a en carles c, amb molt d’afecte - ersiliaersilia.org/canalrecerca/documents/treballs/auri.pdf ·...

A en Carles C, amb molt d’afecte

AGRAÏMENTS_________________________________________________________ Aquest treball no hauria estat mai possible sense la col·laboració, paciència i

interès d’algunes persones a qui estic molt agraïda. El meu més sincer agraïment a les

següents persones:

A la Rosa Maria Trias, tutora de recerca. Primer disculpar-me per la meva insistència

pel que fa al treball i donar gràcies per la seva paciència, guia, ajuda i ensenyaments,

que tant m’han ajudat a fer el treball.

A la Roser Nebot, tutora tècnica del treball, pels seus ànims, suport i interès.

A en Carles Romero, professor de matemàtiques, qui ens va explicar (a nivell de

classe) algunes coses sobre el nombre d’or i la seva relació amb el pentàgon i la Secta

pitagòrica.

A l’Alfons Garrigós, professor de filosofia, qui ens va posar (a nivell de classe) el

vídeo de la BBC “The human face” i me’l va deixar molt amablement durant l’estiu.

Als alumnes i professors que han col·laborat amb l’enquesta.

Al Carles, als meus pares i els companys, que han estat aguantant els meus

interminables monòlegs sobre el nombre auri amb interès i (dins els límits de

l’humanament suportable) amb paciència.

A ti, maravillosa disciplina,

medida extrema razón de la

hermosura,

que claramente acata la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,

áurea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesura

que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños,

angulares,

flor de las cinco formas

regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás

ardiente.

Tu canto es una esfera

transparente.

A ti, divina proporción de oro.

Rafael Alberti

0.ÍNDEX______________________________________________________________ 0. ÍNDEX.................................................................................................................. 2

1. INTRODUCCIÓ................................................................................................... 3

1.0. El treball de recerca, un repte no tant llunyà................................................ 4

1.1. Com vaig descobrir el nombre d’or? Per què em va atraure?....................... 4

1.2. Quina pregunta em faig? Com pretenc contestar-la?.................................. 5

2. QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?............................................................................ 6

2.0. Dels enters als irracionals............................................................................. 7

2.1. Cert irracional intranscendent...................................................................... 12

2.2. Obtenció gràfica i matemàtica del nombre d’or...........................................19

2.2.1. Divisió d’un segment.......................................................................... 19

2.2.1.1. La divisió òptima d’un segment............................................ 19

2.2.1.2. El segment dividit en mitjana i extrema raó......................... 23

2.2.2. El rectangle auri................................................................................. 26

2.2.3. El triangle auri................................................................................... 27

2.3. Propietats del nombre d’or............................................................................ 28

3. EL NOMBRE D’OR I L’HOME.......................................................................... 30

3.0. El bressol de la matemàtica occidental......................................................... 31

3.1. La secta pitagòrica........................................................................................ 32

3.1.1. Qui va ser Pitàgores? Què va ser la secta pitagòrica?........................ 32

3.1.2. El pentàgon de la secta....................................................................... 34

3.2. L’harmonia a l’art ...................................................................................... 36

3.3. És el nombre d’or especialment atractiu per a la gent?................................. 41

3.3.1. El nombre d’or i la bellesa................................................................. 41

3.3.2. Enquesta test....................................................................................... 47

3.3.2.1. Preparant l’enquesta............................................................. 47

3.3.2.2. Conclusions de l’enquesta.................................................... 57

4. EL NOMBRE D’OR A LA NATURALESA....................................................... 75

4.0. Apareix el nombre d’or a la naturalesa?....................................................... 76

4.1. La successió de Fibbonaci............................................................................. 78

4.1.1. Què és una successió?........................................................................ 78

4.1.2. La successió de Fibbonaci a la naturalesa.......................................... 79

4.1.3. Relació de la successió de Fibbonaci amb phi i d’altres curiositats

matemàtiques................................................................................................. 81

4.2. L’espiral logarítmica..................................................................................... 86

4.2.0. L’espiral logarítmica........................................................................... 86

4.2.1. Obtenció de l’espiral logarítmica i relació amb el nombre d’or......... 86

4.2.2. L’espiral logarítmica a la naturalesa................................................... 88

4.3. Estructura d’algunes plantes......................................................................... 89

4.4.0. Per què he decidit fer aquest experiment?.......................................... 89

4.4.1. Preparació de l’observació.................................................................. 89

4.4.2. Observació sobre el terreny (Treball de camp)................................... 93

4.4.3. Conclusions......................................................................................... 101

5. CALAIX DE SASTRE: EL NOMBRE D’OR A D’ALTRES LLOCS............... 102

6.CONCLUSIONS................................................................................................... 108

7. BIBLIOGRAFIA.................................................................................................. 113

1.INTRODUCCIÓ

“Sols mitjançant el coneixement s’ateny la veritat, i la veritat és l’únic capaç d’acostar-nos als déus,

doncs Déu té per cos la llum i per ànima la veritat.” Pitàgores

1. INTRODUCCIÓ______________________________________________________

1.0. EL TREBALL DE RECERCA, UN REPTE NO TANT

LLUNYÀ..._____________________________________________________________

Tot just començar primer de batxillerat, ja podíem respirar l’ambient que ens

esperava a segon de batxillerat un any després. Els alumnes de segon, temps abans de

Nadal, ja anaven amb l’aigua fins al coll, empesos sense treva per la feina aplaçada fins

massa tard. Aquest no parar era degut en gran part al Treball de Recerca que se’ls tirava

al damunt junt amb exàmens, proves, deures, treballs i d’altres mal de caps. Va ser per

aquells dies que vaig començar a plantejar-me... “I jo sobre què el faré, el treball?”

Un dia se’m va passar pel cap de fer un estudi comparatiu entre la visió popular

sobre l’alquimista medieval i la del mag. Més tard vaig pensar de fer un petit recull

històric sobre l’alquímia a l’edat medieval. Però totes aquestes idees van ser molt aviat

substituïdes per una de nova i que, finalment, resultaria la definitiva.

1.1. COM VAIG DESCOBRIR EL NOMBRE D’OR? PER QUÈ EM VA

ATRAURE?____________________________________________________________

Era el 1r trimestre de primer de Batxillerat, faltaven escassos dies per a Nadal. A

la classe de filosofia, se’ns va passar un vídeo1 sobre la cara humana i la bellesa on es

parlava de certa proporció que es troba sovint a les cares especialment atractives i no

tant en les cares que ho són menys. La idea que un nombre o proporció pogués “mesurar

la bellesa” em va atraure molt. Així doncs, la bellesa no era tant subjectiva i relativa

com m’havien fet entendre?

