DIFUSIÓN CON UNA REACCIÓN QUÍMICA HOMOGÉNEA DE PRIMER ORDEN

En absorción cuando hay producción o desaparición del componente que se difunde, la siguiente ecuación puede utilizarse para analizar la transferencia de masa dentro de la fase líquida.

𝛻 ∙𝑁 𝐴+𝜕𝐶𝐴

𝜕𝑡−𝑅𝐴=0

LÍQUIDO B

MEZCLA DE GASES (A Y GAS INERTE)

SUPERFICIE LÍQUIDA

Z

Z=0

Z

Z=

NA

TRANSFERENCIA DE MASA

ACOMPAÑADA POR REACCIÓN

QUÍMICA HOMOGÉNEA

−𝑑𝑑𝑧 (𝐷 𝐴𝐵

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑧 )+𝑘1𝐶𝐴=0

𝑁 𝐴 , 𝑧=−𝐷 𝐴𝐵

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑧

𝑑𝑑𝑧

𝑁𝐴 , 𝑧

−𝑅𝐴=0

−𝑅𝐴=𝑘1𝐶𝐴

Considérese una capa del medio absorbente. En la superficie del líquido la composición de A es CA0. El grueso de la película, , se define de manera que más allá de esta película la concentración de A siempre es 0; es decir, CA=0. Si hay poco movimiento del fluido dentro de la película y se supone que la concentración de A en la película es muy pequeña, el flujo molar de la película se define por:

Para una transferencia de masa unidireccional en estado estacionario, la ecuación diferencial general de la transferencia de masa se reduce a:

La desaparición del componente A por una reacción de primer orden está definida por:

Donde k1 es la constante de rapidez de la reacción química. Al combinar las ecuaciones y reescribir se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden que describe la transferencia simultánea de masa acompañada por una reacción química de primer orden:

−𝐷 𝐴𝐵

𝑑2𝐶𝐴

𝑑 𝑧2+𝑘1𝐶𝐴=0

𝐶𝐴=𝑐1 h𝑐𝑜𝑠 √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝑧+𝑐2𝑠𝑒𝑛h√ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝑧

Con un coeficiente de difusión constante, esto se reduce a:

Cuya solución general es:

Para la evaluación de las constantes de integración se requieren las condiciones de frontera siguientes:

𝑐1=𝐶 𝐴0

0

𝑧  = 0         𝐶𝐴=𝐶𝐴0

𝑐2=−𝐶𝐴0

h𝑡𝑎𝑛 √ 𝑘1𝐷𝐴𝐵

𝛿

Entonces:

𝐶𝐴=𝐶𝐴 0h𝑐𝑜𝑠 √ 𝑘1

𝐷𝐴𝐵

𝑧−𝐶𝐴0

𝑠𝑒𝑛h√ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝑧

𝑡𝑎𝑛 h√ 𝑘1𝐷𝐴𝐵

𝛿

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑧=+𝐶𝐴0√ 𝑘1

𝐷 𝐴𝐵

h𝑠𝑒𝑛 √ 𝑘1𝐷𝐴𝐵

𝑧−𝐶𝐴0√ 𝑘1

𝐷 𝐴𝐵

h𝑐𝑜𝑠 √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝑧

𝑡𝑎𝑛h√ 𝑘1𝐷𝐴𝐵

𝛿

=

La ecuación para el perfil de concentraciones es:

El flujo de masa molar en la superficie del líquido puede determinarse si se diferencia la ecuación del perfil de concentraciones y se evalúa la derivada en z=0. La derivada de CA con respecto a z es:

Cuando z=0 se convierte en:

𝑁 𝐴 , 𝑧=−𝐷 𝐴𝐵

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑧

=Sustituyendo esta ecuación:

En esta:

Y multiplicando por /, se obtiene:

𝑁 𝐴 , 𝑧|𝑧=0=𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐴0

𝛿 [ √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝛿

h𝑡𝑎𝑛 √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝛿

 ]

