actividades de exploración....cvem 2009

VII Congreso Virtual Internacional de Enseñanza de las Matemáticas: CVEM 2009 5 - 24 de Octubre de 2009

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Actividades de exploración de transformaciones geométricas de funciones usando software matemático

Roxana Scorzo, Betina Williner Adriana Favieri Universidad Nacional de la Matanza, Argentina

Resumen: en el presente trabajo se presenta un análisis cuantitativo de actividades de exploración de transformaciones geométricas de funciones haciendo uso de software Mathematica® en un taller de informática de la asignatura Cálculo I y su incidencia en la aplicación a otras funciones. Palabras claves: Exploración- Transformación de funciones- Taller- Software Mathematica® Introducción Este trabajo informa sobre el diseño y evaluación de actividades de exploración de transformaciones geométricas de funciones usando software Mathematica®- Dichas actividades corresponden a la asignatura Cálculo I de la Universidad Nacional de la Matanza y se llevan a cabo en laboratorios de informática. Se reporta el desempeño de los alumnos en dichas actividades, en la aplicación a la función homográfica y a otras funciones. Objetivos del trabajo: Nuestro interés se centra en varios aspectos:

• Analizar la influencia del uso del software matemático en la adquisición del concepto de transformaciones geométricas de funciones.

• Evaluar el diseño de las actividades diseñadas para el desarrollo del tema y decidir si éstas son apropiadas para lograr una generalización del concepto y aplicarlo a otras funciones.

• Valorar el desempeño del alumno en la aplicación de transformaciones geométricas a la función homográfica.

Marco teórico

Para el fundamento teórico de este trabajo se consideraron tres tópicos centrales:

a) Habilidades matemáticas

b) Uso del software en la enseñanza de la matemática

c) El taller como espacio de aprendizaje.


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a) Habilidades matemáticas

Una habilidad matemática es la capacidad de efectuar o realizar una tarea matemática eficientemente o de actuar adecuadamente frente a una situación, en la que la Matemática esté involucrada, comprendiendo más de una operación intelectual. Las habilidades están ligadas al “saber hacer”, y por lo tanto a un conocimiento, ya que no se puede “saber hacer” sin conocer el objeto sobre el que se está actuando. Las habilidades matemáticas a las que nos referiremos en este trabajo pueden ser asociadas a las habilidades del dominio cognitivo que figuran en la “Taxonomía de Bloom” (ver Cruz, 2005). La clasificación de Bloom se realiza en seis categorías básicas según la función de la acción en la que la habilidad se manifiesta: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis, evaluación. En la investigación, decidimos utilizar la clasificación que realiza Delgado Rubí, citando también a Hernández (Hernández y otros, 1998), pero agrupándolas no sólo de acuerdo al tipo de función que realizan sino también al objeto matemático (propiedad, símbolo, artefacto de representación, etc.) con el que se trata al realizar la acción. Para este trabajo nos concentraremos en el estudio de las habilidades heurísticas, en particular explorar, ya que consideramos el desarrollo de la misma se ve favorecido por el uso del software.

b) Uso del software en la enseñanza de la matemática

Mathematica® es un potente software, que permite hacer matemática aplicada propia de la formación del ingeniero. Al respecto dice Castillo E. (1996) que en el área de matemática, hasta hace unos años, existían fuertes limitaciones en el desarrollo y resolución de ciertos problemas. Agrega que con esta potente herramienta no sólo se podrán obtener respuestas a los mismos, sino que permitirá a los alumnos realizar aproximaciones en forma inductiva. A través del camino de la exploración, podrá trabajar con problemas más complejos y resolver cálculos numéricos en forma más rápida. En nuestro caso, esto contribuirá a la comprensión de las transformaciones de las funciones, que es uno de los objetivos planteados en la presente investigación. La función del profesor en este modelo es la de diseñar e implementar una situación, que en nuestro caso son las actividades formuladas, para movilizar cierto conocimiento enseñado en las clases de la asignatura. Nuestra idea es que el alumno utilice la tecnología como herramienta cognitiva, es decir, como medio facilitador del aprendizaje.

c) El taller como espacio de aprendizaje.

Un taller es un modo o forma de organizar el proceso de enseñanza – aprendizaje, que tiene como objetivo la realización de una tarea concreta, donde el alumno participa activamente, en forma individual y grupal, bajo la orientación adecuada del docente. (Ander-Egg, 1991; Sánchez Iniesta, 1995).


