)e

−ix·ξρ(x

ε; εξ)dx, (3.77)

where

gε1(x) =

∑`∈ZN

(g(x)− g(xε`))χY ε

`

(x). (3.78)

We already know how to estimate integrals of the type (3.77) in L2(RN ) (see Lemma 3.5) and sowe can deduce (3.76) provided we have the estimate

‖gε1‖L2(RN )

≤ c(K)(1− N

p )ε‖∇g‖

Lp(RN ). (3.79)

Thanks to our hypothesis, we can deduce a stronger estimate, namely

‖gε1‖Lp(RN )

≤ c

(1− Np )ε‖∇g‖

Lp(RN ), (3.80)

where c is a constant independent of K, the support of g. We note that (3.80) is a simpleconsequence of Morrey’s estimate (see [20], p. 167).

Finally, we note that (3.79) can be obtained from (3.80) with c(K) = c|K|1−2p and a simple

application of Holder inequality.

The proof of Proposition 3.9 shows that the result can be strengthened by assuming suitablesmoothness on g. Our next result is an example in this direction. It introduces naturally thefollowing quantities:

ρ(k)(η) =1|Y |

∫Y

ρ(y; η)yke−iy·ηdy ∀k = 1, ..., N, η ∈ Y ′. (3.81)

Then we have the following corrector result for Jεg:


Proposition 3.10 We suppose ρ ∈ L∞(Y ′;L2#(Y )). Then for all g ∈ W 2,p(RN ) with compact

support K and with p > N , we have

χε−1Y ′(ξ)

Jεg(ξ)− (2π)N/2

[ρ(0)(εξ) + iεξkρ

(k)(εξ)]g(ξ)

→ 0 in L2(RN

ξ ).

Proof. We follow the idea of the proof of Proposition 3.9. We decompose Jεg(ξ) as

Jεg(ξ) =∑

`∈ZN

∫Y ε

`

g(xε`) +∇g(xε

`) · (x− xε`) e−ix·ξρ(

x

ε; εξ)dx+ rε

2(ξ), (3.82)

where

rε2(ξ) =

∑`∈ZN

∫Y ε

`

g(x)− g(xε`)−∇g(xε

`) · (x− xε`) e−ix·ξρ(

x

ε; εξ)dx (3.83)

We can estimate rε2(ξ) as follows:

‖rε2‖L2(ε−1Y ′)

≤ c(K)(2− N

p )ε2‖ρ‖

L∞(Y ′;L2#(Y ))

|g|W 2,p(RN )

. (3.84)

This, in fact, will be a consequence of Lemma 3.5, because we can represent rε2 as follows:

rε2(ξ) =

∫RN

gε2(x)e

−ix·ξρ(x

ε; εξ)dx, (3.85)

with

gε2(x) =

∑`∈ZN

(g(x)− g(xε`)−∇g(xε

`) · (x− xε`))χY ε

`

(x) (3.86)

which admits the following estimates:

‖gε2‖L2(RN )

≤ c(K)(2− N

p )ε2|g|

W 2,p(RN ), (3.87)

‖gε2‖Lp(RN )

≤ c

(2− Np )ε2|g|

W 2,p(RN ). (3.88)

As before (3.87) will be a consequence of (3.88) with c(K) = c|K|1−2p .

To establish (3.88), what we need is a generalization of Morrey’s inequality for W 2,p functions,namely

|g(x)− g(xε`)−∇g(xε

`) · (x− xε`)| ≤

c

(2− Np )|x− xε

` |2−N

p |g|W 2,p(Y ε

` )∀x ∈ Y ε

` . (3.89)

3.6. PROOF OF THE MAIN CONVERGENCE RESULTS 85

Admitting the above estimate, it is an easy matter to prove (3.88). But the above estimate is aconsequence of Morrey’s inequality for the gradient ∇g ∈W 1,p(RN ) and the representation


`) · (x− xε`) =

1∫0

∇g((1− t)xε` + tx)−∇g(xε

`) · (x− xε`)dt ∀x ∈ Y ε

` .

This completes the proof of the estimate (3.84) on rε2. Thus, as expected, rε

2 tends to zero morerapidly. The same cannot be said for the first term on the right side of (3.82). Indeed, it is equalto

|Y |[εN (F εg)(ξ)ρ(0)(εξ) + εN+1(F ε ∂g

∂xk)(ξ)ρ(k)(εξ)

]. (3.90)

According to Lemma 3.6, we have the following convergence (apart from (3.75))

χε−1Y ′

|Y |[εN (F ε ∂g

∂xk)(ξ)− 1

(2π)N/2iξkg(ξ)

]ρ(k)(εξ)

→ 0 in L2(RN

ξ ). (3.91)

This clearly allows us to complete the proof.

3.6. Proof of the main convergence results

Applying the previously developed techniques and results, we are now in a position to provethe main convergence results stated in Section 3.1.2 of Introduction (namely Theorems 3.5, 3.6,and the statement (3.8)). We begin by recalling briefly the set-up. We take f ∈ L2(RN ) andconsider a sequence uε satisfying (3.9), i.e.,


(3.92)

3.6.1. No concentration of energy at infinity

Our hypothesis that uε → u∗ in L2(RN )-strong may, at first sight, look artificial. But this innot the case. If Ω is bounded and smooth, then it is classical that the weak convergence in H1(Ω)will automatically imply the strong convergence in L2(Ω). This is not the case in RN . To makecomparisons, the correct operator to consider is (Aε + I) instead of Aε in RN . In that case, wehave

Proposition 3.11 Assume that wε satisfies(Aε + I)wε = g in RN ,

wε w∗ in H1(RN )-weak,(3.93)

where g is a given function in L2(RN ). Then

wε → w∗ in L2(RN )-strong.


Proof. First of all, following the idea of Proposition 3.6, we can neglect higher Bloch modes ofwε and w∗. More precisely, we can show∫

ε−1Y ′

∞∑m=2

|Bεmw

ε(ξ)|2dξ ≤ cε4,

∫ε−1Y ′

∞∑m=2

|Bεmw

∗(ξ)|2dξ ≤ cε2.

Therefore, it remains to prove∫ε−1Y ′

|Bε1w

ε(ξ)−Bε1w

∗(ξ)|2dξ → 0. (3.94)

The equation in (3.93) gives the relation

(1 + λε1(ξ))B

ε1w

ε(ξ) = Bε1g(ξ), ξ ∈ ε−1Y ′.

We use it to write

χε−1Y ′(ξ)(B

ε1w

ε(ξ)−Bε1w

∗(ξ)) =χ

ε−1Y ′(ξ)Bε1g(ξ)

1 + λε1(ξ)

− w∗(ξ)−(χ

ε−1Y ′(ξ)Bε1w

∗(ξ)− w∗(ξ)).

According to Proposition 3.8, the last term tends to zero in L2(RN ). It suffices to show

χε−1Y ′(ξ)

Bε1g(ξ)

1 + λε1(ξ)

− w∗(ξ) → 0 in L2(RNξ ). (3.95)

Note that w∗ satisfies the homogenized equation A∗w∗ + w∗ = g in RN , which is equivalent to(12D2

k`λ1(0)ξkξ` + 1)w∗(ξ) = g(ξ), ξ ∈ RN .

So, (3.95) is reduced to

χε−1Y ′(ξ)

Bε1g(ξ)

1 + λε1(ξ)

− g(ξ)1 + 1

2D2k`λ1(0)ξkξ`

→ 0 in L2(RNξ ). (3.96)

The above expression can be written in the form

aε + bε

cε

where

aε =(

1 +12D2

k`λ1(0)ξkξ`

)[χ

ε−1Y ′(ξ)Bε1g(ξ)− g(ξ)

],

bε = −(λε

1(ξ)−12D2

k`λ1(0)ξkξ`

)g(ξ),

cε = (1 + λε1(ξ))

(1 +

12D2

k`λ1(0)ξkξ`

).


Now, we have the convergence

aε

cε=χ

ε−1Y ′(ξ)Bε1g(ξ)− g(ξ)

1 + λε1(ξ)

→ 0 in L2(RNξ )

because [1 + λε1(ξ)] ≥ 1 and by the virtue of Proposition 3.8.

The convergence of bε

cε is not immediate. To show this, we split the energy into three parts,taking γ > 0 a fixed constant:∫

|ξ|≤δε−1

|ξ|≤γ

(bε

cε

)2

dξ +∫

|ξ|≤δε−1

|ξ|>γ

(bε

cε

)2

dξ +∫

|ξ|>δε−1

(bε

cε

)2

dξ.

In the first two parts, we use the estimate∣∣∣∣λε1(ξ)−

12D2

k`λ1(0)ξkξ`

∣∣∣∣ ≤ c|ξ|3ε for |ξ| ≤ δε−1, (3.97)

which holds since λ1(0) = Dλ1(0) = 0 (see Proposition 3.2). In the first integral, we have cε ≥ 1and |bε(ξ)| ≤ cγ3ε|g(ξ)| and consequently, it is less than

cε2∫

RN

|g(ξ)|2dξ,

and hence converges to zero. In the second integral, we have

cε ≥ 12λε

1(ξ)D2k`λ1(0)ξkξ` ≥ c|ξ|4 ≥ cγ|ξ|3 since |ξ| ≥ γ > 0.

As regards bε, we still have |bε(ξ)| ≤ c|ξ|3ε|g(ξ)| and so the second integral also converges to zero.In the third integral, we use the bounds

|bε| ≤(λε

1(ξ) +12D2

k`λ1(0)ξkξ`

)|g(ξ)|,

cε ≥ λε1(ξ) +

12D2

k`λ1(0)ξkξ`.

Thus the third integral is estimated from above by∫|ξ|>δε−1

|g(ξ)|2dξ.

Obviously, this tends to zero as ε→ 0 since g ∈ L2(RN ).

3.6.2. Corrector result in RN

This section is devoted to the proof of Theorem 3.5 concerning the Bloch approximationθε. The proof consists of several steps which correspond to estimations of the required energyin different regions in the Fourier space (in a neighbourhood of the origin |η| ≤ δ, and in itscomplement |η| > δ).


Step 1. We decompose uε as follows:

uε = vε + P ε1u

ε,

where vε and P ε1u

ε are defined in (3.21) and (3.27) respectively. Thanks to Proposition 3.6, it isenough to prove

‖P ε1u

ε − θε‖L2(RN )

→ 0, (3.98)

|P ε1u

ε − θε|H1(RN )

≤ cε‖f‖L2(RN ). (3.99)

Step 2. We estimate the energies in the region |ξ| > δε−1. To this end, we introduce thequantities

θε,δ(x) =∫

ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

u∗(ξ)eix·ξφε1(x; ξ)dξ, (3.100)

P ε,δ1 uε(x) =

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

Bε1u

ε(ξ)eix·ξφε1(x; ξ)dξ. (3.101)

We will obtain the estimates

‖θε,δ‖L2(RN )


, (3.102)

|θε,δ|H1(RN )


, (3.103)

‖P ε,δ1 uε‖

L2(RN )≤ cε‖f‖

H−1(RN ), (3.104)

|P ε,δ1 uε|

H1(RN )≤ cε‖f‖

L2(RN ). (3.105)

We start with (3.105). Using Lemma 3.3 with ρ = φ1 and the inequalities (3.38), we get

|P ε,δ1 uε|2

H1(RN )≤ c

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

|Bε1u

ε(ξ)|2λε1(ξ)dξ.

Now (3.105) easily follows if we use (3.22) and (3.24). Next, we prove (3.103). Following the aboveprocedure, we get

|θε,δ|2H1(RN )

≤ c

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

|u∗(ξ)|2|ξ|2dξ. (3.106)

If f ∈ L2(RN ), then it is well-known that u∗ ∈ H2(RN ) and∫RN

|ξ|4|u∗(ξ)|2dξ ≤ c

∫RN

|f(ξ)|2dξ (3.107)


Combining (3.106) and (3.107), we get easily (3.103). We now show (3.102). By Parseval identity,we have

‖θε,δ‖2

L2(RN )=

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

|u∗(ξ)|2dξ ≤ cδε2

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

|ξ|−2|f(ξ)|2dξ,

since u∗ and f are related by the homogenized equation A∗u∗ = f in RN . This clearly implies

‖θε,δ‖2

L2(RN )≤ cδε

2

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

(1 + |ξ|2)−1|f(ξ)|2dξ = cδε2‖f‖2

H−1(RN ).

The proof of (3.104) is completely analogous.Step 3. Now, we consider the energies in |ξ| ≤ δε−1. To this end, let us define

ωε(x) =∫

|ξ|≤δε−1

(Bε1u

ε(ξ)− u∗(ξ))eix·ξφε1(x; ξ)dξ (3.108)

and show that

‖ωε‖L2(RN )

→ 0, (3.109)

|ωε|H1(RN )


. (3.110)

To prove (3.109), we decompose the integrand as follows:

Bε1u

ε − u∗ = Bε1(u

ε − u∗) + (Bε1u∗ − u∗).

By Parseval equality, the first term in L2-norm is bounded above by ‖uε − u∗‖L2(RN ) which, byour hypothesis, converges to zero. That the second term converges to zero in L2(RN ) is provedin Proposition 3.8.

Next, we turn are attention to the proof of (3.110). By Lemma 3.1, we have

|ωε|2H1(RN ) ≤ c

∫|ξ|≤δε−1

λε1(ξ)|Bε

1uε(ξ)− u∗(ξ)|2dξ. (3.111)

To estimate the above integral, we write the integrand as

Bε1u

ε(ξ)− u∗(ξ) = λε1(ξ)

−1(Bε1f(ξ)− f(ξ)) +

[λε

1(ξ)−1 −

(12D2

k`λ1(0)ξk ξ`)−1]

f(ξ)

Thus we get, using (3.24), that|ωε|2

H1(RN )≤ c

∫|ξ|≤δε−1

|Bε1f(ξ)− f(ξ)|2

|ξ|2dξ+

+ c

∫|ξ|≤δε−1

λε1(ξ)

∣∣∣λε1(ξ)

−1 −(1

2D2

k`λ1(0)ξkξ`)−1∣∣∣2|f(ξ)|2dξ.

(3.112)


To estimate the first term on the right hand side of (3.112), we represent the integrand as

Bε1f(ξ)− f(ξ)

|ξ|=∫

RN

f(x)e−ix·ξ (φε1(x; ξ)− φε

1(x; 0))|ξ|

dx.

Applying Lemma 3.5, and using ‖φ1(·; η)− φ1(·; 0)‖L2(Y ) ≤ c|η| for |η| ≤ δ, we get

∫|ξ|≤δε−1

|Bε1f(ξ)− f(ξ)|2

|ξ|2dξ ≤ cε2‖f‖2

L2(RN ).

The second term on the right side of (3.112) can be rewritten, using homogenized equation as∫|ξ|≤δε−1

|λε1(ξ)− 1

2D2k`λ1(0)ξkξ`|2

λε1(ξ)

|u∗(ξ)|2dξ.

Using (3.97) and (3.24), we see that the above integral is estimated from above by

cε2∫

|ξ|≤δε−1

|ξ|4|u∗(ξ)|2dξ ≤ cε2‖f‖2

L2(RN ).

This establishes (3.110) and hence the result.

3.6.3. Asymptotic expansion of the Bloch approximation

In this concluding paragraph, we prove Theorem 3.6.

Proof of (i) We have the following decomposition:

θε(x)− u∗(x) = zε(x) + θε,δ(x) + u∗,δ(x), (3.113)

where

zε(x) =∫

ξ∈ε−1Y ′|ξ|≤δε−1

u∗(ξ)eix·ξ(φε1(x; ξ)− φε

1(x; 0))dξ, (3.114)

u∗,δ(x) =1

(2π)N/2

∫|ξ|>δε−1

u∗(ξ)eix·ξdξ, (3.115)

and θε,δ is defined in (3.100).The second term has already been estimated in L2-norm (see (3.102)). The same proof shows

that the third term admits a bound

‖u∗,δ‖L2(RN )


≤ cε‖u∗‖H1(RN )

. (3.116)


To estimate the first term on the right side of (3.113), we must proceed differently. In fact, itis essential to use Lemma 3.3. We see then that

‖zε‖2

L2(RN )=

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≤δε−1

|u∗(ξ)|2‖φε1(·; ξ)− φε

1(·; 0)‖2

L2(Y )dξ.

Using the Lipschitz continuity of the map η 7→ φ1(·; η) ∈ L2(Y ), for |η| ≤ δ, we see that the aboveintegral can be majorized, and we obtain

‖zε‖2

L2(RN )≤ cε2

∫|ξ|≤δε−1

|u∗(ξ)|2|ξ|2dξ ≤ cε2|u∗|2H1(RN )

. (3.117)

This finishes the proof of (i). We note that we cannot, in general, assert that

|u∗|H1(RN )

≤ c‖f‖H−1(RN )

as we are working on the entire space RN .Proof of (ii) Because of (i), it suffices to prove∣∣∣θε − u∗ − εχε

k

∂u∗

∂xk

∣∣∣H1(RN )


. (3.118)

To this end, we use once again the decomposition (3.113) for (θε − u∗) in terms of zε, θε,δ, andu∗,δ. For θε,δ, we have the estimate (3.103). For u∗,δ, we can easily derive the estimate

|u∗,δ|2H1(RN )

≤ c

∫|ξ|>δε−1

|ξ|2|u∗(ξ)|2dξ ≤ cδε2‖f‖2

L2(RN ). (3.119)

Thus, we are reduced to obtain the estimate∣∣∣zε − εχε

k

∂u∗

∂xk

∣∣∣H1(RN )


. (3.120)

To this end, we use the representation

∂u∗

∂xk(x) =

1(2π)N/2

∫RN

(iξk)u∗(ξ)eix·ξdξ,

and combine it with the representation (3.114) for zε. We get

zε(x)− εχε

k(x)

∂u∗

∂xk(x) =

∫|ξ|≤δε−1

u∗(ξ)eix·ξ(φε

1(x; ξ)− φε1(x; 0)− ip(0)χε

k(x)εξk

)dξ −

−∫

|ξ|>δε−1

ip(0)χε

k(x)εξku∗(ξ)eix·ξdξ. (3.121)


To estimate the first term on the right side of (3.121), we appeal to Lemma 3.3. Further, we use∥∥∥φ1(·; η)− φ1(·; 0)− ip(0)χk(·)ηk

∥∥∥H1(Y )

≤ c|η|2 for |η| ≤ δ. (3.122)

The estimate on the second term on the right side of (3.121) is more straightforward. We getfinally ∣∣∣zε − εχε

k

∂u∗

∂xk

∣∣∣2H1(RN )

≤ cε2∫

RN

|ξ|4|u∗(ξ)|2dξ.

This completes the proof of (3.120) and hence (ii).Proof of (iii) Consider again the decomposition (3.113). Thanks to (3.100) and (3.106), wehave the estimates

‖θε,δ‖L2(RN )


, (3.123)

|θε,δ|H1(RN )

≤ cε2|f |H1(RN )

. (3.124)

Similar techniques imply

‖u∗,δ‖L2(RN )


, (3.125)

|u∗,δ|H1(RN )

≤ cε2|f |H1(RN )

. (3.126)

On the other hand, it is clear from the representation (3.121) that∥∥∥zε − εχε

k

∂u∗

∂xk

∥∥∥L2(RN )


. (3.127)

Thus, it is enough to obtain the estimate∣∣∣θε − u∗ − εχε

k

∂u∗

∂xk+ ε2(χε

k`+ β

(2)k` )

∂2u∗

∂xk∂x`

∣∣∣H1(RN )

≤ cε2|f |H1(RN )

. (3.128)

Thanks to (3.124) and (3.126), we are reduced to showing that∣∣∣zε − εχε

k

∂u∗

∂xk+ ε2(χε

k`+ β

(2)k` )

∂2u∗

∂xk∂x`

∣∣∣H1(RN )

≤ cε2|f |H1(RN )

. (3.129)

We can write

zε(x)− εχε

k(x)

∂u∗

∂xk(x) + ε2(χε

k`(x) + β

(2)k` )

∂2u∗

∂xk∂x`(x) =

=∫

|ξ|≤δε−1

u∗(ξ)eix·ξ[φε

1(x; ξ)− φε1(x; 0)− ip(0)χε

k(x)εξk + p(0)(χε

k`(x) + β

(2)k` )ε2ξkξ`

]dξ −

−∫

|ξ|>δε−1

ip(0)χε

k(x)εξku∗(ξ)eix·ξdξ +

∫|ξ|>δε−1

p(0)(χε

k`(x) + β

(2)k` )ε2ξkξ`u∗(ξ)eix·ξdξ. (3.130)


The analysis of the right hand side of (3.130) is similar to that of (3.121). The new informationneeded is the following:∥∥∥φ1(·; η)− φ1(·; 0)− ip(0)χ

k(·)ηk + p(0)(χ

k`(·) + β

(2)k` )ηkη`

∥∥∥H1(Y )

≤ c|η|3 for |η| ≤ δ, (3.131)

which is a simple consequence of Proposition 3.5. The proof is concluded via a simple applicationof Lemma 3.3.

Capıtulo 4

Aproximacion de Bloch en dominiosacotados

RESUMEN. En este capıtulo estudiamos el comportamiento asintotico de las soluciones uε

de problemas asociados a operadores elıpticos con coeficientes de periodo ε > 0 en dominiosacotados.

En el capıtulo anterior hemos introducido la aproximacion la cual nos permitıa aproximar ala solucion mediante la norma de la energıa en RN . Ahora, continuamos con este desarrollo yproponemos una aproximacion de Bloch modificada. Esta funcion tiene encuenta los efectos dela frontera. Establecemos la relacion con los clasicos correctores de primer orden. Ademas,todas las demostraciones se logran en los espacios Bloch-Fourier, s decir, en los espaciosduales.

95


BLOCH APPROXIMATION IN BOUNDED DOMAINS 1

by

C. Conca, R. Orive and M. Vanninathan

ABSTRACT. The classical problem of homogenization deals with elliptic operators in periodical-ly oscillating media of small period ε > 0 and the asymptotic behavior of solution uε of boundaryvalue problems associated with such operators. In a previous work [32], the authors introducedwhat is called Bloch approximation which provided energy norm approximation for the solutionin RN . This paper continues with the above development and proposes a modified Bloch approx-imation. This function takes into account boundary effects. Its connection with the first orderclassical correctors is also established. All the proofs are worked in the Fourier-Bloch space.

Key words: homogenization, Bloch waves, correctors.

4.1. Introduction

This paper considers the behavior of solutions of elliptic boundary value problems when thecoefficients are periodic with small period ε > 0. In particular, we take the effects of the boundaryinto account.

The fundamental work of A. Bensoussan, J.L. Lions and G. Papanicolaou [16] presents ho-mogenization results using an approach based on physical space analysis. Now, in this work weare going to take a Fourier point of view and propose accordingly a new way of obtaining theclassical correctors in homogenization.

In this direction, we introduced in [32] what we called Bloch approximation of the solutionof uε in the case of the whole space (i.e. without boundaries). It was shown that Bloch approx-imation contains the classical first and second correctors introduced in [16]. Roughly speaking,this incorporates multiple scale structure of the solution and provides an approximation in theenergy norm. The Bloch approximation is given by an elegant oscillatory integral involving thefirst Bloch wave.

However, the results in a bounded domain do not automatically follow from those in theentire space. Further, the method of obtaining such results in the physical space offers no clue

1Transcripcion de la pre-publicacion [33]

98 CAPITULO 4. APROXIMACION DE BLOCH EN DOMINIOS ACOTADOS

to the construction in the Bloch space. Therefore, we propose a modified Bloch approximationsuch that the proof of the classical first corrector remains entirely within Bloch space. It wasfurther substantiated by the numerical experiments performed by C. Conca, S. Natesan and M.Vanninathan in [31] and [30].

Let us now introduce the problem to be studied in this work. We consider the operator

Adef= − ∂

∂yk

(ak`(y)

∂

∂y`

), y ∈ RN (4.1)

where the coefficients satisfyak` ∈ L∞# (Y ) where Y =]0, 2π[N , i.e., each ak` is aY -periodic bounded measurable function defined on RN , and∃α > 0 such that ak`(y)ηkη` ≥ α|η|2 ∀η ∈ RN , y ∈ Y a.e.,ak` = a`k ∀k, ` = 1, . . . , N.

(4.2)

For each ε > 0, we consider also the operator Aε where

Aε def= − ∂

∂xk

(aε

k`(x)∂

∂x`

)with aε

k`(x) = ak`(x

ε) x ∈ RN . (4.3)

In homogenization theory, it is usual to refer to x and y the slow and the fast variables respectively.They are related by y = x

ε . Associated with Aε, let us consider the following boundary-valueproblem

Aεuε = f in Ω, uε ∈ H10 (Ω), (4.4)

which is posed in an arbitrary bounded domain Ω in RN and f is a given element in L2(Ω). It isclassical that the above problem admits a unique solution.

From the classical work [16], it is known that one can associate to Aε a homogenized operatorA∗ given by

A∗def= − ∂

∂xk

(qk`

∂

∂x`

). (4.5)

The homogenized coefficients qk` are constants and their definition is

qk` =1|Y |

∫Y

(ak` + akm∂χ`

∂ym)dydef=MY

(ak` + akm

∂χ`

∂ym

), (4.6)

where, for any k = 1, . . . , N , χk is the unique solution of the cell problemAχk =

∂ak`

∂y`in Y,

χk ∈ H1#(Y ), MY (χk) = 0.

(4.7)

The theory of homogenization gives the following result: the entire sequence of solutions uε of(4.4) converges weakly in H1

0 (Ω) to the so-called homogenized solution u∗ characterized by

A∗u∗ = f in Ω, u∗ ∈ H10 (Ω). (4.8)


The problem of the first order correctors is to obtain functions uε1 ∈ H1

0 (Ω) which are easy toconstruct and at the same time have the following characteristic property

‖uε − u∗ − εuε1‖H1

0 (Ω)→ 0 as ε→ 0. (4.9)

To obtain such corrector, multiscale expansion method is followed in [16]. The authors consideran asymptotic expansion (with y = x

ε ) of the form

uε(x) = u0(x, y) + εu1(x, y) + ε2u2(x, y) + · · · , (4.10)

where the functions ui are Y -periodic in the variable y. In particular, they get

u0(x, y) = u∗(x),u1(x, y) = χk(y)∂u∗

∂xk(x),

where χk is the solution of (4.7). Thus, an obvious candidate for the first order corrector isεu1(x, x

ε ); however it does not satisfy the boundary condition on ∂Ω and hence it is natural tointroduce cut-off functions mε having the following properties

mε ∈ D(Ω),mε(x) = 0 if dist(x,Γ) ≤ ε,mε(x) = 1 if dist(x,Γ) ≥ 2ε,ε|γ||Dγ

xmε(x)| ≤ cγ ∀γ ∈ ZN+ ,

(4.11)

which exist, provided ∂Ω is smooth enough. Then, the first order correctors can be chosen as

uε1(x) = mε(x)χk(

x

ε)∂u∗

∂xk(x). (4.12)

Under the hypotheses that χk ∈ W 1,∞(Y ) and u∗ ∈ H2(Ω) it is proved in [16] that uε1 ∈ H1

0 (Ω)and it is a first order corrector in the sense that (4.9) is satisfied.

In this work we are going to take a Fourier point of view and propose accordingly a new wayof obtaining correctors. A fundamental tool in this process is the modified Bloch approximation.With such an approach we obtain in the dual space a first corrector of the solution uε and, usingBloch techniques, we prove the convergence of this first corrector to the solution uε in the energynorm. We observe further that the modified Bloch approximation has the advantage that spectralmethods can be implemented to approximate problems exhibiting multiple scales.

Now, let us briefly summarize how this paper is organized. In Section 4.2, we give a briefexposition of previous results in homogenization of periodic structures via Bloch decompositionalong with the Bloch approximation in the case of the whole space. Section 4.3 introduces thedefinition of the modified Bloch approximation taking into account boundary effects and presentsits main properties and its connection with the first order correctors. In the fourth section, weestablish technical lemmas useful in the sequel. In section 4.5, we provide an asymptotic expansionof the modified Bloch approximation which is used in the next section to show that it implicitlycontains first order correctors of uε.


4.2. Survey of previous results

The basic tools of our approach are the Bloch waves associated with the differential operatorA introduced in (4.1). The Bloch waves are defined as follows:

Let us consider the following spectral problem parameterized by η ∈ RN : To find λ = λ(η) ∈ Rand ψ = ψ(y; η) (not identically zero) such that

Aψ(·; η) = λ(η)ψ(·; η) in RN ,ψ(·; η) is (η;Y )-periodic, i.e.,

ψ(y + 2πm; η) = e2πim·ηψ(y; η) ∀m ∈ ZN , y ∈ RN .(4.13)

Noting that the problem (4.13) is ZN -translation invariant with respect to η, we can restrictη to the dual cell Y ′ = [−1

2 ,12 [N . Seeking the solution ψ(y; η) in the form eiy·ηφ(y, η), φ being

Y -periodic in the variable y, one can prove (see [34]) that the above spectral problem admits adiscrete sequence of eigenvalues with the following properties:

0 ≤ λ1(η) ≤ · · · ≤ λm(η) ≤ · · · → ∞,∀m ≥ 1, λm(η) is a Lipschitz function of η ∈ Y ′.

The corresponding eigenfunctions denoted by ψm(·; η) and φm(·; η) can be chosen to constituteorthonormal bases in the spaces of all L2

loc(RN )-functions which are (η;Y )-periodic and Y -periodicrespectively. The functions ψm(·; η) and φm(·; η) (referred to as Bloch waves) introduced aboveenable us to describe the spectral resolution of A (an unbounded self-adjoint operator in L2(RN ))in the orthogonal basis eiy·ηφm(y; η)|m ≥ 1, η ∈ Y ′. To obtain the spectral resolution of Aε letus introduce Bloch waves at the ε-scale:

λεm(ξ) = ε−2λm(η), φε

m(x; ξ) = φm(y; η), ψεm(x; ξ) = ψm(y; η),

where the variables (x, ξ) and (y, η) are related by y = xε and η = εξ. Observe that φε

m(x; ξ) isεY -periodic (in x) and ε−1Y ′ periodic with respect to ξ. In the same manner, ψε

m(·; ξ) is (εξ; εY )periodic because of the relation ψε

m(x; ξ) = eix·ξφεm(x; ξ). Note that the dual cell at ε-scale is

ε−1Y ′ and hence we take ξ to vary in ε−1Y ′ in the sequel. With the above notations, we can statethe fundamental result concerning the spectral resolution of Aε.

Theorem 4.1 Let g ∈ L2(RN ). The mth Bloch coefficient of g at the ε-scale is defined as follows:

(Bεmg)(ξ) =

∫RN

g(x)e−ix·ξφεm(x; ξ)dx ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′.


g(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(Bεmg)(ξ)e

ix·ξφεm(x; ξ)dξ.


|g(x)|2dx =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

|(Bεmg)(ξ)|2dξ.

4.2. SURVEY OF PREVIOUS RESULTS 101

Finally, for all g in the domain of Aε, we get

Aεg(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)(Bε

mg)(ξ)eix·ξφε

m(x; ξ)dξ.

Using the above theorem, the classical homogenization result was deduced in [36]. To thisend, the following results were established and applied.

Proposition 4.1 We assume that ak` satisfy (4.2). Then there exists δ > 0 such that the firsteigenvalue λ1(η) is an analytic function on Bδ = η | |η| < δ, and there is a choice of the firsteigenvector φ1(y; η) satisfying

η → φ1(·; η) ∈ H1#(Y ) is analytic on Bδ,

φ1(y; 0) = |Y |−1/2.

Moreover, we have the relations

λ1(0) = 0, Dkλ1(0)def=∂λ1

∂ηk(0) = 0 ∀k = 1, ..., N,

12D2

k`λ1(0)def=12∂2λ1

∂ηk∂η`(0) = qk` ∀k, ` = 1, ..., N,

and there exist constants c and c such that

c|η|2 ≤ λ1(η) ≤ c|η|2 ∀η ∈ Y ′, (4.14)

0 < λ(N)2 ≤ λm(η) ∀m ≥ 2, η ∈ Y ′, (4.15)

where λ(N)2 is the second eigenvalue of the spectral problem for A in the cell Y with Neumann

boundary conditions on ∂Y .

Let us recall the main steps of the homogenization result deduced in [36] in the case of thewhole space RN . The first one consists of considering a sequence uε ∈ H1(RN ) satisfying


(4.16)

We can express the equation Aεuε = f in RN in the equivalent form

λεm(ξ)(Bε

muε)(ξ) = (Bε

mf)(ξ) ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′. (4.17)

In the homogenization process, one can neglect all the relations for m ≥ 2 (see [36] and [92]). Infact, we have the following proposition taken from [32].

Proposition 4.2 For all v ∈ H1(RN ), we have∫ε−1Y ′

∞∑m=2

|Bεmv(ξ)|2dξ ≤ cε2‖∇v‖2

L2(RN ).


Thus we can concentrate our attention only on the relation corresponding to the first Blochwave:

λε1(ξ)(B

ε1u

ε)(ξ) = (Bε1f)(ξ) ∀ξ ∈ ε−1Y ′. (4.18)

With the aim of passing to the limit in (4.18) as ε→ 0, it was proved in [36] that the first Blochtransform is an approximation to Fourier transform. This result is naturally expected from theabove result of regularity on the Bloch spectrum and the fact that φε

1(x; ξ) → (2π)−N/2, as ε→ 0,∀ξ ∈ RN . More precisely, we have the next result whose proof can be found in [32].

Proposition 4.3 Let gε and g be in L2(RN ). Then

(i) If gε g weakly in L2(RNx ), then χ

ε−1Y ′Bε1g

ε g weakly in L2loc(RN

ξ ) provided there is a

fixed compact set K such that supp (gε) ⊂ K, ∀ε.

(ii) If g ∈ L2(RN ), we have

χε−1Y ′(ξ)B

ε1g(ξ) → g(ξ) in L2(RN

ξ ).

Thus, the homogenized equation in the Fourier space

qk`ξkξ`u∗(ξ) = f(ξ) ∀ξ ∈ RN (4.19)

is obtained from (4.18) by passing to the limit as ε→ 0. Here, f stands for the classical Fouriertransformation of f .

Once the homogenization result in RN is established, it is an easy matter to deduce thecorresponding result in a bounded domain Ω by localization techniques using cut-off functions(see [36]).

Theorem 4.2 Let Ω be an arbitrary domain in RN . We consider a sequence uε satisfying (4.4).Then

aεk`

∂uε

∂x` qk`

∂u∗

∂x`in L2(Ω)-weak, ∀k = 1, ..., N.

In particular, u∗ satisfies the homogenized equation (4.8).

The next stage of development was the introduction of the Bloch approximation of uε by thefollowing integral representation:

Θε(x) def=∫

ε−1Y ′

u∗(ξ)eix·ξφε1(x; ξ)dξ, x ∈ RN . (4.20)

As according to Proposition 4.3, the Fourier transform u∗ is an approximation of Bε1u

ε, andso heuristically speaking, the Bloch approximation Θε is close to uε since higher modes can beneglected. Indeed, this has been rigourously established (loc. cit.) without the hypotheses usuallyassumed in literature in the justification of correctors.

4.3. PRESENTATION OF NEW RESULTS 103

Theorem 4.3 Assume that the coefficients ak` satisfy (4.2). Let uε be the sequence introducedin (4.16). Then if f ∈ L2(RN ), we have

(uε −Θε) → 0 in H1(RN ). (4.21)

Furthermore, we have the estimate

‖∇(uε −Θε)‖L2(RN )


. (4.22)

Thanks to the above result, we were reduced to expand Θε in terms of ε in order to be ableto compare it with the classical correctors for uε. To fulfill this task, it is clear from the definitionof Θε, that it is necessary to obtain asymptotic expansion of the first Bloch mode φε

1(·; ξ). Westate now results in this direction and their proofs can be found in [32].

Proposition 4.4 All odd order derivatives of λ1 at η = 0 vanish, i.e.,

Dβλ1(0) = 0 ∀β ∈ ZN+ , |β| odd.

Various derivatives of φ1 at η = 0 can also be calculated, in particular:

Dkφ1(y; 0) = iφ1(y; 0)χk(y).

Using the above result, we deduce the following one on first order correctors.

Theorem 4.4 Assume that the hypotheses of Theorem 4.3 hold.

(i) We have‖Θε − u∗‖

L2(RN )≤ cε‖u∗‖

H1(RN ).

(ii) If f ∈ L2(RN ) and χk ∈ W 1,∞# (Y ) where χk is the solution of (4.7) and χε

k(x) = χk

(xε

),

then we have ∥∥∥∥Θε − u∗ − εχεk

∂u∗

∂xk

∥∥∥∥H1(RN )


.

4.3. Presentation of new results

After discussing the case of the whole space, let us now go back to the case of boundeddomains and consider the original problem (4.4). Let us recall that the difficulties of adaptingFourier type techniques in bounded domains are very well-known. Nevertheless, we could provethe homogenization result (namely Theorem 4.2) in the case of bounded domains via localizationtechniques in the physical space [36]. This shows that certain results on bounded domains canbe deduced using the Bloch wave method. We substantiate further this statement by showinghow Bloch techniques can be adapted to give the correct definition of the Bloch approximation inbounded domains taking into account the boundary condition. Somewhat surprisingly, this does


not involve localization neither in the physical space nor in the momentum space but in the statespace. Accordingly, we introduce cut-off functions in R enjoying the following properties:

ϕε ∈ C1(R), ϕε(0) =∂ϕε

∂t(0) = 0,

ϕε(u) = u, if |u| ≥ ε,(ϕε)′ ∈W 1,∞(R), |ϕε(u)| ≤ c|u|,|(ϕε)′(u)| ≤ c, |(ϕε)′′(u)| ≤ cε−1, for u ∈ R, a.e.

(4.23)

Explicitly, we can take, for example

ϕε(u) =

u if |u| ≥ ε,

u sin(uπ

2ε) if 0 ≤ u ≤ ε,

−u sin(uπ

2ε) if −ε ≤ u ≤ 0.

Next, we define the modified Bloch approximation for the Dirichlet boundary value problemas follows:

θε(x) def=∫

ε−1Y ′

ϕε(u∗)(ξ)eix·ξφε1(x; ξ)dξ for x ∈ Ω, (4.24)

where we recall the definition of the Fourier transform used in our work:

ϕε(u∗)(ξ) = (2π)−N2

∫RN

ϕε(u∗(x))e−ix·ξdξ,

with u∗ denoting the extension of u∗ defined by

u∗(x) =u∗(x) if x ∈ Ω,

0 if x 6∈ Ω.

Throughout this paper, we use the notation · to denote the extension by zero outside Ω.We make now a few comments on the modified Bloch approximation. First of all, it is not

difficult to compute this object numerically following the algorithm of [31] and [30]. Secondly, itsdefinition involves only the first Bloch mode which is also the case with RN . The main differencelies in the fact that it depends on the boundary condition through ϕε and u∗. At first glance,it may seem strange to introduce nonlinear function of the solution in a linear set-up. However,this introduction is natural if the reader recalls that the solution depends nonlinearly on theboundary. One can also observe in the definition of θε that the values of u∗ are modified not onlyclose to the boundary on which u∗ vanishes but also at places inside Ω where u∗ may be zero.(But, of course, this modification becomes negligible as ε→ 0). This is one of the main differenceswith the classical expression of first order correctors where values of u∗ are taken as such.

Since φ1(·; η) is analytic for |η| ≤ δ, we can expand it as in Theorem 4.4 and this gives riseto an asymptotic expansion of the modified Bloch approximation (4.24). The main result in thisdirection is as follows:

Theorem 4.5 Let Ω be an open bounded set in RN and the modified Bloch approximation θε bedefined by (4.24). Then

4.4. PRELIMINARY LEMMAS 105

(i) θε converges to u∗ in L2(Ω) as ε→ 0. In fact, we have the estimate

‖θε − ϕε(u∗)‖L2(Ω)

≤ cε‖u∗‖H1(Ω)

.

(ii) Under the additional hypotheses that u∗ ∈ H2(Ω), ∇u∗ ∈ L4(Ω) and χk ∈ W 1,∞(Y ), wehave

θε − ϕε(u∗)− εχεk

∂ϕε(u∗)∂xk

→ 0 in H1(Ω),

with the notation χεk(x) = χk

(xε

).

The connection between the modified Bloch approximation and the corrector property is givenby:

Theorem 4.6 Under the hypotheses that u∗ ∈ H2(Ω), ∇u∗ ∈ L4(Ω) and χk ∈ W 1,∞(Y ), wehave

χεk

∂ϕε(u∗)∂xk

∈ H10 (Ω)

and it provides a first corrector in the sense that it satisfies

uε − u∗ − εχεk

∂ϕε(u∗)∂xk

→ 0 in H10 (Ω).

The proof of this theorem is given a Fourier point of view. In particular, we use Bloch tech-niques to proof the convergence in the energy method. Putting Theorems 4.5 and 4.6 together,we have easily that

Corollary 4.1 Under the hypotheses of Theorem 4.6 the modified Bloch approximation approxi-mates the solution in the energy norm:

‖uε − θε‖H1(Ω) → 0.

4.4. Preliminary lemmas

Here, we prove a couple of results about the convergence behavior of ϕε(u∗).

Lemma 4.1 Let ϕε be as in (4.23).

(i) If u ∈ L2(Ω) then ϕε(u) ∈ L2(Ω) and we have the estimate

‖ϕε(u)− u‖L2(Ω)

≤ cε.

(ii) If u ∈ H1(Ω) (resp. H10 (Ω)) then ϕε(u) ∈ H1(Ω) (resp. H1

0 (Ω)) and

ϕε(u) → u in H1(Ω) (resp. H10 (Ω)) as ε→ 0.


Proof. First let us prove the estimate in L2(Ω). To this end, let us note

ϕε(u)− u = (ϕε(u)− u)χωε in Ω,

where χωε

is the characteristic function of the set

ωε = x ∈ Ω; |u(x)| ≤ ε .

Hence, using (4.23) we get

|ϕε(u)− u|2 ≤ c|u(x)|2χωε

x ∈ Ω.

A simple integration yields the estimate

‖ϕε(u)− u‖L2(Ω)

≤ cε.

The next step is to prove the strong convergence in L2(Ω) of the first order derivatives. Weapply Dominated Convergence Theorem. By Chain Rule, we have

∂

∂xkϕε(u) = (ϕε)′(u)

∂u

∂xkin Ω.

Thus, the following relation holds:

∂

∂xk(ϕε(u)− u) =

((ϕε)′(u)− 1

) ∂u∂xk

χωε

x ∈ Ω,

from which we can deduce the uniform bound, namely,∣∣∣∣ ∂∂xk(ϕε(u)− u)

∣∣∣∣2 ≤ c

∣∣∣∣ ∂u∂xk

∣∣∣∣2 .To show the point-wise convergence a.e. in Ω, we introduce the set

ω = x ∈ Ω; u(x) = 0 ⊂ ωε

and use the property that∇u(x) = 0 a.e. on ω

to deduce∂u

∂xkχ

ωε→ 0 x ∈ Ω a.e.

This completes the proof of Lemma 4.1.

Lemma 4.2 For u ∈ H2(Ω) with ∇u ∈ L4(Ω), we have ϕε(u) ∈ H2(Ω) and

εϕε(u) → 0 in H2(Ω).

4.4. PRELIMINARY LEMMAS 107

Proof. By virtue of the previous lemma, it is enough to show

ε∂2ϕε(u)∂xi∂xj

→ 0 in L2(Ω) ∀i, j = 1, . . . N. (4.25)

First of all ϕε(u) ∈ H2(Ω) since ϕε ∈ C1(R), (ϕε)′ ∈W 1,∞(R) and u ∈ H2(Ω). Further, by ChainRule, we have

ε∂2ϕε(u)∂xi∂xj

(x) = ε(ϕε)′(u(x))∂2u

∂xi∂xj(x) + ε(ϕε)′′(u(x))

∂u

∂xi(x)

∂u

∂xj(x) in Ω. (4.26)

The first term on the right side of (4.26) obviously tends to zero in L2(Ω). Regarding the secondterm, we note that it is bounded above by

c|∇u(x)|2χωε. (4.27)

This is because (ϕε)′(t) = 1 if |t| > ε and (ϕε)′′(u(x)) = 0 if x 6∈ ωε. Since ∇u ∈ L4(Ω), it followsfrom our arguments in the last part of the proof of Lemma 4.1, that (4.27) converges to zero inL2(Ω). This finishes the proof.

Remark 4.1 We will use the above lemma with u = u∗, the solution of the homogenized equation.Thus, assuming ∂Ω is smooth and that f ∈ L2(Ω) and f = div(g) with g ∈ L4(Ω)N , it followsfrom classical regularity results that u∗ ∈ H2(Ω) and ∇u∗ ∈ L4(Ω)N . Thus the hypotheses ofLemma 4.2 are satisfied in this particular case.

Remark 4.2 It is important to note that if the homogenized solution u∗ lies in H2(Ω) ∩H10 (Ω)

and ∇u∗ ∈ L4(Ω)N then ϕε(u∗) is not only in H2(Ω)∩H10 (Ω) but also in H2

0 (Ω). Hence, ϕε(u∗) ∈H2(RN ).

Our next result is a generalization of Parseval’s identity of Theorem 4.1.

Lemma 4.3 For gε ∈ L2(ε−1Y ′) and ρ ∈ L∞(Y ′;H1#(Y )), we define

Gε(x) =∫

ε−1Y ′

gε(ξ)eix·ξρ(x

ε; εξ)dξ, x ∈ RN . (4.28)

Then, we have

‖Gε‖2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖ρ(·; εξ)‖2

L2(Y )dξ,

‖∇xGε‖2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖iξρ(·; εξ) + ε−1∇yρ(·; εξ)‖2

L2(Y )Ndξ.

Proof. We expand ρ(y; η) as a function of y in the orthonormal basis φm(y; η)∞m=1 where η isa parameter:

ρ(y; η) =∞∑

m=1

am(η)φm(y; η).



Gε(x) =∫

ε−1Y ′

gε(ξ)∞∑

m=1

am(εξ)eix·ξφεm(x; ξ)dξ.

Applying the Parseval’s identity of Theorem 4.1, we get

‖Gε‖2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2∞∑

m=1

|am(εξ)|2dξ.

This completes the proof of the first part of the lemma if we use the Parseval’s identity in L2(Y ):

‖ρ(·; η)‖2

L2(Y )=

∞∑m=1

|am(η)|2 ∀η ∈ Y ′.

For the second part of the lemma, we differentiate formally Gε(x) with respect to x. We obtain

∇xGε(x) =

∫ε−1Y ′


x

ε; εξ) + ε−1∇yρ(

x

ε; εξ)

)dξ.

We remark that the above integral is of the same type as the one analyzed in the first part. Thiscompletes the proof.

4.5. Asymptotic expansion of the modified Bloch approximation

In this section, we are going to prove the Theorem 4.5. To this end, we use the resultsestablished in Proposition 4.1 and Proposition 4.4.

First, we show‖θε − ϕε(u∗)‖

L2(RN )≤ cε‖u∗‖H1(Ω). (4.29)

We use the decomposition

θε(x)− ϕε(u∗(x)) = uε1(x) + uε

2(x) + uε3(x). (4.30)

where

uε1(x) =

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)[φε1(x; ξ)− φε

1(x; 0)]eix·ξdξ,

uε2(x) =

∫ε−1(Y ′−Bδ)

ϕε(u∗)(ξ)φε1(x; ξ)e

ix·ξdξ,

uε3(x) = −(2π)−

N2

∫RN−ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)eix·ξdξ.

4.5. ASYMPTOTIC EXPANSION OF THE MODIFIED BLOCH APPROXIMATION 109

Applying Parseval’s identity we get:

‖uε2‖2

L2(RN )≤ c

∫ε−1(Y ′−Bδ)

|ϕε(u∗)|2dξ ≤ cδ−2ε2∫

RN

|ξ|2|ϕε(u∗)|2dξ,

and‖uε

3‖2

L2(RN )≤

∫RN−ε−1Bδ

|ϕε(u∗)|2dξ ≤ cδ−2ε2∫

RN

|ξ|2|ϕε(u∗)|2dξ.

On the other hand, using Parseval identity and the estimate

‖φ1(·; η)− φ(·; 0)‖H1(Y ) ≤ c|η| for η ∈ Bδ,

we get

‖uε1‖2

L2(RN )≤ cε2

∫ε−1Bδ

|ξ|2|ϕε(u∗)|2dξ.

Now, we apply Lemma 4.1 which shows, in particular that ϕε(u∗) is bounded in H1(RN ) andhence ∫

RN

|ξ|2|ϕε(u∗)|2dξ ≤ c‖u∗‖2

H1(RN )= c‖u∗‖2

H1(Ω).

Therefore, (4.29) is proven.Now, we are going to prove (ii) of Theorem 4.5. Because of (4.29), it remains to prove that

∂θε

∂x`− ∂ϕε(u∗)

∂x`− ∂χk

∂y`

∂ϕε(u∗)∂xk

− εχεk

∂2ϕε(u∗)∂xk∂x`

→ 0 in L2(RN ) ∀k, ` = 1, . . . , N. (4.31)

A simple application of Lemma 4.2 immediately yields that the fourth term in (4.31) goes tozero in L2(RN ). The remaining terms in (4.31) are decomposed individually as follows:

∂θε

∂x`=

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iξ`[φε1(x, ξ)− φε

1(x, 0)]eix·ξdξ +∫

ε−1(Y ′−Bδ)

ϕε(u∗)(ξ)iξ`φε1(x, ξ)e

ix·ξdξ +

+(2π)−N2

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iξèix·ξdξ + ε−1

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iεξk(2π)−N2∂χk

∂y`(x

ε)eix·ξdξ +

+ε−1

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)[∂φ1

∂y`(x

ε; εξ)− iεξk(2π)−

N2∂χk

∂y`(x

ε)]eix·ξdξ +

+ε−1

∫ε−1(Y ′−Bδ)

ϕε(u∗)(ξ)∂φ1

∂y`(x

ε; εξ)eix·ξdξ,

∂ϕε(u∗)∂x`

= (2π)−N2

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iξèix·ξdξ + (2π)−N2

∫RN−ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iξèix·ξdξ,


∂χk

∂y`(x

ε)∂ϕε(u∗)∂xk

(x) =∫

ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iξk(2π)−N2∂χk

∂y`(x

ε)eix·ξdξ +

+∫

RN−ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iξk(2π)−N2∂χk

∂y`(x

ε)eix·ξdξ.

Putting them together, we reach the decomposition

∂θε

∂x`− ∂ϕε(u∗)

∂x`−∂χε

k

∂y`

∂ϕε(u∗)∂xk

= vε1(x) + vε

2(x) + vε3(x) +

∂uε2

∂x`+∂uε

3

∂x`, (4.32)

where uε2 and uε

3 were already introduced and where

vε1(x) =

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)iξ`(φε

1(x; ξ)− φε1(x; 0)

)eix·ξdξ,

vε2(x) = ε−1

∫ε−1Bδ

ϕε(u∗)(ξ)(∂φε

1

∂y`(x; ξ)− iεξk(2π)−

N2∂χk

∂y`(x

ε))eix·ξdξ,

vε3(x) = −(2π)−

N2∂χε

k

∂y`(x)

∫RN−ε−1Bδ

ϕε(u∗)iξkeixξdξ.

Applying Lemma 4.3 to the expression defining uε2, we deduce easily∥∥∥∥∂uε

2

∂x`

∥∥∥∥2

L2(RN )

≤ cδε2

∫ε−1(Y ′−Bδ)

|ξ|4|ϕε(u∗)|2dξ.

A more direct application of Parseval’s identity yields∥∥∥∥∂uε3

∂x`

∥∥∥∥2

L2(RN )

≤ cδ−2ε2∫

RN−ε−1Bδ

|ξ|4|ϕε(u∗)|2dξ,

‖vε3‖

2

L2(RN )≤ cδ−2ε2‖χk‖2

1,∞

∫RN−ε−1Bδ

|ξ|4|ϕε(u∗)|2dξ.