Per uns dies vaig decidir no capficar-me més en el tema, fins que a la classe de

matemàtiques tornà a aparèixer la bella proporció, que resultava trobar-se a molts més

1 Documental de la BBC (Discovery chanel) THE HUMAN FACE

llocs que a la cara humana, com ara en pentàgons i decàgons regulars, en les

proporcions dels esquelets, en objectes tant quotidians com les targetes de crèdit... Vaig

tornar a pensar sobre el tema (he de reconèixer que fins i tot vaig mesurar el meu DNI

que, efectivament, guardava una harmònica proporció àuria entre la seva llargada i

amplada). Vaig buscar-ne informació a internet, i cada cosa que veia em sorprenia més.

Ho tenia decidit: el meu treball tractaria sobre nombre auri.

Tot buscant informació, vaig descobrir que el nombre d’or també està lligat a la

naturalesa. Em va semblar interessant fer un petit treball de camp sobre l’aparició del

nombre d’or a la naturalesa. Però abans de la investigació em vaig informar força bé

sobre què és el nombre d’or, com obtenir-lo... Per tant, aquest treball és doblement mixt,

doncs es basa en dues ciències diferents, la matemàtica i la biologia, i dues tècniques

diferents, la recerca bibliogràfica i la investigació.

1.2. QUINA PREGUNTA EM FAIG? COM PRETENC CONTESTAR-LA?______

“És possible que, al llarg del temps, la proporció àuria hagi estat seleccionada

(selecció natural) en diversos aspectes (anatòmics, per exemple...)?” La meva hipòtesi

és que sí, aquesta selecció s’ha produït. Però no contestaré aquesta pregunta en la seva

totalitat, sinó una part d’aquesta. De fet, una pregunta més acotada al que concretament

investigaré és:

“Apareix el nombre d’or a la naturalesa?”2

Per a contestar em basaré en fonts bibliogràfiques, d’internet i subjectives, així

com en la meva pròpia recerca i investigació mitjançant una enquesta i un treball de

camp.

2 Aquest paràgraf està més àmpliament comentat en l’apartat 4 d’aquest treball.

2.QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?

“La geometria té dos grans tresors, un és el teorema de Pitàgores i l’altre la divisió

d’un segment en mitjana i extrema raó” Kepler

2. QUÈ ÉS EL NOMBRE D’OR?__________________________________________

2.0. DELS ENTERS ALS IRRACIONALS_________________________________

Des de la infància que som capaços de comptar objectes, com per exemple

joguines, pedretes, o fins i tot els dits de la mà. Comencem sabent comptar fins a ú, és a

dir, tenim la noció d’unitat. Fins aquí, res d’extraordinari. Més endavant veiem que

podem comptar fins a dos, és a dir, entenem el concepte “més d’un”. I encara més

endavant, fem la passa de gegant, una passa que ben aviat esdevindrà una ràpida

evolució de la nostra raó: aprenem a comptar fins a tres.

Llegit així de cop sembla ben bé una broma, però si hi pensem una mica, ens

donarem compte que realment no és tan fàcil el pas de dos a tres: per passar de l’u al

dos, amb entendre les idees d’ “un i més d’un”, ja n’hi ha prou. Però l’extraordinari és el

moment en què arribem a entendre que després de l’u ve el dos, i que després ve el tres,

i que afegint cada cop “un més”, podem seguir comptant fins que el cansament i el

temps ens ho permetin.

De la mateixa manera que nosaltres comencem entenent els nombres 1,2,3,4...

(Nombres naturals, ), en els principis de la història, l’home també començà emprant

només aquests nombres. Quan l’home encara era nòmada, per l’únic que necessitava les

matemàtiques era per a comptar les seves preses (senglars, cérvols...), els enemics, les

estacions de l’any, les llunes (els mesos)... Ho feien amb els dits de la mà o fent

escletxes a bastons, i comunicaven els seus comptes tot ensenyant dos, tres o fins a deu

dits (amb les dues mans).

Però temps després, l’home esdevingué sedentari; començà a delimitar terrenys,

a construir habitatges i tancats per al bestiar... Com podien mesurar els terrenys, les

cases...? Només els va caldre agafar una mida o tros de referència i, a partir d’aquell

tros, determinar quants d’aquells trossos cabien, per exemple, en la llargada d’una casa.

El problema es presenta quan aquesta llargada mesura X3 trossos i una mica més, però

sense arribar a un tros més tot sencer. Aquí és on comencen a emprar-se els nombres

racionals.

Un nombre racional és la fracció d’un nombre en certa quantitat de trossos

iguals. Qualsevol nombre racional es pot expressar a partir d’una fracció simplificada

ab

, on tant a com b són naturals i primers entre sí . Els egipcis ja empraven els nombres

racionals, necessaris per a les seves mesures. Posem per exemple que un enginyer egipci

volgués mesurar el perímetre d’una de les grans pedres emprades per a la construcció de

les piràmides. Primerament pren una unitat de referència (anteriorment anomenada mida

o tros) i tot seguit mesura la pedra tot comprovant quantes unitats caben en el perímetre.

Imaginem que hi caben 8 unitats i una mica més. Per a mesurar aquesta mica més,

partirem la unitat en dos parts iguals. Obtindrem de la unitat, 1, dos trossos iguals, 2.

Això s’expressa ½. Ara, fent ús d’aquesta fracció, podem obtenir una aproximació més

bona al perímetre de la pedra, que serà 8 unitats, ½ d’unitat i una mica més. Per a

mesurar aquesta mica més partirem la unitat en quatre trossos iguals, ¼. Així obtenim 8

unitats, ½ d’unitat, ¼ d’unitat i una mica més. Encara necessitarem partir la unitat en

vuit trossos iguals per a obtenir el perímetre exacte. Així arribem a la conclusió que el

perímetre de la pedra mesura 8 unitats, ½ d’unitat, ¼ d’unitat i 18d’unitat. Avui dia

expressaríem aquest valor com a 718

ó 8’875.

Emprant aquest mètode, els homes eren capaços de mesurar tot allò que volien;

per molt petit que fos el fragment a mesurar, sempre podien dividir la unitat en tants

trossos com volguessin i els fes falta per a obtenir el valor de, posem pel cas, una

distància. Quan un nombre es pot mesurar mitjançant aquest mètode de divisió de la

3 On X és qualsevol nombre natural menys zero.

unitat, diem que es tracta d’un nombre commensurable. Però són tots els nombres

commensurables?

Els grecs, en un principi, també mesuraven i calculaven emprant valors, i tenien

la creença que els nombres (els que ells coneixien) ho mesuraven tot. Però

s’equivocaven. S’observà que la diagonal d’un quadrat de costat 1 no era

conmensurable.

