Acerca del origen y evolución delTeorema Fundamental del Cálculo

Juan Carlos Ponce Campuzanojcponce@cinvestav.mx

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Índice

1. Introducción 31.1. Versión preliminar del Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. La versión geométrica del TFC de Isaac Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Contribuciones de Leibniz y Newton en el desarrollo del TFC 72.1. Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. La versión de Leibniz del TFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. La versión de Newton del TFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Diferenciación e integración como procesos inversos . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Hacia la formalización del Teorema Fundamental 143.1. Demostración analítica del Teorema Fundamental

para funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Versión general del Teorema Fundamental para funciones

Riemann integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Apéndice 25

A. Tabla cronológica 25

B. Traducciones al español de las demostraciones delTeorema Fundamental del Cálculo 27B.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27B.2. Demostración de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27B.3. Demostración de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B.4. Demostración de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30B.5. Demostración de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Referencias 34

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1. Introducción

El verdadero método para pronosticar el futuro de las matemáticasestá basado en el estudio de su historia y de su estado actual.

Henri Poincaré

El Cálculo es considerado, junto con la Geometría, una de las creaciones más importantesdentro de las matemáticas. Fue creado, básicamente, para tratar cuatro principales problemasplanteados durante los siglos XV al XVII, algunos de los cuales ya habían sido abordados porlos griegos en la antigüedad (Kline, 1972, p.342). El primero de estos problemas era, dadala fórmula para la distancia de un cuerpo como función del tiempo, encontrar la velocidad yaceleración instantanea; inversamente, dada la fórmula para la aceleración como una funcióndel tiempo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida. En el segundo problema se buscabala tangente a una curva dada en un punto dado (problema de las tangentes) y en el tercerolos valores máximos y mínimos de una función. Por último, el cuarto problema era encontrarel área y el volumen acotados por curvas y superficies, respectivamente (problema de lascuadraturas).

Los problemas antes mencionados fueron abordados, generalmente, como casos aisladospor muchos científicos y matemáticos entre los siglos XV y XVII. Todas sus contribucionesfueron la base para el trabajo que posteriormente desarrollarían, de manera independiente,dos grandes personajes: el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (1642-1727) y el abogado, filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Newton y Leibniz abordaron los cuatro principales problemas pero basados en dos con-ceptos generales (conocidos actualmente como Derivada e Integral) (Grabiner, 1983, p. 199).Su mayor contribución dentro del Cálculo fue, el hecho de haber reconocido con claridad lasrelaciones de reciprocidad entre los problemas de cuadraturas y de tangentes. Es por estarazón que, el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), suele atribuirse a estos dos grandesmatemáticos.

Sin embargo, ellos no fueron los primeros ni los únicos en percatarse de dichas relacionesde reciprocidad, tampoco enunciaron ni establecieron este importante teorema tal y como loconocemos actualmente. En realidad el TFC actual es el producto de una larga evolución deideas cuyo origen se remonta hacia finales de la edad media.

En el presente artículo, hacemos un esbozo de diferentes demostraciones históricas delTeorema Fundamental desde su origen en el siglo XVII, algunas de ellas dentro de un contextogeométrico y dinámico, otras con la formalización del siglo XIX y finalmente su versiónanalítica tal y como aparece en algunos libros de Cálculo del siglo XX.

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1.1. Versión preliminar del Teorema Fundamental

El Cálculo Diferencial e Integral, en términos generales, es la respuesta a dos problemasclásicos: la determinación de tangentes y el cálculo de las cuadraturas (áreas y volúmenes).A finales de la edad media, en algunas investigaciones sobre el movimiento, se comenzó aobservar que ambos problemas estaban relacionados mutuamente entre sí, pues resultabaque:

El problema general de cuadraturas se podía reducir al problema de encontrar unalínea (curva) con una regla de tangencia, y

El problema del trazo de tangentes se podía reducir al problema de cuadraturas.

Según C. H. Edwards (1979), las relaciones de reciprocidad entre cuadraturas y tan-gentes surgieron de manera intuitiva a partir de las investigaciones medievales acerca delmovimiento. En esas investigaciones, el movimiento de un punto a lo largo de la línea rec-ta con velocidad variable se representaba por medio de una gráfica de su velocidad contratiempo. En este contexto:

[...] las consideraciones de indivisibles indicaban que la distancia total recorridapor el punto sería igual al área bajo la curva de velocidad-tiempo, porque ladistancia recorrida durante un elemento infinitesimal de tiempo sería igual alproducto de este elemento de tiempo y la velocidad instantánea (Edwards, 1979,p.138).

Son varios los historiadores del cálculo que coinciden con C. H. Edwards, incluso algunossugieren que en los trabajos de Nicole Oresme (1323-1382), Galileo Galilei (1564-1642) yEvangelista Torricelli (1608-1647) es posible encontrar evidencia de que las formulacionesde reciprocidad entre cuadraturas y tangentes ya habían sido observadas (ver por ejemploGonzález, 1992, p. 211 y Collete, 2006a, p. 48). Sin embargo, en esa época, no había si-do apreciado su significado ni mucho menos se contaba con la herramienta analítica parapotencializar su uso.

1.2. La versión geométrica del TFC de Isaac Barrow

Entre los científicos que abordaron el problema del trazo de tangentes a curvas desta-ca el matemático inglés Isaac Barrow (1630-1677) quien, en su obra Lectiones Geometricae(Lecciones Geométricas) publicada en 1669, estableció métodos para encontrar tangentes acurvas. En particular, su obra muestra evidencia de que él había reconocido relaciones dereciprocidad entre los problemas de cuadraturas y de tangentes, pero sobre todo, fue uno

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de los primeros en dar una demostración (geométrica) de tal hecho. A continuación expo-nemos brevemente las ideas generales de Barrow desde un punto de vista de la matemáticamoderna1.

Figura 1:

Consideremos los ejes coordenados x, y. Sea f(x) una función creciente y positiva definidaen el segmento AB, como se muestra en la Figura 1. Ahora sea A(x) una función que cumplecon lo siguiente: Si tomamos D un punto cualquiera sobre A(x) y trazamos la perpendicularque corta al eje x en el punto X1 = (x1, 0), entonces el área entre la curva f(x) y el segmento[0, x1] es igual al rectángulo determinado por el segmento DX1 y una magnitud constanteR, es decir

A(x1) = DX1 ×R.

Por último, sea FX1 el segmento que cumple con la siguiente relación

EX1

DX1

=R

FX1

o DX1 ×R = EX1 × FX1.

1Los detalles de la demostración original se pueden consultar en Barrow (1735, pp. 167-168) o Child(1916, pp. 116-118).

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Entonces Barrow demuestra que la recta que pasa por los puntos D y F es tangente a lafunción área A(x) (ver Figura 2).

Figura 2:

De esta manera, Barrow resuelve el problema de trazar una tangente a una curva cuandoésta es la cuadratura de otra curva, relacionando sus cuadraturas. Si lo interpretamos entérminos modernos, podemos decir: Dada una función f continua y creciente definida en elintervalo [0, a] y la función área A definida como

A(x) =

∫ x

0

f(t)dt, con x ∈ [0, a].

Barrow calcula la pendiente de la recta tangente a A para cada x ∈ [0, a], es decir, la derivadade A para cada x ∈ [0, a] y en este caso obtiene

A′(x) = f(x).

