agradecimientos a todos mis compañeros y trabajadores del ... · cálculo de primitivas. reglas de...

Agradecimientos a todos mis compañeros y trabajadores del I.E.S. Cieza de León, en

especial, a su equipo directivo, por haber hecho posible la edición de este cuadernillo.

Y por supuesto, a mi amigo Jesús Báez Núñez por su trabajo en la portada.

“PROBLEMAS PROPUESTOS DE MATEMÁTICAS II EN LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA” Autor: Manuel Barco Castro Edita: I.E.S. “Cieza de León”, Llerena (Badajoz) ISBN: 978-84-611-4589-8

A mi familia Este cuadernillo contiene todos los problemas, con su solución, propuestos en las

Pruebas de Acceso a la Universidad de Extremadura en la materia de Matemáticas II

desde 1994 hasta septiembre de 2007. Se han organizado los ejercicios separándolos

en las doce unidades didácticas en que se divide la programación de Matemáticas II

del I.E.S. “Cieza de León” de forma que puedan ser consultados fácilmente a lo largo

del curso. Están ordenados cronológicamente y se indica el año en que se repiten los

mismos ejercicios, por lo que también permite un análisis rápido de la evolución del

contenido de las pruebas en las diferentes unidades.

Matemáticas II Problemas PAU Extremadura

CONTENIDOS DE MATEMÁTICAS II QUE SERVIRÁN DE BASE PARA LA ELABORACIÓN DE LAS PROPUESTAS DE

EXAMEN EN LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA

CURSO 2007-2008 ANÁLISIS Concepto y ejemplos de límite de una función en un punto, incluyendo límites laterales, y de límite cuando la variable tiende a ∞+ y a ∞− . Conocimiento de las propiedades de los límites. Cálculo de límites. Indeterminaciones. Definición y ejemplos de función continua. Continuidad de las funciones elementales y de las funciones definidas a trozos. Conocimiento de las propiedades de las funciones continuas (operaciones, conservación de signo, acotación). Funciones continuas en un intervalo. Teorema de Bolzano: enunciado, ejemplos, interpretación geométrica y determinación en algunos casos, exacta o aproximada, del punto al que se refiere. Aplicación a la resolución aproximada de ecuaciones. Teorema de los valores intermedios: enunciado, ejemplos, significado geométrico. Teorema de Weierstrass: enunciado, ejemplos, significado geométrico. Derivada de una función en un punto: definición e interpretación geométrica. Definición de función derivable. Demostración de la continuidad de las funciones derivables. Ejemplos de funciones continuas no derivables. Derivadas de orden superior (2ª y 3ª). Derivadas de las funciones elementales. Derivadas de sumas, productos, cocientes y funciones compuestas. Derivación implícita. Cálculo de la recta tangente a una curva dada en forma implícita o explícita ( )xfy = . Definición de función creciente y decreciente en un punto y de máximo y mínimo relativo de una función. Demostración de la relación entre el signo de la derivada y el crecimiento de la función. Demostración de la anulación de la derivada en los extremos relativos. Curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión. Teorema de Rolle: enunciado, demostración, interpretación geométrica, determinación en algunos casos de un punto al que se refiere. Aplicación al estudio de la unicidad de soluciones de ecuaciones.

Manuel Barco Castro 1


Teorema del Valor Medio de Lagrange: enunciado e interpretación geométrica. Enunciado y aplicación de la Regla de L’Hôpital. Aplicación de límites y derivadas a la representación de funciones, incluyendo asíntotas. Estudio de las propiedades locales de las funciones: extremos locales, crecimiento y puntos de inflexión. Problemas de máximos y mínimos, optimización. Definición de primitiva de una función y de integral indefinida. Propiedades del cálculo de primitivas. Reglas de cálculo de integrales inmediatas. Explicación y aplicación de los métodos de integración por partes y por sustitución o cambios de variable (dados o no). Integración de funciones racionales en el caso de que el denominador tenga raíces reales simples o múltiples. Concepto de integral definida, interpretación geométrica y ejemplos. Propiedades de la integral definida: enunciado e interpretación gráfica. Teorema del valor medio del cálculo integral: enunciado, interpretación geométrica y determinación en algunos casos del punto al que se refiere. Teorema Fundamental del Cálculo Integral, Regla de Barrow: enunciado, aplicación al cálculo de áreas de recintos planos limitados por curvas y rectas, representándolos previamente de forma esquemática. ÁLGEBRA LINEAL Definición de matriz y operaciones con matrices. Conocimiento de sus propiedades. Propiedades y cálculo de determinantes. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales. Dependencia e independencia lineal de filas y columnas de matrices. Rango de una matriz: por filas, por columnas y a partir de los menores. Conocimiento de las transformaciones que no modifican el rango. Dependencia e independencia lineal de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Regla de Cramer. Enunciado del teorema de Rouché–Frobenius. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales (incluso dependientes de un parámetro). GEOMETRÍA Definición de vector, de suma de vectores y de producto por un escalar en el espacio real tridimensional. Conocimiento de sus propiedades. Definición de independencia y dependencia lineal de vectores.



Definición del producto escalar. Conocimiento de sus propiedades y cálculo en coordenadas rectangulares. Módulo de un vector, ángulos y ortogonalidad. Definición del producto vectorial. Conocimiento de sus propiedades. Áreas de paralelogramos y triángulos. Definición del producto mixto. Volúmenes de paralelepípedos y tetraedros. Ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas y planos. Posiciones relativas de rectas y planos. Paralelismo. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales. Perpendicularidad y ángulos entre rectas y planos. Cálculo de la distancia entre puntos, rectas y planos. NOTA: Se intentará evaluar el conocimiento que tiene el alumno de las reglas del cálculo infinitesimal, vectorial y matricial; pero buscando un equilibrio entre las preguntas que evalúen dicho conocimiento y las que evalúen su madurez en la comprensión de los conceptos y afirmaciones. Las respuestas a las preguntas se razonarán siempre de acuerdo con los conocimientos propios del curso. Cuando una afirmación se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta. Los resultados deberán presentarse razonablemente simplificados.



TEMA 1: LÍMITES DE FUNCIONES 1. Definición de límite de una función ( )xf cuando x tiende a ∞+ . Justificar, a partir de la

definición anterior, que la función ( ) senxxf = no tiene límite cuando x tiende a ∞+ .

(Junio, 1996) 2. Definición de límite de una función en un punto. Dar un ejemplo de una función ( )xf ,

definida para todo valor real de x , que no tenga límite cuando x tiende a 2.

( )⎩⎨⎧

<+≥−

=2121

:xsixxsix

xfSol ó ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−=

21

22

1

xsi

xsixxf ó ( )

⎩⎨⎧

<−≥

=2123

xsixsi

xf

(Septiembre, 1997)

3. Si existe el límite de una función ( )xf cuando x tiende a , y si es positivo

cuando , ¿podemos asegurar que tal límite es positivo?, ¿y qué no es negativo? Justifica razonadamente las respuestas. Sol: No; Sí

0x ( )xf

0xx <

(Junio, 1999)



TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Representa la gráfica de la función ( ) xxxf −+= 2 . Estudiar la continuidad de .

Hallar los límites de cuando f

( )xf x tiende a ∞+ y a ∞− . Sol: continua en ; los límites valen 2 y respectivamente.

