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Aeroelasticidad en
ala de avión
“El fenómeno de flutter”
T2º C. FAUNDEZ R.T2º J. ESPINOZA LL.
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TEMARIO
I. Introducción.
II. Antecedente histórico del fenómeno de flutter.
III. Conceptos generales:• Nomenclatura aeronáutica introducida.• Aeroelasticidad.
IV. Fuerzas que actúan en el vuelo.
V. Variables.
VI. Formulación del modelo matemático:
• Obtención del Modelo final.
VII. Solución del problema.
VIII. Modelamiento en Matlab
IX. Interpretación.
X. Conclusiones.
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INTRODUCCION
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INTRODUCCION
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mecánica estructural aerodinámicadinámica de fluidos
Diseño
Se presenta cuando:
Deformaciones estructurales (rigidez alas) inducen
cambios en fuerzas aerodinámicas.
Fuerzas aerodinámicas adicionales
Incremento de deformaciones
Aumentando las fuerzas aerodinámicasDiverger catastróficamente
Condición de equilibrio
Flutter
fenómeno de aeroelasticidad mas conocido
oscilaciones
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INTRODUCCION
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Antiguamente se asociaba la aeroelasticidad
INTRODUCCION
problemas y efectos aerodinámicos que debían ser evitados
a
Los análisis - como comprobación final de construcción - aparecían problemas durante los ensayos en vuelo
Actualmente se realiza en las etapas iniciales de construcción
tomar ventaja de la deformación estructural para obtener mayores rendimientos.
La idea
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ANTECEDENTES HISTORICOS
ANTECEDENTES HISTORICOS
Puente de Tacoma Narrows
• A menudo utilizada como elemento de reflexión y aprendizaje: Para considerar los efectos de la aeroelasticidad y de la aerodinámica.
• famoso por dramático colapso estructural inducido por el viento.
• Se demuestra que fue inducida por flameo aeroelástico.
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ANTECEDENTES HISTORICOS
Puente en torsión y deflexión. Destrucción del puente.
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CONCEPTOS GENERALES
CONCEPTOS GENERALES
• Nomenclatura aeronáutica introducida:
Perfil alar:
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• Borde de ataque: la parte del ala que ve primero al aire.
• Fuerza de sustentación: La fuerza ascendente que empuja el avión hacia arriba.
• Cuerda: Es la línea recta imaginaria trazada entre los bordes de ataque y de salida de cada perfil.
• Eje elástico: eje transversal del ala por la que se concentra toda la capacidad elástica del material.
• Ángulo de ataque: El ángulo de ataque es el ángulo agudo formado por la cuerda del ala y la dirección del viento relativo.
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CONCEPTOS GENERALES
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Como fluye el aire en un ala:El aire fluye por el ala a causa de su forma curva.
El aire en la superficie superior está a una presión menor que el aireque está por debajo y el avión es empujado hacia arriba.
Fuerza de sustentación
CONCEPTOS GENERALES
• Aeroelasticidad: interacción entre las deformaciones estructurales y
las cargas aerodinámicas.
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Se divide
en:
Flutter o Flameo
CONCEPTOS GENERALES
• Flameo: vibración autoinducida que ocurre cuando el ala se dobla bajo una fuerza aerodinámica. Una vez que la carga se reduce, la desviación también se reduce, restaurando la forma original, esto a su vez restaura la carga original y empieza así el ciclo nuevamente.
• En su forma mas inofensiva puede aparecer como un "zumbido" en la estructura del avión, pero en la más violenta se puede desatar incontrolablemente a gran velocidad y causar grandes daños a la estructura.
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CONCEPTOS GENERALES
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FUERZAS QUE ACTUAN EN EL VUELO
FUERZAS QUE ACTUAN EN EL VUELO
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VARIABLES
VARIABLES
• Ala en cantilever, sin alerones, motores, es decir, limpio.
• Eje elástico es perpendicular al fuselaje.
