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Matematica Discreta. Curso 12-13

Actividad de Aprendizaje 3. Tema 5: GRAFOS.

Para presentarse a la tercera prueba de evaluacion continua, es necesario entregar esta actividadcompletamente resuelta, escrita a mano, con las hoja grapadas y con el nombre puesto.

5.1. Conceptos basicos

Problemas relacionados de la Hoja 5: 1 a 14.

A5.1.1 Dar la definicion de camino (Pn), ciclo (Cn) e indicar en que casos pueden ser grafosregulares y de que grado.

A5.1.2 Enunciar el teorema de Euler para los grados.

A5.1.3 Si q es el numero de aristas del grafo K8 y q′ el numero de aristas de Q4. Entonces:

a) q = q′. b) q < q′. c) q > q′.

Justificar la respuesta:

A5.1.4 Indicar que grafos de las siguientes familias no son bipartitos:

a) Pn ∀n ≥ 2. b) Kn ∀n ≥ 2, n par. c) Cn ∀n ≥ 4, n par.


A5.1.5 En el grafo bipartito completo K4,2, la secuencia de grados es:

a) sec(G) = [ 2, 2, 2, 2, 4, 4 ].

b) sec(G) = [ 2, 2, 4, 4, 4, 4 ].

c) sec(G) = [ 1, 1, 3, 3, 3, 3 ].


A5.1.6 Un grafo regular de grado 3 y 15 vertices

a) tiene 45 aristas. b) tiene 23 aristas. c) no puede existir.


A5.1.7 Estudiar si los siguientes grafos son bipartitos. Si lo son, dar los dos conjuntos devertices, si no lo son, justificar por que.

G H

A5.1.8 Estudiar si los siguientes pares de grafos son isomorfos. Si lo son, establecer el isomor-fismo. Si no, encontrar una propiedad invariante bajo isomorfismos que se cumpla en un grafoy no en el otro.

ba

c

d

e

cb

a e d

f g

h

A

BC

D

E

G H

F

E D

A B C

5.2. Conectividad


A5.2.1 Definir circuito euleriano y ciclo hamiltoniano.

A5.2.2 Enunciar el Teorema de caracterizacion de arbol.

A5.2.3 Dado un grafo con 15 aristas y 16 vertices, se verifica que:

a) es conexo y por tanto un arbol.

b) es conexo, pero no necesariamente un arbol.

c) si es acıclico, tiene una unica componente conexa.

Justificar la respuesta correcta y las opciones falsas:

A5.2.4 Un grafo acıclico de 12 vertices y 4 componentes conexas tiene

a) 16 aristas. b) 8 aristas. c) 6 aristas.


A5.2.5 El numero de arboles recubridores no isomorfos (dos a dos) de los grafos Q2 y K4 es,respectivamente:

a) 1 y 2. b) 1 y 3. c) 2 y 2.

Justificar la respuesta, dibujando dichos arboles:

A5.2.6 Para cada uno de los siguientes grafos:

a) Estudiar si es euleriano o semieuleriano. En caso afirmativo, construir segun correspondaun circuito o recorrido euleriano. En caso negativo, justificar por que.

b) Estudiar si es posible encontrar un ciclo o un camino hamiltoniano. Justificar en caso deque no sea posible encontrarlo.

c) Encontrar arboles recubridores de cada uno de ellos que no sean caminos.

5.3. Grafos ponderados


A5.3.1 Definir radio, centro y mediana de un grafo ponderado.

A5.3.2 Indicar cual de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) El radio del camino Pn es n− 1 y tiene por centros a sus vertices extremos.

b) El radio del ciclo Cn es bn/2c y cualquier vertice es centro.

c) El radio del grafo completo Kn es 1 y cualquier vertice es mediana.

Justificar la respuesta indicando cual serıa la afirmacion correcta para esa familia de grafos:

A5.3.3 Hallar todos los arboles recubridores minimales (salvo isomorfismo) del siguiente grafoponderado.

a b c

d

e f

1

1 g

j

ih

1

2

22

25

2

1

2

3

3

1

3 3

1

4

7

k l m

A5.3.4 Hallar el radio, centro y mediana del grafo ponderado de la figura.

G H

A5.3.5 Una companıa de TV por cable quiere conectar un grupo de ciudades pequenas asu sistema. La siguiente tabla muestra la distancia entre las ciudades. Determinar como debehacerlo de forma que todas las ciudades esten conectadas y la companıa utilice la menor cantidadposible de cable.

A 0

B 10 0

C 12 9 0

D 25 20 11 0

E 25 22 13 8 0

F 30 20 15 18 14 0

A B C D E F

¿Y si ademas las ciudades A y D deben estar conectadas mediante una lınea directa?