R+∞

(Junio, 1998)

2. Enunciar el teorema de Bolzano. Calcular, con un error menor que una décima, una raíz

positiva del polinomio . ( ) 13 −+= xxxp 7'0:Sol

(Septiembre, 2001) 3. Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio ( ) 14 24 −−= xxxp tiene

alguna raíz negativa. Sol: al menos tiene una raíz negativa en ( )2,3 −−

(Junio, 2003) 4. Enunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuación xx cos= tiene

solución positiva. Sol: tiene una raíz positiva en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2,0 π

(Septiembre, 2004)



TEMA 3: DERIVADAS 1. Define función derivada de otra en un intervalo.

(Junio, 1994)

2. Halla la función derivada de , siendo ( )xf ( )( ]( )

[ )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+∞∈+

−∈

−∞−∈

=

,11

1

1,121

1,2

xsix

xsi

xsi

xf

x

Sol: es derivable en y ahí su derivada es: f { 1,1−−R } ( )( )( )

( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+∞∈++

−−∈

−∞−∈=

,1112

11,10

1,2ln2'

xsixx

xsixsi

xf

x

(Junio, 1994)

3. Obtener razonadamente una función continua tal que: f( )( ) 10

1'

'

<=>=

xsixfxsixxf

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥+

=11

12

1:

2

xsi

xsixxfSol ó ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≥=

121

12:

2

xsi

xsixxfSol

(Junio, 1995) 4. Estudiar para qué valores de a , b , la recta que une los puntos c ( )1,1−=A y es

tangente en el punto ( )3,1=B

B a la gráfica de la función: ( ) ( ) cbxxaxf +−+= 21ln Sol: ( )( )aaa ⋅−++− 2ln12 ,1 , Ra siendo ∈ cualquiera.

(Junio, 1995)

5. ¿Es derivable en el punto la función ? Justifica la respuesta. 1=x ( )⎩⎨⎧

<≥

=11

3

2

xsixxsix

xf

Sol: No, puesto que no coinciden las derivadas laterales ( ) 21' =+f y ( ) 31' =−f

(Septiembre, 1995) 6. Sea ( ) 22 xxf += ; . Construir las funciones , y obtener sus

derivadas.

( ) xxg cos= gf o fg o

( )( ) xxgfSol 2cos2: +=o ; ( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += 22cos xxfg o ; ( ) ( )

x

xsenxxgf2

'

cos2

cos

+

⋅−=o ;

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+

−= 2

2

' 22

xsenx

xxfg o

(Septiembre, 1995)



7. Enuncia y justifica razonadamente la regla para derivar el producto de dos funciones derivables.

(Junio, 1996)

8. Si y f g son funciones derivables en el punto ax = y ( ) ( ) 0== agaf , ¿cuánto vale la

derivada del producto de las dos funciones en el punto ax = . Justifica la respuesta. ( ) ( ) 0: ' =⋅ agfSol

(Septiembre, 1996)

9. Definición de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica.

(Junio, 1997; Junio, 1998; Septiembre, 1999) 10. Halla un punto de la curva de ecuación en que la recta tangente sea

paralela a la recta . 372 +−= xxy

xy 53−= ( )3,1: −Sol

(Septiembre, 1997) 11. Sean y f g dos funciones derivables en todo punto. Se supone que , ,

. Calcula la derivada en

( ) 10 =f ( ) 10' −=f

( ) 21' =g 0=x de la función ( ) ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛=

xfgxh 1 . ( ) 20: ' =hSol

(Septiembre, 1997)

12. Calcula la derivada en el punto 0=x de la función ( ) ( )2xxtgxf = . ( ) 00: ' =fSol

(Junio, 1999) 13. Calcula la derivada en el punto 1=x de la función ( ) xxxf ln2/1−= . ( ) 11: ' =fSol

(Septiembre, 2000) 14. Dadas las funciones y ( ) π+= 2xxf ( ) xsenxxg cos+= . Calcula la derivada en 0=x de

las funciones ( )( )xgf y . ( )( )xfg ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ;20: '' == fggfSol oo

(Junio, 2001) 15. Determina una recta tangente a la parábola que sea paralela a la recta de

ecuación .

22 xy −=42 =+ yx 32: +−= xySol

(Junio, 2003)

16. Determina los puntos de la curva plana en que la recta tangente es perpendicular

a la recta . Sol: P(4,2) y Q(–4,–2) xy 23 =

06 =+ xy

(Septiembre, 2004)



17. Hallar la derivada en de la función 0=x ( )( )xff , donde ( ) ( ) 11 −+= xxf .

( ) ( )410: ' =ffSol o

(Junio, 2005)

18. Hallar la derivada en el punto de la función 0=x ( )( )xff , donde ( ) senxxf = .

( ) ( ) 10: ' =ffSol o

(Septiembre, 2005)

19. Dada la función ( ) ( )( )1coscos

1+−++

=xxxsensenxxf , en el intervalo π20 << x , calcula su derivada,

simplificándola en lo posible. ¿Es constante esta función ( )xf ? ( ) ( ) ctexfxfSol =⇒= 0: '

(Septiembre, 2006)

20. a) Enuncia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas; b) Dada la función

] , calcula el valor de su derivada en ( ) ( )[ xfsenexh = 0=x , sabiendo que ( ) 00 =f y . ( ) 10' =f ( ) 10: ' =hSol

(Junio, 2007)



TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. Define mínimo relativo y mínimo absoluto de una función.

(Septiembre, 1994) 2. Halla los mínimos de la función ( ) ( )412 2 −⋅−⋅= xxy en el intervalo [ ] . 3,3−

Sol: mínimo relativo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+27

1352140,3

131 , mínimo absoluto ( )40,3 −−

(Septiembre, 1994)

3. ¿Presenta la función un punto de inflexión en el punto de abscisas

? Justifica la respuesta. Sol: No, porque la función es convexa en todo su dominio. ( ) 124 ++= xxxf

0=x

(Junio, 1995) 4. Sea una función derivable, cuya derivada , es la función representada en la figura.

Hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función , justificando la construcción. f 'f

f

1 2 3

Sol: es estrictamente creciente en f ( ) ( )+∞∪∞− ,31, y estrictamente decreciente en ; es un máximo relativo de , y es un mínimo relativo de ; es convexa en y cóncava en

; es un punto de inflexión de

( )3,1 1=xf 3=x f f ( +∞,2 )

( )2,−∞ 2=x f

(Septiembre, 1995) 5. Determina las dimensiones de un rectángulo de perímetro dado para que su área sea

máxima. Sol: base y altura miden 4P u ; por tanto, debe ser un cuadrado de lado

4P u

(Septiembre, 1996)

6. Determina los intervalos de crecimiento de la función ( ) ( )21ln xxxf += .

Sol: estrictamente creciente en ( ) ( )+∞∪∞− ,00,

(Junio, 1997)



7. Si una función derivable y positiva tiene un mínimo relativo en un punto f ax = y la segunda derivada no es nula. ¿Qué podemos decir del signo de las dos primeras derivadas de en ese punto? Sol: La primera vale cero y la segunda es positiva.

( )af ''

( )2xf

(Septiembre, 1998)

8. Representa gráficamente la función ( ) 2234 234 −++= xxxxp estudiando sus máximos y

sus mínimos. ¿Cuántas raíces reales tiene este polinomio p ? Sol: p es estrictamente decreciente en y estrictamente creciente en ( 0,∞− ) ( )+∞,0 ; mínimo relativo ( )2,0 − ; p es convexa en ; Rp tiene 2 raíces reales.

