A.3 Normas de Vectores y Matrices Definición A.16   Producto Interno

Sea un espacio vectorial sobre . Una operación se denomina Producto Interno o Producto interior si satisface las siguientes condiciones P.1

P.2

P.3

Ejemplo A.20   El producto escalar usual es un producto interno. Se define como

en donde , son las coordenadas de , respectivamente, y la dimension del espacio es ,Definición A.17   Norma de un vector

Sea un espacio vectorial sobre . Una operación es una función de Norma si satisface las siguientes condiciones N.1

N.2

si y sólo si N.3

N.4

Ejemplo A.21   Sea un espacio vectorial sobre , y sea un producto interno de ese espacio. La cantidad

Es una función de Norma. El signo resalta que se trata de la raiz positiva del producto interno de consigo mismo. Una norma asi definida se conoce como una Norma inducida por el producto interno

Ejemplo A.22   Sea un espacio vectorial de orden , y sean las coordenadas del vector . En esas condiciones, las siguientes funciones son funciones de normas:

1.

2.

3.

4.

Definición A.18   Distancia entre vectores

Sea un espacio vectorial sobre , y sea una norma definida en ese

espacio vectorial. Se define la distancia entre los vectores y como la operación

tal que

Toda función de distancia satisface las siguientes propiedades: d.1

d.2

si y sólo si d.3

d.4

Definición A.19   Vector Normal Un vector es normal si su norma es Definición A.20   Bola unitaria

Sea un espacio vectorial sobre , y sea una función de distancia definida en ese espacio vectorial. Se define la Bola unitaria como el conjunto de todos los vectores cuya distancia al origen sea . También puede definirse de forma equivalente como el conjunto de todos los vectores cuya norma sea , o lo que es igual, el conjunto de todos los vectores normales.Ejemplo A.23   La figura E.3 muestra las bolas unitarias para tres funciones de

distancia diferentes, originadas las siguientes normas , y definidas en el Ejemplo E.22, para el espacio vectorial . Como se trata de un espacio de dimensión se emplea el término circunferencia unitaria en lugar de bola unitaria

Definición A.21   Ángulo entre vectores

Sea un espacio vectorial sobre , sea un producto interno

definido en ese espacio, y la norma inducida por . Se define el ángulo entre los

vectores y mediante asi:

Definición A.22   Vectores ortogonales

Un conjunto de vectores es ortogonal si

Definición A.23   Vectores ortonormales

Un conjunto de vectores es ortonormal si es ortogonal y todos sus vectores son normales, es decir, si

en donde se conoce como la función delta de KroneckerTeorema A.9   Los elementos de un conjunto ortogonal de vectores son linealmente independientes

Demostración A.9   Supóngase un conjunto ortogonal y construyamos una combinación lineal nula de ellos:

Si seleccionamos un vector cualquiera y efectuamos el producto interno a cada lado de la ecuación tenemps

Como se trata de un sistema ortonormal y por lo tanto

Este conclusión se puede obtener para todos los coeficientes , por lo tanto la unica combinación lineal nula de los vectores es la que tiene coeficientes nulos, es decir, los vectores son linealmente independientes.Definición A.24   Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt

Sea un espacio vectorial sobre , sea un producto interno

definido en ese espacio, y la norma inducida por .Dado un conjunto de vectores

linealmente independientes es posible encontrar un conjunto de vectores

ortognormales siguiendo el proceso de ortonormalización de Gram-Scmidt:

   

   

   

   

   

Definición A.25   Norma de una matriz cuadrada Sea una transformación lineal . Se define la Norma de la matriz empleando una norma vectorial como

Es decir, la norma de una matriz es la norma más grande que se obtiene al aplicar la transformación lineal sobre los elementos de la bola unitaria.Ejemplo A.24   Sea la matriz

Para calcular aplicamos la transformación a la circunferencia unitaria de la

norma , tal como se muestra en la figura E.4.

La mayor distancia al origen que resulta es, según la norma , la correspondiente a

los puntos y , por lo tanto

Ejemplo A.25   Sea la matriz

Para calcular aplicamos la transformación a la circunferencia unitaria de la

norma , tal como se muestra en la figura E.5.

La mayor distancia al origen que resulta es, según la norma , la marcada en la figura E.5 como . Es un ejercicio interesante demostrar que esta distancia

corrresponde a los puntos y por lo tantoA.1

También puede demostrarse que

Ejemplo A.26   Sea la matriz

Para calcular aplicamos la transformación a la circunferencia unitaria de la

norma , tal como se muestra en la figura E.6.

La mayor distancia al origen que resulta es, según la norma , la correspondiente a

cualquiera de los puntos cuya segunda coordenada es o , por ejemplo , por lo tanto

Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18

A.4 Sistemas de Ecuaciones Algebráicas El propósito de esta sección es el de presentar algunas propiedades de las matrices. Para ello, consideramos el sistema de ecuaciones algebráicas:

(A.14)

que puede escribirse en forma matricial como

(A.15)

La ecuación (E.15) puede interpretarse como el sistema de ecuaciones algebraícas (E.14), como una transformación lineal , o en general como una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión a otro espacio vectorial de dimensióm .

