INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIORDE FELIPE CARRILLO PUERTO“UNIDAD ACADEMICA TULUM”

CARRERA:INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

MATERIA:PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

TRABAJO:INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD DOS:

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO. DOCENTE:

ING. MANUEL GILBERTO PUC LEÓNALUMNOS:

FRANK LÓPEZ SALINAS.JUAN FELIPE COCOM CHAN

SEMESTRE: 3GRUPO: C

TULUM QUINTANA ROO 02 DE OCTUBRE DEL 2015

Investigación de Unidad.Unidad dos: Introducción a la probabilidad y valor esperado.

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ÍNDICE

Unidad Dos.INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................3

2.1 Teoría de conjuntos..................................................................................................................4

2.1.1 Definición propiedades y operaciones básicas con conjuntos....................................4

2.1.2 Técnicas de conteo...........................................................................................................6

2.1.3 PRINCIPIO ADITIVO........................................................................................................7

2.1.4 PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION...........................................................................7

2.1.5 Diagrama de árbol.............................................................................................................8

2.1.6 Análisis combinatorio........................................................................................................8

2.2 Combinaciones y permutaciones............................................................................................9

2.3 Introducción a la probabilidad...............................................................................................10

2.3.1 Definición y expresión.....................................................................................................10

2.4 Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes.........................................................10

2.5 Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional.................................11

2.6 Teorema de Bayes.................................................................................................................13

2.7 Valor esperado o esperanza matemática............................................................................13

CONCLUSIÓN...............................................................................................................................14

BIBLIOGRAFÍA..............................................................................................................................15

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INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo se presentará la investigación completa de la unidad, en

donde se nos explicara los conceptos básicos y en algunos casos desarrollados

de los subtemas, en este caso la información presentada a continuación nos da

una introducción a la probabilidad y la los valores esperados, es decir, los

resultados que se esperan pueden ser dependientes o independientes.

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2.1 Teoría de conjuntos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una

definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento

de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de

elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que

dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por

ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3

pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras

musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan

incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por

ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede

escribir así: { a, b, c, ..., x, y, z}.

2.1.1 Definición propiedades y operaciones básicas con conjuntos.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las

propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas

como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales

son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para

construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números,

funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los

fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la

teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como

herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos

infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades

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indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de

un cardinal inaccesible.

Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la

lógica matemática. El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a

Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» en la

segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e

influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría

cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo,

Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX. Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus

elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de

conjuntos:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene

cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el

conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que

contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que

contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que

no pertenecen a A.

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el

conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien

a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el

conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer

elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

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2.1.2 Técnicas de conteo.

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para

contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o

entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para

enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro

evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas

diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual

a  n1 x n2.

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda

operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

m+n maneras.

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el

número de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos.

Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo

de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son

permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de

permutaciones distintas es:      

                                            FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

PRINCIPIO DE COMBINACION:

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En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es

diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos

resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo

de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C).

Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los

resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones

definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los

resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB.

Combinaciones: AB, AC, BC.

2.1.3 PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser

realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M

maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o

formas..... Y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o

formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

                        M + N +.........+ W  maneras o formas.

2.1.4 PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso

de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el

segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas,

entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo

implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno

tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2

puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el

cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras

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distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a

producto.

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2.1.5 Diagrama de árbol.

El Diagrama de Árbol, o diagrama sistemático, es una herramienta de la calidad

que permite obtener una visión de conjunto de los medios necesarios para

alcanzar una meta o resolver un problema.

Partiendo de una información general, como la meta a alcanzar, se incrementa

gradualmente el grado de detalle sobre los medios necesarios para su

consecución. Este mayor detalle se representa mediante una estructura en la que

se comienza con una meta general (el “tronco”) y se continúa con la identificación

de niveles de acción más precisos (las sucesivas “ramas”). Las ramas del primer

nivel constituyen medios para alcanzar la meta pero, a su vez, estos medios

también son metas, objetivos intermedios, que se alcanzarán gracias a los medios

de las ramas del nivel siguiente. Así repetidamente hasta llegar a un grado de

concreción suficiente sobre los medios a emplear.

La utilización del Diagrama de Árbol permite descomponer cualquier meta general,

de modo gráfico, en fases u objetivos concretos, así como determinar acciones

detalladas para alcanzar un objetivo.

2.1.6 Análisis combinatorio.

Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que

podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite

resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos

números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un

conjunto dado de letras y dígitos.

Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de

andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades,

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2.2 Combinaciones y permutaciones.

Combinación

Son eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es

necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten

aunque con distinto orden. Una combinación es una selección de objetos sin

importar el orden en que se escojan:

                                                

Permutación

Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va

disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto

de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de

estos objetos es; esto se ve fácilmente si pensamos que para la primera

alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales

puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar

a la última elección, conformando el producto.

El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos

será, siguiendo el mismo razonamiento.

                

                                      

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2.3 Introducción a la probabilidad.

2.3.1 Definición y expresión.

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado

resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos

posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir

determinada situación. Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los

que cumplan con la condición que estamos buscando. La probabilidad toma

valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire

y la probabilidad de que salga el número 7 es cero. El valor uno corresponde al

suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga

cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá

probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea

que dicho suceso tenga lugar.

2.4 Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes.Los eventos complementarios son dos resultados de un evento, siendo éstos

los dos únicos resultados posibles.

Es como lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más

opciones, así que estos eventos son complementarios. 

Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros

resultados posibles (3, 4, 5, ó 6).

Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son eventos

complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).

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Los eventos mutuamente excluyentes son dos resultados de un evento que no

pueden ocurrir al mismo tiempo.

Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son

eventos mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al

mismo tiempo.

Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son eventos mutuamente

excluyentes, ya que puedes sacar perfectamente un rey rojo.

Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, pero todos los eventos

mutuamente excluyentes no son necesariamente complementarios.

2.5 Eventos independientes, dependientes y probabilidad condicional.

Eventos Independientes.

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de

un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o

eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición,

es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se

obtuvo. 

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver

con la ocurrencia de otro. 

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A y B, son independientes si la

ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro. 

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A es independiente de B si y

sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

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Eventos dependientes.

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de

uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando

tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional

para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica

la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. 

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

 P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A) 

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A) 

Probabilidad Condicional.

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el

evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: A y B son dos

eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la

probabilidad condicional de A dado B, y se denota:

P(AlB)

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2.6 Teorema de Bayes.

El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas

cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes

en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido

hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.

Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial,

probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a

calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite

calcular las probabilidades a posteriori y es:

2.7 Valor esperado o esperanza matemática.

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la

suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

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Los nombres de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los

juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un

jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no

existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

CONCLUSIÓN.Después de la información presentada de la unidad; introducción a la probabilidad

y el valor agregado, se nos mencionó acerca de cómo se realizan los ejercicios

básicos del cálculo de eventos, que tanta es la disposición de que suceda esta, y

para tal suceso se requiere de la ayuda de técnicas de conteo así como de reglas.

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BIBLIOGRAFÍA.

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http://probadistica-facil.blogspot.mx/2013/04/operaciones-con-conjuntos.html

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http://www.monografias.com/trabajos13/analisco/analisco.shtml

http://estadisticadulce.blogspot.mx/2010/09/combinaciones-y-permutaciones.html

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/ProbabilidadCalculo.htm

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http://www.monografias.com/trabajos89/probabilidad-total-y-teorema-bayes/probabilidad-total-y-teorema-bayes.shtml

http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/esperanza_matematica.html

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