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El término taller se deriva del vocablo francés atelier y sus orígenes provienen de la Edad Media como un lugar donde se forman los aprendices. D. Calzado (1998) señala la diversidad de actividades pedagógicas a las que se le denominan taller, el cual ha sido categorizado también como método, procedimiento, técnica y forma de organización del proceso pedagógico. Esta autora considera al taller como una forma de organización que concuerda con la concepción problematizadora y desarrolladora de la educación en la medida en que a través de él se trata de salvar la dicotomía que se produce entre teoría y práctica, producción y trasmisión de conocimientos, habilidades y hábitos. Es importante destacar que el taller no suplanta ninguna de las formas tradicionales del sistema de trabajo metodológico, sino que la complementa. La práctica en los talleres está fundamentada en el aprendizaje activo por parte del alumno, en la que los conocimientos no están acabados y en donde el docente tiene un rol de facilitador del aprendizaje, y ayuda al alumno a recorrer el camino para apropiarse de dichos conocimientos.

Mediante una actividad de taller también puede atenderse a las diferencias, particularidades y necesidades individuales. Este se debe a que el docente puede atender a los alumnos en un espacio más distendido, más relajado en el que diálogo se ve favorecido, sin limitaciones que pueden presentarse en el aula a través de una enseñanza expositiva. Material y métodos: Diseño de las actividades Las actividades presentadas a los alumnos para el desarrollo del tema fueron divididas en tres partes:

1. Primera parte: funciones en forma gráfica. 2. Segunda parte: funciones en forma analítica. 3. Tercera parte: aplicación a la función homográfica.

Primera parte: se presentan dos gráficos. En el primero pueden verse las funciones

1( ) cos , ( ) 2cos , ( ) cos2

f x x f x x f x x= = = , representadas en el intervalo [ ]2 , 2π π− con

colores negro, rojo, y verde respectivamente. En la consigna se informa que la gráfica representada en negro corresponde a ( ) cosf x x= y ninguna información respecto a las otras dos curvas. En el segundo aparecen las funciones

1( ) cos , ( ) cos 2 , ( ) cos2

f x x f x x f x x= = = , con las mismas características que en el

primer gráfico. Se solicita a los alumnos que ayudándose con los comandos para graficar del software Mathematica® decidan qué operaciones matemáticas habría que hacerle a la función ( ) cosf x x= para que su gráfico sea como el gráfico que está en rojo y el que está en verde. También se solicita que analicen el efecto de dichas operaciones matemáticas a


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otras funciones, dejando así abierta la posibilidad de usar el programa para explorar con distintas funciones.

1. Segunda parte: se presentan los números: 1 2 1 2, , 3 , 22

c c d dππ= = − = = − ; y la

función ( ) cosf x x= , y se pide la realización de los gráficos de

1 2 1 2( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )f x f x c f x c f x d f x d− − + + . A partir de allí se solicita que observen las funciones graficadas y expliquen qué cambios produce en la gráfica de la función la resta del parámetro c y la suma de d. También se pide que analicen si el mismo parámetro c o d produce los mismos cambios en otra función cualquiera. Aquí también se deja abierta la posibilidad de exploración con el software por parte del alumno.

2. Tercera parte: se presenta la función homográfica y se pide que decidan qué

operaciones matemáticas son necesarias para que el gráfico de 1( )f xx

= se

desplace 5 unidades hacia la derecha, 2 unidades hacia abajo y sufra una contracción vertical de 3 unidades; y que grafiquen la función original y la transformada.

Realización de las actividades

Las actividades forman parte de los trabajos prácticos de entrega obligatoria de en un taller complementario con uso del software Mathematica® de la asignatura Cálculo I y Análisis Matemático I de las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica e Informática. La asistencia a los talleres no es obligatoria. Esto permite que los alumnos tengan la posibilidad de elegir entre trabajar en forma autónoma o guiada por el docente. El alumno cuenta con un blog en el cual se encuentran tutoriales sobre uso del software y toda información importante para la realización de las actividades.