• En principio, la deformación a lo largo de la cuerda se desprecia.
• Consideraremos el ala como una cuerda con todas las propiedades elásticas y de deflexión del ala concentradas en dicha cuerda, es decir, en el eje elástico que coincide con el eje x.
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• Consideraremos un extremo firme del ala al fuselaje del avión y el otro extremo firme con un anillo imaginario sin masa que desliza por un riel imaginario también, por lo que simula como si el extremo estuviera libre casi completamente.
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Extremo fijo Extremo “libre”
f
u
s
e
l
a
j
e
VARIABLES
• Pero además, por acción y reacción, la fuerza transversal en el extremo libre también será nula, debido a que el anillo no posee masa. (acción que realiza la cuerda sobre el anillo (y viceversa).
• Consideraremos solo movimientos transversales, descartaremos movimientos de torsión, por lo que, las fuerzas en la dirección x deben anularse.
• la densidad de masa es tipo , y que está sujeta a una tensión T la cual es también función de la posición.
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VARIABLES
• Supondremos una fuerza que depende de x y t distribuida uniformemente a lo largo del eje elástico, llamada de sustentación.
• Atmósfera con aire en forma estacionaria, sin perturbaciones climatológicas ni de vientos, que solo permita obtener un viento relativo tal que genera una fuerza de sustentación en el ala.
• Velocidad del avión constante , a la cual se desarrolla Flutter.
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VARIABLES
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VARIABLES
Fuerza de sustentación
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FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMATICO
OBTENCION DEL MODELO.T2
:
pero también, a pequeños ángulos tenemos que
Consideramos como derivadas parciales porque “y” depende de las variables t y x
De la sumatoria de fuerzas en “x” se tiene que : T=T2=T1
Además se sabe que,
(a pequeños ángulos )
Sea L el largo del ala en su eje elástico.
T2
2-T1
=
Dividiendo por
Aplicando se obtiene
a ambos lados
Pero se sabe que T es la misma en todos los puntos de la cuerda y la rapidez de onda dependerá de una propiedad elástica del medio (Tensión T) y una propiedad inercial del medio , de la siguiente forma:
(
, donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio.
Luego sustituyendo en la EDP se tiene
METODO SOLUCION
Como la ecuación diferencial es NO homogénea, descomponemos la solución de (1) como suma de soluciones
MÉTODO SOLUCIÓN.
Sabemos que el largo del ala es “L”, donde el largo no será considerado como un número entero, sinó que podría ser decimal, esto nos afectará mas adelante en la solución del problema.Además se sabe que la posición en los extremos en todo instante de tiempo es cero y la posición inicial en cada punto de “X” esta dado por la función “x” y la velocidad inicial del ala en cada punto “X” es cero. De lo anterior proponemos las siguientes condiciones:
Con esto aseguramos que comience desde el origen
DESARROLLO PARA ENCONTRAR
Se sabe que la solución homogénea es solución arbitraria de:
Buscamos soluciones en variables separables
Aplicando (*) a (1) se tiene
≠ 0
(para que no sea la solución trivial)
De (2) se tiene
De (3) se tiene
Sturm Liouville
Sustituyendo los valores propios en (8):
Por desarrollo de EDO de 2º Orden se tiene
Luego tenemos :
Pero como buscamos soluciones del tipo (*)
Como la ecuación diferencial parcial y las condiciones de borde son lineales, entonces la suma de soluciones también es solución
Donde (9) es solución de la EDP con las condiciones de borde (2) y (3).
DESARROLLO PARA ENCONTRAR LOS COEFICIENTES
OBTENCION DE
De (4) se tiene
Reemplazando t=0 en (9) tenemos
Luego haciendo a la ecuación anterior producto punto con , tenemos que para n=k
OBTENCION DE
De (5) se tiene
Derivando (9) con respecto a “t” y luego sustituyendo t=o tenemos
Luego se tiene :
Reemplazando obtenemos:
DESARROLLO PARA ENCONTRAR
Se sabe que
Se sabe que es solución arbitraria de
Consideremos las condiciones (2) y (3) para el desarrollo de la solución particular.