(Junio, 1999)

9. Enuncia la regla de L’Hôpital. Calcular: 1

cos10 −−

→ xx exlím (Sol: 0)

(Septiembre, 1999)

10. Determina el dominio de definición de la función ( ) ( )1ln 2 −−= xxxf y representa su

gráfica, calculando los intervalos de crecimiento y los extremos (máximos y mínimos relativos). ( ) ( ) ( )+∞∪−∞−= ,11,: fDomSol ; es estrictamente creciente en ( )f ( )+∞+∪−∞− ,211, ;

estrictamente decreciente en ( )21,1 + ; mínimo relativo ( )( )21ln2ln21,21 +−−++ ; convexa en ; no hay puntos de inflexión; ( ) ( +∞∪−∞− ,11, ) 1=x y 1−=x son asíntotas verticales.

(Junio, 2000)

11. Define el concepto de derivada de una función en un punto f ax = , y explicar su

relación con los máximos relativos de la función.

(Junio, 2000)

12. Representa gráficamente la función ( )275

22

23 +−−= xxxxf . ¿Cuántas raíces reales

positivas tiene este polinomio? Sol: estrictamente creciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,2/13/1, ; estrictamente decreciente en ( ; máximo relativo )2/1,3/1− ( )18/7,3/1− ; mínimo relativo ( )216/41,2/1 − ; cóncava en

; convexa en ( ; punto de inflexión en ( 12/1,∞− ) )+∞,12/1 ( )432/43,12/1 ; no hay asíntotas; ( punto de corte con el eje

)27/5,0y ; tiene dos raíces positivas.

(Septiembre, 2000) 13. Representa la gráfica del polinomio ( ) 2'032 23 −+= xxxf . ¿Cuántas raíces reales

negativas tiene este polinomio? ¿Y cuántas positivas? Sol: es estrictamente creciente en ; estrictamente decreciente en

f( ) ( +∞∪−∞− ,01, ) ( )0,1− ; mínimo relativo ( )2'0,0 − ; máximo relativo

; convexa en ( 8'0,1− ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞− ,21 y cóncava en ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞−21, ; punto de inflexión ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 3'0,

21 ; el polinomio tiene

dos raíces reales negativas y una positiva. (Junio, 2001)



14. Entre todos los rectángulos de área dada, ¿cuál es el de perímetro mínimo? Sol: base y altura miden A u ; por tanto, debe ser un cuadrado de lado A u .

(Septiembre, 2001)

15. Define el concepto de derivada de una función en un punto f ax = , y explicar su

relación con el crecimiento de la función.

(Junio, 2002) 16. Representa la gráfica de la función ( ) ( ) 122 −+= xxxf , determinando los intervalos donde

es creciente. Sol: es estrictamente creciente en f ( ) ( )+∞∪−∞− ,2/12/1, ; estrictamente decreciente en ; máximo relativo ( ) ( 2/1,00,2/1 ∪− ) ( )2,2/1 −− ; mínimo relativo ( )2,2/1 ; ; no hay

puntos de corte con los ejes de coordenadas; es simétrica impar; ( ) { }0−= RfDom

0=x es una asíntota vertical; xy 2= es una asíntota oblicua que no corta a la gráfica de ; f ( ) ( )0,,0 ∞−∈∀< xxf , ( ) ( +∞∈∀> ,0,0 xxf )

) ), cóncava

en ; convexa en ; no hay puntos de inflexión. ( 0,∞− ( +∞,0

(Junio, 2002) 17. Representa la gráfica de la función ( ) 33 −+= xxxf , determinando sus extremos (máximos

y mínimos relativos). Sol: estrictamente creciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,11, ; estrictamente decreciente en ; máximo relativo ; mínimo relativo ( ) ( 1,00,1 ∪− ) )( 2,1 −− ( )2,1 ; cóncava en ( )0,∞− ; convexa en ( )+∞,0 ;

no hay puntos de inflexión; es una asíntota vertical; es simétrica impar. 0=x

(Septiembre, 2002)

18. Enuncia la regla de L’Hôpital. Calcular el límite: ( )( )21 1

2cos1−

−→ x

xlímx

π . 22: πSol

(Septiembre, 2002)

19. Representa la gráfica de la función ( ) exexf x −= , determinando sus extremos (máximos

y mínimos relativos). ¿Existe algún valor de x en que ( )xf sea negativo? Sol: estrictamente creciente en ( ; estrictamente decreciente en )+∞,1 ( )1,∞− ; mínimo relativo ( )0,1 ; convexa en ; no hay puntos de inflexión; los puntos de corte con los ejes son

R( )0,1 y ( )1,0 ; ( ) 0>xf ( ) ( )+∞∪∞−∈∀ ,11,x y

, luego no existe ningún valor de ( ) 01 =f x en que ( ) 0<xf

(Junio, 2003) 20. Con un alambre de 2 metros se desea formar un cuadrado y un círculo. Determina el lado

del cuadrado y el radio del círculo para que la suma de sus áreas sea mínima.

41;

42:

+=

+=

ππrlSol

(Septiembre, 2003) 21. Determina en qué puntos es negativa la derivada de la función ( ) 2−= xexf x . ( )2,0: ∈∀xSol

(Septiembre, 2003)



22. Determina el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro. Sol: 1/4 m2

(Junio, 2004)

23. Si la gráfica de una función es:

–1 –2

–1

1

2 1

Representa aproximadamente la gráfica de la derivada . 'f

Sol: ( ) 0' >xf ( ) ( )+∞∪−∞−∈∀ ,11,x ; ( ) 0' <xf ( )1,1−∈∀x ; ( )0,1− y ( )0,1 son puntos de corte de la

gráfica de con el eje 'f x ; es estrictamente decreciente en 'f ( )0,∞− y estrictamente creciente en

; es mínimo relativo de ( )+∞,0 0=x 'f

(Junio, 2004)

24. Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determina las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima. Sol: 3, 3/2 y 2 dm.

2x x

(Septiembre, 2004) 25. Representar gráficamente la función ( ) senxxxf 2−= en el intervalo ππ <<− x ,

determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos). Sol: es estrictamente creciente en f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− ππππ ,

33, y estrictamente decreciente en ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

3,

3ππ ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 3

3,

3ππ es máximo relativo de , y f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 3

3,

3ππ es mínimo relativo de ; es convexa en f f

( )π,0 y cóncava en ( )0,π− ; ( es un punto de inflexión de ; es simétrica impar. )0,0 f

(Junio, 2005) 26. Enunciar el Teorema del Valor Medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que

para cualesquiera números reales yx < se verifica que xyxy −≤− coscos

(Septiembre, 2005)

27. Calcula xsenexlím

x

x 20

1 −+→

. 21: −Sol

(Junio, 2006)



28. Define el concepto de máximo relativo de una función y enuncia su relación con las derivadas sucesivas de .

ff

(Junio, 2006) 29. Calcula las asíntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función . A partir de los resultados obtenidos, dibuja la gráfica de la función . Sol: no tiene asíntotas verticales ni oblicuas,

( ) ( ) xxxf 121 −+=

( )xf 0=y es una asíntota horizontal;

( )( )22

2'

1

1

x

xxf+

−= , es estrictamente creciente en f ( )1,1− y estrictamente decreciente en ( ) ( )+∞∪−∞− ,11, ,

además ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21,1m es un mínimo relativo y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21,1M es un máximo relativo; ( ) ( )

( )32

2''

1

32

x

xxxf+

−⋅= , es

cóncava en

f

( ) ( )3,03, ∪−∞− y convexa en ( ) ( )+∞∪− ,30,3 , además ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

43,3 , ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

43,3 y

son puntos de inflexión. ( )0,0

(Septiembre, 2006) 30. Determina los puntos de la parábola que están a mínima distancia del punto

.