A5.3.6 Se quiere montar una red wifi en una zona donde hay problemas de recepcion debidos asu orografıa. Se dispone de un emisor E y 6 repetidores que pueden colocarse en cualquiera delos vertices del grafo de la figura. Las aristas representan las conexiones que son viables entreestos puntos y los pesos de las aristas el tiempo de recepcion de las senales entre ellos.

a

b

c e

g

f

3

5

3

1

2

4

2

1

1

3

3

h

a b c e f g h Camino

a) Si el emisor se coloca en el vertice a, utilizar el algoritmo adecuado para determinar,mediante un arbol T, el camino optimo que seguirıa la senal hasta cada receptor. (Utilizarla tabla que esta junto al grafo.)

b) Completar la tabla de distancias siguiente y hallar el mejor lugar para colocar el emisorsi se quiere minimizar el tiempo de recepcion de las senales a los receptores.

d(v, u) a b c e f g h r(v) s(v)

a 0

b 0 4 2 4 4 1

c 0 4 5 6 3

e 0 1 2 1

f 0 3 2

g 0 3

h 0

c) Cada mes se quiere comprobar si la red funciona correctamente y para ello el emisor envıasenales a cada repetidor de modo secuencial, es decir, cada repetidor debe devolver lasenal al emisor inmediatamente para confirmar la recepcion, antes de que este la envıe alsiguiente receptor. Se pide buscar una posicion para colocar un segundo emisor E que seocupe de esta tarea de modo que el tiempo invertido en ella sea mınimo.

d) ¿Serıa posible utilizar un unico emisor para optimizar las tareas descritas en los apartadosb) y c)?

5.4. Grafos dirigidos. Planificacion de tareas


A5.4.1 Definir digrafo acıclico, elemento maximal de un grafo acıclico y maximo de un grafoacıclico.

A5.4.2 Sea A = {a, b, c, d, e, f} un conjunto de tareas y R la siguiente relacion de dependenciasentre ellas:

a

f

b

d

e

c

1

4

7 8

Se verifica que:

a) R no es realizable.

b) R es realizable y un orden topologico es f, a, e, d, c, b.

c) R es realizable y un orden topologico es c, f, a, e, b, d.


A5.4.3 Dado el conjunto de tareas anterior y la misma relacion de dependencias entre ellas. Severifica que la planificacion siguiente es INCORRECTA:

a) P = {E1 = [f, a, e, b], E2 = [c, d]}b) P = {E1 = [c, d, e], E2 = [f, a, b]}c) P = {E1 = [f, a, d], E2 = [c, e, b]}


A5.4.4 En el grafo dirigido esta representado un conjunto de tareas (con su coste) y la relacionesde precedencia entre ellas.

A5.4.4 En el grafo dirigido esta representado un conjunto de tareas (con su coste) y la relacionesde precedencia entre ellas.

�

b��

a��

e��

h��

d��

c��

g��

f��

15

1025

15

10 20

1015

a) Determinar si el conjunto de tareas es realizable. Si lo es, construir un orden de realizaciony el tiempo que invertirıa en ello un unico equipo.

b) Calcular el tiempo de realizacion de cada tarea y el tiempo mınimo de realizacion delconjunto de tareas.

c) Decidir si la planificacion P = {E1 = [e, d, b], E2 = [a, f, c], E3 = [h, g]} es correcta. Encaso de serlo, indicar en un diagrama de barras los tiempos en que cada equipo trabaja yaquellos en que esta en tiempo de espera. Determinar el tiempo de ejecucion de todas lastareas si se sigue dicha planificacion.

d) Estudiar si serıa posible realizar las tareas con un numero menor o igual de equipos ydisminuir el tiempo de realizacion de las mismas.

a) Determinar si el conjunto de tareas es realizable. Si lo es, construir un orden de realizaciony el tiempo que invertirıa en ello un unico equipo.

b) Calcular el tiempo de realizacion de cada tarea y el tiempo mınimo de realizacion delconjunto de tareas.

c) Decidir si la planificacion P = {E1 = [a, h, g], E2 = [e, d, f ], E3 = [b, c]} es correcta. Encaso de serlo, indicar en un diagrama de barras los tiempos en que cada equipo trabaja yaquellos en que esta en tiempo de espera. Determinar el tiempo de ejecucion de todas lastareas si se sigue dicha planificacion.

d) Encontrar una planificacion que realice las tareas en el tiempo mınimo con el menornumero de equipos posible.

A5.4.5 Un programador ha demostrado que un problema algorıtmico se resuelve ejecutandolos programas del conjunto V = {P1, P2, . . . , P9 } siempre y cuando se respeten las siguientesprioridades:

P1 antes que P4 y P5


P3 antes que P6


P5 antes que P7

P6 antes que P9


P8 antes que P9

a) Modelizar el problema mediante un grafo dirigido R e introducirlo en el sistema Ahmes.

b) Estudiar si es posible ejecutar todos los programas respetando las restricciones.

c) Si todos los programas tardan una hora en ejecutarse y se dispone de un ordenador paraejecutar cada uno de ellos, determinar el tiempo mınimo para resolver el problema.

d) Determinar el numero mınimo de ordenadores que se precisan para resolver el problemaen tiempo mınimo.

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