Estem parlant de l’arrel de dos, 2 . A la figura de l’esquerra,

1 2 +1 2 = 2 2 4 Per tant, la diagonal és 2 . Es sap que aquest fet ja es

coneixia a l’antiga Grècia, ja que escrits d’aquella època demostren

que 2 és incommensurable. Han arribat als nostres dies escrits d’Aristòtil

demostrant-ho tot emprant la reducció a l’absurd:

*Posem que ab

és una fracció irreductible (a i b són primers entre sí), de manera que

ab

= 2 5, per tant, 2

2ab

=

*D’aquesta manera, 2

2 2,ab

= per tant, a2=2b2. Així doncs, a2 i per tant a, són nombre

parell. Així tenim: a = 2x6 → 2b2 = a2 = (2x)2 = 4x2

*Així doncs, q2 = 2x2

*El fet que a i b siguin ambdós parells, contradiu l’afirmació anterior de que ab

és una

fracció irreductible. Per tant, no hi ha cap fracció simplificada que equivalgui a 2 .

* 2 és incommensurable.

Q.e.d.

4 Segons Tª de Pitàgores 5 És a dir, suposem que 2 és racional. 6 On x no és 0

Hi ha d’altres maneres de demostrar que 2 és incommensurable, però ara no ve al cas

escriure-les.

A partir de la coneixença de l’existència d’incommensurables, els antics grecs es

van limitar a emprar la geometria per als seus raonaments i demostracions.

Els nombres incommensurables els anomenem irracionals.

A la història de la matemàtica hi ha diversos nombres irracionals remarcables, a part

d’arrel de dos:

§ Un d’ells és pi, simbolitzat amb la lletra grega del mateix nom, π. Pi és la relació que

hi ha entre la longitud, L, de la circumferència i el seu diàmetre, d:

L/d= π

π≈ 3’14159265359

Durant segles s’han trobat aproximacions cada cop més exactes al nombre π, però mai

totes les seves xifres decimals, perquè són infinites. La aproximació que aportà

Arquímedes és:

3+ 10/71 < π < 3+ 1/7

3’140845070...< 3’1415926536... < 3’142857143...

Cal dir que és una aproximació excel·lent, que no va ser millorada fins fa relativament

poc temps.

§ Un altre irracional força remarcable és el nombre “e” ó euler, ℮. Euler és el límit de

la successió 11n

n +

És a dir: 1lim 1n

n n→∞

+

= ℮

Ambdós irracionals tenen la peculiaritat comú de que no són solució de cap

equació polinòmica, és a dir, són transcendents.

Però també existeixen irracionals no transcendents o intranscendents. Un d’ells

és Phi, amb valor 1’6183398875...

Però deixem els irracionals aparcats uns instants i tornem enrera, fins als

racionals. Com anteriorment hem comentat, qualsevol racional pot ser expressat per una

fracció simplificada ab

, on a i b són naturals. Doncs bé, en una fracció ab

també s’està

comparant el nombre a amb el b. Aquesta relació també es pot anomenar raó; la raó o

relació entre a i b és la fracció del major d’ells entre el menor:

R (a,b) = ( , )( , )

Max a bMin a b

Euclides, basant-se en els treballs d’Eudoxi, escriu la definició: “(···)La proporció és la

igualtat de raons”. És a dir, una proporció és la igualtat entre una raó ab

i una raó cd

;

a cb d

= . D’aquesta manera obtenim una proporció discontinua. Però també existeixen

les proporcions continues, on els extrems de la proporció són equivalents: ab c

b=

Tant el coneixement dels irracionals com de les proporcions és necessari a l’hora

d’entrar al món del nombre d’or.

2.1.CERT IRRACIONAL INTRASCENDENT______________________________

Anteriorment s’ha mencionat que no tots els irracionals són transcendents;

també n’hi ha d’intranscendents com, per exemple, el nombre d’or. El nombre d’or fou

batejat el segle XIX per Th. Cook com a nombre phi, Ф, referint a la inicial de Fídies,

escultor i arquitecte grec que emprà el nombre en les seves obres. Emprant aquest

símbol, els càlculs referits al nombre en qüestió es simplificarien, facilitant així la tasca

dels matemàtics que hi treballessin a partir d’aquell moment.

Phi és irracional per tenir infinits decimals no periòdics i no poder ser expressat

exactament per una fracció simplificada; i és intranscendent per ser una de les solucions

de l’equació polinòmica x2 - x - 1 = 0.

Les primeres 20000 xifres de PHI:

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890

244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635

443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104

321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104

432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521

705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666

599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829

778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292

675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317

159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790

352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234

145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681

986151437803149974110692608867429622675756052317277752035361393621076738937645

560606059216589466759551900400555908950229530942312482355212212415444006470340

565734797663972394949946584578873039623090375033993856210242369025138680414577

995698122445747178034173126453220416397232134044449487302315417676893752103068

737880344170093954409627955898678723209512426893557309704509595684401755519881

921802064052905518934947592600734852282101088194644544222318891319294689622002

301443770269923007803085261180754519288770502109684249362713592518760777884665

836150238913493333122310533923213624319263728910670503399282265263556209029798

642472759772565508615487543574826471814145127000602389016207773224499435308899

909501680328112194320481964387675863314798571911397815397807476150772211750826

945863932045652098969855567814106968372884058746103378105444390943683583581381

131168993855576975484149144534150912954070050194775486163075422641729394680367

319805861833918328599130396072014455950449779212076124785645916160837059498786

006970189409886400764436170933417270919143365013715766011480381430626238051432

117348151005590134561011800790506381421527093085880928757034505078081454588199

063361298279814117453392731208092897279222132980642946878242748740174505540677

875708323731097591511776297844328474790817651809778726841611763250386121129143

683437670235037111633072586988325871033632223810980901211019899176841491751233

134015273384383723450093478604979294599158220125810459823092552872124137043614

910205471855496118087642657651106054588147560443178479858453973128630162544876

114852021706440411166076695059775783257039511087823082710647893902111569103927

683845386333321565829659773103436032322545743637204124406408882673758433953679

593123221343732099574988946995656473600729599983912881031974263125179714143201

231127955189477817269141589117799195648125580018455065632952859859100090862180

297756378925999164994642819302229355234667475932695165421402109136301819472270

789012208728736170734864999815625547281137347987165695274890081443840532748378

137824669174442296349147081570073525457070897726754693438226195468615331209533

579238014609273510210119190218360675097308957528957746814229543394385493155339

630380729169175846101460995055064803679304147236572039860073550760902317312501

613204843583648177048481810991602442523271672190189334596378608787528701739359

303013359011237102391712659047026349402830766876743638651327106280323174069317

334482343564531850581353108549733350759966778712449058363675413289086240632456

395357212524261170278028656043234942837301725574405837278267996031739364013287

627701243679831144643694767053127249241047167001382478312865650649343418039004

101780533950587724586655755229391582397084177298337282311525692609299594224000

056062667867435792397245408481765197343626526894488855272027477874733598353672

776140759171205132693448375299164998093602461784426757277679001919190703805220

461232482391326104327191684512306023627893545432461769975753689041763650254785

138246314658336383376023577899267298863216185839590363998183845827644912459809

370430555596137973432613483049494968681089535696348281781288625364608420339465

381944194571426668237183949183237090857485026656803989744066210536030640026081

711266599541993687316094572288810920778822772036366844815325617284117690979266

665522384688311371852991921631905201568631222820715599876468423552059285371757

807656050367731309751912239738872246825805715974457404842987807352215984266766

257807706201943040054255015831250301753409411719101929890384472503329880245014

367968441694795954530459103138116218704567997866366174605957000344597011352518

134600656553520347888117414994127482641521355677639403907103870881823380680335

003804680017480822059109684420264464021877053401003180288166441530913939481564

031928227854824145105031888251899700748622879421558957428202166570621880905780

880503246769912972872103870736974064356674589202586565739785608595665341070359

978320446336346485489497663885351045527298242290699848853696828046459745762651

434359050938321243743333870516657149005907105670248879858043718151261004403814

880407252440616429022478227152724112085065788838712493635106806365166743222327

767755797399270376231914704732395512060705503992088442603708790843334261838413

597078164829553714321961189503797714630007555975379570355227144931913217255644

012830918050450089921870512118606933573153895935079030073672702331416532042340

155374144268715405511647961143323024854404094069114561398730260395182816803448

252543267385759005604320245372719291248645813334416985299391357478698957986439

498023047116967157362283912018127312916589952759919220318372356827279385637331

265479985912463275030060592567454979435088119295056854932593553187291418011364

121874707526281068698301357605247194455932195535961045283031488391176930119658

583431442489489856558425083410942950277197583352244291257364938075417113739243

760143506829878493271299751228688196049835775158771780410697131966753477194792

263651901633977128473907933611119140899830560336106098717178305543540356089529

290818464143713929437813560482038947912574507707557510300242072662900180904229

342494259060666141332287226980690145994511995478016399151412612525728280664331

261657469388195106442167387180001100421848302580916543383749236411838885646851

431500637319042951481469424314608952547072037405566913069220990804819452975110

650464281054177552590951871318883591476599604131796020941530858553323877253802

327276329773721431279682167162344211832018028814127474431688472184593927814354

740999990722332030592629766112383279833169882539312620065037028844782866694044

730794710476125586583752986236250999823233597155072338383324408152577819336426

263043302658958170800451278873115935587747217256494700051636672577153920984095

032745112153687300912199629522765913163709396860727134269262315475330437993316

581107369643142171979434056391551210810813626268885697480680601169189417502722

987415869917914534994624441940121978586013736608286907223651477139126874209665

137875620591854328888341742920901563133283193575622089713765630978501563154982

456445865424792935722828750608481453351352181729587932991171003247622205219464

510536245051298843087134443950724426735146286179918323364598369637632722575691

597239543830520866474742381511079273494836952396479268993698324917999502789500

060459661313463363024949951480805329017902975182515875049007435187983511836032

722772601717404535571658855578297291061958193517105548257930709100576358699019

297217995168731175563144485648100220014254540554292734588371160209947945720823

780436871894480563689182580244499631878342027491015335791072733625328906933474

123802222011626277119308544850295419132004009998655666517756640953656197897818

380451030356510131589458902871861086905893947136801484570018366495647203294334

374298946427412551435905843484091954870152361403173913903616440198455051049121

169792001201999605069949664030350863692903941007019450532016234872763232732449

439630480890554251379723314751852070910250636859816795304818100739424531700238

804759834323450414258431406361272109602282423378228090279765960777108493915174

887316877713522390091171173509186006546200990249758527792542781659703834950580

106261553336910937846597710529750223173074121778344189411845965861029801877874

274456386696612772450384586052641510304089825777754474115332076407588167751497

553804711629667771005876646159549677692705496239398570925507027406997814084312

496536307186653371806058742242598165307052573834541577054292162998114917508611

311765773172095615656478695474489271320608063545779462414531066983742113798168

963823533304477883169339728728918103664083269856988254438516675862289930696434