Consideremos las condiciones (2) y (3) para el desarrollo de la solución particular.
Se sabe que constituye una base para el problema homogéneo de
Sturm Liouville:
Sturm Liouville
Busquemos soluciones particulares de la siguiente formaBusquemos soluciones particulares de la siguiente forma
Busquemos soluciones particulares de la siguiente forma
Como es conocido, entonces podemos desarrollar para cada “t”, como serie de
Fourier con respecto a la base , es decir, sustituyendo (* )en (1):
Donde
Sustituyendo (*) en la ecuación (1)
Ordenando se tiene
EDO Homogénea de 2º Orden, de coeficientes constantes
Considerando: para que la solución particular no sea nula.
Sea, de donde sabemos que
Luego sustituyendo los términos anteriores en (9), la EDO nos queda así:
Sea, de donde sabemos que
Luego sustituyendo en (9), la EDO nos queda
Luego dependiendo del caso del cual se obtenga
SOLUCION GENERAL
Como sabemos la ecuación diferencial es NO homogénea, por lo cual se descompuso la solución de la ecuación (1) como suma de soluciones.
Del desarrollo se obtuvieron los siguientes datos:
de donde depende de la solución del desarrollo de la EDO de 2º Orden
luego sustituyendo en la solución general se tiene:
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MODELAMIENTO EN MATLAB
MODELAMIENTO EN MATLAB
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INTERPRETACIÓN
INTERPRETACION
• Podemos decir que el comportamiento del ala del avión será en forma ondulatoria por la presencia de los senos y cosenos. Además la solución particular posee exponenciales de algo positivo, lo cual indica que no existe amortiguación, sino que la onda de alguna manera crecerá en el tiempo y posición x.
• El resultado obtenido indica que las condiciones iniciales y las condiciones en la frontera determinan la función de manera única.
• La simulación de esta ecuación nos da como resultado el movimiento ondulatorio de un flameo (como una bandera), lo cual se acerca bastante a la realidad de un ala, aún cuando consideramos los dos extremos fijos del ala.
• Si bien la grafica en sus extremos se mueve, debemos notar que el eje z se mueve constantemente por defecto.
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CONCLUSIONES
CONCLUSIONES
• A través de este trabajo de investigación Físico-Matemático, pudimos palpar con cierta realidad la aplicación de las Ecuaciones Diferenciales.
• En este caso la vibración de un ala de avión o flameo, problema del cual nuestra institución no esta ajena, puesto que la aviación naval debe lidiar con este problema para evitar el desgaste innecesario del material producto de la vibraciones excesivas en las alas de los aviones y además evitar pérdidas tanto materiales como humanas.
• Finalmente, el desarrollo de este trabajo nos lleva a darnos cuenta que se debe hacer uso del ingenio para enfrentar los problemas, haciendo analogías o similitudes con modelos conocidos o teoría de distintas ramas de la matemática y física, de tal forma de buscar una adaptación lo mas cercana posible al problema en cuestión.
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PREGUNTAS
DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
Aplicando se obtiene
Por la definición de derivadas parciales se sabe que:
, para una función F que depende de X y T, variando solo en x.
Para nuestro caso
Donde luego de desarrollar el limite nos queda
Por definición de producto punto entre funciones, y conociendo la función peso Tenemos que
Por identidad trigonométrica se sabe que
Luego sustituyendo y desarrollando integral se tiene
Luego por integración por parte se tiene
DESARROLLO DE
DESARROLLO DE LA EDO
Luego se tiene :
Raíces complejas
Para este caso la solución de la EDO seria
Ecuación característica de la EDO
Sabemos que es positivo y es negativo (signo de depende del signo de F(x,t) el cual es positivo y del signo de la integral del seno, el cual será finalmente negativo).