Empleamos esta múltiple interpretación para hacer algunas definiciones y obtener ciertas conclusiones acerca de la existencia y unicidad del sistema de la solución del sistema de ecuaciones algebráicas.

Definición A.26   Codominio

El Codominio de un operador lineal es el conjunto definido como

Teorema A.10   El codominio de un operador lineal es un subespacio de

Demostración A.10   Es claro que el codominio es un subconjunto de , es decir

. Supónganse dos vectores , de . Según la definición E.26

existen dos vectores , en tales que

Gracias a la linealidad de cualquier combinación lineal de , puede escribirse como

es decir, para cualquier combinación lineal de , es posible encontrar un

elemento tal que y por lo tanto según el teorema E.1 es un subespacio de Definición A.27   Rango

El Rango de una matriz , denotado por es la dimensión del codominio del operador lineal representado por (ver figura E.7)

Teorema A.11   El rango de una matriz es igual el número de columnas linealmente independientes de

Demostración A.11   Si denotamos la ésima columna de como , es decir

la ecuación E.15 puede escribirse como

es decir, es una combinación lineal de las columnas de cuyos coeficientes son

. El codominio de será entonces el conjunto de todas las posibles

combinaciones lineales de las columnas de , es decir

; por lo tanto la dimensión de , que es , será igual al número de elementos

linealmente independientes en el conjunto . Ejemplo A.27   Considérese la transformación lineal de en representada por

en donde es la matriz

Esa transformación toma un punto en el plano y lo convierte en un punto sobre el eje horizontal (figura E.8):

El codominio de , que denotamos por resulta ser el eje horizontal, es decir, un

subespacio de . La dimensión de , que es el rango de , denotado por es entonces . Nótese que el número de columnas linealmente independientes de también es

Ejemplo A.28   Considérese la transformación lineal de en representada por

en donde es la matriz

Esa transformación toma un punto en el plano y lo convierte en un punto sobre la recta de pendiente (figura E.9):

El codominio de , que denotamos por resulta ser la recta identidad, es decir, un

subespacio de . La dimensión de , que es el rango de , denotado por es entonces . Nótese que el número de columnas linealmente independientes de también es

En el teorema E.14 se demuestra que el rango de una matriz no se altera al premultiplicarla o posmultiplicarla por matrices no singulares. Esto significa que las operaciones elementales sobre matrices no alteran el rango de una matriz y por lo tanto puede comprobarse que el rango también es igual el número de filas linealmente

independientes de la matriz, es decir, para una matriz de dimensiones se tiene que

(A.16)

Además, puede demostrarse que una matriz es no singular si y sólo si todas sus filas y todas sus columnas son linealmente independientes,

Teorema A.12   El sistema de ecuaciones (E.15) donde es una matriz tiene

solución para todo en si y solo si , o lo que es equivalente, si y sólo

si Demostración A.12   La demostración se desprende directamente de las definiciones E.26 y E.27Definición A.28   Espacio Nulo

El Espacio Nulo de un operador lineal es el conjunto definido como

La linealidad del operador permite demostrar que el Espacio Nulo es un Subespacio de . Esto permite hacer la siguiente definición

Definición A.29   Nulidad

La Nulidad de un operador lineal , denotada por es la dimensión del espacio nulo de

El ejemplo E.29 muestra la relación existente entre el rango y la nulidad de un operador lineal , (figura E.10)

(A.17)

Teorema A.13   El sistema de ecuaciones con una matriz tiene una

solución distinta de la trivial si y sólo si o lo que es equivalente, si y sólo si

Demostración A.13   De la definición E.29 se desprende que el número de soluciones

linealmente independientes de es . Para que exista una solución no trivial

se necesita que . Empleando (E.17) esta condición se convierte en ,

que es equivalente a , ya que las columnas de serían linealmente dependientes.Ejemplo A.29   Supóngase el sistema de ecuaciones donde es la matriz

en donde las dos primeras columnas son linealmente independientes, pero las últimas

tres no lo son ( ), ya que pueden escribirse como combinaciones lineales de las dos primeras:

(A.18)

El sistema de ecuaciones puede escribirse como

(A.19)

Empleando (E.18) la ecuación (E.19) se convierte en

(A.20)

(A.21)

Como y son linealmente independientes, (E.21) sólo puede cumplire si los coeficientes son cero, es decir si

(A.22)

El sistema de ecuaciones (E.22) tiene 5 incógnitas y 2 ecuaciones linealmente

independientes, es decir, existe 3 grados de libertad para escoger los valores de .

Dicho de otra forma, . Nótese que ( ), cumpliendo con la ecuación (E.17).