It remains to estimate vε1 and vε

2. Once more invoking Lemma 4.3, we obtain

‖vε1‖2

L2(RN )≤ c

∫ε−1Bδ

|ξ|2|ϕε(u∗)|2‖φ1(·; εξ)− φ1(·; 0)‖2L2(Y )dξ,

‖vε2‖2

L2(RN )≤ cε−2

∫ε−1Bδ

|ϕε(u∗)|2∥∥∥∥∂φ1

∂y`(·; εξ)− iεξk(2π)−

N2∂χk

∂y`(·)∥∥∥∥2

L2(Y )

dξ.

Applying Proposition 4.1 and Proposition 4.4, we arrive at

‖vε1‖2

L2(RN )≤ cε2

∫ε−1Bδ

|ξ|4|ϕε(u∗)|2dξ,

‖vε2‖2

L2(RN )≤ cε2

∫ε−1Bδ

|ξ|4|ϕε(u∗)|2dξ.

4.6. FIRST ORDER CORRECTORS 111

According to Lemma 4.2, εϕε(u∗) → 0 in H2(RN ) and so

ε2∫

ε−1Bδ

|ξ|4|ϕε(u∗)|2dξ → 0.

It then follows from the above estimates that each individual term of the right side of (4.32)converges to zero in L2(RN ) and hence (4.31) is proven. This concludes the proof of Theorem 4.5.

4.6. First order correctors

The aim of this last section is to provide a proof of Theorem 4.6 which is concerned with firstorder correctors for uε.

As per the recipe provided by our earlier work [32], in order to get an expression of thefirst order corrector, we must seek an expansion of the modified Bloch approximation which isprecisely what we have done in Theorem 4.5. Our choice for the first order corrector is thus thefollowing:

zε(x) = ϕε(u∗(x)) + εχεk(x)

∂ϕε(u∗)∂xk

(x). (4.33)

Let us begin remarking that zε defined by (4.33) indeed belongs to H10 (Ω) under our hypotheses

that u∗ ∈ H2(Ω)∩W 1,40 (Ω) and χk ∈W 1,∞(Y ). In the statement of Theorem 4.6, we have ϕε(u∗)

in the place of u∗ which is perfectly legal according to Lemma 4.1.The result announced in Theorem 4.6 would follow if we show

‖∇(uε − zε)‖L2(RN )

→ 0, as ε→ 0,

(or) equivalently ∫ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)|Bε

muε(ξ)−Bε

mzε(ξ)|2dξ → 0, as ε→ 0. (4.34)

In order to prove this, we observe that uε is the solution of

Aεuε +N εuε = f in RN , and uε ∈ H1(RN ), (4.35)

where N εuε is defined as an element of H−1(RN ) by

H−1(RN )< N εuε, v >

H1(RN )= −

H− 12 (∂Ω)

<∂uε

∂nAε, v >

H12 (∂Ω)

∀v ∈ H1(RN ). (4.36)

The above equation (4.35) can be written equivalently in terms of Bloch coefficients:

λεm(ξ)Bε

muε +Bε

mNεuε = Bε

mf , ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y ′. (4.37)


Now, we expand the integral of (4.34)∫ε−1Y ′

∞∑m=1

(Bε

mf(ξ)Bεmu

ε(ξ) + λεm(ξ)|Bε

mzε(ξ)|2 −Bε

mf(ξ)Bεmz

ε(ξ)−Bεmz

ε(ξ)Bεmf(ξ)

)dξ

+∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

(−Bε

mNεuε(ξ)Bε

muε(ξ) +Bε

mNεuε(ξ)Bε

mzε(ξ) +Bε

mzε(ξ)Bε

mNεuε(ξ)

)dξ. (4.38)

The last three terms of (4.38) vanish because, in fact, for all v ∈ H10 (Ω) we have∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

BεmN

εuε(ξ)Bεmv(ξ)dξ =

H−1(RN )< N εuε, v >H1(RN )= 0.

Regarding the first term of (4.38), we have to distinguish two cases: m = 1 and m ≥ 2. Form = 1, we use the Proposition 4.3. For the case m ≥ 2, using the Proposition 4.2, we see thatthe contribution of all higher modes together tends to zero. Thus, the first term converges to∫

RN

f u∗dx.

The treatment of third and fourth terms of (4.38) is similar and their sum has the following limitsince zε → u∗ weakly in H1(RN ):

−2∫

RN

f u∗dx.

So, it remains to study the limiting behavior of the second term in the expression (4.38). Below,we prove that ∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)|Bε

mzε(ξ)|2dξ →

∫RN

f u∗dxdef=(f , u∗), (4.39)

with will establish (4.34) and thereby Theorem 4.6. We introduce the notations

aε(u, v) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

λεm(ξ)Bε

mu(ξ)Bεmv(ξ)dξ, ∀u, v ∈ H1(RN ),

a∗(u, v) =∫

RN

qijξiξj u(ξ)v(ξ)dξ, ∀u, v ∈ H1(RN ).

Now, we decompose aε(zε) and (f , u∗):

aε(zε) = aε(zε, zε − θε) + aε(zε − θε, θε) + aε(θε),(f , u∗) = a∗(u∗, u∗ − ϕε(u∗)) + a∗(u∗ − ϕε(u∗), ϕε(u∗)) + a∗(ϕε(u∗)),

where θε is the modified Bloch approximation (4.24). Then, thanks to (4.31) and Lemma 4.1 wehave (zε − θε) → 0 in H1(RN ) and ϕε(u∗) → u∗ in H1(RN ). Thus, proving (4.39) is equivalentto showing

aε(θε)− a∗(ϕε(u∗)) → 0 as ε→ 0. (4.40)

4.6. FIRST ORDER CORRECTORS 113

Now, by definition of θε, we get

aε(θε) =∫

ε−1Y ′

λε1(ξ)|ϕε(u∗)|2dξ.

Therefore, if we decompose

aε(θε)− a∗(ϕε(u∗)) =∫

ε−1Bδ

(λε1(ξ)− qijξiξj)|ϕε(u∗)|2dξ +

∫ε−1(Y ′−Bδ)

λε1(ξ)|ϕε(u∗)|2dξ +

+∫

RN−ε−1Bδ

qijξiξj |ϕε(u∗)|2dξ,

we see that each term on the right side can be estimated using Proposition 4.1 and Proposition 4.4.We finally arrive at

|aε(θε)− a∗(ϕε(u∗))| ≤ cε2∫

RN

|ξ|4|ϕε(u∗)|2dξ.

A direct application of Lemma 4.2 shows that this last term tends to zero. This completes theproof of Theorem 4.6.

Capıtulo 5

Analisis de Bloch. Los desarrollosasintoticos en homogeneizacion

5.1. Desarrollo asintotico por Bloch

En esta capıtulo vamos a proceder a generalizar la aproximacion de Bloch

θε(x) =∫

ε−1Y ′

u∗(ξ)eix·ξφε1(x, ξ)dξ, x ∈ RN . (5.1)

con el objetivo de encontrar los correctores de orden superior (2.124).La idea es mantenerse en el primer subespacio de Bloch y desarrollar en potencias de ε el

primer coeficiente de Bloch uε1. Consideramos ası la aproximacion de Bloch de orden k

θεk(x) =

∫|ξ|≤ε−1δ

k∑`=0

(−iε)`

`!

∑|α|=`

ξαuε,∗(α)(ξ)

eix·ξφε1(x, ξ)dξ, x ∈ RN . (5.2)

Para una definicion detallada de los elementos de esta expansion vease la Seccion 5.2.

El marco en el que vamos a estudiar esta generalizacion de la aproximacion de Bloch es elsiguiente: Consideramos para ε > 0, la unica solucion uε de

Aεuε + uε = f en RN , (5.3)

con f ∈ L2(RN ). Por la definicion (2.118) del operador Aε y como f ∈ L2(RN ), uε esta uniforme-mente acotado en la norma de H1. Entonces, uε converge debil en H1(RN ) a una funcion u∗ que,por la teorıa de la homogeneizacion, satisface

A∗u∗ + u∗ = f en RN , (5.4)

donde A∗ esta definido por (2.121).

115

116 CAPITULO 5. ANALISIS DE BLOCH. LOS DESARROLLOS...

Utilizando la descomposicion por ondas de Bloch (ver Teorema 2.3), la ecuacion (5.3) equivaleal siguiente sistema algebraico:

(1 + λεm(ξ))uε

m(ξ) = fεm(ξ) ∀m ≥ 1, ξ ∈ ε−1Y. (5.5)

Nuestro objetivo es calcular una expansion de uε a partir de (5.5). Este analisis va a seguir losmismos pasos empleados en demostrar que el corrector de Bloch (5.1) es un corrector de segundoorden de uε, ver Capıtulo 3.

En primer lugar, vamos a definir el marco funcional en el que se van a obtener los resultados.Llamamos espacio de Bloch de orden n a escala ε , n ∈ Z, a

Hnε (RN ) =

f(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=1

fεm(ξ)eix·ξφε

1(x, ξ)dξ, x ∈ RN ,

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

(1 + λεm(ξ))n|fε

m(ξ)|2dξ <∞

(5.6)

y su norma se define por

‖f‖Hn

ε (RN )=

∫ε−1Y ′

∞∑m=1

(1 + λεm(ξ))k|fε

m(ξ)|2dξ

12

. (5.7)

Remark 5.1 Notese que los espacios Hnε (RN ) son espacios de Hilbert. Ademas, gracias a la

identidad de Parseval se tiene que H0ε(RN ) = L2(RN ) y, por el Lema 2.5, se tiene que

H1ε(RN ) = H1(RN ) y H−1

ε (RN ) = H−1(RN ).

Trabajando en los espacios Hnε (RN ), con n ≤ 1, vamos a obtener los sucesivos terminos de la

expansion asintotica de uε. En particular, vamos a demostrar el siguiente resultado

Teorema 5.1 Sea θεk, k = 0, 1, . . . , la funcion definida en (5.2). Sea uε la solucion de (5.3) para

f ∈ L2(RN ). Entonces,


ε (RN )≤ ckε

1+k‖f‖2

k = 0, 1, . . . , (5.8)

donde c solo depende de k y N .

5.2. APROXIMACION DE BLOCH DE ORDEN K 117

En primer lugar, queremos llamar la atencion sobre el hecho de que la funcion fuente f sesupone en L2(RN ). Se pueden probar otras variantes de este Teorema bajo diversas otras hipotesissobre f . En particular, si f se supone en H−s(RN ) (s > 0) se prueba que


ε (RN )≤ cε1+k−s‖f‖

−s,2.

La demostracion de este resultado sigue los mismos pasos que la demostracion de (5.37).

Ahora senalamos que las funciones θεk se pueden desarrollar asintoticamente en los espacios

H1−kε siguiendo la misma filosofıa que en el Teorema 2.5 demostrada en el Capıtulo 3.

Por la estimacion (5.8) podemos calcular la expansion de uε

uε(x) = u∗(x) + εχk(x

ε)∂u∗

∂xk(x) + ε2

(χk`(

x

ε) + βk`

) ∂2u∗

∂xk∂x`(x) + · · · . (5.9)

En particular, para los espacios H1ε , H0

ε y H−1ε (los cuales, como ya hemos dicho, se identifican

con espacios de Sobolev) probamos el siguiente resultado:

Teorema 5.2 Sea uε la solucion de (5.3) para f ∈ L2(RN ), u∗ la solucion homogeneizada, uε,∗k y

uε,∗k` definidas por (5.32) y (5.35), respectivamente, y χk

ε , χk`ε dadas en el Teorema 2.5. Entonces,∥∥∥∥uε − [u∗ + εχk

ε

∂u∗

∂xk]∥∥∥∥

1,2

≤ c0ε‖f‖2, (5.10)∥∥∥∥uε − [u∗ + εχk

ε

∂u∗

∂xk+ ε

∂uε,∗k

∂xk]∥∥∥∥

2

≤ c1ε2‖f‖

2, (5.11)∥∥∥∥uε −

(u∗ + εχk

ε

∂u∗

∂xk+ ε2[χk`

ε + βk`]∂2u∗

∂xk∂x`+

+ε∂uε,∗

k

∂xk+ ε2χ`

ε

∂2uε,∗k

∂xk∂x`+ ε2

∂2uε,∗k`

∂xk∂x`

)∥∥∥∥−1,2

≤ c2ε3‖f‖

2. (5.12)

Los pasos para calcular la aproximacion de Bloch (5.2) se dan en la Seccion 5.2. En particular,calculamos explıcitamente alguna de ellas en la Seccion 5.2.3. La demostracion del Teorema 5.1se encuentra en dos etapas, una en la Seccion 5.2.4 y la otra en la Seccion 5.3.1. La demostracionde las expansiones (2.136)–(2.138) y, en particular del Teorema 5.2 se encuentra en la Seccion 5.3.

5.2. Aproximacion de Bloch de orden k

Nuestro objetivo es demostrar el Teorema 5.1, es decir, encontrar unas funciones θε0, θ

ε1, . . . ,

θεk que llamamos aproximacion de Bloch de orden k y que satisfacen (5.2)

Para ello, vamos a seguir una serie de pasos:


5.2.1. Los modos superiores de Bloch son despreciables

Se considera

vε(x) =∫

ε−1Y ′

∞∑m=2

uεm(ξ)eix·ξφε

1(x, ξ)dξ.

Entonces, por (5.7) y el sistema (5.5), resulta

‖vε‖2

Hnε (RN )

=∫

ε−1Y ′

∞∑m=2

(1 + λεm(ξ))n−2|fε

m(ξ)|2dξ.

Gracias a (2.94), se tiene que

supm≥2

ξ∈ε−1Y ′

11 + λε

m(ξ)≤ 1

λ(N)2

ε2,

con lo cual‖vε‖

Hnε (RN )

≤ cε2−n‖f‖2, para n ≤ 1, n ∈ Z. (5.13)

Como conclusion de (5.13), solo nos interesa la informacion que guarda el primer modo de Blochde uε primera ecuacion del de Bloch

(1 + λε1(ξ))u

ε1(ξ) = fε

1 (ξ) ∀ξ ∈ ε−1Y. (5.14)

5.2.2. Estimacion fuera de un entorno de ξ = 0

Como en la demostracion del Teorema 2.4, sea

Bε,δ1 uε(x) =

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

uε1(ξ)e

ix·ξφε1(x, ξ)dξ.

Ahora, por (5.7) y (5.14),

‖Bε,δ1 uε‖2

Hnε (RN ) =

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|>δε−1

(1 + λε

1(ξ))n−2|fε

1 (ξ)|2dξ.

Por Lema 2.3 y de la definicion de λε1 en (2.74), es evidente que

c1|ξ|2 ≤ λε1(ξ) ≤ c2|ξ|2 ∀ξ ∈ ε−1Y ′. (5.15)

Entonces,

supξ∈ε−1Y ′|ξ|≥ε−1δ

11 + λε

1(ξ)≤ ε2

ε2 + cδ2≤ cδ−2ε2,

con lo cual

‖Bε,δ1 uε‖Hn

ε (RN ) ≤ cε2−n

δ2−n‖f‖

2. (5.16)


El objetivo es calcular θεk con k = 0, 1, 2, . . . , satisfaciendo para un espacio de Bloch Hn

ε (RN )adecuado que

‖uε − θεk‖Hn

ε (RN ) ≤ cεk+1‖f‖2. (5.17)

Por lo tanto, para que en las estimaciones (5.13) y (5.16) se alcance el orden k + 1, utilizamos elespacio Hn

ε (RN ) con n = 1− k.

5.2.3. Identificacion de los terminos de la expansion

Como consecuencia de (5.13) y (5.16) para n = 1− k, el calculo de la expansion de uε hastael orden k se reduce a estudiar la ecuacion (5.14) para |ξ| ≤ δε−1.

Por un lado desarrollamos por Taylor λε1. En particular, gracias a la Proposicion B.1, las

derivadas impares son nulas y calculamos explıcitamente las derivadas. Ası, sea el desarrollo

Ekελ1(ξ) =

[k/2]∑`=0

∑|α|=2+`

ε`ξα

(2 + `)!D2+`

α λ1(0), (5.18)

que por la Proposicion B.1 satisface

|λε1(ξ)− Ek

ελ1(ξ)| ≤ cεk+1|ξ|k+3 para |ξ| ≤ ε−1δ. (5.19)

Por otra parte, se conoce una expansion Ekε f de fε

1 gracias a la Proposicion 2.8 que verifica:∫|ξ|≤δε−1

(1 + |ξ|2)−(1+k)|fε1 (ξ)− Ek

ε f(ξ)|2dξ ≤ cε2(k+1)‖f‖2

2. (5.20)

A partir de los desarrollos de orden k de λε1 y fε

1 definimos aproximacion de Bloch de ordenk a la funcion

θεk(x) =

∫|ξ|≤δε−1

Ekε f(ξ)

1 + Ekελ1(ξ)

eix·ξφε1(x, ξ)dξ, x ∈ RN , (5.21)

donde Ekελ1 se define en (5.18) y Ek

ε f en (2.105) en el Capıtulo 2. A continuacion se presentanexplıcitamente las aproximaciones de Bloch (5.21) de ordenes 0, 1 y 2.

Remark 5.2 Utilizando los resultados de las Proposiciones 2.8, B.1 y B.2, las aproximacionesde Bloch asociadas a la funcion fuente f para k = 0, 1, 2, son las siguientes:

1. Aproximacion de Bloch de orden 0:

θε0(x) =

∫|ξ|≤δε−1

f(ξ)1 + a∗ijξiξj

eix·ξφε1(x, ξ)dξ. (5.22)



θε1(x) =

∫|ξ|≤δε−1

f(ξ)− iεξj fε(j)(ξ)

1 + a∗ijξiξjeix·ξφε

1(x, ξ)dξ, (5.23)

dondefε(j)(ξ) =

∫RN

f(x)χj(x

ε)e−ix·ξdx,

con χj la solucion de (B.11). Notese que fε(j) esta uniformemente acotada en L2(RN ) cuando

ε→ 0.


θε2(x) =

∫|ξ|≤δε−1

f(ξ)− iεξj fε(j)(ξ)−

ε2

2 ξjξ`fε(j`)(ξ)

1 + a∗ijξiξj + ε2

4!

∑α∈NN ,|α|=4

ξαDαλ1(0)eix·ξφε

1(x, ξ)dξ, (5.24)

dondefε(j`)(ξ) =

∫RN

f(x)[βj` + χj`(x

ε)]e−ix·ξdx,

con χj` la solucion de (B.11) y βj` definida en (B.7). Notese que fε(j`) esta uniformemente

acotada en L2(RN ) cuando ε→ 0.

Ahora ya estamos en condiciones de comenzar a demostrar el Teorema 5.1. La demostracionla vamos a desarrollar en dos partes. En la primera, utilizando las funciones θε

k definidas en (5.21)demostramos la estimacion (5.17). En la segunda parte vemos que la formulas de orden k en(5.2) y (5.21) son equivalentes, es decir, difieren en un orden k + 1. En particular, calculamosexplıcitamente

5.2.4. Demostracion de Teorema 5.1. Primera Parte

Gracias a (5.13) y (5.16) para n = 1 − k y tal como se define θεk en (5.21), demostrar (5.17)

se reduce a estimar en orden k + 1 la funcion

zεk(x) =

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≤δε−1

(uε1(ξ)−

Ekε f(ξ)

1 + Ekελ1(ξ)

)eix·ξφε1(x, ξ)dξ.

Por (5.7), para n = 1− k

‖zεk‖2

Hnε (RN )

=∫

ξ∈ε−1Y ′|ξ|≤δε−1

(1 + λε1(ξ))

n

∣∣∣∣uε1(ξ)−

Ekε f(ξ)

1 + Ekελ

ε1(ξ)

∣∣∣∣2 dξ.


Gracias a (5.14),

(1 + λε1(ξ))

n

∣∣∣∣uε1(ξ)−

Ekε f(ξ)

1 + Ekελ

ε1(ξ)

∣∣∣∣2 ≤ 2(1 + λε1(ξ))

n−2|fε1 (ξ)− Ek

ε f |2 +

+ 2(1 + λε

1(ξ))n−2

(1 + Ekελ

ε1(ξ))2

|Ekε f |2|λε

1(ξ)− Ekελ1(ξ)|2.

Supongase que existen c1, c2, δ > 0 independientes de ε tales que (mas adelante comprobaremoseste hecho)

c1|ξ|2 ≤ Ekελ1(ξ) ≤ c2|ξ|2 |ξ| ≤ ε−1δ, k ≥ 0. (5.25)

Por lo anterior y las cotas (5.15) de λε1, se tiene, dado que n = 1− k,

‖zεk‖2

Hnε (RN )

≤ c

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≤δε−1

(1 + |ξ|2)−(3+k)|Ekε f |2|λε

1(ξ)− Ekελ1(ξ)|2dξ +

+ c

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≤δε−1

(1 + |ξ|2)−(1+k)|fε1 (ξ)− Ek

ε f |2dξ. (5.26)

Entonces, gracias a (5.19) y (5.20), para n = 1− k,

‖zεk‖2

Hnε (RN )

≤ cε2(k+1)

∫ξ∈ε−1Y ′|ξ|≤δε−1

(1 + |ξ|2)−(k+3)|ξ|2(k+3)|Ekε f |2dξ + cε2(k+1)‖f‖2

2,

y como Ekε f esta uniformemente acotada en L2(ε−1Bδ) cuando ε → 0 (ver la demostracion de

Proposicion 2.8), se prueba (2.135).Para finalizar la demostracion del Teorema 5.1 se prueba (5.25). Por la Proposicion B.1, notese

que E0ελ1(ξ) = E1

ελ1(ξ) = a∗j`ξjξ` y por la coercitividad de los coeficientes homogeneizados setiene (5.25) para k = 0, 1.

Ahora probemos (5.25) para k ≥ 2. Tal y como hemos definido Ekελ1(ξ) en (5.18), resulta

Ekελ1(ξ)− a∗j`ξjξ` =

[k/2]∑n=1

ε2n

(2n+ 2)!

∑|α|=2n+2

ξαDαλ1(0),

para k ≥ 2. Acotando esta expresion se tiene, para |εξ| ≤ δ:

∣∣∣Ekελ1(ξ)− a∗j`ξjξ`

∣∣∣ ≤ [k/2]∑n=1

cnε2n|ξ|2n+2 ≤ |ξ|2

[k/2]∑n=1

cnδ2n ≤ ckδ

2|ξ|2.

Por lo tanto, gracias a que los coeficientes homogeneizados son coercitivos y tomando δ(k) > 0suficientemente pequeno, se demuestra (5.25) para c1, c2 > 0 independientes de ε.


Antes de finalizar este apartado comparamos la definicion de la aproximacion de Bloch (5.1)y la generalizacion presentada en (5.21). En primer lugar se ve que el integrando de (5.1) coincidecon la aproximacion de Bloch de orden 0 (ver Observacion 5.2) ya que al escribir la ecuacionhomogeneizada en el espacio de Fourier resulta que

u∗(ξ) =f(ξ)

1 + a∗ijξiξjξ ∈ RN . (5.27)

Por otra parte, notese que en (5.1) el dominio de integracion es ε−1Y ′, mientras que en (5.21) esuna bola alrededor de 0. Esto es debido, en general, a que no se puede generalizar (5.25) paratodo ξ ∈ ε−1Y ′ para las aproximaciones de Bloch de orden k ≥ 1.

5.3. Desarrollo asintotico

El objetivo de esta seccion es identificar la solucion uε como una expansion asintotica en unespacio funcional adecuado, en particular, demostrar el Teorema 5.2. Para ello, primero vamosa ver que la formula de θε

k dada en (5.21) es equivalente a la dada en (5.2). Su demostraciones la segunda parte de la prueba del Teorema 5.1. Finalmente, gracias a la estimacion (5.8),bastara con calcular la expansion asintotica para la aproximacion de Bloch de orden k. De estemodo obtendremos una expansion asintotica de uε, de una forma rigurosa, en el sentido de losespacios Hn

ε (RN ) definidos en (5.7).En la Observacion 5.1, hemos identificado Hk

ε (RN ) = Hk(RN ) para n = 1, 0,−1. Ası, en laprimera parte de la demostracion del Teorema 5.1 se prueba que

‖uε − θε0‖1,2 ≤ cε‖f‖2, (5.28)

‖uε − θε1‖2 ≤ cε2‖f‖2, (5.29)

‖uε − θε2‖−1,2 ≤ cε3‖f‖2, (5.30)

donde θε0, θ

ε1 y θε

2 se definen en la Observacion 5.2. Nuestros objetivos ahora son los siguientes:

Identificar una expansion de uε1 de la forma1

uε1(ξ) ∼= u0(ξ)− iεξu1(ξ) +

(−iε)2

2ξ2u2(ξ) + · · · .

Estimar la diferencia entre la proyeccion de uε1 y los terminos de la expansion en el primer

subespacio de Bloch.

Calcular la expansion de θε0 en la norma de H1(RN ) con orden ε, la expansion de θε

1 en lanorma de L2(RN ) con orden ε2, la expansion de θε

2 en la norma de H−1(RN ) con orden ε3.

En primer lugar concluımos la demostracion del Teorema 5.1. Queremos subrayar que en (5.2)y en (5.21), las funciones que definimos las denotamos de la misma forma (como θε

k) aunque, en

1En el caso unidimensional tendrıa la forma que presentamos a continuacion. En varias dimensiones la funcionque acompana a cada componente depende de estas componentes.

5.3. DESARROLLO ASINTOTICO 123

general, van a ser funciones distintas.2 A continuacion vamos a ver que la diferencia entre lafuncion (5.21) y (5.2) va a ser despreciable a la hora de obtener la estimacion (5.8), es decir, esde orden k + 1.

5.3.1. Demostracion del Teorema 5.1. Segunda Parte

En primer lugar, consideramos el caso k = 0. En este caso vemos que el integrando de (5.22)se identifica, gracias a la ecuacion (5.27) con la solucion homogeneizada. Por lo cual,

θε0(x) =

∫|ξ|≤δε−1

u∗(ξ) eix·ξφε1(x, ξ)dξ (5.31)

y por la primera parte de la demostracion se satisface el Teorema 5.1 para k = 0.Estudiamos el caso k = 1. Utilizando (5.27), resulta

f(ξ)− iεξj fε(j)(ξ)

1 + a∗ijξiξj= u∗(ξ)− iεξj

fε(j)(ξ)

1 + a∗ijξiξj.

Llamamos uε,∗` la funcion que en el espacio de Fourier satisface

[1 + a∗ijξiξj ]uε,∗` = fε

(`)(ξ) ξ ∈ RN , (5.32)

y entonces,

θε1(x) =

∫|ξ|≤δε−1

[u∗(ξ)− iεξj uε,∗j (ξ)] eix·ξφε

1(x, ξ)dξ, (5.33)

y como se satisface (5.8), se prueba el Teorema 5.1 para k = 1.Ahora estudiamos la aproximacion de Bloch para k = 2. En este caso ya vamos a ver que

no necesitamos toda la funcion definida en (5.21) para probar (5.8) en el caso k = 2, es decir,hay una componente de la funcion θε

2 definida en (5.21) que podemos despreciar en un orden 3.Gracias a (5.13) y (5.16), el problema se reduce a estudiar

Bε1u

ε(x) =∫

|ξ|≤δε−1

uε1(ξ)e

ix·ξφε1(x, ξ)dξ,

donde uε1 satisface (5.5). Con el objetivo de demostrar el Teorema 5.1, vamos a ir desarrollando

los terminos de uε1 paso a paso. En primer lugar, sea

zε(x) =∫

|ξ|≤δε−1

E2εf(ξ)

1 + λε1(ξ)

eix·ξφε1(x, ξ)dξ.

Entonces, se tiene

‖Bε1u

ε − zε‖H−1

ε (RN )=∫

(1 + λε1(ξ))

−3|fε1 (ξ)− E2

εf(ξ)|dξ ≤ cε3‖f‖2,

2En particular, vamos a ver que coinciden para k = 0, 1 pero para k ≥ 2 son, en general, distintas.


gracias a (5.20). Nos falta desarrollar λε1 en zε. Por la Observacion 5.2, se tiene que

E2εf(ξ) = f(ξ)− iξkf

ε(k) −

ε2

2ξkξ`f

ε(k`).

La idea es desarrollar λε1 en funcion del termino de expansion de E2

εf ya que cada uno de elloses de distinto orden ε. En particular, vamos a considerar

zε0(x) =

∫|ξ|≤δε−1

f(ξ)1 + E2

ελ1(ξ)eix·ξφε

1(x, ξ)dξ,

zε1(x) =

∫|ξ|≤δε−1

−iξkfε(k)

1 + E1ελ1(ξ)

eix·ξφε1(x, ξ)dξ,

zε2(x) =

∫|ξ|≤δε−1

− ε2

2 ξkξ`fε(k`)

1 + E0ελ1(ξ)

eix·ξφε1(x, ξ)dξ.

Ası,

‖zε − zε0 − zε

1 − zε2‖2

H−1ε (RN )

≤∫

|ξ|≤δε−1

|f(ξ)|2 |λε1(ξ)− E2

ελ1(ξ)|2

(1 + λε1(ξ)2(1 + E2

ελ1(ξ))dξ+

+∫

|ξ|≤δε−1

ε2|ξk|2|fε(k)(ξ)|

2 |λε1(ξ)− E1

ελ1(ξ)|2

(1 + λε1(ξ)2(1 + E1

ελ1(ξ))dξ+

+∫

|ξ|≤δε−1

ε4|ξkξ`|2|fε(k`)(ξ)|

2 |λε1(ξ)− E0

ελ1(ξ)|2

(1 + λε1(ξ)2(1 + E0

ελ1(ξ))dξ.

Entonces, gracias a que λε1(ξ) ≥ c|ξ|2 y (5.25), y por otro lado, (5.18), resulta que

‖zε − zε0 − zε

1 − zε2‖2

H−1ε (RN )

≤ cε6∫

|ξ|≤δε−1

[|f(ξ)|2 + |fε

(k)(ξ)|2 + |fε

(k`)(ξ)|2]dξ ≤ cε6‖f‖2

2,

con lo que la aproximacion θε2 que consideramos es

θε2(x) =

∫|ξ|≤δε−1

f(ξ)eix·ξφε1(x, ξ)dξ


4!

∑|α|=4

ξαD4αλ1(0)

+

+∫

|ξ|≤δε−1

−iεξkfε(k)(ξ)−

ε2

2 ξkξ`fε(k`)(ξ)

1 + a∗ijξiξjeix·ξφε

1(x, ξ)dξ.

Por lo tanto, solo nos falta identificar θε2 como una funcion de la forma de

θε2(x) =

∫|ξ|≤δε−1

[u∗(ξ)− iεξkuε,∗k (ξ)− ε2

2ξkξ`u

ε,∗k` (ξ)] eix·ξφε

1(x, ξ)dξ, (5.34)


con ello tendremos demostrado el Teorema 5.1 para k = 2. Dado que u∗ y uε,∗k satisfacen (5.27)

y (5.32), respectivamente, entonces uε,∗k` verifica, para |ξ| ≤ δε−1,

[1 + a∗ijξiξj ]uε,∗k` (ξ) = fε

(k`)(ξ) +D4

ijk`λ1(0)

12 ξiξj f


4!D4ijk`λ1(0)ξiξjξkξ`

. (5.35)

Finalmente, notese que la funciones de la derecha de la igualdad tienen la norma uniformementeacotada en L2(ε−1Bδ) acotada e independiente de ε y, por lo tanto, uε,∗

k` esta bien definida,veamoslo. En primer lugar, fε

(k`) ∈ L2(RN ) tal y como se vio en la Observacion 5.2. Por otraparte, utilizando (5.25) se tiene∫

|ξ|≤δε−1

|D4ijk`λ1(0)ξiξj f |2

|1 + a∗ijξiξj + ε2

4!D4ijk`λ1(0)ξiξjξkξ`|2

dξ ≤ c

∫|ξ|≤δε−1

|ξ|4|f |2

(1 + |ξ|2)2dξ ≤ c‖f‖2

2.

Con esto hemos concluıdo la demostracion del Teorema 5.1 hasta el termino k = 2. Para k > 2la demostracion se desarrolla de igual forma pero cada vez con mayor complicacion en el calculo.Como consecuencia de esta demostracion se puede escribir la aproximacion de Bloch de orden kde la siguiente manera

θεk(x) =

∫|ξ|≤δε−1

k∑`=0

(−iε)`

`!

∑|α|=`

ξαuε,∗(α)(ξ)

eix·ξφε1(x, ξ)dξ, (5.36)

donde uε,∗(α)(ξ) pueden calcularse de forma explıcita. Notemos que, por (5.27), (5.32) y (5.35), estas

funciones van a ser la soluciones de una ecuacion elıptica de coeficientes constantes (operadorhomogeneizado) en el espacio de Fourier a bajas frecuencias y cuyas funciones fuentes son lastransformadas de Fourier de f con pesos que son fuertemente oscilantes.

5.3.2. Las expansiones de la aproximacion de Bloch de orden k

Para finalizar este capıtulo vamos a expandir la aproximacion de Bloch de orden k (parak = 0, 1, 2). Los ordenes de expansion y el espacio donde la realizamos vienen dados, como esnatural, segun los estimaciones (5.28).

La expansion de θε0 en la norma de H1(RN ).

Este resultado ya ha sido probado en el Capıtulo 3 la Seccion 3.6.3. Notese que, en la Sec-cion 5.1, u∗ es la solucion de A∗u∗ = f y en esta seccion satisface A∗u∗ + u∗ = f . Sin embargo,esto no produce cambios en la demostracion de la expansion de θε

0. Esta consistıa en desarrollarφ1 por Taylor en η = 0. El resultado que se obtiene es (ver Teorema 2.5):∥∥∥∥θε

0 − u∗ − εχkε

∂u∗

∂xk

∥∥∥∥H1(RN )

≤ cε‖f‖L2(RN ). (5.37)

La expansion de θε1 en la norma de L2(RN ).


Por la definicion de θε1 en (5.33), se puede escribir

θε1(x) = θε

0(x) + ϑε1(x),

dondeϑε

1(x) =∫

|ξ|≤δε−1

−iεξkuε,∗k (ξ) eix·ξφε

1(x, ξ)dξ. (5.38)

Por los calculos de la Seccion 2.4 que nos dan (2.133), es claro que∥∥∥∥θε0 − u∗ − εχk

ε

∂u∗

∂xk

∥∥∥∥L2(RN )

≤ cε2‖f‖L2(RN ).

Ahora, estimamos ϑε1. Para ello, basta con sustituir φ1 por el primer termino de su desarrollo de

Taylor en η = 0. En efecto, utilizando el Lema A.2, se tiene∥∥∥∥∥∥∥ϑε1 +

∫|ξ|≤δε−1

iεξkuε,∗k (ξ) eix·ξφε

1(x, 0)dξ

∥∥∥∥∥∥∥2

2

≤ ε4∫

|ξ|≤δε−1

|ξ|4|uε,∗k (ξ)|2dξ,

y dado que∂uε,∗

k

∂xk= −

∫|ξ|≤δε−1

iεξkuε,∗k (ξ) eix·ξφε

1(x, 0)dξ,

entonces hemos demostrado que:∥∥∥∥θε1 − u∗ − εχk

ε

∂u∗

∂xk− ε

∂uε,∗k

∂xk

∥∥∥∥2

≤ cε2‖f‖L2(RN ), (5.39)

dondeuε,∗

k (x) = (2π)−N2

∫|ξ|≤δε−1

uε,∗k (ξ)eiξ·xdξ.

La expansion de θε2 en la norma de H−1(RN ).

Siguiendo la idea de la demostracion anterior, por la definicion de θε2 en (5.36), se puede

escribirθε2(x) = θε

0(x) + ϑε1(x) + ϑε

2(x),

donde

ϑε2(x) = −

∫|ξ|≤δε−1

ε2

2ξkξ`u

ε,∗k` (ξ) eix·ξφε

1(x, ξ)dξ. (5.40)

Utilizando el desarrollo de φ1 y el Lema A.4 en el caso de la norma H−1, entonces:∥∥∥∥θε0 − u∗ − εχk

ε

∂u∗

∂xk− ε2[χk`

ε + βk`]∂2u∗

∂xk∂x`

∥∥∥∥H−1(RN )

≤ cε3‖f‖2,∥∥∥∥ϑε

1 − ε∂uε,∗

k

∂xk− ε2χ`

ε

∂2uε,∗k

∂xk∂x`

∥∥∥∥H−1(RN )

≤ cε3‖f‖2,∥∥∥∥ϑε

2 − ε2∂2uε,∗

k`

∂xk∂x`

∥∥∥∥H−1(RN )

≤ cε3‖f‖2,


dondeuε,∗

k` (x) = (2π)−N2

∫|ξ|≤δε−1

uε,∗k` (ξ) eix·ξdξ

con lo cual hemos demostrado:∥∥∥∥θε2 −

(u∗ + εχk

ε

∂u∗

∂xk− ε2[χk`

ε + βk`]∂2u∗

∂xk∂x`+

+ε∂uε,∗

k

∂xk+ ε2χ`

ε

∂2uε,∗k

∂xk∂x`+ ε2

∂2uε,∗k`

∂xk∂x`

)∥∥∥∥−1,2

≤ c2ε3‖f‖

2. (5.41)

Demostracion del Teorema 5.2Es inmediata a partir de la estimacion (5.8) y los desarrollos [(5.37), (5.39) y (5.41)] de θε

k.

Parte II

Homogeneizacion Numerica medianteAnalisis de Bloch

129

Capıtulo 6

Homogeneizacion Numerica: Elproblema y resultados

6.1. Motivacion

En la Parte I de esta memoria hemos presentado un estudio completo de la homogeneizacionde operadores elıpticos con coeficientes periodicos. Una de las principales aplicaciones de la aprox-imacion numerica de las soluciones de problemas con este tipo de operadores.

Mas precisamente, de acuerdo con los resultados de homogeneizacion mencionados en loscapıtulos anteriores, en lugar de aproximar numericamente el problema con los coeficientes fuerte-mente oscilantes (lo cual da lugar a estimaciones poco satisfactorias del error por el caracterfuertemente oscilante de los coeficientes) uno puede aproximar numericamente el problema ho-mogeneizado puesto que la teorıa de homogeneizacion garantiza que las soluciones de este ultimoestan proximas de las del problema original. Este problema discreto es mucho mas sencillo detratar ya que sus coeficientes son constantes. Sin embargo, el caracter microlocal de las oscila-ciones de las soluciones derivadas de la heterogeneidad del medio no se alcanza al aproximar elproblema homogeneizado.

Para recuperar esta informacion microlocal, pueden utilizarse los correctores (vease Capıtu-lo 2). Sin embargo, frecuentemente el calculo de estos resulta tan complejo como el de la propiasolucion. Ademas, la informacion que aportan los correctores a la solucion del medio heterogeneodepende no solo de la escala microlocal sino tambien del mallado numerico de los correctores.

Otra alternativa para aproximar la solucion del problema heterogeneo es su estudio nume-rico directo, sin pasar por la homogeneizacion. Utilizando los metodos clasicos de resolucionnumerica de EDP’s (diferencias finitas, elementos finitos) vemos el error entre la solucion delmedio heterogeneo y su aproximacion numerica es proporcional a la escala del mallado peroinversamente proporcional a la escala microlocal. Por lo tanto, para obtener una buena estimacionnos vemos obligados a tomar un mallado excesivamente fino. Esto hace que los calculos se haganimpracticables.

En los ultimos anos se han producido importantes progresos a la hora de adaptar diversos

131

132 CAPITULO 6. HOMOGENEIZACION NUMERICA: EL PROBLEMA Y RESULTADOS

metodos numericos para atacar estos problemas con coeficientes fuertemente oscilantes. Comen-tamos a continuacion algunos de ellos.

Matache, Babuska y Schwab ([65], [66]), utilizando la representacion de las soluciones del prob-lema oscilatorio mediante integrales de Fourier-Bochner, prueban que la aproximacion numericadel problema puede atacarse directamente, sin usar la teorıa de homogeneizacion. Para ello,construyen una base especial de Galerkin adaptada a los coeficientes de la ecuacion. Esta aproxi-macion ha sido tambien aplicada a ecuaciones con dominios perforados y, en principio, no necesitade hipotesis de periodicidad.

Por otro lado, a partir del trabajo de Engquist y Hou [49], se ha visto que si el tamano demalla h es del mismo orden que ε, el periodo de los coeficientes oscilantes , y la razon h

ε es ir-racional, entonces el metodo numerico alcanza correctamente la informacion de los coeficientes,de tal manera que las soluciones de la aproximacion numerica convergen a la solucion del prob-lema homogeneizado. Para demostrar este resultado hacen uso de resultados fundamentales deteorıa ergodica y convergencia de numeros aleatorios en metodos de Monte Carlo. Este tipo deaproximacion ha sido empleada en el contexto de aproximaciones de diferencias finitas, [10]; prob-lemas hiperbolicos, [49] y [50]); metodos de elementos finitos, [60]; metodos multimalla, [51]; yproblemas elıpticos empleando Wavelets, [42].

En esta memorıa abordamos el problema desde un punto de vista diferente: La razon hε

es racional. Es claro que la aproximacion numerica uεh converge a la solucion de un problema

homogeneizado distinto debido a la resonancia hε que llamamos u∗ε/h. Aquı, diferenciando entre

el caso unidimensional y el multi-dimensional, calculamos el problema homogeneizado resonantey estimamos la diferencia entre u∗ε/h y u∗. En el primero, gracias a las formulas explıcitas deuε

h, obtenemos estimaciones explıcitas del error que dependen de h y del denominador de larazon entre h y ε. Sin embargo, en varias dimensiones, utilizamos una descomposicion por ondasde Bloch adecuadas al problema discreto que tambien es valida para el caso unidimensional(si bien innecesaria). Esta descomposicion nos permite pasar al lımite uε

h. Nuestro analisis porondas de Bloch, mucho mas preciso que el desarrollado en [10], permite obtener cotas explıcitasdel error entre u∗ y uε

h. Ademas estos resultados junto a la teorıa diofantica clasica permitenrecuperar los resultados obtenidos en [10] mediante teorıa ergodica, pero siempre con estimacionesprecisas sobre tasas de convergencia. Por otra parte, en el caso multi-dimensional, el problemahomogeneizado resonante depende la razon h

ε , mientras que en el caso unidimensional dependeunicamente del denominador de la resonancia h

ε .

6.2. El problema

En primer lugar, vamos a introducir el problema continuo que se discretizara mas adelante.Consideramos el operador ellıptico

A = − ∂

∂yi

(aij(y)

∂

∂yj

), y ∈ Rd,

6.2. EL PROBLEMA 133

donde los coeficientes (aij) satisfacen:aij ∈W 1,∞

# (Y ) donde Y = [0, 2π[d, es decir, cada aij es unafuncion Y -periodica, acotada y medible definida en Rd, tal que∃α > 0 : aij(y)ηiηj ≥ α|η|2 ∀η ∈ Rd,aij = aji ∀i, j = 1, . . . , d.

(6.1)

Para cada ε > 0, se considera el operador Aε definido por

Aε = − ∂

∂xi

(aε

ij(x)∂

∂xj

)con aε

ij(x) = aij

(xε

)x ∈ Rd, (6.2)

y un problema de condiciones de contornoAεuε = f en Ω,+ condiciones de contorno.

(6.3)

Supongamos que el problema (6.3) admite una unica solucion uε. Entonces, segun el Capıtu-lo 2, las soluciones de (6.3) cuando ε→ 0 convergen a la funcion u∗ solucion de

A∗u∗ = f en Ω,+ condiciones de contorno,

donde A∗ es el operador elıptico homogeneizado de coeficientes constantes:

A∗ = −a∗ij∂2

∂xi∂xj. (6.4)

Los coeficientes a∗ij estan definidos como sigue

2a∗ij =1|Y |

∫Y

(2aij −

∂aj`

∂y`χi − ∂ai`

∂y`χj

)dy, (6.5)

donde, para cada k = 1, . . . , d, χk es la unica solucion del problema en la celda Y :Aχk =

∂ak`

∂y`en Y,

χk ∈ H1#(Y ), m(χk) = 0.

(6.6)

Introducimos ahora una aproximacion en diferencias finitas de (6.3). Sea h = (h1, . . . , hd) unvector con componentes positivas

hi =2πni

con ni ∈ N, (6.7)

Se denota por Γh el siguiente subgrupo de Rd:

Γh = y ∈ Y | y = (z1h1, . . . , zdhd), zj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ d. (6.8)

Sean ei, con i = 1, . . . , d los vectores unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas. Sedefinen los operadores en diferencias finitas

∇±hi g(x) =

1±hi

[g(x± hiei)− g(x)], ] i = 1, . . . , d. (6.9)


Figura 6.1: Puntos involucrados en la aproximacion en diferencias finitas de la ecuacion (6.3) enx = (ih1, jh2)

ptos. donde aε`` se evalua

ptos. de Γh donde uε es aproximada

ptos. donde aεk`, k 6= ` se evalua

i + 1, j

i, j + 1

i, j

Con el objeto de obtener una buena aproximacion numerica es natural reemplazar la ecuacion(6.3) por el siguiente problema algebraico:

d∑i,j=1

−∇−hi

[aε

ij(x(i, j))∇+hj uε

h(x)]

= f(x), x ∈ Γh, (6.10)

dondex(i, j) = x+

12hiei + (1− δij)

12hjej , (6.11)

δij denota la delta de Kronecker, junto con condiciones de contorno adecuadas que precisaremosmas adelante.

El esquema numerico proporciona aproximaciones uεh de uε en los puntos del mallado Γh

(puntos denotados por en la Figura 6.1). Sin embargo, los coeficientes aεij del sistema discreto

(6.10) estan evaluados en los puntos x(i, j) definidos en (6.11). Observese que estos puntos nopertenecen al mallado Γh. De hecho, para i = j, estan localizados simetricamente entre x yx + hiei (puntos denotados por + en Figura 6.1). Finalmente, cuando i 6= j, los puntos x(i, j)estan localizados en la diagonal entre x y x+ hiei + hjej .

Es de esperar que uεh solucion de (6.10) sea una aproximacion de la solucion exacta uε.

Obviamente, las estimaciones del error dependeran no solamente del paso h del mallado numericosino tambien de los coeficientes de la ecuacion (6.3) y, en definitiva, del parametro ε.

Por otra parte, como uε converge a la solucion homogeneizada u∗ cuando ε → 0, tambien esde esperar uε

h se aproxime a u∗. En el caso que esto ocurra diremos que se tiene la propiedad dehomogeneizacion numerica.

6.3. Resultados previos

A continuacion vamos a presentar los resultados del trabajo de Avellaneda, Hou y Papani-colaou [10] sobre homogeneizacion numerica en una dimension espacial que suponen el punto departida de nuestro trabajo

6.3. RESULTADOS PREVIOS 135

Consideramos el siguiente problema unidimensional con condiciones de contorno Dirichlet:− ∂

∂x

[a(x, x

ε ) ∂∂xu

ε]

= f(x), 0 < x < 1,

uε(0) = b, uε(1) = c.

(6.12)

Aquı a(x, y) es una funcion suave, de periodo 1 en la variable y, positiva y acotada

0 < α ≤ a(x, y) ≤ β <∞.

Es conocido (vease [16]) que existe una funcion u∗ tal que

sup0≤x≤1

|uε(x)− u∗(x)| → 0

cuando ε→ 0 donde u∗ es la solucion del problema homogeneizado− ∂

∂x

[a∗(x) ∂

∂xu∗] = f(x), 0 < x < 1,

u∗(0) = b, u∗(1) = c,

(6.13)

y

a∗(x) =(∫ 1

0

dy

a(x, y)

)−1

.

Este resultado se puede obtener directamente de la solucion explıcita de (6.12) y del siguientehecho: si g(x, y) es una funcion continua y acotada en la variable x, y de periodo 1 en y, entonces

lımε→0

∫ 1

0g(x,

x

ε)dx =

∫ 1

0

∫ 1

0g(x, y)dxdy. (6.14)

En este caso la aproximacion en diferencias finitas mas natural es la siguiente:−∇−h

[a(xi,

xiε )∇+huε

h(xi)]

= f(xi), 0 < x < 1,

uε(x0) = b, uε(xn) = c,(6.15)

donde xi = ih, i = 0, 1, . . . n con nh = 1 y ∇±hg(xi) se define en (6.9).

La cuestion que nos ocupa es la convergencia de la solucion de (6.15). En primer lugar,tomando h suficientemente pequeno con respecto a ε, es decir, si el tamano caracterıstico delmallado es mas fino que el de la oscilacion del coeficiente de la ecuacion (6.3), se tiene que uε

h seaproxima a la solucion uε a medida que h→ 0. Esto es inmediato a partir de resultados clasicos deconvergencia de aproximaciones en diferencias finitas, vease [18] y [76]. Notese sin embargo que,al estar interesados en el caso en que ε es muy pequeno, el coste computacional de este metodo,al precisar una eleccion de h sumamente pequena, puede hacerlo en la practica inviable. En [10]con el objeto de analizar la validez del esquema numerico se estudia el lımite de uε

h cuando tantoε como h tienden a cero y en particular, si este lımite coincide con u∗, la solucion del problema


homogeneizado. En la medida en que la solucion uε del problema continuo tiende a u∗ cuandoε→ 0, esta propiedad (que hemos denominado homogeneizacion numerica) es una buena pruebade la bondad del esquema numerico.

En [10] utilizando los resultados fundamentales de la Teorıa Ergodica (vease el libro [9]) seprueba el siguiente resultado.

Lemma 6.1 1 Supongase que g(x, y) ∈ C3([a, b]× [0, 1]) y es 1-periodica en la variable y. Sean0 < ε ≤ 1 y 0 < h ≤ h0. Sea r = h/ε. Si r es un numero irracional, entonces se tiene∣∣∣∣∣

n∑i=1

g(xi,xi

ε)−

∫ b

a

∫ 1

0g(x, y)dy dx

∣∣∣∣∣ ≤ C(r)h

donde C(r) es una constante que depende de r. Ademas, dado 0 < τ < 13 y si h ∈ S(ε, h0) donde

S(ε, h0) =

0 < h ≤ h0 |∣∣∣∣khε − j

∣∣∣∣ ≥ τ

|k|3/2j = 1, . . . ,

[kh0

ε

]+ 1,

para 0 6= k ∈ Z, 0 < ε ≤ 1 ,

entoncesC(r) ≤ c

τ

con c una constante. Ademas, la medida de Lebesgue de S(ε, h0) satisface

|S(ε, h0)| ≥ h0

(1− τ

∞∑k=1

1k3/2

)≥ h0(1− 3τ).

Aplicando este lema al lımite en la formula explıcita de uεh(xi) en el caso unidimensional se

obtienen los siguientes resultados:

Teorema 6.1 2 Para cualquier funcion continua y acotada f(x), 0 ≤ x ≤ 1, se tiene que

lımε,h→0

sup0≤i≤n

|uεh(xi)− u∗(xi)| → 0, (6.16)

donde el lımite satisface la siguiente relacion

h

ε= r

con r un numero irracional.

1Lema 1 en [10].2Teorema 1 en [10].

6.4. RESULTADOS OBTENIDOS 137

Teorema 6.2 3 En las condiciones del Teorema 6.1, dado τ > 0 existe h0 > 0 y un conjuntoS(ε, h0) ⊂ [0, h0] con medida de Lebesgue |S(ε, h0)| ≥ h0(1− 3τ), tal que para 0 < ε ≤ 1

sup0≤i≤n

|uεh(xi)− u∗(xi)| ≤ τ (6.17)

para todo h ∈ S(ε, h0).

El tipo de convergencia dado en este teorema es debido a Engquist [48] y se conoce comoconvergencia esencialmente independiente de ε.

