acv_2015_t_03

3

2015

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Cultura General

Preguntas propuestas

Trigonometría

2

Identidades trigonométricas fundamentales II

NIVEL BÁSICO

1. Si se cumple que

3 3 6csc cotx x− =

calcule 3 csc cotx x+ .

A) 2 B) 2 C) 2 2

D) 4 E) 4 2

2. Simplifique

sen cos sen cos

sen cos

6 2 2 61 1

2 1 212

x x x x

x x

− −( ) −( ) +−( ) −

A) senxB) senxcosxC) 1/2D) senx+cosxE) senx – cosx

3. Calcule el valor de

2 2 2

1 1

4

2 2+ −( )+( ) −( )

sen cos

sen cos

x x

x x

A) 16 B) 32 C) 48D) 64 E) 72

NIVEL INTERMEDIO

4. Simplifique.

sec sen csc cos

sen sec cos csc

θ θ θ θθ θ θ θ

−( ) +( )+

2 23 3

A) 1/2 B) 1 C) 2D) 4 E) 8

5. Simplifique la siguiente expresión.

2

1

1

1

1

1

2 2

2 2

4

2

4

2+−

++

+ ++

sen cos

sen cos

sen

cos

cos

sen

θ θθ θ

θθ

θθθ

A) cos2q B) sen2q C) 1D) 2 E) 5

6. Simplifique la expresión

2 2

4 2

2 2

2 4+

+− +cot

csc cscsen

sec csc

sec csc

x

x xx

x x

x x

si x es un ángulo del tercer cuadrante.

A) sen2x B) cos2x C) 2sen2xD) 2cos2x E) 0

7. Si cotx > tanx, reduzca – cotx+(sec2xcsc2x – 4)1/2.

A) tanxB) – tanxC) – cotxD) cotxE) tanx+cotx

8. Si sec2x+csc2x=7, halle E=(sec2x+tan2x)(csc2x+cot2x).

A) 13 B) 14 C) 22D) 16 E) 15

UNI 2002 - II

9. Si sen cosθ π θ= +4

,

calcule tantan cot

12−+

θ θ

A) − 3 B) – 1 C) 32

D) 1 E) 3

10. Si 4cos6x – 6cos4x+8cos2x=a, calcule el valor de 2sen6x – 3sen4x+4sen2x.

A) −a2

B) 32− a

C) 32+ a

D) 62+ a

E) 62− a

Trigonometría

3

11. Halle el mínimo valor de sec4x+csc4x; x ∈ R.

A) 4 B) 6 C) 8D) 10 E) 16

UNI 1996 - I

NIVEL AVANZADO

12. Reduzca

tan cottan cot

tan cottan cot

2 2 2 222

11

θ θθ θ

θ θθ θ

+ −+ −

− + ++ +

A) 0 B) 1/2 C) 1D) 2 E) 3

13. Si tanx – senx=1, calcule tanx+cotx.

A) 2 1+ B) 2 2+ C) 2 2D) 4 2 E) 4

14. Si m y M son los valores mínimo y máximo, res-pectivamente, de f(x)=sen6x+cos6x,

calcule m+M.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 54

E) 32

15. Calcule el mínimo valor de sec4x+csc4x+sec4xcsc4x

A) 20 B) 22 C) 24D) 26 E) 28

Trigonometría

4

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I

NIVEL BÁSICO

1. Si AB = 2 3 y CD=7, calcule BD.

A) 3 B) 3

A B

C

30º

DC) 4D) 6 E) 7

2. Si se cumple 2senx=secy 3seny=secx calcule el valor de sen(x+y)csc(x – y).

A) 1 B) 2 C) 4D) 5 E) 6


sen sencos

cot tanx x

xx

+( ) + −( )+( )

−( )θ θ

θθ

A) 1/2 B) 2/3 C) 1D) 2 E) 3

4. Si A y B pertenecen al primer cuadrante, sim-plifique la siguiente expresión.

11

2 2 2 2+ + +−

tan tan tan tantan tan

A B A BA B

A) sec(A – B) B) cos(A – B) C) sen(A+B)D) cos(A+B) E) sec(A+B)