𝑁 𝐴 , 𝑧=𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴 0

𝛿

Considerando la absorción de A en el líquido B sin ninguna reacción química asociada. El flujo molar se obtiene, bajo las condiciones de frontera ya establecidas, de la integración de la ecuación:

𝑁 𝐴 , 𝑧=−𝐷 𝐴𝐵

𝑑𝐶𝐴

𝑑𝑧

Obteniéndose:

Al comparar las dos ecuaciones se puede ver cual es el termino que muestra la influencia de la reacción química. Este término es una cantidad adimensional que con frecuencia se llama número de Hatta:

Número de Hatta

𝑁 𝐴 , 𝑧|𝑧=0=𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐴0

𝛿 [ √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝛿

h𝑡𝑎𝑛 √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝛿

 ] 𝑁 𝐴 , 𝑧=𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴 0

𝛿

Con reacción Sin reacción

Contribución de la reacción química

𝑁 𝐴 , 𝑧|𝑧=0=√𝐷𝐴𝐵𝑘1 (𝐶𝐴0−0 )

𝑁 𝐴 , 𝑧=𝑘𝑐 (𝐶𝐴1−𝐶𝐴 2 )

A medida que aumenta la rapidez de la reacción química, la constante de rapidez de la reacción se incrementa y el termino de la tangente hiperbólica se aproxima al valor de 1. De acuerdo con lo anterior la ecuación:

𝑁 𝐴 , 𝑧|𝑧=0=𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐴0

𝛿 [ √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝛿

h𝑡𝑎𝑛 √ 𝑘1𝐷 𝐴𝐵

𝛿

 ]Se reduce a:

Al comparar la ecuación obtenida con la siguiente ecuación:

Se observa que el coeficiente de película kc es proporcional al coeficiente de difusión elevado a la potencia ½. Con una reacción química relativamente rápida, el componente A desaparecerá después de penetrar una corta distancia en el medio absorbente; por lo tanto se ha propuesto un segundo modelo para la transferencia de masa por convección, el modelo de la teoría de la penetración, en donde kc se considera en función de DAB elevada a la potencia ½.

Difusión con reacción química heterogénea

Reacción catalítica

instantánea

22A A

Ley de Fick: 2

2

1

2 12

AA AA z Az Az

A

cD dxN N N

x dz

Balance de materia: 0 0AzAz Azz z z

dNSN SN

dz

Condiciones límite:

0

0A Ao

A

z x x

z x

Perfil de concentración:1

1 12 2

z

AoA xx

Densidad de flujo:2

2 1ln1

2

AAAz

Ao

cDN

x

Difusión con reacción química homogénea

Reacción homogénea, con cinética de primer orden:

1, A AA B AB r k c

Balance de materia: 1 10 0AzAz Az A Az z z

dNSN SN k c S z k c

dz

Ley de Fick para componente A diluido (xA0): AAz AB

dcN D

dz

Condiciones límite:

0

0

A Ao

A

z c c

dcz L

dz

Perfil de concentración:

211

11

cosh 1,

coshA

Ao AB

zb

c k LLb

c b D

Densidad de flujo en la superficie de nivel:

1 10tanhAo AB

Az z

c DN b b

L

Transferencia de materia por convección forzada

Integrando las ecuaciones de continuidad y movimiento:

2

,( ) 1z z máxx

v x v

Balance de materia:

0

Az Az Axz z z x

Ax x x

W xN W xN W zN

W zN

En el límite:

0Az AxN N

z x

Ley de Fick:

AAz AB A Az Bz A Az Bz A z

A AAx AB A Ax Bx AB

dcN D x N N x N N c v x

dzdc dc

N D x N N Ddx dx

Substituyendo:2 2

, 21 A A

z máx ABc cx

v Dz x

Condiciones límite:0 0

0

0

A

A Ao

A

z c

x c c

cx

x

La solución:

,

4A

Ao AB

z máx

c xerfc

c D z

v