684897514840879039647604203610206021717394470263487633654393195229077383616738

981178124248365578105034169451563626043003665743108476654877780128577923645418

522447236171374229255841593135612866371670328072171553392646325730673063910854

108868085742838588280602303341408550390973538726134511962926415995212789311354

431460152730902553827104325966226743903745563612286139078319433570590038148700

898661315398195857442330441970856696722293142730741384882788975588860799738704

470203166834856941990965480298249319817657926829855629723010682777235162740783

807431877827318211919695280051608791572128826337968231272562870001500182929757

729993579094919640763442861575713544427898383040454702710194580042582021202344

580630345033658147218549203679989972935353919681213319516537974539911149424445

183033858841290401817818821376006659284941367754317451605409387110368715211640

405821934471204482775960541694864539878326269548013915019038995931306703186616

706637196402569286713887146631189192685682691995276457997718278759460961617218

868109454651578869122410609814197268619255478789926315359472922825080542516906

814010781796021885330762305563816316401922454503257656739259976517530801427160

714308718862859836037465057134204670083432754230277047793311183666903232885306

873879907135900740304907459889513647687608678443238248218930617570319563803230

819719363567274196438726258706154330729637038127515170406005057594882723856345

156390526577104264594760405569509598408889037620799566388017861855915944111725

092313279771138032943765475090165169496509916073833937715833230245701948347400

070437618671998483401631826008462619656284649118225688857521346375490254180833

821383522245258726789379505375915603579454698509102256225455003017571049469833

483545323835260787092219304581782306012370753280678368541306584636788866433486

249368010198782799630670259543265137806007386392908564830874157618741897345848

450141889765293411013722158643559915527113623322003526677859159890231446163321

026519665907632061524383747619049531582968836265042094840105654589130629827717

249809641959472340465110419821347689354018038256954956286039244264159867485982

280060353862839166201252826607493306196584965199979419393226017235710733642537

083033011433624985753635970424446475998999950855041354977558585934576590926533

307252775416758431466936767806170350120038448748838233760344077515947781221883

070900087386627362091660799050226989270321899760379509890591085910392967345614

610700304581921273892599269610621167643642438350141020408632149917815297968152

237983224273753657008553469979655413859050326836160222788475547062698439108852

103020768604706804556846560491686498860616222952323907098092629302337956482179

981632645827888877674520846371971063478923106675469355047615197781699025881840

407927510901824482787052505976983753514306224450902202382439823125505841623207

188319300693606464682096595006549290109716186526367216107417136183776673327975

626854801245657682790317603946555394523143387567730349791578588591011663748455

675847952713918608782540104233329857442747118969610485126401975043599092076621

558998660736837623188358845081292950114665354828171448464056865246540907815471

619625784469575262569455165601519164029217988548909373280314651922247590030965

715490505361043776868772619159528449204647868973473708598413845131621192972012

634240773694545981865029659233534512568454974541129819735876670728601616056204

230636066130281496773445797737750557564665475256322648177116997857087122831543

104569123262503497681152452174497396136748822046480519688754341969511933120450

216051429384844754523821270143830957855813619678302310685080845876952059053294

683384904712099162556365034003439670828933698367423001575117385151269123066172

276414421607512917341874714315093241924914160969998672815823859257359823894849

274919646152272273338746312138436262116379467062032630225055489580573083750461

299231136299173069489407342588319483999274163950984439634057635284717562762192

786522539608720131080486406534396168875452534263098969517619019770963192258709

342165955974471750157538376741522280570650280683143356524917199733358403064153

550759115974264366482846628136802174505909705894602744292632222215459450758046

571206068639904308236939693208237490767561190171561305424813311715242568478463

363770015204417916501168232575236160495749706390822443444510351219048819830276

001766809850965245439007199098034993026860675523879685292194732393352370086650

221407464554037222343481675749373144640928379006539196774010355861936181566836

616864892395554961452826472894994160615803045867891461971728155451100056660542

499691974102798740593276434953714525167694620698597880946950174730228414275718

871940921209137994059430370504364838600434645227993302923901865922689874992113

256560557840142335426058951056203690720289393159204404768359276364799600596404

860761989159298194950878786027663459905404263770045900803279434720629825445256

356479542992488198646136171314485773469953475577155491384239289401754034139973

846169481293479242234609743019627523013828607224496380953838401526567819764507

588547855155492345234781646033062938842009950803260140918302574385770671025227

243666905988908545015570754230316665924723528924702588624794887546252765727285

151112878270673454310244515233456542284311039679528296250193698939983473961763

988095735415260145372964681473821843600521099472119416591494716705203792255209

633645848468041447780302164728623999264048363508773747824501638200895240322534

379925790129265640155537754091751704419627285039126695956664877242967660367303

453668734049079141886945214715827908157233969124039985869390855173079801955546

128513408912061084012213617070570430060569246855916468834773320856891412679428

448041384682813256929148160109786272696866867373917118931462269134894580427789

899608144709524762905019260311649206867743318661546966896601822663578788750608

856243562678932797354633904182108774638039216244772025672699596391824687788455

497179038515839204748319903127622437066235092518775434140107112335865907748122

063763459019884225472727655290504399502524440391136582670813300580588209460310

208261341369127572936992893029961730892843670315238589753987388936807441526373

794240506448764171768613552343269865728970463069180174277972173889859443284852

057257588337563820150546720651674252681894851673328046307647813293132602893229

366045210213189812987661526244487486693890406178469916665417485084597970146178

215845014919572109825089234517474512254327386819725864944588083771398685065984

085457731654169174067052111949166286337732263753475666370022120327524389997736

006074042702972203634778048298834855189525079474605519940340110771169725644261

005092059843362535847069597185762616776630211747878341975644501838041029203240

408826617344339090263522350506828582854432839618480925376130820115626869907999

117084755586982150310073563240421988569584200682439926953784403202222374628147

659230605547476936830576549677690471159625502474507809624837449908025613750915

622359081010534493941774294277091445166668700415228544638076615351141556487854

936011387473103828773313388391709646174829063156788065182761765798535021665998

607464012674884121130098549938337106031962506702797524310119377335548537011694

674858888363080333287739571656275340367272180705622562326374148833499289970258

977299224036941750743427314194157432466794578586039894075097356363688815672159

676354380665593938934382075984061216064317664421902677773799145579945031468708

716266226524133590569928494006372744908821635242948022566330458553636337251762

049074624062938962390622030424872688432377631733574205753997574373508409657792

180880089420590662572782307692788656445563758012667280952527379828030076636976

928164844651277473822397061738567507146692748220374881122563994075227626464994

658463674019559973702838393119884822335539964978333165008467491254522956512409

390963784095416901234675375280139080830863022653352387069273071984654649454979

101134287154636695543437462154391886526085366974366530588562164411648068912837

357794341530609478457270987037976921346205969538843826760827659181773627669918

727803754219954172428335791064520613736884708545165822193158645377018313401818

827251099922917614711860529176551422881123566217241692680620648845317615164272

953585798375412375876100415475805595730122459276711895277333823356043374201321

392804317053379463646428351993014576706491847707768959885421647973371769625943

938648074893633201098893643528324494132569317438323509258286421276209473432879

