Instituto Universitario Aeronutico Facultad de Ciencia de la Administracin

Materia: MATEMATICA I

ACTIVIDAD GRUPAL N 4

Alumno: FRAIRE, Emiliano y VILETA, Erico - Resolucin: PARTE A (enunciado 28), PARTE B (enunciado 22 y 28)

Parte A

28) Cada vez que A y B son invertibles A+B lo es? Una matriz es invertible si solo si su determinante es distinto a cero.

|| 0 || 0

La suma de matrices invertibles no siempre es invertible, ahora vamos a dar un ejemplo para demostrar tal caso

= [4 110 4

] ; = [2 32 4

]

Calculamos los determinantes para ambas matrices

|| = (4 4) (1 10) = 6 Esta matriz si es invertible porque su determinante es 0

|| = (2 4) (3 2) = 2 Esta matriz si es invertible porque su determinante es 0

Ahora sumando las dos matrices A + B

+ = [4 1

10 4] + [

2 3

2 4] = [

6 412 8

]

Le calculamos su determinante a la suma de A+B

| + | = (6 8) (4 12) = 48 48 = 0

det( + ) = | + | = 0

Basndonos en la frmula para calcular matriz inversa a travs del determinante

( + )1 = 1

det( + )( + )

Vemos que para que una matriz sea invertible su determinante (denominador) debe ser distinto de cero. Por lo que A+B

no es invertible.

Parte B

22)

El personal de las dependencias operativas del aeropuerto de Mendoza (TWR, ACC y ARO AIS)

Se distribuye segn la tabla. Se realiza una reunin con todo el personal de las dependencias operativas a fin de informarlos de novedades laborales de importancia pero se produce la novedad que slo 20 operadores concurren (debido a la falta de informacin oportuna sobre la ocurrencia de la misma). De los 20 asistentes un 12% eran oficiales, 62% suboficiales y 26% civiles. Cuntos operadores concurrieron de cada dependencia?

TWR ACC ARO - AIS

Oficiales 5% 10% 15%

Suboficiales 80% 65% 55%

Personal Civil 15% 25% 30%

Datos: conocemos que para cada dependencia operativa del aeropuerto posee un porcentaje de asistentes que se

componen de oficiales, suboficiales y civiles.

Como se observa en la tabla para cada dependencia hay un porcentaje de cada grupo de asistentes; es decir que, por

ejemplo, para la dependencia del aeropuerto TWR posee un 5% de oficiales, un 80% de suboficiales y un 15% del total

de los asistentes. Tambin conocemos que el total de los asistentes es de 20 y que se reparten en distintos porcentajes

(un 12% eran oficiales, 62% suboficiales y 26% civiles)

Definimos las variables:

Definimos a x como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia TWR.

Definimos a y como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia ACC.

Definimos a z como la cantidad de operadores que concurrieron a la dependencia ARO-AIS

A partir de todos estos datos podemos plantear el sistema de ecuaciones:

= {5 + 10 + 15 = 1280 + 65 + 55 = 6215 + 25 + 30 = 26

Construimos la matriz aumentada

[58015 106525 155530 126526 ]

Resolviendo el siguiente SEL por la regla de Cramer:

= [58015 106525 155530 58015 106525] = (9750 + 8250 + 30000) (14625 + 6875 + 24000) = 2500

= [126226 106525 155530 126226 106525] = (23400 + 14300 + 23250) (25350 + 16500 + 18600) = 500

= [58015 126226 155530 58015 126226] = (9300 + 9900 + 31200) (13950 + 7150 + 28800) = 500

= [58015 106525 126226 58015 106525] = (8450 + 9300 + 24000) (11700 + 7750 + 20800) = 1500

=

=500

2500= 0.2

=

=500

2500= 0.2

z =z

s=1500

2500= 0.6

Corroborando con el paquete informtico OnlineMSchool:

Mtodo de la inversa por OnlineMSchool:

En conclusin el resultado que tenemos es el siguiente

1 =1

5; 2 =

1

5; 3 =

3

5; 1 = ; 2 = ; 3 =

Verificacin:

{

5

1

5+ 10

1

5+ 15

3

5= 1 + 2 + 9 = 12

801

5+ 65

1

5+ 55

3

5= 16 + 13 + 33 = 62

151

5+ 25

1

5+ 30

3

5= 3 + 5 + 18 = 26

Como se observa en la verificacin los resultados coincides.

{

=

1

5

=1

5

=3

5

: = {(, , )/ =1

5, =

1

5, =

3

5}

Conclusin:

De acuerdo con los resultados obtenidos los operadores que concurrieron de cada dependencia fueron:

Sabemos que el total de asistentes es de 20 personas y x la cantidad porcentual de operadores que concurrieron a la

dependencia TWR.:

20 1

5 = 4

20 1

5= 4

20 3

5= 12

Para saber qu cantidad de asistentes para cada dependencia hay:

Dependencia TWR:

4 personas en total, de los cuales 5% = 0,2 oficiales, 80% = 3,2 de suboficiales y 15%= 0,6 civiles. Como hablamos de personas no podemos trabajar con decimales por

lo que podemos estimar que para esta dependencia no hay oficiales, hay 3 suboficiales y 1 civil.

Dependencia ACC:

4 personas en total, de los cuales 10% = 0,4 oficiales, 65% = 2,6 de suboficiales y 25%= 1 civiles. Lo que podemos estimar que para esta dependencia no hay oficiales,

hay 3 suboficiales y 1 civil.

Dependencia ARO-AIS:

12 personas en total, de los cuales 15% = 1,8 oficiales, 55% = 6,6 de suboficiales y 30%= 3,6 civiles. Lo que podemos estimar que para esta dependencia hay 2

oficiales, hay 6 suboficiales y 4 civil.

PARTE B Continuacin y cambio de consigna

28)

Determine el valor de k para la cual el SEL asociado a la correspondiente matriz de coeficientes A no pueda resolverse

usando la Regla de Cramer ni el mtodo de la inversa.

1 8

0 1

53 6 1

k

A k

Tomando la fila 2 calculamos el determinante

= [1 8 0 153 6 1

] = | 86 1

| + 0 |1 853 1

| + 1 |1 53 6

|

= ( + 48) + (6 + 53)

= 2 48 + 53 6

= 2 + 5 6

Aplicamos la formula cuadrtica para obtener el valor de K

(1,2) = 2 4

2=

=5 52 4 (1) (6)

2

=5 1

2

1 =5 + 1

2= 2

2 =5 1

2= 3

: {( = 2), ( = 3)}