MATEMÁTICAS I UNIDAD 13. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

IES VIRGEN DE LA VICTORIA Curso 2013-2014 Página 1 de 2

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente tabla.

a) Halla el valor de k para que se trate de una función de probabilidad. b) Calcula y representa gráficamente la función de probabilidad. c) Halla ( )3Xp < y ( )4X1p ≤< .

Sol: 24,0k = ; 35,0 , 74,0 2. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente tabla.

Sabiendo que ( ) 7,02Xp =≤ y que ( ) 75,02Xp =≥ , halla su media y su desviación típica. Sol: 15,2=µ , 19,1=σ 3. Un jugador lanza tres monedas. Gana tantos euros como caras obtenidas excepto cuando aparecen tres cruces, que pierde 10 euros. Si X es la variable aleatoria que indica la ganancia, calcula:

a) La función de probabilidad de la variable X.

b) La media de la distribución y su desviación típica. c) ¿Es favorable el juego al jugador? Razona la respuesta. Sol: 25,0=µ , 93,3=σ

4. Se extraen sin reemplazamiento dos cartas de una baraja española. Si X es la variable aleatoria que indica el número de ases obtenidos, calcula.

a) La función de probabilidad de la variable X.

b) La media de la distribución y su desviación típica. Sol: 2,0=µ , 42,0=σ 5. Determina en cada caso de manera razonada si la variable sigue una distribución binomial, indicando en caso afirmativo sus parámetros n y p. Además, calcula su media y su desviación típica.

a) El director de marketing de un equipo de baloncesto ha calculado que el porcentaje de seguidores en una ciudad es del 35%. Se escoge al azar una muestra formada por 10 personas y se considera la variable que expresa el número de seguidores en la muestra. b) Un estudio sobre la población activa de una ciudad revela que 4 de cada 15 trabajadores utiliza el metro. Se escoge al azar una muestra formada por 30 trabajadores y se considera la variable que expresa el número de usuarios de metro en la muestra. c) En un grupo de 16 personas, 10 son varones, y 6, mujeres. Se eligen al azar 3 personas del grupo y se considera la variable que expresa el número de varones seleccionados. d) Un examen tipo test está compuesta por 50 preguntas, cada una de las cuales tiene tres respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Se responde al azar y se considera la variable que expresa el número de preguntas acertadas. e) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Se considera la variable que expresa el número de preguntas falladas. Sol: 5,3=µ , 51,1=σ ; 8=µ , 42,2=σ ; No

6,16)

=µ , 3,3)

=σ ; 20=µ , 58,2=σ 6. En una distribución binomial ( )2,0;9B , calcula:

Sol: 738,0 ; 000314,0 ; 866,0 ; 1

7. En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos:

a) Ninguno. b) Uno c) Más de dos.

¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja? Sol: 364,0 ; 372,0 ; 078,0 ; 1 8. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la probabilidad de obtener:

a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas. c) Más de tres rojas. d) Alguna roja. Sol: 1323,0 ; 8369,0 ; 0308,0 ; 8319,0

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9. Indica de manera razonada si las siguientes funciones corresponden a una función de densidad de una variable aleatoria continua.

10. Sean las siguientes funciones. Halla en cada caso:

a) El valor de k para que dichas funciones correspondan a una función de densidad de una variable aleatoria continua. b) Las siguientes probabilidades: ( )3Xp ≤ , ( )5X2p ≤< . Sol: 6k = , 16/1k = , 5/2k = 5/2 , 5/3 ; 16/9 , 8/3 ; 12/1 , 8/1

11. Si Z es una distribución ( )1,0N , calcula las siguientes probabilidades.

Sol: 9131,0 ; 0062,0 ; 0465,0 ; 6915,0 ; 0076,0 ; 0689,0

12. Si Z es una distribución ( )1,0N , calcula en cada caso el valor de k de manera que se cumplan las siguientes igualdades.

Sol: 98,0k = ¸ 98,0k −= ; 88,0k = ; 96,1k = 13. Si Z es una distribución ( )6,173N , calcula las siguientes probabilidades.

Sol: 5,0 ; 1056,0 ; 3269,0 ; 8716,0 2857,0 ; 0 ; 0013,0 ; 0013,0

14. Si X es una distribución ( )2,10N , calcula en cada caso el valor de k de manera que se cumplan las siguientes igualdades.

Sol: 06,14k = ¸ 08,11k = ; 98,4k =

15. Calcula la media de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal, sabiendo que su varianza es 4 y que se cumple que ( ) 8051,02XP =≤ . Sol: 28,0=µ

16. Calcula la media y la desviación típica de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal, sabiendo que la media es 5 veces la desviación típica y que se cumple que ( ) 8413,06XP =≤ . Sol: 5=µ , 1=σ 17. Las notas de matemáticas en una clase se distribuyen normalmente con una media de 5,2 y una desviación típica de 2,7. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, tenga una nota comprendida entre 5,5 y 7? b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueban? Sol: 2048,0 ; %53 18. Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviación típica de 5. Calcula cuántos recién nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre 47 y 52 cm. Sol: 294 19. La longitud de las truchas de una piscifactoría sigue una normal ( )3;75,23N . Solo se comercializan aquellas cuya longitud está comprendida entre 20 y 26 cm.

a) ¿Qué porcentaje del total representan? b) ¿Cuál es la longitud para la cual el 80% de la población tiene una longitud superior?

Sol: %78,66 ; 23,21