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Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”Departamento de Matemática - Curso de Nivelación

A N E X O T E Ó R I C O

Contenido Conjuntos numéricos ...................................................................................................................... 2

Módulo o Valor absoluto................................................................................................................. 5

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN .............................................................................................. 6

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN .................................................................................................. 7

Logaritmación .................................................................................................................................. 8

Expresiones algebraicas .................................................................................................................. 8

Polinomios ................................................................................................................................... 8

Operaciones con polinomios ....................................................................................................... 9

Raíces y Factorización de polinomios ........................................................................................ 10

Expresiones algebraicas racionales ............................................................................................... 11

Intervalos reales ............................................................................................................................ 12

Funciones ...................................................................................................................................... 12

FUNCIONES POLINÓMICAS .......................................................................................................... 14

FUNCIÓN CONSTANTE ................................................................................................................... 14

FUNCIÓN LINEAL ........................................................................................................................... 14

FUNCIÓN CUADRÁTICA ................................................................................................................. 15

Ángulos .......................................................................................................................................... 15

Polígonos ....................................................................................................................................... 15

Triángulos ...................................................................................................................................... 16

Triángulo rectángulo ..................................................................................................................... 17

Trigonometría en el triángulo rectángulo .................................................................................... 17

Cuadriláteros ................................................................................................................................. 18

Circunferencia y círculo ................................................................................................................. 18

Perímetro y Área de Figuras Planas .............................................................................................. 18

Cuerpos ......................................................................................................................................... 19

Área y Volumen de cuerpos geométricos ..................................................................................... 20


Conjuntos numéricos

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que se usan para contar y numerar. El conjunto se simboliza con N y aunque el cero puede o no ser considerado como número natural, a veces para evitar dudas se simboliza N0 al conjunto que lo incluye

N= {0; 1; 2; 3; 4; 5; ….} Algunas propiedades importantes son:

• N tiene un primer elemento (el cero) no tiene un último elemento, es por lo tanto, un conjunto infinito

• N es un conjunto discreto porque entre dos números naturales siempre hay un número finito de números naturales.

• Todo número natural a, tiene su sucesor a +1. OPERACIONES

• Las operaciones siempre posibles en el conjunto de los números naturales son: Suma, Producto y Potenciación

• Un número natural se puede expresar como producto de otros números naturales, que se llaman factores o divisores del primero.

• Las operaciones posibles en algunos casos son: -Resta (si el minuendo es mayor que el sustraendo en N, y si el minuendo es mayor o igual que

el sustraendo en N0). -Cociente (Si el dividendo es múltiplo del divisor y éste es distinto de cero). -Radicación (Podemos extraer raíces cuadradas de cuadrados perfectos, raíces cúbicas de

cubos perfectos, etc.).

NÚMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto de los números naturales. La necesidad de realizar la operación 3- 8, por ejemplo, justificó la creación de los números negativos. Al conjunto formado por los números naturales, sus correspondientes negativos y el cero se lo llama conjunto de los números enteros. La notación que se usa para identificar al conjunto de los números enteros es:

Z = {….,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,….} Propiedades importantes:

• Z no tiene primero ni último elemento • Cada número tiene un antecesor y un sucesor. • Z es un conjunto discreto. • Todo número entero a tiene su opuesto -a , tal que a + (-a) = 0

OPERACIONES

• Al realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación de números enteros,


siempre se obtiene como resultado un número entero. • Para el producto y el cociente se debe tener en cuenta la regla de los signos. • La potenciación es posible si la base es entera pero el exponente es natural

Números Pares e Impares

Un numero par es aquel entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2).