2xy =

( )1,0P ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −21,

22: 1QSol y ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21,

22

2Q

(Junio, 2007) 31. Enuncia el Teorema de Rolle. Prueba que la función ( ) 123 −−+= xxxxf satisface sus

hipótesis en el intervalo [ y calcula un punto del intervalo abierto cuya

existencia asegura el teorema.

] )1,1− ( 1,1−

31: =cSol

(Septiembre, 2007) 32. Para la función ( ) xexxf −= 2 :

a) Comprueba que la recta es asíntota horizontal en 0=y ∞+ . Sol: aplicando la regla de L´Hôpital se demuestra que ( ) 0=

+∞→xflím

x

b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Sol: es estrictamente decreciente en

f( ) ( +∞∪ )∞− ,20, y estrictamente creciente en el intervalo ( )2,0 . Además, ( )0,0m es

mínimo relativo y ( )24,2 −eM es máximo relativo. c) Con los datos anteriores, haz una representación aproximada de la gráfica de la

función ( ) xexxf −= 2

Otros datos que pueden ayudar para representar la función de manera más exacta son: La función es cóncava en el intervalo ( )22,22 +− y

convexa en ( ) ( )+∞+∪−∞− ,2222,

Hay dos puntos de inflexión: ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅−− +− 22

1 246,22 eI

y ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅++ −− 22

2 246,22 eI

(Septiembre, 2007)



TEMA 5: INTEGRALES INDEFINIDAS 1. Calcula . dxex x∫ ⋅3 ( ) CxxxeSol x +−+−⋅ 663: 23

(Septiembre, 1994) 2. Explicar la fórmula de integración por partes.

(Septiembre, 1994; Septiembre, 1998) 3. Explicar la relación existente entre los conceptos de primitiva e integral definida de una

función. ¿Son y primitivas de la misma función? Sol: Sí, de ( x3ln ) ( )xln ( )x

xf 1=

(Septiembre, 1995)

4. Definición de primitiva de una función. ¿Cuántas primitivas puede tener una función y

qué relación hay entre ellas? Sol: Puede tener infinitas, y se diferencian en una constante.

(Junio, 1997) 5. Explica la fórmula de cambio de variable de las integrales.

(Junio, 1999) 6. Determinar una función cuya derivada segunda sea ( ) xexxf ⋅='' . ( ) DCxexSol x ++⋅− 2:

(Septiembre, 2000) 7. Definir el concepto de primitiva de una función y explicar su relación con el concepto de

integral definida. (Septiembre, 2001)

8. Calcular una primitiva de la función ( ) ( ) xxxf ⋅+=

−12 1 que se anule en . 2=x

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

51ln

21:

2xxFSol

(Septiembre, 2002) 9. Define el concepto de primitiva de una función. ¿Existe alguna primitiva de la función

que no tome ningún valor positivo en el intervalo ( ) 1−= xxf 21 ≤≤ x ? Sol: existen infinitas, todas aquellas de la forma con ( ) kxxF −= ln 2ln≥k

(Junio, 2004) 10. Calcular una primitiva de la función ( ) ( ) 2/121 −⋅+= xxxf que se anule en . 1=x

( )15562

34

52: 2 −++= xxxxxxFSol

(Septiembre, 2005)



11. Halla una primitiva de la función ( ) xexxf ⋅= . ( ) ( ) xexxFSol ⋅−= 1:

(Junio, 2006)



TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES 1. Demostrar la regla de Barrow a partir del teorema fundamental del cálculo integral.

(Junio, 1994)

2. Aplicar la regla de Barrow al caso siguiente: Si ( )x

exFx 1−

= es una primitiva de ( )xf ,

calcular . ( )∫1

0 dxxf 2: −eSol

(Junio, 1994)

3. Calcular el área encerrada por la curva xsenxy = y las rectas , , 0=y 0=x2π

=x .

2 1: uSol

(Junio, 1995) 4. Determina el área del recinto limitado por la curva de ecuación y la recta

.

24 xxy −=xy 2= 2 3/4: uSol

(Junio, 1996)

5. Calcular, usando el cambio de variable o sustitución tx =+12 , la integral ∫ +4

0 12 dxx .

3/26:Sol (Junio, 1996)

6. Calcular, usando el cambio de variable o sustitución , la integral 103 −= xt ∫ −

4

3 3

2

10dx

xx .

1754ln

31:Sol

(Septiembre, 1996) 7. Concepto de integral definida de una función en un intervalo. Interpretación geométrica.

(Septiembre, 1996) 8. a) Determina la ecuación de una parábola cuyo vértice sea el punto de

coordenadas y pase por el punto cbxaxy ++= 2

( )1,1 ( )3,3 − . xxySol 2: 2 +−=

b) Calcular el área delimitada por esta parábola y la recta 3−=y . 2 3/32: uSol

(Junio, 1997)

9. Calcula, integrando por partes, el valor de . ∫ ⋅1

0 dxex x 1:Sol

(Septiembre, 1997)



10. Representa gráficamente la figura plana limitada por la parábola de ecuación y la recta . Calcula su área. ( ) 11 2 −−= yx 0=x 2 3/4: uSol

(Junio, 1998)

11. Concepto de integral definida de una función continua en un intervalo [ . Enuncia la

regla de Barrow. ]ba,

(Junio, 1998)

12. Calcular, usando el cambio de variable o sustitución xt ln= , la integral ∫ −

e

xxxdx

1 ln23.

3ln21:Sol

(Septiembre, 1998) 13. Dibujar el recinto plano limitado por la parábola y por la recta paralela a 12 =− xy xy =

que pasa por el punto . Calcular el área de este recinto. ( 0,1 ) 2 2/9: uSol

(Junio, 1999)


0

2 dxex x

41:

2 +eSol

(Septiembre, 1999) 15. Sean , 2axy = aaxy += las ecuaciones de una parábola p y una recta r

respectivamente. Demostrar las siguientes afirmaciones. a) Las abscisas de los puntos de corte de p y r no dependen del valor de . ab) Si se duplica el valor de , también se duplica el área encerrada entre a p y r .

(Septiembre, 1999)


1

2 ln dxxx97ln2

38: −Sol

(Septiembre, 1995; Junio, 2000)

x

y

17. Calcula el área limitada por la parábola 22xy = , la circunferencia y el eje OX, que aparece rayada en la figura:

122 =+ yx

2

121

8: uSol −π

(Junio, 2000)



18. Calcular, con el cambio de variable o sustitución , el valor de 32 += xt ∫ +

6

1 3dx

xx .

3/20:Sol

(Septiembre, 2000) 19. Determina una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola

, la recta y la recta xaxy 23 2 += 0=y ax = tiene área ( )22 1−a . 3/3:Sol

(Junio, 2001)

20. Calcular el valor de ∫1

0 2xe

xdx (puede hacerse con el cambio de variable y con el

cambio de variable ).

2xt −=

2xt = ( ) eeSol 2/1: −

(Junio, 2001) 21. Representar gráficamente el recinto plano limitado por la curva y su recta

tangente en el punto de abscisa xxy −= 3

1=x . Calcular su área. 2 4/27: uSol

(Septiembre, 2001) 22. Representar gráficamente la figura plana limitada por las parábolas ,

. Calcular su área.