Para el caso multidimensional no disponemos de una formula explıcita de la solucion a la quese pueda aplicar un resultado similar al Lema 6.1. Sin embargo, si que se disponen de resultadosgracias a que se utilizan tecnicas de homogeneizacion para ecuaciones estocasticas (Teorema 3en [10]). Una de las principales diferencias con respecto al caso unidimensional es que la relacionentre h y ε ahora no es escalar. Ademas, el numero irracional r ha de satisfacer una condicion depequenez. En efecto, escribamos r como

r = [r] + ρ

donde [r] es el vector de la parte entera de las componentes de r y ρ es el residuo. Entoncesla condicion que se precisa para la homogeneizacion numerica es que |ρ| → 0 a lo largo de unasucesion que tiene componentes positivas e irracionales.

6.4. Resultados obtenidos

Conviene subrayar que la relacion obtenida en [10] entre la microescala ε y el paso de dis-cretizacion h en el caso unidimensional es

h

ε= r r ∈ I. (6.18)

Esta condicion garantiza que entre h y ε no se producen efectos de “resonancia”. Dicho deotro modo, bajo la condicion (6.18), la sucesion [2πr`]2π`≥1 de los puntos modales que varecorriendo el mallado numerico a medida que ε, h → 0 es densa en el intervalo (0, 2π).4 Estapropiedad de densidad permite, por razonamientos de teorıa ergodica, probar la convergencia dela aproximacion numerica a la solucion homogeneizada u∗ (vease seccion anterior).

Sin embargo, desde un punto de vista numerico la condicion de irracionalidad (6.18) es pocoviable. Efectivamente, dado ε > 0, es mucho mas natural utilizar pasos h del mallado que seanracionales con respecto a ε. Se plantea entonces de manera natural la cuestion de cual es elcomportamiento de uε

h cuando

h

ε=q

p, con q, p ∈ N, M.C.D.(q, p) = 1, (6.19)


Figura 6.2: Ejemplo de mallado donde h << ε.

a medida que h → 0. Este es precisamente el tipo de problemas que nos planteamos en estecapıtulo.

Notese sin embargo que, bajo la condicion (6.19), estamos tıpicamente en una situacion reso-nante en la que el conjunto de nodos del mallado permanece finito a medida que ε, h → 0. Portanto, no es de esperar que la solucion numerica converja a la solucion homogeneizada u∗. Lacuestion que cabe entonces plantearse es la obtencion de una estimacion fina de la distancia entreuε

h y u∗.

Consideramos en primer lugar el caso unidimensional (6.12) en el dominio (0, 1). Obtenemosel siguiente resultado:

Teorema 6.3 Supongamos que a = a(x) es Lipschitz, 1-periodica y α ≤ a(x) ≤ β. Sea uεh(xi)n

i=0

la solucion del sistema discreto asociado a la ecuacion (6.12). Sea u∗ la solucion homogeneiza-da. Supongamos que el paso de discretizacion h y la escala de homogeneizacion ε satisfacen larelacion (6.19). Entonces existen c y c′ tales que,

sup0≤i≤n

|uεh(xi)− u∗(xi)| ≤ c hp + c′

1p, (6.20)

donde c y c′ solo dependen de α, β, la constante de Lipschitz del coeficiente a y ‖f‖∞.

A la hora de extender este resultado a varias dimensiones espaciales surgen diversas dificul-tades: 1) Normalmente, no se tienen formulas explıcitas de la solucion homogeneizada ni de loscoeficientes homogeneizados. 2) En general, cada una de las coordenadas del paso h son distintas,

3Teorema 1a en [10].4Denotamos por [x]2π a (x− 2π[ x

2π]) con [·] la funcion parte entera.


y esto da lugar a distintas relaciones con ε dependiendo de la direccion espacial. Por consiguien-te, se producen distintos procesos de homogeneizacion dependiendo de la direccion espacial. 3)Aunque el operador Aε es elıptico, el operador discretizado no siempre es definido positivo, de-bido al modo en que la relacion entre h y ε afecta en la discretizacion en los coeficientes (veaseFig. 6.1).

Para abordar el caso d-dimensional vamos a considerar el problema con condiciones de con-torno periodicas

Aεuε = f en Y,

uε Y -periodica, m(uε) = 1|Y |∫Y

uεdx = 0,(6.21)

cuyo problema homogeneizado asociado es (ver Capıtulo 2)A∗u∗ = f in Y,

u∗ Y -periodica, m(u∗) = 0.(6.22)

Al considerar este problema con condiciones de contorno periodicas se omiten una serie de dificul-tades relacionadas con la interaccion de las soluciones con la frontera y esto permite simplificarel analisis.

La discretizacion de (6.21) en diferencias finitas se escribe (siguiendo la notacion de la Sec-cion 6.2)

d∑i,j=1

−∇−hi

[aε


h(x)]

= f(x), x ∈ Γh,

uεh(x+ 2πm) = uε

h(x) ∀m ∈ Zd (Y -periodicidad),∑x∈Γh

uεh(x) = 0.

Es claro que (6.23) tiene sentido cuando f es continua para que los valores puntuales f(x) estenbien definidos. Cuando f no es continua los valores f(x) pueden reemplazarse por los promediosde f en una celda numerica alrededor del punto x del mallado.

Para garantizar que el problema (6.23) admite una solucion es preciso suponer que∑x∈Γh

f(x) = 0, (6.23)

que en el caso de haber considerado los promedios de f siempre se satisface.En caso contrario es necesario sustraer del segundo miembro una cantidad constante que

tienda a cero cuando h → 0 por lo que, sin perdida de generalidad, supondremos que (6.23) secumple. Bajo la hipotesis (6.23), el problema (6.23) admite una solucion cuya unicidad se puedegarantizar bajo la condicion de suma nula de uε

h.

En varias dimensiones espaciales tenemos el siguiente resultado de homogeneizacion numerica:


Teorema 6.4 Supongase que la dimension d ≥ 2 y que los coeficientes aij son Lipschitz ysatisfacen (6.1). Sean ε de la forma ε = 1/s con s ∈ N y consideremos h satisfaciendo lacondicion de resonancia

hi

ε= 2π

qipi, con M.C.D.(pi, qi) = 1, i = 1, . . . , d. (6.24)

Dado δ > 0, supongase que

q

p−[q

p

]=

ρ

p, con

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ ≤ δ. (6.25)

Ademas, sea σ = qρ ∈ Rd tal que satisface

σM

σm− 1 ≤ δ con σM = max(σi) y σm = mın(σi). (6.26)

Entonces, para f continua en Y con m(f) = 0, existen c1, c2 > 0 independientes de h, ε tales que

‖uεh − u∗‖h ≤ [c1|ph| + c2 δ] ‖f‖h,

donde uεh satisface (6.23) y u∗ es solucion de (6.22).

Este teorema se demuestra gracias al analisis por ondas de Bloch adaptado al sistema discreto,lo cual es posible gracias a la condicion de resonancia (6.24). La hipotesis (6.25) tambien esnecesaria en [10] para el caso multidimensional y modera la resonancia producida por (6.24). Elpapel que juega la hipotesis (6.26) es obligar al mallado a que no sea mucho mas fino en unasdirecciones que en otras. En particular, en el caso en el que todas las componentes de h soniguales (que es el caso mas sencillo) la hipotesis (6.26) es inmediata.

El metodo de Bloch puede tambien aplicarse al caso unidimensional obteniendose el siguienteresultado analogo al Teorema 6.3.

Teorema 6.5 (Caso unidimensional) Sean f una funcion continua con m(f) = 0 y el coeficientea = a(x) 2π-periodico y acotado superior e inferiormente por constantes positivas. Sea ε = 1/s yh = 2π/n tal que

h

ε= 2π

q

p, con M.C.D.(p, q) = 1, q, p ∈ N.

Entonces, existen c1, c2 > 0 independientes de h, ε y f tales que

‖uεh − u∗‖h ≤ [c1(ph) +

c2p

] ‖f‖h,

donde uεh satisface (6.23) y u∗ es solucion de (6.22).


El resultado de este ultimo teorema demostrado empleando el metodo de Bloch es el mismoque el del Teorema 6.3. Ademas, en el caso unidimensional no se precisan de las hipotesis (6.25)y (6.26), es mas, (6.26) siempre se satisface.

Por otra parte, ya se dijo que, cuando hay resonancia (h/ε = r ∈ Q), el lımite de la aproxi-macion uε

h cuando h, ε→ 0 es u∗h/ε, la solucion de un problema con coeficientes constantes a∗,rij .En efecto, se tiene que

‖uεh − u∗‖h ≤ c1|ph| ‖f‖h. (6.27)

Conocida la razon de resonancia r, estos coeficientes homogeneizados discretos se pueden calcularexplıcitamente. En particular, en el caso unidimensional para r = q/p y a 1-periodica, se tieneque (ver Seccion B.2.1 del Apendice B)

a∗p =

p−1∑j=0

1

p a(

1p

(j + 1

2

))−1

.

Para el caso multidimensional, los coeficientes a∗,q/pij vienen dados por el hessiano en 0 del

primer autovalor de Bloch discreto (ver Seccion B.2.2 del Apendice B).

Para finalizar este apartado vamos a ver que se pueden recuperar los resultados de [10] (Teo-remas 6.1 y 6.2) a partir de las estimaciones que hemos obtenido, en particular, aplicando elTeorema 6.3. Vamos a reducir este analisis al caso unidimensional (6.12) con condiciones Dirich-let para que el grado de dificultad sea menor, lo cual hace que este ultimo argumento sea masintuitivo y transparente.

En primer lugar recuperamos el resultado del Teorema 6.1. Dado un numero irracional r,vamos a probar que existe una sucesion de pares (h, ε) tal que h/ε ∈ Q con h, ε→ 0 y satisfacen(6.16). En efecto, por los resultados de aproximacion de numeros irracionales mediante numerosracionales, existe una sucesion de pares de naturales (pn, qn) tal que5∣∣∣∣r − qn

pn

∣∣∣∣ ≤ 1√5p2

n

→ 0 cuando n→∞.

Consideramos ahora otra sucesion de numeros an tal que an → ∞. Entonces, tomando h =1/(anpn) y ε = 1/(anqn), resulta por el Teorema 6.3 que

sup |uεh(xi)− u∗(xi)| ≤ c (

1an

+1pn

),

y, por tanto, cuando n → ∞ converge a 0 mientras que h/ε tiende a r. En consecuencia, hemosprobado el Teorema 6.1.

El resultado del Teorema 6.2 es algo mas complicado de obtener. El Teorema 6.2 indica que,dado ε ∈ (0, 1), si h ∈ S(ε, h0), se satisface (6.17) con el conjunto S(ε, h0) definido en el Lema 6.1.

5La demostracion de este resultado se encuentra en [58] pag. 164.


Veamos que, suponiendo h ∈ S(ε, h0), se puede probar (6.17) utilizando las estimaciones quehemos obtenido en Teorema 6.3.

Dado que h ∈ S(ε, h0) es claro que h/ε ∈ I. Sin embargo, para aplicar el Teorema 6.3 necesi-tamos que la relacion entre h y la escala de periodicidad sea racional. Por lo tanto, consideramosla aproximacion a otro problema cuya escala de periodicidad ε 6= ε (pero proxima) tal que

h

ε=q

p∈ Q con M.C.D.(q, p) = 1.

Mas adelante comprobaremos que existen q y p que proporcionan el resultado deseado pero, enprimer lugar, calculamos la diferencia entre uε

h y uεh, las aproximaciones a los problemas de escala

ε y ε respectivamente. Es inmediato que∑i

aεh(xi)|∇(uε

h(xi)− uεh(xi))|2 =

∑i

[aεh(xi)− aε

h(xi)]∇uεh(xi)∇(uε

h(xi)− uεh(xi)).

Considerando que el coeficiente a es Lipschitz, se tiene

|aεh(xi)− aε

h(xi)| ≤ c

∣∣∣∣hiε − hi

ε

∣∣∣∣ ≤ c1h

∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ , ∀i.

Por lo tanto, dada la coercitividad de a, resulta que(∑i

|∇(uεh(xi)− uε

h(xi))|2) 1

2

≤ ch−1

∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ , (6.28)

donde c depende de a. Ahora, utilizando el Teorema 6.3, se demuestra que

sup0≤i≤n


1p, (6.29)

donde c y c′ solo dependen de α, β, la constante de Lipschitz del coeficiente a y ‖f‖∞. Ahora, de(6.28) y (6.29) se prueba (6.17) cuando existen p, q ∈ N que satisfacen:∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ ≤ τh y τ−1 ≤ p ≤ τh−1. (6.30)

Ahora, el Teorema de Dirichlet6 nos dice: Dado α ∈ R y N > 1, existen enteros p, q con 1 ≤ p ≤ Ny

|αp− q| ≤ 1N.

Entonces, aplicando el Teorema de Dirichlet, existen p, q ∈ N tales que p ≤ τh−1 y∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ < h

pτ. (6.31)

Para que se cumpla la aproximacion de (6.30) es necesario que h/pτ ≤ τh. Por lo tanto, algun pque satisface (6.31) tiene que ser mayor que τ−2, i.e., p debe pertenecer al intervalo [τ−2, τh−1].

6Vease [94], pag. 34.


Veamos que efectivamente esta en este intervalo. Tenemos que h ∈ S(ε, h0), esto nos dice quetodo racional que se aproxima a h/ε difiere de el con una cota inferior establecida, en particular,∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ ≥ τ

p52

.

Como existen p, q que satisfacen (6.31), de la anterior desigualdad se tiene que τp−52 ≤ h/pτ , i.e.,

p ≥ τ43h−

23 . En conclusion, por el Teorema de Dirichlet sabemos que existen p, q con p ≤ τh−1

que satisfacen (6.31) y, como h ∈ S(ε, h0), entonces p esta en el intervalo [τ43h−

23 , τh−1]. Ası,

existe un par p, q ∈ N que verifica (6.30) si τ43h−

23 ≥ τ−2, es decir, si h ≤ τ5. En definitiva, si

h0 = τ5, para todo h ∈ S(ε, h0), existen p, q que satisfacen (6.30) y con lo cual hemos probado(6.17) utilizando las estimaciones que hemos obtenido en el Teorema 6.3.

En resumen, en este capıtulo, ademas de recuperar los resultados de [10] mediante un analisisdiferente al suyo, probamos que cuando no se esta en sus condiciones, es decir, cuando hay resonan-cia, obtenemos una estimacion del error a la solucion homogeneizada u∗ (ver Teoremas III.3–III.5).Ademas, calculamos explıcitamente el lımite de las aproximaciones uε

h en los casos de resonancia(6.27).

Capıtulo 7

Aproximacion en diferencias finitasde problemas de homogeneizacionpara ecuaciones elıpticas

RESUMEN. El problema que estudiamos en este capıtulo es el de la aproximacion por difer-encias finitas de la solucion de una ecuacion elıptica con coeficientes periodicos fuertementeoscilantes. En particular, estudiamos la convergencia de la aproximacion cuando h (la escaladel mallado) y ε (la escala de periodicidad) tienden a 0.

El origen de este trabajo es el artıculo [10] donde se demuestra mediante resultados deTeorıa Ergodica que la aproximacion converge a la solucion homogeneizada cuando h/ε = r,siendo r un numero irracional. En este capıtulo abordamos el problema desde un punto devista distinto y mas acorde con la aplicacion al calculo numerico: Para ello consideramos run numero racional.

Utilizando una descomposicion por ondas de Bloch asociada al operador discreto probamosestimaciones explıcitas de la aproximacion numerica a la solucion homogeneizada que com-binada con resultados clasicos de aproximacion diofantica permite recuperar los resultadosde [10].

145


FINITE DIFFERENCE APPROXIMATION OF HOMOGENIZATION

PROBLEMS FOR ELLIPTIC EQUATIONS 1

by

R. Orive and E. Zuazua.

ABSTRACT. In this paper, the problem of the approximation by finite differences of solutionsto elliptic problems with rapidly oscillating coefficients and periodic boundary conditions isconsidered. The mesh-size is denoted by h while ε denotes the period of the rapidly oscillatingcoefficient. Using Bloch wave decompositions, we analyze the case where the ratio h/ε isrational. We show that if h/ε is kept fixed, being a rational number, even when h, ε→ 0, thelimit of the numerical solution does not coincide with the homogenized solution obtainingwhen passing to the limit as ε → 0 in the continuous problem. Explicit error estimates aregiven showing that, as the ratio h/ε approximates an irrational number, then solutions ofthe finite difference approximation converge to the solutions of the homogenized ellipticequation. In other words, in this case numerical homogenization occurs. We consider both1-d and the multi-dimensional case. Our analysis yields a quantitative version of previousresults on numerical homogenization by Avellaneda, Hou and Papanicolaou, [10].

7.1. Introduction

Homogenization of elliptic equations with rapidly oscillating periodic coefficients is by nowa well understood problem. Roughly speaking, the limit equation turns out to be a constantcoefficient elliptic equation, and the effective coefficients may be computed by solving an auxiliaryproblem on the unit period cell. The interested reader may find a fairly complete study of thisproblem in the book by A. Bensoussan, J.L. Lions and G. Papanicolaou [16].

One of the main applications of homogenization theory is related to the numerical resolu-tion of elliptic problems with rapidly oscillating coefficients. More precisely, in agreement withthe homogenization result mentioned above, instead of approximating the problem with rapidlyoscillating coefficients one can instead solve numerically the homogenized equation. The later ismuch easier to handle since its coefficients are constant. For a long time this has been the only

1Transcripcion de la pre-publicacion [82]

148 CAPITULO 7. APROXIMACION EN DIFERENCIAS FINITAS...

feasible numerical approach since classical finite difference or finite element methods requiredmeshes of a size h asymptotically smaller than the period of the rapidly oscillating coefficient.This made computations unfeasible in practice.

In recent years important progresses have been made in this context. A.-M. Matache, I. Babus-ka and C. Schwab [65] and A.-M. Matache and C. Schwab [66] using Fourier-Bochner representa-tion of solutions of the oscillatory problem proved that the numerical approximation problem maybe attacked directly, without using the homogenization theory, by constructing special Galerkinbases adapted to the coefficients of the equation. This approach has also been successfully ap-plied to equations in rapidly oscillating perforated domains and, in principle, does not requireperiodicity assumptions. We also mention the work Piatnitski and Remy [85]. They show thatthe homogenized coefficients of the difference schemes approximating a family of elliptic PDEswith rapidly oscillating coefficients depend essentially on the discretization method. They studythe asymptotic behavior of effective coefficients for a family of random difference schemes. Theyobtained the coefficients by the discretization of random high-contrast checker-board structures.We refer to the book Jikov, Kozlov and Oleinik [62] for an introduction to the homogenizationtheory of random differential operators.

On the other hand, independently, it has been shown that if the mesh-size h is of the order ofε, the period of the oscillating coefficients, and the radio h/ε is irrational so that the numericalmesh correctly samples the spatial domain (with respect to the coefficients of the equation underconsideration), then solutions of the numerical approximation do converge to the solution of thecontinuous homogenized problem. The proof of this type of results relies on fundamental results inErgodic Theory and convergence of random numbers in Monte Carlo methods (see H. Niederreiter[75]). This approach has been successfully applied in the context of finite different approximationsof elliptic equations (M. Avellaneda, Th.Y. Hou and G. Papanicolaou [10]), hyperbolic problems(B. Engquist and Th.Y. Hou [49], B. Engquist and J.-G. Liu [50]), finite element methods (Th.Y.Hou, X.H. Wu and Z. Cai [60]), multigrid methods (B. Engquist and E. Luo [51]), and Waveletmethods (M. Dorobantu and B. Engquist [42]). In particular, in [10] it was shown that, in themultidimensional case, the finite difference approach does not provide the right homogenizedcoefficients unless the ratio of the discretization mesh size to the microscopic length scale is anirrational number that goes to integer number.

In this paper, inspired in the approach of [10], we analyze the case where the ratio h/ε isrational and we obtain explicit error estimates. These error estimates depend, in particular, onthe denominator of the rational number h/ε. It is shown that the error tends to zero as thedenominator tends to infinity and therefore, roughly speaking, the error tends to zero as h/εapproaches an irrational number. Thus, our results are in agreement with those mentioned aboveand provide a constructive way of recovering them by means of classical results on diophanticapproximation and explicit error bounds.

To do this we use the Bloch wave decomposition both at the continuous and discrete level (see F. Bloch [17], A. Bensoussan, J.L. Lions and G. Papanicolaou [16], C. Conca, J. Planchardand M. Vanninathan [34], and the references therein). This work is inspired in that by C. Concaand M. Vanninathan [36] where a new proof of the convergence of solutions of elliptic problemswith rapidly oscillating periodic coefficients towards the homogenized solution was obtained usingBloch waves decomposition. In fact, in [36], it was shown that the problem of homogenizationmay be reduced to the analysis of the first Bloch mode. It was them established that the Blochwaves representing the periodic medium approach Fourier waves representing the homogenized


medium and this fact may be easily interpreted as a result of homogenization in the Fourier space.

We follow the same approach to analyze the behavior of uεh, as ε → 0 and h → 0, where uε

h

stands for the numerical approximation of the elliptic problem with rapidly oscillating coefficientsof period ε, and with numerical mesh-size h. In particular, our approach allows analyzing whetheruε

h converges to the solution u∗ of the homogenized equation. As we shall see, this can indeed beproved provided h/ε approximates an irrational number but there is a difference on the way h/εhas to be chosen between the one-dimensional and the multi-dimensional case.

We restrict ourselves to the simplest case of periodic boundary conditions with ε tending tozero along a sequence such that the space-domain contains exactly an integer number of period-cells of the rapidly oscillating coefficients. This simplifies significantly the Bloch representationof the solution both at the continuous and discrete level. Important further developments shouldbe done to handle general domains with other boundary conditions, for instance. We refer to C.Conca, R. Orive and M. Vanninathan [32] for the analysis of the problem of homogenization ofcontinuous elliptic problem in general bounded domains with Dirichlet boundary conditions.

Organization of the paper In Section 7.2 we present ours main results and discuss its signifi-cance. In Section 7.3 we discuss the continuous problem using the Bloch wave decomposition. InSection 7.4 we define the Bloch waves for discrete spaces, and present several properties of Blocheigenvalues and eigenvectors. The proof of these properties are given in Section 7.8. Section 7.5 isdevoted to the study of the numerical problem using Bloch waves. We prove the error estimatesin numerical homogenization in several space dimensions. In Section 7.6, we recover the results of[10] in 1-d case using our analysis with rational ratio h/ε and classical results of number theoryand in Section 7.7 we give a more explicit and simpler proof of the numerical homogenization inthe 1-dimensional case.

Notation: All along this article the following notations will be used:

For any p = (p1, . . . , pd) ∈ Rd, pi 6= 0, we denote1p

=(

1p1, · · · , 1

pd

).

For x, z ∈ Rd, we write xz = (x1z1, . . . , xdzd) ∈ Rd.

For x, z ∈ Rd, we denote x · z = x1z1 + · · ·+ xdzd.

For x ∈ Rd, we consider the norm |x| = (x21 + · · ·+ x2

d)12 .

For any p ∈ Nd, we write p = p1 · p2 · · · · · pd, the product of all the components pi.

The determinant of a square matrix is denoted by detA.

The space of Y -periodic functions in Hsloc(Rd) will be denoted by Hs

#(Y ). The norm in the spaceHs(Y ) will be denoted as ‖ · ‖s. In particular, the norm in L2(Y ) (which coincides with L2

#(Y ))is ‖ · ‖0. Finally, ‖ · ‖h denotes the discrete L2-norm in a mesh Γh:

‖f‖2h = h1 · · ·hd

∑x∈Γh

|f(x)|2.


7.2. Presentation of the problems

7.2.1. Homogenization problem with periodic boundary conditions

Let us introduce the continuous problem to be discretized later on. We consider the ellipticoperator

A = − ∂

∂yi

(aij(y)

∂

∂yj

), y ∈ Rd (7.1)

where the coefficients (aij) satisfy:aij ∈ L∞# (Y ) where Y = [0, 2π[d, i.e., each coefficient aij is aY -periodic, bounded measurable function defined in Rd, such that∃α > 0 aij(y)ηiηj ≥ α|η|2 ∀η ∈ Rd,aij = aji ∀i, j = 1, . . . , d.

(7.2)

For each ε > 0, we consider the operator Aε:

Aε = − ∂

∂xi

(aε

ij(x)∂

∂xj

)with aε

ij(x) = aij

(xε

)x ∈ Rd.

Associated with Aε, we consider the following periodic boundary-value problemAεuε = f in Y,

uε ∈ H1#(Y ), m(uε) = 1

|Y |∫Y

uεdx = 0.(7.3)

If f is in L2#(Y ) with m(f) = 0, then the equation (7.3) is well-posed and there exists an unique

solution.In this paper, we consider the case

1ε

= s ∈ N, (7.4)

so that the space-domain contains exactly an integer number of period-cells of the coefficientsaε

ij.The limit of the solutions of (7.3) as ε→ 0 solves an elliptic equation related to the following

constant coefficient homogenized operator A∗:

A∗ = −a∗ij∂2

∂xi∂xj. (7.5)

The homogenized coefficients a∗ij are defined as follows

2a∗ij =1|Y |

∫Y

(2aij −

∂aj`

∂y`χi − ∂ai`

∂y`χj

)dy, (7.6)

7.2. PRESENTATION OF THE PROBLEMS 151

where, for any k = 1, . . . , d, χk is the unique solution of the cell problemAχk =

∂ak`

∂y`in Y,

χk ∈ H1#(Y ), m(χk) = 0.

(7.7)

The classical theory of homogenization provides the following result (see [16]):

Theorem 7.1 Let the coefficients ak` satisfy assumptions (7.2) and uε and u∗ be the solutionsof (7.3) and (7.8), respectively. Then, if f belongs to L2

#(Y ) with m(f) = 0, the sequence ofsolutions uε of (7.3) converges weakly in H1(Y ), as ε→ 0, to the so-called homogenized solutionu∗ characterized by

A∗u∗ = f in Y,

u∗ ∈ H1#(Y ), m(u∗) = 0.

(7.8)

Furthermore, we have‖uε − u∗‖0 ≤ cε‖f‖0. (7.9)

In Section 7.3 we give a new proof of (7.9) using Bloch waves as in [36], where the Dirichletproblem was studied both in bounded and unbounded domains. Here, we adapt the Bloch wavesapproach to the case of periodic boundary conditions.

7.2.2. The finite-difference scheme for elliptic PDEs

We now introduce a finite difference approximation of (7.3). Let h = (h1, . . . , hd) be a vectorwith positive components

hi =2πni

with ni ∈ N, (7.10)

and denote by Γh the following subgroup of Rd:

Γh = y ∈ Y | y = (z1h1, . . . , zdhd), zj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ d. (7.11)

Let ej , j = 1, . . . , d be the unit vectors in the coordinate directions. Define

∇±hi g(x) =

1±hi

[g(x± hiei)− g(x)],

with i = 1, . . . , d. Note that for any x ∈ Γh, ∇±hi g(x) is an approximation of ∂g

∂xiat (x± 1

2hi ei).For numerical purposes it is therefore natural to replace the boundary value problem (7.3) by thediscrete one

d∑i,j=1

−∇−hi

[aε


h(x)]

= f(x), x ∈ Γh, (7.12)

uεh(x+ 2πm) = uε

h(x) ∀m ∈ Zd (2π-periodicity), (7.13)∑x∈Γh

uεh(x) = 0, (7.14)


wherex(i, j) = x+

12hiei + (1− δij)

12hjej , (Kronecker δij). (7.15)

Obviously, (7.13) makes sense when f is continuous so that the values f(x) for x ∈ Γh are welldefined. When f is not continuous, the value f(x) may be replaced by the average of f on a cellaround the point x of the mesh. We assume that∑

x∈Γh

f(x) = 0, (7.16)

to guarantee that (7.13) is well-posed. This is consistent with the assumption m(f) = 0 of thecontinuous problem. Rigorously speaking f in (7.12) depends on the mesh-size h, even when theoriginal function f is continuous and the discrete are ?? simply obtained by restriction to themesh. However, for simplicity we will not make this dependence explicit in the notation. Notethat the numerical scheme provides approximations uε

h of uε at the points of the mesh Γh (pointsdenoted by in the Figure 6.1 below). However, the coefficients aε

ij of the discrete system (7.12)- (7.14) are evaluated at the points x(i, j) defined in (7.15). Observe that these points do notbelong to the mesh Γh. In fact, for i = j, these points are located symmetrically between x andx+hiei (points denoted by + in Figure 6.1). Finally, when i 6= j, x(i, j) is located in the diagonal.

From (7.12), for u, v satisfying (7.13), the following identity holds

∑x∈Γh

d∑i,j=1

−∇−hi

[aε

ij(x(i, j))∇+hj u(x)

]v(x) =

∑x∈Γh

d∑i,j=1

aεij(x(i, j))∇+h

j u(x)∇+hi v(x). (7.17)

Therefore, as the coefficients aεij(x(i, j)) are coercive (see Section 7.4.2), the bilinear form (7.30)

associated with the linear system (7.12) - (7.13) is non negative. On the other hand, the constants,uε

h(x) = c for any x ∈ Γh, solve (7.12) -(7.13) with f ≡ 0 and are in fact the unique solutions withf ≡ 0. Thus, when the compatibility condition (7.14) holds, there exists an unique uε

h satisfying(7.12) - (7.14).

One expects the solution uεh of (7.12) - (7.14) to be an approximation to the exact solution

uε. This is indeed true but the error estimates depend of the fast oscillation of the coefficientsaε

ij .Let us mention the following classical result about convergence estimates of difference approx-

imations for elliptic problems (see [18] and [76]).

Theorem 7.2 Let u be the solution of the periodic boundary problemAu = f in Y,

u ∈ H1#(Y ), m(u) = 1

|Y |∫Y

udx = 0.

Let uh be the solution of the difference approximation whose discrete operator is positive type.Then, if the order of accuracy of the approximation problem is ν, f belong to C0,λ and thecoefficients ak` are smooth, we have

supx∈Γh

|u(x)− uh(x)| ≤ c(hmin(ν,λ) + εh(a))‖f‖Cλ


where εh(a) = max[ak`(x)− ak`(x′)], with |x− x′| ≤ h and for k, ` = 1, . . . , d.

Applying this theorem with ε > 0 fixed, it can be shown that the solution uεh(x) of (7.12) -

(7.14) converges to uε(x) when h → 0. In particular, we have the following estimate, when f iscontinuous:

supx∈Γh

|uεh(x)− uε(x)| ≤ c

h

ε‖f‖C0 . (7.18)

where c > 0 denotes a positive constant which depends on the W 1,∞-norm of the coefficients andthe ellipticity constant but it is independent of h and ε and the right hand side of f .

7.2.3. Main results in numerical homogenization

In this section, we analyze how well uεh approximates u∗. From the estimate (7.9) provided

by the theory of homogenization, we get for h sufficiently small

‖uε − u∗‖h ≤ cε‖f‖C0 .

On the other hand, by the error estimate (7.18), we obtain

‖uεh − u∗‖h ≤ ‖uε

h − uε‖h + ‖uε − u∗‖h ≤ [c1h

ε+ c2ε] ‖f‖C0 . (7.19)

Therefore, if h << ε, uεh converges to u∗. In this case, the rapid oscillations of the coefficients aε

ij

are captured by the numerical approximation. But this requires h to be asymptotically smallerthan ε and makes computations infeasible in practice.Existing results. (7.19) does not provide a complete information on the behavior of numericalsolutions since, as we mentioned above in the introduction, the convergence of uε

h to u∗ may holdswith h/ε → r 6= 0 as h, ε → 0 provided r is a suitable irrational number (see [10]). To see this,we consider the following 1-d problem:

− ∂∂x

[aε(x) ∂

∂xuε]

= f(x), 0 < x < 1,

uε(0) = b, uε(1) = c.

(7.20)

The Theorems 1 and 1a of [10] show that the finite difference approximations associated to (7.20)satisfy:Theorem A For any continuous and bounded function f(x), 0 ≤ x ≤ 1, we have

lımε,h→0

sup0≤i≤n

|uεh(xi)− u∗(xi)| → 0, (7.21)

provided hε = r with r any irrational number.

Theorem B Under the assumptions of Theorem A, given τ > 0 there exists h0 > 0 and an setS(ε, h0) ⊂ [0, h0] defined by

S(ε, h0) =

0 < h ≤ h0 |∣∣∣∣khε − j

∣∣∣∣ ≥ τ

|k|3/2j = 1, . . . ,

[kh0

ε

]+ 1,

para 0 6= k ∈ Z, 0 < ε ≤ 1 ,


with Lebesgue measure |S(ε, h0)| ≥ h0(1− 3τ), such that for 0 < ε ≤ 1

sup0≤i≤n

|uεh(xi)− u∗(xi)| ≤ τ (7.22)

These results guarantee that the numerical homogenization occurs even when h and ε are ofthe same order, provided the ratio h/ε is kept irrational. Now, as a consequence of our resultswith the ratio rational, we recover the previous results using classical results in approximation ofirrational numbers with rational in Section 7.6. Theorem A and Theorem B concern the case ofDirichlet boundary condition but similar results apply also with periodic boundary conditions.

Our main results in 1-d. A more natural situation is when h/ε is a rational. This case isaddressed in the following theorem:

Theorem 7.3 Assume uεh is the finite difference approximation of the solution of (7.20) and f

is a continuous function. Assume that h and ε are such that

h

ε=q

p, with H.C.F.(p, q) = 1, q, p ∈ N. (7.23)

Then, there exist c1, c2 > 0 independent of h, ε and f such that

sup0≤i≤n

|uεh(xi)− u∗(xi)| ≤ [c1(ph) +

c2p

] ‖f‖C0 , (7.24)

where u∗ is the homogenized solution associated to (7.20).

Here and the sequel H.C.F. stands for the highest common factor. This result will be proved inSection 7.7, by means of the explicit formulas of solutions that only exist in the one-dimensionalcase.

Theorem 7.3 concerns the Dirichlet problem (7.20). We have chosen to state our main 1-dresult for the Dirichlet problem in order to facilitate the comparison with Theorems A and B of[10]) stated above. The error estimate (7.24) contains two different terms. The first one tends tozero as h → 0 when h/ε is kept fixed. However, in order for the second one to tend to zero weneed to take p→∞, which, in practice, require h/ε to tend to an irrational number.

To extend this result a several space dimensions we use a new tool: Discrete Bloch waves (seeSection 7.4). With this technique we can work in any space dimension. In the case 1-dimensional,we obtain the following result:

Theorem 7.4 Let uεh be the solution of (7.12) - (7.14) in dimension d = 1. Let ε be as in (7.4)

and consider |h| < h0 satisfying

h

ε= 2π

q

p, with H.C.F.(p, q) = 1, q, p ∈ N. (7.25)

Then, for any continuous function f with m(f) = 0, there exists a discrete function u∗h/ε suchthat

‖uεh − u∗ε/h‖h ≤ c |ph| ‖f‖h, (7.26)


with c independent of h, ε. u∗h/ε is the numerical approximation of the solution of

−a∗p ∂2

∂x2u∗p = f(x), 0 < x < 2π,

u∗p is 2π-periodic,(7.27)

where a∗p is an approximation of the homogenized coefficient a∗. In particular,

|a∗p − a∗| ≤ c1p.

Then,

‖u∗h/ε − u∗‖h ≤ c1p‖f‖h, (7.28)

where u∗ is the homogenized solution (7.8) and c > 0 independent of h, ε.

We observe that when h and ε go to 0 satisfying (7.25), the discrete function u∗h/ε convergesto the solution of (7.27) and not the homogenized solution u∗.

Remark 7.1 Note that the statements in Theorem 7.3 and in Theorem 7.4 are the same. Withthe estimates (7.26) and (7.28) we obtain immediately (7.24). This estimate may be written asfollows

‖uεh − u∗‖h ≤ [c1(qε) + c2

h

qε] ‖f‖h, q ∈ N, (7.29)

when (7.25) is satisfied.On the other hand, the statement in Theorem 7.3 is true when q and p satisfy (7.23). Re-

spectively, in Theorem 7.4 is true when q and p satisfy (7.25). The difference between (7.23)and (7.25) is given by the length of the domain in their respective problems. In particular, inTheorem 7.3 the length is 1 and in Theorem 7.4 is 2π.

Our main results in several space dimensions. In several space dimensions we get the resultsof Theorem 7.3 in a weaker form. According to (7.4) and (7.10), we have

hi

ε= 2π

2sni, i = 1, . . . , d. (7.30)

In particular, taking into account that s ∈ N, we have∃ pi, qi ∈ N such that ni = pi ri, s = qi ri,where ri=H.C.F.(s, ni) with i = 1, . . . , d.

(7.31)

Thus, h and ε satisfy

hi

ε= 2π

qipi, with H.C.F.(pi, qi) = 1, i = 1, . . . , d. (7.32)

Let us now state how uεh approximates u∗ in several space dimensions.


Theorem 7.5 Assume that d ≥ 2 and h0 sufficiently small. Let ε be as in (7.4) and consider|h| < h0 satisfying (7.32). Let uε

h be the solution of (7.12) - (7.14). Moreover, we assume that

q

p−[q

p

]=

ρ

p, with

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ sufficiently small. (7.33)

Then, for any continuous function f with m(f) = 0, there exists a discrete function u∗h/ε suchthat

‖uεh − u∗ε/h‖h ≤ c |ph| ‖f‖h, (7.34)

with c independent of h, ε. Moreover, given δ > 0 under the assumption that∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ ≤ δ,

σM

σm− 1 ≤ δ with σ =

q

ρ, σM = max(σi) σm = min(σi), (7.35)

we have

‖u∗h/ε − u∗‖h ≤ c δ ‖f‖h, (7.36)

where u∗ is the homogenized solution (7.8) and c > 0 is independent of h, ε.

Remark 7.2 The discrete function is a numerical approximation of the solutions of−a∗,q/p

ij

∂2v

∂xi∂xj= f in Y,

v ∈ H1#(Y ), m(v) = 1

|Y |∫Y

uεdx = 0,(7.37)

where the coefficients are constants dependent of q and p, and, generally are very different ofthe homogenized coefficients and only with the assumptions (7.35) we can give an estimation of|a∗ij − a

∗,q/pij | (see Proposition 7.8. In Lemma 7.3 we give a explicit formula of the coefficients

a∗,q/pij .

The proof of Theorem 7.5 is in Section 7.5. We observe that, in several space dimensions,there is more hypothesis (7.33) than in the one dimensional case. The reason is that to obtainthe estimate ‖uε

h− u∗‖h we need to estimate the difference between the homogenized coefficientsand the homogenized coefficients associated to the discrete system (7.12). In one dimension, thehomogenized coefficient is explicit and is given by

a∗ =(

12π

∫ 2π

0

dy

a(y)

)−1

. (7.38)

While, in several space dimensions, the homogenized coefficients (7.6) depend on χk, solution of(7.7) that, in general, needs to be approximated by a numerical method. To approximate χk, ρ/pneeds to be sufficiently small (see Section 7.8.3).

7.3. HOMOGENIZATION OF THE CONTINUOUS PROBLEM 157

7.3. Homogenization of the continuous problem

7.3.1. Bloch wave decomposition

In this section we recall some basic results on Bloch wave decomposition. We refer to [34] andto [36] for more details.

Let us consider the following spectral problem parameterized by η ∈ Rd: To find λ = λ(η) ∈ Rand ψ = ψ(x; η) (not identically zero) such that

Aψ(·; η) = λ(η)ψ(·; η) in Rd,ψ(·; η) is (η, Y )-periodic, i.e.,

ψ(y + 2πm; η) = e2πim·ηψ(y; η) ∀m ∈ Zd, y ∈ Rd,(7.39)

where A is the elliptic operator in divergence form defined in (7.1).We can write ψ(y; η) = eiy·ηφ(y, η), φ being Y -periodic in the variable y. It is clear from

(7.39) that the (η, Y )-periodicity is unaltered if we replace η by (η+m) with m ∈ Zd. Therefore,η can be confined to the dual cell η ∈ Y ′ = [−1

2 ,12 [d. Under these conditions, it is known (see

[36]) that the spectral problem above admits a discrete sequence of eigenvalues with the followingproperties:

0 ≤ λ1(η) ≤ · · · ≤ λn(η) ≤ · · · → ∞,λm(η) is a Lipschitz function of η ∈ Y ′, ∀m ≥ 1.

(7.40)

Besides, the corresponding eigenfunctions denoted by ψm(·; η) and φm(·; η), form ortonormal basisin the subspaces of L2

loc(Rd) of (η, Y )-periodic and Y -periodic functions, respectively. Moreover,as a consequence of the min-max principle, it follows that (see [36])

λ2(η) ≥ λ(N)2 > 0, ∀η ∈ Y ′, (7.41)

where λ(N)2 > 0 is the second eigenvalue of A in the cell Y with Neumann boundary conditions

on ∂Y .To express the equation Aεuε = f in an equivalent way in the Bloch space, we introduce the

Bloch eigenvalues λεm(ξ)m≥1 and eigenvectors φε

m(x; ξ) in the ε-scale:

λεm(ξ) = ε−2λm(εξ), φε

m(x; ξ) = φm(x

ε; εξ). (7.42)

Then, given f ∈ L2#(Y ), the mth Bloch coefficient of f at the ε scale is defined as follows:

Bεmf(k) =

∫Y

f(x)e−ik·xφεm(x; k)dx ∀m ≥ 1, k ∈ Λε, (7.43)

whereΛε = k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd, such that [−1/2ε] + 1 ≤ ki ≤ [1/2ε]. (7.44)

The following holds:

Theorem 7.6 Let ε > 0 be defined by (7.4). For any f ∈ L2(Y ) the following representationformula holds:

f(x) =∑k∈Λε

∑m≥1

Bεmf(k)eik·xφε

m(x; k).


Further, we have the Parseval’s identity:∫Y

|f(x)|2dx =∑k∈Λε

∑m≥1

|Bεmf(k)|2.

More generally, the following Plancherel identity is also valid:∫Y

f(x)g(x)dy =∑m≥1

∑k∈Λε

Bεmf(k)Bε

mg(k), ∀f, g ∈ L2#(Y ).

Proof. It is very similar to the case f ∈ L2(Rd) whose detailed proof can be found in [16], p. 616,and also in [77]. We only indicate some points where the proof has to be modified. We considerthe function

f(x; k) = εd∑

0≤γi<ε−1

γ=(γ1,...,γd)∈Zd

f(x+ 2πεγ)e−ik·(x+2πεγ), k ∈ Λε.

Observe that f(x; k) is εY -periodic in x. Indeed, for any ej , j = 1, . . . , d (the unit vectors in thecoordinate directions), we get

f(x+ 2πεej ; k) = εd∑

0≤γi<ε−1

f(x+ 2πεγ + ej)e−ik·(x+2πεγ+ej)

= εd∑

0≤γi<ε−1

γj 6=0

f(x+ 2πεγ)e−ik·(x+2πεγ) +

+εde−ikj∑

0≤γi<ε−1

γj=0

f(x+ 2πej + 2πεγ)e−ik·(x+2πεγ).

Thanks to the fact that f is Y -periodic and k ∈ Λε ⊆ Zd, we see

f(x+ 2πej + 2πεγ) = f(x+ 2πεγ) and e−ikj = 1.

Therefore the function f(x; k) is εY -periodic in x.Now, we are going to prove the following formula∑

k∈Λε

ei2πεk·γ =

0 if γ 6= 0ε−d if γ = 0.

(7.45)

We begin by proving (7.45) in the 1− d case. Since ε is given by (7.4), we have[12ε

]−[− 1

2ε

]=

1ε

= s.

Thus, we get ∑k∈Λε

ei2πεkγ = e−i2πεγ(1+[−1/2ε])ε−1−1∑k=0

(ei2πεγ

)k.


The case γ = 0 is obvious. For the other cases, identity (7.45) holds by the explicit identity forgeometric sums. Assuming (7.45) holds for d− 1 space dimensions, we will prove it for dimensiond. Note that ∑

k∈Λε

ei2πεk·γ =[1/2ε]∑

k1=[−1/2ε]−1

ei2πεk1·γ1∑k∈Λεk1=0

ei2πεk·γ .

Then, using the cases 1− d and d− 1 dimensional, we prove (7.45).Applying (7.45), we have the following inverse formula

f(x) =∑k∈Λε

f(x; k)eik·x, (7.46)

and the Parseval’s identity ∫Y

|f(x)|2dx =∫εY

∑k∈Λε

|f(x; k)|2dx. (7.47)

Since the εY -periodic (with respect to x) functions ε−d2φε

m(x; k)m≥1 are complete and or-thonormal in L2(εY ), we introduce the Bloch coefficients of f as the coefficients of f(x, k) in thisbasis, i.e.,

< f(·; k), φεm(·; k) >εY = Bε

mf(k).

Using (7.46), we get the Bloch representation formula. Furthermore, by the completeness ofeigenvectors, we have ∫

εY

|f(x; k)|2dx =∑m≥1

|Bεmf(k)|2,

and, by (7.47), the proof of Parseval’s identity is proved. We conclude the proof of Plancherel’sidentity as in Parseval’s one.

We also have the following result on the dependence of λ1 and φ1 with respect to the parameterη (see [36] and [32]).

Proposition 7.1 Assume that the coefficients ak` satisfy (7.2). Then there exists δ > 0 suchthat the first eigenvalue λ1 is an analytic function on Bδ = η : |η| < δ and satisfies

c1|η|2 ≤ λ1(η) ≤ c2|η|2, ∀η ∈ Y ′, (7.48)

and

λ1(0) = ∂kλ1(0) = 0, k = 1, . . . , N,∂2

k`λ1(0) = 2a∗k`, k, ` = 1, . . . , N, (7.49)∂αλ1(0) = 0 ∀α such that |α| is odd,

where a∗k` are the homogenized coefficients defined in (7.6). Furthermore, there is a choice of thefirst eigenfunction φ1(y; η) satisfying

η ∈ Bδ → φ1(y; η) ∈ L∞ ∩ L2#(Y ) is analytic,

φ1(y; 0) = (2π)−d2 .


7.3.2. Homogenization results

As in [36], we are going to deduce some classical homogenization results with periodic bound-ary conditions as a consequence of the regularity properties of the first Bloch eigenvalue andeigenvector.

First, we observe that the differential equation (7.3) can be easily transformed to a set ofalgebraic equations for the Bloch coefficients. We show next that the energy of the solution uε of(7.3) contained in all Bloch modes m ≥ 2 goes to zero (Proposition 7.2). Thus it is sufficient toanalyze the first Bloch mode corresponding to m = 1 since all higher modes can be neglected inthe homogenization process. When passing to the limit in the first Bloch component (m = 1) weobtain the Fourier series corresponding to the limit homogeneous medium.

Let us now develop these ideas. Thanks to the following relation

Aε(eik·xφεm(x; k)) = λε

m(ξ)eik·xφεm(x; k),

which is satisfied for k ∈ Λε, and, according to Theorem 7.6, equation (7.3) is equivalent to

λεm(k)Bε

muε(k) = Bε

mf(k), ∀m ≥ 1, k ∈ Λε. (7.50)

Our goal is to pass to the limit in these equations as ε→ 0.We claim that one can neglect all the terms corresponding to m ≥ 2.

Proposition 7.2 Let

vε(x) =∑k∈Λε

∞∑m=2

Bεmu

ε(k)eik·xφεm(x; k),

where uεm(k) are the Bloch coefficients of the solution of (7.3) with f ∈ L2

#(Y ). Then,

(i) ‖∇vε‖0 ≤ cε‖f‖0.

(ii) ‖vε‖0 ≤ cε2‖f‖0.

The proof can be carried out as in Proposition 3.5 of [36], using the Parseval and Plancherelidentities in Theorem 7.6 above and the characterization of the eigenvalues of (7.39) by themin-max principle, together with the inequalities (7.41).

Let us now recall the classical Fourier series decomposition that will arise naturally whenanalyzing the limit behavior of the first Bloch component as ε → 0. Suppose that f ∈ L2

#(Y )and k ∈ Zd. The kth Fourier coefficient of f is defined by

fk = (2π)−d2

∫Y

f(x)e−ik·xdx, ∀k ∈ Zd, (7.51)

and the inverse formula is given by

f(x) = (2π)−d2

∑k∈Z

fkeik·x. (7.52)


Furthermore, from orthonormality of the functions eik·y for the scalar product in L2(Y ), Plancher-el’s identity is also valid:∫

Y

f(x)g(x)dx =∑k∈Z

fk gk, ∀f, g ∈ L2#(Y ).

In the following propositions we give some convergence results of the first Bloch componenttowards the Fourier series:

Proposition 7.3 Under the assumptions of Proposition 7.1, there exists c > 0 such that for allf ∈ L2

#(Y ), k ∈ Λε and kε ∈ Bδ it follows

|Bε1f(k)− fk| ≤ cε|k|‖f‖0, (7.53)

with c > 0 independent of ε, k and f .

Proof. In view of (7.42) and taking into account that φ1(·; 0) = (2π)−d2 , it follows

Bε1(k)− fk =

∫Y

f(x)e−ik·xφ1

(xε; kε)− φ1(

x

ε; 0)dx. (7.54)

Let us introduce the notation

hε(x; k) = φ1(x

ε; εk)− φ1(

x

ε; 0). (7.55)

Since φ1(y; η) is analytic with respect to η in Bδ (see Proposition 7.1), then it is Lipschitzcontinuous with respect to η with values in L2(Y ), and then

ε−d

∫εY

|hε(x; k)|2dx =∫Y

|φ1(y; εk)− φ1(y; 0)|2dy ≤ cε2 |k|2. (7.56)

Inequality (7.53) follows then immediately applying Cauchy-Schwartz inequality in (7.54).

Proposition 7.4 Under the assumptions of Proposition 7.1, there exists c > 0 such that∑k∈Λε∩B δ

ε

2λε

1(k)|Bε

1f(k)− fk|2 ≤ cε2‖f‖20, (7.57)

with c > 0 independent of ε and f .

Proof. In view of (7.54) and (7.55), it follows

Bε1f(k)− fk =

∫Y

f(x)e−ik·xhε(x; k).


Note thathε(x; k) = h(

x

ε; εk),

where h(·; εk) is a Y -periodic function. Then h may be written in Fourier series as

h(y; εk) = (2π)−d2

∑`∈Zd

h(εk)`ei`·y,

where h(εk)` is the `th Fourier coefficient of h(·; εk). Thus,

Bε1f(k)− fk =

∑`∈Zd

h(εk)`

∫Y

f(x)e−ik·xe−i`·xε dx

=∑`∈Zd

h(εk)`fk+ `ε,

since ε−1 ∈ N, see (7.4). By Cauchy-Schwartz inequality, we get

|fε1 (k)− fk|2 ≤

∑`∈Zd

|h(εk)`|2

∑`∈Zd

|fk+ε−1`|2 . (7.58)

Taking into account that k ∈ B δε, by Parseval’s identity and (7.56), we get

∑`∈Zd

|h(εk)`|2 =

∫Y

|h(y; εk)|2dy = (ε)−d

∫εY

|hε(x; k)|2dx ≤ cε2|k|2.

Using this result in (7.58) and in view of (7.48) (which, by the definition of λε1(k), implies that

the inequality holds for λε1(k) uniformly on ε), we have

∑k∈Λε∩B δ

ε

1λε

1(k)|Bε

1f(k)− fk|2 ≤ cε2∑

k∈Λε∩B δε

|k|2

λε1(k)

∑`∈Zd

|fk+ε−1`|2 ≤

≤ c′ε2∑

k∈Λε∩B δε

∑`∈Zd

|fk+ε−1`|2 ≤ c′ε2∑k∈Zd

|fk|2.

Our next aim is to pass to the limit in equation (7.50) corresponding to the first Bloch mode.

Proposition 7.5 Under the assumptions of Proposition 7.1, for kε ∈ Bδ it follows

Bε1u

ε(k) −→ u∗k as ε→ 0,

where u∗k is the kth Fourier coefficient of the homogenized solution u∗. In particular, the followingestimate is satisfied

|Bε1u

ε(k)− u∗k| ≤ cε‖f‖0. (7.59)


Proof. According to (7.42), (7.50) may be written as

Bε1u

ε(k) = ε2Bε

1f(k)λ1(εk)

, k ∈ Λε.