El resultado de Barrow es notable debido a la relación que establece entre la cuadraturade una curva dada y la tangente a la curva que representa la cuadratura. Ciertamente, él

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fue uno de los primeros que empieza a descubrir y demostrar la naturaleza inversa entrelos problemas de cuadraturas y tangentes, aunque de una forma estrictamente geométrica.Sin embargo, debido a que no desarrolló completamente las herramientas analíticas, fueincapaz de hacer un uso eficaz de la relación. Es aquí donde los trabajos Newton y Leibnizcobran mayor relevancia debido a que habían desarrollado las herramientas analíticas parareconvertir y robustecer las ideas geométricas de Barrow, las cuales condujeron al desarrollode algoritmos para la resolución de los problemas de tangentes y cuadraturas.

2. Contribuciones de Leibniz y Newton en el desarrollodel TFC

Newton y Leibniz advirtieron el inmenso alcance de la relación inversa entre proble-mas de cuadraturas y tangentes. Cada quien independientemente de manera independiente,dio argumentos para demostrar dicha relación basados en dos conceptos generales conoci-dos actualmente como Derivada e Integral, por lo cual se considera que tuvieron un claroreconocimiento de estas dos relaciones de reciprocidad.

2.1. Leibniz

El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó enActa Eruditorum2 y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover.Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculodiferencial e integral (Child, 1920).

Una de las aportaciones que Leibniz realizó al Cálculo fueron los símbolos “∫

” y “d”,referidos a las sumas y diferencias, respectivamente. Otras dos ideas fundamentales delcálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones y las diferencias de sustérminos consecutivos y el llamado triángulo característico3 (Baron, 1969; Boyer, 1949).

2.2. La versión de Leibniz del TFC

En su artículo publicado en 1693 en Acta Eruditorum, Leibniz aborda el problema decuadraturas reduciéndolo al de encontrar una curva con una “regla de tangencia”. En sus pro-pias palabras: “Demostraré ahora que el problema general de cuadraturas puede ser reducido

2Revista científica mensual alemana publicada entre 1682 y 1782, fundada en Leipzig por Otto Menckepor iniciativa de Leibniz.

3El triángulo característico (triangulum characteristicum) es el triángulo con lados infinitesimales dx, dyy ds. Fue utilizado en el siglo XVII por diversos matemáticos tales como Pascal, Snellius y Leibniz.

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al de encontrar una línea que tiene una ley de tangencia dada”4.

Figura 3:

A continuación exponemos brevemente, las ideas generales de Leibniz desde un punto devista de la matemática moderna5.

Consideremos los ejes coordenados x, y. Sea f(x) una función continua, creciente y po-sitiva, definida en el segmento AB y F un punto cualquiera que se mueve sobre f(x) (verFigura 3). La recta que pasa por los puntos F y D es perpendicular al eje x.

Si F (x) es una función tal que la pendiente de la recta tangente a F (x) en G (intersecciónde la prolongación de la recta FD y F (x)) cumple la siguiente relación

dy

dx=

DF

R,

donde dy y dx son los lados del triángulo característico y R es una magnitud constante(Figura 3), entonces el área AFD (Figura 4) es igual a DG− AK, esto es

Área(AFD) = DG− AK.

4Leibniz (1971, pp. 294) y Struik (1969, pp. 282)5Los detalles de la demostración original se pueden consultar en Leibniz (1971, pp. 294-301) y Struik

(1969, pp. 282-284)

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Figura 4:

En términos modernos, Leibniz demostró lo siguiente: Si f continua, creciente y positiva,definida en el intervalo [0, a] tal que f(0) = 0 y F es una función que cumple con la propiedadde que la pendiente de la recta tangente en cada punto x ∈ [0, a] es igual a f(x), es decir,la derivada F ′(x) es igual a f(x) para cada x ∈ [0, a], entonces el área bajo la función fen el intervalo [0, a] está dada por la diferencia F (a) − F (0). Por otra parte, Leibniz nosólo dio un argumento geométrico sino que también abordó de forma analítica, utilizandoel cálculo que él mismo había inventado, lo cual fue una diferencia importante entre sudemostración y la de Barrow. Veamos un ejemplo particular para mostrar cómo se puedeutilizar el resultado de Leibniz. Supongamos que deseamos encontrar la cuadratura de lacurva y = x2 (cuadratura de la parábola). De acuerdo con su teorema, debemos encontraruna curva cuya ley de tangencia es x2. Esto esencialmente involucra conjeturar una respuestabasada en la experiencia en derivación, que en este caso será x3/3. Finalmente debemosverificar que funciona.

La ley de tangencia para x3/3 la obtiene Leibniz a partir de su triángulo característicoinfinitesimal como la razón de los respectivos incrementos en y y x, es decir, dy : dx. Dadoque dx es el incremento (diferencia) entre los valores sucesivos (de las sumas) x y x + dx,con los correspondientes valores

y = x3/3 y y + dy = (x + dx)3/3

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y realizando algunos cálculos, obtenemos

dy : dx =dy

dx=

(y + dy)− y

dx=

(x + dx)3 − x3

3 · dx

=x3 + 3x2 · dx + 3x · (dx)2 + (dx)3 − x3

3 · dx

= x2 + x · dx +(dx)2

3= x2.

Leibniz afirmaba que la identidad final se obtiene quitando los términos infinitesimales.De esta manera, de acuerdo con él, el área comprendida entre la parábola y el eje x, desdeel origen a un valor específico x para la ordenada, está dada por x3/3 (Laubenbacher &Pengelly, 1999, p. 153).

2.3. Newton

Entre los trabajos matemáticos de Newton podemos distinguir algunos temas centrales,por ejemplo el desarrollo binomial, desarrollos en series de potencias, algoritmos para hallarraíces de ecuaciones y de inversión de series, los conceptos de fluentes y fluxiones conocidoshoy día como funciones del tiempo y sus derivadas, respectivamente. Newton estuvo muyinteresado también en óptica, dinámica, alquimia, y en la interpretación de las sagradasescrituras.

En contraste con Leibniz, debido a su naturaleza tímida, Newton era reacio a publicarsus resultados, para así evitar las posibles críticas y controversias de sus contemporáneos.En Octubre de 1666 escribió un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratadosobre series infinitas que circuló en forma de manuscrito entre los miembros de la RoyalSociety of London6. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre lacuadratura de curvas de 1693. Sin embargo, estos fueron publicados mucho tiempo después,algunos incluso después de su muerte. De analysi fue publicado en 1711 y de 1693 sobrecuadratura de curvas, De Quadratura Curvarum apareció como un apéndice de su Opticksen 1704. Su obra más famosa titulada Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, dondeexpone su teoría de la gravitación universal, fue publicada en 1687.

2.4. La versión de Newton del TFC

Veamos ahora cómo Newton abordó el problema de cuadraturas. En su trabajo titula-do De analysi per aequationes numero terminorum infinitas7, estableció un método para

6La Royal Society of London for Improving Natural Knowledge es la más antigua sociedad científica delReino Unido y una de las más antiguas de Europa.

7En The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. II, pp. 206-247, editado por D. T. Whiteside.

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calcular el área bajo la curvay = ax

mn .

Esto lo expresó de la siguiente manera:

Sea la ordenada BD perpendicular a la base AB de alguna curva AD y seanAB igual a x y BD igual a y. Sean a, b, c, . . . cantidades dadas y m, n enteros.EntoncesRegla 1. Si y = axm/n, entonces el área de la región ABD es an

m+nx(m+n)/n.

(Whiteside, 1968, p. 207)

Figura 5:

En términos de la matemática moderna, al punto A lo podemos establecer como el origen,es decir, A = (0, 0), mientras que al punto B lo consideramos como el punto (x, 0) y la curvaAD como y = axm/n. Entonces el enunciado de Newton establece que∫ x

0

atm/ndt =ax(m/n)+1

(m/n) + 1=

an

m + nx(m+n)/n.