Podemos escoger arbitrariamente los valores de 3 de las incógnitas y deducir el valor

de las otras dos, para construir una base de . Si seleccionamos , y como

los trios , y tendremos los tres vectores base de :

Teorema A.14   Sea una matriz y , dos matrices no singulares

cualesquiera y respectivamente. En esas condiciones se tiene que

Demostración A.14   La demostración se apoya en la desigualdad de Sylvester, que

establece que si existen dos matrices y de dimensiones y entonces

(A.23)

Al aplicar (E.23) a y se tiene que

como y son no singulares, sus rangos son y respectivamente:

Por (E.16) se sabe que , por lo tanto

Las desigualdades sólo pueden cumplirse simultáneamente si se tiene que

Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18

Subsecciones A.5.1 Valores propios diferentes A.5.2 Valores propios repetidos A.5.3 Obtención de vectores propios generalizados

A.5 Valores y Vectores Propios Definición A.30   Valor Propio y Vector PropioA.2

Sea una transformación lineal . Un escalar es un valor propio si existe un vector no nulo tal que . Cualquier vector no nulo que satizfaga

(A.24)

es un vector propio asociado con el valor propio .

La definición E.30 implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la transformación lineal que amplificarlo por el escalar . Esto implica que un vector y

el vector transformado son colineales o paralelos y por lo tanto linealmente dependientes.

La definición E.30 se refiere estrictamente a valores y vectores propios por derecha, para distinguirlos de los valores y vectores propios por izquierda, que deben satisfacer

. En este texto sólo se consideran los primeros, y poir tanto se hace referencia a ellos simplemente como valores y vectores propios.

Teorema A.15   es un valor propio de s y sólo si satisface la ecuación (A.25)

donde es la matriz identidad de igual orden que Demostración A.15   Si es un valor propio de entonces existe un vector tal que

El término puede escribirse como para facilitar la factorización de

De acuerdo con el teorema E.13 esta ecuación tiene solución no trivial (existe un vector propio ) sí y sólo si

Como el determinante de una matriz no se afecta al multilpicar ésta por un escalar no nulo, podemos escribir

El teorema E.15 brinda una posibilidad para calcular los valores propios de :

podemos construir el polinomio característico y encontrar sus

raices. Cada raiz de será un valor propio de . Los vectores propios pueden obtenerse directamente de (E.24)

Debido a que los valores propios resultan ser las raices del polinomio característico, éstos pueden ser reales o complejos, diferentes o repetidos.

Definición A.31   Multiplicidad

La multiplicidad de un valor propio es el número de veces que éste se repite como raiz del polinomio característico.Ejemplo A.30   Obtener los valores y vectores propios de la matriz

Construimos la matriz y hallamos su determinante:

Los valores propios de serán las raices de

Los vectores propios asociados a deben cumplir (E.24):

Se crea entonces un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones:

Para obtener un vector propio asociado a podemos escoger arbitrariamente un

valor para o para . Por ejemplo, si escogemos obtenemos . En

consecuencia, un vector propio asociado a será

   en general

Los vectores propios asociados a también deben cumplir (E.24):

Se crea entonces un segundo sistema de ecuaciones con infinitas soluciones:

Para obtener un vector propio asociado a podemos escoger arbitrariamente un

valor para o para . Por ejemplo, si escogemos obtenemos . En

consecuencia, un vector propio asociado a será

   en general Ejemplo A.31   Obtener los valores y vectores propios de la matriz

Construimos la matriz y hallamos su determinante:

Los valores propios de serán las raices de

Al aplicar (E.24) para y se obtienen dos sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones

Seleccionando arbitrariamente y se obtiene

o en general

A.5.1 Valores propios diferentes Teorema A.16   Sea una transformación lineal con valores propios no repetidos, y

sea un vector propio de asociado al valor propio . En esas condiciones es

directamente proporcional a cualquier columna no nula de adjDemostración A.16   La demostración se basa en que para una matriz se tiene que

adj (A.26)

Al aplicar (E.26) a la matriz se tiene

adj

Como es un vector propio de asociado al valor propio , entonces o lo que es igual

(A.27)

lo que implica que y por tanto

adj (A.28)

Comparando (E.27) y (E.28) se concluye que es directamente proporcional a

cualquier columna no nula de adj

Ejemplo A.32   Para obtener los vectores propios del ejemplo E.30 construimos

   adj    adj    adj

   adj    adj    adj

Teorema A.17   Sean valores característicos diferentes de , y sea

un vector caracterísitico asociado a con . El conjunto

es linealmente independienteDemostración A.17   Efectuamos la demostración por contradicción. Suponemos que

los son linealmente dependientes, y por lo tanto existen algunos de los cuales no son nulos, tales que

Suponemos que , (si es necesario reordenamos los vectores) y multiplicamos a

cada lado de la ecuación por

(A.29)

El producto se puede calcular como

Y por lo tanto (E.29) se convierte en

Por hipótesis, todos los son diferentes, lo que significa que . Con esta contradicción se concluye la demostración

Teorema A.18   Sea una transformación lineal ; sean los valores

propios de y un vector propio asociado a , con . Si todos los

son diferentes, entonces el conjunto es una base de Demostración A.18   Según el teorema E.17 el conjunto es linealmente independiente. Como además tiene elementos, según el teorema E.2 el conjunto es una base

Teorema A.19   Sea una transformación lineal ; sean los valores

propios de y un vector propio asociado a , con . Si todos los son diferentes, entonces la transformación lineal se representa en la base

por una matriz diagonal en la que el elemento ésimo de la

diagonal es

(A.30)

