Identificación de SistemasIdentificación de Sistemas

Señales y Sistemas2013

Señales y Sistemas2013

Objetivos

• Aprender las bases de la identificación de sistemas.• Obtener una visión general sobre problemas

relacionados (optimización, filtrado adaptativo...)• Conocer las técnicas más utilizadas.• Reconocer ventajas, desventajas y posibilidades de

aplicación.• Aplicar los conocimientos ya adquiridos.• Presentar algunos ejemplos reales.

Organización

• Introducción• Técnicas:

– Convencionales:• Análisis de respuesta• Predicción lineal (LPC)

– Métodos estáticos y adaptativos• Estimación del orden

– No convencionales:• Algoritmos genéticos (GA)

Introducción

“Identificar un sistema consiste en encontrar un conjunto de reglas y/o parámetros asociados que describan un modelo aceptable para el proceso que en él se está llevando a cabo.”

Introducción

¿H(a)?u s

No tengo acceso al interior

CAJANEGRA

No tengo acceso a

la entrada

¿Qué tipo de sistema es?¿Qué reglas lo gobiernan?¿Cuantas entradas y salidas tengo?

¿Qué orden tiene?¿Qué valores tienen sus parámetros?

Supongo alguna forma paramétrica

Introducción

• Los datos obtenibles del sistema son: su señal de salida y, en algunos casos, su señal de entrada.

• Los resultados de la identificación son: la estructura y el conjunto de parámetros característicos del modelo.

• En algunos casos la estructura del sistema puede ser conocida o supuesta “a priori” y la identificación se reduce a la búsqueda de los parámetros.

• En el caso más general tanto la estructura como los parámetros deben ser encontrados minimizando algún criterio de error o de costo.

Paramétrica vs. No Paramétrica

• Paramétrica: se supone un modelo a priori con parámetros ajustables, y el problema consiste en hallar los parámetros óptimos del mismo para aproximar los datos.

• No Paramétrica: aquí no se supone ningún modelo a priori, y el problema consiste en hallar una función o regla de comportamiento que concuerde o se desprenda de los datos.

Planteo general

+

-

ef(e)

arg min ( ( ))f ea

a

H(a)

Hest(aest)

aest

u s

s

Sistema real

Sistema estimado

Superficie de error en función de los parámetros

Método para hallar el óptimo

Criterio

( ( ))f e a

a

¿Cómo es la superficie de error?

??Técnicas disponibles

• Convencionales– Análisis de respuesta:

• Temporal• Frecuencial

– Predicción lineal:• Métodos estáticos• Métodos adaptativos

• No convencionales– Algoritmos genéticos– Otros: Recocido simulado.

Análisis de la respuesta...

• Estimulo el sistema con una función conocida.

• Del análisis gráfico de la forma de la salida determino los parámetros

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

Am

plitu

d

Solo sirve para sistemas de orden pequeño

Análisis de la respuesta…

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo

Am

plitu

d

ζ: Tiempo que tarda el sistema enalcanzar el 63.7 % del valor final

ωn: frecuencia natural de oscilación,ξ: coeficiente de amortiguamiento y k: la ganancia de estado estacionario

Respuesta a un escalón (t)

Primer orden (s):

Segundo orden (s):

Análisis de la respuesta...

• En el caso frecuencial se intenta estimar la respuesta espectral

• Se pueden utilizar dispositivos analógicos o digitales

• Generalmente es útil como identificación no paramétrica del punto de vista cualitativo

SistemaVCO

Rampa

Predicción Lineal

Predicción Lineal

• La denominación predicción lineal proviene del modelo que se utiliza en la aproximación del sistema real a identificar.

• Decimos que “la salida es predecible a partir de una combinación lineal de las entradas y salidas pasadas”.

El modelo ARMA

q

llnl

p

kknkn ubGsas

01

.

1

1

1( )

1

ql

llp

kk

k

b zH z G

a z

El modelo AR

)()()()(

zCG

zAzBGzH

Cuadrados mínimos

nnn sse ˆ

222 ˆ asTnnnnn ssse

Sistema de Wiener-Hopf...

• Señales determinísticas

ECTen

n 22

2 0

Tn n n n

n ns

s s a s raR

Ecuación que relaciona los

parámetros y la salida del sistema

Sistema de Wiener-Hopf...

• Señales aleatorias estacionarias

raR

Rss TE

2 2 2 ...

2

n n

T Tn

E e E s

E s E

s a a s s a

2 0T

nE E s

s s a s

Superficie de error

Superficie de error cuadrático para un sistema AR de orden 2.

E

a1

a2

Resolución Wiener-Hopf

• Métodos estáticos:– Atacan directamente la resolución del sistema de

ecuaciones lineales mediante métodos numéricos. • Inversión de Matrices• Matriz Toeplitz: Levinson-Durbin

Resolución Wiener-Hopf

• Métodos adaptativos: – Buscan minimizar el error cuadrático instantáneo

mediante una adaptación permanente de los parámetros.