Sólo hasta el final de su escrito, Newton da una demostración de la Regla 1. A continuaciónpresentamos de forma general sus argumentos.

Sea AD la curva con AB = x, como se muestran en la Figura 6. Newton asumió que elárea ABD bajo la curva estaba dada por la expresión

z(x) =

∫ x

0

y(t)dt.

A partir de esta última expresión, procedió a encontrar la fórmula y = axm/n.Para ilustrar el argumento de Newton es suficiente usar el caso particular z = x3, como

sugiere Grabiner (1983, p. 199). Si observamos la Figura 7, la línea auxiliar bd es tal queBb = o es un incremento.

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Figura 6:

En sus argumentos, Newton especificó que BK = v se debe elegir de tal forma que el áreaBbHK sea igual al área BbdD. De esta manera ov es igual al área BbdD. Ahora, cuando xtiene un incremento x + o, el cambio del área z está dado por

z(x + o)− z(x) = x3 + 3x2o + 3xo2 + o3 − x3 = 3x2o + 3xo2 + o3

la cual, por definición de v, es igual a ov, es decir

3x2o + 3xo2 + o3 = ov.

Dividiendo por o obtenemos

3x2 + 3xo + o2 = v. (1)

En este punto, Newton menciona “si suponemos que Bb disminuye infinitamente hasta de-saparecer, esto es que o sea nula, v y y en este caso serán iguales y los términos que semultiplican por o desaparecerán” (Whiteside, 1968, pp. 243-245). Por lo que obtenemos

y = 3x2.

Efectivamente, Newton acertó en el hecho de que, como o “se hace cero” (hoy diríamos:tiende a cero), los términos que tienen a o en la expresión (1) también “se hacen cero”. Almismo tiempo, v se hace igual a y, lo cual equivale a decir que la altura BK del rectángulode la Figura 7 será igual a la ordenada BD de la curva original.

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Figura 7:

A partir de la suposición de que el área ABD está dada por

z(x) =an

m + nx(m+n)/n,

Newton había deducido que la curva AD debe satisfacer la ecuación y = axm/n. En esen-cia, él había derivado la función área (integral indefinida). Posteriormente, sin mayoresjustificaciones, Newton estableció de manera inversa que:

Si y = axm/n, entonces z = nm+n

ax(m+n)/n.

De esta manera, Newton introdujo otra técnica para resolver problemas de cuadraturas.A partir de casos particulares dedujo que la cuadratura de un fluente (una curva expresadaanalíticamente), se podía calcular encontrando una fórmula cuya fluxión correspondía a esefluente. En términos modernos, podemos decir que Newton calculó el área de una funcióncontinua f en el intervalo [a, b], encontrando primero una primitiva de f , es decir, una F talque F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b] para después establecer que el área es igual a

F (b)− F (a).

Newton fue capaz de desarrollar esta técnica debido a que se había percatado de las in-terrelaciones de los conceptos de fluentes y fluxiones. Sin embargo, no dio una demostraciónrigurosa de tal hecho. (Edwards, 1979, p. 196).

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2.5. Diferenciación e integración como procesos inversos

La formulación de métodos y algoritmos generales que podían servir para unificar el tra-tamiento de diferentes problemas del Cálculo se debe a Newton y Leibniz. Una diferencianotable entre sus contribuciones es que Leibniz se concentró en técnicas generales que podíanser aplicadas a problemas específicos, mientras que Newton se concentró en resultados con-cretos que podían ser generalizados. En la aproximación de Leibniz las diferencias discretasde infinitesimales de variables geométricas jugaban un papel central; mientras que la fluxión(o razón de cambio) fue el concepto fundamental de Newton, el cual estaba basado en lasideas intuitivas del movimiento continuo (Edwards, 1979, p. 266).

La contribución vital que Newton y Leibniz comparten es el hecho de haber reconocidola importancia de las relaciones de reciprocidad entre los problemas de cuadraturas y detangentes, las cuales poco tiempo después se traducirían como relaciones de reciprocidadentre los procesos de integración y de diferenciación (Laubenbacher y Pengelly, 1999, p. 103).Fue así como comenzaron a tomar forma el Cálculo Diferencial definido como el proceso paradeterminar la razón entre diferencias infinitesimales y el Cáculo Integral definido como elproceso inverso del cálculo diferencial.

Sin embargo, la última palabra no la tuvieron ellos, ya que sus ideas fueron precisadas yfundamentadas hasta inicios del siglo XIX, cuando se introdujo la noción de límite, la cualpermitiría definir ambos procesos de manera independiente pero que aún se mantendríanrelacionados a través del TFC.

Por último, a pesar de que las contribuciones de Newton y Leibniz fueron atacadas por eluso de los infinitesimales8, se admitía el hecho de que sus descubrimientos y procedimientosconducían a resultados correctos. Los infinitesimales fueron una herramienta útil y exitosa,así que las cuestiones acerca de su validez fue subsanadas debido a su eficacia.

3. Hacia la formalización del Teorema Fundamental

Prácticamente, Leibniz había considerado la “integral” como una suma infinita de infini-tesimales. Newton, en contraste, consideraba la “integral” como un fluente que tenía que serdeterminado a partir de su fluxión. Fue así como Newton abordó los problemas de áreas yvolúmenes interpretándolos como problemas inversos de razón de cambio, lo cual es, básica-mente, el proceso inverso de diferenciación (antidiferenciación) (Edwards, 1979, p. 266). Esposible que, por esto último, durante el siglo XVIII el proceso de integración se considera-ba principalmente como el proceso de antidiferenciación. Leonhard Euler (1707-1783), porejemplo, comienza su tratado acerca del Cálculo integral con la siguiente definición:

8Uno de los principales críticos de los trabajos de Newton y Leibniz fue George Berkeley (1685-1753)quien publicó en 1734 The Analyst, obra en la cual realizó una crítica a los fundamentos y principios delcalculo infinitesimal poniendo en duda la validez del uso de los infinitesimales.

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Definición: El cálculo integral es el método de encontrar, a partir de un dife-rencial dado, la cantidad misma; y la operación que produce esto, es generalmentellamado integración (Euler, Opera Omnia, Serie I, Vol. 11, p. 5).

Más evidencia de que la integración estaba supeditada a la derivación, pues se concebíacomo un proceso de antiderivación, la podemos encontrar en algunos de los primeros librosde Cálculo del siglo XVIII y XIX. A continuación mostramos un par de casos donde se puedeapreciar la influencia de Newton y Leibniz:

Un primer ejemplo es el libro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana,escrito por la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) y publicado en1748. Este tratado es considerado como uno de los primeros libros de texto de Cálculo(Truesdell, 1989). Agnesi trató conjuntamente el cálculo diferencial y el cálculo integralenfatizando su naturaleza como problemas inversos. En el Libro tercero (Tomo II),acerca del cálculo integral menciona lo siguiente:

El Cálculo Integral, que suele llamarse todavía Cálculo Sumatorio, es unmétodo para reducir una cantidad diferencial a aquella cantidad, de la cuales la diferencia, así que las operaciones del Cálculo Integral son opuestas aaquellas del Cálculo Diferencial; y por tanto es llamado el método inverso delas fluxiones o de las Diferencias. De esta manera, por ejemplo, el diferencialde x es dx y consecuentemente x es la integral de dx (Agnesi, 1748, TomoII, p. 613; Agnesi, 1801, Book III, p. 109).