Demostración A.19   El teorema E.7 permite obtener la representación de en la nueva base. Si denotamos esta representación por tendremos

con la Matriz modal que contiene los vectores propios

Para demostrar el teorema construimos y demostramos , o lo que es equivalente, :

Calculamos por separado y :

(A.31)

(A.32)

Como entonces las ecuaciones (E.31) y (E.32) se reducen a o lo que es igual

Ejemplo A.33   La transformación lineal representada por la matriz

cuyos valores propios son (Ejemplo E.30) , con vectores propios :

Tiene una representación en la base por la matriz diagonal

Ejemplo A.34   La transformación lineal representada por la matriz

cuyos valores propios son (Ejemplo E.31) con vectores propios :

Tiene una representación en la base por la matriz diagonal

A.5.2 Valores propios repetidos La diagonalización planteada en el teorema E.19 no siempre es posible si existen valores propios repetidos. Esto se debe a que el teorema E.17 se refiere a valores propios distintos, y sin ese resultado no puede asegurarse que el conjunto

sea una base. Esto se traduce en que la matriz modal puede ser singular, y por tanto (E.30) no puede usarse debido a que no existe. Definición A.32   Degeneracidad

El número de vectores propios de una transformación lineal de orden

linealmente independientes asociados a un valor propio es la degeneracidad del valor

propio , denotada por

Teorema A.20   La degeneracidad de , un valor propio de una transformación lineal

de orden es igual a

(A.33)

Demostración A.20   Los vectores propios de asociados a deben cumplir

Según la definición E.29, el número de vectores propios linealmente independientes serán entonces la nulidad de la matriz que premultiplica al vector,

Podemos emplear (E.17) para escribir

Ejemplo A.35   Obtener los valores y vectores propios de la matriz y diagonalizarla

Construimos la matriz y hallamos su determinante:

Los valores propios de serán las raices de

La degeneracidad de se obtiene con (E.33):

Lo anterior significa que aunque tiene multiplicidad , sólo es posible encontrar un vector linealmente independiente. Este se obtiene empleando (E.24), y resulta ser

   en general

No es posible construir una base para el espacio de dimensión con un sólo vector, por lo tanto no es posible diagonalizar

Ejemplo A.36   Obtener los valores y vectores propios de la matriz y diagonalizarla

Construimos :

Su polinomio característico resulta ser

Las raices del polinomio son . Para determinar la degeneracidad de

calculamos

Lo anterior significa que existen dos vectores propios linealmente independientes

asociados a . Estos dos vectores junto con el vector propio asociado a

pueden formar una base y por tanto es posible diagonalizar . Para obtener los tres vectores propios empleamos (E.24):

Se originan los sistemas de ecuaciones

Que se convierten en

Podemos construir dos vectores linealmente independientes que satisfacen

y un tercero que satisface , por ejemplo

En la base la transformación se representa por :

Definición A.33   Vectores Propios Generalizados Sea una transformación lineal y sea un valor propio de . es un un vector propio generalizado de grado de asociado a si y sólo sí

(A.34)

Nótese que para la ecuación (E.34) se reduce a con , que coincide con la definición E.30 de vector propio

Definición A.34   Cadena de vectores propios generalizados Sea una transformación lineal y sea un vector propio generalizado

de orden asocialdo a . Los vectores forman una cadena de vectores propios generalizados de longitud si y sólo sí

(A.35)

Teorema A.21   Sea el espacio nulo de . es un subespacio de .

Demostración A.21   Sea un vector en , por lo tanto ; al

multiplicar a cada lado por se tiene que y por lo tanto

está en . Esto demuestra que , y por lo tanto es un subespacio de

.

Teorema A.22   Sea el espacio nulo de . Sea el ésimo vector de

una cadena como las definidas en (E.35). El vector está en pero no en

Demostración A.22   La demostración se obtiene calculando y

y utilizando (E.35) y (E.34):

Los teoremas E.21 y E.22 se visualizan en la figura E.11. Cada subespacio nulo está

embebido dentro del subespacio nulo , y el vector está justo en la diferencia

entre y .

Teorema A.23   Los vectores de una cadena de vectores propios generalizados como los de la definición E.34 son linealmente independientes

Demostración A.23   dado que cada vector pertenece a un subespacio diferente, según se muestra en la figura E.11, estos vectores no pueden ser linealmente dependientes.

Ejemplo A.37   Sea la transformación

que tiene un valor propio repetido Para encontrar los espacios nulos y construimos las matrices y :

El espacio nulo es el conjunto de los vectores tales que , mientras que

el espacio nulo es el conjunto de los vectores tales que . Claramente se ve que

Es decir, el espacio nulo es la recta de pendiente , mientras que el espacio nulo

corresponde a , tal como se muestra en la figura E.12.

Un vector propio generalizado de orden debe estar en , pero no en , por ejemplo

Lo que origina una cadena de vectores generalizados

Teorema A.24   Sea una transformación lineal con un único valor propio

repetido, . Sea un vector propio generalizado de orden asociado a . En esas condiciones, se cumple que en donde es la matriz modal formada por los vectores de la cadena de vectores propios generalizados

creada por y es una matriz casi-diagonal que tiene a en la diagonal, encima de la diagonal, y 0 en cualquier otro lugar. Es decir

(A.36)

Demostración A.24   Demostrar (E.36) equivale a demostrar , por lo tanto calculamos por separado y y comparamos los resultados:

De acuerdo con la definición E.34, el vector de la cadena se calcula como

, por lo tanto

lo que significa que las columnas de son iguales a las de . Para demostrar que la primera columna también es igual, empleamos el teorema E.22, según

el cual , es decir

y por lo tanto , lo que concluye la demostración.

