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MATEMATICA 1

Alumnos: REY, MARIO ADRIAN / FARIAS HORACIO

Grupo 1

Comisión IS-MA1-COR-aolmos-DIST-A

ACTIVIDAD GRUPAL - 5D

Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz constru-ya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego expli-cite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):

a) El vector genérico TX.b) El núcleo de esta TL. c) Los autovalores de la TL. d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Además:e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio ge-nerado.f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que ha-cen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices? h) Plantee la transformación inversa.

Matriz Seleccionada en foro:

a) El vector genérico TX.

T :Rn→Rm

X↦T (X )

T ( X )=AX=[2 1 01 2 10 −1 2] .[ xyz ]=[2x 1 y 0 z

1x 2 y 1 z0 x −1 y 2 z ]

Transformación Lineal : [2 x +1 y +0 z1 x +2 y +1 z0 x −1 y +2 z ]= ¿

VectorGenerico→Gen={[ 2 x+ yx+2 y+z− y+2 z ]}

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b) El núcleo de esta TL.

Tomado de Guía de Estudio:

“Se llama núcleo de la transformación; es la solución del SELH AX = 0 ytambién se denota por NulA: consta del vector nulo o de infinitos vectores además delnulo.”

AX=0

NulT {X ERn/AX=0}

A=[2 1 0 01 2 1 00 −1 2 0]={ 2 x+ y=0

x+2 y+z=0− y+2 z=0

Se realiza resolución de SEL mediante Wiris.com:

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Se realiza resolución de SEL mediante http://onlinemschool.com:

http://onlinemschool.com:/

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Nucleo .T={[000]}

c) Los autovalores de la TL.

De acuerdo al método indicado para determinar autovalores y autovectores:

AX=kXAX−KX=0AX−KIX=0

( A−KI ) X=0

Siendo : I=[1 0 00 1 00 0 1] , A=[2 1 0

1 2 10 −1 2 ]

det (A−KI ) X=0

det ([2 1 01 2 10 −1 2]−k [1 0 0

0 1 00 0 1])

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det ([2−k 1 01 2−k 10 −1 2−k ])

El desarrollo del determinante det (A−KI ) X=0

da lugar a una ecuación de grado n en la variable K:

Desarrollo mediante método de Sarrus:

Pn (k )→ [2−k 1 01 2−k 10 −1 2−k ]=¿

(2−k ) (2−k ) (2−k ) + (0) +(0) – (0)-(1) (1)(2-k) – (2−k)(1)(-1) =

(2−k )3−2−k− (−2−2k )= (2−k )3

(2−k )3=0

Autovalor :k=2→o (A )=[2]d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.

Calculo de autovectores:

Aν=2ν

Siendo A=[2 1 01 2 10 −1 2 ], o ( A )=[2]

[2 1 01 2 10 −1 2] [ xyz ]=2[ xyz ]

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[ 2 x+ yx+2 y+z− y+2 z ]=[2 x

2 y2 z ]

2 x+ yx+2 y+z− y+2 z

¿2 x¿2 y¿2 z

yxz

¿0¿−z¿ z

Autovector asociado a k =2:

ν (2 )=[ z (−101 ), z ϵ R]

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e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio ge-nerado.

Grafico correspondiente a ν (2 )=[ z (−101 ), z ϵ R]

utilizando Wiris.com:

f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?

Debido a que se ha obtenido un único autovalor y un único autovector, se determina que la matriz presentada no es diagonalizable debido a que que la dimensión de las bases no coincide con la dimensión

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de la matriz. Es decir, la dimensión del espacio de autovectores debe coincidir con la multiplicidad para todos los autovalores.

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