24 xy −=42 −= xy 2 3/64: uSol

(Junio, 2002)

23. Calcular el valor de la integral . ∫ −⋅1

0 dxex x ( ) eeSol /2: −

(Junio, 2002)

24. Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la coordenada x es

positiva, por la recta , la hipérbola 1=x 1=xy , y la recta 016 =+− xy . Calcula su área. 2 3/13ln: uSol −

(Septiembre, 2002) 25. Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta 2−= xy y la parábola de

ecuación . Calcular su área. xy =2 2 2/9: uSol

(Junio, 2003)

26. Calcular el valor de la siguiente integral ( )∫ ⋅

2

lne

e xxdx (puede hacerse con el cambio de

variable ). tex = 2ln:Sol

(Junio, 2003)



27. Calcular el valor de la siguiente integral ∫ +

1

0 1xedx (puede hacerse con el cambio de

variable ). xet −= ( )eSol +−+ 1ln2ln1:

(Septiembre, 2003) 28. Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangente en

el punto de abscisa , y la recta

xey =0=x 1=x . Calcular su área. ( ) 2 2/52: ueSol −

(Septiembre, 2003)

29. Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la abscisa x es

positiva, por la curva , y por la recta xxy += 3 xy 2= . Calcular su área. 2 4/1: uSol

(Junio, 2004) 30. Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante , por

la recta 0,0 ≥≥ yx

xy = y la curva . Calcular su área. 3yx = 2 4/1: uSol

(Septiembre, 2004)

31. Calcular el valor de la siguiente integral ∫ −⋅2

1

3 2 1 dxxx (puede hacerse con el cambio de

variable ). 32 1 tx =− 3 389:Sol

(Septiembre, 2004)

32. Representar gráficamente el recinto plano limitado por las curvas , y por la

recta . Calcular su área.

xey = xey −=

1=x 21: −+e

eSol 2u

(Junio, 2005) 33. Calcular el valor de la siguiente integral, donde ln denota el logaritmo neperiano:

∫e

dxx

x

1 2

ln (puede hacerse por partes). e

Sol 21: −

(Junio, 2005)

34. Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta 1=− yx y por la curva de

ecuación 1−= xy . Calcular su área. 61:Sol 2u

(Septiembre, 2005) 35. Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangente en

el punto y el eje . Calcula su área.

4xy =

( )1,1 OY56:Sol 2u

(Junio, 2006)



36. Enuncia la regla de Barrow. Representa la gráfica de la función . Sol: es una

parábola convexa de vértice

( ) ∫=xtdtxf

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21,0V y puntos de corte con el eje OX ( )0,11P , ( )0,12 −P

(Septiembre, 2006)

37. Representa la figura plana limitada por la gráfica de la función , en el

intervalo

( ) xxf cos=

22ππ

≤≤− x , y por la recta 21

=y . Calcula su área. 2326

: −+−πSol 2u

(Septiembre, 2006)

38. Representa gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas e ,

y calcula su área.

21 xy −= 22xy =

[ ] ( )∫∫ =−=−−=−

33

0

233

33

22

93431221: dxxdxxxASol 2u

(Junio, 2007)

39. Calcula el valor de la integral . ( )∫ −10

3

3/12 dxx445:Sol

(Junio, 2007)

40. Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangente

en el origen de coordenadas y la recta

32xy =2=x . Calcula su área.

Sol: el área pedida es 82

2

0

3 == ∫ dxxA 2u

(Septiembre, 2007) 41. Enuncia el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Calcula el punto al que se

refiere dicho teorema para la función ( ) 13 2 += xxf en el intervalo [ ] . 3,0 3: =cSol (el

teorema nos dice que existe tal que ) [ ]3,0∈c ( ) ( ) ( )033

0 −⋅=∫ cfdxxf

(Septiembre, 2007)



TEMA 7: MATRICES

1. Si a, b y c son distintos de cero, hallar el rango de la matriz . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

ccccbbbbaaaa

2332

22:Sol

(Junio, 1994)

2. Sean las matrices y . Encontrar las matrices ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

112011

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

O X que verifiquen

la ecuación matricial . OXA =⋅ Rtsiendot

tt

XSol ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−= ,

3:

(Septiembre, 1995)

3. Definir inversa de una matriz.

(Junio, 1997) 4. Definir rango de una matriz.

(Septiembre, 1997)

5. Encontrar las matrices X que conmuten con la matriz , es decir, tales que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1121

A

AXXA ⋅=⋅ . Rcasiendoac

caXSol ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= , ,

2:

(Septiembre, 1997) 6. ¿Qué le puede ocurrir al rango por columnas de una matriz A al sustituir una fila de A

por otra fila de A ? Justificar razonadamente la respuesta. Sol: no cambia

(Junio, 1998) 7. Definir la suma y el producto de matrices. Dar un ejemplo de dos matrices que no puedan

sumarse ni multiplicarse. ( )321: =ASol ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

7654

B

(Septiembre, 2000)

8. Calcular todas las matrices X tales que XBXA =+⋅ , donde y

.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1111

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=1021

B ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−⋅−= −

2110

: 1 BIAXSol

(Septiembre, 2001)



9. Calcular la matriz X tal que BXA =⋅ , donde y . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1021

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4321

B ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−4365

:Sol

(Junio, 2002)

10. Definir el producto de matrices. Dar un ejemplo de dos matrices A , B con dos filas y dos

columnas, tales que BA ⋅ no coincida con AB ⋅ . ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4321

: ASol ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

8765

B

(Septiembre, 2003)

11. Determinar todas las matrices X tales que AXXA ⋅=⋅ , donde . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1111

A

Rbasiendoabba

XSol ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , , :

(Junio, 2004)

12. Definir el concepto de rango de una matriz. Dar un ejemplo de una matriz con 3 filas y 4

columnas que tenga rango 2. ; ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000101101

: ASol⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

864287654321

B

(Septiembre, 2004)

13. Sea una matriz cuadrada tal que IAA +=2 , donde I es la matriz unidad. Demuestra que

la matriz A es invertible. ( ) IAAIIAAIAAIAASol −=⇒=−⋅⇒=−⇒+= −122:

(Junio, 2006)

14. Calcula el rango de la matriz , según los valores del parámetro .

Escribe las propiedades del rango que hayas usado. Sol: Si

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

129638642

321 aA a

4=a , entonces, ; Si ( ) 1=Arg 4≠a , entonces ( ) 2=Arg

(Junio, 2007)

15. Calcula la matriz X tal que AXA =2 , donde . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1121

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−== −

1121

: 1AXSol

(Septiembre, 2007)



TEMA 8: DETERMINANTES 1. Definir el rango de una matriz y hallar como aplicación el de la matriz

. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

1000cos0cos

αααα

sensen

3:Sol

(Junio, 1995)

2. Usando las propiedades de los determinantes, simplificar, sin hacer el desarrollo, el

siguiente determinante: bccbaa

+−

3232

. ( )cabSol +⋅2:

(Junio, 1995)

3. ¿Puede aumentar el rango de una matriz 33× al sustituir un coeficiente no nulo por cero?

En caso afirmativo, dar un ejemplo.

(Junio, 1996)

4. Calcular el determinante

xx

xx

111111111111

( ) ( )313: −⋅+ xxSol

(Septiembre, 1996)

5. Determina el rango máximo y el mínimo que puede tener la matriz . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

110010

0a

aaA

( ) ( ) 2 ;31y 0 : =⇒=⇒≠≠ ArgEocArgaaSiSol

(Junio, 1997)

6. Definir inversa de una matriz. Demostrar que la matriz no tiene inversa. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

472030251

(Junio, 1997)

7. Definir de rango de una matriz. Describir la relación del concepto anterior con los

menores de la matriz.