24

512 12

tan senπ π−

A) 24

B) 22

C) 2

D) 3 28

E) 3 24

NIVEL INTERMEDIO

6. Si tanx+tan2x=3tan3x, calcule tanxtan2x.

A) – 2 B) – 1 C) 1D) 2 E) 3

7. Si 2 45 2sen º sen secx x x+( ) = , calcule tan3x+cot3x.

A) – 2 B) 2 C) 4D) 8 E) 16

8. En el gráfico, calcule AB si CD=4, DE=6 y BE=2.

A B

C

D

Eα

α

A) 2 B) 2 3 C) 2 6

D) 4 6 E) 6 6

9. Según el gráfico, AD=BE=2 y BD=EC=3. Calcule tanq.

θ

B

ED

A C

A) 3/19 B) 25/19 C) 15/19D) 19/25 E) 19/15

Trigonometría

5

10. Si tan2x=a y tan(x – y)=b,

calcule 1+

−

+( )aba b

x ytan .

A) – 1 B) 12

C) – 2

D) 1 E) 2

11. Si tan(x+32º)=2 y x+y=30º,

calcule 13

5 3 62 13

+

+ −( )tan ºx y .

A) – 2 B) – 1 C) 1D) 2 E) 4

12. Si cos sen sen senx y x y x y+( ) + −( ) = 3 ,

calcule 1 1+( ) −( )tan tantan tan

x yx y

A) 33

B) 32

C) 1

D) 3 E) 2 3

13. En el gráfico se cumple que AB=3 y BC=2. Calcule el área de la región triangular ACD.

A D

C

45º

B

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 392

14. En el gráfico se cumple que MC CB AB3 4 8

= = y

MC=MD. Calcule tanx.

A B

CMD

x

A) 11/7 B) 15/7 C) 17/7D) 22/7 E) 24/7

15. En el gráfico, se cumple que AM=3, MN=2 y BN=1. Calcule tanx.

A) 1/4 B) 1/2

C

x

x

B

A

M

N

C) 2/3D) 3/4 E) 5/6

NIVEL AVANZADO

16. Si sen ; seny t yx+( ) = =2

45 5

π π2

2< + <y t

exprese x en términos de sen2t y cos2t.

A) 4cos2t+3sen2tB) 3cos2t – 4sen2tC) cos2t – sen2tD) 2sen2t – 3cos2tE) 3sen2t – 4cos2t

17. Si cos(x – y)sen(z – 45º)=cos(x+y)sen(z+45º), calcule cotxcotycotz.

A) – 1 B) – 1/2 C) 1D) 2 E) 4

Trigonometría

6

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II

NIVEL BÁSICO


3 7025 25cos º

cos º sen º−

A) 66

B) 64

C) 63

D) 62

E) 32

2. Si x y+ = π6

,

calcule el valor de

sencos cos

tancot cot

x yx y

x yx y

+( ) + +( )

A) 32

B) 33

C) 32

D) 1 E) 3

3. Simplifique.

(sen20º – tan60ºcos20º)sec50º

A) – 2 B) – 1 C) 1/2

D) 1 E) 2

NIVEL INTERMEDIO

4. Calcule el máximo valor de

1 43

2−−cos

sen cosx

x x

A) 1 B) 22

C) 2

D) 2 E) 2 2

5. Obtenga el equivalente de

sen º sen º sen ºsen º

30 30 3045

2+( ) −( ) +−( )

α αα

A) sen(45º – a)B) sen(45º+a)C) sen(30º+a)D) sen(30º – a)E) sen(60º – a)

6. Si sen32 55

x = , donde 3x es un ángulo agudo,

calcule tan4x – tanx – tanxtan3xtan4x+cot3x.

A) 3/2 B) 5/2 C) 7/2D) 9/2 E) 5


3 112

1

24 24524

524

+( ) +

+ +

tan

tan tan tan tan

π

π π π π

A) 3 1− B) 3 C) 3 1+

D) 2 3 E) 4

8. Si α β θ π+ + =4

calcule el valor de

tan tancot cot cot2 2

21

2 2α β

θ α β+ +

A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4D) 1 E) 2

9. Reduzca

33

10 20 70

1 3 10

cot ºcot º tan º

cot º

−

+

A) 3 10cot º

B) cot10º

C) 3 10tan º

D) 33

E) 3

Trigonometría

7

10. En un triángulo ABC se cumple que 6tanA=3tanB=2tanC. Calcule tanA+2tanB+3tanC.

A) 12 B) 13 C) 14D) 15 E) 16

11. Si

6 8 8 2 8 8 4cos º sen º sen º cos º sen−( )+ +( )= x

además, x ∈ π π2;

calcule sen º sen ºx x−( ) + +( )23 2 22 .