984387198291625035886368857440896091619767553023636147840186271827708891360398

933077293060296717760258418030133475474406093218222662077059842476082637941388

598601935208959821941885723823714271930349354518240112671046073097412681279072

726438685681544729144826761389945092064098792647692574698812334642995267308237

405720406143748700867048612599590178424976845844736824827947824753176338174814

799571031203396345226743415123722322454626546328353564246627786460839872179127

843089641636422237152822199860850600158245169478318926060165827491142774933502

865503727691068107557826463340399219222602208590967841860013859653877265826244

657597694069240541804444738471607901449743018055889337623761296918229234768453

759556468421122698731637506249971182291485689604472527760093934343558339195165

132985623645893149101860849683480338090932736261062054795970421298669883573560

404347128399801249802209466851093490407878450102117684276345079137687609746900

665759683043519266676563960922648845670212850744821184836102907689196493402300

641753173483914758916672023069245347107627719792524997328576890388680141780313

799483651089527220946591304506656658258539174690486872649902546765966599164547

365134259755577397348506528439977384490513905829430130008366961455669748537793

407881277215791487210719258869089277878732982982214574233273265987982756950898

845306240223036486347722967056524127035887830281940074980575439016285786745531

327197652607107643153112391526077219362144346096089758726934223674331613718574

577608117751518069662104795585140130069701845007026290479492570837120175279378

554957627391245587148332010170361840521636818017341425089806160634676330850504

184585816629334093479199103685913053789482158651701181210113330006695775232786

685518078256752836149494920745837336845813691407977595925267273966423478746614

399819648081036705066005238269165055144634711116867428177319502560642951637959

659475644987891461446925936629309364804816174059808214254340525211371332408113

913579971622858101419103410460569290782498956214560041045692221416830893236662

517618696271719453854998551484275173369241202680159928083201458300754484742331

264387808478085056104304909999364345905195187494843696772757473359670883349609

157447435750398602016397666114276536952670441155200193914842934601015129531174

458876483070371677396154265591399083037577663021309908712719887069032930470124

105861506399852998141757804303480803588203202011047607004755710169423412034108

915643947825303164593730437558194686752534953230130276782353560116641311177996

099793662043449569683547930754311327558643189731515171064432189249793277801264

964764475467078165807406131259375271847408816115479818307816751047809291413954

564631160581269051753953556915775580410671981231638405277556052272223764711883

233223099585068971018717504781906533494858423259762256575841898529144717833517

322602985786292943465056366932162627673816245957417932698892327220666636081992

490988831468529940991386734446049670842442978243630232938910355965601739942201

988690257245471401633009612146187208365108688185334060622017099515827070442337

042180176696349133695996064322005328873494893135966030424380804565944743335678

31672703729636367594216999379522

2.2. OBTENCIÓ GRÀFICA I MATEMÀTICA DEL NOMBRE D’OR_____________

2.2.1.DIVISIÓ D’UN SEGMENT_____________________________________

2.2.1.1.LA DIVISIÓ ÒPTIMA D’UN SEGMENT__________________

Un segment és un fragment de recta limitat per dos punts. El segment és emprat

en diverses ciències, com per exemple, la mecànica (sobretot els segments orientats o

vectors) i, evidentment, la matemàtica.

El mòdul és la mida del segment o la mida que representa (en diverses magnituds: espai

(m), temps (s), força (N)...).

Si ens fan dividir un segment en dues parts, el primer en el que pensem és en

dividir-lo en dues parts iguals. Però no és l’única manera de dividir-lo, sinó que hi ha

infinites maneres de fer-ho. D’entre totes aquestes, com podem obtenir la divisió més

òptima d’un segment (descartant la divisió simètrica)?

Per a obtenir la divisió més òptima d’un segment és necessari que dividim un

segment d’una manera genèrica, és a dir, en dues parts senzilles a i b.

Busquem les raons possibles que es poden obtenir a partir d’un segment qualsevol partit

en dues parts:

, ,a b cb c a

, i les raons inverses: , , .b c aa b c

A partir d’aquestes raons es poden obtenir fins a quinze proporcions diferents:

, , , , , , , ,

, , ,,, ,

a b a b a a b bb c b a b c c ab a c c b c c

a c a c b c b cb a b b c a c bc b c a b aa a a c a

ac c a b cb a b c

= = = == = = =

= == = == =

De les quals descartarem aquelles que ens vulguin dir el mateix que una altra.

Ex: a cb b

= ens diu el mateix que c aa c

= , i que b bc a

= és a dir, que a c= . Així encara

ens quedarien nou proporcions:

, , , , , , , ,a b a b b c b c c ab c b a c

a c b c c a b ab a c a a c a cb a b b c

= = = === == =

D’aquestes nou proporcions restants es poden deduir els següents segments,

classificables en cinc grups:

A)

c aa c

=

c bb c

=

(Aquests dos segments seran descartats perquè, en aquest cas, la falta d’una de les

lletres comporta que el segment no quedi dividit en dues parts.)

B)

a bb a

=

C)

,a b b cb c a b

= =

(Descartarem una de les dues proporcions, doncs ambdues representen el mateix

segment. Ens quedarem amb a bb c

= )

D)

,a c b ab a a c

= =

(Descartem una de les dues proporcions, doncs ambdues representen el mateix segment.

Ens quedarem amb b aa c

= )

E)

Les proporcions ,c a b cb c c a

= = són impossibles, perquè c cib a

són superiors a la unitat, i

a bic c

són menors que la unitat.

Els grups D i E són equivalents, tant si parlem dels segments com si parlem de les

proporcions; ambdós segments estan dividits en dos segments senzills més petits i en la

mateixa raó, només que en un dels segments intercanviéssim a per b i b per a,

obtindríem dos segments idèntics. El mateix passa amb les proporcions, si s’efectua el

mateix canvi en una de les proporcions, ambdues proporcions esdevenen idèntiques.

D’aquesta manera, eliminarem també el grup D i ens quedarem únicament amb el grup

B i el C, que ens presentaven:

B)

a bb a

=

C)

a bb c

=

El grup B ens mostra que a i b són iguals, per tant, tenim una partició simètrica del

segment.

En canvi, el grup C, el segment major és al menor com la suma d’ambdós és al major.

Aquesta és la partició asimètrica més genèrica i directa que es pot obtenir mitjançant la

llei d’economia dels conceptes, exposada per William d’Ockham, la divisió d’un

segment en mitjana i extrema raó.

2.2.1.2. EL SEGMENT DIVIDIT EN MITJANA I

EXTREMA RAÓ_______________________________________________

Euclides definí: “Es diu que un segment està dividit en mitja i extrema raó quan

el segment total és a la part major com la part major és a la menor.”7 És a dir:

BCAB

ABAC =

Per a obtenir aquesta proporció cal seguir els passos següents:

Tracem un segment qualsevol i anomenem els seus punts limitants com a A i B, i el seu mòdul com a c.

Tracem per B una recta perpendicular i a sobre hi marquem un segment BX de

manera que 2

ABBX =

Unim A i X. Emprant X com a centre, tracem un arc de circumferència de B fins al nou punt Y.

Emprant A com a centre tracem un arc de circumferència de Y fins al segment AB , determinant així el punt C.

D’aquesta manera obtenim una divisió harmònica del segment AB , on el segment total és al major com el major és al menor.

7 (EUCLIDES, Elements, def. VI.3)

Així doncs, obtenim el segment següent:

Si apliquem la definició de proporció àuria (Segment unitari entre segment gran =

segment gran entre segment petit) obtenim:

⇒=−1

1 xx

x 1-x = x2 ⇒ x2 + x – 1 = 0

El valor d’x és:

251

2411

1·2)1·(1·411 22 ±−=+±−=

−−±−=x

Només considerarem el resultat positiu: 2

51+−

Si dividim el segment unitari entre el segment gran d’aquest obtenim:

1 51 5 ( 1 5)·(3 5) 3 5 3 5 52

1 9 53 5 3 5 (3 5)·(3 5)2

2 2 5 1 5 1'61803...4 2

xx

− +− + − + + − − + += = = = =

− −− − − +

+ += = = = Φ

Si dividim el segment gran entre el segment petit (o, en el seu defecte, fem l’invers del

resultat anterior) obtenim:

1 2 2(1 5) 2 2 5 2 2 5 1 5 1 5 0 '61803...1 5 4 2 21 5 1 5 (1 5)(1 5)

2

ϕ− − − − − += = = = = = = =− − −+ + + −

Ambdós nombres tenen els mateixos decimals, i ambdós nombres són considerats phi.

Per a diferenciar-los se’ls pot anomenar phi major i phi menor i s’escriuen amb phi

majúscula, Ф, i phi minúscula ,φ, respectivament.

