act 7-8

ACT 7

1

Es el área de las Matemáticas que se encarga de estudiar las relaciones numéricas que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo es:

Seleccione una respuesta.

a. Geometría Analítica

b. Trigonometría

c. Lógica Matemática

d. Álgebra

2

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones trigonométricas, dos entre cada pareja de estos lados. La razon trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo que cuya definición corresponde a razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo es:


a. Secante

b. Coseno

c. Cotangente

d. Seno

3

Un triángulo rectángulo es el que tiene:


a. Un ángulo interior de medida 180°

b. Un ángulo interior de medida 100°

c. Un ángulo interior de medida 120°

d. Un ángulo interior de medida 90°

4

Según la teoria Euclidiana, la suma de la medida de los ángulos interiores de todo triángulo es:


a. 90°

b. 45°

c. 270°

d. 180°

5

El Teorema de Pitágoras se aplica en los triángulos:


a. Escaleno

b. Acutángulos

c. Rectángulos

d. Obtusángulos

6

Un ángulo de 30° es suplemento de uno de:


a. 150°

b. 130°

c. 90°

d. 70°

7

Por su posición los ángulos se clasifican de la siguiente manera:


a. Agudo

b. Recto

c. Opuestos por el vértice

d. Obtuso

8

Un ángulo llano es un ángulo cuyos lados son opuestos, su medida es:


a. 90°

b. 45°

c. 0°

d. 180°

9

Un ángulo de 20°es complemento de uno de:


a. 50°

b. 180°

c. 90°

d. 70°

10

Utilizando el teorema de pitagoras, la altura de un triangulo equilatero de lado 14 cm, es aproximadamente:


a. 12,12 cms

b. 9,9 cms

c. 10 cms

d. 19,8 cms

1. Concepto de Función:

Una función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo).

Por ejemplo la función f(x) = 1/x asocia a cada número real distinto de cero su inverso. El subconjunto formado por los números reales que tienen imagen, se llama dominio de la función. En este ejemplo el dominio está formado por todos los números reales distintos del cero. D (f) = R - {0}.

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Dominio y Rango de una Función

Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por F = (x,y) / y = x3.

Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer lo mismo para una funcion, luego Dom(f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el elemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta relacionado con ningun elemento de X. A los elementos del rango de una función también se les suele llamar conjunto de imagenes de la función, luego 1 es imagen de 1, mediante la función F, o tambien se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante la función F, es decir, 8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir, 27=f(3).

http://66.165.175.233/campus03_20131/file.php/23/L._E._Recouid._2/index.html

http://66.165.175.233/campus03_20131/file.php/23/L._E._Recouid._2/dominio_y_rango_de_una_funcin.html

Funciones Biyectivas,Sobreyectivas y Inyectivas

Función Inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del

dominio es inyectiva.

Función Sobreyectiva: es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio) es sobreyectiva.

Función Biyectiva: es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.

http://contents.unadvirtual.org/wiki/Imagen:Injection.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/Surjection.svg

http://contents.unadvirtual.org/wiki/Imagen:Bijection.svg

Dominio y Rango de una Función

Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por F = (x,y) / y = x3.

Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer lo mismo para una funcion, luego Dom(f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el elemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta relacionado con ningun elemento de X. A los elementos del rango de una función también se les suele llamar conjunto de imagenes de la función, luego 1 es imagen de 1, mediante la función F, o tambien se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante la función F, es decir, 8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir, 27=f(3).

Funciones Biyectivas,Sobreyectivas y Inyectivas

Función Inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del

dominio es inyectiva.

Función Sobreyectiva: es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio) es sobreyectiva.

http://contents.unadvirtual.org/wiki/Imagen:Injection.svg

Función Biyectiva: es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.

Revisando concepto de Trigonometría

2. Concepto de Trigonometría:

La Trigonometría (< Griegotrigōnon "triángulo" + metron "medida"[, de ahí su significado etimológico viene a ser la medición de los triángulos). La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto la trigonometría se vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas, de la geometría del espacio.

Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en Astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por Satélites.

Unidades Angulares

2.1. Unidades Angulares:

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%83%C2%ADa#_note-0%23_note-0

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6c/Surjection.svg

http://contents.unadvirtual.org/wiki/Imagen:Bijection.svg

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.

-Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes. -Grado Sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. -Grado Centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Funciones Trigonométricas

2.2. Funciones Trigonométricas:

El Triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente, es el cociente del seno entre el coseno.

Identidades Trigonométricas

2.3. Identidades Trigonométricas:

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que: sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α.

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:

sen (90 + α) = cos α cos (90 – α) = sen α sen (180 – α) = sen α cos (180 – α) = –cos α

sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2α - sen2α sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β 2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α – β); cos2(α) = 1/2 × (1 + cos(2 × α)); sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β) sen2(α) = 1/2 × (1 – cos(2 × α))

Revisando concepto de Hipernometría

3. Definición de Hipernometría:

La palabra HIPERNOMETRÍA, se acuño en este contexto haciendo referencia a el análisis de las funciones Hiperbólicas, de la misma manera como al

En la parte de funciones trascendentales se analizaron las funciones hiperbólicas, sus principios y características. Así las funciones hiperbólicas tienen unas identidades básicas.

El análisis de las funciones trigonométricas se le denomina Trigonometría, es posible que la palabra no sea muy técnica, pero la idea es que con ella; en este material, se identifique el análisis de las funciones hiperbólicas.

ACT 81Dados los conjuntos M y N, de tal manera que N sea la raíz cuadrada de M. Al obtener las parejas ordenadas para 1, 4, …, m para m positivo. Las parejas ordenadas son:


a. (1, 1) y (1, -1) (4, 2) y (4, -2)

b. (1, -1) y (1, -1) (4, -2) y (4, -2)

c. (1, -1) y (1, -1) (4, 2) y (4, -2)

d. (1, 1) y (1, -1) (4, 2) y (4, 2)

2

Calcular la altura de un edificio, si sabemos que desde un punto colocado a una distancia de 40m de la base del edificio se midió el ángulo de elevación de su terraza más alta y se vio que era de 60° 30'.


a. h = 87,7 m

b. h = 77,7 m

c. h = 80,7 m

d. h = 70,7 m

3

La función tangente hiperbólica denotada por f (x) = tanh(x), su imagen es:


a. Todos los reales comprendidos en el intervalo (-1,1)

b. Todos los reales comprendidos en el intervalo (1,1)

c. Todos los reales comprendidos en el intervalo (1,0)

d. Todos los reales comprendidos en el intervalo (-1,-1)

4

Para la función coseno hiperbólico se cumple: cosh(-x) = cosh(x), luego es una función:


a. Par

b. No simétrica

c. Monótona

d. Impar

5

Consideremos la relación R = { (x,y) / 3x2 + 4y2 = 12} . El rango es:


a. I = [ - 1,7320, 1,7320]

b. I = [ - 1,7320, 1,7320)

c. I = ( - 1,7320, 1,7320)

d. I = ( - 1,7320, 1,7320]

6

La función secante hiperbólica, sus asíntotas son:


a. y = 1 ; y = -1

b. y = -2 ; y = 1

c. y = -1 ; y = 0

d. y = 1 ; y = 0

7

En la relación R : Q → Q, dada por la regla y = 1/x . El dominio de la relación es:


a. D = {x/x ε Enteros}

b. D = {x/x ≠ 0}

c. D = {x/x ε (-3, 4)}

d. D = {x/x ε Reales}

8

Una Función Par es una función f (x) si para todo x en su dominio es:


a. f ( - x ) = f ( x )

b. f ( x ) = - f ( x )

c. f ( x ) = f ( x )

d. f ( - x ) = - f ( x )

9

La expresión Cos ( - 1342° ) es igual a:


a. Cos( 1342°)

b. - Tan( 1342°)

c. - Sen( 1342°)

d. - Cos( 1342°)

10

Al expresar 1/96 revoluciones en grados decimales es:


a. 2,8°

b. 1,75°

c. 3,75°

d. 3,25°

ACT 91

El valor de la expresión Sen 30° . Cos 60° - 3/4 es:


a. 1/2

b. - 1

c. - 1/2

d. 1

2La expresión Sen4 ß + 2 Sen2 ß Cos2 ß + Cos4 ß es equivalente a:


a. 1 / Sen x

b. 1

c. 1 / Cos x

d. - 1

3La circunferencia unitaria es una herramienta útil para el análisis de las funciones trigonométricas. La demostración de la identidad, cos2 + sen2 = 1, se hace aplicando:


a. El teorema de Arquímedes

b. El teorema de Pitágoras

c. El teorema del coseno

d. El teorema del seno

4

De la siguiente gráfica:

