Actividad 6A.

Grupo:

Un conjunto G, distinto del vacío, es un grupo si tiene definida una ley de composición interna ∗ que cumple las propiedades:

- Asociativa.- Existe elemento neutro e. (a*e= e*a= a, ∀a ∈ G ).- Todo elemento tiene simétrico.

Además, si ∗ es conmutativa, llamaremos a (G,∗) grupo abeliano

A modo de ejemplo, notemos que (R,.) no es un grupo pues 0 no posee inverso. Sin embargo, (R\{0},.) sí es un grupo.

Si (G,∗)es un grupo, entonces cumple las siguientes propiedades (las cuales ya vimos):

1. El inverso de cada elemento es único2. (∀ x ∈ G) (x −1)−1=x

3. (∀ x ,y ∈ G) ( x ∗ y) −1 = y−1 ∗ x −1

4. Todo elemento x ∈ G es cancelable.

Ejemplo:

El conjunto de números enteros Z, que está formado por números enteros sin decimal,y que tienen signo positivo o negativo, junto con el 0.

Grupo finito:

Es un grupo cuyo conjunto fundamental G, tiene un número de elementos finitos. Ejemplo: número de palabras del un libro en particular. Es un conjunto de números que tiene principio y fin.

Subgrupo:

Sea (G,∗) un grupo, y sea H ⊆ G, H ≠ ∅ . Diremos que H es subgrupo de G si (H, ∗) también es grupo.

Si consideramos el grupo (R, +), entonces un posible subgrupo es (Q,+). También tenemos a ({−1,1},.) como subgrupo de (R\{0},.)

Todo grupo (G,∗) tiene dos subgrupos a los cuales llamaremos triviales: (G,∗) y ({e},∗)

Ejemplo: el menor de los subgrupos del grupo <G,*> es <{e}> Donde e es el neutro de (G,∗)

Homom orfismos

Sean (A,∗) y (B,△) dos estructuras algebraicas, y sea f: A→B una función. Sabemos que si x,y ∈ A entonces f(x), f(y) ∈ B. Como sobre A tenemos definida una operación ∗, podemos hacernos la pregunta: ¿cuánto vale f(x∗y)?

Los homomorfismos serán las funciones de A en B tales que f(x ∗ y) se construye operando f(x) y f(y), es decir tales que f(x∗y) = f(x) △ f(y) (recordemos que como f(x), f(y) ∈ B, entonces la operación que podemos aplicarles no es ∗, sino △ ).Una función f: A →B es un homomorfismo, si

(∀ x,y ∈ A) f(x∗y) = f(x)△f(y)

Ejemplo: Sea h : (IR, +) −→ (IR − {0}, ·), se define h(x) = 3x .

Vemos que h(x + y) = 3x+y , = 3x3 y , = h(x)h(y).

Así h es un homomorfismo. .

Fuentes:

_Wikipedia

_ Scribd