(Septiembre, 1997)



8. Determinar los valores de para los que la matriz no admita inversa

y, en tales casos, calcular el rango de

t

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ttt

tt

M

01001110010

M . ( ) 3;1 ó ,1,0: =−=== MrgtttSol en cualquier caso.

(Septiembre, 1998) 9. Define el concepto de determinante de una matriz y enuncia tres de sus propiedades, sin

demostrarlas. (Junio, 1999)

10. Determinar el rango de la siguiente matriz según los valores de t : . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ttt

t

10222

{ } ( ) ( ) 2 ;32,0,2 : =⇒=⇒+−−∈ ArgEocArgRtSiSol (Junio, 1999)

11. Determinar todos los números reales x para los que es positivo el determinante

xxx

x

02111

33−+−

−. ( ) ( ) ( )3,10312642: 2 −∈⇔>−⋅+⋅=++−= xxxxxASol

(Septiembre, 2001) 12. Calcular dos números naturales , , menores que 10 y tales que la siguiente matriz a b A

tenga rango 2: . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

bab

A135022

4,5: == baSol

(Junio, 2003) 13. Hallar una matriz con 3 filas y 3 columnas que tenga 3 elementos nulos y tales que

ninguno de sus menores de orden 2 sea nulo.

(Junio, 2004) 14. ¿Puede aumentar el rango de una matriz cuadrada de 3 filas al sustituir un coeficiente no

nulo por 0? ¿y permanecer igual? Justificar las respuestas.

(Septiembre, 2004) 15. Escribe un ejemplo de una matriz de rango 2, con 3 filas y 4 columnas, que no tenga

ningún coeficiente nulo. Sol: Basta escribir dos filas linealmente independientes y la tercera

combinación lineal de las dos primeras, por ejemplo ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

12108687654321

A

(Septiembre, 2006)



16. Sea una matriz cuadrada de orden 3. a) Si sabemos que el determinante de la matriz A2 es 82 =A . ¿Cuánto vale el determinante de A ? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.

1: =ASol (Propiedad usada: Si se multiplican por un número todos los elementos de una línea de una

matriz, su determinante queda multiplicado por dicho número)

b) Calcula para qué valores de x se cumple que 82 =A , siendo A la matriz

. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=

1222111

xxx

xA ( ) ⇔=−= 11: 2xASol

⎩⎨⎧

==

02

2

1

xx

(Septiembre, 2007)



TEMA 9: SISTEMAS LINEALES 1. Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales atendiendo a la existencia y unicidad de sus

soluciones.

(Junio, 1994) 2. Discutir y resolver en su caso el siguiente sistema de ecuaciones en función del valor que

tome el parámetro a : ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++−=++=++

02022

azyxzayxzyax

.. ...3y 3 ,0 : ISEocDCSaaaSiSol ⇒⇒−≠+≠≠

En el caso S.C.D. la única solución es ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+

−

−−

−

−

aaa

aaa

aaa

342,

322,

342

333

2

(Junio, 1994)

3. Enunciar la regla de Cramer.

(Septiembre, 1994)

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=+−−=+−

06403052

zyxzyxzyx

( )λλλ ,,2: −Sol con R∈λ

(Septiembre, 1994)

5. Describir los pasos necesarios para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas

usando el método de Gauss.

(Septiembre, 1994)

6. Resolver por el método de Gauss el sistema . ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=++−

=−+

35023

63

zyxzyx

zyx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

229,

4481,

4439:Sol

(Septiembre, 1994)

7. ¿Existe algún valor de para el que el sistema sea incompatible? Justificar la

respuesta. Sol: No

a⎭⎬⎫

=−=−

ayaxayx 1

(Septiembre, 1995)



8. Discutir y resolver, en su caso, el sistema OXBA =⋅⋅ donde ,

, , .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

12

1A

( )221 −=B⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000

O⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

xxx

X ( )μλμλ ,,22: −Sol con R∈μλ ,

(Junio, 1996)

9. Proponer un sistema no homogéneo de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, que sea

compatible e indeterminado. Interpretarlo geométricamente.

(Septiembre, 1996)

10. Determinar los valores de t para los que es incompatible el sistema: .

,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=++=

−=

zxztyx

ztxt

3321

0: =tSol31−

=t

(Junio, 1998) 11. Proponer un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea incompatible y que,

al suprimir cualquier ecuación del sistema se obtenga un sistema compatible. Interpretarlo geométricamente.

(Septiembre, 1998)

12. Si dos sistemas de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas BXA =⋅ y 'BXA =⋅ tienen la

misma matriz de coeficientes A , ¿puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible y determinado?

(Septiembre, 1999)

13. La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es M . Hallar

un sistema equivalente tal que todos los elementos de la diagonal principal de la nueva

matriz asociada sean nulos: . ; ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

120113301

M⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

013301120

: 'MSol⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−=+−=+

0303

02

yxzx

zy

(Junio, 2000)

14. Dar un ejemplo de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea

incompatible.

(Junio, 2000)



15. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a :

. ;

( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++−−=−=+−

azayxzx

zxa

212

243SiSol : ...1 ICSa ⇒= Si ..0 ISa ⇒= ; Si 0≠a y 1≠a ... DCS⇒

Resolución: En el caso S.C.D. la única solución es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21,1,0

aa ; En el caso S.C.I. las infinitas soluciones

vendrán dadas por ( )λλ ,0,21+− siendo R∈λ . (Septiembre, 2000)


. ; ( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

=−+=−=+−

01123

yaxza

aazayaxSiSol : ...0 ICSa ⇒= Si ..

23 ISa ⇒= ; Si 0≠a y

23

≠a ... DCS⇒

Resolución: En el caso S.C.D. la única solución es ( )( )

( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−⋅−⋅

−⋅−⋅

aaaa

aaa

231,

3212,

3212 2

; En el caso S.C.I. las

infinitas soluciones vendrán dadas por ( )3/1,,λλ siendo R∈λ . (Junio, 2001)


. ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+

=++

aazxazax

azaay 1SiSol : 0=a y 1=a ... ICS⇒ ; Si ..1 ISa ⇒−= ; Si 0≠a y 1±≠a ... DCS⇒


⎜⎝⎛

++ 1,0,

1 aa

aa ; En el caso las infinitas

soluciones vendrán dadas por

0=a

( 0,,0 )λ siendo R∈λ ; y en el caso 1=a , ( )λλλ ,21,1 −− siendo R∈λ .

(Junio, 2002) 18. La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es M . Hallar

un sistema equivalente tal que los 3 coeficientes que están por encima de la diagonal

principal de la nueva matriz asociada sean nulos: . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

440201110

M⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−=

110021001

: 'MSol

(Septiembre, 2002)


. ; ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=+=+

aazyxzxazay

2400

SiSol : ...0 ICSa ⇒= Si ..2 ISa ⇒= ; Si 0≠a y 2≠a ... DCS⇒


⎜⎝⎛

−−− 2,

2,

2 aa

aa

aa ; En el caso S.C.I. las infinitas

soluciones vendrán dadas por ( )λλλ −,2, siendo R∈λ . (Septiembre, 2002)



20. Determina un valor del parámetro para que las siguientes ecuaciones lineales sean

linealmente dependientes:

a

azyzyx

zyx

=+=++=++

2123

1. 2: =aSol

(Junio, 2003) 21. Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea

compatible e indeterminado. Interpretarlo geométricamente.