Thus, we can write

|Bε1u

ε(k)− u∗k| ≤2

(λε1(k))2

|Bε1f(k)− fk|2 +

2|fk|2

λε1(k)a

∗ijkikj

|λε1(k)− a∗ijkikj |2, k 6= 0

Using the Taylor expansion of the first Bloch eigenvalue up to second order (see in Proposi-tion 7.1), we obtain, for kε ∈ Bδ, that

|λε1(k)− a∗ijkikj | ≤ cε2|k|4.

Then, by (7.53) in Proposition 7.3, we get

|Bε1u

ε(k)− u∗k| ≤ ε2

(|k|2‖f‖2

0

(λε1(k))2

+ c|k|4|fk|2

λε1(k)a

∗ijkikj

),

and, by the inequalities (7.48), (7.59) is proved. When letting ε→ 0 in (7.59) we obtain, for eachk ∈ Zd, k 6= 0,

Bε1u

ε(k) −→ u∗k, as ε→ 0.

On the other hand, sincem(uε) = 0 by (7.3), we have Bε1u

ε(0) = 0 which, obviously, also convergesto u∗0 = 0.

We now proceed with the proof of the estimate (7.9) in Theorem 3.4.

Proof of the Theorem 3.4. The Bloch decomposition of uε and the Fourier decomposition ofu∗ allow us to write

uε(x)− u∗(x) =∑

k∈Λε∩B δε

Bε1u

ε(k)eikx[φ1(x

ε; εk)− φ1(

x

ε; 0)] +

+∑

k∈Λε∩Uε

Bε1u

ε(k)eikxφ1(x

ε; εk) + (2π)−

d2

∑k∈Λε∩B δ

ε

[Bε1u

ε(k)− u∗k]eikx

−(2π)−d2

∑k∈Uε

u∗keikx + vε(x) =

= vε1(x) + vε

2(x) + vε3(x) + vε

4(x) + vε(x),

where Uε = ZN − (Λε ∩ B δε) and vε(x) is defined in Proposition 7.2. According to the second

inequality in Proposition 7.2 it is sufficient to estimate vεj , j = 1, · · · , 4.

Secondly, we can neglect the terms vε2, v

ε4 corresponding to k ∈ Uε. By Parseval’s identity and

(7.48), vε2(x) satisfies

‖vε2‖2

0 =∑

k∈Λε∩Uε

|Bε1f(k)|2

(λε1(k))2

≤ c∑

k∈Λε∩Uε

|Bε1f(k)|2

|k|4≤

≤ cε4

δ4

∑k∈Λε∩Uε

|Bε1f(k)|2 ≤ c

ε4

δ4‖f‖2

0.

7.4. DISCRETE BLOCH WAVES 165

7.4. Discrete Bloch waves

The purpose of this section is to present a tool allowing to transform the finite differenceproblem (7.3) into a set of algebraic equations: The discrete Bloch waves.

7.4.1. Bloch decomposition

In Section 7.3.1 we defined the Bloch waves ψε(x; ξ) in the ε-scale associated with the con-tinuous operator Aε where the coefficients aε

ij are εY -periodic.Now, in the finite difference system (7.12) the coefficients aε

ij are hp-periodic in the mesh Γh

defined in (7.11). In fact, taking into account that h and ε satisfy (7.32), we obtain that for anyx ∈ Γh and y ∈ Γhp ⊂ Γh

aεij (x+ y) = aij

(x+ y

ε

)= aij

(xε

)= aε

ij(x).

Here, we have used the fact that y/ε ∈ 2πZd. Indeed, y ∈ Γhp and therefore y = zhp withz ∈ Zd. Thus, according to (7.32), y/ε = 2πzq ∈ 2πZd. We conclude that the coefficients aε

ijare hp-periodic or, equivalently, by (7.32), qεY−periodic in the mesh Γh.

Thus, we are interested in solving the finite difference approximation in the mesh Γph =

[0, hp[∩Γh, where[0, hp[= [0, p1h1[× · · · × [0, hdpd[⊂ Rd.

We setΓp

h = x = (z1h1, . . . , zdhd) : 0 ≤ zi < pi, zi ∈ Z,∀i = 1, . . . , d.

To do it, we define the discrete Bloch waves associated with the linear system (7.12), from thefollowing family of spectral problems: To find µ = µ(ξ) ∈ R and ϕε

h = ϕεh(x; ξ) (non identically

zero) such that

d∑i,j=1

−∇−hi

[aε

ij (x(i, j))∇+hj (eix·ξϕε

h(x; ξ))]

= µ(ξ)eix·ξϕεh(x; ξ), x ∈ Γp

h

ϕεh(x; ξ) is ph-periodic in x, i.e., ϕε

h(x+ pkhkek; ξ) = ϕεh(x; ξ).

(7.60)

The discrete Bloch waves are then given by ψεh(x; ξ) = eix·ξϕε

h(x; ξ). In particular, by (7.32) weget the following property:

ψεh(x+mhp; ξ) = eim·ξψε

h(x; ξ), m ∈ Zd.

It is clear that this property remains the same if ξ is replaced by ξ+n(qε)−1, n ∈ Zd, since (qε)−1

is multiple of 2π. So, there is no loss of generality in confining ξ to the cell [0, (qε)−1[ or in thetranslated cell [−(2qε)−1, (2qε)−1[.

We consider the following bilinear form associated with (7.60):

aεh(ξ)(u, v) =

∑x∈Γp

h

d∑i,j=1

aεij(x(i, j))∇+h

j (eix·ξu(x))∇+hi (eix·ξv(x)) , (7.61)


for ph-periodic vectors u, v. We note that the bilinear form aεh(ξ) is Hermitian, i.e.,

aεh(ξ)(u, v) = aε

h(ξ)(v, u)

Indeed, by (7.61), we get

aεh(ξ)(v, u) =

∑x∈Γp

h

d∑i,j=1

aεij(x(i, j))∇+h

i (eix·ξv(x))∇+hj (eix·ξv(x)).

Then, since the coefficients (aij) were assumed to be symmetric in (7.2) and

x(i, j) = x+12hiei + (1− δij)

12hjej = x(j, i),

we prove that aεh(ξ) is Hermitian. Therefore, the eigenvalues of (7.60), that we shall refer to as

discrete Bloch eigenvalues, are real (see [100], p. 25). We denote them by µεh,m(ξ)p

m=1, where

p = p1 · · · pd = #(Γph),

i.e, the number of points in the mesh Γph.

Then, given f with components f(x) with x ∈ Γh, the mth Bloch coefficient of f at the ε scaleis defined as follows:

fεh,m(k) = (2π)−

d2 hp

12

∑x∈Γh

f(x)e−ik·xϕεm(x; k) ∀m ≥ 1, k ∈ Λqε, (7.62)

when h and ε satisfy (7.32), and with

Λqε =k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd, such that

[−12qiε

]+ 1 ≤ ki ≤

[1

2qiε

]. (7.63)

The following holds:

Theorem 7.7 Let ε > 0, defined by (7.4), and h satisfying (7.32). For any Y -periodic f whosecomponents are f(x)| x ∈ Γh, Γh being defined in (7.11), the following representation formulaholds:

f(x) = (2π)−d2 p

12

∑k∈Λqε

p∑m=1

fεh,m(k)eik·xϕε

h,m(x; k).

Further, we have Parseval’s identity,

‖f‖2hdef=∑x∈Γh

h1h2 · · ·hd|f(x)|2 =p∑

m=1

∑k∈Λqε

|fεh,m(k)|2,

and Plancherel’s identity:

(f, g)hdef=∑x∈Γh

h1h2 · · ·hdf(x)g(x) =p∑

m=1

∑k∈Λqε

fεh,m(k)gε

h,m(k).


Proof. To prove this theorem we follow the steps of the proof of Theorem 7.6. First, we considerthe function

f(x; k) = (2π)−d2 hp

12

∑z∈Γhp

f(x+ z)e−ik·(x+z), k ∈ Λqε, (7.64)

where Λqε is defined in (7.63) and Γhp is defined as Γh in (7.11) but with hp mesh-size. We notethat f(x; k) is hp-periodic in x. Indeed, we observe that

(2π)d2 h−1p−

12 f(x+ hjpjej ; k) =

∑z∈Γhp

zj 6=0

f(x+ z)e−ik·(x+z) +∑

z∈Γhpzj=2π

f(x+ z)e−ik·(x+z).

Thanks to the fact that f is Y -periodic and k ∈ Zd, we see∑z∈Γhpz1=2π

f(x+ z)e−ik·(x+z) =∑

z∈Γhpz1=0

f(x+ z)e−ik·(x+z).

Therefore, the function f(x; k) is hp-periodic in x. We observe that

f(x; k)| x ∈ Γph ∈ Cp.

Since ϕεh,m(x; k)| x ∈ Γp

hpm=1 is an ortonormal basis in Cp, we get for x ∈ Γp

h

f(x; k) =p∑

m=1

ϕεh,m(x; k)

∑x′∈Γp

h

f(x′; k)ϕεh,m(x′; k)

=p∑

m=1

ϕεh,m(x; k)

∑x′∈Γp

h

(2π)−d2 hp

12

∑z∈Γhp

f(x′ + z)e−ik·(x′+z)ϕεh,m(x′; k)

=p∑

m=1

ϕεh,m(x; k) (2π)−

d2 hp

12

∑x′∈Γp

h

∑z∈Γhp

f(x′ + z)e−ik·(x′+z)ϕεh,m(x′ + z; k).

Note that Γph ⊕ Γhp = Γh and, as defined in (7.60), ϕε

h,m is hp-periodic in x. Then, by (7.62), weget

f(x; k) =p∑

m=1

ϕεh,m(x; k) fε

h,m(k)e−ik·x. (7.65)

Moreover, using that ϕεh,m(x; k)e−ik·x| x ∈ Γp

hpm=1 are ortonormal, we get for any k ∈ Λqε:

∑x∈Γp

h

|f (x; k)|2 =p∑

m=1

|fεh,m(k)|2. (7.66)

Now, we proceed to show the inverse formula for f . For z, z′ ∈ Γph, it follows that∑k∈Λqε

eik·(z−z′) =

0 if z 6= z′,#(Λqε) if z = z′,

(7.67)


and, for k ∈ Λqε ∑z∈Γph

eik·z =

0 if k 6= 0,#(Γph) if k = 0,

(7.68)

The proof of these formulas is similar to that of (2.77) in Section 7.3. We observe that

#(Λqε) = #(Γph) =1εdq

.

Thus, by (7.68), we get

f(x) = (2π)−d2 p

12

∑k∈Λqε

f (x; k) eik·x, x ∈ Γh,

and, by (7.65), obtain the representation formula of the theorem. On the other hand, using thedefinition of f(x; k) and the formula (7.67), we obtain

∑k∈Λqε

∑x∈Γp

h

|f (x; k)|2 =h2p

(2π)d

∑x∈Γp

h

∑z∈Γph

|f(x+ z)|2#(Λqε) =h2p

(2π)d#(Λqε)

∑x∈Γh

|f(x)|2,

and, by (7.32), we get ∑x∈Γh

h1 · · ·hd|f(x)|2 =∑

k∈Λqε

∑x∈Γp

h

|f (x; k)|2 .

Parseval’s identity is a consequence of (7.66). Analogously, Plancherel’s identity follows and weconclude the proof of Theorem 7.7.

Using Theorem 7.7, we have the following result.

Theorem 7.8 Let uεh(x)| x ∈ Γh be the unique solution of (7.12), (7.13) and (7.14), for f

whose components are f(x)| x ∈ Γh. Let uεh,m(k) and fε

h,m(k) be the mth Bloch coefficients ofuε

h and f , respectively, with m = 1, . . . , p and k ∈ Λqε defined as in (7.62). Then, we have

µεm(k)uε

h,m(k) = fεh,m(k), m = 1, . . . , p, ∀k ∈ Λqε. (7.69)

Proof. According to Theorem 7.7

uεh(x) = (2π)−

d2 hp

12

p∑m=1

∑k∈Λqε

uεh,m(k)eik·xϕε

h,m (x; k) , x ∈ Γh. (7.70)

Using (7.70) in the discrete problem (7.12), we have for any x ∈ Γh:

f(x) = (2π)−d2 hp

12

p∑m=1

∑k∈Λqε

uεh,m(k)

− d∑i,j=1

∇−hi

[aε

ij(x(i, j))∇+hj (eik·xϕε

h,m(x; k))] .


Since ϕεh,m(x; k)| x ∈ [0, ph] ∩ Γh satisfies (7.60) we obtain

f(x) = (2π)−d2 hp

12

p∑m=1

∑k∈Λqε

uεh,m(k)µε

h,m(k)eik·xϕεh,m(x; k), x ∈ Γh.

Then, using the representation formula for f , (7.12) can be written as

p∑m=1

∑k∈Λqε

(µε

h,m(k)uεh,m(k)− fε

m(k))eik·xϕε

h,m(x; k) = 0, x ∈ Γh.

Using the completeness of the Bloch eigenvectors in Cp and their ph-periodicity, we conclude theproof.

7.4.2. Properties of Bloch waves

In this section we present some properties of the discrete Bloch eigenvalues and eigenvectorsthat we will use to prove the numerical homogenization results. The proof of these properties willbe given in Section 7.8.

To get these properties, we are going to work the spectral problem (7.60) in the mesh

Γ 2πp

=y ∈ Y | y =

(2πp1z1, . . . ,

2πpdzd

), zi ∈ Z, i = 1, . . . , d

.

We note that#(Γ 2π

p) = #(Γp

h).

Moreover, for any y ∈ Γ 2πp

, we have qεy ∈ Γph by (7.32). Thus, for x ∈ Γp

h, we consider thefollowing relation

ϕεh(x; ξ) = ϕp(y; η), (7.71)

where (x, ξ) and (y, η) are related by

y =x

qε, η = qεξ.

Recall that ξ ∈ [− 12qε ,

12qε [. Hence, η ∈ [−1

2 ,12 [d. Now, by the above relation, (7.71) and (7.32),

we have

∇+hj (eix·ξϕε

h(x; ξ)) =1qjε

∇2πp

j (eiy·ηϕp(y; η)).

Therefore, we get

∇−hi

[aε

ij (x(i, j))∇+hj (eix·ξϕε

h(x; ξ))]

= ∇− 2π

p

i

[aij (qy(i, j))

ε2qiqj∇

+ 2πp

j (eiy·ηϕp(y; η))],

where for i, j = 1, . . . d,y(i, j) = y +

π

piei + (1− δij)

π

pjej .


Thus, we consider the following family of spectral problems: To find µ = µ(η) ∈ R and ϕ =ϕp(y; η) (non identically zero) such that

−d∑

i,j=1∇− 2π

p

i

[1

qiqja

1/qij (y(i, j))∇

+ 2πp

j (eiy·ηϕp(y; η))]

= µ(η)eiy·ηϕp(y; η), y ∈ Γ 2πp,

ϕp(y, η) is Y -periodic in y.

(7.72)

Then, their eigenvalues µm(η)pm=1 and eigenvectors ϕp,m(y; η)| y ∈ Γ 2π

p verify

µεh,m(ξ) = ε−2µm(qεξ), ξ ∈ [− 1

2qε ,1

2qε [,

ϕεh,m(x; ξ) = ϕp,m( x

qε ; qεξ), x ∈ [0, ph[∩Γh.(7.73)

We consider the following Hermitian bilinear form associated with (7.72):

a(η)(u, v) =∑

y∈Γ 2πp

d∑i,j=1

1qiqj

aij (qy(i, j))∇2πp

j (eiy·ηu(y))∇2πp

i (eiy·ηv(y)), (7.74)

for η ∈ Y ′ and Y -periodic u, v. We note that the coefficients aij defined in (7.2) are boundedand coercive. However, the values aij(qy(i, j)) considered in the finite difference approximationsdepend on ij, and are taking in different points of the mesh (see Fig. 6.1). The principalconsequence of this fact is the lose of the ellipticity in (7.74) in the several space dimensions case.In the following lemma, we get the ellipticity of aij(qy(i, j)) thanks to the regularity of thecoefficients and the condition (7.33). As an immediate consequence we get that the Hermitianbilinear form a(η) is non negative.

Lemma 7.1 Let a(η) be the Hermitian bilinear form, defined by (7.74), and q, p ∈ Nd such that|ρ/p| is small enough. We assume that the coefficients aij defined in (7.2) are Lipschitz. Then,a(η) is positive semi-defined.

Their proof will be given in Section 7.8. It is immediate that the eigenvalues µm have thefollowing properties

0 ≤ µ1(η) ≤ · · · ≤ µp(η).

Moreover, thanks to (7.144), we have thatµ1 is simple and µ1(0) = 0

ϕp,1(y; 0) = 1√p1···pd

, ∀y ∈ Γ 2πp.

(7.75)

Lemma 7.2 Assume that Lemma 7.1 holds. Let η ∈ [−1/2, 1/2[d= Y ′ and µm(η)pm=1 be the

Bloch eigenvalues of (7.61). Then, for m ≥ 2, we have with p is sufficiently large that

µm(η) ≥ c mıni=1,..,d

1q2i, ∀ η ∈ Y ′,

where c is independent of η, p and q.


In the case of µ1 and ϕp,1, we have the following fundamental property:

Proposition 7.6 There exists δ > 0 sufficiently small such that the first eigenvalue µ1(η) andtheir eigenvector ϕp,1(y; η) are analytic with respect to η in Bδ.

The proof of the previous results is will be seen in Section 7.8.In the continuous case (see Section 7.3), Proposition 7.1 provides a different expression for the

homogenized coefficients (a∗k`), defined in (7.6), using the first Bloch eigenvalue and eigenvector.In a similar way, in the finite difference analysis, we see that the homogenized coefficients are

approximated by the Hessian of the first discrete Bloch eigenvalue µ1 at η = 0. Let us computethe derivatives of the first discrete Bloch eigenvalue and eigenvector.

Lemma 7.3 Let µ1 and ϕp,1 be the first eigenvalue and eigenvector of the spectral problem (7.72).The following properties is hold:

The origin is a critical point of the first Bloch eigenvalue:

∂µ1

∂ηk(0) = 0 ∀k = 1, . . . , d. (7.76)

Moreover, the second derivatives at η = 0 are

∂2µ1

∂ηkη`(0) =

1p

∑y∈Γ 2π

p

2ak`(qy(k, `))qkq`

−d∑

j=1

[Θk

q (y)q`qj

∇2πp

j aj`(qy(`, j)) +Θ`

q(y)qkqj

∇2πp

j ajk(qy(k, j))]

(7.77)

where Θkq (y) | y ∈ Γ 2π

p is the unique solution of

−d∑

i,j=1∇− 2π

p

i

[aij(qy(i,j))

qiqj∇

+ 2πp

j (Θkq (y))

]=

d∑j=1

1qkqj

∇− 2π

p

j ajk(qy(k, j)), y ∈ Γ 2πp

Θkq (y) Y -periodic and

∑y∈Γ 2π

p

Θkq (y) = 0.

(7.78)

The derivatives of the first Bloch eigenvector are as follows:

∂ϕp,1

∂ηk(y; 0) =

i

(p1 . . . pd)12

Θkq (y). (7.79)

A consequence of the analyticity of µ1 and Taylor’s formula we get the following bounds onµ1 and ϕp,1.

Lemma 7.4 Under the hypotheses of Lemma 7.9, the map η ∈ Y ′ → µ1(η) ∈ R has a strictglobal minimum at η = 0 where µ1(0) = 0. Furthermore, there exist c1, c2, c > 0 independent of pand q, such that

c1

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 ≤ µ1(η) ≤ c2

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 , ∀η ∈ Y ′ (7.80)

and ∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

1q2i

∣∣∣∣∇ 2πp

i (eiy·ηϕp,1(y; η))∣∣∣∣2 ≤ c

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 (7.81)


Lemma 7.5 Under the hypotheses of Lemma 7.9, there exists c > 0 independent of p, q such thatfor any η ∈ Bδ: ∣∣∣∣µ1(η)−

12∂2µ1

∂ηiηj(0)ηiηj

∣∣∣∣ ≤ c

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 |η|. (7.82)

Finally, we estimate the difference of the second derivatives of µ1 with the homogenizedcoefficients a∗k` distinguishing two cases: the one-dimensional and the multidimensional case.

Proposition 7.7 (One space dimension) We assume that the coefficient a is Lipschitz. Thehomogenized coefficient a∗ is defined by

a∗ =(

12π

∫ 2π

0

dy

a(y)

)−1

. (7.83)

Then, the second derivative of µ1 in η = 0 satisfies∣∣∣∣a∗ − q2

2∂2µ1(0)

∣∣∣∣ ≤ πβ2

2α2

c

p, (7.84)

where c, α and β are the Lipschitz constant, the coercivity constant and the upper bound of thecoefficient a, respectively.

Proposition 7.8 (Several space dimensions) We assume that the coefficients ak` and theirfirst derivative are Lipschitz and that the functions χk defined by (7.7) are Lipschitz. Givenδ > 0, we assume that p, ρ and σ satisfy (7.35). Let a∗k` be the homogenized coefficients definedin (7.6). Then, the second derivatives of µ1 in η = 0 satisfy for any k, ` = 1, . . . , d:∣∣∣∣qkq` ∂2µ1

∂ηkη`(0)− 2a∗k`

∣∣∣∣ ≤ c δ, (7.85)

where c depends on the coefficients and the space dimension.

Remark 7.3 We observe that, in several space dimensions, there is more hypothesis than inthe 1-d case. In one dimension, the homogenized coefficient is explicit and is given by (7.38).While, in several space dimensions, the homogenized coefficients (7.6) depend on χk, solution of(7.7) that, in general, needs to be approximated by a numerical method. This is the reason of thedifference between 1-d and the several space dimensions cases.

Moreover, we note that the second order derivatives of the first Bloch eigenvalue are thehomogenized coefficients associated to the discrete system (7.12).

7.5. Homogenization via discrete Bloch waves

In Theorem 7.8 we have seen that problem (7.12) - (7.14) under the assumption (7.32) isequivalent to

µεh,m(k)uε

h,m(k) = fεh,m(k), ∀m = 1, . . . , p, k ∈ Λqε. (7.86)

7.5. HOMOGENIZATION VIA DISCRETE BLOCH WAVES 173

Our goal in this section is to pass to the limit in (7.86) as ε → 0. In Section 7.5.1 we show thatuε

m(k) with (m ≥ 2) are negligible for any k ∈ Λqε, Λqε being defined in (7.63). As a consequenceof this result the component of uε

h in the higher Bloch modes do not play any role as ε→ 0. It isthen sufficient to pass to the limit in the equation

µεh,1(k)u

εh,1(k) = fε

1 (k), k ∈ Λqε. (7.87)

We are going to pass to the limit in (7.87) when as ε→ 0. This will be given the picture where thediscrete Bloch waves representing the periodic medium tend to discrete Fourier waves representingthe homogeneous medium. It is a consequence of the fact that first Bloch coefficient defined inTheorem 7.7 tends to the usual discrete Fourier coefficient (see Section 7.5.2). Using Taylor’sexpansion of the first Bloch eigenvalue µ1 around η = 0, we identify the homogenized operatorin the Fourier space (see in Section 7.5.3).

7.5.1. Estimates on higher order Bloch modes

Here we are going to prove that uεh,m(k) with m ≥ 2 are negligible. We set

vε(x) = (2π)−d2 p

12

∑k∈Λqε

p∑m=2

uεh,m(k)eik·xϕε

m(x; k), x ∈ Γh. (7.88)

Proposition 7.9 Let vε defined in (7.88). Then

‖vε‖h ≤ c|qε|2 ‖f‖h.

Proof. By Parseval’s identity and (7.86), we deduce that

‖vε‖2h =

∑k∈Λqε

p∑m=2

|uεh,m(k)|2 =

∑k∈Λqε

p∑m=2

|fεh,m(k)|2

(µεh,m(k))2

Recalling that µεh,m(k) = ε−2µm( k

qε), we arrive at

‖vε‖2h = ε4

∑k∈Λqε

p∑m=2

|fεh,m(k)|2

(µm( kqε))

2.

At this point, we use the lower bound of the eigenvalues µm(η) with m ≥ 2, proved in Lemma 7.2to obtain,

‖vε‖2h ≤ cε4 max

i=1,...,d(qi)4

∑k∈Λqε

p∑m=2

|fεh,m(k)|2 ≤ c|qε|4 ‖f‖2

h.

As a consequence of this proposition, the problem of passing of the limit as ε→ 0 in (7.86) isreduced to the analysis of (7.87).


7.5.2. First Bloch mode and the discrete Fourier decomposition

We prove that the first Bloch transform defined in (7.62) tends to the usual discrete Fouriertransform. Thus we recover, in the case of finite difference approximation, the result from [36]in the continuous case; the Bloch waves representing the periodic medium tend to Fourier wavesrepresenting homogeneous homogenized medium.

First, we present a brief introduction of discrete Fourier waves (see [41], p 59). Suppose thatf ∈ L2

loc(RN ), Y -periodic. We define fk in (7.51) as the kth Fourier coefficient of f . Thus, itsdevelopment in a Fourier series is given by (7.52).

For n ∈ Nd we consider the finite-dimensional space Sn generated by the functions eik·xwith k ∈ ∆n, a finite subset of Zd defined by

∆n =

(k1, · · · , kd) ∈ Zd : −[ni + 1

2

]+ 1 ≤ ki ≤ ni −

[ni + 1

2

]∀i.

Note that Sn is of dimension n1 · · ·nd since

#(∆n) = n1 · · ·nd.

The function fn ∈ Sn, obtained by truncating the development (7.52) for k ∈ ∆n

fn(x) = (2π)−d2

∑k∈∆n

fkeik·x, (7.89)

is thus the best approximation to f in Sn (in the L2-sense).We look for f (n) ∈ Sn interpolating f at the points x ∈ Γh, with h = 2π

n and Γh defined in(7.11), i.e., f (n) satisfies

f (n)(x) = f(x), x ∈ Γh.

We now introduce the Fourier decomposition of f (n)

f (n)(x) :=∑

`∈∆n

f`ei`·x, (7.90)

wheref` =

1n1 · · ·nd

∑x∈Γh

f(y)e−i`·x. (7.91)

We observe that #(Γh) = #(Λn). We define the discrete Fourier transform:

Definition 7.1 The mapping Cn1···nd −→ Cn1···nd which associates

f``∈∆n −→ f(x)x∈Γh

defined according to the formula (7.162) is the discrete Fourier transform.

From [21] we have that, if we define the norm in the space Hs(Y ) of Y -periodic functions as:

‖f‖s =

∑k∈Zd

(1 + |k|2)s|fk|2 1

2

,


for 0 ≤ m ≤ s the following estimates hold

‖f − fn‖m ≤ c1|h|2s−m‖f‖s,

‖f − f (n)‖m ≤ c2|h|2s−m‖f‖s,

where c1, c2 are positive constants independent of n and of f .Now, we can prove the convergence of the first Bloch coefficient to the discrete Fourier trans-

form. This result is equivalent to the Proposition 7.3 in the continuous case.

Proposition 7.10 Let f be a Lipschitz function. Let us denote by fε1 (k) the first Bloch coefficient

with k ∈ Λqε such that (kqε) ∈ Bδ, where q and ε satisfy (7.32), Λqε is defined by (7.63) and Bδ

is the analytic region in Proposition 7.6. Then,

|fεh,1(k)− (2π)

d2 fk| ≤ c |k| |qε| ‖f‖h, (7.92)

where fk is the discrete Fourier coefficient defined in (7.91). Furthermore,∑(kqε)∈Bδ

|fεh,1(k)− (2π)

d2 fk|2 ≤ c |qε|2, (7.93)

where c depend on the Lipschitz constant of f .

Proof. By the definitions (7.162) and (7.62) of the discrete Fourier coefficients and the first Blochcoefficients, respectively, we can write for k ∈ ∆n

fεh,1(k)− (2π)

d2 fk = (2π)

−d2 hp

12

∑x∈Γh

f(x)e−ik·x[ϕεh,1(x; k)− ϕε

h,1(x; 0)]

since ϕεh,1(x; 0) = (p1 · · · pd)−

12 , for any x ∈ Γh (see (7.75)). Using that Γh = Γph ⊕ ([0, ph[∩Γh)

and the fact that ϕεh,1 is ph-periodic (see (7.60)), by considering the function (7.64) we get

fεh,1(k)− (2π)

d2 fk =

∑x∈[0,ph[∩Γh

f(x; k)e−ix·k[ϕεh,1(x; k)− ϕε

h,1(x; 0)].

Applying the Cauchy-Schwartz inequality, we obtain

|fεh,1(k)− (2π)

d2 fk|2 ≤

∑x∈[0,ph[∩Γh

|f(x; k)|2∑

x∈[0,ph[∩Γh

|ϕεh,1(x; k)− ϕε

h,1(x; 0)|2. (7.94)

Note that by (7.73), we have∑x∈[0,ph[∩Γh

|ϕεh,1(x; k)− ϕε

h,1(x; 0)|2 =∑

y∈Γ 2πp

|ϕ1(y; kqε)− ϕ1(y; 0)|2.

Here, we require some regularity property of the first Bloch eigenvector η → ϕ1(·, η). In Propo-sition 7.6, we established the analyticity of this map, but we only require its Lipschitz property∑

y∈Γ 2πp

|ϕ1(y; kqε)− ϕ1(y; 0)|2 ≤ c |qε|2 |k|2. (7.95)


In view of (7.66), by Parseval’s identity get

∑x∈Γp

h

|f (x; k)|2 =p∑

m=1

|fεh,m(k)|2 ≤ ‖f‖h

Then, applying (7.95) in (7.94), we prove (7.92). On the other hand, by (7.66), (7.94) and (7.95),we obtain ∑

(kqε)∈Bδ

|fεh,1(k)− (2π)

d2 fk|2 ≤ c |qε|2

∑(kqε)∈Bδ

p∑m=1

|k|2|fεh,m(k)|2.

This concludes the proof of (7.93).

7.5.3. Numerical homogenization

The rigorous proof of the main results in Section 7.5.4. But it is convenient first to passheuristically to the limit in (7.87) to motivate the discrete homogenized limit this produces.

First, we study the homogenized problem (7.8) using the discrete Fourier transform of theprevious section. We consider the interpolation f (n) of f in Sn as in (7.90). Note that f0 = 0since m(f) = 0, and put

u(n)(x) =∑`∈Λn

u`ei`·x, x ∈ Y,

with

uk =fk

a∗ijkikjand u0 = 0. (7.96)

It is immediate to see that A∗u(n) = f (n) in Y,

u(n) ∈ H1#(Y ), m(u(n)) = 0.

Furthermore, if f ∈ Hs#(Y ), s ≥ 0, and u∗ is the homogenized solution in (7.8), we have

‖u∗ − u(n)‖2 ≤ ‖f − f (n)‖0 ≤ c‖h‖s‖f‖s,

and then‖u∗ − u(n)‖0 ≤ c‖h‖2s+2‖f‖s. (7.97)

Now, we consider the equation (7.87), multiply both sides by (2π)−d2 and using the relation

(7.73), we getε−2µ1(qεk)(2π)−

d2 uε

h,1(k) = (2π)−d2 fε

h,1(k), k ∈ Λr.

Expanding µ1 by Taylor’s formula (see Lemma 7.3) and applying (7.92) (concerning the conver-gence of the first Bloch coefficient fε

1 (k)), we have

12∂2µ1

∂ηi∂ηj(0)qikiqjkj(2π)−

d2 uε

h,1(k) = fk + |k|O(|qε|) + |qk|3O(ε)uεh,1(k).


We write (2π)−d2 uε

h,1(k) = u∗h/ε(k) + εk where u∗h/ε(k) satisfies

qiqj2

∂2µ1

∂ηi∂ηj(0)kikj u

∗h/ε(k) = fk, and u∗h/ε(0) = 0. (7.98)

In the following section we give estimates on the error εk. Now, we seek the relation between thecoefficients u∗h/ε(k) coefficients and the discrete Fourier coefficients uk defined in (7.96).

Thanks to the Proposition 7.8, we may compare the Hessian of µ1 with the homogenizedmatrix a∗ij. We have the following relation between u∗h/ε(k) and uk defined in (7.96)

u∗h/ε(k)− uk = fk

1qiqj

2∂2µ1

∂ηi∂ηj(0)kikj

− 1a∗ijkikj

, k ∈ Λr, k 6= 0,

where uk are the discrete Fourier coefficients of the interpolation u(n) of homogenized solutionu∗. Therefore, from (7.85) we obtain the following estimate

|u∗h/ε(k)− uk| ≤ c|fk|

a∗ijkikj

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ 2∂2

ijµ1qiqjk ∈ Λn, k 6= 0. (7.99)

Consequently, the limit of uεh,1(k) is an approximation to the discrete Fourier transform of the

usual homogenized equation. This result is established in the next proposition.

Proposition 7.11 We consider the solution u∗ of the homogenized problem (7.8) and the discretefunction u∗h/ε with components

u∗h/ε(x) =∑

k∈Λn

u∗h/ε(k)eix·k, x ∈ Γh, (7.100)

where u∗h/ε(k) is defined in (7.98).We assume that the hypotheses of Proposition 7.8 are satisfiedand f is Lipschitz. Then,

‖u∗ − u∗h/ε‖h ≤ c (|h|+ δ).

Proof. First, we are going to consider the interpolation u(n) ∈ Sn. Using the continuous estimate(7.97) we have

‖u∗ − u(n)‖2h =

∑x∈Γh

|u∗(x)− u(n)(x)|2 ≤ c |h|2‖f‖20.

On the other hand, from the estimate (7.99), using the coercitivity of ∂2µ1 we get (see Lem-ma 7.14)

|u∗h/ε(k)− uk| ≤ c

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ 2|uk|

α,

and by the Parseval’s identity

‖u∗h/ε − u(n)‖0 ≤ c

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ 2‖u∗‖0

α.


Then, since‖u− u(n)‖2

h ≤ c‖u− u(n)‖20,

we conclude the proof.In the one-dimensional case, we have the similar results but under the weaker assumptions of

Proposition 7.7. By (7.98) in the 1-d case, the coefficients u∗h/ε(k) satisfy

q2

2∂2µ1

∂η2(0)k2u∗h/ε(k) = fk, and u∗h/ε(0) = 0, (7.101)

and, using the same analysis that in the proof of Proposition 7.11 and thanks to Proposition 7.7,we get

‖u∗ − u∗h/ε‖h ≤ c[h+ p−1]‖f‖0. (7.102)

7.5.4. Convergence estimates

Applying the technique and results above, we are now in a position to prove the main estimatefor several space dimensions stated in Theorem 7.5. The proof consists of several propositionswhich correspond to different estimates on the discrete Bloch space and in the discrete Fourierspace. To do it, we decompose uε

h as follows

uεh(x) = uε

1(x) + vε(x), x ∈ Γh,

where vε is defined in Proposition 7.9 and uε1 is defined by

uε1(x) = (2π)−

d2 p

12

∑k∈Λqε

uεh,1(k)e

ix·kϕεh,1(x; k). (7.103)

Thanks to the Proposition 7.9, we can neglect higher Bloch modes of uεh, in particular,

‖uεh − uε

1‖h ≤ c |qε|2‖f‖h. (7.104)

Now, we decompose uε1 using the following discrete:

u∗,ε1 (x) = p12

∑k∈Λqε

u∗h/ε(k)eix·kϕε

h,1(x; k), (7.105)

u∗,ε2 (x) =∑

k∈Λqε

u∗h/ε(k)eix·k, (7.106)

where u∗h/ε(k) is defined in (7.98) for k ∈ ∆n ⊃ Λqε.We are going to prove the following results:

Proposition 7.12 Let uε1 and u1 be the discrete functions defined in (7.103) and (7.105), re-

spectively. Under the assumptions of Proposition 7.10, we have

‖uε1 − u∗,ε1 ‖h ≤ c|qε| ‖f‖h.


Proposition 7.13 Let u1 and u be the discrete functions defined in (7.105) and (7.106), respec-tively. Then, we have

‖u∗,ε1 − u∗,ε2 ‖h ≤ c |qε| ‖f‖h.

To prove these propositions we only need the analyticity of the first eigenvalue µ1 and ϕ1

obtained in Section 7.4.2, and the convergence of the first Bloch mode to the discrete Fouriertransform. Furthermore, since for k = 0 we have uε

1(0) = u∗h/ε(0) = 0, the contribution of theindex k = 0 can be neglected.

Proof of Proposition 7.12. First, we are going to neglect the non analytic terms. We useParseval’s identity and obtain

‖uε1 − u∗,ε1 ‖2

h =∑k∈Λr

|uεh,1(k)− (2π)

d2 u∗h/ε(k)|

2.

Taking into account that uεh,1(k) and u∗h/ε(k) satisfy (7.87) and (7.98), respectively, and thanks

to the existence of c1, c2 > 0 such that

µεh,1(k) ≥ c1|k|2 and

qiqj2

∂2µ1

∂ηi∂ηj(0)kikj ≥ c2|k|2, (7.107)

we can reduce our analysis to the points kr ∈ Bδ. In fact, for k ∈ Λqε we get

∑εqk 6∈Bδ

|uεh,1(k)|2 ≤

∑εqk 6∈Bδ

|fεh,1(k)|2

(c1|k|2)2≤ cδ |hp|4 ‖f‖2

h,

∑εqk 6∈Bδ

|u∗h/ε(k)|2 ≤

∑εqk 6∈Bδ

|fk|2

(c2|k|2)2≤ cδ |hp|4 ‖f‖2

h. (7.108)

Thus, we have

‖uε1 − u∗,ε1 ‖2

h ≤∑

k∈Λεq∩εqBδ

|uεh,1(k)− (2π)

d2 u∗h/ε(k)|

2 + cδ |hp|4‖f‖2h. (7.109)

Using again the equations that uεh,1(k) and u∗h/ε(k) satisfy, we get, for k 6= 0,

uεh,1(k)− (2π)

d2 u∗h/ε(k) =

1µε

h,1(k)[fε

h,1(k)− (2π)d2 f(k)] + f(k)[

1µε

h,1(k)− 2∂ijµ

q1(0)qikiqjkj

].

Since µεh,1(k) is defined by (7.73) and εqk ∈ Bδ, we can apply the Taylor’s expansion of µ1 and

obtainµε

h,1(k) = ε−2µ1 (εqk) =12∂ijµ

q1(0)qikiqjkj + c |qε| |k|3. (7.110)

Therefore, we get the following estimate

|uεh,1(k)− (2π)

d2 u∗h/ε(k)| ≤

1µε

h,1(k)|fε

h,1(k)| − (2π)d2 f(k)|+ c|f(k)| |qk|3ε

µεh,1(k)(∂ijµ

q1(0)qikiqjkj)

,


and using the bounds below on µεh,1 and ∂ijµ

q1(0), we obtain

|uεh,1(k)− (2π)

d2 u∗h/ε(k)| ≤

c

|k|2|fε

h,1(k)− (2π)d2 f(k)|+ c|f(k)| |q|ε

|k|.

Finally, using the results of Proposition 7.10, we obtain

∑k∈Λεq∩εqBδ

c

|k|4|fε

h,1(k)− (2π)d2 f(k)|2 ≤ c |qε|2

∑(kqε)∈Bδ

p∑m=1

1|k|2

|fεh,m(k)|2.

Therefore, we get

∑k∈Λεq∩εqBδ

|uεh,1(k)− (2π)

d2 u∗h/ε(k)|

2 ≤ c∑

(kqε)∈Bδ

p∑m=1

1|k|2

|fεh,m(k)|2 + c′|qε|2

∑(kqε)∈Bδ

|f(k)|2 1|k|2

.

Then, since |k| ≥ 1, we conclude the proof thanks to (7.109).

Proof of Proposition 7.13. We observe that for any x ∈ Γh have ϕεh,1(x; 0) = 1/

√p. Therefore

u∗,ε1 (x)− u∗,ε2 (x) =√p∑

k∈Λqε

u∗h/ε(k)eix·k[ϕε

h,1(x; k)− ϕεh,1(x; 0)].

Since ϕεh,1 is defined by (7.73), an easy computation shows that

‖u∗,ε1 − u∗,ε2 ‖2h = (2π)d

∑k∈Λqε

|u∗h/ε(k)|2∑

y∈Γ 2πp

|ϕ1(y; qεk)− ϕ1(y; 0)|2.

As in the previous proof, by (7.108) we can reduce our analysis to the points qεk ∈ Bδ. Inparticular, we get

‖u∗,ε1 − u∗,ε2 ‖2h ≤ (2π)d

∑(qεk)∈Λqε∩Bδ

|u∗h/ε(k)|2∑

y∈Γ 2πp

|ϕ1(y; qεk)− ϕqp,1(y; 0)|2 + cδ|qε|4‖f‖2

h.

Now, by the analyticity of ϕ1(·; η) in the variable η near of η = 0 (see Section 7.4.2), we obtain

‖u∗,ε1 − u∗,ε2 ‖2h ≤ c

∑(qεk)∈Λqε∩Bδ

|u∗h/ε(k)|2|εqk|2 + cδ|qε|4‖f‖2

h

≤ c|qε|2‖f‖2h + cδ|qε|4‖f‖2

h.

This concludes the proof of Proposition 7.13.

Now, combining these propositions, Proposition 7.11 and (7.104) we prove Theorem 7.5.

7.6. DIOPHANTINE APPROXIMATIONS 181

Proof of Theorem 7.5.We consider uε

h, the finite difference approximation of (7.3), u∗, the homogenized solution of (7.8),and for any x ∈ Γh introduce the decomposition

uεh(x)− u∗h/ε(x) = (uε

h(x)− uε1(x)) + (uε

1(x)− u∗,ε1 (x)) + (u∗,ε1 (x)− u∗,ε2 (x))

+(u∗,ε2 (x)− u∗h/ε(x)), (7.111)

where uε1, u

∗,ε1 , u∗,ε2 and u∗h/ε are defined in (7.103), (7.105), (7.106) and (7.98), respectively. Since

higher Bloch modes can be neglected (see Section 7.5.1), we get (7.104). Then, using the previousPropositions 7.12 and 7.13, we obtain

‖uεh(x)− u∗h/ε(x)‖h ≤ c(|qε|+ |qε|2)‖f‖h + ‖u∗,ε2 (x)− u∗h/ε(x)‖h. (7.112)

Now, by (7.106) and (7.98) we observe that

u∗h/ε(x)− u∗,ε2 (x) =∑

k∈Λn/Λqε

u∗h/ε(k)eix·k.

Then, by the same analysis we use in the obtention of (7.108), we have

‖u∗,ε2 (x)− u∗h/ε(x)‖2h ≤

∑k∈Λn/Λqε

|u∗h/ε(k)|2 ≤ c|qε|4‖f‖2

h. (7.113)

Thus, we prove (7.26). Finally, using this estimate and the Proposition 7.11, we conclude theproof.

We conclude this section with the proof of the Theorem 7.4, which is the specific to the 1− dcase.Proof of Theorem 7.4.We consider the decomposition (7.111). First, we apply the estimates of Proposition 7.12 andProposition 7.13. To do it, the assumptions of these propositions are not needed because (7.107)and (7.110) are satisfied in the case for p, q defined as in (7.19). Then, we have (7.112).

On the other hand, (7.113) is satisfied in the 1− d case and, under the hypotheses of Propo-sition 7.7, we have (7.102). Then, applying these estimates in (7.112) we conclude the proof.

7.6. Diophantine approximations

In this section, thanks to the our results, we yield a quantitative version of previous results onnumerical homogenization by Avellaneda, Hou and Papanicolauo (see Theorem A and Theorem Bin Section 7.2.3).Proof of Theorem A. Given r irrational number, we are going to prove that there existsa sequence (h, ε) with h/ε ∈ Q and, when h, ε → 0, h/ε → r. Then, using the estimate ofTheorem 7.3, (7.21) is satisfied.

In fact, thanks to the classical results of approximation of irrational numbers by rational (see[58], p. 189-190), we know that there exists a sequence of natural numbers (pn, qn) such that∣∣∣∣r − qn

pn

∣∣∣∣ ≤ 1√5p2

n

→ 0 when n→∞.


Now, we consider another sequence an ⊂ N such that an →∞. Then, taking ε = 1/(anqn) andh = 1/(anpn), we get by Theorem 7.3 that

sup |uεh(xi)− u∗(xi)| ≤ c (

1an

+1pn

),

and, in particular, when n → ∞ the error converges to 0 while h/ε goes to r. As a result, wehave proved Theroem A.

The proof of Theorem B is more difficult. Given ε ∈ (0, 1), if h ∈ S(ε, h0), we have to provethat (7.22) using the estimate of Theorem 7.3.

Proof of Theorem B. Given h ∈ S(ε, h0), when h/ε ∈ Q we obtain immediately (7.22) bythe estimate of Theorem 7.3. Now, we study the case h/ε 6∈ Q. Since h/ε is irrational, we slightlyperturb ε and choose ε 6= ε, i.e.,

h

ε=q

p∈ Q with M.C.D.(q, p) = 1.

First, we calculate the difference between uεh and uε

h, the approximations of the discreteproblems with scale ε and ε respectively. It is immediate that∑

i

aεh(xi)|∇(uε

h(xi)− uεh(xi))|2 =

∑i

[aεh(xi)− aε

h(xi)]∇uεh(xi)∇(uε

h(xi)− uεh(xi)).

Since a is Lipschitz, we get

|aεh(xi)− aε

h(xi)| ≤ c

∣∣∣∣hiε − hi

ε

∣∣∣∣ ≤ c1h

∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ , ∀i.

Therefore, by the coercivity of a, we get(∑i

|∇(uεh(xi)− uε

h(xi))|2) 1

2

≤ ch−1

∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ , (7.114)

where c depends on a. On the other hand, applying Theorem 7.3, we obtain that

sup0≤i≤n


1p, (7.115)

where c and c′ only depend on α, β, a and ‖f‖∞.Now, we check that there exist q and p that provide the result we are looking for. In fact,

using (7.114) and (7.115), we get (7.22) when p, q ∈ N satisfy:∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ ≤ τh and τ−1 ≤ p ≤ τh−1. (7.116)

By the classical result due to Dirichlet (see [94], p. 34) of approximation of irrational numbers,there exist p, q ∈ N such that p ≤ τh−1 and∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ < h

pτ. (7.117)

7.7. THE ONE-DIMENSIONAL CASE 183

To obtain (7.116) it is also necessary that h/pτ ≤ τh. Therefore, p satisfying (7.117) has to belarger than τ−2, i.e., p must belong to the interval [τ−2, τh−1]. In fact, using that h ∈ S(ε, h0),we have that ∣∣∣∣hε − q

p

∣∣∣∣ ≥ τ

p52

.

From this inequality, we get τp−52 ≤ h/pτ , i.e., p ≥ τ

43h−

23 . In short, by Dirichlet’s result we

know that there exist p, q with p ≤ τh−1 satisfying (7.117) and, since h ∈ S(ε, h0), then p ∈[τ

43h−

23 , τh−1]. Thus, we conclude the proof if τ

43h−

23 ≥ τ−2, i.e., if h ≤ τ5. Later, if h0 = τ5,

for any h ∈ S(ε, h0), there exists p, q satisfying (7.116) and, therefore, (7.22) is proved using theestimates of Theorem 7.3.

7.7. The one-dimensional case

In this section we study the approximation in finite differences for the solutions of the 1-dproblem (7.20). In particular, we prove the Theorem 7.3. Taking h = 1

n , we denote for, i ∈ N,

fi = f(hi), aεi = a

(h

ε

(i+

12

)).

We introduce the following system of linear equations with unknown uεi

n−1i=1 :

−aεiu

εi+1 + (aε

i + aεi−1)u

εi − aε

i−1uεi−1 = h2fi, 1 ≤ i ≤ n− 1,

uε0 = b, uε

n = c.(7.118)

Solutions of (7.20) are bounded in H10 (0, 1) independently of ε and converge weakly in H1

0 (0, 1)as ε→ 0, see [16], to the solution u∗ ∈ H1

0 (0, 1) of: −a∗ ∂2

∂x2 [u∗(x)] = f(x) x ∈ (0, 1),

u(0) = b, u(1) = c,

(7.119)

where

a∗ =(∫ 1

0

dy

a(y)

)−1

.

Note that the limit coefficient a∗ satisfies α ≤ a∗ ≤ ‖a‖∞. Associated to (7.119), we have thefollowing finite difference system for h = 1

n :a∗(−u∗i−1 + 2u∗i − u∗i+1) = h2fi, 1 ≤ i ≤ n− 1,

u∗0 = b, u∗n = c.(7.120)

Thanks to Theorem 7.2, to prove (7.24) we only need to estimate uεin

i=1 and u∗i ni=1. To do it,

we write explicitly these vectors.We call

U ε,hi =

1haε

i (uεi+1 − uε

i ), with 0 ≤ i ≤ n− 1. (7.121)


Then, (7.118) can be written as

−(U ε,hi − U ε,h

i−1) = hfi, 1 ≤ i ≤ n− 1,

and consequently

U ε,hi = U ε,h

0 −i∑

j=1

h fj , 1 ≤ i ≤ n− 1. (7.122)

Now, since U ε,hi is defined by (7.121), by the boundary conditions of (7.20) and the formula

(7.122), we get

uεi+1 = b+ U ε,h

0

i∑j=1

h

aεj

−i∑

j=1

h

aεj

j∑k=1

hfk 1 ≤ i ≤ n− 1, (7.123)

with U ε,h0 a constant that can be determined by the boundary conditions and f . In particular,

we have

U ε,h0 = aε,∗

h (c− b) + aε,∗h

n−1∑j=1

(1aε

j

j∑k=1

h2fk

), (7.124)

with

aε,∗h =

n−1∑j=0

h

aεj

−1

. (7.125)

We observe that (7.123) is an approximation of the explicit formula of the solution of (7.20):

uε(x) = b+ U ε0

∫ x

0

ds

aε(s)−∫ x

0

∫ s

0

f(t)aε(s)

dtds,

where U ε0 is given by

U ε0 =

(c− b+

∫ 1

0

∫ s

0

f(t)aε(s)

dtds

)(∫ 1

0

ds

aε(s)

)−1

.

Analogously, the vector u∗i ni=1 solution of (7.120) satisfies

u∗i+1 = b+(i+ 1)ha∗

U∗,h0 −i∑

j=1

j∑k=1

h2

a∗fk, (7.126)

where U∗,h0 is defined by

U∗,h0 = a∗(c− b) +n−1∑j=0

j∑k=1

h2fk. (7.127)


Thus, by (7.123) and (7.126), the difference between uεin

i=1 and u∗i ni=1 is:

uεi+1 − u∗i+1 = U ε,h

0

i∑j=0

h

aεj

− U∗,h0

(i+ 1)ha∗

+i∑

j=1

j∑k=1

[1a∗− 1aε

j

]h2fk

= U ε,h0

i∑j=0

(h

aεj

− h

a∗

)+ (U ε,h

0 − U∗,h0 )(i+ 1)ha∗

+i∑

j=0

(h

a∗− h

aεj

)j∑

k=1

hfk. (7.128)

By the relation (7.23), we only consider p values of the coefficient a, since

aεp+i = a

(q +

q

p

(i+

12

))= a

(q

p

(i+

12

))= aε

i . (7.129)

Using this property, we establish the following connections between aε,∗h and a∗, necessary to

estimate (7.128).

Lemma 7.6 Let a be a 1-periodic Lipschitz function such that 0 < α ≤ a(x) ≤ β for anyx ∈ (0, 1). Let h = 1

n and ε > 0 be satisfying (7.23). Then,∣∣∣∣∣∣∫ 1

0

dy

a(y)− 1p

p−1∑j=0

1aε

j

∣∣∣∣∣∣ ≤ c

2α2

1p. (7.130)

Moreover, if aε,∗h is defined as in (7.125), we have:

(i)∣∣a∗ − aε,∗

h

∣∣ ≤ cβ2

2α21p , if n

p ∈ N.

(ii)∣∣a∗ − aε,∗

h

∣∣ ≤ β2

2α2cp + β2

α hp, if np 6∈ N.

(7.131)

Proof. First, by (7.129), we observe that the only distinct values aεi are aε

0, · · · , aεp−1. We

denote

ai = a

(1p

(i+

12

)).