El dominio es:


a. D = (-7,0) U (0,7)

b. D = [ -1,4 ]

c. D = [ -7,7 ]

d. D = R

5

Al resolver la ecuación SEN(X) COS(X) = 0, el valor del ángulo x que no satisface la ecuación es:


a. x = 90º

b. x = 180°

c. x = 0º

d. x = 135º

6

El sistema donde se considera la circunferencia dividida en 360 partes iguales, es:


a. Centesimal

b. Circular

c. Radial

d. Sexagesimal

7

Se tiene las siguientes funciones f(x) = 3x2 y g(x) =

entonces, es:

1.

2.

3.

4.


a. 4

b. 1

c. 2

d. 3

8

La expresión Sen3 ø + Sen ø . Cos2 ø es equivalente a:


a. Cot ø

b. Cos ø

c. Csc ø

d. Sen ø

9El rango de R = { (x,y) / 9x2 + 25y2 = 225 } es:


a. I = [-3 ; 3]

b. I = (- 3 ; 3]

c. I = [- 3 ; 3 )

d. I = (- 3 ; 3)

10

En un triángulo rectángulo el lado adyacente a un ángulo ß mide 15 cm y el opuesto mide 28 cm. Hallar las medidas de los ángulos de dicho triángulo.


a. α = 75º, β = 90º, δ = 37º

b. α = 32,50º, β = 90º, δ = 37,50º

c. α = 61,50º, β = 90º, δ = 28,50º

d. α = 25º, β = 90º, δ = 37º

11El Perímetro del siguiente triángulo es:


a. 1254,10 m

b. 589,41 m

c. 1391,64 m

d. 193.97 m

12

Al convertir 4π / 3 radianes a grados es:


a. 240º

b. 90º

c. 270º

d. 180º

13

La siguiente gráfica corresponde a:


a. Función

b. Plano Cartesiano

c. Rectas paralelas

d. Relación

14

Seleccione correctamente el dominio de la siguiente función:

y2 + 3x - 2 = 0


a. x ϵ [ - ∞, 2/3 ]

b. x ϵ [ - ∞, 2/3 )

c. x ϵ ( - ∞, 2/3 ]

d. x ϵ ( - ∞, 2/3 )

15Seleccione correctamente la función inversa de:


a. y = Ln x

b. y = Ln (1/ x - 1)

c. y = x + 1 - Ln (1 - x)

d. y = 1 - x / Ln x

ACT 111

La circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola se denominan:


a. Paralelepípedo

b. Polígonos

c. Secciones cónicas

d. Poliedros

2

Para definir una recta se necesita:


a. Solo un punto

b. Un punto que haga parte de ella y otras externa a ella

c. Dos puntos que hagan parte de ella

d. Un punto que hagan parte de ella y ninguna externa a ella

3

Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías según la forma y sus propiedades; estas se establecen de acuerdo a la excentricidad (e). Si e < 1 la cónica se llama:


a. Elipse

b. Parábola

c. Hiperbola

d. Circunferencia

4Entre los lugares geométricos que no analiza la Geometría Analítica se encuentra:


a. Paralelepípedo

b. Elipse

c. Recta

d. Hipérbola

5

El conjunto de todos los puntos tridimensionales se llama:


a. Recta real

b. Línea

c. Plano

d. Espacio

6

La definición " Es el segmento que une un punto cualquiera de la circunferencia con el centro", corresponde a:


a. Radio

b. Cuerda

c. Arco

d. Diámetro

7

La intersección de dos planos dan una:


a. Recta

b. Otro plano

c. Espacio

d. Punto

8

Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías según la forma y sus propiedades; estas se establecen de acuerdo a la excentricidad (e). Si e = 1 la cónica se llama:


a. Hiperbola

b. Parábola

c. Circunferencia

d. Elipse

9

Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares sí y sólo si sus pendientes son:


a. Iguales

b. Recíprocas

c. De signo contrario

d. Recíprocas y de signo contrario

10

Dos rectas L1 y L2 son paralelas sí y sólo si sus pendientes son:


a. Signo contrario

b. Iguales

c. Recíprocas

d. Recíprocas y de signo contrario

act 7-8

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