EL CAMINO DEL JARDÍN

Un jardín rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho, está rodeado por un camino de arena uniforme. Halle la anchura de dicho camino si se sabe que su área es de 540 metros cuadrados.

1. ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro del jardín?

P=2 (b+h)

P=2 (50m+34m)

P=168m

2. ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro del camino externo al Jardín?

Pi=2(b+h)

Pe=2((b+2 x )+(h+2x ))

Pcamino=Pe−Pi=2(b+h+4 x )– 2(b+h)

Pcamino=2b+2h+8 x−2b−2h

Pcamino=8 x

3. ¿Cuál es el área del jardín?

A=b∗h

A=50m∗34m

A=1700m2

4. ¿Qué expresión algebraica representa el área del camino del jardín?

Ai=b∗h

Ae=(b+2 x )(h+2 x)

Acamino=Ae−A i=(b+2 x)(h+2x )– (b∗h)

Acamino=bh+2x b+2 xh+2 x2−bh

540m2=2 xb+2 xh+2 x2

540m2=2 (50m) x+2 (34m ) x+2 x2

540m2=100 x+68x+2 x2

540m2=168 x+2x2

2 x2+168 x−540=0

Resolviendo con la ecuación cuadrática

x=−b±√b2−4ac2a

a=2 , b=168 , c=−540

x=−(168 )±√(168 )2−4 (2 ) (−540 )

2 (2 )

x=−(168)±√28224−4 (2 )(−540)

2(2)

x=−(168)±√28224+(−8)(−540)

2(2)

x=−(168)±√28224+4320

2(2)

x=−(168)±√32544

4

x=−(168)±12√226

4

x=−(168)±12√226

4

x=−42±3√226

x1=−42+3√226=3,099; x2=−42−3√226=−3,099

La respuesta es x1=3,099, ya que es un número positivo y el perímetro o el área deben ser números positivos.

Reemplazando este valor en la fórmula del perímetro del camino obtenemos:

Pcamino=8 x

Pcamino=8(3,099)

Pcamino=24,799m

5. Consulte:a. ¿Cuándo una ecuación se denomina ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es una ecuación en la cual la incógnita está elevada al cuadrado, y no está elevada a exponentes mayores que 2. Se denomina "cuadrática" por estar la incógnita elevada al cuadrado.

La otra denominación que tienen estas ecuaciones: "de segundo grado" se debe a que, en general, se llama "grado de una ecuación" al mayor exponente al cual esté elevada la incógnita en esa ecuación.

b. Dos procesos diferentes para solucionar una ecuación cuadrática.i. Factorización: Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar

igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.Ejemplo:

x2−8 x+16=0( x−4 ) ( x−4 )=0x1=4 ; x2=4

ii. Formula Cuadrática: La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

x=−b±√b2−4ac2a

La expresión:

√b2−4acconocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante. Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.

Ejemplo:x2 + 8x + 6 = 0

x=−8±√82−4 (1 )(6)

2(1)

x=−8±√64−4 (1 )(6)

2(1)

x=−8±√402

x=−8±2√102

x=−4±√10

x1=−4+√10 ; x2=−4−√10