Since h and ε satisfy (7.23), then aε0, · · · , aε

p−1 ≡ a0, · · · , ap−1. As a consequence, we get

p−1∑j=0

1aε

j

=p−1∑j=0

1aj. (7.132)

Therefore, we prove (7.130) thanks to the fact that a is Lipschitz. In fact,∣∣∣∣∣∣∫ 1

0

dy

a(y)− 1p

p−1∑j=0

1aε

j

∣∣∣∣∣∣ ≤p−1∑j=0

∫ j+1p

jp

∣∣∣∣ 1a(y)

− 1aj

∣∣∣∣ dy ≤ c

2α2

1p.

Now, we are going to prove (7.131). By the definition of a∗ and aε,h, we get

|a∗ − aε,∗h | ≤ β2

∣∣∣∣∣∣∫ 1

0

dy

a(y)−

n−1∑j=0

h

aεj

∣∣∣∣∣∣ . (7.133)


Recall that h = 1n and write n = bnp + cn with cn ∈ 0, 1, · · · , p − 1 and bn = [n

p ]. Therefore,when cn = 0

n−1∑j=0

h

aεj

=1p

p−1∑j=0

1aε

j

.

Coming back to (7.133) and applying (7.130) we obtain (i). On the other hand, when cn ∈1, · · · , p− 1, thanks to (7.132),

n−1∑j=0

h

aεj

=p−1∑j=0

hbnaε

j

+cn−1∑j=0

h

aεj

=p−1∑j=0

hbnaj

+cn−1∑j=0

h

aεj

,

and, then,

∣∣a∗ − aε,∗h

∣∣ ≤ β2

∣∣∣∣∣∣∫ 1

0

dy

a(y)− 1p

p−1∑j=0

1aj

∣∣∣∣∣∣+ β2

∣∣∣∣1p − hbn

∣∣∣∣ p−1∑j=0

1aj

+ β2cn−1∑j=0

h

aεj

≤ β2

2α2

c

p+ β2

∣∣∣∣1p − bnn

∣∣∣∣ pα + β2 cnα, (7.134)

thanks to (7.130). Now, since n = bn + cn, we get

1p− bnn

=n− pbnnp

=cnnp.

Coming to (7.134), ∣∣a∗ − aε,∗h

∣∣ ≤ β2

2α2

c

p+ β2 cn

np

p

α+ β2hcn

α,

and since cn ≤ p, we prove (ii).

As a consequence of Lemma 7.6, we have:

Lemma 7.7 For any 1 ≤ i ≤ n, we get∣∣∣∣∣∣i∑

j=0

h

(1aε

j

− 1a∗

)∣∣∣∣∣∣ ≤ c

2α2bih +

β − α

α2hci, (7.135)

where bi is defined by

bi =[i

p

]and ci satisfies ci = i− pbi with ci ∈ 0, · · · , p− 1.


Proof. This proof is analogous to the case np 6∈ N in (7.131). First, by (7.129) and since a∗ is

constant,

i∑j=0

h

(1aε

j

− 1a∗

)=

p−1∑j=0

hbi

(1aε

j

− 1a∗

)+

ci−1∑j=0

h

(1aε

j

− 1a∗

). (7.136)

Using that α ≤ aε(x), a∗ ≤ β, we have∣∣∣∣∣∣ci−1∑j=0

h

(1aε

j

− 1a∗

)∣∣∣∣∣∣ ≤ β − α

α2hci.

On the other hand, by the definition of a∗,

p−1∑j=0

hbi

(1aε

j

− 1a∗

)= hbip

p−1∑j=0

1p

(1aε

j

− 1a∗

)= hbip

p−1∑j=0

1p

1aε

j

−∫ 1

0

dy

a(y)

.

Coming back to (7.136) and by (7.130), we prove (7.135):∣∣∣∣∣∣i∑

j=0

h

(1aε

j

− 1a∗

)∣∣∣∣∣∣ ≤ hbip

α2

c

p+β − α

α2hci ≤

c

2α2hbi +

β − α

α2hci.

Proof of Theorem 7.3. We only need to estimate (7.128). We define

E1(i) = U ε,h0

i∑j=0

(h

aεj

− h

a∗

), E2(i) = (U ε,h

0 − U∗,h0 )h(i+ 1)a∗

, E3(i) =i∑

j=0

(h

a∗− h

aεj

)Fj ,

where Fj is defined by

Fj =j∑

k=1

hfk. (7.137)

Then, uεi+1 − u∗i+1 = E1(i) + E2(i) + E3(i). Thus, we need to estimate Ej , j = 1, 2, 3, to prove

Theorem 7.3. U ε,h0 , defined in (7.124), is bounded by

|U ε,h0 | ≤ β|c− b| +

β

α‖f‖∞.

Then, thanks to (7.135), we get

|E1(i)| ≤ [β|c− b| +β

α‖f‖∞]

(c

2α2bih +

β − α

α2hci

). (7.138)

Now, we study E3(i). To do it, we use the Abel’s formula:

m∑j=1

vjuj = um+1Vm −m∑

j=1

Vj(uj+1 − uj), con Vj =j∑

`=1

v`. (7.139)


Applying it to E3(i), we obtain

E3(i) = Fi+1

i∑j=0

(h

aεj

− h

a∗

)−

i∑j=0

hfj+1

j∑k=0

(h

aεk

− h

a∗

).

By (7.137), |Fj | ≤ ‖f‖∞. Then,

|E3(i)| ≤ ‖f‖∞

∣∣∣∣∣∣i∑

j=0

(h

aεj

− h

a∗

)∣∣∣∣∣∣+ ‖f‖∞i∑

j=0

h

∣∣∣∣∣j∑

k=0

(h

aεk

− h

a∗

)∣∣∣∣∣ .Thanks to (7.135), we have

|E3(i)| ≤ 2‖f‖∞(c

α2

1p

+β − α

α2hp ). (7.140)

Finally, we estimate E2(i). We observe that

|E2(i)| ≤ 1α|U ε,h

0 − U∗,h0 |.

By (7.124) and (7.127), we get

U ε,h0 − U∗,h0 = (c− b)(aε,∗

h − a∗) + (aε,∗h − a∗)

n−1∑j=0

Fjh

aεj

+ a∗n−1∑j=0

(h

aεj

− h

a∗

)Fj ,

where Fj is defined by (7.137). Using (7.139) in the last term, we obtain

U ε,h0 − U∗,h0 = (c− b)(aε

h − a∗) + (aεh − a∗)

n−1∑j=0

Fjh

aεj

+a∗Fn

n−1∑j=0

(h

aεj

− h

a∗

)− a∗

n−1∑j=0

hfj+1

j∑k=0

(h

aεk

− h

a∗

).

Then, applying (7.131) and (7.135),

|U ε,h0 − U∗,h0 | ≤

(|c− b|+ 1

α‖f‖∞

)(β2

2α2

c

p+β2

αhp

)+

+ a∗‖f‖∞(

c

2α2

1p

+β − α

α2hp

). (7.141)

By the estimates (7.138), (7.140) and (7.141), we conclude the proof.

7.8. Properties of Bloch waves

7.8.1. Properties of Bloch eigenvalues

Now, we are going to prove that Bloch eigenvalues are such that µm(ξ)pm=1 are not neg-

ative and bounded below by a positive constant when m ≥ 2. First, we see that the matrixaij(qy(i, j)) is elliptic thanks to the regularity of coefficients.

7.8. PROPERTIES OF BLOCH WAVES 189

Lemma 7.8 We assume that the coefficients aij defined in (7.2) are Lipschitz, and q, p satisfy(7.32) and

q

p−[q

p

]=ρ

p, with ρi ∈ N. (7.142)

Then, for any y ∈ Γp we have:

d∑i,j=1

aij(qy(i, j))ξiηj ≤ β|ξ||η|+ ∆1,

d∑i,j=1

aij(qy(i, j))ξiξj ≥ α|ξ|2 + ∆2,

(7.143)

where

|∆1| ≤ cπ

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ |ξ| |η|, and |∆2| ≤ cπ d

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ |ξ|2.

Proof. We note that by the properties of the coefficients aij, we have (7.143) with

∆1 =d∑

i,j=1

[aij(qy(i, j))− aij(qy)]ξiηj , and ∆2 =d∑

i,j=1

[aij(qy(i, j))− aij(qy)]ξiξj .

Using (7.142) and the periodicity of the coefficients, we obtain, for any y ∈ Γp:

aij(qy) = aij(ρy), and aij(qy(i, j)) = aij(ρy +πρi

piei + (1− δij)

πρj

pjej).

Moreover, since the coefficients aij are Lipschitz with constant c > 0, then

|aij(qy(i, j))− aij(qy)| ≤ cπ

(ρ2

i

p2i

+ρ2

j

p2j

(1− δij)

) 12

.

Thus, we get

∆1 ≤ cπd∑

i,j=1

(ρ2

i

p2i

+ρ2

j

p2j

(1− δij)

) 12

|ξi||ηj | ≤ cπ

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ |ξ| |η|,

and, also

∆2 ≤ cπd∑

i,j=1

(ρ2

i

p2i

+ρ2

j

p2j

(1− δij)

) 12

|ξi||ξj | ≤ cπ d

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ |ξ|2.

Lemma 7.9 Under the hypotheses of Lemma 7.8, we assume that |ρ/p| is small. Then, thereexist two positive constants 0 < α ≤ β such that:

d∑i,j=1

aij(qy(i, j))ξiηj ≤ β|ξ||β|, (boundedness),

d∑i,j=1

aij(qy(i, j))ξiξj ≥ α|ξ|2, (coercivity).


Proof. Thanks to Lemma 7.8, the proof is immediate since aij(qy(i, j)) are bounded andcoercive considering |ρ/p| sufficiently small.

We observe that the condition that |ρ/p| to be small is the same than the assumption (7.33) inTheorem 7.5. Thus, (7.33) is necessary for the coercive of coefficients in several space dimensions.With the coercivity of the coefficients we obtain that the discrete problem is non-negative definiteand the second eigenvalue is bounded below.Proof of Lemma 7.1. Using formula (7.74) and the coercivity of Lemma 7.9, since p is sufficientlylarge, we obtain

a(η)(v, v) ≥ α∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

∣∣∣∣∇ 2πp

i (eiy·ηv(y))∣∣∣∣2 , (7.144)

for any η ∈ Y ′, and conclude the proof.

Proof of Lemma 7.2. We are going to use the min-max principle (see in [100], p. 99). Weconsider VC, the set of complex subsets W ⊂ Cp with dimension 2, such that if v ∈ W , thenv 6∈ W , and VR, the set of complex subsets W ⊂ R|p| whose dimension is 2. Then, since a(η) isan hermitian bilinear form, then we have

µ2(η) = mınW∈VC

maxv∈W−(0)

a(η)(v, v)|v|2

. (7.145)

Using the coercivity of the coefficients (see Lemma 7.9), we have

a(η)(v, v) ≥ α∑

y∈Γ 2πp

d∑k=1

(pk

2πqk

)2 ∣∣∣∣ei 2πpk

ηkv(y +2πpkek)− v(y)

∣∣∣∣2 .We observe that the components of v are v(y) | y ∈ Γ 2π

p. We may write the components of

v ∈W asv(y) = vr(y) + ivi(y), y ∈ Γ 2π

p,

and, considering for y ∈ Γ 2πp

,

w(y) = cos(2πpkηk)vr(y) + sin(

2πpkηk)vi(y) + i[cos(

2πpkηk)vi(y)− sin(

2πpkηk)vr(y)],

we obtain that

a(η)(v, v) ≥∑

y∈Γ 2πp

d∑k=1

α(pk)2

(2πqk)2[|v(y +

2πpkek)|2 + |v(y)|2 − 2Re < v(y +

2πpkek), w(y) >] (7.146)

Using Cauchy-Schwartz inequality and since |w(y)| = |v(y)|, we get∣∣∣∣Re(< v(y +2πpkek), w(y) >)

∣∣∣∣ ≤ |v(y +2πpkek)| |v(y)|.


Then, by (7.146), in (7.145) we have

µ2(η) ≥ α mınW∈VC

maxv∈W−(0)

1|v|2

∑y∈Γ 2π

p

d∑k=1

(pk

2πqk

)2(|v(y +

2πpkek)| − |v(y)|

)2

≥ α mınW∈VR

maxv∈W−(0)

1|v|2

∑y∈Γ 2π

p

d∑k=1

(pk

2πqk

)2(v(y +

2πpkek)− v(y)

)2

. (7.147)

We observe this lower bound is independent of η. Moreover, the discrete eigenvalue problemassociated to the bilinear form (7.147) is the finite difference approximation on Γ 2π

pof

1q2k

∂2u∂y2

k= µu,

u is Y -periodic.

Now, the eigenvalues of the discrete system associated with the bilinear form (7.147) may becomputed explicitly (see [61], p. 459). In particular, we have

mınW∈VR

maxv∈W−(0)

1|v|2

∑y∈Γ 2π

p

d∑k=1

(pk

2πqk

)2(v(y +

2πpkek)− v(y)

)2

≥ mın(c

q2i),

and we conclude the proof.

7.8.2. Regularity of the first Bloch eigenvalue and eigenvector

In spite of the fact that the eigenvalue problem defined in (7.72) depends exponentially inη, it is well known that the eigenvalues µm(η) are not, in general, smooth functions of η ∈ Y ′

because of the possible change in the multiplicity of eigenvalues (see [88], p. 60).We are going to prove, using the min-max principle, all the eigenvalues are Lipschitz with

respect to η. Unfortunately the above regularity is not enough for homogenization. We are goingto prove using the fact that the eigenvalue µ1(0) (which is equal to 0) is simple. First, we provethe following property:

Proposition 7.14 For all m ≥ 1, µm(η) is a Lipschitz function of η.

Proof.Recall that the Hermitian bilinear form associated with the eigenvalue problem (7.72) isdefined in (7.74). We notice that it can be decomposed as follows

a(η)(v, v) = a(ξ)(v, v) +R(v; η, ξ),

where, using the notations,yk = y + 2π

pkek, (canonical vector ek),

bk`(y) = ak`(qy(k, `))pkp`

qkq`(2π)2,

(7.148)


we can write

R(v; η, ξ) =∑

y∈Γ 2πp

d∑k,`=1

bk`(y)[ei2π(

ηkpk− η`

p`) − e

i2π(ξkpk− ξ`

p`)]v(yk)v(y`)

+∑

y∈Γ 2πp

d∑k,`=1

bk`(y)[ei2π

ξkpk − e

i2πηkpk ]v(yk)v(y)

+∑

y∈Γ 2πp

d∑k,`=1

bk`(y)[e−i2π

ξ`p` − e

−i2πηkpk ]v(y)v(y`).

Taking into account that the coefficients in (7.148) are bounded (see Lemma 7.9) and the functioneiη·y is Lipschitz on the variable η, we have

|R(v; η, ξ)| ≤ c(d, β) |η − ξ|∑

y∈Γ 2πp

|v(y)|2.

Then, using the min-max characterization of eigenvalues, we deduce that

µm(η) ≤ µm(ξ) + c(d, β)|η − ξ|

and, interchanging η and ξ, we conclude the proof.

To prove that µ1(η) is analytic we use classical results of perturbation theory for linearoperators in finite-dimensional spaces (see [63]).

Proof of Proposition 7.6. As remarked already, when η = 0, the first eigenvalue µ1(0) = 0 issimple. Furthermore, in Lemma 7.2 we prove that all eigenvalues µm(η)m≥2 are bounded belowfor any η ∈ Y ′ by a positive constant. Hence, using Ostrowski’s theorem on continuity of theeigenvalues (see [100], p. 63) there exists δ > 0 such that µ1(η) is simple in η ∈ Bδ = B(0; δ).

Now, applying a consequence of the Rellich’s theorem on finite-dimensional spaces (see [88]),we obtain that µ1(η) is analytic in η ∈ Bδ. In fact, note that our finite eigenvalue problem (7.72)is perturbed by a d-dimensional variable η ∈ Y ′ ⊂ Rd. Thus, by Theorem 5.16 in [63] p. 116, µ1

is a analytic map in Bδ, since µ1 is a simple eigenvalue in this region.Since the eigenvalue problem (7.72) depends analytically on η, and the first eigenvalue does

not change its multiplicity and remains analytic with respect to η in Bδ for δ sufficiently small, byRellich’s Theorem the choice of the first eigenvector can be made so that it depends analyticallyon η ∈ Bδ.

7.8.3. Derivatives of the first Bloch eigenvalue and eigenvector

The aim of this section is to obtain an expression of the homogenized coefficients in the finitedifference analysis. We have divided the proof into a sequence of lemmas. First, we compute thederivatives of µ1 and ϕp,1.

Proof of Lemma 7.3. Given that η → µ1(η) and η → ϕp,1(y; η) are smooth (see Proposition 7.6),it is straightforward to compute their derivatives at η = 0. To do it, it is enough to differentiate


the eigenvalue problem

−d∑

i,j=1

e−iy·η∇− 2π

p

i

[1qiqj

aij (qy(i, j))∇+ 2π

p

j (eiy·ηϕp,1(y; η))]

= µ1(η)ϕp,1(y; η), y ∈ Γ 2πp,

(7.149)with respect to η twice at evaluate it at η = 0. Since the computations are classical, we presentonly the essential steps. Define

A(y, η)v(y) = −d∑

i,j=1


p

i

[1qiqj


p

j eiy·ηv(y)],

and, with the notation (7.148), we get

A(y, η)v(y) = −d∑

i,j=1

bij(y(i, j))[ei 2π

pjηjv(yj)− v(y)]

+d∑

i,j=1

bij(y−i(i, j))[ei 2π

pjηje−i 2π

piηiv(yj−i)− e

−i 2πpi

ηiv(y−i)].

Thus, we compute the first order derivatives in η = 0

∂A∂ηk

(y, 0)v(y) = −i2πpk

d∑i=1

bik(y(i, k))v(yk) + i2πpk

d∑i=1

bik(y−i(i, k))v(yk−i)

−i2πpk

d∑i=1

bki(y−k(k, i))v(yi−k) + i2πpk

d∑i=1

bki(y−k(k, i))v(y−k), (7.150)

and the second order derivatives;

∂2A∂ηkη`

(y, 0)v(y) =(2π)2

pkp`[b`k(y−`(`, k))v(yk−`) + bk`(y−k(k, `))v(y`−k)], (7.151)

if k 6= `, and

∂2A∂η2

k

(y, 0)v(y) =(2π)2

(pk)2[

d∑i=1

bik(y(i, k))v(yk)−d∑

k 6=i=1

bik(y−i(i, k))v(yk−i)]

+(2π)2

(pk)2[

d∑i=1

bki(y−k(k, i))v(y−k)−d∑

k 6=i=1

bki(y−k(k, i))v(yi−k)]. (7.152)

Differentiating in (7.149), evaluating at η = 0 and taking the scalar product in Cp, we obtain

∂µ1

∂ηk(0) =

∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y; 0) · ∂A∂ηk

(y, 0)ϕp,1(y; 0).


Considering (7.75) and (7.151), we prove (7.76)

∂µ1

∂ηk(0) = i

2πpk

∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

[−bik(y(i, k)) + bik(y−i(i, k))] = 0,

since

∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

bik(y(i, k)) =∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

bik(y−i(i, k)).

On the other hand, the first derivatives of ϕp,1 satisfyA(y, 0)∂ϕp,1

∂ηk(y; 0) = ∂A

∂ηk(y, 0)ϕp,1(y; 0), y ∈ Γ 2π

p∑y∈Γ 2π

p

∂ϕp,1

∂ηk(y; 0)ϕp,1(y; 0) = 0,

for k = 1, . . . , d. By (7.75) and (7.151), we write

∂A∂ηk

(y, 0)ϕp,1(y; 0) =2iπ

pkp12

d∑j=1

[bkj(y(k, j))− bkj(y(k, j)−2πpjej)] =

i

p12

d∑j=1

∇2πp

j

ajk

qkqj(qy(k, j)).

Then, the first order derivatives of ϕp,1 are written as in (7.79). We differentiate again in (7.149),evaluate in η = 0 and taking the scalar product, we get

∂2µ1

∂ηkη`(0) =

∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y; 0)[∂2A∂ηkη`

(y, 0)ϕp,1(y; 0) +∂A∂ηk

(y, 0)∂ϕ1

∂η`(y; 0) +

∂A∂η`

(y, 0)∂ϕp,1

∂ηk(y; 0)

].

Using (7.151) or (7.152) and with the notation (7.148), we have

∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y; 0) · ∂2A

∂ηkη`(y, 0)ϕp,1(y; 0) =

2p1 . . . pd

∑y∈Γ 2π

p

1qkq`

a`k(qy(`, k)),

On the other hand, in view of (7.79) and (7.150), we get

∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y; 0) · ∂A∂ηk

(y, 0)∂ϕ1

∂η`(y; 0) = − 1

p1 . . . pd

∑y∈Γ 2π

p

Θkq (y)

d∑j=1

1q`qj

∇2πp

j aj`(qy(`, j)).

Then, we obtain the second order derivatives of µ1 and conclude the proof of Lemma 7.3.

Now, we distinguish the one-dimensional and the multidimensional case.


The one dimensional case

First, we observe that, thanks to (7.77), the second order derivative of µ1 is:

12∂2

ηµ1(0) =1p

1q2

∑y∈Γ 2π

p

[a(qy)−Θk

q (y)∇2πp a(qy)

], (7.153)

where Θq(y) | y ∈ Γ 2πp satisfies−∇− 2π

p

[a (qy)∇+ 2π

p (Θq(y))]

= ∇2πp a(qy), y ∈ Γ 2π

p

Θq(y) 2π-periodic and∑

y∈Γ 2πp

Θq(y) = 0.(7.154)

Then, we compute the components of Θq for j = 1, . . . , p:

Θq(2πj/p) =i2πp√p

p− 2j + 1

2− a∗p

(b∗p −

j∑k=1

1a(2πkq/p)

), (7.155)

where

a∗p =

(1p

p∑k=1

1a(2πk/p)

)−1

, (7.156)

b∗p =1p

p∑k=1

p+ 1− k

a(2πk/p). (7.157)

Then, replacing (7.155) and (7.157) in (7.153), the second derivative of µ1 satisfies

∂2ηµ1(0) = 2

a∗pq2, (7.158)

where a∗p is defined in (7.156). We observe that a∗p is an approximation of the homogenizedcoefficient a∗, defined in (7.83). Then, since the coefficient a is Lipschits, approximating (7.38)by a∗p we conclude the proof of Proposition 7.7.

The case of several space dimensions

Now, we are going to prove that ∂2k`µ1(0) is an approximation of the homogenized coefficient

a∗k` defined in (7.6). To do it, we need to find a relation between χk, solution of (7.7) and Θkq that

satisfies (7.78).Since q, p ∈ N we have

q

p−[q

p

]=ρ

p,

and we assume that |ρ/p| ≤ δ, see (7.33). Furthermore, we can write

qi = ρiσi, where σi ∈ R+ and σi ≥ 1, ∀i = 1, . . . , n. (7.159)


Then, thanks to the fact that aij are Y -periodic, (7.78) coincides with−

d∑i,j=1

∇− 2πρ

p

i

[aij(y(i,j))

σiσj∇

+ 2πρp

j (Θkρ(y))

]=

d∑j=1

1σkσj

∇2πρ

p

j ajk(y(k, j)), y ∈ Γ 2πρp

Θkρ(y) ρY -periodic and

∑y∈Γ 2πρ

p

Θkρ(y) = 0,

(7.160)

with

Θkq (y) =

1ρk

Θkρ(ρy), ∀y ∈ Γ 2π

p. (7.161)

We note that Θkρ is the approximation in finite differences of the solution of the periodic boundary

problem: − ∂

∂yi

(bij(y)

∂χkρ

∂yj

)= ∂bik(y)

∂yiin ρY,

χkρ ∈ H1

#(ρY ), mρY (χkρ) = 0,

(7.162)

where

bij(y) =aij(y)σiσj

, ∀i, j = 1, . . . , n.

In particular, using classical error estimates (see Theorem 7.2), we obtain

supy∈Γ 2πρ

p

|χkρ(y)−Θk

ρ(y) ≤ cβ

σm

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ , (7.163)

where σm = mınσi. Now, we study the relation between χkρ and χk, solution of (7.7). We have

the following result:

Lemma 7.10 Let χk and χkρ, k = 1, . . . , n, be the test functions solution of (7.7) and (7.162),

respectively. Let σ be defined in (7.159) and σm = mın(σi) and σM = max(σi). Given δ > 0, weassume that

max

1− σm

σM,σM

σm− 1≤ δ, (7.164)

and |ρ/p| ≤ δ. Then, we getsup

y∈Γ 2πp

|χkρ(y)− χk(ρy)| ≤ cδ, (7.165)

with c independent of k, ρ and q.

Proof. Since ρ ∈ Nd and χk is Y -periodic, then χk is also the unique solution ofAχk =

∂ak`

∂y`in ρY,

χk ∈ H1#(ρY ), mρY (χk) = 0.

(7.166)


We need an other function to compare χkρ to χk. We consider the solution of

Aχkb = σkν

∂bk`

∂y`in ρY,

χkb ∈ H1

#(ρY ), mρY (χkb ) = 0,

(7.167)

with ν ∈ R to be chosen later. Thus, we consider

‖∇(χk − χkρ)‖2 ≤ ‖∇(χk − χk

b )‖2 + ‖∇(χkb − χk

ρ)‖2.

Since χk and χkb satisfy (7.166) and (7.167), respectively, we get using the formulation variational

‖∇(χk − χkb )‖2 ≤

cβ

αsup

i=1,...,n|(1− ν

σi)|.

On the other hand, since χkb satisfy (7.167),∫

ρY

A(χkb − χk

ρ) (χkb − χk

ρ)dy =∫ρY

νσk∂bjk∂yj

(χkb − χk

ρ)dy −∫ρY

aij

∂(χkb − χk

ρ)∂yj

∂χkρ

∂yidy

= −∫ρY

(νσkbjk + aij

∂χkρ

∂yi

)∂(χk

b − χkρ)

∂yj. (7.168)

Now, since χkρ satisfy (7.162),∫

ρY

(bjk + bji

∂χkρ

∂yi

)∂ϕ

∂yjdy = 0 ∀ϕ ∈ H1

#(ρY ), k = 1, . . . , d.

Using this result in (7.168) and since bij = aij/σiσj , we get∫ρY

A(χkb − χk

ρ) (χkb − χk

ρ)dy =∫ρY

aij

(σkν

σiσj− 1)∂χk

ρ

∂yi

∂(χkb − χk

ρ)∂yj

,

and, therefore,

‖∇(χkb − χk

ρ)‖2 ≤ ‖∇χkρ/σ‖2 sup

i,j=1,...,n‖aij(y)(σj −

νσk

σi)‖∞.

Since χkρ is solution of (7.162), we get

‖∇χkρ/σ‖2 =

n∑j=1

1σ2

j

∥∥∥∥∥∂χkρ

∂yj

∥∥∥∥∥2 1

2

≤ cβ

σkα.

Therefore, denoting ‖a‖∞ the L∞-norm of aij and considering ν ∈ [σm, σM ], we get

‖∇(χk − χkρ)‖2 ≤ c‖a‖∞ sup

i,j=1,...,n

∣∣∣∣1− σj

σi

∣∣∣∣ .We conclude considering (7.164).

Thus, thanks to (7.165) and Lemma 7.10 we have the following lemma:


Lemma 7.11 Let χk , k = 1, . . . , n, be the test functions solution of (7.7). We assume that σ,defined in (7.159), satisfies (7.164). Then, we get

supy∈Γ 2π

p

|ρkΘkq (y)− χk(ρy)| ≤ cδ, (7.169)

with c independent of k, ρ and q.

On the other hand, since the coefficients a∗k` are symmetric, ak` and χk are Y -periodic, thehomogenized coefficients can be written by

2a∗k` =1|Y |

∫Y

(2ak`(ρy)−

χk(ρy)ρj

∂aj`

∂yj(ρy)− χ`(ρy)

ρj

∂akj

∂yj(ρy)

)dy. (7.170)

Furthermore, since q and p satisfy (7.24), we can write (7.77) as

qkq`2∂2

k`µ1(0) =1p

∑y∈Γ 2π

p

ak`(ρy(k, `))−d∑

j=1

qkΘkq (y)qj

∇2πp

j aj`(ρy(`, j)). (7.171)

Now, we are going to compare (7.170) with (7.171) in the following lemmas:

Lemma 7.12 We assume that the coefficients ak` are Lipschitz. Then, for any k, ` = 1, . . . , d,we get ∣∣∣∣∣∣∣

1|Y |

∫Y

ak`(ρy)dy −1p

∑y∈Γ 2π

p

ak`(ρy(k, `))

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ c

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ (7.172)

where c is the Lipschitz constant of the coefficients.

Proof. It is immediate using that the coefficients are Lipschitz.

Lemma 7.13 We assume that ak` and their derivatives are Lipschitz and χk are L∞(Y ).Furthermore, we assume (7.164). Then, for |ρ/p| ≤ δ,∣∣∣∣∣∣∣

1|Y |

∫Y

χk(ρy)ρj

∂aj`

∂yj(ρy)dy − 1

p

∑y∈Γ 2π

p

d∑j=1

qkΘkq (y)qj

∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ c δ. (7.173)

Proof. Using (7.165) we get

1p

∑y∈Γ 2π

p

∣∣∣∣∣∣[qkΘkq (y)− σkχ

k(ρy)]d∑

j=1

1qj∇

2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣ ≤ c δ, (7.174)

where c depends of the Lipschitz constants of the coefficients. On the other hand,∣∣∣∣∣∣d∑

j=1

χk(ρy)[σk

qj− 1ρj

]∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣ ≤ c supk,j+=1,...,d

∣∣∣∣σk

σj− 1∣∣∣∣


where c depends of the W 1,∞-norm of the coefficients and the L∞-norm of the test function.Then, by (7.164), we get∣∣∣∣∣∣

d∑j=1

χk(ρy)[σk

qj− 1ρj

]∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣ ≤ c δ.

Thus, considering this estimate and (7.174), we only have to prove that∣∣∣∣∣∣∣1|Y |

∫Y

χk(ρy)ρj

∂aj`

∂yj(ρy)dy − 1

p

∑y∈Γ 2π

p

d∑j=1

χk(ρy)ρj

∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ c

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ ,

but it is immediate using that the coefficients are C1,1.Finally, applying Lemmas 7.10–7.13, we prove immediate Proposition 7.8.

7.8.4. Properties of the first Bloch eigenvalue

Firstly, we are going to see that the Hessian of µ1 is coercive. In fact, we get:

Lemma 7.14 Under the hypotheses of Lemma 7.9, there exist two positive constants 0 < α ≤ βthat satisfying:

d∑i,j=1

qkq`∂2µ1

∂ηkη`(0)ξiηj ≤ β|ξ||η|, (boundedness), (7.175)

d∑k,`=1

qkq`∂2µ1

∂ηkη`(0)ξkξ` ≥ α|ξ|2, (coercivity). (7.176)

Proof. We give the proof of (7.176); the other case being very similar. Note that

d∑k,`=1

qkq`∂2µ1

∂ηkη`(0)ξkξ` ≥

d∑k,`=1

a∗k`ξkξ` +d∑

k,`=1

[qkq`2

∂2µ1

∂ηkη`(0)− a∗k`]ξkξ`.

Then, since the homogenized coefficients are coercive and we have the error estimate (7.85), theproof follows the arguments of those in Lemma 7.8 and Lemma 7.9.

A consequence of these results and the analyticity of µ1, we conclude the proofs of Lemmas 7.4and 7.5.Proof of Lemma 7.4. Firstly, for any η 6= 0, µ1(η) > 0. Using the bilinear form (7.74), we write

µ1(η) =∑

y∈Γ 2πp

d∑i,j=1

1qiqj

aij (qy(i, j))∇2πp

j (eiy·ηϕp,1(y; η))∇2πp

i (eiy·ηϕp,1(y; η)).

Thanks to Lemma 7.9, we obtain

α∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

1q2i

∣∣∣∣∇ 2πp

i (eiy·ηϕp,1(y; η))∣∣∣∣2 ≤ µ1(η) ≤ β

∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

1q2i

∣∣∣∣∇ 2πp

i (eiy·ηϕp,1(y; η))∣∣∣∣2 . (7.177)


If µ1(η) = 0 for some η 6= 0, we conclude that ϕp,1(y; η) = ce−iy·η. But ϕp,1 is Y -periodic in thevariable y only for η = 0 in Y ′. This is in contradiction with the fact η 6= 0. On the other hand,applying Taylor’s formula, we have

µ1(η) =∂2µ1

∂ηkη`(0)ηkη` +O(|η|3).

Thus, thanks to (7.176),

α

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 +O(|η|3) ≤ µ1(η) ≤ β

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 +O(|η|3), ∀η ∈ Bδ.

Therefore, there exist c, c′ > 0 such that

c′∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 ≤ µ1(η) ≤ c

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 , ∀η ∈ Bδ.

Finally, taking into account that µ1(η) > 0 for all η 6= 0, we deduce that (7.80) holds. Furthermore,applying (7.80) in (7.177) we obtain (7.81) and conclude the proof.

Proof of Lemma 7.5. Firstly, using Taylor’s formula, we get

µ1(η)−12∂2µ1

∂ηiηj(0)ηiηj =

∑ijk

cijk∂3µ1

∂ηiηjηk(θ)ηiηjηk, where θ ∈ B|η|.

We need to see that ∣∣∣∣∣∣∑ijk

cijk∂3µ1

∂ηiηjηk(θ)ηiηjηk

∣∣∣∣∣∣ ≤ c

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣ |η|,

where c is independent of the constant q. We note that the eigenvalue problem defined in (7.73)depends of q. First, we denote ψ1(y; η) = eiy·ηϕp,1(y; η) and by (7.81), we have

∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

1q2i

∣∣∣∣∇ 2πp

i ψ1(y; η)∣∣∣∣2 ≤ c

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2 .

Now, using similar calculates of those in the proof of Lemma 7.3, we have

∂µ1

∂ηk(η) =

∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

1qkqi

[aik (qy(i, k))ψ1(yk; η)∇+ 2π

p

i (ψ1(y; η)) +

+aki (qy(k, i))ψ1(yk; η)∇+ 2π

p

i (ψ1(y; η))].

Then, by Lemma 7.9 we get ∣∣∣∣qk ∂µ1

∂ηk(η)∣∣∣∣ ≤ c

∣∣∣∣ηq∣∣∣∣ , ∀η ∈ Bδ.


On the other hand, ∂kϕp,1(η) satisfies

eiy·η[A(η)− µ1(η)]∂kϕp,1(η) = Fk(η) and < ∂kϕp,1(η), ϕp,1(η) >= 0,

where

Fk(y; η) =d∑

i=1

1qkqi

aik (qy(i, k))∇− 2π

p

i (ψ1(yk; η)) +d∑

i=1

1qkqi

∇− 2π

p

i [aik (qy(i, k))]ψ1(yk−i; η)

+d∑

i=1

1qkqi

aik(qy−k(i, k))∇+ 2π

p

i (ψ1(y−k; η)) + ∂kµ1(η)ψ1(y; η).

Then, there exists C > 0 such that

∑y∈Γ 2π

p

|qkFk(y; η)|2 ≤ c([1 +∣∣∣∣ηq∣∣∣∣2] ≤ C,

where C depends of the dimension and the coefficientsak`. Therefore,

∑y∈Γ 2π

p

q2k

d∑i=1

1q2i

∣∣∣∣∇ 2πp

i (eiy·η∂kϕp,1(y; η))∣∣∣∣2 ≤ C,

and, using Lemma 7.2, ∑y∈Γ 2π

p

q2k |∂kϕp,1(y; η))|2 ≤ C|q|2.

On the other hand, when k 6= `, ∂2k`µ1(η) can be written as

∂2k`µ1(η) =

∑y∈Γ 2π

p

1qkq`

a`k(qy(`, k))[ψ1(yk; η)ψ1(y`; η) + ψ1(y`; η)ψ1(yk; η)]

−∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

1qkqi

aik(qy(i, k))∇2πp

i (eiy·η∂`ϕp,1(y; η))ψ1(yk; η)

−∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

1qkqi

aik(qy(i, k))eiyk·η∂`ϕp,1(yk; η)∇

2πp

i (ψ1(y; η))

−∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

1q`qi

ai`(qy(i, `))∇2πp

i (eiy·η∂kϕp,1(y; η))ψ1(y`; η)

−∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

1q`qi

ai`(qy(i, `))eiy`·η∂kϕp,1(y`; η)∇

2πp

i (ψ1(y; η)).

Parte III

Expansion Asintotica de unProblema de Evolucion con

Coeficientes Periodicos

203

Capıtulo 8

Analisis de Bloch en problemas deevolucion

8.1. Motivacion

En este capıtulo y en el proximo vamos a estudiar el comportamiento asintotico de las solu-ciones de problemas de evolucion, en particular de una ecuacion de ondas dispersiva, en mediosperiodicos.

Este problema esta ıntimamente ligado a las cuestiones de homogeneizacion antes men-cionadas. En efecto, es habitual estudiar estos problemas de comportamiento asintotico de ecua-ciones de evolucion mediante tecnicas de cambio de escala. Al introducir el cambio de escala lasheterogeneidades del medio se acentuan y ası surgen fenomenos de homogeneizacion en los que,tıpicamente, ε ∼ 1/

√t, siendo t la variable temporal.

Veamos brevemente como la teorıa de la homogeneizacion marca el comportamiento asintoticode la ecuacion del calor ut −

∂

∂xj

(ajk

∂u

∂xk

)= 0, en RN × (0,+∞)

u (·, 0) = ϕ, en RN .(8.1)

Los coeficientes a = (ajk)1≤j,k≤N se suponen acotados, simetricos, coercivos y periodicos. Masprecisamente, sea Y = [0, 2π)N y denotamos L∞# (Y ) el subespacio de L∞

(RN)

de funcionesY−periodicas:

L∞# (Y ) =φ ∈ L∞

(RN)

: φ(x+ 2πp) = φ(x),∀x ∈ RN ,∀p ∈ ZN.

Entonces, los coeficientes a = (ajk)1≤j,k≤N van a satisfacer las siguientes condicionesak` ∈ L∞# (Y ) con Y =]0, 2π[N , i.e., cada ak` es unafuncion medible, acotada e Y -periodica definida en RN ,∃α > 0 tal que ak`(x)ηkη` ≥ α|η|2 ∀η ∈ RN , a.e. x ∈ RN ,ak` = a`k ∀k, ` = 1, . . . , N, ya0 es una constante positiva,

(8.2)

205

206 CAPITULO 8. ANALISIS DE BLOCH EN PROBLEMAS DE EVOLUCION

El estudio del comportamiento asintotico de las soluciones de (8.1) cuando t → ∞ ha sidoestudiado por G. Duro y E. Zuazua en [44], y J.H. Ortega y E. Zuazua en [84]. En particular, elprimer termino de la expansion se obtuvo en [44]. Posteriormente, en J.H. Ortega y E. Zuazua[84], se obtuvo la expansion asintotica cuando t→∞ de las soluciones de (8.12) con datos inicialesen L1(RN ) ∩ L2(RN ) utilizando la descomposicion por ondas de Bloch (ver Capıtulo 2 para unaintroducion de las ondas de Bloch). Su primer resultado se establecio en el sentido de L2(RN ) yentonces, gracias al efecto de regularizacion parabolico, se derivo un resultado de convergencia enL∞(RN ). Los resultados en [84] son una extension de los de [43] sobre las soluciones dela ecuaciondel calor con coeficientes constantes.

Sin entrar en todo los detalles veamos que relacion existe con la teorıa de la homogeneizacion.Es bien conocido que para cualquier ϕ ∈ L1

(RN)

la ecuacion (8.1) admite una unica soluciontal que:

u ∈ C([0,∞) ;L1

(RN))∩ L∞loc

(0,∞;Lp

(RN)), for any 1 ≤ p ≤ ∞,

y satisface el siguiente decaimiento

‖u (t)‖p ≤ Cpt−N

2

(1− 1

p

)‖ϕ‖1 , ∀t > 0, ∀1 ≤ p ≤ ∞.

A partir de ahora denotamos ‖·‖p como la norma de Lp(RN).

En vista de la conservacion de la masa∫RN

u (x, t) dx =∫

RN

ϕ (x) dx,∀t > 0;

es natural introducir el siguiente rescalamiento de las soluciones u de (8.1):

uλ = λNu(λx, λ2t

), λ > 0. (8.3)

La funcion uλ satisface uλ,t −∂

∂xj

(aλ,jk(x)

∂uλ

∂xk

)= 0, en RN × (0,+∞)

uλ (·, 0) = λNϕ(λx), en RN ,(8.4)

conaλ,jk(x) = ajk

(xλ

).

Notese que, el dato inicial en (8.4) converge debilmente a Mδ0 en el sentido de las medidas cuandoλ → ∞, mientras los coeficientes aλ(x) oscilan muy rapidamente. Por lo tanto, de acuerdo a lateorıa clasica de la homogeneizacion, es natural que uλ converge a la solucion de ut − qkj

∂2u

∂xj∂xk= 0, en RN × (0,+∞)

u (·, 0) = δ0, en RN ,(8.5)

δ0 la delta de Dirac en el origen y qkj los coeficientes homogeneizados definidos en (2.16).

8.2. PRESENTACION DEL PROBLEMA 207

Con idea de comprender el tipo de desarrollo asintotico que uno puede esperar encontrar, esconveniente analizar primero la ecuacion del calor con coeficientes constantes:

ut −4u = 0, in RN × (0,+∞)u (·, 0) = ϕ, in RN .

(8.6)

En [43] se prueba que, cuando ϕ ∈ L1(RN ; 1 + |x|k+1

)para k ∈ N, lo siguiente se tiene∥∥∥∥∥∥u (·, t)−

∑|α|≤k

(−1)|α|

α!

(∫RN

ϕ (x)xαdx

)∂αG(·, t)

∥∥∥∥∥∥q

≤ t−(N2)

((k+1)

N+ 1

p− 1

q

) ∥∥∥|x|k+1ϕ∥∥∥

p, (8.7)

G siendo la solucion fundamental del calor

G (x, t) = (4πt)−N2 exp

(−|x|

2

4t

). (8.8)

La estimacion (8.7) es consecuencia directa de la aplicacion de la desigualdad de Young y dela siguiente formula de descomposicion (vease [43] para mas informacion sobre el tema):

ϕ =∑|α|≤k

(−1)|α|

α!

(∫RN

ϕ (x)xαdx

)∂αδ0 +

∑|α|=k+1

∂αFα,

con Fα ∈ L1(RN)

tal que‖Fα‖1 ≤ C (k,N) ‖ϕ‖1,k+1 .

Por ‖·‖1,k+1 denotamos la norma en L1(RN ; |x|k+1

).

El resultado de convergencia (8.7) indica que la solucion u de la ecuacion del calor (8.6)puede aproximarse en cualquier orden por una combinacion lineal de las the derivadas de lasolucion fundamental del calor, cuyos coeficientes se conocen explicitamente y vienen dados porlos momentos del dato inicial.

A continuacion vamos a presentar el estudio que hemos hecho en esta direccion. En la Sec-cion 8.2 presentamos el problema de comportamiento asintotico a estudiar y en la Seccion 8.3damos los principales resultados obtenidos.

8.2. Presentacion del problema

Aquı presentamos el problema que estudiamos en el Capıtulo 9. Este capıtulo comprende elanalisis del comportamiento asintotico, cuando t→∞, de las soluciones de

ρ(x)utt − ∂∂xk

(ak`(x) ∂u

∂x`

)+ a0ρ(x)ut = 0 en RN × (0,∞)

u(x, 0) = ϕ0(x)ut(x, 0) = ϕ1(x)

(8.9)


donde los coeficientes satisfacen (8.2) yρ ∈ L∞# (Y ), i.e., ρ es Y -periodica, y∃ρ0, ρ1 ∈ R+, tal que 0 < ρ0 ≤ ρ(x) ≤ ρ1, a.e. x ∈ Y. (8.10)

La ecuacion (8.9) es de naturaleza disipativa. Es decir, la energıa asociada a (8.9) definidapor

E(t) =12

∫RN

[ρ(x)|ut|2 + ak`(x)

∂u

∂x`

∂u

∂xk

]dx,

es decreciente∂E

∂t= −a0

∫RN

ρ(x)|ut|2dx.

Ademas, las soluciones de (8.9) satisfacen la ley de conservacion:

∂

∂t

∫RN

(ut + aou)ρ(x)dx =∫

RN

∂

∂xk

(ak`(x)

∂u

∂x`

)dx = 0.

Por tanto, la masa de ut + aou con respecto al peso ρ(·) se conserva a lo largo del tiempo,

mρ(ut + aou) = mρ(ϕ1 + a0ϕ0) =

∫RN

(ϕ1 + a0ϕ0)ρ(x)dx. (8.11)

La ecuacion (8.9) se puede ver como una ecuacion del calor “perturbada”por un termimo desegundo orden ρ(x)utt, que introduce oscilaciones que, de acuerdo anuestro analisis, no son losuficientemente fuertes como para cambiar el comportamiento de las soluciones cuando t → ∞en una primera aproximacion.

Para ser mas precisos, la ecuacion (8.9) se puede ver como una perturbacion de la ecuacionparabolica

ρ(x)a0ut − ∂∂xk

(ak`(x) ∂u

∂x`

)= 0 en RN × (0,∞)

u(x, 0) = ϕ0(x).(8.12)

El comportamiento asintotico de las soluciones de (8.12) es bien conocido cuando ρ = 1, a0 = 1.El primer termino de la expansion asintotica se obtuvo en [44]. Se vio que

tN2

(1− 1p)‖u(t)−m(ϕ)Gh(·, t)‖p −→ 0, cuando t→∞, 1 ≤ p ≤ ∞,

dondem(ϕ) =

∫RN

ϕdx

y Gh es la solucion fundamental del sistema homogeneizadout − qk`

∂2u∂x`xk

= 0 en RN × (0,∞)

u(x, 0) = δ0(x).


Denotamos por δ0 la delta Dirac en el origen y por qjkNj,k=1 los coeficientes homogeneizados

asociados a la matriz de coeficientes periodicos (8.2). La constante m(ϕ) es la masa de la solucionde(8.12) la cual se conserva a lo largo del tiempo, i.e.,

∂

∂t[m(u(·, t))] = 0, ∀t ∈ (0,∞).

El analisis de [84] se puede adaptar facilmente al caso general de la ecuacion parabolica (8.12)con densidad ρ variable y periodica.

8.3. Resultados obtenidos

Los resultados que a continuacion presentamos y que demostramos en el Capıtulo 9 adaptanel analisis de [84] al caso de la ecuacion de ondas disipativa (8.9). Este ha sido un trabajo conjuntocon A.F. Pazoto y E. Zuazua que se encuentra publicado en [81].

Los resultados que presentamos para la solucion u de (8.9) estan dados en el marco de L2(RN )con datos iniciales en L2∩L1(RN )×H−1∩L1(RN ). Queremos puntualizar que similares resultadosse obtienen de (u, ut) en Hs(RN ) × Hs−1(RN ) con datos iniciales en Hs ∩ L1(RN ) × Hs−1 ∩L1(RN ). La expansion asintotica en L∞(RN ) tambien se puede obtener, pero en ausencia del efectoregularizante parabolico utilizado en [84], se deberıan considerar datos iniciales suficientementeregulares de modo que la solucion estuviera en Hs con s > 0 suficientemente grande tal queHs → C0.

La ecuacion (8.9) esta bien definida bajo las condiciones (8.2) y (8.10). Esto se puede obtenerfacilmente escribiendo (8.9) como una ecuacion abstracta de evolucion en el espacio de energıafinita H = H1(RN )× L2(RN ), con el producto(

(u, v), (u, v))H

=∫

RN

uu dx +∫

RN

ak`(x)∂u

∂xk

∂u

∂x`dx +

∫RN

vvρ(x)dx,

con ak` como en (8.2) y ρ como en (8.10), siempre y cuando (u, v), (u, v) ∈ H. Bajo estascondiciones el operador asociado a (8.9) es maximal y disipativo en H. Entonces, el teorema deLummer-Phillip (ver [25]) garantiza que el operador asociado a (8.9) es el generador infinitesimalde un semigrupo continuo. Ası, se deduce que para cualquier par de datos iniciales (ϕ0, ϕ1) ∈L2(RN )×H−1(RN ) la ecuacion (8.9) tiene una unica solucion debil u = u(x, t) tal que

u ∈ C0(R+, L2(RN )) ∩ C1(R+,H−1(RN )).

A continuacion presentamos el principal resultado del Capıtulo 9.

Theorem 8.1 Supongamos que ϕ0 ∈ L1(RN ) ∩ L2(RN ) y ϕ1 ∈ L1(RN ) ∩H−1(RN ) verificandoque |x|k+1ϕ0(x), |x|k+1ϕ1(x) ∈ L1(RN ) para k ≥ 0. Sea u = u(x, t) la solucion de (8.9). Entonces,existen funciones periodicas cα ∈ L∞# (Y ), con α ∈ NN , |α| = α1 + · · · + αN ≤ k, y constantescβ,n, con n ≤ k

2 y 4 ≤ |β| ≤ 2k, dependiendo de los datos iniciales, los coeficientes ak` y ρ, talque la solucion u satisface

∥∥u(·, t)− ∑|α|≤k

cα(·)[G∗α(·, t) +p(α)∑n=1

tn

n!

a(α,n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n, G∗α+β(·, t)]

∥∥ ≤ ckt− 2k+2+N

4 (8.13)


cuando t→∞. Aquı p(α) =[

k−|α|2

], a(α, n) = p(α)− n,

G∗α(x, t) =1

(2π)N

∫RN

ξαe− qk`

a0ρξkξ`teix·ξdξ, (8.14)

y ρ es la densidad promedio:

ρ =1

(2π)N

∫Y

ρ(x)dx. (8.15)

Notese que G∗α = (−i)|α|(∂αG∗/∂xα) donde G∗ = G∗(x, t) es la solucion fundamental delsiguiente sistema parabolico homogeneizado

ρa0G∗t − qk`

∂2G∗

∂x`xk= 0 en RN × (0,∞)

G∗(x, 0) = δ0(x).(8.16)

El resultado de convergencia en (8.13) indica que la solucion u de la ecuacion (8.9) se puedeaproximar en cualquier orden por una combinacion lineal de derivadas de la solucion fundamentalde la ecuacion del calor, modulada por funciones periodicas cα(·). El rol de estas es adaptar elcomportamiento asintotico de la gaussiana a la periodicidad del medio donde la solucion u vive.

Consideramos v(x, t) = c0(x)G∗(x, t), el primer termino del desarrollo asintotico de la solucionde (8.9). Como se vera mas adelante (ver Seccion 9.5), c0(·) es una constante y, en particular,

c0 =1a0ρ

mρ(ut + a0u).

Es importante observar que la masa de v(x, t) con respecto al peso ρ(·), cuando t → ∞, es lamisma masa de ut + a0u asociada a (8.9) la cual es constante en tiempo como se vio en (8.11).De hecho, se tiene que

mρ(vt) = − c0(2π)N

∫RN

∫RN

qk`

a0ρξkξè

− qkà0ρ

ξkξ`teix·ξdξ ρ(x)dx (x = y√t, ξ =

η√t)

= −c0t

∫RN

ρ(y√t)

1(2π)N

∫RN

qk`

a0ρηkηè

− qkà0ρ

ηkηèiy·ηdη dy,

y

mρ(v) = c0

∫RN

ρ(y√t)

1(2π)N

∫RN

e− qk`

a0ρηkηèiy·ηdη dy.

Como ρ(y√t) ρ weakly-∗ en L∞(RN ) cuando t→∞, entonces

mρ(vt) → 0 cuando t→∞,


y, gracias a1

(2π)N

∫RN

∫RN

e− qk`

a0ρηkη`eiy·ηdη dy = 1

se tiene

mρ(v) → ρ c0, cuando t→∞.

Ası, cuando t→∞ se obtiene que

mρ(vt + a0v) −→ ao ρ c0 = mρ(ut + a0u).