(Septiembre, 2003; Septiembre, 2005) 22. Determinar un valor del parámetro para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales

sea compatible e indeterminado: .

a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=+−=++

031

zyxzyx

azyx2: =aSol

(Junio, 2005) 23. Dar un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas que sea

incompatible. Interpretarlo geométricamente. (Junio, 2005)

24. Resolver el sistema de ecuaciones lineales: . Sol: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=−=−

xzyyzxzxy

( )0,,λλ siendo R∈λ

(Septiembre, 2005)

25. Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores de b .

; . ;

( )( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

=+++=−++

=−+

1121

22

zbbyxbbzybx

zyx

SiSol : ..0 ISb ⇒= Si ..1 ICSb ⇒= Si 0≠b y 1≠b ... DCS⇒ (Junio, 2006)

26. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales . siendo ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−=−+=−+

1112

zxzyxzyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+=

tzy

txSol 0

1: Rt∈

(Septiembre, 2006) 27. a) Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius; b) Discute el siguiente sistema de ecuaciones

lineales, según los valores del parámetro : a⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++=++

11

zayxazyx

azyx

SiSol : . ; ..1 ICSa ⇒= Si 1≠a ... DCS⇒(Junio, 2007)



TEMA 10: VECTORES DEL ESPACIO 1. Si el rango de la matriz A , de dimensión 43× , es 2, ¿qué relación existe entre sus

vectores fila? ¿Y entre sus vectores columna?

(Junio, 1994) 2. Enuncia las propiedades del producto vectorial.

(Junio, 1994) 3. Encontrar los posibles valores de , , para que el producto vectorial de ( por

sea un vector unitario con la dirección del eje . a b c )

)0,,ba

( 1,0,c OX 0,1,0: =±== cbaSol

(Junio, 1994) 4. Probar que si dos vectores ur y vr tienen el mismo módulo, vu rr

= , entonces

( ) ( ) 0=−⋅+ vuvu rrrr . (Junio, 1995)

5. Encontrar un punto P de 3R tal que el vector forme un ángulo de 30º con el eje Y. →

OP( )1,6,1: PSol

(Septiembre, 1995)

6. Si dos vectores er y vr forman un ángulo recto y sus módulos son 2=er y 3=vr , calcula

el módulo del producto vectorial de ve rr+ y ve rr

− , es decir, ( ) ( )veve rrrr−×+ . Sol: 12

(Junio, 1996)

7. Definir independencia lineal de vectores. Si tres vectores son linealmente independientes,

¿se sigue necesariamente que dos de ellos son linealmente independientes?

(Septiembre, 1996) 8. Sea er el vector de coordenadas ( )0,0,1 . Hallar las coordenadas de un vector no nulo vr tal

que el módulo de su producto vectorial con er sea el mismo que el valor absoluto de su producto escalar, es decir, tal que veve rrrr

⋅=× . ( )0,1,1:Sol

(Junio, 1997) 9. Proponer un ejemplo de un vector que forme un ángulo de 60º con el vector de

coordenadas en un sistema de ejes rectangulares. ( 2,1,3 − ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− 0,1,11

916:Sol

(Septiembre, 1997)



10. Proponer un ejemplo de un vector que sea ortogonal al vector er de coordenadas y

tenga módulo doble que e

( )1,2,1 −r . ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0,

5302,

5304:Sol

(Junio, 1998) 11. Definir el concepto de producto escalar de dos vectores. Enunciar sus propiedades más

importantes (sin justificarlas).

(Septiembre, 1998) 12. Obtener una relación de dependencia lineal entre los vectores del plano de coordenadas

, y ( )2,1 − ( )2,1 −− ( )1,1 − . wvuSolrrr

34

31: +=

(Septiembre, 1999) 13. Definir el producto escalar de vectores y enunciar su relación con los conceptos de ángulo

y distancia entre dos puntos.

(Junio, 2001) 14. Calcular un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas ( ) y

.

2,0,1

( )0,1,2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

211,

214,

212:Sol

(Junio, 2001) 15. ¿Qué ángulo deben formar dos vectores no nulos er y vr para que ambos tengan el mismo

módulo que su diferencia ve rr− ? º60:Sol

(Septiembre, 2001)

16. Halla dos vectores linealmente independientes que sean ortogonales al vector er de

coordenadas . ( )3,1,1 ( ) ( )3,10,1;1,0,3: −=−= wvSolrr

(Junio, 2002)

17. Calcular el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos de coordenadas ( )1,0,1 ,

, y . ( )2,0,2 ( )1,2,1 ( )3,1,3 2 23: uSol

(Septiembre, 2002) 18. Sabiendo que los lados de un rectángulo miden 1 y 3 metros, calcular el producto

escalar de los vectores y

ABCD→

CB→

AD , y el módulo del producto vectorial de los vectores

y . Sol: –9, 3

→

CB→

BA

A D

C B

(Septiembre, 2003)



19. Hallar un vector de módulo 1 que sea ortogonal a los vectores de coordenadas ( ) y

.

1,1,0

( )0,1,2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

32,

32,

31:Sol

(Septiembre, 2005)

20. Si A , B y son los puntos de coordenadas C ( )0,0,1 , ( )0,1,0 y ( )1,0,0 respectivamente:

a) Calcular el área del triángulo que forman los puntos A , B y . C23:Sol 2u

b) Determinar el ángulo que forman los vectores →

AB y . Sol: 60º →

AC

(Septiembre, 2005) 21. Escribe un vector de módulo 1 que sea ortogonal al vector de coordenadas . ( )1,2,1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2

2,0,22:Sol

(Junio, 2007)



TEMA 11: GEOMETRÍA AFÍN 1. Escribe en forma paramétrica la ecuación de una recta en el espacio.

(Junio, 1994) 2. De todas las rectas que pasan por el punto ( )3,2,1− , encontrar la que es perpendicular al

plano de ecuación . 03 =− zx ( ) ( ) ( )3,0,13,2,1,,: −⋅+−= λzyxSol siendo R∈λ .

(Junio, 1994) 3. Enunciar alguna condición de perpendicularidad de dos rectas en el plano.

0: =⋅⇔⊥⇔⊥ srsr uuuusrSolrrrr

(Septiembre, 1994)

4. Halla la ecuación de la recta que pasa por ( )2,1− y es perpendicular a la que pasa por

y . ( 3,2 )

)

( )2,1− 013: =++ yxSol

(Septiembre, 1994) 5. Dar un ejemplo de dos rectas secantes cuyos vectores directores sean el ( y el

.0,1,1

( )1,1,2 − ( ) ( ) ( )0,1,10,0,1,,:: ⋅+= λzyxrSol siendo R∈λ , ( ) ( ) ( 1,1,20,0,1,,: −⋅ )+= μzyxs siendo R∈μ

(Septiembre, 1995) 6. Determina la ecuación implícita de un plano que pase por los puntos de coordenadas

, ( ) y ( )1,1,1 − 3,0,2 ( )1,4,1− . 0251014: =−−+ zyxSol

(Septiembre, 1997) 7. Determinar una recta que sea paralela al plano de ecuación 3=++ zyx , que corte a la

recta de ecuaciones , , y que también corte a la recta de ecuaciones 0=x 0=z 1=z , . 0=y ( ) ( ) ( 1,1,00,1,0,,: −⋅+ )= λzyxSol siendo R∈λ .

