MATEMÁTICA I

Actividad de Proceso Nº4

PARTE A

ENUNCIADO 21

Sea A cualquier matriz 3x3, con det(A)=2. ¿Cuánto vale ?

Desarrollamos esta expresión, utilizando “propiedades de los determinantes”:Igualdad de potencia de un determinante: det( Ab) = det( A)b, teniendo en cuenta esto:

det (A )3+det (A t)det (5 A ) ∙ det (A )−1

∙ det (5 A t)

Si usamos la propiedad: det(b.A)=bndet(A)

det ( A)3+det ( At)53det ( A ) ∙ det (A )−1

∙53det ( A t)

Luego, el determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta. det( At)= det(A)

det (A )3+det (A )53det ( A ) ∙ det (A )−1

∙53det ( A)

Reemplazando por el coeficiente equivalente: det(A)=2 23+2

53 ∙2 ∙2(−1) ∙53 ∙2

Resolvemos potencias y luego multiplicamos o sumamos según corresponda:8+2

125 ∙2 ∙ 12

∙125 ∙2

10

125∙ 22

∙250

10125

∙250

2500125

20

Entonces, = 20

Acosta- Ríos

PARTE B

ENUNCIADO 11

Un aeropuerto tiene 20 puestos de guardia permanente, algunos requieren como mínimo 4 agentes, otros 2 y otros 1. La cantidad total de agentes en el aeropuerto es de 60. Con motivo del cierre momentáneo del aeropuerto se necesita cubrir solamente la tercera parte de los puestos de 4 agentes, la mitad de los puestos de 2 agentes y la totalidad de los puestos de 1 agente: tal evento

requiere un total de 10 puestos. ¿Cuántos puestos hay de 4 agentes, de 2 agentes y de 1 agente, respectivamente?

Datos Conocidos: Puestos de guardia permanente =20 Cantidad de agentes en el aeropuerto=60 Por cierre momentáneo del aeropuerto: se requieren 10 puestos

Datos Desconocidos:Cantidad de puestos:

de 4 agentes, de 2 agentes, de 1 agente.

Vinculaciones entre Datos Conocidos y Desconocidos. Designación de variables:Con motivo del cierre momentáneo, se necesita cubrir:

13

de los puestos de 4 agente. (variable “x);

12

de los puestos de 2 agentes. (variable “y”);

El total de los puestos de 1 agente. (variable “z”).

Planteo Matemático:Consideramos organizar de la siguiente manera:

Según la cantidad de puestos en el aeropuertox+ y+z=20

Según la cantidad de agentes respecto a los puestos4 x+2 y+z=60

Según la cantidad de puestos que se precisan para el cierre momentáneo13

x+12

y+ z=10

Luego, con estas tres ecuaciones, construimos el SEL: x+ y+z=204 x+2 y+z=60

Acosta- Ríos

13

x+12

y+ z=10

Lo resolvemos utilizando la Regla de Cramer, para ello, recurrimos a paquetes informáticos en línea:

OnlineMSchool Wiris Wolfram Alpha.

Resolución por OnlineMSchoolResolución por OnlineMSchool

Esta plataforma nos devuelve como resultado:x= 12y= 4z= 4

Recordemos la regla de Cramer: Las variables de X, Y o Z, se obtienen como el cociente de dos determinantes: donde el numerador es el determinante de una matriz que se obtiene a partir de

A reemplazando la columna de los coeficientes (x, y o z) por el vector de términos independientes y el denominador, el determinante de la matriz de coeficientes.

[1 1 14 2 113

121][ x

yz ]=[206010]

Variable XVariable X

Resolución por WirisResolución por Wiris

Resolución por Wolfram AlphaResolución por Wolfram Alpha

Acosta- Ríos

Recordando el resultado obtenido por la plataforma OnlineMSchool:x =12

Variable YVariable Y

Resolución por WirisResolución por Wiris

Resolución por Wolfram AlphaResolución por Wolfram Alpha

Recordando el resultado obtenido por la plataforma OnlineMSchool:y =4

Variable ZVariable Z

Resolución por WirisResolución por Wiris

Acosta- Ríos

Resolución por Wolfram AlphaResolución por Wolfram Alpha

Recordando el resultado obtenido por la plataforma OnlineMSchool:z =4

Repasemos…Las tres plataformas nos devuelven como resultado:x= 12; y= 4; z= 4

Como se puede observar, los resultados de los tres paquetes informáticos coinciden.

Verificación MatemáticaAquí es donde reemplazamos las variables por los coeficientes hallados, y comprobamos si

cumplen con las restricciones.Según la cantidad de puestos en el aeropuerto

12+4+4=2020=20

Según la cantidad de agentes respecto a los puestos4∗12+2∗4+4=60

60=60

Según la cantidad de puestos que se precisan para el cierre momentáneo13∗12+1

2∗4+4=10

10=10

Concluimos que…De los 20 puestos existentes en el aeropuerto, los mismos se distribuyen de la siguiente

manera: 12 de ellos son cubiertos por 4 agentes, 4 de ellos son cubiertos por 2 agentes, y los 4 restantes son cubiertos por un agente.

Para el cierre momentáneo del aeropuerto, y respondiendo a la pregunta del enunciado, se distribuiría de la siguiente manera:

Solo se precisan 4 puestos cubiertos por 4 agentes cada uno, 2 puestos que sean cubiertos por 2 agentes cada uno. y la totalidad (o sea, 4) para que cada uno de ellos, sea cubierto por 1 agente. En total, 4+2+4=10 puestos y es lo que el evento requiere.

Probamos resolver el SEL con un método diferente… con el método de Matriz InversaUtilizamos uno de los paquetes informáticos a los que recurrimos previamente

Resolución por OnlineMSchoolResolución por OnlineMSchool

Acosta- Ríos

Como se puede observar, por el método de Matriz Inversa se puede

llegar al mismo resultado que con el Método de Cramer.

PARTE Bcontinuación y cambio de consigna

ENUNCIADO 27

Determine el valor de k para el cual el SEL asociado a la correspondiente matriz de coeficientes A no pueda resolverse usando la Regla de Cramer ni el método de la inversa

. Comparta en el foro la respuesta.

Según lo que nos indica la resolución por Wiris, si k toma el valor 14 no se podrá resolver

utilizando la Regla de Cramer ni el método de la Matriz Inversa, ya que el determinante sería igual a 0 lo que deja al sistema sin resolución.

Para ello, lo comprobamos reemplazando a la variable “k” por el coeficiente 14 .

Por Regla de Cramer (a través de OnlineMSchool)

Acosta- Ríos

Por el Método de Matriz Inversa (a través de OnlineMSchool)

Llegamos a la conclusión que, efectivamente, k puede tomar cualquier valor salvo 14 .

Quisimos probar con números diferentes de 14 :

Para casos en los que k=(-4)Para casos en los que k=(-4)

Para casos en los que k=1/2Para casos en los que k=1/2

Acosta- Ríos