Por lo tanto, como era esperable, la masa total de la solucion se captura con el primer terminodel desarrollo asintotico.

Capıtulo 9

Expansion asintotica de una ecuacionde ondas dispersiva con coeficientesperiodicos

RESUMEN. En este capıtulo presentamos el analisis asintotico de una ecuacion de ondaslineal y disipativa en RN con coeficientes periodicos. Por medio de la descomposicion porondas de Bloch obtenemos una expansion de las soluciones cuando t→∞ y concluımos que,en una primera aproximacion, las soluciones se comportan como el nucleo de la ecuacion delcalor homogeneizada.

213


ASYMPTOTIC EXPANSION FOR DAMPED WAVE EQUATIONS

WITH PERIODIC COEFFICIENTS 1

by

R. Orive, A. F. Pazoto and E. Zuazua

ABSTRACT. We consider a linear dissipative wave equation in RN with periodic coefficients.By means of Bloch wave decomposition, we obtain an expansion of solutions as t→∞ andconclude that, in a first approximation, the solutions behave as the homogenized heat kernel.

9.1. Introduction

9.1.1. Setting of the problem

This paper is concerned with the analysis of the asymptotic behavior, as t → ∞, of thesolutions of

ρ(x)utt − ∂∂xk

(ak`(x) ∂u

∂x`

)+ a0ρ(x)ut = 0 in RN × (0,∞)

u(x, 0) = ϕ0(x)ut(x, 0) = ϕ1(x)

(9.1)

where the coefficients satisfyak` ∈ L∞# (Y ) where Y =]0, 2π[N , i.e., each ak` is aY -periodic bounded measurable function defined on RN ,∃α > 0 such that ak`(x)ηkη` ≥ α|η|2 ∀η ∈ RN , a.e. x ∈ RN ,ak` = a`k ∀k, ` = 1, . . . , N, anda0 is a positive constant,

(9.2)

and ρ ∈ L∞# (Y ), i.e., ρ is Y -periodic, and∃ρ0, ρ1 ∈ R+, such that 0 < ρ0 ≤ ρ(x) ≤ ρ1, a.e. x ∈ Y. (9.3)

1Transcripcion del artıculo [81]

216 CAPITULO 9. EXPANSION ASINTOTICA DE UNA ECUACION...

The equation (9.1) has a dissipative nature. Indeed, the energy associated to (9.1), given by

E(t) =12

∫RN

[ρ(x)|ut|2 + ak`(x)

∂u

∂x`

∂u

∂xk

]dx,

is decreasing∂E

∂t= −a0

∫RN

ρ(x)|ut|2dx.

Moreover, solutions of (9.1) satisfy the conservation law

∂

∂t

∫RN

(ut + aou)ρ(x)dx =∫

RN

∂

∂xk

(ak`(x)

∂u

∂x`

)dx = 0.

That is, the mass of ut + aou with respect to the weight ρ(·) is conserved along time:

mρ(ut + aou) = mρ(ϕ1 + a0ϕ0) =

∫RN

(ϕ1 + a0ϕ0)ρ(x)dx. (9.4)

Using Bloch waves decomposition together with a choice of a convenient Lyapunov functionwe obtain the asymptotic expansion of the solutions of (9.1). In particular we conclude thatsolutions behave as the homogenized heat kernel as t→∞. In fact, equation (9.1) can be viewedas a heat equation “perturbed”by the second order term ρ(x)utt, that introduces oscillations that,according to our analysis, are not strong enough to change the behavior of solutions as t→∞ ina first approximation.

To be more precise, equation (9.1) can be viewed as a perturbation of the parabolic equationρ(x)a0ut − ∂

∂xk

(ak`(x) ∂u

∂x`

)= 0 in RN × (0,∞)

u(x, 0) = ϕ0(x).(9.5)

The asymptotic behavior of solutions of (9.5) is well known when ρ = 1, a0 = 1. The first termin the asymptotic expansion was obtained in [44]. It was shown that

tN2

(1− 1p)‖u(t)−m(ϕ)Gh(·, t)‖p −→ 0, as t→∞, 1 ≤ p ≤ ∞,

wherem(ϕ) =

∫RN

ϕdx

and Gh is the fundamental solution of the homogenized systemut − qk`

∂2u∂x`xk

= 0 in RN × (0,∞)

u(x, 0) = δ0(x).


Here and in the sequel we denote by δ0 the Dirac delta at the origin and by qjkNj,k=1 the

homogenized coefficients associated to the periodic matrix with coefficients (9.2). The constantm(ϕ) is the mass of the solution of (9.5) which is conserved along time, i.e.,

∂

∂t[m(u(·, t))] = 0, ∀t ∈ (0,∞).

Later on, in J.H. Ortega and E. Zuazua [84], the asymptotic expansion as t → ∞ of thesolutions of (9.5) with L1(RN ) ∩ L2(RN ) initial data was obtained by means of the Bloch wavedecomposition (see [34] and [36] for an introduction to Bloch waves). Their first result was sta-blished in the L2(RN )-setting and then, thanks to the parabolic regularizing effect, a convergeresult in L∞(RN ) was derived. The results in [84] are, to some extent, an extension of those of[43] on the constant coefficient heat equation. The analysis in [84] can be easily adapted to thegeneral parabolic equation (9.5) with variable, periodic density ρ.

This work is devoted to adapt the analysis in [84] to the case of the dissipative wave equation(9.1) under consideration.

Our main result will only be given for the solution u of (9.1) in the L2(RN )-setting withL2 ∩L1(RN )×H−1 ∩L1(RN ) initial data but, as it will become clear during the proofs, a similaranalysis allows to obtain the asymptotic expansion of (u, ut) in Hs(RN )×Hs−1(RN ) with initialdata in Hs ∩L1(RN )×Hs−1 ∩L1(RN ). An asymptotic expansion in L∞(RN ) can also be given,but here, in the absence of the parabolic regularizing effect used in [84], we should considersufficiently smooth initial data so that the asymptotic expansion holds in Hs with s > 0 largeenough so that Hs → C0.

9.1.2. Main results

The well-posedness of the equation (9.1) under the conditions (9.2) and (9.3) can be easi-ly obtained writing (9.1) as an abstract evolution equation in the space of finite energy H =H1(RN )× L2(RN ), with the inner product

((u, v), (u, v)

)H

=∫

RN

uu dx +∫

RN

ak`(x)∂u

∂xk

∂u

∂x`dx +

∫RN

vvρ(x)dx,

with ak` as in (9.2) and ρ as in (9.3), whenever (u, v), (u, v) ∈ H. Under these conditions theoperator associated to (9.1) is maximal and dissipative on H. Then, Lummer-Phillip’s theoremguarantees that the operator associated to (9.1) is the infinitesimal generator of a continuoussemigroup. Thus, we deduce that for any initial data (ϕ0, ϕ1) ∈ L2(RN )×H−1(RN ) the equation(9.1) has a unique weak solution u = u(x, t) such that

u ∈ C0(R+, L2(RN )) ∩ C1(R+,H−1(RN )).

Let us now state the main result.

Theorem 9.1 Assume that ϕ0 ∈ L1(RN )∩L2(RN ) and ϕ1 ∈ L1(RN )∩H−1(RN ) satisfying that|x|k+1ϕ0(x), |x|k+1ϕ1(x) ∈ L1(RN ) for some k ≥ 0. Let u = u(x, t) be the solution of (9.1). Then,there exist periodic functions cα ∈ L∞# (Y ), with α ∈ NN , |α| = α1 + · · ·+ αN ≤ k, and constants


cβ,n, with n ≤ k2 and 4 ≤ |β| ≤ 2k, depending on the initial data, the coefficients ak` and ρ,

such that the solution u satisfies

∥∥u(·, t)− ∑|α|≤k

cα(·)[G∗α(·, t) +p(α)∑n=1

tn

n!

a(α,n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n, G∗α+β(·, t)]

∥∥ ≤ ckt− 2k+2+N

4 (9.6)

as t→∞. Here p(α) =[

k−|α|2

], a(α, n) = p(α)− n,

G∗α(x, t) =1

(2π)N

∫RN

ξαe− qk`

a0ρξkξ`teix·ξdξ, (9.7)

and ρ is the averaged density:

ρ =1

(2π)N

∫Y

ρ(x)dx. (9.8)

We observe that G∗α = (−i)|α|(∂αG∗/∂xα) where G∗ = G∗(x, t) is the fundamental solutionof the underlying parabolic homogenized system

ρa0G∗t − qk`

∂2G∗

∂x`xk= 0 in RN × (0,∞)

G∗(x, 0) = δ0(x).(9.9)

The convergence result in (9.6) indicates that, roughly, the solution u of the equation (9.1) may beapproximated at any order by a linear combination of the derivatives of the fundamental solutionof the heat equation, modulated by the periodic functions cα(·). The role of these coefficients isto adapt the gaussian asymptotic profiles to the periodicity of the medium where the solution uevolves.

We consider v(x, t) = c0(x)G∗(x, t), the first term of the asymptotic expansion of the solutionof (9.1). As we shall see below (see Section 5), c0(·) turns out be a constant and more precisely

c0 =1a0ρ

mρ(ut + a0u). (9.10)

It is important to observe that the mass of v(x, t) with respect to the weight ρ(·), as t → ∞, isthe same as the mass of ut + a0u associated to (9.1) which is constant in time as seen in (9.4). Infact, we have

mρ(vt) = − c0(2π)N

∫RN

∫RN

qk`

a0ρξkξè

− qkà0ρ

ξkξ`teix·ξdξ ρ(x)dx (x = y√t, ξ =

η√t)

= −c0t

∫RN

ρ(y√t)

1(2π)N

∫RN

qk`

a0ρηkηè

− qkà0ρ

ηkηèiy·ηdη dy,

9.2. BLOCH WAVE DECOMPOSITION 219

andmρ(v) = c0

∫RN

ρ(y√t)

1(2π)N

∫RN

e− qk`

a0ρηkη`eiy·ηdη dy.

Since ρ(y√t) ρ weakly-∗ in L∞(RN ) as t→∞, then

mρ(vt) → 0 as t→∞,

and, thanks to1

(2π)N

∫RN

∫RN

e− qk`

a0ρηkη`eiy·ηdη dy = 1

we have

mρ(v) → ρ c0, as t→∞.

Thus, we obtain as t→∞,

mρ(vt + a0v) −→ ao ρ c0 = mρ(ut + a0u).

Therefore, as expected, the total mass of the solution is captured by the first term in the asymp-totic expansion.

The rest of the paper is organized as follows. First, in Section 2 and 3, we study the simplerproblem in which ρ ≡ 1:

utt − ∂∂xk

(ak`(x) ∂u

∂x`

)+ a0ut = 0 in RN × (0,∞)

u(x, 0) = ϕ0(x)ut(x, 0) = ϕ1(x).

(9.11)

In Section 2 we recall some basic results on Bloch wave decomposition. In Section 3 we provesome basic lemmas and obtain the asymptotic behavior of the solutions of (9.11). In Section 4we prove the main result, Theorem 9.1, in the general case. Finally, in Section 5, we analyze theperiodic functions cα and the constants cβ,n entering in the asymptotic expansion.

9.2. Bloch wave decomposition

All along this section we assume that ρ ≡ 1. The general case will be discussed in Section 4.In this section we recall some basic results on Bloch wave decompositions. We refer to [34]

and to [36] for the notations and the proofs.Let us consider the following spectral problem parametrized by ξ ∈ RN : To find λ = λ(ξ) ∈ R

and ψ = ψ(x; ξ) (no identically zero) such thatAψ(·; ξ) = λ(ξ)ψ(·; ξ) in RN ,ψ(·; ξ) is (ξ, Y )-periodic, i.e.,

ψ(y + 2πm; ξ) = e2πim·ξψ(y) ∀m ∈ ZN , y ∈ RN ,(9.12)


where A is the elliptic operator in divergence form

Adef= − ∂

∂xk

(ak`(x)

∂

∂x`

), y ∈ RN . (9.13)

We can write ψ(x; ξ) = eix·ξφ(x, ξ), φ being Y -periodic in the variable x. It is clear from(9.12) that the (ξ, Y )-periodicity is unaltered if we replace ξ by (ξ+m) with m ∈ ZN . Therefore,ξ can be confined to the dual cell ξ ∈ Y ′ = [−1

2 ,12 [N . Under these conditions, it is known (see

[36]) that the above spectral problem admits a discrete sequence of eigenvalues with the followingproperties:

0 ≤ λ1(ξ) ≤ · · · ≤ λm(ξ) ≤ · · · → ∞,λm(ξ) is a Lipschitz function of ξ ∈ Y ′,∀m ≥ 1.

(9.14)

Besides, the corresponding eigenfunctions denoted by ψm(·; ξ) and φm(·; ξ), form orthonormal ba-sis in the subspaces of L2

loc(RN ) which are (ξ, Y )-periodic and Y -periodic, respectively. Moreover,as a consequence of the min-max principle, it follows that (see [36])

λ2(ξ) ≥ λ(N)2 > 0, ∀ξ ∈ Y ′, (9.15)

where λ(N)2 is the second eigenvalue of A in the cell Y with Neumann boundary conditions on

∂Y .The Bloch waves introduced above enable us to describe the spectral resolution of the un-

bounded self-adjoint operator A in L2(RN ), in the orthogonal basis of Bloch waves

ψm(x; ξ) = eix·ξφm(x; ξ) : m ≥ 1, ξ ∈ Y ′.

Thus, we have

Proposition 9.1 Let g ∈ L2(RN ). The mth Bloch coefficient of g is defined as follows:

Bmg(ξ) =∫

RN

g(x)e−ix·ξφm(x; ξ)dx ∀m ≥ 1, ξ ∈ Y ′.


g(x) =∫Y ′

∞∑m=1

Bmg(ξ)eix·ξφm(x; ξ)dξ.


|g(x)|2dx =∫Y ′

∞∑m=1

|Bmg(ξ)|2dξ.


Ag(x) =∫Y ′

∞∑=1

λm(ξ)Bmg(ξ)eix·ξφm(x; ξ)dξ,

9.2. BLOCH WAVE DECOMPOSITION 221

and, consequently, the equivalence of norms in H1(RN ) and in H−1(RN ):

‖g‖2H1(RN ) =

∫Y ′

∞∑m=1

(1 + λm(ξ))|Bmg(ξ)|2dξ,

‖g‖2H−1(RN ) =

∫Y ′

∞∑m=1

|Bmg(ξ)|2

1 + λm(ξ)dξ.

Using Proposition 9.1, the solution of (9.11) can be written as follows.

Lemma 9.1 Let u(x, t) be the solution of (9.11). Then

u(x, t) =∫

Y ′

∞∑m=1

(β1

m(ξ)e−α1m(ξ)t + β2

m(ξ)e−α2m(ξ)t

)eix·ξφm(x, ξ)dξ, (9.16)

where

α1m(ξ) =

12(a0 −

√a2

0 − 4λm(ξ)), (9.17)

α2m(ξ) =

12(a0 +

√a2

0 − 4λm(ξ)), (9.18)

and

β1m(ξ) =

α2m(ξ)√

a20 − 4λm(ξ)

Bmϕ0(ξ) +

1√a2

0 − 4λm(ξ)Bmϕ

1(ξ), (9.19)

β2m(ξ) = − α1

m(ξ)√a2

0 − 4λm(ξ)Bmϕ

0(ξ)− 1√a2

0 − 4λm(ξ)Bmϕ

1(ξ), (9.20)

where Bmϕ0(ξ) and Bmϕ

1(ξ) are the Bloch coefficients of the initial data ϕ0 and ϕ1.

Proof. Since u(x, t) ∈ L2(RN ) for all t > 0, we have that

u(x, t) =∫Y ′

+∞∑m=1

Bmu(ξ, t)eix·ξφm(x, ξ)dξ, (9.21)

where Bmu(ξ, t) is defined by Proposition 9.1 and satisfies for any m ≥ 1 the following differentialequation

∂2tBmu+ a0∂tBmu+ λm(ξ)Bmu = 0 in Y ′ × (0,+∞)

Bmu(·, 0) = Bmϕ0,∂Bmu

∂t(·, 0) = Bmϕ

1 in Y ′.(9.22)

Here, ∂t denotes the derivative with respect to t. Solving the differential equation (9.22) we find

Bmu(ξ, t) = β1m(ξ)e−α1

m(ξ)t + β2m(ξ)e−α2

m(ξ)t, (9.23)


where αim(ξ), i = 1, 2 are defined by (9.17) and (9.18), and they are the two roots of the

characteric equation

y2 + a0y + λm(ξ) = 0.

The constants βim(ξ), i = 1, 2 as in (9.19)-(9.20) are obtained in order to meet the initial data

in (9.11) .

We also have the following result on the dependence of λ1 and φ1 with respect to the parameterξ (see [36] and [32]).

Proposition 9.2 Assume that the coefficients ak` satisfy (9.2). Then there exists δ1 > 0 suchthat the first eigenvalue λ1 is an analytic function on Bδ1 = ξ : |ξ| < δ1 and satisfies

c1|ξ|2 ≤ λ1(ξ) ≤ c2|ξ|2, ∀ξ ∈ Y ′, (9.24)

and

λ1(0) = ∂kλ1(0) = 0, k = 1, . . . , N,∂2

k`λ1(0) = 2qk`, k, ` = 1, . . . , N, (9.25)∂αλ1(0) = 0 ∀α such that |α| is odd.

Futhermore, there is a choice of the first eigenfunction φ1(x, ξ) satisfyingξ → φ1(x, ξ) ∈ L∞ ∩H1

#(Y ) is analytic on Bδ1

φ1(x, 0) = (2π)−N2 .

The coefficients qk` are those of the homogenized matrix associated with the family (aεk`),

where aεk`(x) = ak`(x/ε) as ε → 0. Since α1

1(ξ) and β11(ξ) is defined by (9.19), respectively, we

have:

Proposition 9.3 Assume the same hypotheses as in Proposition 9.2. Then there exists δ > 0,with δ ≤ δ1, such that α1

1(ξ) and β11(ξ) are analytic functions on Bδ. Futhermore, α1

1(ξ) satisfies

c3|ξ|2 ≤ α11(ξ) ≤ c4|ξ|2, ∀ξ ∈ Bδ, (9.26)

and

α11(0) = ∂kα

11(0) = 0 k = 1, · · · , N,

∂2k`α

11(0) = 2

qk`

a0, k, ` = 1, · · · , N, (9.27)

∂βα11(0) = 0 ∀β such that |β| is odd.

9.3. ASYMPTOTIC EXPANSION WHEN ρ ≡ 1 223

9.3. Asymptotic expansion when ρ ≡ 1

9.3.1. Bloch component of u with exponential decay

We start this section proving that, in (9.16), the terms corresponding to the eigenvalues λm(ξ),m ≥ 2, decay exponentially as t → ∞. Further, we also prove that the term corresponding toλ1(ξ) goes to zero exponentially, a t→∞, whenever ξ ∈ U = ξ ∈ Y ′ : |ξ| > δ, with δ > 0.

Lemma 9.2 Let Bmu = Bmu(ξ, t), m ≥ 1, be the Bloch coefficients associated to the solutionu = u(x, t) of (9.11) given in (9.16). Then, there exists positive constants α and β, such that∫

Y ′

∞∑m=2

|Bmu(ξ, t)|2 dξ ≤ αe−βt(‖ϕ0‖2 + ‖ϕ1‖2

H−1

). (9.28)

Proof. We consider the Lyapunov function

Lm(ξ, t) = Em(ξ, t) + εFm(ξ, t),

where

Em(ξ, t) =12

(|∂tBmu(ξ, t)|2 + λm(ξ)|Bmu(ξ, t)|2

),

Fm(ξ, t) = ∂tBmu(ξ, t)Bmu(ξ, t) +a0

2|Bmu(ξ, t)|2 ,

and ε is a suitable constant to be chosen later. Here, · denotes the complex conjugate. It followsfrom (9.15) that for m ≥ 2,

|Lm(ξ, t)− Em(ξ, t)| ≤ ε[1

2λ(N)2

|∂tBmu(ξ, t)|2 + (λm(ξ)

2+a0λm(ξ)

2λ(N)2

)|Bmu(ξ, t)|2]

≤ ε c0Em(ξ, t), with c0 = max

(1

λ(N)2

,a0

λ(N)2

+ 1

).

Consequently, we have for ε < 1/c0 that

(1− εc0)Em(ξ, t) ≤ Lm(ξ, t) ≤ (1 + εc0)Em(ξ, t). (9.29)

Now, we claim that∂tLm(ξ, t) ≤ −cLm(ξ, t) (9.30)

holds for some positive constant independent of ξ whenever m ≥ 2. Clearly, from (9.29) and(9.30) we conclude the proof of (9.28) for all m ≥ 2.

In order to prove the claim, we proceed as follows: Multiplying the equation (9.22) by∂tBmu(ξ, t), we obtain

∂tEm(ξ, t) = −a0|∂tBmu(ξ, t)|2.

Next, we multiply the equation (9.22) by Bmu(ξ, t) to obtain

∂t

(∂tBmu(ξ, t)Bmu(ξ, t) +

a0

2|Bmu(ξ, t)|2

)= −λm(ξ)|Bmu(ξ, t)|2 + |∂tBmu(ξ, t)|2


Lemma 9.3 Let B1u = B1u(ξ, t) be the first Bloch coefficient of the solution u of (9.11) givenin (9.16). Then, there exist positive constants α and β, such that∫

Y ′−Bδ

|B1u(ξ, t)|2 dξ ≤ αe−βt(‖ϕ0‖2 + ‖ϕ1‖2

H−1

), (9.34)

with δ satisfying (9.33). On the other hand, the second component β21(ξ)e−α2

1(ξ)t of B1u(ξ, t) asin (9.23) satisfies ∫

Bδ

|β21(ξ)|2e−2α2

1(ξ)t dξ ≤ Ce−a0t(‖ϕ0‖2 + ‖ϕ1‖2

H−1

). (9.35)

Proof. In order to prove (9.34) we argue as in Lemma 9.2. We consider the Lyapunov fuctionL1(ξ, t) and, instead of (9.15), we use Proposition 9.2 and Remark 9.1 to obtain (9.29) for ξ ∈Y ′ −Bδ and m = 1. We observe that (9.24) gives us

1λ1(ξ)

<1c1δ2

, ∀ξ ∈ Y ′ −Bδ,

and (9.34) is obtained following the same steps of Lemma 9.2.To prove (9.35) it is enough to observe that, thanks to (9.33), and since, according to (9.18)

α21(ξ) ≥ a0/2 for all ξ ∈ Bδ, we have

(1 + λ1(ξ))|β21(ξ)|2e−2α2

1(ξ)t ≤ (1 + c2|ξ|2)|β21(ξ)|2e−2α1

1(ξ)t

≤ (1 + c2δ2)

4 + (a0 −√cδ)2

2cδe−a0t(|ϕ1

0(ξ)|2 + |ϕ11(ξ)|2)

≤ (1 + c2δ2)

4 + (a0 −√cδ)2

2cδe−a0t((1 + λ1(ξ))|ϕ1

0|2 + |ϕ11|2).

Consequently,

|β21(ξ)|2e−2α2

1(ξ)t ≤ C(δ)e−a0t

(|ϕ0

1(ξ)|2 +|ϕ1

1(ξ)|2

1 + λ1(ξ)

),

and the result follows .

9.3.2. Bloch component of u with polynomial decay

Thanks to Lemmas 9.2 and 9.3, to conclude the proof of the Theorem 9.1 it is sufficient toanalyse

I(x, t) =∫Bδ

β11(ξ)e−α1

1(ξ)teix·ξφ1(x; ξ)dξ, (9.36)

since the other components of u have an exponentially decay in L2(RN ). To do that we make useof classical asymptotic lemmas (see Lemma 9.5 and Lemma 9.6 below) and assume that the initialdata ϕ0 ∈ L1(RN ) and ϕ1 ∈ L1(RN )∩H−1(RN ) are such that |x|k+1ϕ0(x), |x|k+1ϕ1(x) ∈ L1(RN ).Under these conditions the first Bloch coefficients B1ϕ

0(ξ) and B1ϕ1(ξ) of the initial data belong

to Ck+1(Bδ) (see Lemma 9.4), what is crucial in the proof of the asymptotic expansion (see thedefinitions of β1

1(ξ) and α11(ξ) in Lemma 9.1).


Lemma 9.4 Let ϕ ∈ L1(RN ) be a function such that |x|kϕ ∈ L1(RN ). Then , its first Blochcoefficient B1ϕ(ξ), belongs to Ck(Bδ), where Bδ is a neighborhood of ξ = 0 where the first Blochwave φ1(x; ξ) is analytic.

Proof. SinceB1ϕ(ξ) =

∫RN

ϕ(x)e−i·ξφ1(x; ξ)dx,

for all α ∈ (N ∪ 0)N with |α| ≤ k, we have

∂B1ϕ

∂ξα(ξ) =

∑β≤α

(αβ

) ∫RN

ϕ(x)(−i)|β|xβe−i·ξ ∂φ1

∂ξα−β(x; ξ)dx,

where β ≤ α if and only if βk ≤ αk for all j = 1, . . . , N , and(αβ

)=

N∏k=1

(αj

βj

).

Moreover, Proposition 9.2 gives us that the function ξ → φ1(x; ξ) is analytic with values inL∞# (Y ), what guarantees that∣∣∣∣∂B1ϕ

∂ξα(ξ)∣∣∣∣ ≤

∑β≤α

(αβ

)cβ

∫RN

|ϕ(x)xβ |dx,

≤∑β≤α

(αβ

)cβ

∫RN

(1 + |x|k)|ϕ(x)|dx,

for 0 ≤ |α| ≤ k, where cβ is a positive constant. Thus, using again Proposition 9.2, we have thatthe map ξ → e−iξ·x∂α

ξ φ1(x; ξ) is continuous, and the result follows .

Now, we are going to present some basic asymptotic results. The following definition will beuseful to simplify the notation.

Definition 9.1 Given f, g ∈ C(R; R), we say that f and g are of the same order as t→∞ andwe denote it by f ∼ g when

lımt→∞

f(t)g(t)

= 1.

The following basic lemmas on asymptotic analysis are needed (see [14], p. 263):

Lemma 9.5 Let f : [0, b] → R be a continuous function such that it has the uniform asymtoticseries expansion

f(x) = xα∞∑

n=1

anxβn , x ∈ [0, b],


with α > 1 and βn > 0. Then

b∫0

e−txf(x)dx ∼∞∑

n=1

anΓ(α+ βn + 1)t(α+βn+1)

, as t→∞.

When f(x) = xα we have that

b∫0

e−txxαdx ∼ Γ(α+ 1)t(α+1)

, as t→∞,

where

Γ(z) =

∞∫0

e−xxz−1dx, z > 0.

As a consequence of Lemma 9.5, the following holds in [84]:

Lemma 9.6 Let c > 0. Then∫bδ

e−c|ξ|2t|ξ|k dξ ∼ ckt− k+N

2 , as t→∞,

for all k ∈ N, where ck is a positive constant that may be computed explicitly. On the other hand, if q = (qij) is a symmetric positive matrix, we also have∫

Y ′

e−

qija0

ξiξjtξβ dξ ∼ c|β|t

− (|β|+N)2 , as t→∞,

for all multi-index β ∈ (N ∪ 0)N and for a suitable constant c|β| that may computed as well.

In the sequel we prove three lemmas which are related to the asymptotic behavior of the termsβ1

1(ξ), φ1(x; ξ) and e−α11(ξ)t, respectively, that appear in (9.36).

We recall that the idea we have in mind is to prove that the solutions of (9.1) may be approx-imated by a linear combination of the derivatives of the fundamental solution of the homogenizedheat equation and, as we said in the begining of this section, in view of Lemma 9.5 and 9.6, ouranalysis may be restricted to consider (9.36). Thus, our first step in this direction is to prove that(9.36) can be replaced by

J(x, t) =∫Bδ

∑|α|≤k

dαξαe−α1

1(ξ)teix·ξφ1(x; ξ)dξ, (x, t) ∈ RN × R+, (9.37)

where

dα =1α!∂αβ1

1(0), (9.38)

which are obtained by means of the Taylor expansion of β11(ξ) in ξ = 0.


Lemma 9.7 Let ϕ0 ∈ L1(RN )∩L2(RN ) and ϕ1 ∈ L1(RN )∩H−1(RN ) be such that |x|k+1ϕ0(x),|x|k+1ϕ1(x) ∈ L1(RN ). Consider I(x, t) as in (9.36) and J(x, t) as in (9.37). Then, there existck > 0 such that

‖I(·, t)− J(·, t)‖ ≤ ckt− 2k+2+N

4 as t→∞.

Proof. Since ϕ0 ∈ L1(RN ) ∩ L2(RN ) and ϕ1 ∈ L1(RN ) ∩ H−1(RN ) with |x|k+1ϕ0, |x|k+1ϕ1 ∈L1(RN ) then, from Lemma 9.4, we have that B1ϕ

0, B1ϕ1 ∈ Ck+1(Bδ), and, according to (9.19),

β11 ∈ Ck+1(Bδ) as well. Thus, thanks to (9.38), from the Taylor expansion we have that for allξ ∈ Bδ,

|β11(ξ)−

∑|α|≤k

dαξα| ≤ Ck|ξ|k+1, Ck > 0. (9.39)

These constants can be computed explicitly in terms of ∂αλ1(0) and ∂αφ1(0), and the mass ofthe initial datum (see Section 5). Indeed, from Parseval’s identity, we have

‖I(·, t)− J(·, t)‖2 =∫Bδ

|β11(ξ)−

∑|α|≤k

dαξα|2e−2α1

1(ξ)tdξ.

Then, thanks to estimate (9.26) in Proposition 9.3 and Lemma 9.6, we obtain

‖I(·, t)− J(·, t)‖2 =∫Bδ

|β11(ξ)−

∑|α|≤k

dαξα|2e−2c3|ξ|2tdξ

≤ ck

∫Bδ

|ξ|2(k+1)e−2c3|ξ|2tdξ ∼ ckt− 2k+2+N

2 , as t→∞.

This concludes the proof of Lemma 9.7 .

In a second step, we compute the Taylor expansion of φ1(x, ξ) around ξ = 0, and prove thatall the terms entering in the definition (9.37) of J and that we denote by Jα with α ∈ (N ∪ 0)N ,

Jα(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξαe−α11(ξ)teix·ξφ1(x; ξ)dξ, (x, t) ∈ RN × R+, (9.40)

may be approximated in L2-setting by a linear combination of the form

1(2π)N

∑|γ|≤k−|α|

dγ(x)∫Bδ

ξαe−α11(ξ)teix·ξ,

where dγ are periodic functions defined by

dα(·) =1α!∂α

ξ φ1(·; 0) ∈ L∞# (RN ). (9.41)

This way be done obtaining the same rate of decay as in Lemma 9.7.Now we present a result from [32] that will be needed when stating and proving in Lemma 9.9

the facts metioned above.


Lemma 9.8 Let us introduce

G(x) =∫Y ′

g(ξ)eix·ξω(x; ξ)dξ, x ∈ RN , (9.42)

where g ∈ L2(Y ′) and ω ∈ L∞(Y ′;L2#(Y )). Then we have

‖G‖2 =∫Y ′

|g(ξ)|2‖ω(·; ξ)‖2L2(Y )dξ.

Proof. To check this result we expand ω(x; ξ) as a function of x in the orthonormal basisφm(x; ξ)∞m=1 where ξ ∈ Y ′ is a parameter:

ω(x; ξ) =∞∑

m=1

am(ξ)φm(x; ξ).


G(x) =∫Y ′

g(ξ)∞∑

m=1

am(ξ)eix·ξφm(x; ξ)dξ.

Applying the Parseval’s identity of Proposition 9.1, it follows that

‖G‖2 =∫Y ′

|g(ξ)|2∞∑

m=1

|am(ξ)|2dξ.

This completes the proof of the lemma if we use the Parseval’s identity in L2(Y ):

‖ω(·; ξ)‖2L2(Y ) =

∞∑m=1

|am(ξ)|2 ∀ξ ∈ Y ′ .

Lemma 9.9 We consider Jα(x, t) defined in (9.40), with |α| ≤ k, and

Iα(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξαe−α11(ξ)teix·ξdξ, (x, t) ∈ RN × R+, (9.43)

Then there exits periodic functions dγ = dγ(x) defined in (9.41), such that∥∥Jα(·, t)−∑

|γ|≤k−|α|

dγ(·)Iγ+α(·, t)∥∥ ≤ ck,|α| t

− 2k+2+N4 , as t→∞.

Proof. We setRk(x; ξ) = φ1(x; ξ)−

∑|α|≤k

dα(x)ξα,


where dα(·) is defined in (9.41). Since φ1 is an analytic function with respect to ξ in Bδ and valuesin L2(Y ) we have, for all ξ ∈ Bδ,

‖Rk(·; ξ)‖L2(Y ) ≤ Ck|ξ|k+1, Ck > 0.

Thus, Rk ∈ L∞(Y ′;L2#(Y )). Then, for α ∈ (N ∪ 0)N with |α| ≤ k, we have

Jα(x, t)−∑

|γ|≤k−|α|

dγ(x)Iγ+α(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξαe−α11(ξ)teix·ξRk(x; ξ)dξ,

and since Rk(y; ξ) is Y -periodic in the variable y, it follows from Lemma 9.8 that

∥∥Jα(·, t)−k−|α|∑|γ|=0

dγ(·)Iγ+α(·, t)∥∥2 ≤

∫Bδ

|ξ|2|α|

(2π)2Ne−2α1

1(ξ)t∥∥Rk−|α|(·; ξ)

∥∥2

L2(Y )dξ

≤ Ck−|α|

∫Bδ

|ξ|2k+2e−2α11(ξ)tdξ,

and we conclude as in Lemma 9.7, using the Proposition 9.2 and Lemma 9.6 .

The proofs of Lemmas 9.7 and 9.9, as well as that of Lemma 9.10 that we present below, pro-vide a systematic way of computing the coefficients that appear in the statement of Theorem 9.1.We note that the functions cα(·) are related to the derivatives of the first Bloch eigenfunctionφ1(x; ξ) with respect to ξ in ξ = 0. We shall describe how to compute them explicitly in Section 5.

Now, we are going to study the asymptotic behavior of the integral Iα(x, t) defined in Lem-ma 9.9. We observe that, according to Proposition 9.3,

α11(0) = ∂kα

11(0) = 0, k = 1, . . . , N,

∂2k`α

11(0) =

2qk`

a0, `, k = 1, . . . , N,

where the coefficients qk` are those of the homogenized matrix associated with the family (aεk`),

where aεk`(x) = ak`(x/ε), as ε→ 0. Then, for all ξ ∈ Bδ, we have

e−α11(ξ)t ∼ e

− qk`a0

ξkξ`t, as t→∞.

This fact provides a first idea of the behavior of Iα(x, t), defined in (9.43), as t→∞. Futhermore,in Lemma 9.10 it turns evident that solutions of (9.1) behave as a linear combination of functionsG∗α(x, t) introduced in (9.7), which are the derivatives (−i)|α|∂α

x of the fundamental solution G∗

of the homogenized heat equation.

Lemma 9.10 We consider the function Iα(x, t) defined in (9.43) with |α| ≤ k. Then, there existconstans cβ,n, with 4 ≤ |β| ≤ 4p(α), such that∥∥∥∥∥∥Iα(·, t)− I∗α(·, t)−

p(α)∑n=1

tn

n!

a(α,n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,nI∗α+β(·, t)

∥∥∥∥∥∥ ≤ ck,|α|t− 2k+2+N

4 ,


as t→∞, with p(α) =[

k−|α|2

], a(α, n) = p(α)− n, and where for α ∈ (N ∪ 0)N

I∗α(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξαe− qk`

a0ξkξ`teix·ξdξ, (x, t) ∈ RN × R+. (9.44)

Here and in the sequel [·] denotes the integer part.

Remark 9.2 In view of (9.7) with ρ = 1 and (9.44) the analogy between I∗α and G∗α is clear. I∗αis in fact obtained by integrating the same quantity as in G∗α but this time in Bδ instead of RN .In particular, I∗α(x, t) has the same polynomial decay as G∗α(x, t), because

‖G∗α(·, t)− I∗α(·, t)‖ ≤ ce−c(δ)t, with c(δ) > 0. (9.45)

Indeed, by Parseval’s identity and the coercitivity of coefficients qk` we have

‖G∗α(·, t)− I∗α(·, t)‖2 =1

(2π)2N

∫RN−Bδ

|ξ|2|α|e−2qk`a0

ξkξ`tdξ

≤ 1(2π)2N

∫RN−Bδ

|ξ|2|α|dξe−2 ca0|ξ|2t

dξ ≤ ce−c(δ)t.

Proof of Lemma 9.10. We consider the map ξ ∈ Bδ → ν(ξ) given by

ν(ξ) = α11(ξ)−

12∂2

k`α11(0)ξkξ` = α1

1(ξ)−qk`

a0ξkξ`. (9.46)

Thanks to Proposition 9.3, the map ν = ν(ξ) is analytic in Bδ. Moreover, it follows from (9.27)that for ξ ∈ Bδ

|ν(ξ)| =∣∣∣∣α1

1(ξ)−qk`

a0ξkξ`

∣∣∣∣ ≤ c|ξ|4. (9.47)

The function (e−ν(ξ)t − 1) is also analytic, and by (9.47) we have∣∣∣∣∣e−ν(ξ)t −p∑

n=0

tn

n!(−ν(ξ))n

∣∣∣∣∣ ≤ Cp (ν(ξ)t)p+1 ≤ cp|ξ|4p+4tp+1. (9.48)

Thus, defining for p ≥ 1

να,p(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξα[p∑

n=0

tn

n!(−ν(ξ))n]e−

qk`a0

ξkξ`teix·ξdξ, (x, t) ∈ RN × R+,

and replacing (9.46) in Iα(x, t), we get

Iα(x, t)− να,p(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξαe− qk`

a0ξkξ`t[e−ν(ξ)t −

p∑n=0

tn

n!(−ν(ξ))n]eix·ξdξ.


Then, from Parseval’s identity and (9.48) it follows that

‖Iα(·, t)− να,p(·, t)‖ =∫Bδ

|ξ|2|α|

(2π)2N

∣∣∣∣∣e−ν(ξ)t −p∑

n=0

tn

n!(−ν(ξ))n

∣∣∣∣∣2

e−2

qk`a0

ξkξ`tdξ

≤ c t2p+2

∫Bδ

|ξ|2|α|+8p+8e−2

qk`a0

ξkξ`tdξ

∼ c t2p+2t−2|α|+8p+8+N

2 = c t−2|α|+4p+4+N

2 as t→∞. (9.49)

Now we choose p such that the above decay rate is of the order of (2k+ 2 +N)/2, i.e., p satisfies(2|α|+ 4p+ 4 +N ≥ 2k +N + 2), or, equivalently,

2p ≥ k − |α| − 1. (9.50)

Thus, we have

‖Iα(·, t)− να,p(·, t)‖ ≤ c t−2k+n+2

4 , as t→∞. (9.51)

To conclude the proof we are going to study the asymptotic behavior of the integral να,p(x, t)defined above. But before doing it, we note that if we consider the Taylor expansion of ν(ξ)around ξ = 0, we obtain

να,p(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξα1 +

p∑n=1

tn

n!

∞∑|β|=0

1β!∂β

ξ ν(0)ξβ

n e− qk`

a0ξkξ`teix·ξdξ.

Indeed, since ∂βν(0) = 0 for |β| < 4 and |β| odd (see (9.46) and Proposition 9.3) we have

ν(ξ) =∞∑

m=0

∑|β|=4+2m

1β!ξβ∂β

ξ α11(0),

and, consequently

(−ν(ξ))n = (−1)n

∞∑m=0

∑|β|=4+2m

1β!ξβ∂β

ξ α11(0)

n

=∞∑

m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n ξβ , (9.52)

for suitable constants cβ,n that will be computed in Section 5. This fact suggests the followingapproximation

να,p(x, t) ∼1

(2π)N

∫Bδ

ξα1 +

p∑n=1

tn

n!

a(n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n ξβe− qk`

a0ξkξ`teix·ξdξ,

where a(n) is an index to be chosen for any n = 1, . . . , p. Thus, let us define

ωα,p(x, t) =1

(2π)N

∫Bδ

ξα1 +

p∑n=1

tn

n!

a(n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n ξβe− qk`

a0ξkξ`teix·ξdξ

= I∗α(x, t) +p∑

n=1

tn

n!

a(n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n I∗β+α(x, t),


with a(n) to be chosen later, and consider the difference

να,p(x, t)− ωα,p(x, t) =

=1

(2π)N

p∑n=1

tn

n!

∫Bδ

ξα[(−ν(ξ))n −

a(n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

ξβcβ,n

]e− qk`

a0ξkξ`teix·ξdξ.

Now, computing in (9.52) the Taylor expansion of order (4n+ 2a(n)) of (−ν(ξ))n, we obtain theexistence of a positive constant Ca(n) > 0 satisfying, for all ξ ∈ Bδ,∣∣∣∣∣∣(−ν(ξ))n −

a(n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

ξβcβ,n

∣∣∣∣∣∣ ≤ Ca(n) |ξ|4n+2a(n)+2.

Hence,

‖να,p(·, t)− ωα,p(·, t)‖2 ≤

≤p∑

n=1

t2n

(n!)2

∫Bδ

|ξ|2|α|

(2π)2N|(−ν(ξ))n −

a(n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

ξβcβ,n|2e−2

qk`a0

ξkξ`tdξ

≤ 1(2π)2N

p∑n=1

t2n

(n!)2C2

ν

∫Bδ

|ξ|2|α||ξ|2(4n+2a(n)+2)e−2

qk`a0

ξkξ`tdξ

≤ c

p∑n=1

t−N+4n+4+4a(n)+2|α|

2 , as t→∞.

Finally, in order to obtain the same decay rate as in Lemma 9.9 we take into account (9.49), andchoose a(n) satisfying (N + 4n+ 4 + 4a(n) + 2|α| ≥ 2|α|+ 4p+ 4 +N), i.e.,

a(n) ≥ p− n.

Recalling that p satisfies (9.50), we choose

p(α) =[k − |α|

2

]and a(α, n) =

[k − |α|

2

]− n.

This gives us that∥∥∥∥∥∥να,p(·, t)− I∗α(·, t)−p(α)∑n=1

tn

n!

a(n,α)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n I∗β+α(·, t)

∥∥∥∥∥∥ ≤ c t−2k+n+2

4 ,

as t→∞, and, since (9.51) is satisfied, we conclude the proof of Lemma 9.10 .

In the sequel, we are going to prove the main result of this section, i.e., we obtain the completeasymptotic expansion of the solution of (9.11) when ρ ≡ 1.


Proof of Theorem 9.1 with ρ ≡ 1.Firstly, for (x, t) ∈ RN × R+, we denote by

H(x, t) =∑|α|≤k

cα(x)[G∗α(x, t) +p(α)∑n=1

tn

n!

a(α,n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,nG∗α+β(x, t)],

the asymptotic expansion presented in Theorem 9.1, where G∗α(x, t) was defined in (9.7).From Lemma 9.2 and Lemma 9.3 it follows that

‖u(·, t)−H(·, t)‖ ≤ ‖u(·, t)− I(·, t)‖+ ‖I(·, t)−H(·, t)‖≤ c e−at + ‖I(·, t)−H(·, t)‖,

where I(x, t) is defined in (9.36). Then, to conclude the proof it is enough to prove that

‖I(·, t)−H(·, t)‖ ≤ ckt− 2k+2+N

4 , as t→∞.

In fact, from Lemma 9.7 we have

‖I(·, t)−H(·, t)‖ ≤ ‖I(·, t)− J(·, t)‖+ ‖J(·, t)−H(·, t)‖

≤ ckt− 2k+2+N

4 + ‖J(·, t)−H(·, t)‖ , as t→∞, (9.53)

and recalling thatJ(x, t) =

∑|α|≤k

(2π)NdαJα(x, t),

where both, J(x, t) and Jα(x, t), were defined in (9.37) and (9.40), respectly, we obtain fromLemma 9.9,

‖J(·, t)−H(·, t)‖ = ‖∑|α|≤k

(2π)NdαJα(·, t)−∑

|γ|≤k−|α|

dγ(·)Iγ+α(·, t)‖

≤ c′kt− 2k+2+N

4 , as t→∞. (9.54)

Thus, if we define the periodic functions as

cα(x) = (2π)N∑γ≤α

dγ(x)dα−γ , (9.55)

thanks to (9.53) and (9.54), it follows that

‖I(·, t)−H(·, t)‖ ≤ c′t−2k+2+N

4 +

∥∥∥∥∥∥∑|α|≤k

cα(·)Iα(·, t)−H(·, t)

∥∥∥∥∥∥ , as t→∞.

Now, we are going to prove that the following holds:∥∥∥∥∥∥∑|α|≤k

cα(·)Iα(·, t)−H(·, t)

∥∥∥∥∥∥ ≤ ckt− 2k+2+N

4 , as t→∞.

9.4. PROOF OF THE GENERAL CASE 235

Using Lemma 9.10, we obtain, as t→∞,

∥∥ ∑|α|≤k

cα(·)[Iα(·, t)− I∗α(·, t)−

p(α)∑n=1

tn

n!

a(α,n)∑m=0

∑|β|=4n+2m


]∥∥ ≤ Ckt− 2k+2+N

4 ,

where Ck depends on the L∞-norm of the functions cα(·) and the function I∗α(x, t) defined in(9.44). Finally, Remark 9.8 gives us that

∥∥ ∑|α|≤k

cα(·)(I∗α(·, t) +

p(α)∑n=1

tn

n!

a(α,n)∑m=0

∑|β|=4n+2m


)−H(·, t)

∥∥ ≤ ce−c(δ)t,

as t→∞, and, returning to (9.53) we obtain∥∥ ∑|α|≤k

cα(·)Iα(·, t)−H(·, t)∥∥ ≤ Ckt

− 2k+2+N4 + ce−c(δ)t, as t→∞,

what concludes the proof .

9.4. Proof of the general case

Theorem 9.1 is proved following the same steps of Section 2 and 3 for the case ρ ≡ 1. However,the Bloch wave decomposition used for the equation (9.11) in Section 2 can not be applied for theproblem (9.1), due to variable density ρ. Consequently, we need to introduce a different spectralproblem.

Given ξ ∈ Y ′ we consider the spectral problem of finding numbers λ = λ(ξ) ∈ R and functionsψ = ψ(x; ξ) (no identically zero) such that

Aψ(·; ξ) = λ(ξ)ψ(·; ξ)ρ(·) in RN ,ψ(·; ξ) is (ξ, Y )-periodic, i.e.,

ψ(y + 2πm; ξ) = e2πim·ξψ(y) ∀m ∈ ZN , y ∈ RN ,(9.56)

where A is the elliptic operator in divergence form defined in (9.13) and ρ satisfies (9.3). If weconsider ψ(x; ξ) = eix·ξφ(x; ξ), the variational formulation obtained for (9.56) for any ϕ ∈ H1

#(Y )is given by

〈A(ξ)φ, ϕ〉 =∫Y

ak`(x)(∂φ

∂xk+ iξkφ

)(∂φ

∂x`+ iξ`φ

)dx = λ(ξ)

∫Y

φϕρ(x)dx.

Since the operator associated with (9.56) is uniformly elliptic and self-adjoint, defined in a bound-ed domain, it is known (see [34] and [36]) that the above spectral problem admits a discretesequence of eigenvalues with the following properties:

0 ≤ λ1(ξ) ≤ · · · ≤ λm(ξ) ≤ · · · → ∞,λm(ξ) is a Lipschitz function of ξ ∈ Y ′,∀m ≥ 1.

(9.57)


Besides, the corresponding eigenfunctions denoted by ψm(·; ξ) = eiξ·xφm(·; ξ), where the functionsφm(x; ξ) form orthonormal basis in the space of periodic functions L2

loc(RN ; ρ), i.e,∫Y

φmφnρ(x)dx = δmn (Kronecker’s delta).

The eigenfunctions ψm(·, ξ) and φm(·, ξ) are (ξ, Y )-periodic and Y -periodic, respectively. More-over, as a consequence of the min-max principle (see [36]) we have

λ2(ξ) ≥λ

(N)2

ρ1> 0, ∀ξ ∈ Y ′, (9.58)

where λ(N)2 is the second eigenvalue of A in the cell Y with Neumann boundary condition on ∂Y

for ρ ≡ 1 and ρ1 is defined in (9.3).Now, with the orthonormal basis of Bloch waves eix·ξφm(x; ξ) : m ≥ 1, ξ ∈ Y ′, we have a

similar Bloch wave decomposition as in Proposition 9.1:

Proposition 9.4 Let g ∈ L2(RN ). The mth Bloch coefficient of g is defined as follows:

Bmg(ξ) =∫

RN

g(x)e−ix·ξφm(x; ξ)ρ(x)dx ∀m ≥ 1, ξ ∈ Y ′.


g(x) =∫Y ′

∞∑m=1

Bmg(ξ)eix·ξφm(x; ξ)dξ.

Further, we have Parseval’s identity:

‖g‖2L2(ρ) =

∫RN

|g(x)|2ρ(x)dx =∫Y ′

∞∑m=1

|Bmg(ξ)|2dξ.


Ag(x) = ρ(x)∫Y ′

∞∑m=1

λm(ξ)Bmg(ξ)eix·ξφm(x; ξ)dξ.

Using Proposition 9.4, the equation (9.1) can be written as follows:∫Y ′

∞∑m=1

(∂2

tBmu(ξ, t) + λm(ξ)Bmu(ξ, t) + a0∂tBmu(ξ, t))eix·ξφm(x; ξ)ρ(x)dξ = 0.

Since eix·ξφm(x; ξ) : m ≥ 1, ξ ∈ Y ′ form an orthonormal basis, this is equivalent to the familyof the differential equations

∂2tBmu(ξ, t) + λm(ξ)Bmu(ξ, t) + a0∂tBmu(ξ, t) = 0, ∀m ≥ 1, ξ ∈ Y ′.

9.4. ANALYSIS OF THE PERIODIC FUNCTIONS AND ... 237

Once these differential equations are solved, (9.1) is solved as in (9.16) and Lemma 9.1 holds.The developments of Section 3 apply with minor changes and Theorem 9.1 holds.

In order to understand the type of changes that the variable density ρ(·) causes in the fun-damental solution, we are going to study the Taylor expansion of the first Bloch eigenvalue andeigenvector. For a more complete analysis the reader is referred to [32]. We observe that

λ1(0) = 0 and φ(x; 0) = (2π)−N2 ρ−

12 ,

where ρ is defined in (9.8). We consider the equation

A(ξ)φ1(·; ξ) = λ1(ξ)ρ(·)φ1(·; ξ), (9.59)

where

A(ξ) = −(

∂

∂xk+ iξk

)[ak`(x)

(∂

∂x`+ iξ`

)].

If we differentiate the equation (9.59) with respect to ξk with k = 1, . . . , N and if we take scalarproduct with φ1(x; ξ) in ξ = 0, we get

∂kλ1(0) = 0.

Futhermore, we observe that

A∂kφ1(·; 0) = i(2π)−N2 ρ−

12∂ak`

∂x`,

then∂kφ1(x; 0) = i(2π)−

N2 ρ−

12χk(x),

where χk is the classical test function in homogenization theory, solution of the cell problemAχk =

∂ak`

∂y`in Y,

χk ∈ H1#(Y ), 1

|Y |∫Y

χkdy = 0.(9.60)

This is the same test function as in the case ρ ≡ 1. If we differentiate again the eigenvalueequation, we have that

∂2k`λ1(0) =

1ρ

1(2π)N

∫Y

(2ak` + akm∂χ`

∂xm+ am`

∂χk

∂xm)dx =

2qk`

ρ,

with qk` the homogenized coefficients as in previous section (see in [36]).Since α1

1(ξ) is defined in (9.17) and thanks to the analysis above for the eigenvalue λ1, weobtain

α11(0) = ∂kα

11(0) = 0 k = 1, · · · , N,

∂2k`α

11(0) =

2qk`

ρa0k, ` = 1, · · · , N.