Estudio de las actividades de exploración Con el propósito de cumplir con los objetivos del trabajo se ha analizado la habilidad explorar con los distintos contenidos con los que está relacionada. Como resultado de dicho análisis se llegó a la siguiente clasificación:

• Exploración de contracción y dilatación horizontal en la función coseno • Exploración de contracción y dilatación horizontal en cualquier función • Exploración de contracción y dilatación vertical en la función coseno • Exploración de contracción y dilatación vertical en cualquier función • Exploración de traslaciones horizontales en la función coseno • Exploración de traslaciones horizontales en cualquier función • Exploración de traslaciones verticales en la función coseno • Exploración de traslaciones verticales en cualquier función • Aplicación a la función homográfica


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Mal Regular Bien

Explorar contracción y dilatación horizontal en la función coseno

1,5% 1,5%

97,0%

Variables del estudio La clasificación anterior de la habilidad explorar relacionada con el contenido se transformaron en las variables de nuestro estudio. Las mismas se consideraron como variables categóricas, con tres opciones, Mal, Regular o Bien. Recolección de datos La recolección de datos se ha realizado a través de la corrección de los trabajos prácticos entregados por los alumnos. En ese el momento el docente encargado de la corrección valoraba cada una de las variables con alguna de las categorías mencionadas. Instrumento Para resumir la información acumulada en la corrección de los trabajos prácticos se ha diseñado una planilla electrónica que luego fue utilizada para realizar el análisis estadístico. Análisis cuantitativo Actividad de exploración de transformaciones geométricas Parte 1: Las variables relacionadas con esta parte de la actividad son:

• Exploración de contracción y dilatación horizontal en la función coseno • Exploración de contracción y dilatación horizontal en cualquier función • Exploración de contracción y dilatación vertical en la función coseno • Exploración de contracción y dilatación vertical en cualquier función

• Exploración de contracción y dilatación horizontal en la función coseno

Figura Nro 1: Frecuencias explorar contracción

y dilatación horizontal función coseno

Puede observarse que la mayoría de los alumnos ha logrado explorar correctamente la contracción y dilatación horizontal en la función coseno. Es decir que han podido relacionar la expresión analítica de la función con su representación gráfica.


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Mal Regular Bien

Explorar contracción y dilatación horizontal en cualquier función

86,6%

2,2%

11,2%

Mal Regular Bien

Explorar contracción y dilatación vertical en la función coseno

4,5% 4,5%

91,0%

• Exploración de contracción y dilatación horizontal en cualquier función

Figura Nro 2: Frecuencias explorar contracción y dilatación horizontal en cualquier función

En este caso el desempeño de los alumnos no es diferente, la mayoría no logra explorar en otras funciones; es decir, no presenta en los trabajos un análisis a otras funciones.

• Exploración de contracción y dilatación vertical en la función coseno

Figura Nro 3: Frecuencias explorar contracción y dilatación vertical función coseno

Nuevamente se presentan porcentajes altos de desempeño correcto en esta exploración relacionada con la función coseno. Es decir, aquí también los alumnos han sido capaces de traducir el lenguaje gráfico al simbólico ayudados por el software.


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• Exploración de contracción y dilatación vertical en cualquier función

Figura Nro 4: Frecuencias explorar contracción y

dilatación vertical en cualquier función La mayoría de los trabajos presentados no evidenciaban exploración de contracciones y dilataciones verticales a otras funciones. Conclusión: la actividad y el uso del software han contribuido a la exploración de contracciones y dilataciones horizontales y verticales de la función coseno. La actividad no ha sido satisfactoria en la exploración a otras funciones. El diseño de la misma podría haber sido más específico en cuanto a la aplicación a otras funciones y su generalización. Parte 2: Las variables relacionadas con esta parte de la actividad son:

• Exploración de traslaciones horizontales en la función coseno • Exploración de traslaciones horizontales en cualquier función • Exploración de traslaciones verticales en la función coseno • Exploración de traslaciones verticales en cualquier función

Mal Regular Bien

Explorar contracción y dilatación vertical en cualquier función

88,8%

1,5%9,7%


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• Exploración de traslaciones horizontales en la función coseno

Figura Nro 5: Frecuencias explorar traslaciones

horizontales función coseno

No se obtuvieron resultados en la categoría mal. Casi un 65% lo hace correctamente y un 35% en forma regular.

• Exploración de traslaciones horizontales en cualquier función

Figura Nro 6: Frecuencias explorar traslaciones horizontales en cualquier función

En forma similar a los resultados de la actividad anterior, el desempeño de la exploración de traslaciones horizontales en cualquier función no ha sido satisfactorio. La mayoría lo hizo mal o no lo realizó.

Regular Bien

Explorar traslaciones horizontales en la función coseno

35,1%

64,9%

Mal Regular Bien

Explorar traslaciones horizontales en cualquier función

86,6%

3,0%10,4%


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• Exploración de traslaciones verticales en la función coseno

Figura Nro 7: Frecuencias explorar traslaciones

verticales función coseno

Aunque puede apreciarse una disminución de los porcentajes de alumnos que realizaron correctamente la exploración de traslaciones verticales en la función coseno, en general el desempeño es satisfactorio, sólo un 3% lo hace incorrectamente.