Un segundo ejemplo es el libro Traité élémentaire de Calcul Différential et de CalculIntégral. Escrito por el matemático francés Sylvestre François Lacroix (1765-1843) ypublicado en 1802. Esta obra tuvo gran influencia como libro de texto de Cálculodurante la primera mitad del siglo XIX, incluso fue re-editado hacia finales 1881. Enla segunda parte de su libro, acerca del cálculo integral, inicia con lo siguiente:

El Cálculo Integral es lo inverso del Cálculo Diferencial; su objetivo es ob-tener, a partir de los coeficientes diferenciables9, las funciones de las cualeshan sido derivados tales coeficientes. [...]Cuando el coeficiente diferencial de primer orden de una función de x estádado en términos de x, tenemos dy

dx= X, or dy = Xdx; la función que se

busca es consecuentemente aquella cuyo diferencial es Xdx y esto lo repre-sentamos como: y =

∫Xdx (Lacroix, 1802, p. 187; Lacroix, 1816, p. 179)

.

Fue hasta la segunda década del siglo XIX, con la introducción del concepto de límite,que el Cálculo integral comenzó considerarse de otra forma. El matemático francés Augustin

9El coeficiente diferencial se refiere a la expresión dydx .

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Louis Cauchy (1789-1857) dio un nuevo punto de vista que permitiría ver a la integración yla diferenciación desde un punto de vista analítico, ya que él consideraba que la integral yla derivada deberían de existir y definirse de manera independiente.

De forma breve, Cauchy definió la derivada10 de f(x) como el límite, cuando este existe,del cociente de diferencias

f(x + h)− f(x)

h,

cuando h tiende a cero. Por otra parte, introdujo la definición de integral definida, enfati-zando que era necesario establecer su existencia independientemente de la antidiferenciación.Supongamos que f(x) es una función continua definida en un intervalo [x0, X]. Consideremosla partición de este intervalo

x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn = X

y la suma (llamada también “suma de Cauchy”)

Sn =n∑

i=1

f(xi−1)(xi − xi−1).

Si los valores absolutos de las diferencias xi+1 − xi disminuyen indefinidamente, el valor deSn tiende a un cierto límite S. A este límite Cauchy lo llamó integral definida y lo denotópor ∫ X

x0

f(x)dx11.

A pesar de que la definición de integral dada por Cauchy no es general, debido a que laaplica sólo a funciones continuas, podemos decir que fue un desarrollo significativo por dosaspectos importantes: (1) la integral se define como un límite y (2) su existencia (o más biensu definición) no tenía nada que ver con la antidiferenciación (Dunham, 2005, p. 87).

Una vez establecidos, de manera independiente, los conceptos de integral y derivada,Cauchy prosiguió a vinculando ambos conceptos por medio de una serie de resultados queeventualmente conducirían a la versión actual del TFC para funciones continuas.

3.1. Demostración analítica del Teorema Fundamentalpara funciones continuas

Cauchy fue pionero en el análisis matemático, contribuyendo de manera medular a sudesarrollo. Con base en su definición de integral como límite de sumas demostró resultados

10El nombre «derivada» y la notación «f ′(x)» fueron introducidos por Lagrange (Grabiner, 1983, p. 204).11Notación propuesta por Fourier (Kline, 1972, p.957).

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básicos o reglas generales. Por ejemplo, estableció que, para f continua, existe un valor θentre 0 y 1 para el cual∫ X

x0

f(x)dx = (X − x0)f [x0 + θ(X − x0)] . (2)

La formulación anterior la podemos reconocer como el actual teorema del valor medio paraintegrales.

Por otra parte, Cauchy fue capaz de unificar las ideas de diferenciación e integración demanera analítica con base en su definición de integral como límite de sumas. En la vigésimasexta lección de su Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calculinfinitésimal de 1823, Cauchy presentó lo que es considerada como la primera demostraciónanalítica del Teorema Fundamental del Cálculo12.

Cauchy comenzó con la hipótesis de que f es una función continua y consideró la integralhaciendo variar el límite superior de integración, es decir, define la función

F(x) =

∫ x

x0

f(t)dt

Cauchy demostró entonces que

F(x + α)−F(x) =

∫ x+α

x0

f(t)dt−∫ x

x0

f(t)dt

=

∫ x+α

x

f(t)dt

Usando la ecuación (2) (Teorema del valor medio), dedujo la existencia θ entre 0 y 1 para elcual ∫ x+α

x

f(t)dt = (x + α− x)f [x + θ(x + α− x)] = αf(x + θα).

En suma, F(x + α)−F(x) = αf(x + θα) para algún valor de θ.Para Cauchy, esta última ecuación muestraba que F era continua debido a que un incre-

mento infinitesimal en x producía un incremento infinitesimal en F . En otros términos

lımα→0

[F(x + α)−F(x)] = lımα→0

αf(x + θα) = lımα→0

α · lımα→0

f(x + θα)

= 0 · f(x) = 0

donde la continuidad de f en x implica que lımα→0 f(x + θα) = f(x). Consecuentemente,lımα→0F(x + α) = F(x) y por tanto F es continua en x.

12Cauchy Oeuvres, Serie II, Tomo IV, pp. 151-156; Cauchy (1994, pp. 311-317).

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Por otra parte, Cauchy se percató de que

F ′(x) = lımα→0

[F(x + α)−F(x)

α

]= lım

α→0

αf(x + θα)

α

= lımα→0

f(x + θα) = f(x)

lo cual reescribe comod

dx

∫ x

x0

f(x)dx = f(x).

Después de haber diferenciado la integral, Cauchy mostró en seguida cómo integrar laderivada. Esto lo expresó con la fórmula∫ X

x0

f(x)dx = F (X)− F (x0).

donde f es una función continua y F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x. Loanterior es básicamente la parte de evaluación del TFC (Parte 2).

Ambos resultados de Cauchy se pueden resumir en los siguientes teoremas:

Teorema 3.1 (Cauchy). Sea f continua en el intervalo [a, b]. Si F está definida como F (x) =∫ x

af(t) con x ∈ [a, b], entonces tenemos

d

dx

∫ x

a

f(t)dt = f(x).

Teorema 3.2 (Cauchy). Si f es continua en [a, b] y es la derivada de F en cada punto de[a, b], entonces ∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a).

La demostración de Cauchy es considerada como la primera demostración analítica basa-da en su definición de integral como un límite de sumas (Kline 1972, p. 958). La demostraciónde Cauchy es (y sigue siendo actualmente) válida para funciones continuas y versiones simi-lares se pueden encontrar en libros actuales de Cálculo.

Cabe hacer la observación de que Cauchy no utilizó el adjetivo «Fundamental» en ningunode sus enunciados, ni siquiera los identifica como «Teoremas» o «Proposiciones». Simplemen-te son resultados que le permiten definir la integral indefinida como la clase de funciones quetienen a f como su derivada. Bressoud (2008, p. 11) opina que el adjetivo «Fundamental»comenzó a usarse en ciertos libros de Cálculo escritos durante el siglo XIX, pero que no sereferían solamente a ambas partes del actual TFC sino también a una serie de teoremas con-siderados en esa época también como fundamentales13 del Cálculo Infinitesimal. Ejemplosdonde se consideraban estos resultados como fundamentales son los libros:

13Cabe hacer la observación de que la palabra «fundamental», en este caso, se entiende como el principioy cimiento en que estriba y sobre el que se apoya o basa algo.

18

An Elementary Treatise on the Differential and Integral Calculus14, publicado en 1825,escrito por Dionysius Lardner (1793-1859).