La relació entre ambdós irracionals és molt més estreta i curiosa del que sembla a

primer cop d’ull.

De moment hem pogut observar que es compleix 1 11 5

2

ϕφ

= =+

I d’aquí es dedueix que Ф·φ=1 i que 1 φϕ

= . Anem-ho a comprovar:

1 5 1 5 42 2 4

1φ ϕ + − += ⋅ = =⋅

1 1 2 2( 1 5) 2 2 5 2 2 5 1 5 1 51 5 4 2 21 5 1 5 ( 1 5)( 1 5)

2

φϕ

− − − − − − − − += = = = = = = =− − −− + − + − + − −

Però a més, com sense dificultats es pot observar, Ф-1=φ :

1 5 1 5 2 1 5 2 1 51 12 2 2 2 2

φ ϕ+ + + − − +− = − = − = = =

I d’aquí es pot deduir que, evidentment, φ+1=Ф i que Ф –φ=1:

1 5 1 5 2 1 5 2 1 51 12 2 2 2 2

ϕ φ− + − + − + + ++ = + = + = = =

1 5 1 5 1 5 1 5 2 12 2 2 2

φ ϕ + − + + + −− = − = = =

2.2.2.EL RECTANGLE AURI________________________________________

La peculiaritat del rectangle auri és que la proporció

entre el seu costat gran i el petit dóna 2

51+ , és a dir, que el costat

gran mesura x(1+ 5 ) i el petit 2x8. El rectangle auri es pot obtenir de la següent

manera:

1) Dibuixar un quadrat de costat 2. Anomenar els vèrtex.

2) Dividir un dels costats en dos parts iguals. Anomenar el punt O.

3) Traçar el segment OB, que resultarà ser arrel de 5.

4) Rotar el segment OB fins a disposar-lo sobre la recta que passa per DC. Anomenar el punt B’.

5) Traçar una recta paral·lela a AD des del punt B’; prolongar AB per B. Anomenar la intersecció creada, E.

6) Hem obtingut el rectangle auri (AEB’D).

8 On x pot ser qualsevol nombre natural excepte el 0.

I tal com abans s’ha comentat, el costat gran entre el petit donen com a resultat el

nombre d’or:

' 1 52'

DBB E

φ+= =

Però, a més, el costat més petit entre el gran, també ens dóna com a resultat phi, però

“en versió petita”, φ:

' 2 2(1 5) 2 2 5 1 5 1 54 2 2' 1 5 (1 5)(1 5)

B EDB

ϕ− − − − += = = = = =− −+ + −

2.2.3.EL TRIANGLE AURI____________________________ ______________

La raó per la qual aquest triangle és anomenat auri també és senzilla: es tracta d’un

triangle isòsceles els costats grans del qual estan en proporció àuria amb el petit.

Aquest triangle es pot obtenir a partir d’un pentàgon. De fet, el pentàgon presenta

diversos triangles auris. Però d’això en parlarem més endavant.9

9 Per ésser precisos, a l’apartat 3.1.2. i al 4.2.1.

2.3.PROPIETATS DEL NOMBRE D’OR___________________________________

El nombre d’or destaca per les seves curioses propietats, entre elles:

1) 1 ϕφ

= ; Ф·φ=1 ; 1 φϕ

= (Fig.1)

2) Ф-1=φ ; φ+1=Ф ; Ф –φ=1 (Fig.2)

3) 101 22 =−→=−− φφφφ

4) Фn = (n-1)Ф+(n-1)= (n-1)(Ф+1)

5) 1 1 1 1 ···φ = + + + +

6) 11 11 111 ···

φ = ++

++

Les propietats 1 i 2 han estat anteriorment esmentades. Vegem les altres:

3) Com ja s’ha dit abans, una de les solucions de l’equació Ф2- Ф-1=0 és el nombre

d’or. Si dividim aquesta equació entre Ф, obtenim el següent:

1101-1- −=→= φφφ

φ = φ (Segons Fig.2)

I també: 101 22 =−→=−− φφφφ (Fig.3)

4) Фn és sempre igual a (n-1)Ф+(n-1)= (n-1)(Ф+1). Si calculem algunes potències:

Ф2= Ф+1 (Segons Fig.3)

Ф3= Ф2· Ф=( Ф+1) Ф= Ф2+ Ф= Ф+1+ Ф=2 Ф+1 (Fig.4)

Ф4= Ф3· Ф=(2 Ф+ 1) Ф=2 Ф2+ Ф=2(Ф+1)+ Ф=3 Ф+2 (Segons Fig.4)

Ф5= Ф4· Ф=(3 Ф+2) Ф=3 Ф2+2 Ф=3(Ф+2)

...

Podem veure que aquesta propietat s’acompleix en les potències treballades.

Cada terme es pot obtenir de la suma dels dos termes anteriors

1 2n n nφ φ φ+ ++ = (cosa curiosa, perquè precisament és la manera com s’obtenen els

nombres de la successió de Fibbonaci, també relacionada amb el nombre d’or10).

5) D’on surt que 1 1 1 1 ···φ = + + + + ?

Prenem l’equació 2 1 0φ φ− − = , de la que es pot obtenir: 1φ φ= + . Si sempre

substituïm φ per 1 φ+ obtindrem una expressió infinita per a Phi:

1 1 1 1 ···φ = + + + +

6) D’on surt que 11 11 111 ···

φ = ++

++

?

Prenguem de nou l’equació 2 1 0φ φ− − = i disposem-la de la següent manera:

2 1φ φ= + . Dividim-la entre Phi. Obtindrem 11φφ

= + . Si, com abans, sempre

substituïm φ per 11φ

+ obtindrem de nou una expressió infinita per a Phi.

La informació d’aquest apartat 2 és la base informativa mínima necessària per seguir

amb la recerca entorn al nombre phi.

10 La successió de Fibbonaci es treballa a l’apartat 4.1.

3.EL NOMBRE D’OR I L’HOME

“L’home és la mesura de totes les coses” Protàgores (Sofistes antropocèntrics)

3. EL NOMBRE D’OR I L’HOME________________________________________

3.0. EL BRESSOL DE LA MATEMÀTICA OCCIDENTAL___________________

Fa més de 2700 anys, tant Egipte com Mesopotàmia gaudien de presumibles

avenços culturals. Nosaltres ens fixarem en la matemàtica, emprada instrumentalment

en ambdós pobles. Va ser cap al segle VII aC. quan aquests coneixements es

desplaçaren a la no llunyana Grècia, on agafaren un caire molt menys pràctic...