Ejemplo A.38   Sea la transformación

que tiene un valor propio repetido y una cadena de vectores propios generalizados (ejemplo E.37):

El resultado de calcular es

A.5.3 Obtención de vectores propios generalizados

El teorema E.24 supone que la matriz tiene un vector propio generalizado de orden asociado al valor propio , a partir del cual se construye una única cadena de vectores. Esto no siempre sucede, por lo tanto, es necesario contar con un procedimiento para encontrar el conjunto de vectores propios asociados a .

Según el teorema E.21, es un subespacio de , si denotamos por la dimensión

de , lo anterior significa que .

Este hecho permite construir el diagrama de Matthew (figura E.13) en el que se

muestran las nulidades mediante casillas de un arreglo ( será igual al

número de casillas para en el arreglo).

Debido a que es el espacio nulo de , es posible calcular empleando (E.17) y de esa manera establecer la forma del diagrama de Matthew

Si definimos el diagrama de Matthew tendra la forma que se muestra en la figura E.14

Ejemplo A.39   Forma del arreglo

Cada casilla del diagrama de Matthew podria contener un vector de la base para un .

Los vectores que sirven de base para tambien pueden formar parte de la base de

, ya que .

Debido al teorema E.22, un vector de una cadena de vectores puede formar parte de

una base para que no pueden formar parte de una base para . Esto permite

diseñar una estrategia para buscar las bases de los y asi llenar el diagrama de Matthew. Para ello empleamos las siguientes convenciones .

1. Identificar el número de columnas del diagrama como

2. Identificar las columnas del diagrama como de izquierda a derecha

3. Identificar el tamaño de cada columna como

4. Identificar cada celda por los subindices , con e

de arriba a abajo

5. Identificar el vector de la celda por

Para llenar el diagrama de Matthew deben buscarse vectores propios generalizados

de orden respectivamente. Cada uno de estos vectores

estará ubicado en la primera celda de las columnas, es decir . Cada columna se completa con la cadena de vectores propios generalizados creada por el primer elemento de la columna. La forma que adopta el diagrama de Matthew se muestra en la figura E.15

Ejemplo A.40   Sea la matrizA.3

Para calcular los valores propios de hacemos

Es decir, tiene un valor propio de multiplicidad y un valor propio 0 de multiplicidad . Nos proponemos encontrar el diagrama de Matthew de los vectores

propios asociados a .

Para ello definimos y calculamos

Dado que no es necesario continuar, pues lo que implica que , el

máximo valor posible para una matriz . Con la información anterior podemos

calcular :

Con esta información podemos construir el diagrama de Matthew

 

De donde se deduce que , y .

El algoritmo para encontrar es el siguiente:

1.2. una matriz vacía 3. una matriz vacía

4. Encontrar , una base para

5. Construir

6. Emplear el algoritmo izquierda-a-derecha para extraer las columnas de linealmente independientes y adicionárselas a . Por cada columna que se

extraiga de se extrae la columna correspondiente de y se adiciona a la matriz

7. Sea la siguiente columna con . Hacer y repetir desde 4 hasta terminar las columnas

8. es la matriz que contiene a

Ejemplo A.41   Para obtener los vectores y del ejemplo E.40 identificamos

, , , y empleamos el algoritmo siguiendo los siguientes pasos

1. Para se tiene que , por lo tanto buscamos una base para , es decir buscamos los vectores tales que :

2. Construimos

3. Al aplicar el algoritmo izquierda-a-derecha sólo se extrae la primera columna de

, por lo tanto las matrices y serán:

4. La siguiente columna de altura menor a es la columna , con , por lo

tanto buscamos una base para , es decir buscamos los vectores tales que :

5. Construimos

6. Al aplicar el algoritmo izquierda-a-derecha sólo se extraen la primera y la cuarta

columnas de , por lo tanto las matrices y serán:

7. La matriz contiene los dos necesarios para construir el diagrama de matthew, por lo tanto el conjunto completo de vectores propios generalizados

de asociados a son los que aparecn en el diagrama de Matthew:

Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18

A.6 Forma Canónica de Jordan

Sea una transformación lineal . Sean los valores

propios diferentes de . Sea uno de esos valor propios, de multiplicidad cuyo

diagrama de matthew, tiene columnas; la ésima columna tendrá altura ;

además los vectores propios generalizados asociados a obtenidos con este diagrama

son .

En esas condiciones, es posible encontrar dos matrices y tales que

(A.37)

(A.38)

(A.39)

(A.40)

es conocida como la Forma canónica de Jordan de . La ecuación E.38 muestra que la matriz es diagonal por bloques, es decir, esta formada por bloques organizados en la diagonal. Por fuera de estos bloques sólo hay ceros en la matriz. es la matriz modal, y está formada por los vectores propios generalizados de . La matriz modal no es única.