De L’Analyse Infinitésimal: Étude sur la Métaphysique du haut Calcul15, publicado en1860, escrito por Charles De Freycinet (1828-1923).

3.2. Versión general del Teorema Fundamental para funcionesRiemann integrables

La definición de integral como un límite de sumas permitió considerar a la integracióncomo un proceso independiente del proceso de antidiferenciación. La definición de Cauchy deintegral definida se aplica para cualquier función continua, incluso para funciones que tienendiscontinuidades aisladas. Si, por ejemplo, la función f(x) definida en [a, b] es discontinuaen el punto x0 ∈ [a, b], la integral definida∫ b

a

f(x)dx

se define como el límite, si este existe, de la suma∫ x0−ε

a

f(x)dx +

∫ b

x0+ε

f(x)dx

cuando ε tiende a cero.Sin embargo, con el desarrollo del Análisis, surgió la necesidad de considerar integrales

de funciones cuyo comportamiento era más irregular. El tema de la integrabilidad parafunciones más generales fue abordado por el matemático alemán Georg Friedrich BernhardRiemann (1826-1866), en su trabajo: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch einetrigonometrische Reihe16 de 1854.

Riemann estableció una generalización del concepto de integral dado por Cauchy, el cualestaba motivado por la aceptación de un concepto más general de función como cualquierregla de asignación x 7−→ f(x) entre números reales. En términos generales, Riemann enlugar de considerar el punto xi−1 (para tomar el valor f(xi−1)) en el i-ésimo subintervalo[xi−1, xi] de una partición a = x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn = b del intervalo [a, b], eligió un puntoarbitrario xi = xi−1 + εiδi, para cada i = 1, . . . , n. De esta manera, la integral definida parauna función acotada f la estableció como∫ b

a

f(x)dx = lımδ→0

n∑i=0

f(xi)(xi − xi−1)

14Consultar Lardner (1825, pp. 174-179).15Consultar De Freycinet (1860, pp. 106-109).16Publicado en Gesammelte Mathematische Werke, (Riemann, 1990)

19

donde δ denota el máximo de las longitudes δi de los subintervalos [xi−1, xi] de la partición de[a, b] (Hawkins, 1970). Esta definición establecida en términos de sumatorias más generales,llamadas ahora sumas de Riemann, se propone aplicarse a funciones acotadas no necesaria-mente continuas en un intervalo o continuas con discontinuidades aisladas, lo cual hace ladiferencia respecto a la definición dada por Cauchy.

Aunque muchos matemáticos reconocieron la utilidad de definir la integral como un límitede sumas, la adopción de esta idea fue lenta y tardó en aparecer de manera generalizada enlos libros de Cálculo. Básicamente, con la introducción del concepto de integral (como límitede sumas), los matemáticos reconocían dos aproximaciones para el Cálculo Integral. Por unaparte, como un proceso de sumas pero también como el proceso inverso de la diferenciación.Por ejemplo, el matemático canadiense Daniel Alexander Murray (1862-1934) en su libro Afirst Course in Infinitesimal Calculus (1903), en el capítulo al respecto del Cálculo Integral,menciona lo siguiente:

En este capítulo se discutirán dos procesos fundamentales del cálculo, cada unollamado integración. El proceso de diferenciación se usa para encontrar deriva-das y diferenciales de funciones; esto es, para obtener de una función, digamosF (x), su derivada F ′(x) y su diferencial F ′(x)dx. Por otra parte el proceso deintegración se usa:

(a) Para encontrar el límite de la suma de un infinito número de infinitesi-males los cuales están en la forma diferencial f(x)dx;

(b) Para encontrar funciones cuyas derivadas o diferenciales están dados; estoes, para encontrar anti-derivadas y anti-diferenciales.Brevemente, la integración podría ser (a) un proceso sumatorio o (b) un procesoinverso a la diferenciación, el cual, de acuerdo con esta idea, se podría llamaranti-diferenciación (Murray, 1903, p. 148).

Por otra parte, a principios del siglo XX, también se comenzaron a publicar libros deCálculo Integral en los cuales se seguían considerando ambas aproximaciones. Es decir, librosque consideraban la integración como el proceso inverso de la diferenciación y como límitesde sumas.

Por ejemplo, algunos libros publicados a inicios del siglo XX, donde todavía se considerabala integración como un proceso de antidiferenciación, son:

Elements of the Differential and Integral Calculus, escrito por el matemático estadou-nidense William Anthony Granville (1864-1943) y publicada en 1904. Obra re-editadaen inglés hasta 1957. En español se pueden encontrar re-ediciones hasta 2009 con eltítulo: Cálculo Diferencial e Integral. Esta obra ha tenido gran influencia como librode texto en los cursos básicos de Cálculo.

A Course of Pure Mathematics, escrito por el matemático inglés Godfrey Harold Hardy(1877-1947) y publicada en 1908.

20

Integral Calculus (1917), escrito por el matemático estadounidense Henry Bayard Phi-llips (1881-19??), del cual existen versiones en español re-impresas hasta 1978 bajo eltítulo: Elementos del Cálculo Infinitesimal.

Elementary textbook on the Calculus (1912), escrito por los matemáticos estadouniden-ses Virgil Snyder (1869-1950) y John Irwin Hutchinson (1867-1935).

Algunos de los primeros libros del siglo XX, en donde se comenzó a adoptar solamentela definición de integral como límite de sumas (en particular sumas de Riemann), son:

The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier’s Series, delmatemático inglés Ernest William Hobson (1856-1933) y publicado en 1907.

Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung escrito por el matemático de origenaleman Richard Courant (1888-1972) y publicado en 1924. Posteriormente esta obra fuetraducida al inglés por E. J. McShane bajo el título Differential and Integral Calculus,publicado en 1934 en los Estados Unidos.

Bressoud (2008, p. 11) sugiere que la versión moderna del Teorema Fundamental com-puesta en dos partes, considerando la integral como límite de sumas de Riemann, se debe almatemático alemán Paul du Bois-Reymond (1831-1889), quien en 1880 publicó en la revistaMathematische Annalen una discusión extensa y dio una demostración de ambas partes17.Esta versión fue adoptada por algunos matemáticos y fue apareciendo paulatinamente en loslibros de Cálculo. Asimismo, Bressoud (2008, p. 12) menciona que los libros de Courant yHobson antes mencionados, fueron de los primeros en presentar de esta manera el TeoremaFundamental del Cálculo. Esta versión posteriormente se popularizó debido a que se consi-deraba al Teorema Fundamental como un gran progreso de la matemática moderna del sigloXX.

Es así como ha llegado hasta nuestros días la versión actual del Teorema Fundamentaldel Cálculo, la cual es la más conocida y extendida dentro de la comunidad matemática. Acontinuación enunciamos y probamos la versión moderna.

Teorema 3.3. Sea f : [a, b] → R una función Riemann integrable.

1. Sea c en [a, b] y F : [a, b] → R definida como

F (x) =

∫ x

c

f(t)dt

para cada x ∈ [a, b]. Si f es continua en x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0, en estecaso F ′(x0) = f(x0).

17Consultar du Bois-Reymond (1880).

21

2. Si F : [a, b] → R es una función derivable en [a, b] tal que F ′(x) = f(x) para todax ∈ [a, b], entonces ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Para probar el inciso 1, mostraremos que el cociente

F (x + h)− F (x)

h.

tiende a f(x) cuando h → 0.Supondremos que x0 está en (a, b); el lector podrá realizar modificaciones necesarias para

x0 = a o x0 = b. Supongamos primero que h > 0 tal que x0 está en (a, b). Entonces, por lapropiedad aditiva de la integral tenemos

F (x0 + h)− F (x0) =

∫ x0+h

c

f −∫ x0

c

f

=

∫ x0

c

f +

∫ x0+h

x0

f −∫ x0

c

f =

∫ x0+h

x0

f.