(Septiembre, 2000) 8. Calcular alguna recta que sea paralela al plano de ecuación 12 =+− zyx y que también

sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas ( )1,0,2 , ( ) y ( ) . 1,2,0 0,1,1 −

⎩⎨⎧

=−−=−

010

:zx

yxSol

(Junio, 2001) 9. Calcular alguna recta que sea paralela al plano de ecuación y corte

perpendicularmente a la recta de ecuaciones 2=+ zx

0=+ yx , 2=+ zy . ( ) ( ) ( 1,0,11,1,1,,: −⋅ )+−= kzyxSol siendo Rk ∈

(Septiembre, 2001)



10. Determinar si el plano 123 =+− zyx es perpendicular a la recta de ecuaciones , . Determinar también si es paralelo a la recta que pasa por los

puntos de coordenadas ( ) y zyx 33 +=− 12 −=+ zy

1,1,1 − ( )0,1,1 −− . Sol: Sí; No

(Septiembre, 2002) 11. Determinar un plano que, pasando por el origen de coordenadas, sea paralelo a la recta de

ecuaciones , y también sea paralelo a la recta que pasa por los puntos de coordenadas ( ) y ( ) .

1=+ yx 2=+ zy0,1,1 1,1,0 02: =++ zyxSol

(Septiembre, 2003) 12. ¿Qué relación hay entre los coeficientes de las ecuaciones dczbyax =++ ,

' de dos planos paralelos? Razonar la respuesta. ''' dzcybxa =++''''

:dd

cc

bb

aaSol ≠==

(Junio, 2004)

13. Determinar una recta que sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas

, y ( , que también sea paralela al plano ( )0,1,1 ( )1,0,1 )1,1,0 032 =++ zyx , y que no esté

contenida en ninguno de estos dos planos. ⎩⎨⎧

=−−=−+01022

:zxyx

Sol

(Septiembre, 2004) 14. Determina la relación que debe existir entre y b para que los puntos de coordenadas

, , ( ) y estén en un plano. a

( )0,0,1 ( )0,,ba ba ,0, ( ba,,0 ) ( ) 01: =−−⋅ baabSol

(Junio, 2006) 15. Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas ( )3,2,1 y por la recta de

ecuaciones , . 1=+ yx 1=+ zy 012: =−−+ zyxSol (Junio, 2006)

16. Determina un plano que pase por los puntos de coordenadas ( )0,0,1 y , y sea

paralelo a la recta .

( 0,1,0 )

⎭⎬⎫

=+−=++

22

zyxzyx

1: =++ zyxSol

(Septiembre, 2006) 17. Determina la relación que debe existir entre y b para que el punto esté en el

plano determinado por los puntos a ( baP ,,0 )

( )0,0,1A , ( )1,1,1B y ( )1,2,0C . baSol +=1:

(Junio, 2007) 18. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano 1=++ zyx

con los ejes coordenados. Sol: Los tres vértices del triángulo son ( )0,0,1=∩= ejeOXA π ,

( )0,1,0=∩= ejeOYB π , ( )1,0,0 =∩= OZejeC π y el área es 233

21

21

=⋅=×⋅=→→

ACABS 2u

(Septiembre, 2007)



TEMA 12: GEOMETRÍA MÉTRICA 1. Escribir la expresión con la que se calcula el ángulo formado por dos rectas en el plano.

(Septiembre, 1994) 2. Calcular el coseno del ángulo formado por las rectas r y : s

42

31: +=

− yxr ; 1

61

5: +−=

+ yxs ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

102:Sol

(Septiembre, 1994)

3. Calcular el coseno del ángulo que forman las rectas tangentes a la curva en sus

puntos y ( ) .

2xy =

( )1,1 4,285

859:Sol

(Junio, 1996) 4. Dado el plano π de ecuación 422 =−− zyx .

a) Determina un plano paralelo a π cuya distancia a él sea 1. Sol: Hay dos posibles soluciones ;0122:1 =−−− zyxπ 0722:2 =−−− zyxπ

b) ¿Contiene π alguna recta que corte al eje y al eje ? Justificar la respuesta y, en caso afirmativo, hallar dicha recta. Sol:

OX OY( ) ( ) ( )0,2,40,0,4,, −−⋅+=≡ λzyxr siendo R∈λ

(Septiembre, 1996)

5. Hallar la distancia del origen de coordenadas a la recta tangente en el punto ( a la

curva de ecuación

)2,1248 xy −= .

554:Sol

(Junio, 1997)

6. Determina el ángulo que forma la recta yx 34 = , 2−=z con la recta . Sol: 45º ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

λλλ

534433

zyx

(Junio, 1998)

7. En un cubo, calcular el ángulo que forma la recta con la recta que une BC B con el punto

medio del lado AD . Sol: 71º 33' 54''

B

C A

D

(Junio, 1999)



8. Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta de ecuaciones 22

2+==

− yxz .

2:Sol

(Septiembre, 1999) 9. Determina el ángulo que forma el plano 143 =+ yx con el plano zyx 543 =+ . Sol: 45º

(Septiembre, 1999) 10. Calcular la distancia del punto de coordenadas ( )2,1,1 al plano que pasa por los puntos de

coordenadas , y . ( )0,1,1 ( )1,0,1 ( )1,1,03

32:Sol

(Junio, 2000) 11. Calcular la distancia del punto de coordenadas ( )0,5,3 a la recta que pasa por los puntos

de coordenadas ( ) y ( . Sol: 5 2,1,0 )1,1,0

(Junio, 2000) 12. La base de una pirámide es un cuadrado de 2 metros de lado y su vértice V está

situado a una altura de 3 metros sobre el centro de la base. Calcular el ángulo que forman los planos y . Sol: 84º 15' 39''

ABCD

ABV BCV

C

B

V

A (Junio, 2002)

13. Determina una constante para que el plano de ecuación a 2=++ zyax forme un ángulo

de 3/π radianes con el plano . 0=z 2: ±=aSol

(Junio, 2003) 14. Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos de coordenadas , y

. Determina la distancia del punto ( )0,0,1 ( )1,1,0

( 0,2,1 ) ( )1,1,2 a dicho plano. 2;01: ==−+≡ distzxSol π

(Junio, 2004)

15. Determina las coordenadas de un punto que diste 2 unidades de la recta 11

111

−−

==− zyx .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++2

51,2

51,0:Sol

(Junio, 2005)



16. Si los lados de un rectángulo miden 1 cm y 4 cm, calcular el coseno del ángulo

, donde

ABCD

PAC P es el punto medio del lado . BC85

859:Sol

B P C A D

(Junio, 2005) 17. Calcula el ángulo que forma el plano 0=++ zyx con la recta de ecuaciones 1=+ yx ,

. 1=+ zy "16'28º1931: =⇒= ααsenSol

(Septiembre, 2006)

18. a) Determina la posición relativa del plano 2=+− zyx y la recta de ecuaciones

12

11

2 −+

=+

=zyx . (T11 Geometría afín). Sol: la recta y el plano son paralelos.

b) Calcula la distancia entre la recta y el plano anteriores. ( ) ( ) 3,,: == ππ rPdrdSol

(Septiembre, 2007)


I.E.S CIEZA DE LEÓN

Avda. Ancha de Sevilla, 47 06900 Llerena (Badajoz)

Tfnos: 924 02 65 58/59/60. FAX: 924 02 65 59 e-mail: [email protected]

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agradecimientos a todos mis compañeros y trabajadores del ... · cálculo de primitivas. reglas de...

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