Then, for all ξ ∈ Bδ we havee−α1

1(ξ)t ∼ e− qk`

ρa0ξkξ`t.


9.5. Analysis of the periodic functions and constants entering inthe asymptotic expansion

To finish this work we describe the periodic functions cα(·) and constants cβ,n, where α, β ∈(N ∪ 0)N and n ≥ 1, that appear in the statement of Theorem 9.1.Computation of cα(·). According to (9.38), (9.41) and (9.55),

cα(x) =∑β≤α

(2π)N

(α− β)!β!∂α−βφ1(x; 0)∂ββ1

1(0), (9.61)

where, recalling the definition of β11(ξ) given in (9.19), we have

∂ββ11(0) = ∂βB1ϕ

0(0) +∑

0 6=γ≤β

a0

2∂β−γB1ϕ

0(0)∂γ((a2

0 − 4λ1(ξ))−12

)(0)

+∑γ≤β

∂β−γB1ϕ1(0)∂γ

((a2

0 − 4λ1(ξ))−12

)(0)

and for j = 0, 1 ( the first Bloch coefficients of the initial data)

∂γB1ϕj(0) =

∫RN

ϕj(x)∑α≤γ

[(−i)|γ−α|xγ−α∂αφ1(x; 0)]dx.

We observe that the higher order derivatives of λ1 and φ1 in ξ = 0 may be computed as in theprevious section.

First, note that

c0(x) = (2π)Nφ1(x; 0)β11(0) = (2π)Nφ1(x, 0)

(B1ϕ

0(0) +B1ϕ

1(0)a0

),

and since φ1(x, 0) = (2π)−N2 ρ−

12 , it follows that c0 is constant. Futhermore, according to Propo-

sition 9.4, we have for i = 0, 1

B1ϕi(0) = (2π)−

N2 ρ−

12

∫RN

ϕi(x)ρ(x)dx = (2π)−N2 ρ−

12 mρ(ϕi).

Thus,

c0 := c0(x) =1ρmρ(ϕ0 +

1a0ϕ1),

and, since (9.4) is satisfied, c0 is defined as in (9.10).For |α| = 1, we consider α = ek, any of the canonical vectors. The corresponding periodic

function is

ck(x) =−iρ

(χk(x)mρ(ϕ0 +

ϕ1

a0) +mρ((χk + xk)(ϕ0 +

ϕ1

a0)),

with χk the periodic test function, solution of (9.60). Observe that two different terms appearin ck. First the total mass of the solution multiplied by the periodic function χk(·). Second, a

9.5. ANALYSIS OF THE PERIODIC FUNCTIONS AND ... 239

constant term in which the periodic function χk(·) enters as well, but this time as a weight whencomputing the corresponding moment of the initial data. In both cases we see how the periodicityof the medium affects the value of ck that varies substantially with respect to the case of constantcoefficients. This fact was already pointed out in [84] when studying the heat equation withperiodic coeffcients.

The remaining values of the functions cα(·) with multiindexes α with |α| ≥ 2 may be computedby taking successive derivatives in (9.59).Computation of cβ,n. We recall that the constants cβ,n were defined in (9.52) and satisfy

∞∑m=1

∑|β|=4n+2m

ξβcβ,n = (−1)n

∞∑m=0

∑|β|=4+2m

1β!ξβ∂βα1

1(0)

n

,

where α11(ξ) is given in (9.17). Moreover, we have for |β| even and |β| ≥ 4 that

∂βα11(0) =

|β|∑m=1

|β′|=m∑β′,β1,...,βN∈NN

β′+β1+···+βN=β

2m−1f(m)a2m−1

0

∂β1

[(∂1λ1)

β′1](0) · · · ∂βm

[(∂Nλ1)β′N

](0),

where, for m ∈ N,

f(m) =

1 m = 1,

(2m−3)!2m−2(m−2)!

m ≥ 2.

Observe that the constants ∂βα11(0) depend on the derivatives of λ1 at ξ = 0, computed in

Section 4. Thus, we may write the constants cβ,n as

cβ,n =∑

s1,...,sn∈N

s1+···+sn=|β|−4n

2

|βi|=4+si∑β1,...,βn∈NN

β1+···+βn=β

(−1)n 1β1!

. . .1βn!

∂β1α11(0) · · · ∂βnα1

1(0).

Conclusiones

En esta memoria hemos presentado resultados sobre tres temas.

1. Homogeneizacion y expansiones asintoticas en medios periodicos (Parte I).

2. Homogeneizacion numerica (Parte II).

3. Comportamiento asintotico de un sistema hiperbolico en un medio periodico (Parte III).

A continuacion resumimos los resultados principales, ası como algunos problemas abiertos quese presentan de forma natural.

Homogeneizacion y desarrollos asintoticas

Los resultados mas importantes sobre este tema que obtenemos corresponden al estudio de loscorrectores. La tecnica fundamental para demostrarlos es la descomposicion por ondas de Bloch.A continuacion presentamos de forma breve cuales son estos resultados (la presentacion completade ellos puede verse en la Seccion 2.5 del Capıtulo 2):

1. Recuperamos el primer corrector para el problema de Dirichlet en un dominio acotado(Teorema 2.8).

2. Probamos la convergencia con orden ε en la norma de la energıa cuando estudiamos elproblema en todo RN (Teorema 2.4).

3. Calculamos desarrollos asintoticos de la aproximacion de Bloch (Teorema 2.5).

4. Encontramos desarrollos asintoticos de la solucion uε en todo el espacio RN (vease la Sec-cion 2.5.2 del Capıtulo 2 y, en particular, el Teorema 2.6 y las estimaciones (2.136)–(2.138)).2

El camino que seguimos para demostrar estos resultados es, en primer lugar, reducir el estudiodel comportamiento de la solucion uε a una formula integral que denominamos aproximacion deBloch (ver Seccion 2.2.1 del Capıtulo 2). Esta funcion es la proyeccion en el primer subespacio de

2Este desarrollo asintotico se puede obtener tambien en el caso de condiciones de contorno periodicas (verCapıtulo 7, Seccion 7.3).

241

242 CONCLUSIONES

Bloch de una aproximacion del primer coeficiente de Bloch de la solucion uε. El hecho fundamentales que reducimos el problema a una funcion integral donde el nucleo es analıtico en la variabledual η.

Los principales y mas novedosos resultados son los relacionados con el problema en todo elespacio. Esto es debido a que es difıcil adaptar la aproximacion de Bloch a los problemas decontorno (excepto para condiciones de contorno periodicas). El estudio de capas lımite medianteondas de Bloch es un problema abierto. Los dos resultados de esta parte de la memoria que anuestro juicio son mas importantes son: la estimacion en orden ε en la norma de la energıa y eldesarrollo asintotico de la solucion uε.

El primer resultado se obtiene bajo condiciones optimas. En particular si prueba que:

Si uε satisface Aεuε = f, entonces ‖∇(uε − u∗ − εχkε

∂u∗

∂xk)‖

2≤ cε‖f‖2.

Si uε satisface Aεuε + uε = f, entonces ‖uε − u∗ − εχkε

∂u∗

∂xk‖1,2≤ cε‖f‖2.

Resulta sorprendente que nuestra tecnica no permite encontrar terminos correctores de mayororden en estas normas. En particular estos terminos de mayor orden se obtienen si reducimos laregularidad del espacio que buscamos estos correctores (ver las estimaciones (2.137)–(2.138)). Unpunto que tambien es relevante es que mantenemos las mismas hipotesis optimas: f ∈ L2(RN ) ylos coeficientes ak` ∈ L∞(Y ).

Notamos que existe un techo en la aplicacion de esta tecnica debido a la falta de regularidadde la familia de soluciones uε. En particular, por muy regulares que sean f y los coeficientes aij ,la familia uε no esta uniformemente acotada en H2. Esto ocurre solamente en el caso de que ladivergencia de los coeficientes sea nula (ver [37]), y para estar acotada en H3 es necesario que loscoeficientes sean constantes (ver [47]).

Conviene tambien observar que en los desarrollos asintoticos realizados obtenemos los clasicosterminos de la expansion por multiples escalas (ver Seccion 2.2.1 del Capıtulo 2), pero ademasaparecen otros que de ninguna manera forman parte de dicha expansion clasica. Estos terminosson solucion en el medio homogeneizado pero con una funcion fuente oscilante. Un ejemplo deestos nuevos terminos es la solucion de (5.32).

Homogeneizacion numerica

En los Capıtulos 6 y 7 se estudia el lımite de la aproximacion numerica de una ecuacionelıptica de coeficientes periodicos fuertemente oscilantes. En particular, se estudia el caso de quese produce un fenomeno de resonancia, es decir, cuando el mallado numerico solo permite teneren cuenta un numero finito y fijo de valores de los coeficientes. Esto sucede cuando la relacionentre el tamano de la malla h y el periodo del problema fuertemente oscilante es un numero rracional. Ya hemos comentado en la Introduccion que este es el caso de mas interes en el estudionumerico puesto que es el mas facilmente realizable.

Es claro que si se produce resonancia, la aproximacion numerica no converge a la solucionhomogeneizada. Sin embargo, como vemos en las estimaciones de la Seccion 6.4 del Capıtulo 6,

CONCLUSIONES 243

podemos conocer explıcitamente una estimacion del error que cometemos. En realidad la aproxi-macion numerica converge a la solucion de un problema de coeficientes constantes donde dichoscoeficientes no son mas que una aproximacion de los homogeneizados.

Los resultados que obtenemos distinguen el caso unidimensional o multidimensional. En elprimer caso consideramos el problema con condiciones de contorno Dirichlet o periodicas y cal-culamos las estimaciones de error para cualquier r racional. En el segundo caso nos limitamosa trabajar con condiciones de contorno periodicas. Utilizando la descomposicion con ondas deBloch estimamos la diferencia en el espacio de Fourier discreto entre la aproximacion numerica yla solucion del problema homogeneizado. Para identificar el lımite de la aproximacion necesitamosbuscarlo en el espacio de Fourier discreto ya que el lımite natural del primer modo de Bloch esel espacio de Fourier y, por ello, en varias dimensiones trabajamos con condiciones de contornoperiodicas. Sin embargo, este analisis se puede extender a otras condiciones de contorno siemprey cuando se pueda trabajar con los coeficientes de Fourier.

Por otra parte, en el caso multidimensional (ver Teorema 6.4) las estimaciones no son validaspara todo numero irracional y necesitamos de condiciones suplementarias. La primera (6.24) exigeque las componentes del numero racional r, modulo los numeros naturales, sean pequenas. Estacondicion es equivalente a la dada en [10], donde la razon r tenıa que converger a lo largo de unasucesion de numeros irracionales a un numero entero. La segunda condicion aparece a la hora deestudiar como los coeficientes del esquema numerico tienden a los coeficientes homogeneizadossegun el denominador se va considerando cada vez mas grande (ver Seccion 2 en el Apendice C).Esta condicion nos exige que debemos tomar un mallado con un mismo orden en todas lasdirecciones espaciales. Dado que la escala de homogeneizacion ε es escalar no se gana nada condiscretizar en distintas escalas segun sea la direccion.

Por ultimo, las estimaciones de los Teoremas 6.3 y 6.4, nos permiten recuperar los resultadosde [10]. Basta con aplicar los resultados clasicos de la Teorıa Diofantica. Como consecuencia deeste analisis, para h/ε = r irracional, se obtienen estimaciones sobre la convergencia de uε

h a u∗

utilizando los resultados del Teoremas 6.3 y 6.4.En conclusion, hemos calculado el error que se produce por la resonancia entre el mallado y la

micro-escala del problema. Este error esta directamente relacionado a la escala de la resonancia yes menor cuanto mas irracional es la resonancia. Ası, aunque se produce resonancia disponemosde una buena aproximacion a un menor coste computacional.

Homogeneizacion en problemas de evolucion

El principal resultado del Capıtulo 9 nos da el comportamiento asintotico las soluciones u =u(x, t) de las ecuaciones hiperbolicas disipativas con coeficientes periodicos (8.9). En particular,suponiendo que ϕ0 ∈ L1(RN )∩L2(RN ) y ϕ1 ∈ L1(RN )∩H−1(RN ) y verificando que |x|k+1ϕ0(x),|x|k+1ϕ1(x) ∈ L1(RN ) para k ≥ 0, existen funciones periodicas cα ∈ L∞# (Y ), con α ∈ NN ,|α| = α1 + · · ·+ αN ≤ k, y constantes cβ,n, con n ≤ k

2 y 4 ≤ |β| ≤ 2k, dependiendo de los datosiniciales y los coeficientes, tal que la solucion u satisface

∥∥u(·, t)− ∑|α|≤k

cα(·)[G∗α(·, t) +p(α)∑n=1

tn

n!

a(α,n)∑m=0

∑|β|=4n+2m

cβ,n, G∗α+β(·, t)]

∥∥2≤ ckt

− 2k+2+N4

244 CONCLUSIONES

cuando t→∞. Aquı p(α) =[

k−|α|2

], a(α, n) = p(α)− n,

G∗α(x, t) =1

(2π)N

∫RN

ξαe− qk`

a0ρξkξ`teix·ξdξ,

y ρ es la densidad promedio:

ρ =1

(2π)N

∫Y

ρ(x)dx.

Notese que G∗α = (−i)|α|(∂αG∗/∂xα) donde G∗ = G∗(x, t) es la solucion fundamental delsiguiente sistema parabolico homogeneizado.

ρa0G∗t − qk`

∂2G∗

∂x`xk= 0 en RN × (0,∞)

G∗(x, 0) = δ0(x).

El resultado de convergencia indica que la solucion u se puede aproximar en cualquier ordenpor una combinacion lineal de derivadas de la solucion fundamental de la ecuacion del calor,modulada por funciones periodicas cα(·). El rol de estas es adaptar el comportamiento asintoticode la gaussiana a la periodicidad del medio donde la solucion u vive.

Apendice A

Comportamiento de integralesoscilatorias

En este apendice vamos a estudiar el comportamiento de integrales tipo Bloch fuertementeoscilantes, es decir, de transformadas integrales de Fourier con un peso periodico de escala ε. Lastransformadas y aproximaciones de Bloch, tal y como se definen en (2.49) y (2.128) y (2.129),respectivamente, son integrales oscilatorias de segunda clase, segun se definen en [97], pag. 375.En particular, la aproximacion de Bloch se trata de un operador integral de Fourier (vease [97],pag. 394).

Ahora, vamos a dar algunos resultados del comportamiento de estas integrales oscilatoriasde segunda clase. Para ello vamos a utilizar la siguiente notacion. Consideraremos una funcionρ(y, η) con (y, η) ∈ RN × Y ′, medible con respecto a los dos parametros e Y -periodica en lavariable y. Dada una funcion g definida en todo RN , la integral que vamos a estudiar es,

Jεg(ξ) =∫

RN

g(x)e−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx para ξ ∈ ε−1Y ′. (A.1)

Por otra parte, tambien presentamos algunas resultados sobre la antitransformada asociada a(A.1). Es decir, dada una funcion medible gε = gε(ξ) definida en ε−1Y ′, se estudiara la integral,

J−1ε gε(x) =

∫ε−1Y ′

gε(ξ)eix·ξρ(x

ε, εξ)dξ, x ∈ RN . (A.2)

A.1. Estimaciones

En esta seccion presentamos estimaciones en la norma L2 de las integrales (A.1) y (A.2).En primer lugar vamos a estimar integrales de la forma de (A.1), es decir, analogas a la

transformada de Bloch. Recordemos que ρ es una funcion Y -periodica en y y esta definida paraη ∈ Y ′. Es claro que se necesita algun tipo de regularidad para ρ, pero esta dependera de laestimacion que busquemos de Jεg. Esto se muestra en el siguiente resultado:

245

246 APENDICE A. COMPORTAMIENTO DE INTEGRALES OSCILATORIAS

Lema A.1

(i) Si g ∈ L2(RN ) y ρ ∈ L∞# (Y ′, L2#(Y )), entonces

‖Jεg‖L2(ε−1Y ′) ≤ ‖g‖L2(RN )‖ρ‖L∞# (Y ′,L2#(Y )). (A.3)

(ii) Si g ∈ H1(RN ) y ρ ∈ L∞# (Y ′,H1#(Y )), entonces

‖(1 + |ξ|2)1/2Jεg(ξ)‖L2(ε−1Y ′) ≤ c‖g‖H1(RN )‖ρ‖L∞# (Y ′,L2(Y ))+

+ε−1‖g‖L2(RN )‖∇yρ‖L∞# (Y ′,L2(Y ))

. (A.4)

Demostracion. La idea es considerar el espacio producto L2#(Y ×Y ′) y desarrollar ρ(y, η) en dos

pasos. Primero usamos que φm(·, η)∞m=1 es una base ortonormal en L2#(Y ) (vease Seccion 2.3.1

en Capıtulo 2). Ası, tenemos que

ρ(y, η) =∞∑

m=1

am(η)φm(y, η) ∀y ∈ Y, η ∈ Y ′.

Ahora, para cada m, como am(η) es Y ′-periodica, utilizando las series de Fourier habituales,tenemos:

am(η) =∑

n∈ZN

amne2πin·η ∀η ∈ Y ′.

Gracias a la identidad de Parseval de las series de Fourier y de Bloch se consigue:

‖ρ(·, η)‖2L2(Y ) =

∑m

|am(η)|2 ∀η ∈ Y ′,∫Y ′

|am(η)|2dη =∑

n∈ZN

|amn|2 ∀m ∈ N.

Esto nos permite escribir Jεg como sigue:

Jεg(ξ) =∞∑

m=1

∑n∈ZN

amne2πiεn·ξ

∫RN

g(x)e−ix·ξφm(x

ε, εξ)dx.

Con lo cual, gracias a la definicion de los coeficientes de Bloch Bεmg que tenemos en el Teorema 2.3,

se tiene

Jεg(ξ) =∞∑

m=1

∑n∈ZN

amne2πiεn·ξBε

mg(ξ) =∞∑

m=1

am(εξ)Bεmg(ξ).

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenemos

|Jεg(ξ)|2 ≤

( ∞∑m=1

|am(εξ)|2)( ∞∑

m=1

|Bεmg(ξ)|2

)

= ‖ρ(·, εξ)‖2L2(Y )

( ∞∑m=1

|Bεmg(ξ)|2

),

A.1. ESTIMACIONES 247

y, por lo tanto

|Jεg(ξ)|2 ≤ ‖ρ‖2L∞(Y ′,L2

#(Y ))

( ∞∑m=1

|Bεmg(ξ)|2

).

La demostracion de (i) se completa si integramos la desigualdad anterior con respecto a ξ enε−1Y ′ y aplicamos de nuevo el Teorema 2.3. Para demostrar (ii) multiplicamos (A.1) por (−iξk),y obtenemos

(−iξk)Jεg(ξ) =∫

RN

g(x)(−iξk)e−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx

con lo cual, integrando por partes, podemos escribir

(−iξk)Jεg(ξ) = −∫

RN

∂g

∂xk(x)e−ix·ξρ(

x

ε, εξ)dx− ε−1

∫RN

g(x)e−ix·ξ ∂ρ

∂yk(x

ε, εξ)dx.

Ahora, utilizando los mismos pasos que los empleados en (i), llegamos a la siguiente cota superior:

|ξk|2|Jεg(ξ)|2 ≤ ‖ρ‖2L∞(Y ′,L2

#(Y ))

( ∞∑m=1

|Bvarepsilonm(∂xkg)(ξ)|2

)+

+∥∥∥ ∂ρ∂xk

∥∥∥2

L∞(Y ′,L2#(Y ))

( ∞∑m=1

|gεm(ξ)|2

),

para cada k = 1, ..., N . Y finalmente, integrando con respecto a ξ en ε−1Y ′, y aplicando de nuevoel Teorema 2.3, obtenemos (ii).

Ahora, en los proximos lemas nos disponemos a probar formulas para las normas L2(RN ),H1(RN ) y H2(RN ) de una antitransformada tipo Bloch como definimos en (A.2).

Lema A.2 Supongamos que gε ∈ L2(ε−1Y ′) y ρ ∈ L∞(Y ′,H1#(Y )). Entonces

‖J−1ε gε‖2

L2(RN ) =∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖ρ(·, εξ)‖2L2(Y )dξ, (A.5)

‖∇J−1ε gε‖2

L2(RN ) =∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖iξρ(·, εξ) + ε−1∇yρ(·, εξ)‖2L2(Y )Ndξ. (A.6)

Demostracion. En primer lugar, vamos a escribir ρ(y, η) con respecto a la base ortonormalφm(·, η)∞m=1 de L2

#(Y ), donde η es un parametro, es decir,

ρ(y, η) =∞∑

m=1

am(η)φm(y, η). (A.7)


Utilizando esta expresion en (A.2) obtenemos

J−1ε gε(x) =

∫ε−1Y ′

gε(ξ)∞∑

m=1

am(εξ)eix·ξφεm(x, ξ)dξ.

Aplicando la identidad de Parseval del Teorema 2.3, se tiene

‖J−1ε gε‖2

L2(RN ) =∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2∞∑

m=1

|am(εξ)|2dξ. (A.8)

Y, usando la identidad de Parseval para funciones L2#(Y ), de (A.7) deducimos que

‖ρ(·, η)‖2L2(Y ) =

∞∑m=1

|am(η)|2 ∀η ∈ Y ′. (A.9)

Por lo tanto, volviendo a (A.8), demostramos (A.5). Para la segunda igualdad del lema, derivamosJ−1

ε gε(x) con respecto de x, obteniendo

∇xJ−1ε gε(x) =

∫ε−1Y ′


x

ε, εξ) + ε−1∇yρ(

x

ε, εξ)

)dξ.

Por hipotesis ρ ∈ L∞(Y ′,H1#(Y )), entonces consideramos(

iξρ(x

ε, εξ) + ε−1∇yρ(

x

ε, εξ)

)como una funcion de y en la base ortonormal φm(y, η)∞m=1 . Finalmente, concluımos la de-mostracion de (A.6) aplicando la identidad de Parseval como hicimos en (i).

El lema anterior se generaliza de forma obvia a derivadas de J−1ε gε de mayor orden. Para ello

es preciso suponer mas regularidad de ρ(y, η) con respecto a la variable y. En particular tenemosel siguiente resultado:

Lema A.3 Supongamos que ρ ∈ L∞(Y ′,H2#(Y )), entonces para cada k, ` = 1, ..., N , tenemos∥∥∥∂2J−1

ε gε

∂xk∂x`

∥∥∥2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2∥∥∥− ξkξ`ρ(·, εξ) + ε−2 ∂2ρ

∂yk∂y`(·, εξ) +

+iε−1

(ξ`∂ρ

∂yk(·, εξ) + ξk

∂ρ

∂y`(·, εξ)

)∥∥∥2

L2(Y )dξ. (A.10)

Demostracion. Derivando tenemos que

∂2J−1ε gε

∂xk∂x`(x) =

∫ε−1Y ′

gε(ξ)(ε−2 ∂2ρ

∂yk∂y`(x

ε, εξ)− ξkξ`ρ(

x

ε, εξ)+

+iε−1ξ`∂ρ

∂yk(x

ε, εξ) + iε−1ξk

∂ρ

∂y`(x

ε, εξ)

)dξ.

A.1. ESTIMACIONES 249

Por hipotesis ρ ∈ L∞(Y ′,H2#(Y )). Entonces utilizando la base ortonormal φm(y, η)∞m=1 como

en el Lema A.2, vease (A.7),

ε−2 ∂2ρ

∂yk∂y`(y, η)− ξkξ`ρ(y, η) + iε−1ξ`

∂ρ

∂yk(y, η) + iε−1ξk

∂ρ

∂y`(y, η) =

∞∑m=1

bm(η)φm(y, η).

Aplicando la igualdad de Parseval del Teorema 3.1 concluımos la prueba, ya que

∥∥∥∂2J−1ε gε

∂xk∂x`

∥∥∥2

L2(RN )=

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2∞∑

m=1

|bm(εξ)|2 dξ,

donde

∞∑m=1

|bm(εξ)|2 =∥∥∥− ξkξ`ρ(·, εξ) + ε−2 ∂2ρ

∂yk∂y`(·, εξ) + iε−1ξ`

∂ρ

∂yk(·, εξ) + iε−1ξk

∂ρ

∂y`(·, εξ)

∥∥∥2

L2(Y ).

Por ultimo, vamos a generalizar este tipo de estimaciones para normas mas debiles, como porejemplo H−1(RN ). Para ello vamos a trabajar con los espacios de Bloch H−k

ε (RN ) definidos enel Capıtulo 2 Seccion 2.5.2, cuya norma esta dada por

‖f‖H−kε (RN ) =

∫ε−1Y ′

(1 + λεm(ξ))−k|Bε

mf(ξ)|2dξ

12

.

Las estimaciones que obtenemos son las siguientes.

Lema A.4 Supongamos que gε ∈ L2(ε−1Y ′) y ρ ∈ L∞(Y ′, L2#(Y )). Entonces,

‖J−1ε gε‖2

H−1(RN ) ≤∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2

1 + λε1(ξ)

‖ρ(·, εξ)‖2L2(Y )dξ +

+ cε2∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖ρ(·, εξ)‖2L2(Y )dξ. (A.11)

En general, en la norma de los espacios de Bloch H−kε (RN ) para k ≥ 1, se tiene:

‖J−1ε gε‖2

H−kε (RN )

≤∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2

(1 + λε1(ξ))k

‖ρ(·, εξ)‖2L2(Y )dξ +

+ cε2k

∫ε−1Y ′

|gε(ξ)|2‖ρ(·, εξ)‖2L2(Y )dξ. (A.12)


Demostracion. Por las estimaciones del Lema 2.5, resulta

‖J−1ε gε‖2

H−1(RN ) =∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2∞∑

m=1

|am(εξ)|2

1 + λεm(ξ)

dξ.

Ahora, gracias a que λεm(ξ) ≥ ε−2λ

(N)2 (ver Lema 2.2), se tiene

‖J−1ε gε‖2

H−1(RN ) ≤∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2 |a1(εξ)|2

1 + λε1(ξ)

dξ + cε2∫

ε−1Y ′

|gε(ξ)|2∞∑

m=2

|am(εξ)|2dξ. (A.13)

Entonces, por (A.9) se prueba (A.11). Finalmente, la demostracion de (A.12) sigue los mismospasos que la de (A.11).

A.2. Paso al lımite

En esta seccion vamos a proceder a calcular el lımite de Jεg cuando ε→ 0. En primer lugar,cuando ε→ 0, se tiene que, para ξ fijo,

ρ(x

ε, εξ) →M(ρ(·, 0)) en L∞ debil-∗,

donde M(ρ(·, 0)) es la media de ρ(·, 0), es decir,

M(ρ(·, 0)) =1|Y |

∫Y

ρ(y, 0)dy.

Entonces, dado que Jεg esta definida por (A.1), parece natural pensar que

Jεg −→M(ρ(·, 0))g,

en algun sentido. Sin embargo, esto no es totalmente cierto puesto que se necesita cierta regular-idad para ρ(y, η) en la variable η, por ejemplo, que sea Lipschitz.

Con el objeto de describir el resultado que se obtiene en este contexto hemos de introducirla siguiente notacion. Para cada funcion ρ = ρ(y, η) definida en Y × Y ′ que es Y -periodica en y,definimos las siguientes transformadas:

ρ0(η) =1|Y |

∫Y

ρ(y, η)e−iy·ηdy, (A.14)

ρk(η) =1|Y |

∫Y

ρ(y, η)yke−iy·ηdy ∀k = 1, ..., N. (A.15)

Con esta notacion, tenemos:

A.2. PASO AL LIMITE 251

Proposicion A.1 Supongamos que ρ ∈ L∞# (Y ′;L2#(Y )). Sea ρ0(η) definida en (A.14). Entonces

para g ∈W 1,p(RN ), con soporte compacto K y si p > N , se tiene

χε−1Y ′(ξ)

(Jεg(ξ)− (2π)N/2ρ0(εξ)g(ξ)

)→ 0 en L2(RN

ξ ). (A.16)

Para la demostracion vamos a necesitar una aproximacion en celdas de la transformada deFourier que presentamos a continuacion.

Sea Y ε` `∈ZN el reticulado de RN generado por la celda εY . Para ser mas precisos, Y ε

` =xε

` + εY donde xε` = 2πε` es el origen de la celda Y ε

` . De acuerdo a este reticulado vamos aintroducir la transformada de Fourier aproximada de una funcion como sigue: Dado p > N , parag ∈W 1,p(RN ) con soporte compacto, definimos

F εg(ξ) =∑

`∈ZN

g(xε`)e

−ixε` ·ξ ∀ξ ∈ ε−1Y ′. (A.17)

Lema A.5 Para g ∈W 1,p(RN ) (p > N) con soporte compacto K, tenemos

(i) εNχε−1Y ′(ξ)F

εg(ξ) → (2π)−N/2g(ξ) puntualmente para ξ ∈ RN .

(ii) ‖εNF εg‖L2(ε−1Y ′) ≤ c|K|p−22p

‖g‖Lp(RN ) + ε‖∇g‖Lp(RN )N

donde |K| es la medida de Le-

besgue de K.

(iii) εNχε−1Y ′F

εg → (2π)−N/2g en L2(RN ).

Demostracion. Para probar (i), multiplicamos (A.17) por εN , y resulta

εNF εg(ξ) =1

(2π)N

∑`∈ZN

g(xε`)e

−ixε` ·ξ|Y ε

` |.

Por las inclusiones de Sobolev (ver [20], pag. 166), como g ∈W 1,p(RN ) entonces g ∈ C0(RN ), esdecir, es una funcion continua. Notemos que

∑`∈ZN

g(xε`)e

−ixε` ·ξ|Y ε

` | es la suma de Riemann de la

integral

1(2π)N

∫RN

g(x)e−ix·ξdx = (2π)−N/2g(ξ).

Por tanto, como g ∈ C0(RN ) se tiene la siguiente convergencia puntual cuando ε tiende a 0:∑`∈ZN

g(xε`)e

−ixε` ·ξ(2πε)N → (2π)−N/2g(ξ).

Para probar (ii), vemos que por la definicion de la transformada de Fourier aproximada,(A.17) no es mas que la serie de Fourier en la variable ξ ∈ ε−1Y ′. Por lo tanto, por la identidadde Parseval, tenemos

εN∫

ε−1Y ′

|F εg(ξ)|2dξ =∑

`∈ZN

|g(xε`)|2.


Multiplicamos esta relacion por εN :

ε2N

∫ε−1Y ′

|F εg(ξ)|2dξ =1

(2π)N

∑`∈ZN

|g(xε`)|2|Y ε

` |. (A.18)

Para mayorar el sumatorio de esta igualdad, integramos la desigualdad

|g(xε`)|2 ≤ 2

|g(x)|2 + |g(x)− g(xε

`)|2, x ∈ Y ε

` ,

sobre Y ε` , y obtenemos

|g(xε`)|2|Y ε

` | ≤ 2(∫

Y ε`

|g(x)|2dx+∫Y ε

`

|g(x)− g(xε`)|2dx

).

Cuando p > N , podemos utilizar la desigualdad de Morrey (ver [20], pag. 167) y se deduce

|g(x)− g(xε`)| ≤ cε

1−Np ‖∇g‖Lp(Y ε

` )N . (A.19)

Volviendo a (A.18) tenemos que

ε2N

∫ε−1Y ′

|F εg(ξ)|2dξ ≤ 2(2π)N

∑`∈ZN

(∫Y ε

`

|g(x)|2dx+ cε2−2N

p

∫Y ε

`

‖∇g‖2Lp(Y ε

` )Ndx)

≤ 2(2π)N

∑`∈ZN

(∫Y ε

`

|g(x)|2dx+ cε2−2N

p χK

(xε`)|Y ε

` |‖∇g‖2Lp(Y ε

` )N

)

≤ 2(2π)N

(∫K

|g(x)|2dx+ Cε2+N−2N

p

∑`∈ZN

χK

(xε`)‖∇g‖2

Lp(Y ε` )N

),

donde χK

es la funcion caracterıstica de K. Ahora, aplicamos la desigualdad de Holder (vease

[20], pag. 56), para la integral en K y para el sumatorio. Para el caso particular del sumatorio,se tiene ∑

`∈ZN

χK

(xε`)‖∇g‖2

Lp(Y ε` )N ≤

( ∑`∈ZN

χK

(xε`))1− 2

p( ∑

`∈ZN

‖∇g‖pLp(Y ε

` )N

) 2p

≤ c( |K|εN

)1− 2p ‖∇g‖2

Lp(RN ),

con lo que probamos (ii).Ahora, nos disponemos a probar el apartado (iii). Primero, utilizando (i) y (ii) se deduce la

convergencia debil en L2(RN ). Ahora, desarrollamos∥∥∥∥εNχε−1Y ′Fεg − 1

(2π)N/2g

∥∥∥∥2

2

= ε2N‖F εg‖2

2− 2εN

(2π)N/2< χ

ε−1Y ′Fεg, g > +

1(2π)N

‖g‖2

2.

A.2. PASO AL LIMITE 253

Por la relacion (A.18) se ve que

ε2N‖F εg‖2

2→ 1

(2π)N

∫RN

|g|2dx =1

(2π)N‖g‖2

2.

Gracias a la convergencia debil, se tiene que

2εN

(2π)N/2< χ

ε−1Y ′Fεg, g >→ 2

(2π)N‖g‖2

2,

y con este simple calculo se establece la convergencia fuerte en L2(RN ).

Ahora ya estamos en condiciones de probar la Proposicion A.1.

Demostracion de la Proposicion A.1.La idea que utilizamos en la demostracion es que la variacion de ρ(x

ε , εξ) con respecto ax es mas rapida que la de g. Vamos a emplear la Proposicion A.5. Para ello consideramos elε-reticulado Y ε

` `∈ZN generado por la celda εY . Escribimos

Jεg(ξ) =∑

`∈ZN

∫Y ε

`

g(x)e−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx =

∑`∈ZN

g(xε`)∫Y ε

`

e−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx+ rε

1(ξ), (A.20)

donde xε` es el origen de la celda Y ε

` y rε1 es el error de aproximacion

rε1(ξ) =

∑`∈ZN

∫Y ε

`

(g(x)− g(xε`))e

−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx.

En primer lugar, analizamos la integral que aparece en la derecha de la igualdad (A.20) teniendoen cuenta que x = xε

` + εy. Entonces, haciendo el cambio de variable y = xε y utilizando la

Y -periodicidad de ρ(·, εξ), se tiene∫Y ε

`

e−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx = e−xε

` ·ξεN∫Y

e−iy·εξρ(y, εξ)dy = e−xε` ·ξεN |Y |ρ0(εξ).

Por lo tanto (A.20) se reduce a

Jεg(ξ) = εN |Y |ρ0(εξ)F εg(ξ) + rε1(ξ),

donde F εg es la transformada de Fourier aproximada de g y ρ0 esta definida en (A.14). Ya hemosvisto que χε−1Y ′εNF εg → (2π)−

N2 g en L2(RN ) (ver Lema A.5), y por las hipotesis impuestas

sobre ρ se tiene ∥∥∥χε−1Y ′

[|Y |εNF εg − (2π)N/2g

]ρ0

∥∥∥L2(RN )

→ 0.

Por lo tanto, si demostramos

‖rε1‖L2(ε−1Y ′) ≤ c(K)ε‖ρ‖L∞# (Y ′;L2

#(Y ))‖∇g‖Lp(RN ), (A.21)


habremos probado la proposicion. Para ello, escribimos rε1 de una forma diferente:

rε1(ξ) =

∫RN

gε1(x)e

−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx,

con

gε1(x) =

∑`∈ZN

(g(x)− g(xε`))χY ε

`

(x).

Conocemos estimaciones en L2(RN ) de este tipo de antitransformada (vease Lema A.1), con loque

‖rε1‖L2(ε−1Y ′) ≤ ‖gε

1‖L2(RN )‖ρ‖L∞# (Y ′;L2#(Y )).

Ası, solo nos resta estimar la norma L2(RN ) de gε1. Lo conseguimos utilizando la desigualdad de

Morrey (A.19), como en la Proposicion A.5. En efecto,

‖gε1‖2

L2(RN ) ≤∑

`∈ZN

cε2−2N

p

∫Y ε

`

‖∇g‖2Lp(Y ε

` )Ndx

≤ cε2−2N

p

∑`∈ZN

|Y ε` |χK(yε

` )‖∇g‖2Lp(Y ε

` )

≤ cε|K|1−2p ‖∇g‖2

Lp(RN )

por Holder, donde c es una constante independiente de K (el soporte de g), y χK es la funcioncaracterıstica de K, que vale 1 si yε

` ∈ K y 0 si no. Por lo tanto, hemos demostrado (A.21), conlo que concluımos la prueba.

A.3. Comportamiento asintotico

Ahora vamos a intentar generalizar estos resultados. La idea es que para obtener mas terminosdel comportamiento asintotico de (A.1) vamos a necesitar funciones g y ρ mas regulares. Unresultado en esta direccion es el siguiente:

Proposicion A.2 Sean ρk para k = 0, 1, . . . , N las funciones definidas en (A.14) y (A.15).Supongamos que ρ ∈ L∞# (Y ′;L2

#(Y )). Entonces para toda g ∈W 2,p(RN ) con soporte compacto Ky p > N , resulta

(1 + |ξ|2)12χ

ε−1Y ′(ξ)(Jεg(ξ)− (2π)N/2

[ρ0(εξ) + iεξkρk(εξ)

]g(ξ)

)→ 0, (A.22)

en L2(RN ).

A.3. COMPORTAMIENTO ASINTOTICO 255

Demostracion. Seguimos las ideas de la demostracion de la Proposicion A.1. En primer lugardesarrollamos Jεg(ξ) como sigue

Jεg(ξ) =∑

`∈ZN

∫Y ε

`

[g(xε`) +∇g(xε

`) · (x− xε`)] e

−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx+ rε

2(ξ), (A.23)

donde el error de la aproximacion es

rε2(ξ) =

∑`∈ZN

∫Y ε

`


`) · (x− xε`) e−ix·ξρ(

x

ε, εξ)dx.

De (A.23) se tiene por un cambio de variable x = xε` + εy∫

Y ε`

[g(xε`) +∇g(xε

`) · (x− xε`)] e

−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx

= εNe−ixε` ·ξ(g(xε

`)∫Y

e−iy·εξρ(y, εξ)dy + ε∂g

∂xk(xε

`)∫Y

e−iy·εξykρ(y, εξ)dy)

= εN |Y |e−ixε` ·ξ(g(xε

`)ρ0(εξ) + ε∂g

∂xk(xε

`)ρk(εξ)).

Ası, (A.23) se escribe

Jεg(ξ) = εN |Y |(F εg(ξ)ρ0(εξ) + ε

(F ε ∂g

∂xk

)(ξ)ρk(εξ)

)+ rε

2(ξ).

Estudiemos como se comporta el resto rε2(ξ). Veamos que

‖rε2‖L2(ε−1Y ′) ≤ c(K)ε2‖ρ‖L∞# (Y ′;L2

#(Y )) ‖g‖W 2,p(RN ). (A.24)

Como

rε2(ξ) =

∫RN

gε2(x)e

−ix·ξρ(x

ε, εξ)dx,

con

gε2(x) =

∑`∈ZN

(g(x)− g(xε`)−∇g(xε

`) · (x− xε`))χY ε

`

(x),

y suponiendo que se satisface

‖gε2‖L2(RN ) ≤ c|K|

12 ε2‖g‖W 2,p(RN ), (A.25)

entonces por el Lema A.1, se verifica (A.24). Para probar (A.25) utilizamos la siguiente desigual-dad de Morrey para funciones W 2,p con p > N :

|g(x)− g(xε`)−∇g(xε

`) · (x− xε`)| ≤ c|x− xε

` |2−N

p ‖g‖W 2,p(Y ε` ) ∀x ∈ Y ε

` . (A.26)


Admitiendo esta estimacion, probamos (A.25) realizando el mismo analisis que con gε1 en la

Proposicion A.1. Probemos (A.26). Para ello consideremos la siguiente igualdad:


`) · (x− xε`) =

1∫0

∇g((1− t)xε` + tx)−∇g(xε

`) · (x− xε`)dt.

Utilizando la desigualdad de Morrey (ver [20], pag. 167) para el gradiente ∇g ∈ W 1,p(RN ) conp > N se tiene

|∇g((1− t)xε` + tx)−∇g(xε

`)| ≤ c|tx− txε` |

1−Np ‖g‖W 2,p(Y ε

` ).

Por tanto (A.26) se cumple, se completa la demostracion de (A.24) y rε2 tiende a 0. Ademas,

aunque consideremos el peso (1 + |ξ|2)12 , tambien converge a 0 ya que se acota rε

2 uniformementeen ε2. Luego solo nos falta conocer que ocurre con el termino

|Y |[εN (F εg)(ξ)ρ0(εξ) + εεN (F ε ∂g

∂xk)(ξ)ρk(εξ)

].

De acuerdo al Lema A.5, se tienen las siguientes convergencias en L2(RN )

|ξ|εNF εg → (2π)−N/2|ξ|g,

εNF ε ∂g

∂xk→ (2π)−N/2 ∂g

∂xk= i(2π)−N/2ξkg,

para g ∈W 2,p(RN ). En definitiva, hemos probado que

(1 + |ξ|2)12χ

ε−1Y ′(ξ)[εNF εg(ξ)− (2π)−N/2g(ξ)

]ρ0(εξ) → 0 en L2(RN ),

χε−1Y ′(εξ)

[εN(F ε ∂g

∂xk

)(ξ)− i(2π)−N/2ξkg(ξ)

]ρk(εξ) → 0 en L2(RN ),

y gracias a que (1 + |ξ|2)12 ε esta acotado, finalizamos la demostracion.

Apendice B

Derivadas del primer autovalor yautofuncion de Bloch

El objetivo de este apendice es calcular las derivadas del primer autovalor y autofuncion deBloch en η = 0, tanto para el problema de autovalores continuo (vease Capıtulo I), como parael discreto (vease Capıtulo III). Entonces, gracias a la analiticidad de estas funciones alrededordel origen podremos desarrollar el primer autovalor y autofuncion de Bloch por expansiones deTaylor en η = 0.

B.1. Caso continuo

En los Capıtulos I y II estudiamos el comportamiento asintotico de un problema de homo-geneizacion. Para ello, necesitamos calcular la expansion de Taylor del primer autovalor de Blochque nos va a dar los coeficientes homogeneizados, y la expansion de Taylor de la primera auto-funcion de Bloch que nos va a dar las funciones test de los correctores. En efecto, las formulasson las siguientes:

Proposicion B.1 Las derivadas de λ1 en η = 0 se pueden calcular explıcitamente. En particular,todas las derivadas impares de λ1 en η = 0 se anulan, es decir,

Dβλ1(0) = 0 ∀β ∈ ZN+ : |β| = β1 + ...+ βN impar. (B.1)

Las expresiones para las derivadas de segundo y cuarto orden son:

12D2

k`λ1(0) =1|Y |

∫Y

ak`(y) dy +1

2|Y |

∫Y

(Akχ`(y) +A`χ

k(y)) dy, (B.2)

257

258 APENDICE B. DERIVADAS DEL PRIMER AUTOV. Y AUTOF. DE BLOCH

14!D4

k`mnλ1(0) =14

1|Y |

∫Y

Anχ

k`m +Akχ`mn +A`χ

mnk +Amχnk`dy−

− 13!

1|Y |

∫Y

(ak`χmn + a`mχ

nk + amnχk` + ankχ

`m + akmχ`n + a`nχ

km)dy, (B.3)

para todo k, `,m, n = 1, ..., N . Las funciones test χk, χk`, χk`m para k, `,m = 1, ..., N estandefinidas en (B.11)–(B.13), respectivamente.1

Notemos que por la definicion de Ak en (2.44)

12!D2

k`λ1(0) =1|Y |

∫Y

ak`(y)dy −1

2|Y |

∫Y

(akj∂χ`

∂yj+ a`j

∂χk

∂yj)dy

=12(a∗k` + a∗`k) ∀k, ` = 1, ..., N,

donde los a∗k` son los coeficientes homogeneizados definidos en [16], pag. 18. Recordemos quecomo la matriz ak` es simetrica, los coeficientes homogeneizados tambien lo son. Por lo tanto, laderivadas de orden dos de λ1 en 0 satisfacen:

12D2

k`λ1(0) = a∗k` =1|Y |

∫Y

[ak`(y) + akj(y)∂χ`

∂yj(y)] dy. (B.4)

Proposicion B.2 Consideramos las funciones test χk, χk`, χk`m, χk`mn para k, `,m, n = 1, ..., Ndefinidas en (B.11)–(B.14). Entonces, las derivadas de φ1 en η = 0 de orden menor o igual que4 son:2

Dkφ1(y; 0) = i|Y |−12χk(y), (B.5)

|Y |12

2!D2

k`φ1(y; 0) = −χk`(y)− βk`, (B.6)

donde βk` son constantes simetricas definidas por

βk` =12!

1|Y |

∫Y

χ`χkdy. (B.7)

Las derivadas de orden 3 son

|Y |12

3!D3

k`mφ1(y; 0) = −iχk`m(y)− i

3

(βk`χ

m(y) + β`mχk(y) + βmkχ

`(y)). (B.8)

1Parte de estos resultados (hasta las derivadas de orden dos) son conocidos de la Proposicion 3.7 de [36].2(B.5) es conocido de la Proposicion 3.7 de [36].

B.1. CASO CONTINUO 259

Y finalmente,

|Y |12

4!D4

k`mnφ1(y; 0) = χk`mn(y) +13!

(βk`χ

mn(y) + β`mχnk(y) + βmnχ

k`+ (B.9)

+βnkχ`m(y) + βkmχ

n`(y) + β`nχkm(y)

)+ βk`mn,

donde

βk`mn =1|Y |

∫Y

14

[χ`mnχk + χkmnχ` + χn`kχm + χk`nχn

]dy − (B.10)

− 1|Y |

∫Y

16

[χ`mχkn + χkmχn` + χ`kχnm

]dy +

+12

(βk`βmn + βkmβn` + βknβm`) .

En las formulas de las derivadas aparecen una serie de funciones test χk, χk`, χk`m, χk`mn

para k, `,m, n = 1, ..., N . Estas funciones se definen como las unicas soluciones de los siguientesproblemas de contorno periodicos: Aχk =

∂ak`

∂y`en RN ,

χk ∈ H1#(Y ), MY (χk) = 0,

(B.11)

Aχk` = (ak` − a∗k`)−

12

(Ckχ

` + C`χk)

en RN ,

χk` ∈ H1#(Y ), MY (χk`) = 0,

(B.12)

Aχk`m =

13

[(ak` − a∗k`)χ

m + (a`m − a∗`m)χk + (ank − a∗nk)χ`

−Ckχ`m − C`χ

mk − Cmχk`

]en RN ,

χk`m ∈ H1#(Y ), MY (χk`m) = 0,

(B.13)

Aχk`mn =14!D4

k`mnλ1(0)− 14

(Cnχ

k`m + Ckχ`mn + C`χ

mnk + Cmχnk`)

+13!

[(ak` − a∗k`)χ

mn + (a`m − a∗`m)χkn + (akm − a∗km)χ`n+

+(amn − a∗mn)χk` + (a`n − a∗`n)χkm + (akn − a∗kn)χ`m]

en RN ,

χk`mn ∈ H1#(Y ), MY (χk`mn) = 0.

(B.14)

Estos problemas admiten una unica solucion. En efecto, para f ∈ L2#(Y )

Aϕ = f en RN ,ϕ ∈ H1

#(Y ), (B.15)


por la alternativa de Fredholm, (ver [20] pag. 92), este sistema tiene solucion unica, salvo con-stantes aditivas, si y solo si, ∫

Y

f(y)dy = 0.

Esto es ası puesto que las constantes son las unicas autofunciones asociadas al autovalor λ = 0 delproblema con condiciones periodicas. En los problemas (B.11)-(B.14) hemos impuesto la condicionde media nula, i.e., MY (ϕ) = 0, lo cual nos fija la constante aditiva de la solucion. Por lo tantotendremos existencia y unicidad, si y solo si, la integral del termino de la derecha de cada ecuacionse anula. Veamoslo caso a caso.

En (B.11), como los coeficientes ak` son periodicos, cumplen que∫Y

∂ak`

∂y`dy = 0.

Por lo tanto, χk es la unica solucion de (B.11) con la condicion de media cero M(χk) = 0.En (B.12) la integral en Y del termino de la derecha de la igualdad se anula, por definicion

de los coeficientes homogeneizados a∗k` en (B.3).En (B.13) y (B.14), se anula tambien la integral por los valores que van tomando las derivadas

tercera y cuarta de λ1 en η = 0.

Observacion B.1 Regularidad de las soluciones de (B.11)–(B.14). Por la teorıa variacional(vease [20]) se sabe que si f ∈ L2(Y ), la solucion de (B.15) satisface ϕ ∈ H1(Y ).

Ademas, si se tiene que f ∈ L∞(Y ), por el principio de maximo (vease [20]) obtenemos queϕ ∈ L∞# (Y ). Por lo tanto, utilizando este argumento de forma recurrente, vemos que las funcionestest de las derivadas de φ1 estan en H1 ∩ L∞# (Y ).

Por ultimo, si los coeficientes ak` son C1,1 y la funcion f es Lipschitz, entonces la soluciondebil de (B.15) es Lipschitz (vease [57] pag. 173).

Ahora nos disponemos a calcular cada una de las derivadas de λ1 y φ1 en η = 0. Diferenciandola expresion ‖φ1(·, η)‖L2(Y ) = 1 con respecto a η obtenemos sucesivamente

Re〈Dkφ1(·, η), φ1(·, η)〉 = 0, (B.16)

Re〈D2k`φ1(·, η), φ1(·, η)〉+ Re〈Dkφ1(·, η), D`φ1(·, η)〉 = 0, (B.17)

Re〈D3k`mφ1(·, η), φ1(·, η)〉+ Re〈D2

k`φ1(·, η), Dmφ1(·, η)〉+

Re〈D2kmφ1(·, η), D`φ1(·, η)〉+ Re〈Dkφ1(·, η), D2

`mφ1(·, η)〉 = 0,(B.18)

Re〈D4k`mnφ1(·, η), φ1(·, η)〉+ Re〈D3

k`mφ1(·, η), Dnφ1(·, η)〉+

Re〈D3k`nφ1(·, η), Dmφ1(·, η)〉+ Re〈D2

k`φ1(·, η), D2mnφ1(·, η)〉+

Re〈D3kmnφ1(·, η), D`φ1(·, η)〉+ Re〈D2

kmφ1(·, η), D2`nφ1(·, η)〉+

Re〈D2knφ1(·, η), D2

`mφ1(·, η)〉+ Re〈Dkφ1(·, η), D3`mnφ1(·, η)〉 = 0,

(B.19)


donde 〈·, ·〉 denota el producto escalar en L2#(Y ). Ademas, como se tiene

Im

∫Y

φ1(y; η)dy = 0 ∀η ∈ Bδ,

diferenciando de nuevo tenemos

Im

∫Y

Dβφ1(y; η)dy = 0 para toda β ∈ NN . (B.20)

Derivadas de primer orden

Derivando con respecto a ηk la ecuacion del primer autovalor

(A(η)− λ1(η))φ1(·, η) = 0,

se obtiene

Dk(A(η)− λ1(η))φ1(·, η) + (A(η)− λ1(η))Dkφ1(·, η) = 0. (B.21)

Tomando el producto escalar con φ1(·, η), se tiene

〈[Dk(A− λ1)]φ1, φ1〉 = 0.

En esta ecuacion y en lo que sigue, omitimos expresar explıcitamente la dependencia con respectoa η para simplificar la notacion. Ahora, evaluando en η = 0 y teniendo en cuenta (2.42), obtenemosDkA(0) = iAk, donde el operador Ak se define en (2.43). Entonces

Dkλ1(0) = 〈Akφ1(0), φ1(0)〉 =∫

Y

∂ak`

∂yldy = 0 ∀k = 1, ..., N.