Definamos mh y Mh como sigue:

mh = inf {f(x) : x0 ≤ x ≤ x0 + h} ,

Mh = sup {f(x) : x0 ≤ x ≤ x0 + h} .

Ahora, tenemos que

mh · h ≤∫ x0+h

x0

f ≤ Mh · h.

Por lo tanto

mh ≤F (x0 + h)− F (x0)

h≤ Mh.

Si h < 0, cambiamos algunos detalles de la demostración. Sea

mh = inf {f(x) : x0 + h ≤ x ≤ x0} ,

Mh = sup {f(x) : x0 + h ≤ x ≤ x0} .

Entonces

mh · (−h) ≤∫ x0

x0+h

f ≤ Mh · (−h).

22

Dado que −h > 0, al dividir obtenemos

mh ≤−

∫ x0

x0+hf

h≤ Mh.

Ahora, como

−∫ x0

x0+h

f =

∫ x0+h

x0

f = F (x0 + h)− F (x0),

obtenemos el mismo resultado que antes

mh ≤F (x0 + h)− F (x0)

h≤ Mh.

Esta igualdad se cumple para cualquier función f integrable, sea o no continua en x0.Finalmente, puesto que f es continua en x0,

lımh→0

mh = lımh→0

Mh = f(x0),

lo cual demuestra que

F ′(x0) = lımh→0

F (x0 + h)− F (x0)

h= f(x0).

Para demostrar el inciso 2, probemos que se cumple∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)

para toda primitiva F de la función f .Primero, como sabemos que f es una función Riemann integrable en [a, b], entonces por

definición para cualquier sucesión de particiones Pn ={xn

0 , xn1 , . . . , x

nkn

}del intervalo [a, b] y

cualquier selección de puntos tni ∈[xn

i−1, xni

], se tiene∫ b

a

f(x)dx = lımn→∞

∑i

f(tni )(xn

i − xni−1

),

tal que la sucesión de máximas diferencias δn = maxi

{xn

i − xni−1

}tienda a cero. Considere-

mos una tal sucesión de particiones.Ahora, si F es una primitiva de f en [a, b], es decir F ′(x) = f(x) para toda x ∈ [a, b],

sabemos que, por el teorema del valor medio, existen puntos tni ∈[xn

i−1, xni

]tales que

F (xni )− F

(xn

i−1

)= F ′(tni )

(xn

i − xni−1

)= f(tni )

(xn

i − xni−1

).

23

Por lo tanto tenemos

∑i

(F (xn

i )− F(xn

i−1

))=

∑i

(f(tni )

(xn

i − xni−1

)).

Pero F (b)−F (a) =∑

i

(F (xn

i )− F(xn

i−1

)), así que para esta selección de puntos tni tenemos

∑i

(f(tni )

(xn

i − xni−1

))= F (b)− F (a).

Para cada una de las particiones Pn ={xn

0 , xn1 , . . . , x

nkn

}, entonces tenemos

∫ b

a

f(x)dx = lımn→∞

∑i

f(tni )(xn

i − xni−1

)= F (b)− F (a).

Esto prueba el inciso 2 del Teorema 3.318.Existen otras versiones del TFC, que dependen de la definición de integral que se consi-

dere, por ejemplo la dada por Lebesgue o por Henstock y Kurswail. Sin embargo, centramosnuestro interés en la versión del TFC para funciones Riemann integrables, porque es la quese estudia generalmente en los cursos básicos de Cálculo.

El recorrido histórico que hemos realizado en este artículo muestra un panorama generaldel origen y evolución del Teorema Fundamental del Cálculo a través de los años. Comohemos observado, su origen se dio en un contexto puramente geométrico y dinámico a partirde las investigaciones medievales del movimiento. Se convirtió en una herramienta eficazpara el cálculo de áreas bajo curvas de funciones continuas en los s. XVII y XVIII, peroaun en los s. XVIII y XIX el problema de integración era considerado como un problema deantiderivación, que en términos modernos era el cálculo de funciones primitivas. Fue hasta els. XIX en que se estableció formalmente con base en la definición de integral definida comolímite de sumas y finalmente se extendió su uso para funciones más generales en el siglo XX.

Se puede profundizar en este tema, sin embargo, para nuestros objetivos es suficiente laexposición histórica aquí hecha. Más adelante nos referiremos a esta reseña histórica parahacer una propuesta para la enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral y del TFC, a nivelmedio superior.

18Versiones similares de este teorema así como sus demostraciones se pueden consultar en Apostol (1998,pp. 247-251), Bartle (1964, pp. 251-254), Rudin (1981, pp. 143-115), Spivak (1996, pp. 309-403).

24

Apéndices

A. Tabla cronológica

Antecedentes de la relación entre cuadraturas y tangentes:Investigaciones medievales acerca del movimiento

1350 Oresme: Tratactus de configurationibus qualitatum etmotuum (Aprox.)

1638 Galileo: Due nove scienze

1644 Torricelli: Opera geometrica

Versiones preliminares del Teorema Fundamental

1670 Barrow: Lectiones geometricae; demostración geométri-ca de la relación entre cuadraturas y tangentes

1693 Leibniz: Supplementum geometriae dimensoriae, publi-cado en la revista alemana Acta Eruditorium; a partirde la relación entre sumas de sucesiones y las diferen-cias de sus términos consecutivos, Leibniz demuestra larelación entre cuadraturas y tangentes

1711 Newton: De analysi (obra escrita en 1669); Newton de-muestra la relación entre cuadraturas y tangentes conbase en los conceptos de fluxión y fluente

25

La integración considerada como proceso inverso de la derivación

1748 Maria Gaetana Agnesi: Istituzioni analitiche

1768 Euler: Institutiones Calculi Integralis

1796 J. A. J. Cousin: Traité de Calcul Différentiel et deCalcul Intégral

1802 S. F. Lacroix: Traité élémentaire de Calcul Diffé-rentiel et de Calcul Intégral

Formalización del Teorema Fundamental

1821 Cauchy: Cours d’analyse; introducción del concep-to de integral definida como un límite de sumas;Cauchy demuestra de forma analítica el TeoremaFundamental del Cálculo (aunque no le llama deesta manera)

1845 Riemann: Ueber die Darstellbarkeit ; extensión delconcepto de integral definida para funciones másgenerales

1880 Paul du Bois-Reymon publica el artículo Der be-weis des fundamentalsatzes der integralrechnung:∫ b

aF ′(x)dx = F (b) − F (a), en la revista alema-

na Mathematische Annalene; du Bois-Reymon pre-senta la versión compuesta en dos partes del “Teo-rema Fundamental del Cálculo” (con ese nombre).

26

B. Traducciones al español de las demostraciones delTeorema Fundamental del Cálculo

B.1. Introducción

A diferencia de lo que se suele creer, dominar uno o varios idiomas extranjeros no escondición suficiente para poder traducir a nivel profesional. Los idiomas extranjeros no sonsino una más de las herramientas necesarias para poder desempeñarse en traducción. Traducirsignifica estar en capacidad de comprender el sentido y re-expresarlo en otra lengua demanera efectiva y libre de las ataduras sintácticas de la lengua de origen; está muy lejos deser una mera sustitución de una palabra por otra.