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

NIVEL AVANZADO

12. Reduzca la expresión

3 10 3 10 2 40cos º sen º cos º+ +

A) 2cos20º B) cos40º C) 2cos50ºD) cos50º E) 4cos20º

13. Encuentre el equivalente de

sen ºcos ºcos º cos º

4030 10

110

−

A) tan20º – tan30ºB) tan30º – tan40ºC) tan40º – tan30ºD) tan30º – tan20ºE) tan30º – tan10º

14. En un triángulo ABC, recto en C, calcule

1

21

21

2+

+

+

tan tan tanA B C

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

UNI 2000 - II

15. Simplifique la expresión.

sen sen sen

cos sen cos

2 2 2

2 2 2A A B B

A A B B

+ +( ) −+ +( ) −

A) tanAcotB B) tanBcotA C) – tanAcotBD) – tanBcotA E) tanAtanB

Trigonometría

8

Reducción al primer cuadrante

NIVEL BÁSICO

1. ¿Cuál es el valor de m para que se cumpla la siguiente igualdad?

m x x xtan cot cot

π π2

3+

+ +( ) =

A) – 4 B) – 2 C) 2D) 4 E) 1


tan º tan ºtan º

300 2 120150+

A) – 9 B) – 3 C) 3D) 3 3 E) 9

3. Si se cumple que

tan cot

π π2

32

3+

− −

= −x x

calcule tan2x+cot2x.

A) 5 B) 6 C) 7D) 9 E) 12


tan cot

cos

π π π π

π2

54

54

54

+

− +

A) −2 2 B) − 2 C) 2

D) 2 2 E) 4

NIVEL INTERMEDIO


tan tan tan tan

π π π π12

712

512

1112

− + −

A) – 4 B) 4 C) – 6D) 6 E) 8

6. Si A y B son ángulos complementarios, simpli-fique la expresión

sen( )tan( )cos( )tan( )

A B A BA B A B+ ++ +2 2 3

2 4 3

A) 1 B) – 1 C) 1/2D) 2 E) – 1/2

7. Si msen cos552

772

1π θ π θ−

+

= ,

calcule tanq+cotq en términos de m.

A) m2 B) – m2 C) 2mD) – m E) m

8. Calcule el valor de la siguiente expresión.

sen

cos

sen

cos

712

12

12712

π

π

π

π

+

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2

9. Simplifique la siguiente expresión.

sen cos

cos cos

2 2

372

35

x x

x x

−

+

+ +( )π π

A) senx+cosxB) senx – cosxC) cosx – senxD) – (senx+cosx)E) cosx


sen sen sen

sen cos

x x x

x x

+

+ +

+ +

−

π π π4

54

74

A) − 22

B) − 2 C) 22

D) 2 E) 2

Trigonometría

9

11. De acuerdo con el gráfico, reduzca la expresión

tan cottanθ α

α+

Y

θ

α

X

A) tan2q B) – tanq C) 0D) cot2q E) – cot2q

NIVEL AVANZADO

12. Si a b c+ + = π2

y sen(a+b)= – senc,

¿cuál de los siguientes resultados es correcto?

A) cos2 4

40

π −

=c

B) cos− +

=π 4

40

c

C) cosπ −

=4

20

c

D) cosπ +

=4

40

c

E) cosπ +

=3

40

c

13. Si a es la medida de un ángulo agudo, tal que cos1996º=– sena.

Calcule el valor de csc15a – sen15a.

A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3

14. Si se sabe que

M k k= + +

∈tan ;π π α2

Z

N n kn= + −( )( ) ∈csc ;π α1 Z

calcule EM NMN

= −2 2

A) tanasenaB) – tanasenaC) cotacosaD) – cotacosaE) – 1

15. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ver-daderas (V) o falsas (F)?

I. tan 12834

1π

= −

II. sen(np)+sec(np)=(– 1)n; ∀ n ∈ Z

III. Si sen tanθ θ3 0< ,

entonces q pertenece al tercer cuadrante.

A) FFV B) FVV C) VVVD) VFF E) VVF

UNI 2002 - II

Trigonometría

10

Identidades trigonométricas de ángulos múltiples I

NIVEL BÁSICO

1. De la condición cos2xsecx+secx+1=0, calcule cos2x.

A) – 1 B) – 1/2 C) 1/2

D) 32

E) 1

2. Si se cumple

1 2 12

2−+

=cossen cos

θθ θ

calcule senq×cosq.