Calculemos la derivada de primer orden φ1 en η = 0. Para ello retomamos (B.21) y evaluando enη = 0 tenemos

ADkφ1(·, 0) = −DkA(0)φ1(·, 0) = −iAkφ1(·, 0).

Tomando η = 0 en (B.16) y usando la anterior ecuacion, se determina Dkφ1(y; 0) de maneraunica:

Dkφ1(y; 0) = iφ1(y; 0)χk(y) = i|Y |−12χk(y),

donde χk satisface (B.11). Observese que Dkφ1(y; 0) toma valores imaginarios.


Segundas Derivadas

Derivando la relacion (B.21) con respecto a η` obtenemos

[D2k`(A− λ1)]φ1 + [Dk(A− λ1)]D`φ1 + [D`(A− λ1)]Dkφ1 + (A− λ1)D2

k`φ1 = 0. (B.22)

Tomando producto escalar con φ1, obtenemos

〈[D2k`(A− λ1)]φ1, φ1〉+ 〈[Dk(A− λ1)]D`φ1, φ1〉+ 〈[D`(A− λ1)]Dkφ1, φ1〉 = 0. (B.23)

Por (2.42) tenemos que

D2k`A(η) = 2ak`(y) ∀k, ` = 1, ..., N, η ∈ Y ′. (B.24)

Entonces, utilizando lo calculado para las primeras derivadas (Dkλ1(0), Dkφ1(·, 0), DkA(0)) en(B.23), obtenemos que la formula para las derivadas segundas de λ1 en 0 es (B.2). El siguientepaso es calcular D2

k`φ1(·, 0). Para ello, consideramos (B.22) para η = 0, y tenemos

AD2k`φ1(·, 0) =

−2(ak` − a∗k`) +Akχ

` +A`χkφ1(·, 0).

Entonces, D2k`φ1(·, 0) es igual a −2|Y |−

12χk` mas una constante aditiva ya que χk` es la solucion

de (B.12). Fijamos la constante. Teniendo en cuenta (B.20), la constante es real. Por (B.17),resulta que ∫

YD2

k`φ1(y; 0)dy = −∫

YDkφ1(y; 0)D`φ1(y; 0)dy =

= − 1|Y |

∫Yχ`χkdy = −2βk`,

donde βk` esta definida en (B.7), y χk es la unica solucion de la ecuacion (B.11). Ası, D2k`φ1(·, 0)

es de la forma dada en (B.6) y es puramente real.

Terceras Derivadas

Derivamos (B.22) con respecto a ηm, y tenemos[D3

k`m(A− λ1)]φ1 + [D2k`(A− λ1)]Dmφ1 + [D2

`m(A− λ1)]Dkφ1+

+[D2km(A− λ1)]D`φ1 + [Dk(A− λ1)]D2

`mφ1 + [D`(A− λ1)]D2kmφ1+

+[Dm(A− λ1)]D2k`φ1 + (A− λ1)D3

k`mφ1 = 0.

(B.25)

Tomando producto escalar con φ1, se tiene〈[D3

k`m(A− λ1)]φ1, φ1〉+ 〈[D2k`(A− λ1)]Dmφ1, φ1〉+ 〈[D2

`m(A− λ1)]Dkφ1, φ1〉+

+〈[D2km(A− λ1)]D`φ1, φ1〉+ 〈[Dk(A− λ1)]D2

`mφ1, φ1〉+

+〈[D`(A− λ1)]D2kmφ1, φ1〉+ 〈[Dm(A− λ1)]D2

k`φ1, φ1〉 = 0.


Particularizamos para η = 0 y resulta

D3k`mλ1(0) = 〈[D2

k`(A− λ1)(0)]Dmφ1(0), φ1(0)〉+ 〈[D2`m(A− λ1)(0)]Dkφ1(0), φ1(0)〉+

+〈[D2km(A− λ1)(0)]D`φ1(0), φ1(0)〉+ 〈DkA(0)D2

`mφ1(0), φ1(0)〉++〈DÀ(0)D2

kmφ1(0), φ1(0)〉+ 〈DmA(0)D2k`φ1(0), φ1(0)〉.

Ya hemos probado anteriormente queDkA(0) es imaginaria, D2

kÀ(0) es real,φ1(0), D2

k`φ1(0) son reales y Dkφ1(0) es imaginaria.(B.26)

Observamos que D3k`mλ1(0) es un numero real ya que λ1(η) es real. Mientras que la parte derecha

de la igualdad es imaginaria por (B.26). Por lo tanto D3k`mλ1(0) = 0. Evaluamos (B.25) para

η = 0 y obtenemos

AD3k`mφ1(y, 0) = −[D2

k`(A− λ1)(0)]Dmφ1(y, 0)− [D2`m(A− λ1)(0)]Dkφ1(y, 0)

−[D2km(A− λ1)(0)]D`φ1(y, 0)− [DkA(0)]D2

`mφ1(y, 0)−[DÀ(0)]D2

kmφ1(y, 0)− [DmA(0)]D2k`φ1(y, 0).

Utilizando los resultados ya obtenidos, resulta

AD3k`mφ1(y, 0) = −2i|Y |−

12[(ak` − a∗k`)χ

m + (a`m − a∗`m)χk + (ank − a∗nk)χ`]

2i|Y |−12[Akχ

`m +A`χmk +Amχ

k`]

−2i|Y |−12[βk`

∂ahm

∂xh+ βkm

∂ah`

∂xh+ βm`

∂ahk

∂xh

].

Como χk y χk`m son solucion de (B.11) y (B.13),

AD3k`mφ1(y, 0) = −i|Y |−

12 3!Aχk`m − i|Y |−

12 2(βkÀχ

m + βkmAχ` + βmÀχ

k).

Entonces, D3k`mφ1(y, 0) = −i|Y |−

12 3!χk`m − i|Y |−

12 2(βk`χ

m + βmkχ` + β`mχ

k)

+K con K ∈ C.Pero gracias a (B.18) y (B.20) tenemos K = 0. De este modo, obtenemos que D3

k`mφ1(y, 0) sedefine por (B.8) y es puramente imaginaria.

Cuartas Derivadas y Sucesivas

Ahora derivamos (B.25) con respecto a η, y tenemos

0 = [D4k`mn(A− λ1)]φ1 + [D3

k`n(A− λ1)]Dmφ1 + [D3`mn(A− λ1)]Dkφ1+

+[D3kmn(A− λ1)]D`φ1 + [D2

k`(A− λ1)]D2mnφ1 + [D2

`m(A− λ1)]D2knφ1+

+[D2km(A− λ1)]D2

`nφ1 + [D2kn(A− λ1)]D2

`mφ1 + [D2`n(A− λ1)]D2

kmφ1+

+[D2mn(A− λ1)]D2

`kφ1 + [D`(A− λ1)]D3kmnφ1 + [Dm(A− λ1)]D3

k`nφ1+

+[Dn(A− λ1)]D3k`mφ1 + [Dk(A− λ1)]D3

`mnφ1 + (A− λ1)D4k`mφ1.

(B.27)


Tomando producto escalar con φ1, se tiene

0 = 〈[D4k`mn(A− λ1)]φ1, φ1〉+ 〈[D3

k`m(A− λ1)]Dnφ1, φ1〉+ 〈[D3k`n(A− λ1)]Dmφ1, φ1〉

+〈[D3`mn(A− λ1)]Dkφ1, φ1〉+ 〈[D3

kmn(A− λ1)]D`φ1, φ1〉+ 〈[D2km(A− λ1)]D2

`nφ1, φ1〉

+〈[D2k`(A− λ1)]D2

mnφ1, φ1〉+ 〈[D2`m(A− λ1)]D2

knφ1, φ1〉+ 〈[D2kn(A− λ1)]D2

`mφ1, φ1〉

+〈[D2`n(A− λ1)]D2

kmφ1, φ1〉+ 〈[D2kn(A− λ1)]D2

`mφ1, φ1〉+ 〈[D`(A− λ1)]D3kmnφ1, φ1〉

+〈[Dm(A− λ1)]D3k`nφ1, φ1〉+ 〈[Dk(A− λ1)]D3

`nmφ1, φ1〉+ 〈[Dn(A− λ1)]D3k`mφ1, φ1〉.

Particularizamos para η = 0 y resulta

D4k`mnλ1(0) = 〈D`A(0)D3

kmnφ1(0), φ1(0)〉+ 〈DmA(0)D3k`nφ1(0), φ1(0)〉

+〈DkA(0)D3`nmφ1(0), φ1(0)〉+ 〈DnA(0)D3

k`mφ1(0), φ1(0)〉

+〈[D2km(A− λ1)(0)]D2

`nφ1(0), φ1(0)〉+ 〈[D2`n(A− λ1)(0)]D2

kmφ1(0), φ1(0)〉

+〈[D2kn(A− λ1)(0)]D2

`mφ1(0), φ1(0)〉+ 〈[D2mn(A− λ1)(0)]D2

k`φ1(0), φ1(0)〉

+〈[D2k`(A− λ1)(0)]D2

mnφ1(0), φ1(0)〉+ 〈[D2`m(A− λ1)(0)]D2

knφ1(0), φ1(0)〉.

Utilizando los resultados de las derivadas de orden menor de 4, obtenemos

D4k`mnλ1(0) = − 4

|Y |

∫Y

(a`m − a∗`m)(χkn + βkn)dy − 4|Y |

∫Y

(a`n − a∗`n)(χkm + βkm)dy

− 4|Y |

∫Y

(ak` − a∗k`)(χmn + βmn)dy − 4

|Y |

∫Y

(akm − a∗km)(χ`n + β`n)dy

− 4|Y |

∫Y

(akn − a∗kn)(χ`m + β`m)dy − 4|Y |

∫Y

(amn − a∗mn)(χk` + βk`)dy

+6|Y |

∫Y

A`

[χkmn(y) +

13

(βkmχ

n(y) + βknχm(y) + βmnχ

k(y))]dy +

+6|Y |

∫Y

Ak

[χ`mn(y) +

13

(β`mχ

n(y) + β`nχm(y) + βmnχ

`(y))]dy +

+6|Y |

∫Y

An

[χk`m(y) +

13

(β`mχ

k(y) + β`kχm(y) + βmkχ

`(y))]dy +

+6|Y |

∫Y

Am

[χk`n(y) +

13

(β`nχ

k(y) + βk`χn(y) + βknχ

`(y))]dy.


Por la definicion de los coeficientes homogeneizados a∗k` en (B.4), D4k`mnλ1(0) coincide con el valor

dado en (B.3). Volviendo a (B.27), se tiene que D4k`mnφ(y, 0) satisface

|Y |12AD4

k`mnφ1(y, 0) = D4k`mnλ1(0) + 4(a`n − a∗`n)(χkm + βkm) + 4(amn − a∗mn)(χk` + βk`)

+4(akm − a∗km)(χ`n + β`n) + 4(akn − a∗kn)(χ`m + β`m) ++4(ak` − a∗k`)(χ

mn + βmn) + 4(a`m − a∗`m)(χkn + βkn) +−Am[6χk`n + 2(β`nχ

k + βknχ` + βk`χ

n)]−An[6χk`m + 2(βk`χ

m + βkmχ` + β`mχ

k)]−A`[6χkmn + 2(βmnχ

k + βkmχn + βknχ

m)]−Ak[6χ`mn + 2(β`mχ

n + β`nχm + βmnχ

`)].

Reordenamos y resulta:

|Y |12AD4

k`mnφ1(y, 0) =[D4

k`mnλ1(0)− 6(Amχk`n +Anχ

k`m +A`χkmn +Akχ

`mn) +

+2(a`m − a∗`m)χkn + (a`n − a∗`n)χkm + (amn − a∗mn)χk`++2(akm − a∗km)χ`n + (akn − a∗kn)χ`m + (ak` − a∗k`)χ

mn]+

+4βkn[(a`m − a∗`m)− 12(A`χ

m +Amχ`)] +

+4βkm[(a`n − a∗`n)− 12(A`χ

n +Anχ`)]

+4βk`[(amn − a∗mn)− 12(Amχ

n +Anχm)] +

+4β`n[(akm − a∗km)− 12(Amχ

n +Anχm)]

+4β`m[(akn − a∗kn)− 12(Amχ

` +A`χm)] +

+4βmn[(ak` − a∗k`)−12(Akχ

` +A`χk)].

Como χk` y χk`mn verifican (B.12) y (B.14), respectivamente, tenemos que

|Y |12

4!D4

k`mnφ1(y, 0) = χk`mn(y) +13!

(βk`χ

mn(y) + β`mχnk(y) + βmnχ

k`)

+

+13!

(βnkχ

`m(y) + βkmχn`(y) + β`nχ

km(y))

+K,

con K ∈ C. Finalmente, gracias a (B.19) y a (B.20)

K = |Y |−12βk`mn,

con βk`mn definida en (B.10). Con ello concluımos el calculo de las derivadas de orden cuarto.Observese que D4φ1(y, 0) es real.

Siguiendo el mismo proceso podemos calcular todos los terminos del desarrollo de Taylor. Enparticular, tenemos el siguiente resultado cualitativo:


Daφ1(y, 0) con a ∈ N par, es real.Daλ1(0) con a ∈ N par, es real.Daφ1(y, 0) con a ∈ N impar, es imaginario.Daλ1(0) con a ∈ N impar, es nulo.

B.2. Caso discreto

En el problema continuo (ver Seccion B.1) hemos visto que el Hessiano del primer autovalorde Bloch proporciona los coeficientes homogeneizados. El objetivo de esta seccion es obtener unaaproximacion de los coeficientes homogeneizados a partir del calculo de las segundas derivadasdel autovalor µ1(η) en η = 0 asociado al problema de autovalores (7.60). La demostracion de esteresultado va a realizarse en una serie de lemas. En el primero vamos a calcular las formulas delas derivadas del primer autovalor y autofuncion discretas de Bloch.

Lema B.1 Sean µ1 y ϕp,1 el primer autovalor y autovector del problema espectral (7.60). En-tonces, el origen η = 0 es un punto crıtico del primer autovalor de Bloch:

∂µ1

∂ηk(0) = 0 ∀k = 1, . . . , d. (B.28)

Ademas, las segundas derivadas en η = 0 son

∂2µ1

∂ηkη`(0) =

1p

∑y∈Γ 2π

p

(2ak`(qy(k, `))

qkq`−

−d∑

j=1

[Θk

q (y)q`qj

∇2πp

j aj`(qy(`, j)) +Θ`

q(y)qkqj

∇2πp

j ajk(qy(k, j))]

(B.29)

donde Θkq (y) | y ∈ Γ 2π

p es la unica solucion de

−

d∑i,j=1

∇− 2π

p

i

[aij(qy(i,j))

qiqj∇

+ 2πp

j (Θkq (y))

]=

d∑j=1

1qkqj

∇2πp

j ajk(qy(k, j)), y ∈ Γ 2πp

Θkq (y) Y -periodica y

∑y∈Γ 2π

p

Θkq (y) = 0.

(B.30)

Finalmente, las derivadas del primer autovector de Bloch son de la forma:

∂ϕp,1

∂ηk(y, 0) =

i

(p1 . . . pd)12

Θkq (y). (B.31)

B.2. CASO DISCRETO 267

Demostracion. Como η → µ1(η) y η → ϕp,1(y, η) son funciones analıticas alrededor de η = 0 (verProposicion 7.6), se pueden calcular sus derivadas en η = 0. Para demostrar el lema, diferenciamosen la ecuacion

−d∑

i,j=1


p

i

[1qiqj


p

j (eiy·ηϕp,1(y, η))]

= µ1(η)ϕp,1(y, η), y ∈ Γ 2πp, (B.32)

con respecto a η dos veces para despues evaluar el resultado en η = 0. Dado que el calculo esclasico unicamente presentamos los pasos fundamentales. Se denomina

A(y, η)v(y) = −d∑

i,j=1


p

i

[1qiqj


p

j eiy·ηv(y)].

Con la notacion y±k = y ± 2π

pkek, (ek vector canonico),

bk`(y) = ak`(qy(k, `))pkp`

qkq`(2π)2,

(B.33)

A(y, η)v(y) se escribe como

A(y, η)v(y) = −d∑

i,j=1

bij(y(i, j))[ei 2π

pjηjv(yj)− v(y)]

+d∑

i,j=1

bij(y−i(i, j))[ei 2π

pjηje−i 2π

piηiv(yj−i)− e

−i 2πpi

ηiv(y−i)].

Derivamos una vez, evaluamos en η = 0 y obtenemos

∂A∂ηk

(y, 0)v(y) = −i2πpk

d∑i=1

bik(y(i, k))v(yk) + i2πpk

d∑i=1

bik(y−i(i, k))v(yk−i)−

− i2πpk

d∑i=1

bki(y−k(k, i))v(yi−k) + i2πpk

d∑i=1

bki(y−k(k, i))v(y−k). (B.34)

Se deriva dos veces y si k 6= `, se tiene

∂2A∂ηkη`

(y, 0)v(y) =(2π)2

pkp`[b`k(y−`(`, k))v(yk−`) + bk`(y−k(k, `))v(y`−k)], (B.35)

y cuando k = `

∂2A∂η2

k

(y, 0)v(y) =(2π)2

(pk)2[

d∑i=1

bik(y(i, k))v(yk)−d∑

k 6=i=1

bik(y−i(i, k))v(yk−i)]

+(2π)2

(pk)2[

d∑i=1

bki(y−k(k, i))v(y−k)−d∑

k 6=i=1

bki(y−k(k, i))v(yi−k)]. (B.36)


Diferenciando en (B.32), evaluando en η = 0 y tomando el producto escalar en el espacio Cp, setiene

∂µ1

∂ηk(0) =

∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y, 0)(∂A∂ηk

(y, 0)ϕp,1(y, 0)).

Como por (B.34) µ1 y ϕp,1 en η = 0 satisfacen (7.75), se tiene

∂µ1

∂ηk(0) = i

2πpk

∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

[−bik(y(i, k)) + bik(y−i(i, k))] = 0,

ya que

∑y∈Γ 2π

p

d∑i=1

bik(y(i, k)) =∑

y∈Γ 2πp

d∑i=1

bik(y−i(i, k)).

Por lo tanto, se ha probado (B.28). Por otra parte, al diferenciar una vez en (B.32) y evaluar enη = 0, vemos que las derivadas de ϕp,1 satisfacen

A(y, 0)∂ϕp,1

∂ηk(y, 0) = ∂A

∂ηk(y, 0)ϕp,1(y, 0), y ∈ Γ 2π

p∑y∈Γ 2π

p

∂ϕp,1

∂ηk(y, 0)ϕp,1(y, 0) = 0,

para k = 1, . . . , d. Por (7.75) y (B.34), se verifica

∂A∂ηk

(y, 0)ϕp,1(y, 0) = i2πpk

1

p12

d∑j=1

[bkj(y(k, j))− bkj(y(k, j)−2πpjej)]

=i

p12

d∑j=1

1qkqj

∇2πp

j ajk(qy(k, j)),

por la notacion (B.33). Entonces, las derivadas de orden 1 de ϕp,1 satisfacen (B.31).Ahora, se vuelve a diferenciar por ηkη` en (B.32) y tomamos el producto escalar del resultado

obtenido con ϕp,1. Evaluando en η = 0, resulta

∂2µ1

∂ηkη`(0) =

∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y, 0)[∂2A∂ηkη`

(y, 0)ϕp,1(y, 0) +∂A∂ηk

(y, 0)∂φ1

∂η`(y, 0) +

∂A∂η`

(y, 0)∂ϕp,1

∂ηk(y, 0)

].

Usando (B.35) o (B.36), segun sea el caso, y recuperando la notacion (B.33), se tiene

∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y, 0)∂2A∂ηkη`

(y, 0)ϕp,1(y, 0) =2

p1 . . . pd

∑y∈Γ 2π

p

1qkq`

a`k(qy(`, k)).


Por otra parte, considerando (B.31) y (B.34), se obtiene∑y∈Γ 2π

p

ϕp,1(y, 0)∂A∂ηk

(y, 0)∂ϕp,1

∂η`(y, 0) = − 1

p1 . . . pd

∑y∈Γ 2π

p

Θkq (y)

d∑j=1

1q`qj

∇2πp

j aj`(qy(`, j)).

Con estos dos ultimos calculos se obtiene la formula (B.29) de las segundas derivadas de µ1 y seconcluye la demostracion del Lema B.1.

A continuacion se procede a estimar cuan proxima esta la formula (B.29) del coeficientehomogeneizado a∗k` definido en (B.2) y tambien en (B.4). Vamos a distinguir dos casos: el unidi-mensional y el multidimensional.

B.2.1. Caso unidimensional

Primero, notese que, gracias a (B.29), la segunda derivada de µ1 en el caso unidimensional es:

12∂2

ηµ1(0) =1p

1q2

∑y∈Γ 2π

p

[a(qy)−Θq(y)∇

2πp a(qy)

], (B.37)

donde Θq(y) | y ∈ Γ 2πp satisface:−∇− 2π

p

[a (qy)∇+ 2π

p (Θq(y))]

= ∇2πp a(qy), y ∈ Γ 2π

p

Θq(y) 2π-periodica y∑

y∈Γ 2πp

Θq(y) = 0.(B.38)

Calculamos los componentes de Θq explıcitamente. Para j = 1, . . . , p son:

Θq(2πj/p) =i2πp√p

p− 2j + 1

2− a∗p

(b∗p −

j∑k=1

1a(2πkq/p)

), (B.39)

donde se denota

a∗p =

(1p

p∑k=1

1a(2πk/p)

)−1

y b∗p =1p

p∑k=1

p+ 1− k

a(2πk/p). (B.40)

Entonces, reemplazando (B.39) y (B.40) en (B.37), la segunda derivada de µ1 en 0 verifica

∂2ηµ1(0) = 2

a∗pq2,

donde a∗p se definio en (B.40). Notese que a∗p es una aproximacion del coeficiente homogeneizadoa∗, definido por la siguiente formula

a∗ =(

12π

∫ 2π

0

dy

a(y)

)−1

.

Finalmente, utilizando la formula numerica de la media se concluye la demostracion de:


Proposicion B.3 Supongase que el coeficiente a es Lipschitz. Sea a∗ el coeficiente homo-geneizado. Entonces, la segunda derivada de µ1 en η = 0, definida por (B.37)-(B.38), verifica∣∣∣∣a∗ − q2

2∂2µ1(0)

∣∣∣∣ ≤ πβ2

2α2

c

p, (B.41)

donde c es la constante Lipschitz y α y β la cota inferior y superior de a, respectivamente.

B.2.2. Caso multidimensional

Comparando las formulas (B.29) y (B.2), se necesita encontrar una relacion entre χk, solucionde (B.11) y Θk

q que verifica (B.30). El problema que surge es que no tenemos ninguna expresionexplıcita de χk y por consiguiente, vamos a tener que demostrar que Θk

q tiene alguna relacion conuna aproximacion en diferencias finitas de χk.

Reinterpretemos el sistema (B.30). Como q, p ∈ N y M.C.D.(p, q)=1, existe ρ ∈ Nd de com-ponentes positivas tal que

q

p−[q

p

]=ρ

p, con 0 < ρi < pi. (B.42)

Utilizando esta notacion y dado que los coeficientes aij son Y -periodicos, resulta

aij(qy) = aij(ρy) ∀y ∈ Γ 2πp.

Este hecho nos da la idea de considerar el sistema (B.30) en ρY . Para ello hacemos un cambio devariable. Consideramos

Θkq (y) =

1ρk

Θkρ(ρy), ∀y ∈ Γ 2π

p, (B.43)

y definimosqi = ρiσi donde σi ∈ R+ y σi ≥ 1, ∀i = 1, . . . , d. (B.44)

Entonces, (B.30) es equivalente a−

d∑i,j=1

∇− 2πρ

p

i

[aij(y(i,j))

σiσj∇

+ 2πρp

j (Θkρ(y))

]=

d∑j=1

1σkσj

∇2πρ

p

j ajk(y(k, j)), y ∈ Γ 2πρp,

Θkρ(y) ρY -periodico y

∑y∈Γ 2πρ

p

Θkρ(y) = 0,

(B.45)

conΓ 2πρ

p= ρΓ 2π

p.

Podemos observar que Θkρ es la aproximacion en diferencias finitas de la solucion del siguiente

problema con condiciones de contorno periodicas:− ∂

∂yi

(bij(y)

∂χkρ

∂yj

)= ∂bik(y)

∂yien ρY,

χkρ ∈ H1

#(ρY ), mρY (χkρ) = 0,

(B.46)


dondebij(y) =

aij(y)σiσj

, ∀i, j = 1, . . . , n.

Antes de continuar con el desarrollo de la demostracion vamos a comentar el papel de ρ, σ y p.En primer lugar es necesario exigir que |ρ/p| sea pequeno dado que en otro caso no tendrıa sentidola aproximacion (B.44). Esta condicion tambien aparece en [10] para el caso multidimensional.Por otra parte, tenemos σ ∈ Rd definida por (B.44), o equivalentemente,

ρ(σ − 1) = p

[q

p

].

Un caso especial serıa σ = 1, donde (B.46) equivale a (B.11) y, entonces, Θkρ serıa una aproxima-

cion en diferencias finitas de χk. En caso que no sea ası, por la relacion anterior, las componentesde σ van a ser numeros grandes (del orden de q).

Ahora, el problema de comparar Θkq con χk se ha reducido a: 1) Estimar la diferencia entre

la aproximacion Θkρ y χk

ρ. 2) Estudiar la relacion que existe entre χkρ y χk.

Para resolver el primer problema presentamos el siguiente resultado clasico sobre convergenciay estimaciones de error para aproximaciones en diferencias finitas de ecuaciones elıpticas quepueden encontrarse en [18] y [76].

Theorem B.1 Sea u la unica solucion deAu = f in Y,

u ∈ H1#(Y ), m(u) = 1

|Y |∫Y

udx = 0.

Sea uh la solucion de la aproximacion en diferencias cuyo operador discreto es de tipo positivo.Entonces, si el orden de aproximacion del problema es ν, f esta en Cµ y los coeficientes ak`son suaves, se satisface que

supx∈Γh

|u(x)− uh(x)| ≤ c(hmın(ν,µ) + εh(a))‖f‖,

donde εh(a) = max[ak`(x)− ak`(x′)], con |x− x′| ≤ h y k, ` = 1, . . . , d.

Ahora, gracias al Teorema B.1, estimamos la diferencia entre Θkρ y χk

ρ. En particular, se tiene

supy∈Γ 2πρ

p

|χkρ(y)−Θk

ρ(y)| ≤ cβ1σm

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ , (B.47)

donde σm = mınσi. Notese que el problema (B.46) esta bien definido ya que los coeficientesbij son coercitivos y que el operador discreto asociado a (B.45) es definido positivo si |ρ/p| essuficientemente pequeno.

Estudiemos ahora cual es la relacion entre χkρ y χk. Observando los problemas de condiciones

de contorno periodicas (B.11) y (B.46) vemos que la mayor diferencia se encuentra en la definicionde los coeficientes en las distintas ecuaciones. En particular, en (B.46), los coeficientes aij estanperturbados por unos valores σ ∈ Rd definidos en (B.44). Se tiene el siguiente resultado:


Lema B.2 Sea χk y χkρ, k = 1, . . . , d, las funciones test solucion de (B.11) y (B.46), respec-

tivamente. Ademas, sea σ definida en (B.44), σm = mın(σi) y σM = max(σi). Dado δ > 0,supongamos que

max

1− σm

σM,σM

σm− 1≤ δ. (B.48)

Entonces, se tiene quesup

y∈Γ 2πp

|χkρ(y)− χk(ρy)| ≤ cδ, (B.49)

con c independiente de k, ρ, p y q.

Conviene subrayar que el parametro δ > 0 va a ser la cota que nos de el error entre loscoeficientes homogeneizados discretos y los definidos por el problema continuo.

Demostracion. Como ρ ∈ Nd y χk es Y -periodica, entonces χk es tambien la unica solucion deAχk =

∂ak`

∂y`en ρY,

χk ∈ H1#(ρY ), mρY (χk) = 0.

Ahora, necesitamos una funcion para comparar χkρ con χk. Consideramos la unica solucion del

problema Aχk

b = σkν∂bk`

∂y`en ρY,

χkb ∈ H1

#(ρY ), mρY (χkb ) = 0,

(B.50)

donde ν > 0 se elegira mas adelante. Por la desigualdad triangular, se tiene

‖∇(χk − χkρ)‖2 ≤ ‖∇(χk − χk

b )‖2 + ‖∇(χkb − χk

ρ)‖2.

Dadas las ecuaciones que satisfacen χk y χkb , resulta∫

ρY

A(χk − χkb ) (χk − χk

b )dy =∫ρY

∂ak`

∂y`(1− ν

σ`)(χk − χk

b )dy.

Entonces, como los coeficientes aij son elıpticos, se tiene

‖∇(χk − χkb )‖L2(ρY ) ≤ cβ

αsup

i=1,...,n|(1− ν

σi)|. (B.51)

Ahora, dado que χkb satisface (B.50),∫

ρY

A(χkb − χk

ρ) (χkb − χk

ρ)dy =∫ρY

νσk∂bjk∂yj

(χkb − χk

ρ)dy −∫ρY

aij

∂(χkb − χk

ρ)∂yj

∂χkρ

∂yidy

= −∫ρY

(νσkbjk + aij

∂χkρ

∂yi

)∂(χk

b − χkρ)

∂yj. (B.52)


Por otra parte, como χkρ satisface (B.46), por la formulacion variacional se tiene∫

ρY

(bjk + bji

∂χkρ

∂yi

)∂ϕ

∂yjdy = 0 ∀ϕ ∈ H1

#(ρY ), k = 1, . . . , d.

Utilizando esta formulacion en (B.52) y como bij = aij/σiσj , resulta que∫ρY

A(χkb − χk

ρ) (χkb − χk

ρ)dy =∫ρY

aij

(σkν

σiσj− 1)∂χk

ρ

∂yi

∂(χkb − χk

ρ)∂yj

,

y por tanto,

‖∇(χkb − χk

ρ)‖2 ≤ c‖∇χkρ/σ‖2 sup

i,j=1,...,n‖aij(y)(σi −

νσk

σj)‖∞.

Como χkρ es solucion de (B.46),

‖∇χkρ/σ‖2 =

n∑j=1

1σ2

j

∥∥∥∥∥∂χkρ

∂yj

∥∥∥∥∥2 1

2

≤ cβ

ασk.

Por lo tanto, denotando por ‖a‖∞ a la norma L∞ de los coeficientes aij, se tiene

‖∇(χkb − χk

ρ)‖2 ≤ c‖a‖∞σk

supi,j=1,...,n

∣∣∣∣σi −νσk

σj

∣∣∣∣ ≤ c‖a‖∞ supi,j=1,...,n

∣∣∣∣ σi

σk− ν

σj

∣∣∣∣ .Por ultimo, considerando esta estimacion y (B.51), se obtiene

‖∇(χk − χkρ)‖2 ≤ c

[sup

i,j=1,...,n

∣∣∣∣ σi

σk− ν

σj

∣∣∣∣+ supi=1,...,n

|1− ν

σi|

],

donde c depende de los coeficientes y de la dimension. Entonces, considerando ν un valor delintervalo [σm, σM ], resulta que

‖∇(χk − χkρ)‖2 ≤ 3c sup

i,j=1,...,n

∣∣∣∣1− σi

σj

∣∣∣∣ ,y gracias a (B.48), se concluye la demostracion de (B.49).

Ası, gracias al Lema B.2 y a (B.47), se tiene el siguiente resultado:

Lema B.3 Sea χk la solucion de (B.11) para k = 1, . . . , d. Sea σ definida por (B.44) y quesatisface (B.48). Supongamos que |ρ/p| < δ. Entonces, resulta que

supy∈Γ 2π

p

|ρkΘkq (y)− χk(ρy)| ≤ cδ, (B.53)

con c independiente de k, ρ, p y q.


Por otro lado, como los coeficientes ak` y las funciones test χk son Y -periodicas, los coeficienteshomogeneizados satisfacen la siguiente formula

2a∗k` =1|ρY |

∫ρY

(2ak` −

∂aj`

∂xjχk −

∂akj

∂xjχ`

)dx

=1|Y |

∫Y

(2ak`(ρy)−

χk(ρy)ρj

∂aj`

∂yj(ρy)− χ`(ρy)

ρj

∂akj

∂yj(ρy)

)dy. (B.54)

Tambien, dado que q y p satisfacen (B.42), la formula (B.29) se escribe como

qkq`2∂2

k`µ1(0) =1p

∑y∈Γ 2π

p

ak`(ρy(k, `))−d∑

j=1

qkΘkq (y)qj

∇2πp

j aj`(ρy(`, j)). (B.55)

Ahora estamos ya en condiciones de comparar (B.54) y (B.55), cosa que realizamos en los dossiguientes lemas.

Lema B.4 Supongamos que los coeficientes ak` son Lipschitz. Entonces, resulta que∣∣∣∣∣∣∣1|Y |

∫Y

ak`(ρy)dy −1p

∑y∈Γ 2π

p

ak`(ρy(k, `))

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ c

∣∣∣∣ρp∣∣∣∣ , (B.56)

donde c es la constante Lipschitz de los coeficientes.

Su demostracion es inmediata usando la media en el mallado Γ 2πp

.

Lema B.5 Supongase que ∇ak` son Lipschitz. Ademas, sea σ definida por (B.44) y suponga-mos que se satisface (B.48). Entonces, para |ρ/p| ≤ δ∣∣∣∣∣∣∣

1|Y |

∫Y

χk(ρy)ρj

∂aj`

∂yj(ρy)dy − 1

p

∑y∈Γ 2π

p

d∑j=1

qkΘkq (y)qj

∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ cδ. (B.57)

Demostracion. Usando (B.53) resulta

1p

∑y∈Γ 2π

p

∣∣∣∣∣∣[qkΘkq (y)− σkχ

k(ρy)]d∑

j=1

1qj∇

2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣ ≤ cδ, (B.58)


donde c depende de la norma W 1,∞ de los coeficientes. Por otra parte,∣∣∣∣∣∣d∑

j=1

χk(ρy)[σk

qj− 1ρj

]∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣ ≤ c supk,j=1,...,d

∣∣∣∣σk

σj− 1∣∣∣∣ ,

donde c depende de la W 1,∞ de los coeficientes y la norma L∞ de las funciones test. Entonces,por (B.48), se tiene ∣∣∣∣∣∣

d∑j=1

χk(ρy)[σk

qj− 1ρj

]∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣ ≤ cδ.

Finalmente, considerando esta estimacion y (B.58), solo quedarıa por probar que∣∣∣∣∣∣∣1|Y |

∫Y

χk(ρy)ρj

∂aj`

∂yj(ρy)dy − 1

p

∑y∈Γ 2π

p

d∑j=1

χk(ρy)ρj

∇2πp

j aj`(ρy(`, j))

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ cδ,

para demostrar (B.57). Pero esto es inmediato usando la formula de la media en el mallado Γ 2πp

.

En resumen, reuniendo los resultados de los Lemas B.2–B.5 se tiene:

Proposicion B.4 Sean a∗k` los coeficientes homogeneizados definidos en (B.2) y (B.6). Supon-gase que los coeficientes ak` son Lipschitz. Sean δ > 0 y σ definida por (B.44) y supongamosque se satisface (B.48). Entonces, las derivadas segundas de µ1 en η = 0, definidas en (B.29),cuando |ρ/p| ≤ δ satisfacen para cada k, ` = 1, . . . , d,∣∣∣∣qkq` ∂2µ1

∂ηkη`(0)− 2a∗k`

∣∣∣∣ ≤ cδ, (B.59)

donde c > 0 depende de la dimension y de los coeficientes aij.

Bibliografıa

[1] F. Aguirre y C. Conca, Eigenfrequencies of a tube bundle inmersed in a fluid, Appl.Math. Optim., 18, pag. 1-38, (1988).

[2] G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence, SIAM J. Math. Anal., 23,pag. 1482–1518, (1992).

[3] G. Allaire, Shape optimization by the homogenization method, Springer-Verlag, NewYork, 2002.

[4] G. Allaire y C. Conca, Analyse asymptotique spectrale de l’equation des ondes.Homogeneisation par ondes de Bloch, C. R. Acad. Sci. Paris, t.321, Serie I, pag. 293-298, (1995).

[5] G. Allaire y C. Conca, Analyse asymptotique spectrale de l’equation des ondes.Completude du spectre de Bloch, C. R. Acad. Sci. Paris, t.321, Serie I, pag. 557-562,(1995).

[6] G. Allaire y C. Conca, Bloch wave homogenization for a spectral problem in fluid-solid structures, Arch. Rational Mech. Anal., 135, pag. 197-257, (1996).

[7] G. Allaire y C. Conca, Boundary layers in the homogenization of a spectral problemin fluid-solid structures, SIAM J. Math. Anal. 29 (1998), no. 2, 343–379.

[8] G. Allaire y A. Mico, Boundary layer tails in periodic homogenization, ESAIMControl Optim. Calc. Var. 4 (1999), 209–243.

[9] V. I. Arnol′d y A. Avez, Ergodic problems of classical mechanics, W. A. Benjamin,Inc., New York-Amsterdam, 1968.

[10] M. Avellaneda, T. Y. Hou, y G. C. Papanicolaou, Finite difference approxi-mations for partial differential equations with rapidly oscillating coefficients, RAIROModel. Math. Anal. Numer., 25 (1991), pp. 693–710.

[11] I. Babuska, Solution of interface problems by homogenization. I, SIAM J. Math. Anal.7 (1976), no. 5, 603–634.

[12] I. Babuska y J. E. Osborn, Can a finite element method perform arbitrarily badly?,Math. Comp. 69 (2000), no. 230, 443–462.

277

278 BIBLIOGRAFIA

[13] N. Bakhvalov y G. Panasenko, Homogenisation: averaging processes in periodicmedia, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1989.

[14] C. M. Bender y S. A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists andengineers, McGraw-Hill, 1978.

[15] M. P. Bendsøe, Optimization of structural topology, shape, and material, Springer-Verlag, Berlin, 1995.

[16] A. Bensoussan, J. Lions, y G. Papanicolaou, Asymptotic Analysis for PeriodicStructures, North-Holland, Amsterdam, 1978.

[17] F. Bloch,Uber die quantenmechanik der electronen in kristallgittern, Z. Phys., 52,(1928), pp. 555–600.

[18] J. H. Bramble, B. E. Hubbard y V. Thomee, Convergence estimates for essentiallypositive type discrete Dirichlet problems, Math. Comp. 23 (1969), 695–709.

[19] O. Bratteli, P. E. T. Jørgensen y D. W. Robinson, Spectral asymptotics ofperiodic elliptic operators, Math. Z. 232 (1999), no. 4, 621–650.

[20] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Theorie et Applications, Collection MathematiquesAppliquees pour la Maıtrise, Masson, Paris, 1983.

[21] C. Canuto y A. Quarteroni, Propietes d’approximation dans les espaces de Sobolevde systemes de polynomes orthogonaux, C. R. Acad. Sc. Paris, Serie A (1980), pp. 925–928.

[22] L. Cao, J. Cui y D. Zhu, Multiscale asymptotic analysis and numerical simulationfor the second order helmholtz equations with rapidly oscillating coefficients over generalconvex domains, SIAM J. Numer. Anal. 40 (2002), no. 2, 543–577.

[23] C. Castro y E. Zuazua, Low frequency asymptotic analysis of a string with rapidlyoscillating density, SIAM J. Appl. Math., 60 (2000), 1205-1233.

[24] C. Castro y E. Zuazua, High frequency asymptotic analysis of a string with rapidlyoscillating density, Eur. J. Appl. Math., 11(6) (2000), 595-622.

[25] T. Cazenave y A. Haraux, Introduction aux problemes d’evolution semi-lineaires,Mathematiques & Applications, Ellipses, Paris, 1990.

[26] A. Cherkaev y R. Kohn, Topics in the Mathematical Modelling of Composite Mate-rials, Birkhauser, Boston, 1997.

[27] D. Cioranescu y P. Donato, An introduction to homogenization, The ClarendonPress Oxford University Press, New York, 1999.

[28] D. Cioranescu y J. Saint Jean Paulin, Homogenization of reticulated structures,Springer-Verlag, New York, 1999.

BIBLIOGRAFIA 279

[29] C. Conca, D. Gomez, M. Lobo y M.E. Perez, Homogenization of periodicallyperforate media, Indiana Univ. Math. J. 48 (1999), no. 4, 1447–1470.

[30] C. Conca y S. Natesan, Numerical methods for elliptic partial differential equationswith rapidly oscillating coefficients, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 192 (2003),pp. 47–76.

[31] C. Conca, S. Natesan y M. Vanninathan, Numerical solution of elliptic partialdifferential equations by Bloch waves method, XVII CEDYA: Congreso en EcuacionesDiferenciales y Aplicaciones/VII CMA: Congreso en Matematicas Aplicada (Espana)(Salamanca, 2001), Dep. Mat. Apl., Univ. Salamanca, 2001, 63–83.

[32] C. Conca, R. Orive y M. Vanninathan, Bloch approximation in homogenizationand applications, SIAM J. Math. Anal., 33 (2002), no. 5, 1166–1198.

[33] C. Conca, R. Orive y M. Vanninathan, Bloch approximation in homogenizationon bounded domains, submitido a Asymptotic Analysis (2003).

[34] C. Conca, J. Planchard y M. Vanninathan, Fluids and Periodic Structures, Re-search in Applied Mathematics, 38, J. Wiley/Masson, New York/Paris, 1995.

[35] C. Conca y M. Vanninathan, A spectral problem arising in fluid-solid structures,Comp. Meth. Appl. Mech. Engi., 69, pag. 215–242, (1988).

[36] C. Conca y M. Vanninathan, Homogenization of periodic structures via Bloch de-composition, SIAM J. Appl. Math., 57 (1997), pp. 1639–1659.

[37] C. Conca y M. Vanninathan,On uniform H2-estimates in periodic homogenization,Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 131 (2001), no. 3, 499–517.

[38] C. Conca y M. Vanninathan, Fourier approach to homogenization problems, ESAIMControl Optim. Cal. Var. 8 (2002), no. 1, 489–511.

[39] G. Dal Maso, Some theorems on the Γ-limits of measures, Boll. Un. Mat. Ital. B (5)15 (1978), no. 1, 182–192.

[40] G. Dal Maso, An Introduction to Γ-Convergence, Birkhauser, Boston, 1993.

[41] R. Dautray y J. Lions, Analyse Mathematique et Calcul Numerique pour les scienceset les techniques. Tome 2, Masson, Paris, 1985.

[42] M. Dorobantu y B. Engquist, Wavelet-based numerical homogenization, SIAM J.Numer. Anal. 35 (1998), no. 2, 540–559.

[43] J. Duoandikoetxea y E. Zuazua, Moments, masses de Dirac et decomposition defonctions, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 315 (1992), pp. 693–698.

[44] G. Duro y E. Zuazua, Large time behavior for convection-diffusion equations in RN

with asymptotically constant diffusion Comm. Partial Differential Equations, 24, (1999),pp. 1283–1340.

280 BIBLIOGRAFIA

[45] M.S.P. Eastham, The Spectral Theory of Periodic Differential Equations, ScottishAcademic Press, Edinburgh, 1973.

[46] Y. R. Efendiev y X.-H. Wu, Multiscale finite element for problems with highly os-cillatory coefficients, Numer. Math. 90 (2002), no. 3, 459–486.

[47] A. F. M. ter Elst, D. W. Robinson y A. Sikora, On second-order periodic ellipticoperators in divergence form, Math. Z. 238 (2001), no. 3, 569–637.

[48] B. Engquist, Computation of oscillatory solutions to partial differential equations,Nonlinear hyperbolic problems (St. Etienne, 1986), Springer, Berlin, 1987, pp. 10–22.

[49] B. Engquist y T. Y. Hou, Particle method approximation of oscillatory solutions tohyperbolic differential equations, SIAM J. Numer. Anal., 26 (1989), pp. 289–319.

[50] B. Engquist y J.-G. Liu, Numerical methods for oscillatory solutions to hyperbolicproblems, Comm. Pure Appl. Math., 43, (1993), pp. 1327–1361.

[51] B. Engquist y E. Luo, Convergence of a multigrid method for elliptic equations withhighly oscillatory coefficients, SIAM J. Numer. Anal. 34 (6), pag. 2254–2273, (1997).

[52] G. Floquet, Sur les equations differentielles lineaires a coefficients periodiques, Ann.Ecole Norm. Ser. 2 12 (1883), 47–89.

[53] Th. Gallay y G. Raugel, Scaling variables and asymptotic expansions in dampedwave equations, J. Differential Equations 150 (1), pag. 42–97, (1998).

[54] J.M. Gelfand, Expansion in series of eigenfunctions of an equation with periodiccoefficients, Dokl. Akad., Nauk, SSSR 73, pag. 1117–1120, (1950).

[55] P. Gerard, Mesures semi-classiques et ondes de Bloch, Seminaire Ecole Polytechnique1990-1991 (Paris), Expose No. XVI, 1991, pp. 1–19.

[56] P. Gerard, P. A. Markowich, N. J. Mauser y F. Poupaud, Homogenizationlimits and Wigner transforms, Comm. Pure Appl. Math. 50 (1997), no. 4, 323–379.

[57] D. Gilberg y N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of SecondOrder, Springer-Verlag, Berlin, 1977.

[58] G. H. Hardy y E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, four edition,Oxford at the Clarendon Press, 1959.

[59] U. Hornung, Homogenization and Porous Media, Springer-Verlag, New York, 1997.

[60] T. Y. Hou, X.-H. Wu, y Z. Cai, Convergence of a multiscale finite element method forelliptic problems with rapidly oscillating coefficients, Math. Comp., 68 (1999), pp. 913–943.

[61] E. Isaacson y H. B. Keller, Analysis of numerical methods, John Wiley & SonsInc., Berlin, 1966.

BIBLIOGRAFIA 281

[62] V. V. Jikov, S. M. Kozlov y O. A. Oleınik, Homogenization of differential oper-ators and integral functionals, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

[63] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, New York, 1966.

[64] J.L. Lions, Some Methods in the Mathematical Analysis of Sistems and Their Control,Gordon and Breach, Science Publishers, New York, 1981.

[65] A. M. Matache, I. Babuska y Ch. Schwab, Generalized p-FEM in homogenization,Numer. Math. 86 (2000), no. 2, 319–375.

[66] A.-M. Matache y Ch. Schwab, Homogenization via p-FEM for problems with mi-crostructure, Proceedings of the Fourth International Conference on Spectral and HighOrder Methods (ICOSAHOM 1998) (Herzliya), vol. 33, 2000, 43–59.

[67] A.-M. Matache y Ch. Schwab, Two-scale FEM for homogenization problems, M2AN36 (2002), no. 4, 537–572.

[68] R. C. Morgan y I. Babuska, An approach for constructing families of homogenizedequations for periodic media. I. An integral representation and its consequences, SIAMJ. Math. Anal. 22 (1991), no. 1, 1–15.

[69] R. C. Morgan y I. Babuska, An approach for constructing families of homogenizedequations for periodic media. II. Properties of the kernel, SIAM J. Math. Anal. 22(1991), no. 1, 16–33.

[70] F. Murat, Compacite par compensation, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 5(1978), no. 3, 489–507.

[71] F. Murat, H-convergence. Seminaire d’Analyse Fonctionnelle et Numerique del’Universite d’Alger, 1978.

[72] F. Murat y L. Tartar, H-convergence, Topics in the mathematical modelling ofcomposite materials, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1997, pp. 21–43.

[73] M. Neuss-Radu, Boundary layers in the homogenization of elliptic problems, TesisDoctoral, Universidad de Heidelberg, Alemania, Julio, 1999.

[74] G. Nguetseng, A general convergence result for a functional related to the theory ofhomogenization, SIAM J. Math. Anal., 20, pp. 1394–1414, (1989).

[75] H. Niederreiter, Quasi-Monte Carlo methods and pseudo-random numbers, Bull.Amer. Math. Soc., 84 (1978), pp. 957–1041.

[76] J. Nitsche y J. C. C. Nitsche, Error estimates for the numerical solution of ellipticdifferential equations, Arch. Rational Mech. Anal. 5 (1960), 293–306.

[77] F. Odeh y J. Keller, Partial differential equations with periodic coefficients andBloch waves in crystals, J. Math. Phys., 5 (1964), pp. 1499–1504.

282 BIBLIOGRAFIA

[78] O.A. Oleinik, A.S. Shamaev y G.A. Yosifian, Mathematical Problems in Elasticityand Homogenization, North-Holland, Amsterdam, 1992.

[79] R. Orive, Analisis Asintotico y Homogeneizacion de Ecuaciones en Derivadas Par-ciales, Tesis Doctoral, Universidad Autonoma de Madrid, Espana, Junio, 2003.

[80] R. Orive, Asymptotic expansions by the Bloch approximation, artıculo en preparacion,(2003).

[81] R. Orive, A. F. Pazoto y E. Zuazua, Asymptotic expansion for damped waveequations with periodic coefficients, Math. Mod. Meth. in Appl. Sci., (11) 7, (2001),pp. 1285–1310.

[82] R. Orive y E. Zuazua, Finite difference approximation of homogenization problemsfor elliptic equations, artıculo en preparacion, (2003).

[83] J. H. Ortega, Comportamiento asintotico, control y estabilizacion de algunos sistemasparabolicos y de placas. Tesis doctoral, Universidad Complutense de Madrid, Espana,1997.

[84] J. H. Ortega y E. Zuazua, Large time behavior in RN for linear parabolic equationswith periodic coefficients, Asymptotic Anal., 22, (2000), pp. 51–85.

[85] A. Piatnitski y E. Remy, Homogenization of elliptic difference operators, SIAM J.Math. Anal. 33 (2001), no. 1, 53–83.

[86] P.A. Raviart y J.M. Thomas, Introduction a l’Analyse Numerique des Equationsaux Derivees Partielles, Masson, Paris, 1983.

[87] M. Reed y B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. I. Functional Anal-ysis, Academic Press, New York, 1972–1978.

[88] M. Reed y B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. IV. Analysis ofOperators, Academic Press, New York, 1972–1978.

[89] J. Sanchez-Hubert y E. Sanchez-Palencia, Vibration and coupling of continuoussystems. Asymptotic methods, Springer-Verlag, Berlin, 1989.

[90] E. Sanchez-Palencia, Solutions periodiques par rapport aux variables d’espace etapplications, C. R. Acad. Scu. Paris Ser. A-B 271 (1970), A1129–A1132.

[91] E. Sanchez-Palencia, Non Homogeneous Media and Vibration Theory, LecturesNotes in Phys., 127, Springer-Verlag, Berlin, 1980.

[92] F. Santosa y W. W. Symes, A dispersive effective medium for wave propagation inperiodic composites, SIAM J. Appl. Math., 51 (1991), pp. 984–1005.

[93] F. Santosa y M. Vogelius, First-order corrections to the homogenized eigenvaluesof a periodic composite medium, SIAM J. Appl. Math., 53, pp. 1636-1668, (1993).

[94] J. E. Shockley, Introduction to number theory, Holt, Rinehart and Winston, Inc.,New York, 1967.

[95] S. Spagnolo, Sulla convergenza di soluzioni di equazioni paraboliche ed ellittiche, Ann.Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 22 (1968), 571–597.

[96] S. Spagnolo, Convergence in energy for elliptic operators, en Numerical Solutions ofP.D.E. III Synspade 1975, B. Hubbard, ed., Academic Press, New York, (1976).

[97] E.M. Stein, Harmonic Analysis, Princeton Univ. Press, Princenton, 1993.

[98] L. Tartar, Problemes d’homogeneisation dans les equations aux derivees partielles, inCours Peccot au College de France, 1977.

[99] C.H. Wilcox, Theory of Bloch waves, J. Anal. Math., 33, pag. 146-167, (1978).

[100] J. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Claredon Press, Oxford, 1965.

agradecimientos - uam.es · contables horas de trabajo. ... tal y como hoy lo conocemos, datan de...

Documents