Los números enteros que no son pares, se llaman números impares y se pueden escribir como 2k+1

Los números pares son: {…-4, -2, 0 , 2, 4, 6, … } y los impares: {…-5, -3, -1 , 1 , 3, 5, … }

Divisibilidad en Z

verifica a . n = b. En símbolos: Znba /b=a.n (se lee “a es divisor de b”)

Decir que a es divisor de b es equivalente a decir que b es divisible por a o bien que b es un múltiplo de a. Ejemplo: 32 es divisible por 4 puesto que 32= 4.8 – Entonces 4|32 Un numero entero b, distinto de 0, 1 y –1, se llama PRIMO si y solo si admite solo cuatro divisores: 1, –1, el mismo número y su opuesto. Por ejemplo: 3 es un número primo pues sus divisores son -3; - 1; 1; 3 A los números distintos de 0, 1 y -1 que admiten más de cuatro divisores se los llama números COMPUESTOS Observación: 1 y –1 no son números primos ni compuestos. Dos números enteros son COPRIMOS ó PRIMOS ENTRE SI, cuando solo tienen como divisor común a 1 y - 1. Tengamos en cuenta que si bien dos números primos son siempre coprimos, no es necesario que los números dados sean primos para que resulten coprimos.

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como cociente de dos números enteros (con divisor distinto de cero)

Simbólicamente: ba

, donde a y b son enteros y 0

a recibe el nombre de numerador y b se llama denominador.


Propiedades importantes de este conjunto numérico:

no es discreto sino que es un conjunto denso. Como consecuencia de esto, no puede hablarse de números racionales consecutivos.

Q no tiene primero ni último elemento.

Expresión decimal de un racional Para expresar una fracción como número decimal es suficiente efectuar el cociente entre el numerador y el denominador. Tal como se muestra en el cuadro anterior, la expresión decimal obtenida puede tener un número finito de cifras decimales, o bien, un número infinito de cifras decimales que se repiten infinitamente. OPERACIONES

- SUMA ba

+dc

= db

cbda.

..

- RESTA: para restar dos fracciones, simplemente sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo:

ba

-dc

=ba

+dc

= db

cbda.

..

- PRODUCTO ba

.dc

=dbca

..

- COCIENTE: el cociente se resuelve multiplicando el dividendo por el recíproco o inverso del divisor:

ba

:dc

=ba

.cd

=cbda..

Recordar: Dos números racionales son recíprocos o inversos multiplicativos si su producto es igual a 1. Hay un número racional que no tiene recíproco... ¿Cuál es?

Periódicos

positivos +1; +2; +3; … negativos -1; -2; -3; …

Decimales exactos 2,5 = 0,6 = 4,323 =

Puros 2,333 … = 2, 3 = 0, 12 =

Periódicos Mixtos 2,132 = 0,214 =

= {0} Enteros

Racionales Fraccionarios


- POTENCIACION: la potenciación puede hacerse en el conjunto de los números racionales para

base racional y exponente entero

n

nn

ba

ba

n

nnn

ab

ab

ba

-RADICACION: ba

dc

dc

ba n

n

NÚMEROS IRRACIONALES Hay números que se caracterizan porque tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Estos números se llaman irracionales, ya que no se pueden expresar nunca como cociente o razón de dos números enteros. Ej de números irracionales: - Números que, aunque tienen infinitas cifras decimales, éstas no forman período: 0,12345678910111213141516... - Como solución de ecuaciones, por ejemplo, la ecuación x2 = 2 tiene solución irracional y se puede generalizar diciendo todas las raíces enésimas no exactas son irracionales. Estos números se denominan irracionales algebraicos. Además existen otros como el número y e (base de los logaritmos naturales) que no son irracionales algebraicos sino irracionales trascendentes. El conjunto de los números irracionales se designa con la letra I. NÚMEROS REALES Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se lo llama conjunto de los números reales y se lo designa con R Por lo tanto R = Q I El conjunto R es denso (o sea que entre dos reales siempre existe otro real), pero se diferencia de los

huecos han sido ocupados por los irracionales, con lo que podemos afirmar que los reales cubren toda la recta numérica.

Módulo o Valor absoluto El valor absoluto de un número real “x” se denota por | | y se define como:

| | = | | 0 Esto quiere decir que los números x y –x están a la misma distancia del origen


Entonces | | representa la distancia de cualquiera de los números x y –x al origen (o cero).