A) – 3/8 B) – 1/4 C) – 1/2D) 1/2 E) 3/8

NIVEL INTERMEDIO

3. En la figura los triángulos ABP, PBQ y QBC tie-

nen la misma área. Si AH = +2 2, calcule PQ.

A

BH C

P

Q

π/8

A) 23

2 1+( ) B) 23

2 1−( ) C) 13

2 1+( )

D) 13

2 1−( ) E) 23

2 2+( )

4. Si se cumple que

2 22

122

2= −

−

A

xxcos sen

A =

+8 21 2

calcule tan22x.

A) 3 2− B) 3 2 2− C) 3 2+

D) 3 2 2+ E) 2 1+

5. Dada la siguiente identidad trigonométrica.

cos sen

cos sencos

2 2

2 22

32 2

2

x x

x xA

xB

−

−= +

calcule AB.

A) – 6 B) – 4 C) – 2D) 2 E) 4

UNI 2001 - I

6. Si p < 2x < 2p y sen2x=a, calcule el valor de

3 2 12

2tan sectan sec sec

x xx x x− +

−

A) 1 – a2 B) a2 – 1 C) a2 1−

D) − −1 a E) 1− a

7. Si

x xab

∈ =

02

12; tan

πy

encuentre el equivalente de

sensen csc

21

xx x

ab+

+

A) aa b2 +

B) 2

2a

a b+ C)

ab a2 +

D) ab a2 −

E) 2

2a

b a−

UNI 1998 - I

8. Determine el equivalente de

2 2 22

2 22 2tan seccot

sec tanx x

xx x

−( ) + −

A) 11

2−+

tantan

xx

B) 11−+

tantan

xx

C) 1 – 2tanx

D) 1 – tanx E) tanx+1

Trigonometría

11

9. Reduzca tan2º+2sen22ºcot4º

A) sen1º B) sen2º C) sen4ºD) tan1º E) tan2º

10. Sea la ecuación

m

xn

xpsen cos

2 20+ + =

¿Bajo cuál de las siguientes relaciones entre m,

n y p, el valor de tanx4

es único?

A) m2+n2=p2

B) m2+p2=n2

C) n2+p2=n2

D) m n n2 2 2+ =

E) m n p2 2 2+ =UNI 1997 - I

11. Si cot sen cotx

x x2

0− − = ,

calcule cos2x.

A) – 1 B) – 1/2 C) 0D) 1/2 E) 1

NIVEL AVANZADO

12. Calcule el valor de tan2A+tan2B – 1 si tanA – tanB=1 y sen2A= – 2+4sen2A.

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2

13. Si 2cotx – 1=0,

calcule el valor de

22 2 2

22 2

cos sen sec

cos sec

x x x

x x

+

−

−

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14. De la condición sen2x+5senx+5cosx – 5=0, calcule el valor de sen2x.

A) – 1 B) – 1/2 C) 0D) 1/2 E) 1

15. De acuerdo con el gráfico, calcule cosq.

X

Y

αθ

αP (24; 7)

A) 336625

B) 336725

C) 336825

D) 336225

E) 36725

Anual UNI

IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos múltIples I01 - B

02 - E

03 - A

04 - B

05 - C

06 - D

07 - B

08 - A

09 - C

10 - A

11 - A

12 - B

13 - C

14 - C

15 - A

IdentIdades trIgonométrIcas fundamentales II01 - c

02 - b

03 - d

04 - b

05 - e

06 - c

07 - b

08 - e

09 - d

10 - e

11 - c

12 - e

13 - a

14 - d

15 - c

IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos I01 - B

02 - d

03 - d

04 - e

05 - e

06 - A

07 - B

08 - d

09 - d

10 - d

11 - C

12 - d

13 - e

14 - d

15 - B

16 - A

17 - C

IdentIdades trIgonométrIcas de ángulos compuestos II01 - D

02 - B

03 - A

04 - D

05 - B

06 - B

07 - B

08 - D

09 - D

10 - C

11 - B

12 - E

13 - B

14 - B

15 - A

reduccIón al prImer cuadrante

01 - B

02 - E

03 - C

04 - D

05 - E

06 - A

07 - E

08 - C

09 - C

10 - C

11 - C

12 - B

13 - B

14 - A

15 - C

acv_2015_t_03

Documents