Los bloques que forman tienen las siguientes propiedades:

Cada valor propio diferente tendrá asociados uno o varios bloques

El número de bloques asociados a será igual al número de columnas de su

diagrama de matthew,

Los bloques son cuadrados, y el tamaño del bloque (el número de filas o de columnas) es igual a la altura de la columna correspondiente en el diagrama de

Matthew, .

Cada bloque tiene en la diagonal al valor propio , tiene por encima de la diagonal, y cero en las restantes casillas.

Cada valor propios que no se repita tendrá asociado un único bloque de tamaño 1

En el caso sencillo en que ningún valor propio se repita será una matriz

diagonal que tendrá en la diagonal a los valores propios .

Ejemplo A.42   Para obtener la forma canónica de Jordan de la matriz del ejemplo E.40, se necesita construir la matriz modal con todos los vectores propios

generalizados. En el ejemplo E.41 se calcularon los vectores asociados a . En

vector propio asociado a será:

Por lo tanto la matriz modal será

La forma canónica de Jordan será

Nótese que el valor propio tiene dos bloques de Jordan asociados de tamaño y respectivamente, tal como se podría infereir de su diagrama de matthew: el diagrama

tiene dos columnas, la primera de altura 3 y la segunda de altura 2.

El valor propio no se repite, y por tanto tiene un único bloque de jordan asociado de tamaño 1.

Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18 Subsecciones

A.7.1 Bloques de Jordan de tamaño 1 o A.7.1.1 Otra alternativa o A.7.1.2 Una interpretación

A.7.2 Bloques de Jordan de tamaño mayor que 1

A.7 Forma Canónica Real de Jordan Dado que los valores propios de una matriz pueden ser complejos, en general las matrices y que aparecen en las ecuaciones (E.38), (E.39) y (E.40) serán complejas.

No obstante, cuando existen valores propios complejo es posible efectuar otro cambio de coordenadas diferente que produce también una matriz diagonal por bloques, pero real, conocida como la Forma canónica Real de Jordan.

A.7.1 Bloques de Jordan de tamaño 1

Supóngase que la matriz tiene dos valores propios complejos conjugados

y , y que cada uno de estos valores tiene un bloque de

Jordan de tamaño 1 asociado a los vectores propios generalizados y , que también son complejos conjugados. Es decir, la forma canónica de Jordan de es de la forma

La forma Canónica Real de Jordan remplaza los dos bloques de tamaño 1 por uno de tamaño 2 de la forma

Es decir, la forma Canónica Real de Jordan de será

La matriz modal real se obtiene remplazando en los vectores complejos

conjugados y por dos vectores reales con la parte real y la parte imaginaria de , es decir

Ejemplo A.43   Sea la matriz

Los valores propios de son

La Forma Canónica de Jordan de y la m,atriz modal que la producen son:

Para obtener la Forma Canónica Real de Jordan de construimos la matriz real , y verificamos.

A.7.1.1 Otra alternativa

dado un bloque

existe una matriz tal que es real, con la forma canónica real de Jordan:

A.7.1.2 Una interpretación

Un bloque real de jordan asociado a un valor propio puede reescribirse de la siguente forma:

En donde es la matriz identidad, y es una matriz que cumple un papel similar a

, ya que

De esta manera, un bloque de real de jordan puede interpretarse como un número complejo matricial

A.7.2 Bloques de Jordan de tamaño mayor que 1

dado un bloque

Su forma canónica real de jordan es

En la diagonal está la nueva presentación de los e-valores, como bloques reales de jordan y sobre la diagonal está la matriz identidad. Para obtener está matriz puede procederse de forma similar a como se hace con los bloques de tamaño 1, es decir, remplazar los vectores propios complejos conjugados por vectores con las partes real e imaginaria de estos

Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18

Subsecciones A.8.1 Polinomios de matrices A.8.2 Funciones como series de potencias A.8.3 Definición de funciones mediante polinomios

A.8 Funciones de Matrices Cuadradas

Sea una función que opera sobre un escalar, y sea una matriz cuadrada .

En esta sección se aborda el problema de cómo calcular , es decir, como extender

de los escalares a las matrices.

A.8.1 Polinomios de matrices

Si es un polinomio, la extensión a las matrices se fundamenta en la definición

(A.41)

Si la matriz tiene una representación canónica de Jordan obtenida con la matriz modal , es decir, si entonces

(A.42)

Como es un a matriz diagonal por bloques, el cálculo de puede efectuarse como sigue:

Empleando la definición (E.41), un polinomio genérico

puede calcularse en como

o en función de las matrices y :

(A.43)

Ejemplo A.44   Calcular cuando es una matriz diagonal:

Ejemplo A.45   Calcular cuando es una matriz con la forma de los bloques reales de Jordan para el caso en que los valores propios son imaginarios puros

calculamos los primeros términos , , , , y :

Observando la secuencia se puede inferir que

Ejemplo A.46   Calcular cuando es una matriz con la forma de los bloques de

Jordan; para ilustrar este caso supongamos una matriz de tamaño

Calculamos los primeros términos , ,

Puede verse que es una matriz triangular superior, en la que loes elementos de la fila

son los mismos elementos de la fila pero están desplazados una casilla a la derecha.