Otra forma de expresar el valor absoluto de un número real x es: |x| = 2x

Ejemplo:

Si x 2 = 36, 2x = 36 , resulta |x| = 6 y por lo tanto: x = 6 o x = -6 Propiedades del Valor Absoluto

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

* Producto de Potencias de igual base: a m · a n = a m + n

* Cociente de Potencias de igual base: a m : a n = a m – n

* Potencia de otra Potencia: ( a m ) n =a m · n

* Potencia de exponente cero: a 0 = 1 (

| | < < >

Gráficamente

| |

Gráficamente


* Potencia de exponente negativo: nn

aa 1

( a

* Distributividad respecto del producto y cociente: ( a · b ) n = a n · b n ( a : b ) n = a n : b n

OJO!!La Potenciación NO ES DISTRIBUTIVA respecto de la suma y la resta

( a + b ) n a n + b n ( a – b ) n a n – b n

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN * Raíz de una potencia o potencia de una raíz: n mmn aa

* Raíz de otra raíz: mnn m aa .

* Producto del índice y exponente por un mismo número: rn rmn m aa . .

* Distributividad respecto de la multiplicación y división: baba .. ba

ba

OJO!!!: La Radicación NO ES DISTRIBUTIVA respecto de la suma y la resta

baba baba

EXPONENTES FRACCIONARIOS:

Los radicales se pueden expresar como potencias de índice fraccionario, de modo que el índice de la raíz sea el denominador del exponente, y el exponente del radicando (que puede tenerlo o no), sea el numerador del exponente.

E j e m p l o :

SIMPLIFICACIÓN DE ÍNDICES:

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

OJO!!! Si n es impar: aan n Si n es par: aan n


Logaritmación

E l l o g a r i t mo s e d e f in e c o m o l a o p e r a c i ó n in v e r s a d e l a p o t e n c i a c i ó n .

E n t o n c e s : log = = c o n > 0 1; > 0

P o r e j e m p lo : log = 2, y a q u e (3) = 9

C u a n d o l a b a s e d e l l o g a r i t m o “ n o a p a r e c e ” , e n t o n c e s e s 1 0 .

E s d e c i r : log 1000 = 3, y a q u e 10 = 1000

P R O P I E D A D E S D E L O G AR I T M A C I Ó N

* log = 1

* log 1 = 0

* log + log = log ( )

* log log = log

* log ( ) = log

Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de variables (letras) y constantes (números) relacionados entre sí por las operaciones definidas en el conjunto numérico en el cual se está trabajando. Algunos ejemplos:

; 3 ; ( 1) + . 1

Polinomios Un polinomio es expresión algebraica que posee una sola variable. Dicha variable tiene exponentes naturales. (Poli = muchos; Nomio = término)

Ej: P(x) = 2x3 + 5x – 3 Es polinomio

( ) = 2 + + 1 Es polinomio

( ) = 5 Es polinomio (de grado cero)

( ) = No es polinomio (no tiene exponentes naturales)

( ) = 0 Es polinomio. Se lo llama “Polinomio Nulo”

( ) = + 3 No es polinomio (no tiene exponentes naturales)

Los coeficientes del polinomio son los números que multiplican a la variable. Se llama coeficiente principal al número que multiplica a la variable de mayor exponente. El término sin variable (elevada a la cero) se llama término independiente.


Grado de un polinomio: Es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable.

Especialización: Especializar el polinomio en un valor numérico, significa que la variable toma ese valor. ( ) = 3 5 + 1 ( 2) = 3( 2) 5 ( 2) + 1 ( 2) = 23 Polinomios Iguales: Dos polinomios son iguales si los coeficientes de términos del mismo grado son iguales. Polinomios opuestos: Dos polinomios son opuestos si los coeficientes de términos del mismo grado son valores opuestos.

Operaciones con polinomios

SUMA: Consiste en sumar coeficientes de términos del mismo grado. No es necesario que estén ordenados ni completos.

Ejemplo: + 2 + (2 + 7 3 + 2)

+ 2 + 2 + 7 3 + 2

2 + 9 +

RESTA: Consiste en sumar el opuesto de un polinomio. Ejemplo: (4 + 3 ) (2 + 2 1)

4 + 3 2 + 2 + 1

3 + 2 3 + + 1

MULTIPLICACIÓN: Se multiplican todos los términos del primer polinomio con cada término del segundo. (Recordar: Propiedad distributiva) Ejemplo: (3 2). (2 + 4 5)

3 . 2 + 3 . 4 + 3 . ( 5) 2.2 2.4 2. ( 5)

6 + 12 15 4 8 + 10

6 + 8 23 + 10

DIVISIÓN: Es posible realizar la división siempre que el grado del divisor sea menor o igual que el grado del dividendo. Ejemplo:

C.A. = 4 = 1

(x), el resto resulta cero, es equivalente a decir que:


REGLA DE RUFFINI Es un método que permite realizar divisiones, cuando el polinomio divisor es de la forma (x-a), siendo a un número real. Ejemplo: (5 2 + 7): ( + 1) 5 -2 1 -7 Se colocan los coeficientes en orden del dividendo

-1 -5 7 -8 5 -7 8 -15 Resto

Cociente 5 7 + 8 (Resulta de un grado menor al dividendo)

TEOREMA DEL RESTO

Puede aplicarse sólo en el mismo caso que la regla de Ruffini, es decir, cuando el polinomio divisor sea de la forma (x-a), siendo a un número real.

Permite obtener el resto la división, evaluando el polinomio en a.

Ejemplo: + 1 3 + 2 : ( 2)

Aplicando el teorema del resto vemos que el resto de la división es 2.

(2) = 14 (2) + 1(2) 3(2) + 2 = 14 . 8 + 1.4 3.2 + 2 = 2 + 4 6 + 2 = 2

Raíces y Factorización de polinomios RAÍCES DE UN POLINÓMIO Las raíces de un polinomio son todos los valores r que verifican que P(r)=0. Es decir, al evaluarse el polinomio en ese valor, el resultado es cero. Ejemplo: 5 es raíz de ( ) = 2 10, ya que P(5)=0

Todo polinomio de grado n, tiene a lo sumo n raíces reales. Si un valor real es n veces raíz se dice que es raíz n-ésima.

CALCULO DE RAÍCES Para hallar las raíces de un polinomio se debe igualar a cero y utilizar el método conveniente según su grado.

Polinomios de grado uno. ( ) = 3 + 5 Para hallar la raíz se iguala a cero, entonces: 3x-5=0 Luego, se resuelve la igualdad, queda así: =

Polinomios de grado dos ( ) = + +


Para hallar las raíces se iguala a cero, entonces: + + = 0

Para resolver esa igualdad, se utiliza la fórmula resolvente: , = ±

Polinomios de grado mayor a 2. ( ) = 5 26 + 26 5 Si el polinomio posee término independiente, se utiliza el método de Gauss. FACTOR COMÚN Cuando el polinomio posee números o variables en común a todos sus términos puede extraerse un factor común. Ejemplo: 24 + 16 4 4 (6 + 4 2 ) FORMA FACTORIZADA DE UN POLINOMIO A PARTIR DE SUS RAÍCES Todo polinomio puede escribirse de la forma => P(x)=a(x-r1).(x-r2)……(x-rn), siendo a el coeficiente principal y r1, r2, r3, …, rn sus raíces. Ejemplo: P(x)= 3(x-1)(x+2)(x-1/2)2

Expresiones algebraicas racionales

Conjunto de posibilidad o dominio Toda expresión algebraica racional tiene sentido o es posible siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo:

resulta posible si + 5 0, por lo tanto 5, entonces tiene como dominio: { 5}

Operaciones MULTIPLICACIÓN

Se factorizan numeradores y denominadores para luego simplificar. En el caso de la división, se pasan a multiplicación para continuar con el procedimiento. Ejemplo: 15 251 : + 10 + 25+ + 1

15 251 + + 1+ 10 + 25

15 ( 5)( + 5)( 1)( + + 1) + + 1( + 5)

15 ( 5)( + 5)( 1)( + + 1) + + 1( + 5)


1+ 5

SUMA Y RESTA.

Se factorizan los denominadores, se busca el común denominador (m.c.m) y se realiza el procedimiento de suma en racionales.

Ejemplo: + = ( ) + = ( ) .( )( ) = ( ) = ( ) Intervalos reales

La representación de los números reales en la recta numérica permite visualizar que este conjunto es totalmente ordenado. Entonces, dados dos números reales distintos a y b, siempre se puede establecer entre ellos una relación de menor o mayor. Se verifica alguna de las siguientes desigualdades: a < b ó b ó a > b ó b Por ejemplo: “los números reales mayores que 1 y menores que 5” La expresión anterior puede escribirse con la siguiente desigualdad: 1 < x < 5 pero también puede indicarse a través del intervalo abierto (1, 5) El intervalo es abierto porque no contiene los extremos, lo que se indica con el uso de paréntesis.