En el presente apéndice, se encuentran las traducciones al español de las demostracionesdel Teorema Fundamental realizadas por Barrow, Leibniz y Newton. Dichas traducciones serealizaron a partir de fuentes, en inglés, primarias y secundarias. Espero sean de utilidadpara aquellos lectores cuya lengua es el español. Sin embargo, si el lector desea profundizaren el estudio de dichas demostraciones, lo ideal es que consulte las fuentes originales.

B.2. Demostración de Barrow

Lecciones Geométricas, Lectura X

11. Sea ZGE (Figura 8) una curva cuyo eje es V D y consideremos las ordenadas (V Z, PGy DE) perpendiculares a este eje y continuamente creciendo desde la ordenada inicial V Z;también sea V IF una curva tal que si una línea recta EDF es trazada perpendicular al ejeV D, cortando a las curvas en los puntos E, F y V D en D, el rectángulo determinado porDF y una longitud dada R es igual al espacio V DEZ; también sea DE : DF = R : DT , yunimos [T y F ]. Entonces TF cortará a la curva V IF .Tomemos un punto I en la curva V IF (primero del lado F hacia V ) y, a través de él, tracemosIG paralelo a V Z y IL paralelo a V D, cortando a las líneas dadas como se muestra en lafigura; entonces, LF : LK = DF : DT = DE : R, es decir R× LF = LK ×DE. Pero de lanaturaleza de las líneas DF y LK se tiene R × LF = área(PDEG) por tanto se tiene queLK ×DE = área(PDEG) < DP ×DE, por lo tanto se tiene LK < DK < LI. De formaanáloga, si el punto I se toma del otro lado de F , se haría la misma construcción de antes yse puede fácilmente demostrar LK > DP > LI. De donde es completamente claro que todalínea TKF permanece en o debajo de la curva V IFI.Resultados análogos se obtienen si las ordenadas V Z, PG y DE decrecen en forma continua,la misma conclusión se obtiene mediante un argumento similar; sólo una particularidadocurre, a saber; en este caso, al contrario que en el otro, la curva V IF es cóncava respectoal eje V D.Corolario. Observe que DE ×DT = R×DF = área(V DEZ).

27

Figura 8:

Fuente: Geometrical Lectures, pp. 167-168. Versión en inglés de la obra de Isaac Barrowpublicada en 1735 (ver también Child, 1916, pp. 116-118).

B.3. Demostración de Leibniz

Suplemento de medición geométrica, o más general, de todas la maneras prácticas paracuadrar una curva a través del movimiento: es decir, varias maneras para construir una

curva a partir de una condición basada en su tangencia.

Demostraré ahora que el problema general de cuadraturas puede ser reducido al de encontraruna línea que tiene una ley de tangencia dada (declivitas), esto es, para la cual los lados deltriángulo característico tienen una relación mutua dada. Entonces mostraré como esta línease puede describir por un movimiento que yo he inventado.Para este propósito [Figura 9] asumo que para cada curva C(C ′) un doble triángulo ca-racterístico19, uno, TBC, que es asignable, y otro, GLC, que es inasignable, y estos dos

19En la figura Leibniz asigna el símbolo (C) a dos puntos, los cuales nosotros denotamos por (C) y

28

Figura 9:

triángulos son similares entre sí. El triángulo inasignable consiste de las partes GL, LC, conlos elementos de las coordenadas CF , CB como lados, y GC, el elemento del arco, como labase o hipotenusa. Pero el triángulo asignable TBC consiste de los ejes, la ordenada, y latangente, y por tanto contiene el ángulo entre la dirección de la curva (o su tangente) y eleje o base, esto es, la inclinación de la curva al punto dado C. Ahora sea F (H), la regiónde la cual se quiere encontrar su cuadratura, determinada entre la curva H(H), las líneasparalelas FH y (F )(H), y el eje F (F ); en ese eje sea A un punto fijo, y sea una línea AB, eleje conjugado, dibujado a través de A perpendicular a AF . Asumimos que el punto C estáen HF (prolongar si es necesario); esto da una nueva curva C(C ′) con la propiedad que, si setrazan las coordenadas CB (igual a AF ) y la tangente CT desde el punto C al eje conjugadoAB (prolongado si es necesario), entonces la parte TB del eje entre ellos es a BC como HFes a un [segmento] constante a, o a por BT es igual al rectángulo AFH (circunscrito en lafigura compuesta por tres líneas AFHA). Siendo esto establecido, afirmo que el rectánguloen a y E(C) (debemos discriminar entre las ordenadas FC y (F )(C) de la curva) es iguala la región F (H). Cuando, por tanto, prolongo la línea H(H) a A, la figura compuesta porlas tres líneas AFHA de la figura de la cual se requiere encontrar su cuadratura es igual alrectángulo con la constante a y la ordenada FC de la curva, de la cual se ha encontrado

(C ′). Si, con Leibniz, escribimos CF = x, BC = y, HF = z, entonces E(C) = dx, CE = F (F ) = dy, yH(H)(F )F = z dy. Primero Leibniz introduce la curva C(C ′) con su triángulo característico y luego entoncesla re-introduce como la curva [quadratrix ] de la curva AH(H).

29

su cuadratura, como lados. Esto se sigue inmediatamente de nuestro cálculo. Sea AF = y,FH = z, BT = t, y FC = x; entonces t = z y : a, de acuerdo a nuestra hipótesis; por otraparte, t = y dx : dy debido a la propiedad de las tangentes expresada en nuestro cálculo. Portanto a dx = z du y de esta manera ax =

∫z dy = AFHA. Por lo tanto la curva C(C ′) es la

quadratrix con respecto a la curva H(H), mientras que la ordenada FC de C(C ′), multipli-cada por la constante a, hace al rectángulo igual al área, o la suma de las ordenadas H(H)corresponden a las abscisas correspondientes AF . Por tanto, dado que BT : AF = FH : a(por hipótesis), y la relación de este FH a AF (lo cual expresa la naturaleza de la figura acuadrar) está dada, la relación de BT a FH o a BC, así cómo de BT a TC, será dada, estoes, la relación entre los lados del triángulo TBC. Por lo tanto, todo lo que se necesita parapoder obtener cuadraturas y medidas es poder describir la curva C(C ′) (la cual, como hemosmostrado, es la quadratrix ), cuando la relación entre los lados del triángulo característicoasignable TBC (esto es, la ley de inclinación de la curva) está dada.

Fuente: A source Book in the Mathematics, 1200-1800, pp. 282-284, editado por D. J.Struik.

B.4. Demostración de Newton

Sea la ordenada BD perpendicular a la base AB de alguna curva AD y sean AB igual a xy BD igual a y. Sean a, b, c, . . . cantidades dadas y m, n enteros. EntoncesRegla 1. Si y = axm/n, entonces el área de la región ABD es an

m+nx(m+n)/n (Whiteside, 1968,

p. 207).

Figura 10:

1. La cuadratura de curvas simples en la Regla 1. Sea entonces cualquier curva ADδ que tienea AB = x como base, perpendicular a la ordenada BD = y, y sea ABD = z el área. Ahora,sean Bβ = o, BK = x y consideremos el rectángulo BβHK(ov) igual al rectángulo BβδD.Esto es, por tanto, Aβ = x + o y Aδβ = z + ov. Con estas premisas, asumiendo cualquierrelación arbitraria entre x y z, buscaré el valor de y de la siguiente manera. Tomemos a

30

voluntad 23x

32 = z o 4

9x3. Entonces, cuando x + o(Aβ) se sustituye por x y a + ov(Aδβ) por

z, se obtiene (por la naturaleza de la curva)

4

9(x3 + 3x2o + 3x2o2 + o3) = z3 + 2zov + o2v2.