Los términos de la diagonal son . Denotemos por un elemento que esté

desplazado casillas de la diagonal en cualquier fila; será

Este resultado se puede generalizar para una matriz con la forma de los bloques de Jordan:

(A.44)

En caso de que un exponente sea negativo, el término correspondiente en E.44 será 0

A.8.2 Funciones como series de potencias

Es posible extender una función de los escalares a las matrices empleando la

representación de en series de Taylor expandidas alrededor de 0 (series de MacLaurin):

(A.45)

Empleando (E.45) se puede expresar como un polinomio de . Si es una matriz

cuadrada, puede calcularse empleando ese polinomio.

Las siguientes son las expansiones de algunas funciones comunes:

(A.46)

(A.47)

(A.48)

Ejemplo A.47   Sea una matriz diagonal como la del ejemplo E.44. Para calcular podemos emplear (E.46)

que de acuerdo con los resultados del ejemplo E.44 se calculará asi:

Cada uno de los términos de la diagonal corresponde a la expansión de en series de Taylor de una exponencial como las de (E.46), por lo tanto será:

Ejemplo A.48   Sea una matriz con la forma de los bloques reales de Jordan para el caso en que los valores propios son imaginarios puros, como la del ejemplo E.45. Para calcular podemos emplear (E.46)

que de acuerdo con los resultados del ejemplo E.45 se calculará asi:

Cada uno de los términos de la matriz corresponde a la expansión de Taylor de una sinusoide como las de (E.47) y (E.48), por lo tanto puede calcularse como

Ejemplo A.49   Sea una matriz con la forma de los bloques de jordan como la del ejemplo E.46. Para calcular podemos emplear (E.46)

que de acuerdo con los resultados del ejemplo E.46 se calculará asi:

Efectuando el cambio de variable se tiene

Cada una de las sumatorias corresponde a la expansión de taylor de una exponencial como la de (E.46), por lo tanto

(A.49)

Ejemplo A.50   Sea una matriz con la forma de los bloques reales de Jordan

Patra calcular escribimos como la suma de dos matrices:

De tal manera que . Empleando los resultados de los ejemplos E.47 y E.48 se tiene que

y por lo tanto

A.8.3 Definición de funciones mediante polinomios Definición A.35   Polinomio mínimo de una matriz

Sea una matriz cuadrada. El polinomio mínimo de es el polinomio mónico de

menor orden tal que Teorema A.25   El polinomio mínimo de una matriz cuadrada es el mismo polinomio mínimo de su representación canónica de Jordan

Demostración A.25   En virtud de (E.43), es claro que si y sólo si Definición A.36   Índice de una matriz Sea una matriz cuadrada, cuya forma canónica de jordan es , de la forma de (E.38).

Cada valor propio es de multiplicidad y tiene asociados bloques de jordan de la

forma de (E.39). Cada bloque es de tamaño . Se define el índice del valor propio

, denotado por como el tamaño más grande de los bloques de jordan asociados al

valor propio . Claramente

Teorema A.26   Sean , los valores propios de una matriz con índices

respectivamente. El polinomio mínimo de es

(A.50)

Demostración A.26   De acuerdo con el teorema E.25, basta con demostrar que (E.50) es el polinomio mínimo de , la forma canónica de Jordan de .

Consideremos primero la matriz con los bloques de jordan asociados al valor propio

:

El polinomio mínimo de es como puede comprobarse al

calcular :

De acuerdo con la definición E.36 es el tamaño del bloque de Jordan asociado a

más grande, es claro que para todos los bloques de Jordan asociados a

. Como es diagonal por bloques, y sus bloques son se desprende que

es decir, que el polinomio mínimo de es .

Siguiendo un argumento similar, como es diagonal por bloques, y sus bloques son , se tiene que el polinomio mínimo de es

Ejemplo A.51   Las matrices,

que están en la forma canónica de Jordan, tienen todas el mismo polinomio

característico . Sin embargo, el polinomio mínimo de cada una de ellas es diferente, debido a que el índice de es diferente:

para es

para es

para es

Teorema A.27 (Teorema de Caley-Hamilton)   Si es el polinomio característico

de una matriz cuadrada , entonces Demostración A.27   El polinomio mímino de es

Mientras que el polinomio característico es

Como , y como , queda demostardo que

Definición A.37   Valores de una función en el espectro de una matriz

Sean , los valores propios de una matriz con índices

respectivamente. Sea el polinomio mínimo de y sea un polinomios cualesquiera.

El conjunto de valores de en el espectrio de son los valores: para

; en donde y En total

son valores

Teorema A.28   Sean , los valores propios de una matriz con índices

respectivamente. Sea el polinomio mínimo de y sean y dos polinomios cualesquiera. En esas condiciones cualquiera de las siguientes afirmaciones es equivalente

1.