• Exploración de traslaciones verticales en cualquier función

Figura Nro 8: Frecuencias explorar traslaciones verticales en cualquier función

Resultados similares a los obtenidos en la parte 1 de la actividad de exploración, el porcentaje más alto se encuentra entre los alumnos que lo hicieron mal o no lo hicieron. Conclusión: la actividad y el uso del software han contribuido a la exploración de traslaciones horizontales y verticales de la función coseno; sin embargo no ha facilitado la exploración a otras funciones. Es decir que el diseño podría haber estado también enfocado a la aplicación a otras funciones y su generalización

Mal Regular Bien

Explorar traslaciones verticales en la función coseno

3,0%

31,3%

65,7%

Mal Regular Bien

Explorar traslaciones verticales en cualquier función

87,3%

1,5%11,2%


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Parte 3 Las variables relacionadas con esta parte de la actividad son:

• Aplicación a la función homográfica

Figura Nro 9: Frecuencias aplicación función homográfica

Los resultados son relativamente buenos, casi un 65% ha podido aplicar las transformaciones geométricas a la función homográfica, y sólo un 9% lo ha realizado en forma correcta. El resto de los alumnos lo hizo en forma incorrecta Conclusión: luego de haber realizado las actividades de exploración de contracciones, dilataciones y traslaciones horizontales y verticales de la funciones, la mayoría de los alumnos ha logrado aplicarlo a la función homográfica medianamente bien. Logro de objetivos propuestos Analizamos cada objetivo planteado, su cumplimiento y la conclusión:

• Analizar la influencia del uso del software matemático en la adquisición del concepto de transformaciones geométricas de funciones.

o A través de este trabajo se ha podido apreciar la potencialidad didáctica del software y su influencia positiva en el desarrollo del concepto de transformaciones geométricas de funciones debido a las facilidades de gráficos que el mismo presenta.

Mal Regular Bien

Aplicacion a función homográfica

26,1%

64,9%

9,0%


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• Evaluar el diseño de las actividades diseñadas para el desarrollo del tema y decidir si éstas son apropiadas para lograr una generalización del concepto y aplicarlo a otras funciones.

o Las actividades diseñadas para la exploración de transformaciones geométricas de funciones han resultado efectivas en lo referente a la exploración de la función coseno. En cuanto a la exploración de las transformaciones geométricas de otras funciones las mismas necesitan un rediseño, creemos que éste debe estar enfocado a guiar al alumno a la generalización y a la exploración a otros tipos de funciones. Muchas veces se considera que el diseño de una actividad queda claro para el alumno y sin embargo no siempre esto es así La reformulación de actividades por parte del docente favorece y enriquece el aprendizaje de los alumnos

• Valorar el desempeño del alumno en la aplicación de transformaciones geométricas

a la función homográfica. o El desempeño del alumno en esta aplicación es de regular a bueno, aunque

los valores de desempeño correcto son bajos. Conclusión final: Esta experiencia ha sido muy valiosa ya que nos permite resaltar los siguientes hechos:

• Uso del software Mathematica® como una herramienta didáctica de mucha potencialidad, que contribuye a la visualización, a la exploración y la realización de cálculos de manera ágil y rápida.

• Valorar la efectividad del diseño de la actividad en la exploración de las

transformaciones geométricas de la función coseno.

• Destacar la importancia de las actividades en un entorno de taller de informática en el desarrollo de la reflexión y profundización de los contenidos.

• Enfatizar la clara formulación y diseño de actividades didácticas, para que éstas cumplan con el objetivo planteado..

• Comprometernos con el diseño de actividades complementarias que guíen a la generalización y aplicación a otro tipo de funciones.


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Bibliografía

Ander Egg, Ezequiel (1991), El Taller: una alternativa de renovación pedagógica, Buenos Aires : Magisterio del Río de la Plata

Castillo E. y otros (1996) Mathematica .(3ra Ed). Editorial Paraninfo. España.

Cruz, E. (2005). Encyclopedia of Educational Technology: Bloom's Revised Taxonomy. Retrieved March 19, 2005. Recuperado el 17 de junio de 2009, de http://coe.sdsu.edu/eet/Articles/bloomrev/ Ministerio de educación, 2005, , El taller como forma de trabajo metodológico en la educación superior, Revista Pedagógica Universitaria Vol. 9 No. 5, Cuba

Sanchez Iniesta, Tomás, 1995, La construcción del aprendizaje en el aula, (2ª edición), Magisterio Río de la Plata Buenos Aires