ACT_10 TRABAJO COLABORATIVO

José Hernando Acosta RincónJosé Alejandro Bertel González

Carlos Aníbal Velandia

Calculo Integral100411ª

Tutor:

Sergio Andrés Duran

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTAY A DISTANCIA

“UNAD”

COLOMBIA2013

INTRODUCCION

El cálculo es uno de los conocimientos que no pueden hacer falta en la mente de un ingeniero, ya que esto es indispensable a la hora de solucionar cualquier tipo de problema, ello nos brinda una ventana a muchas posibilidades, no permite ser audaces, pensar con lógica, demostrar hechos, entre otras. Es por eso que hoy brindamos un espacio en la realización de ejercicios que nos permitirán visualizar que tanto se ha asimilado en el curso.

En esta ocasión se evalúan técnicas de integración que hacen referencia a la unidad No.2 y mostraremos que tanto se ha avanzado en obtener este logro.

Si su grupo colaborativo termina en los dígitos 9 o 0 realice los siguientes 5 ejercicios:

21. para cada uno de las siguientes lecciones.

LECCION 20, INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLES:

∫ x23√1+2x

dx

1+2 x=t3 x= t3−12

2dx=3 t 2dt dx=3 t2dt2

∫ (t 3−1 )2

23 t2

2dt=

32∫( t

6−2t 3+14 ) . t dt=38∫ (t 7−2 t 4+t )dt=3

8 ( t8

8−2 t 5

5+t2

2 )+Ct=3√1+2x

364

( 3√1+2x )8− 320

( 3√1+2x )5+ 316

( 3√1+2 x )2+C

LECCION 21, INTEGRACION POR RACIONALIZACION:

∫ dx

√2x−1−4√2x−1

∫ dx

(2x−1)12−(2x−1)

14

Z4=2 x−1→ (2 x−1 )14=Z→ 1

4(2 x−1 )

−34 2dx=dz→dx=

4 (Z4 )34

2dz→dx=2 z3d z

∫ dx

(2 x−1 )12−(2x−1 )

14

=∫ 2 z3dz

( z4 )12−( z4 )

14

=∫ 2 z3dz

z2−z=2∫ z2dz

z−1

2∫ z2dzz−1

=2∫(z+1+ 1z−1 )dz=2∫ z dz+2∫ dz+2∫ dz

z−1=z2+2 z+zln|z−1|+C

∫ dx

√2x−1−4√2x−1=√2 x−1+2 4√2 x−1+¿ ln ( 4√2 x−1−1 )2+C ¿

LECCION 27, INTEGRACION DE FUNCION EXPPONENCIAL:

∫ x e−x dx

u=xdv=e−x dx du=d x

∫ dv=∫e− xdx

v=−e− x

∫ x ex dx=uv−∫ v du=−xe− x+∫ e−x dx

∫ e−x dx=−e− x+C

∫ x ex dx=−x e−x−−e− x+C=⌊−e−x ( x+1 ) ⌋+C

∫ x e−x dx=[−e−x ( x+1 ) ]+C

Nota: El ejercicio no debe ser de los presentados en el módulo de cálculo integral.

22. La solución de la siguiente integral definida ∫−1

2dxx2−9

dx es:

∫−1

2dxx2−9

∫−1

21

(x−3)(x+3)

∫−1

2A

(x−3)+ B

(x+3)

A ( x+3 )+B (x−3 )=1 x=3A (3+3 )+B (−3−3 )=1

A=16

A (−3+3 )+B (−3−3 )=1 x=−3

B=16

∫−1

216x−3

+

−16x+3

∫−1

216

(3−x)−¿

16x+3

¿

[16 ln (3−x )−16ln ( x+3 )+C ]

−1

2

16ln (3−2 )−1

6ln (3+2 )−1

6ln (3+1 )+ 1

6ln (−1+3 )

Rpsta .=−0,38

23. La solución de la siguiente integral definida ∫0

0.5

10x5xdx es:

∫0

0.5

10x5xdx

∫0

0.5

(10 .5)x

∫0

0.5

50x=[ 50x

log (50 ) ]00.5

500.5

log (50 )− 500

log (50 )

Rpsta .=1,55

24. La solución de la siguiente integral ∫ sen (3 x )Co s (5x )dx es:

∫sin (3 x)cos(5x )dx

Identidad trigonométrica

[sin (α+β )−sin (α−β ) ]∫sin (5 x+3 x )−¿ sin(5 x−3 x )¿

∫sin (8 x )−¿ sin(2 x)¿

∫1¿¿¿

∫−cos 8x8

+cos 2x2

+c

25. La solución de la siguiente integral, mediante el método de fracciones parciales

de ∫ 3 x+5x3−x2−x+1

dx

Factorizamos el denominador

x3−x2−x+1

x2 ( x−1 )−(x+1)

x2 ( x−1 )−1(x+1)

(x¿¿2−1)(x+1)¿

(x+1)( x−1)(x+1)

(x+1)( x−1)2

3 x+5(x+1)(x−1)2

= A(x+1)

+ B(x−1)

+ C

(x−1)2

3 x+5(x+1)(x−1)2

=A (x−1)2+B ( x+1 ) ( x−1 )+C(x+1)

(x+1)(x−1)2

3 x+5=A (x−1)2+B ( x+1 ) ( x−1 )+C (x+1)

Si x=1→3 (1)+5=A(1−1)2⏞0

+B (1+1 ) (1−1 )⏞0

+C(1+1)

⇒8=2C

⇒C=82=4

Si x=−1→3 (−1)+5=A (−1−1 )2+B (−1+1 ) (−1−1 )⏞0

+C (−1+1)⏞0

⇒2=4 A

⇒ A=24=12

Si x=0→3(0)+5=A (0−1)2+B (0+1 ) (0−1 )+C (0+1)

⇒5=A+(−B )+C

⇒5=12+(−B )+4

⇒B=12+4−5⇒B=−1

2

∫ 3 x+5x3−x2−x+1

dx=∫12x+1

dx+∫−12x−1

dx+∫ 4

(x−1 )2dx

∫ 3 x+5x3−x2−x+1

dx=12∫

dxx+1

−12∫

dxx−1

+∫ 4

( x−1 )2dx

Y como ∫ dxx =ln x entonces

12ln|x+1|−1

2ln|x−1|− 4

x−1+c

∫ 3 x+5x3−x2−x+1

dx=¿ 12ln|x+1|−1

2ln|x−1|− 4

x−1+c ¿

La respuestas es el enciso D.

CONCLUSION

Como se ha visto anteriormente hemos logrado asimilar las metas propuestas con respecto a la Unidad No. 2, en la cual hemos resuelto los ejercicios correspondientes a este trabajo colaborativo utilizando las diferente técnicas de integración, hemos aprendido no solo a integrar sino también dar un repaso a aquellos conocimientos antiguos de algebra elemental que en particular no estaban claros.

Es de anotar; invitar a todos que siga profundizando sobre esta área, una vez entendido se darán cuenta, lo importante que es el calculo integral en nuestras vidas, y sobre todo la herramienta fundamental que se ha ganado para afrontar los retos de nuestro mundo como verdaderos profesionales.

REFERENCIAS

CALCULO Vol.1, Larson, Hostler y Edwards, sexta edición, MacGraw Hill

Modulo Calculo Integral, Jose Pedro Blanco, Universidad Nacional Abierta y a Distancia, Bogota D.C, 2010