2. una de dos condiciones se cumple: o bien o para

algunos polinomios o

3. Los valores de y de en el espaectro de son iguales

para ;

Demostración A.28   Dado que es evidente la equivalencia de las afirmaciones 1 y 2. Para demostrar la equivalencia entre 2 y 3 basta recordar que

y calcular las derivadas y Definición A.38   Funciones de matrices cuadradas

Sea una función, no necesariemente un polinomio, definida en el espectro de .

Si es un polinomio que tiene los mismos valores en el espectro de entonces se

define

La definición E.38 brinda una posibilidad para extender a las matrices cuadradas una

función definida para escalares. Es decir, permite calcular buscando un

polinomio adecuado y calculando . El procedimiento completo puede resumirse asi:

Sea una función, y sea una matriz . Para calcular deben seguirse los siguientes pasos

1. Obtener el polinomio característico de

2. Definir el polinomio

en donde son desconocidas. Cualquier otro polinomio de orden

es igualmente válido.

3. Plantear ecuaciones igualando los valores de y en el espectro de

para ;

4. Obtener a partir de las ecuaciones del punto anterior

5. Calcular

Ejemplo A.52   Calcular con

El problema puede plantearse también de la siguiente forma: dada calcular

. Empleamos el procedimiento propuesto:

1. El polinomio característico de es

2. Definimos el polinomio

3. Obtenemos ecuaciones

4. obtenemos y :

5. Calculamos

Ejemplo A.53   calcular cuando es una matriz con la forma de los bloques de

Jordan. Para ilustrar suponemos una matriz de orden

Empleamos el procedimiento propuesto:

1. El polinomio característico es

2. definimos un polinomio de orden

3. obtenemos ecuaciones

4. Obtenemos los valores de :

5. Calculamos

Siguiendo un procedimiento similar puede obtenerse cuando es una matrix

con la forma de los bloques de jordan

(A.51)

Ejemplo A.54   Calcular cuando es una matriz con la forma de los bloques de

Jordan y .

Empleando (E.51) se obtiene directamente

(A.52)

Nótese que las derivadas en (E.51) son respecto a . Vale la pena comparar los resultados (E.49) y (E.52)

Ejemplo A.55   Calcular cuando es una matriz con la forma de los bloques de

Jordan y .

Empleando (E.51) se obtiene directamente :

(A.53)

Oscar Germán Duarte Velasco 2002-12-18

Análisis de Sistemas LinealesCONTENIDO DEL CURSO

1. Introducción al Modelamiento de Sistemas 1.1. Conceptos preliminares 1.2. Sistemas Físicos 1.3. Grafos de Enlace de Potencia, "Bond Graphs"

2. Preliminares Matemáticos 2.1. Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia 2.2. Transformada de Laplace y Transformada Z 2.3. Solución de E.D. mediante transformadas

3. Introducción al Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales 3.1. Sistemas dinámicos y E.D. 3.2. Funciones de Transferencia 3.3. Diagramas de Bloques 3.4. Diagramas de Flujo de Señal 3.5. Respuesta al Impulso 3.6. Simulación de Sistemas

4. Sistemas de Primer y Segundo Orden 4.1. Sistemas Contínuos de Primer Orden 4.2. Sistemas Discretos de Primer Orden 4.3. Sistemas Contínuos de Segundo Orden 4.4. Sistemas Discretos de Segundo Orden 4.5. Efecto de los ceros. Sistemas de Fase Mínima 4.6. Polos dominantes

5. Sistemas Realimentados Simples 5.1. Tipo de Sistema y Error de Estado Estacionario 5.2. Estabilidad y Criterios de Estabilidad en Sistemas Contínuos 5.3. Estabilidad y Criterios de Estabilidad en Sistemas Discretos

6. Representación en Variable de Estado 6.1. Introducción 6.2. Algunos Resultados de Álgebra Lineal 6.3. Variables de Estado 6.4. Sistemas Contínuos libres 6.5. Sistemas Discretos libres 6.6. Sistemas Contínuos excitados 6.7. Sistemas Discretos excitados 6.8. Introducción al Control por Variable de Estado

7. Introducción a los Sistemas No Lineales 7.1. Pérdida de Superposición y Proporcionalidad 7.2. Múltiples Puntos de Equilibrio 7.3. Estabilidad Local 7.4. Órbitas Periódicas no sinusoidales 7.5. Ciclos Límite 7.6. Bifurcaciones 7.7. Comportamientos Caóticos

Apéndices A. Anotaciones al concepto de modelo B. Transformadas Z y L - Demostraciones B.1.Propiedades de la Transformada

de Laplace B.2. Propiedades de la Transformada Z B.3. Parejas de Transformadas de Laplace B.4. Parejas de Transformadas Z

C. Diagramas de Bode para Sistemas Contínuos C.1. Definición C.2. Construcción de los diagramas de Bode

D. Carta de Nichols D.1. M-circunferencias D.2. N-circunferencias D.3. Carta de Nichols

E. Apuntes de Álgebra Lineal E.1. Espacios Vectoriales E.2. Transformaciones Lineales E.3. Normas de Vectores y Matrices E.4. Sistemas de Ecuaciones algebráicas E.5. Valores y Vectores propios E.6. Forma Canónica de Jordan E.7. Forma Canónica Real de Jordan E.8. Funciones de Matrices Cuadradas