[a, b] = {x/ x IR a < x < b} intervalo cerrado

(a, b) = {x/ x IR a < x < b} intervalo abierto

[a, b) = {x/ x IR a < x < b} intervalo semiabierto a derecha

(a, b] = {x/ x IR a < x < b} intervalo semiabierto a izquierda

[a, + ) = {x/ x IR , a < x} intervalo acotado inferiormente (a pertenece al conjunto)

(a, + ) = {x/ x IR , a < x} intervalo acotado inferiormente (a no pertenece al conjunto)

(- , a] = {x/ x IR, x < a} intervalo acotado superiormente (a pertenece al conjunto)

(- , a ) = {x/ x IR, x < a} intervalo acotado superiormente (a no pertenece al conjunto) Funciones

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una ley que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota y=f (x). En símbolos, se expresa f : A B , siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjunto B el Codominio


Observaciones Sea f una función real definida mediante la fórmula o ecuación y = f (x) .

La variable x es la variable independiente, y la variable y es la variable dependiente. Así, una función real, es una función de variable y valor real. El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Ejemplos:

i) f(x)=3x , como existe el triplo de todo real x, entonces Dom.f(x)= R

ii) h(x)=3

1x

Como la inversa de un numero existe siempre que este sea distinto de cero, resulta h

definida para todo x tal que verifica que x - Entonces Dom.h(x)=(-

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

FUNCION INYECTIVA-SOBREYECTIVA-BIYECTIVA

- Una función f es inyectiva, si y sólo si, para todo a, b en el dominio de f, si f(a)=f(b) entonces a=b.

- Una función f es sobreyectiva si para todo elemento b B existe al menos un elemento a A para el cual f(a) = b. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si Im(f) = B.

- Una función f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir para todo elemento b B

existe exactamente un elemento a A para el cual f(a) = b.in

FUNCION CRECIENTE -DECRECIENTE - Una función f es creciente en un intervalo I cuando, para todo a,b I a < b f (a) < f (b), es decir, cuando su gráfica sube de izquierda a derecha. - Una función f es decreciente en un intervalo I cuando, para todo a,b I a < b f (a) > f (b), es decir, cuando su gráfica baja de izquierda a derecha.

MAXIMO-MINIMO

La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:


Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).

FUNCIONES POLINÓMICAS Una función polinómica f es una función de la forma: f(x)= an . x n+….+ a1 . x 1+ a0 donde n es un entero no negativo, y los coeficientes an, …., a1, a0 son números reales. Alguna propiedades de las funciones polinómicas

1. El dominio de todas las funciones polinómicas son todos los números reales 2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c), llamado ordenada al Origen 3. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos (x, 0) llamados ceros ó raíces 4. Las funciones polinómicas son funciones continuas.

Entre las funciones polinómicas se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las funciones lineales, las funciones cuadráticas, cuyas principales características se describirán a continuación.

FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X.

FUNCIÓN LINEAL Son funciones polinómicas de la forma: f (x)= mx + b La representación gráfica de una función lineal es una recta donde m representa la pendiente (grado de inclinación) y b representa la ordenada al origen (cruce de la recta en el eje y ). Cuando m>0, la función lineal es creciente, y cuando m <0, la función lineal es decreciente. Observación. Ecuación general de la recta La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A 0 o B 0 .

Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje.

Cuando B 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a

m = BA


FUNCIÓN CUADRÁTICA

Son funciones polinómicas de la forma: f (x) = ax 2 + bx + c , donde a , b y c son parámetros y a es diferente de cero. Propiedades de una función cuadrática

o El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

o La parábola resultara cóncava hacia arriba si a > 0 y cóncava hacia abajo si a < 0.

o La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c)

o La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje X cuando b 2 4ac 0 , y en tal caso, las

abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0.

o Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto a

bfa

b2

;2

o La recta vertical a

bx2

es eje de simetría de su gráfico.

Ángulos

Ángulos consecutivos: Dos ángulos consecutivos si tienen el vértice y uno de sus lados en común.

Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios cuando su suma es igual a 90°.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios cuando su suma es igual a 180°.

Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes cuando son suplementarios y consecutivos.

Polígonos Un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.


CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS: Simple: Cada par de lados se interseca sólo en 1 punto (vértice). Complejo: Algún par de lados se interseca en más de un punto. (Tiene lados que se cruzan)

Cuando el polígono es simple, puede ser:

Convexo: Todos sus ángulos son convexos. Cóncavo: Contiene por lo menos un ángulo cóncavo.

Un polígono convexo pueden ser: Regular: Todos sus lados son iguales. Irregular: No es regular.

Triángulos Son aquellos polígonos convexos que tienen 3 lados y 3 ángulos.La suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.


ELEMENTOS DEL TRÍANGULO o ALTURA. La altura correspondiente a un lado es el segmento perpendicular a dicho lado que pasa

por el vértice opuesto. o MEDIANA. La mediana correspondiente a un lado es el segmento cuyos extremos son el punto

medio del lado y el vértice opuesto. o MEDIATRIZ. La mediatriz de un lado es la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto

medio. o BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en su vértice cuyos puntos

s, cuya amplitud equivale a la mitad del ángulo inicial.

Triángulo rectángulo Los lados de un triángulo rectángulo también se denominan: Hipotenusa, Cateto Mayor y Cateto menor.

HIPOTENUSA: Se denomina así al lado opuesto al ángulo recto, que será siempre el lado de mayor longitud. CATETOS: Los lados que no son Hipotenusa, se denominan Catetos. Dependiendo de su longitud se diferencian como Mayor y Menor.

Trigonometría en el triángulo rectángulo Tomando como referencia uno de los ángulos agudos, se identifican: Hipotenusa, cateto opuesto (al ángulo elegido) y cateto adyacente (al ángulo elegido). Las relaciones trigonométricas elementales serán: seno, coseno y tangente, y son:

= .

= .

= ..


Cuadriláteros

Son aquellos polígonos convexos que tienen 4 lados.

Circunferencia y círculo Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a distancia fija de un centro. Esa distancia se llama radio y la máxima distancia entre dos puntos de la circunferencia (que pasa por el centro) se llama diámetro.

Perímetro y Área de Figuras Planas El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura. El perímetro de un círculo se llama longitud de la circunferencia.

El área de una figura plana es la medida de la superficie o región encerrada por dicha figura.


Cuerpos Se denomina cuerpo a aquellos elementos que ocupan un lugar en el espacio (ya sea real o ideal) y determinan un espacio que encierran.

POLIEDROS. Son aquellos cuerpos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas.

ELEMENTOS: o CARA. Es cada uno de los polígonos que lo limitan.

o ARISTA. Es el segmento intersección de dos caras.

o VÉRTICE. Es el punto intersección de dos o más aristas.

CUERPOS REDONDOS. Son aquellos que están compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas. Como la esfera, el cilindro o el cono.

PRISMA. Los prismas son poliedros que poseen dos caras paralelas, llamadas bases. Las otras caras se denominan “caras laterales”.

o REGULAR. Aquel cuyas bases son polígonos regulares.

o IRREGULAR. Aquel cuyas bases son polígonos irregulares.

o RECTO. Cuando las caras laterales son perpendiculares a la base.

o OBLICUO. Cuando las caras laterales no son perpendiculares a la base.


o PARALELEPÍPEDO. Es un prisma de 6 caras, todas ellas paralelogramos.

PIRÁMIDE. Las pirámides son poliedros que poseen una cara llamada base y el resto de sus caras están formadas por triángulos que se unen en un punto o vértice común (caras laterales).

o REGULAR. Su base es un polígono regular.

o IRREGULAR. Su base es un polígono irregular.

o RECTA. Las caras laterales son triángulos isósceles.

o OBLICUA. Alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.

Área y Volumen de cuerpos geométricos El área de un cuerpo refiere al área de los polígonos o figuras curvas que forman sus caras.

El volumen de un cuerpo es la región espacial encerrada por el mismo.

Prismas y Cilindro Esfera

Pirámides y Cono

A: 2. Área de la base + área lateral

V: Superficie de la base . altura

A: 4. .

V: . .

V: (Superficie de la base . altura)

3

A: Área de la base + área lateral

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