SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1. De las siguientes ecuaciones, Cules son lineales en x1, x2, y x3?a) Si es una ecuacin lineal porque todos sus exponentes son unos.

b) No es una ecuacin lineal porque es de grado 2.

c) Si es una ecuacin lineal porque que al acomodar la ecuacin cumple que todos los exponentes de las sus variables son 1.

d) No es una ecuacin lineal porque no todos sus exponentes son lineales.

e) No es una ecuacin lineal porque en la variable x1 su exponente no es 1.

f) Si es una ecuacin lineal porque todos sus exponentes son unos.

2. Dado que k es una constante. Cules de las siguientes ecuaciones son lineales?

a) Si es una ecuacin lineal porque los exponentes de las variables son unos y Sen (k) es un nmero.

b) Si es una ecuacin lineal porque los exponentes de todas sus variables son de grado 1 sin importar el valor de k.

c) Si es una ecuacin lineal porque todos los exponentes de las variables son 1 y k solo le afecta al 2 y su resultado no cambia el grado de x1.

3. Encontrar el conjunto solucin de cada una de las siguientes ecuaciones.

a) C.S. = Lnea Recta

b) C.S.= Plano

c) C.S. = Hiperplano

d) C.S. = Hiperplano 4. Hallar la matriz aumentada de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a) ; ;

b) ; ;

c) ; ;

5. Determinar un sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la matriz aumentada.

a)

; ;

b)

; ;

c)

;

d)

;; ;

6. a) Encontrar una ecuacin lineal en las variables x y y que tenga la solucin general.

Tenemos las ecuaciones: ;

Entonces:

b) Demostrar que x , y que y tambin es la solucin general de la ecuacin del inciso (a).

Reemplazamos:

Por lo tanto si es solucin de la ecuacin (a).

7. La curva , de la figura 2 pasa por los puntos , y . Demostrar que los coeficientes a, b y c son una solucin del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es:

=

=

=

Mtodo de Gauss:Matriz Aumentada 4 2 1 3 16 4 1 136 6 1 4

1 0 -4 -3 -1136 6 1 4 4 2 1 3 16 4 1 136 6 1 4 1 16 4 1 136 6 1 4

F2+ (-16)* F1F1/4

1 0 4 3 110 0 1 10 (-1)* F21 0 -4 -3 -110 0 1 10F3+ (-3)* F21 0 -4 -3 -110 -12 -8 -23F3+ (-36)* F1

Matriz Triangular 1 0 1 11/4 0 0 1 10F2/4

Rptas: a =-33/8; b=19/4; c=10. Todas las respuestas se obtienen con el reemplazo de la variable c en las ecuaciones halladas por Gauss.

8. Para qu valor(es) de la constante k el siguiente sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones? Exactamente una solucin? Infinidad de soluciones?

1 -1 30 0 -6+kF2+ (-2)*F11 -1 32 -2 k

Para que se cumpla dicho sistema de ecuaciones, es necesario que el valor de k sea exactamente una solucin.

9. Considerar el sistema de ecuaciones:

; ;

Analizar las posiciones relativas de las rectas antes mencionadas cuando el sistema:

a) No tiene soluciones.Si: e=f=m=0 las rectas no tienen punto de coincidencia y no tendr solucin el sistema (rectas paralelas).

b) Tiene exactamente una solucin.Son rectas secantes y el nico punto en el que coinciden es la solucin.

c) Tiene una infinidad de soluciones.Hay muchas soluciones porque son rectas coincidentes .

10. Demostrar que si el sistema de ecuaciones del ejercicio 9 es consistente, entonces del sistema es posible eliminar por lo menos una ecuacin sin modificar el conjunto solucin.

El enunciado es posible si se tiene exactamente una solucin.

Por ejemplo: si: a=1; b=1; c=-3; d=4; e=2; f=5.

Entonces: el C.S.= {1; 1}Si: se elimina la 3ra ecuacin lineal: C.S.= {1; 1}. 1 1 2-3 4 1

1 1 2 0 1 1 1 1 2 0 7 7F2+ (3)*F1

F2/7

y=1; x+y=2; Por lo tanto, x=1.Por lo tanto se comprueba que el conjunto solucin se mantiene a pesar de eliminar una de las ecuaciones del sistema, siempre y cuando esta sea de una nica solucin.

11. Sean k=1 y m=0 en el ejercicio 9; demostrar que el sistema debe ser consistente. Qu se puede decir del punto de interseccin de las tres rectas si el sistema tiene exactamente una solucin?

Si k=1 y m=0: El punto de interseccin se da en la coordenada (x, y) donde x=y.

12. Considerar el sistema de ecuaciones:

Demostrar que para que este sistema sea consistente a, b y c deben satisfacer c=a+b.

Entonces:

13. Demostrar lo siguiente: Si las ecuaciones lineales y ; tienen el mismo conjunto solucin, entonces las ecuaciones son idnticas.

Entonces: Por lo tanto:

Las ecuaciones son idnticas y tienen el mismo conjunto solucin.