Ahora, eliminando las cantidades iguales (49x3 y z2) y dividiendo el resto por o, nos queda

49(3x2 + 3xo + o2) = 2zv + ov2. Si suponemos ahora qe Bβ sea infinitamente pequeño, esto

es, que o sea cero, v y y serán iguales y los términos multiplicados por o desaparecerán y enconsecuencia quedará 4

9× 3x2 = 2zv o 2

3x2(z = y) = 2

3x

32 y, es decir, x

12 (= x2/x

32 ) = y. De

manera inversa, por tanto, si x12=y, entonces tendremos 2

3x

32=z. En general si

z =n

m + nax(m+n)/n,

esto es, haciendo un cambio de variable c = na/(m+n) y p = m+n, tenemos que si z = cxp/n

o zn = cnxp, entonces cuando x + o se sustituye20 por x y z + oy por z obtenemos21

cn(xp + poxp−1 . . .) = zn + noyzn−1 . . . ,

omitiendo los otros términos, los cuales se desaparecen al final. Ahora, al cancelar los términosiguales cnxp y zn y dividiendo el resto por o queda

cnpxp−1 = nyzn−1 = nycnxp/cxp/n.

Ahora, al dividir por cnxp, obtenemos

px−1 = ny/cxp/n

Despejando a y queday = pcx(p−n)/n.

En otras palabras, al sustituir los valores de c y p se tiene que

y = axm/n.

Inversamente, si y = axm/n, entonces

z =n

m + nax(m+n)/n.

Fuente: The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. II, pp. 206-247, editado por D.T. Whiteside.

20Newton pensó en términos de un incremento en el área de z a oy, correspondiente a un incremento dex a x + o, siendo o un incremento infinitesimal.

21Aplicando el teorema del binomio desarrollado por Newton.

31

B.5. Demostración de Cauchy

Si en la integral definida∫ X

x0f(x)dx se hace variar uno de los dos límites; por ejemplo la

cantidad X, la integral variará junto con esa cantidad. Si se sustituye el límite de la variableX por x, se obtendrá como resultado una nueva función de x que será llamada integraltomada a partir del origen x = x0. Sea

(1) F(x) =

∫ x

x0

f(x)dx

esta nueva función. Se obtendrá de la fórmula (19)(lección 22)

(2) F(x) = (x− x0)f [x0 + θ(x− x0)], F (x0) = 0,

donde θ es un número menor que la unidad, y de la fórmula (7) (lección 23)∫ x+α

x0

f(x)dx−∫ x

x0

f(x)dx =

∫ x+α

x

f(x)dx = αf(x + θα)

o bien

(3) F(x + α)−F(x) = αf(x + θα).

Se sigue de las ecuaciones (2) y (3) que si la función f(x) es finita y continua en la vecindadde un valor particular atribuido a la variable x, la nueva función F(x) será finita y ademáscontinua en la vecindad de este valor, ya que a un incremento infinitamente pequeño de xque corresponderá un incremento infinitamente pequeño de F(x). Así, si la función f(x) esfinita y continua desde x = x0 hasta x = X, lo mismo será válido para la función F(x).Podemos añadir que si se dividen entre α los dos miembros de la fórmula (3) se concluirá,al pasa al límite,

(4) F ′(x) = f(x).

Así la integral (1), considerada como función de x, tiene como derivada a la función f(x)que se encuentra bajo el signo

∫. Se probará de igual manera que la integral∫ X

x

f(x)dx = −∫ x

X

f(x)dx

considerada como función de x tiene como derivada a −f(x). Se tendrá entonces

d

dx

∫ x

x0

f(x)dx = f(x) yd

dx

∫ X

x

f(x)dx = −f(x).

Problema I. Se busca una función ω(x) cuya derivada ω′(x) sea cero. En otras palabras, sebusca la solución de la ecuación

(6) ω′(x) = 0

32

[...]

Problema II. Encontrar el valor general de y que satisface la ecuación

(11) dy = f(x)dx.

Solución. Si se designa por F (x) a un valor particular de la incógnita y, y por F (x) + ω(x)su valor general, se obtendrá de la fórmula (11), la cual esos dos valores deberán satisfacer,

F ′(x) = f(X), F ′(x) + ω′(x) = f(x)

y en consecuenciaω′(x) = 0.

Por otro lado, se concluye de la primera de las ecuaciones (5), que la fórmula (11) se satisfaceal tomar y =

∫ x

x0f(x)dx. Así, el valor general de y será

(12) y =

∫ x

x0

f(x)dx + ω(x),

en donde ω(x) designa a una función que satisface la ecuación (6). Este valor general dey, que comprende como caso particular a la integral (1) y que conserva la misma forma dela integral, cualquiera que sea el origen x0 de esta integral, se representa en el cálculo pormedio de la simple notación

∫f(x)dx, y recibe el nombre de integral indefinida. Dicho ésto,

la fórmula (11) implica siempre a la siguiente

(13) y =

∫f(x)dx

y recícrocamente, de modo que se tiene

(14) d

∫f(x)dx = f(x)dx.

Si la función F (x) difiere de la integral (1), el valor general de y o∫

f(x)dx se podrá siemprepresentar bajo la forma

(15)

∫f(x)dx = F (x) + ω(x),

y deberá reducirse a la integral (1) para un valor particular de ω(x) que verifica al mismotiempo la ecuación (6) y la siguiente:

(16) F(x) =

∫ x

x0

f(x)dx = F (x) + ω(x).

33

Si, además, las funciones f(x) y F (x) son ambas continuas entre los límites x = x0, x = X,la función F(x) será también continua, y en consecuencia ω(x) = F(x)−F (x) conservará elmismo valor entre esos límites, entre los cuales se tendrá

ω(x) = ω(x0)

F(x)− F (x) = F(x0)− F (x0) = −F (x0),

F(x) = F (x)− F (x0),

(17)

∫ x

x0

f(x)dx = F (x)− F (x0).

En fin, si en la ecuación (17) se toma x = X se encontrará

(18)

∫ X

x0

f(x)dx = F (X)− F (x0).

Resulta de las ecuaciones (15), (17), y (18) que dado un valor particular F (x) de y queverifique la fórmula (11) se pueden deducir: 1o el valor de la integral indefinida

∫f(x)dx, 2o

los valores de las dos integrales definidas∫ x

x0f(x)dx = F (x)− F (x0),

∫ X

x0f(x)dx = F (X)−

F (x0) en el caso en el que las funciones f(x), F (x) permanezcan continuas entre los límitesde esas dos integrales.

Fuente: Cita textual de la obra Curso de análisis, pp. 311-317. Servicios editoriales dela Facultad de Ciencias, UNAM. México.

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Fue posible consultar muchas de las obras de los siglos XVII, XVIII y XIX;citadas en el presente trabajo, gracias a los sitios de acceso libre:

The Internet Archive: http://www.archive.org/

Mathematics from the 17th Century: http://www.17centurymaths.com/

Books Online: http://onlinebooks.library.upenn.edu/

The project Gutemberg: http://www.gutenberg.org/

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El genio, recién liberado le dijo al pescador:– Pide tres deseos y te los daré.– Me gustaría - dijo el pescador - que me hicieses

lo bastante inteligente como para hacer unaelección perfecta de los otros dos deseos.

– Hecho - dijo el genio - ¿cuáles son los otros dos?– Gracias. No tengo más deseos

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