• Realizan sucesivas aproximaciones a la raíz de la función en el sentido del gradiente negativo

• Función: error cuadrático instantáneo.

Sistemas variantesen el tiempo

Método adaptativo de Widrow

knnkk seaann

21

Estimación del orden

• Se fija un criterio que depende del orden y del error.

• Se busca conseguir simultáneamente un orden pequeño y buena aproximación

0 5 10 15 20

Am

plitu

d re

lativ

a

Orden

Vp

Ip

Método de Akaike Método de Error de Predicción Final (FPE)23/04/2013 26

Ejemplo: Tracto Vocal

Cavidadoral

Cuerdasvocales

Laringe

Traquea ybronquios

Cavidadfaringea

Salidanariz

Salidaboca

Pulmones

Fuerzamuscular

Velo

Lengua

Cavidadnasal

Diafragma

Tracto vocal

Tracto respiratorio

Ener

gía

Frecuencia

Ener

gía

Frecuencia

Pres

ión

Tiempo

Ener

gía

FrecuenciaTiempo

Pres

ión

Ener

gía

Frecuencia

|X( f )|

|H( f )|

|L( f )|

|Y( f )|

y( t )

x( t )

Ejemplo: Tracto Vocal

Wolfgang von Kempelen, 1791:• Máquina que reproducía la mecánica del aparato fonador.

23/04/2013 27

Cavidadoral

Cuerdasvocales

Laringe

Traquea ybronquios

Cavidadfaringea

Salidanariz

Salidaboca

Pulmones

Fuerzamuscular

Velo

Lengua

Cavidadnasal

Diafragma

Tracto vocal

Tracto respiratorio

Ener

gía

F recuencia

Ener

gía

Frecuencia

Pres

ión

Tiempo

Ener

gía

FrecuenciaTiempo

Pre

sión

Ene

rgía

Frecuencia

|X( f )|

|H( f )|

|L( f )|

|Y( f )|

y( t )

x( t )

Ejemplo: Tracto Vocal

Cavidadoral

Cuerdasvocales

Laringe

Traquea ybronquios

Cavidadfaringea

Salidanariz

Salidaboca

Pulmones

Fuerzamuscular

Velo

Lengua

Cavidadnasal

Diafragma

Tracto vocal

Tracto respiratorio

Ene

rgía

F recuenciaE

nerg

ía

Frecuencia

Pres

ión

Tiempo

Ene

rgía

FrecuenciaTiempo

Pres

ión

Ener

gía

Frecuencia

|X( f )|

|H( f )|

|L( f )|

|Y( f )|

y( t )

x( t )

Ejemplo: Tracto Vocal¿Cómo encontrar los coeficientes del filtro del tracto vocal?

Problema de Identificación de Sistemas

• Filtro todo-polos (AR)

• Conexión con predicción lineal:

sn = -Sk ak sn-k + G un

• Podemos encontrar G a partir de la energía, así que lo ignoramos…

Filtro AR

?Entrada Salida

Ejemplo: Tracto Vocal¿Cómo encontrar los coeficientes del filtro del tracto vocal?

Problema de Identificación de Sistemas

• Filtro todo-polos (AR)

• Señal NO estacionaria (fonemas diferentes en el discurso) análisis por tramos estacionarios.

• Podemos encontrar G a partir de la energía.

Filtro AR

?Entrada Salida

Ejemplo: Síntesis de voz Ejemplo: ECG

Señal real

Señal sintetizada con LPC

Bibliografía...• Makhoul J., “Linear Prediction: A Tutorial Review,” Proc. IEEE,

vol 63, no. 4, pp. 561-580, apr. 1975.• Deller. J. R., Proakis J. G., Hansen J. H., Discrete-Time

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Bibliografía...• Morikawa H., “Adaptative Estimation of Time-Varying Model Order in the ARMA

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• Ogata K., Ingeniería moderna de control, Segunda Edición, 1993.• Papoulis A., “Maximun Entropy and Spectral Estimation: A Review,” IEEE Trans.

Acoust. Speech, Signal Processing, vol. ASSP 29, pp. 1176-1186, dec. 1981.• Rabiner L. R. and Gold B., Theory and Application of Digital Signal Processing,

Prentice Hall, chap. 12, 1975.• Reddy V. U., Egardt B. and Kailath T., “Least Squares Algorithm for Adaptative

Implementation of Pisarenko`s Harmonic Retrieval Method,” IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol ASSP 30, pp. 399-405, jun. 1982.

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• Schroeder M. R., “Linear Prediction, Entropy and Signal Analysis,” IEEE ASSP Magazine, jul.1984.

• Widrow B. and Lehr A., “30 Years of Adaptative Neural Networks: Perceptron, Madaline, and Backpropagation,” Proc. IEEE, vol. 78, no. 9, pp. 1415-1442, set. 1990.