Al llarg dels temps l’home s’ha plantejat grans dubtes per als quals no tenia una

resposta racionalment convincent. Va ser arrel d’aquestes preguntes, en aquells

moments intangibles racionalment per l’home, que aparegué la mitologia i la creença en

els déus. Una de les cultures amb més diversitat de déus i deesses és la de l’antiga

Grècia (només superada per l’antiga cultura romana). Qualsevol fenomen inexplicable

era atribuït a les divinitats. El tro i el llampec eren atribuïts a Zeus; el naixement i la

mort, a les harpies de l’Hades; la creació de la Via Làctea, a Hera... I podríem seguir

omplint pàgines amb exemples similars. Els Déus tot ho controlen, tot ho ordenen,

prenent com a guies el bé, la justícia, la mesura11.

Però les coses canviaren quan els coneixements egipcis i mesopotàmics

arribaren a Grècia. Lentament, l’ordre còsmic atribuït anteriorment a l’acció dels déus

començà a ser explicat mitjançant el raonament lògic. Ara no eren els déus qui

ordenaven el món circumdant racionalment, sinó l’home.

La matemàtica perdé la finalitat únicament pràctica que tenia per esdevenir

d’interès per sí mateixa, és a dir, que s’aprenia per aprendre, sense buscar-li una utilitat

directa, per curiositat intel·lectual.

11 L’ordre còsmic segons Plató.

Cal destacar dues grans figures de la matemàtica grega, que també feren grans

canvis en la dinàmica de la ciència: Thales i Pitàgores. Thales, anomenat “el primer

matemàtic”, fou nascut a Mileto. Pitàgores, anomenat també “el pare de la matemàtica”,

nasqué a l’illa de Samos. Ambdós llocs es trobaven a les costes jòniques (actual

Turquia), i eren molt pròxims a Egipte i Mesopotàmia. Així, i gràcies als seus viatges

pel Mediterrani, als dos matemàtics els va ser més fàcil d’adquirir els coneixements

matemàtics d’ambdues ancestrals cultures.

Ambdós van encaminar la geometria per una via mol menys empírica del que

havia estat. Aquesta esdevingué purament racional, una disciplina teòrica i abstracta,

sense instruments ni mesures de cap mena. L’estudi de la geometria es basà en la

intuïció d’idees i el discurs mental. Va ser el començament de la matemàtica com a

ciència deductiva.

3.1. LA SECTA PITAGÒRICA__________________________________________

3.1.1. QUI VA SER PITÀGORES? QUÈ VA SER LA SECTA PITAGÒRICA?

S’ha arribat a posar en dubte l’existència real d’algú anomenat Pitàgores. De fet,

no és pas impossible que la figura de Pitàgores no fos més que això, una figura; una

mena de símbol que serviria per representar el pensament i forma de vida pitagòrics. De

fet, fins i tot Aristòtil (entre d’altres personalitats), que només visqué 200 anys després

que suposadament ho feu Pitàgores, no s’atreví a mencionar el nom de Pitàgores tot

referint-se a una persona. En comptes d’això, es referia als “pitagòrics”. Tot i així,

actualment, els historiadors confirmen l’existència de Pitàgores com a personatge real.

Entre d’altres coses, es basen en escrits de l’antiga Grècia, com els de Ion de Quíos,

Jenòfanes i Heràclit d’Efeso, on es veu evidenciat que escrivien de Pitàgores com a

persona individual.

La secta pitagòrica reunia a diverses persones d’ambdós sexes unides per una

mateixa fe i un mateix estil de vida. Els pitagòrics creien en la transmigració de les

ànimes (metempsicosis), és a dir, en la reencarnació d’una ànima en un altre cos, el qual

es correspon a l’anterior vida portada per l’ànima. Per exemple, si un humà es comporta

com un animal, en la següent vida la seva ànima es reencarnarà en un cos d’animal. Per

a evitar aquesta degradació de l’ànima, els pitagòrics duien una vida ascètica, privada

del materialisme i d’allò purament terrenal. També alimentaven l’ànima amb el

coneixement, la reflexió i l’estudi de la veritat còsmica. Però no deixaven el cos

completament de banda, ans el contrari; mantenien dietes estrictes (vegetarianes, doncs

no volien córrer el risc d’ingerir el cos d’un amic. l’ànima del qual s’hagués transmigrat

en un animal) i règim esportiu diari. Mitjançant totes aquestes activitats físiques i

mentals, els pitagòrics pretenien elevar la seva ànima al màxim, aconseguint d’aquesta

manera alliberar-la del cos i esdevenir déus.

Els pitagòrics es dividien en dos grups segons la mena de coneixement

que adquirien: els akusmàtics (auditors) i els matemàtics (coneixedors). Els akusmàtics

llegien el cosmos a base de dogmes, creences, afirmacions indemostrables. Els

matemàtics intentaven explicar el cosmos de manera racional i demostrable.

És possible que una de les causes de la dissolució de la secta pitagòrica sigui

que, un cop mort Pitàgores, ambdós corrents intel·lectuals s’enfrontessin i provoquessin

el trencament de la secta.

3.1.2. EL PENTÀGON DE LA SECTA________________________________

Els pitagòrics tenien un símbol que els representava, que els permetia

identificar-se entre ells. Aquest símbol és l’estrella que es descriu en traçar les diagonals

d’un pentàgon regular, l’anomenat pentacle, pentalfa, pentagrama místic. Triaren

aquesta figura com a representativa per la seva bellesa i propietats característiques.

Aquesta figura, a més, té una estreta relació amb el nombre auri. Observem per què:

La raó entre la diagonal i el costat d’un

pentàgon regular és phi.

1) Traci’s un pentàgon regular de costat 1

inscrit en una circumferència. Traçar les

diagonals del polígon. Anomenar vèrtex

segons la figura.

2) Les diagonals del pentàgon mesuren x cada una.

3) Prendre el triangle CDE. El costat gran del triangle és x

(diagonal del pentàgon). El costat petit és 1 (costat del

pentàgon).

4) Prendre triangle CFG.

* AFD FAC ACF= + (per teorema de l’angle exterior)

DAC ACB= (Per naturalesa del pentàgon regular)

DAE EAB BAC ACD DCE ECB= = = = = (Per angles inserits, arcs iguals)

DAF FAC ACF AFD= + = (segons els tres subpunts anteriors)

1AD DF= =

* DC x= (diagonal del pentàgon); 1DF = ; 1FC x= −

* AB x= (diagonal del pentàgon); 1AG = (Demostració ≈ punt4); 1FB = ;

2FG x= −

5) Costat gran del triangle FCG / costat gran del triangle DCE =

= costat petit del triangle FCG / costat petit del triangle DCE

2 2

2 12

2

1 ; (2 ) 1;2 1; 1 0;1 2

1 51 ( 1) 4·1( 1) 1 5 21 0;

2·1 2 1 52

x x x x x x x x xx x

xx x x

x

φφ

ϕ

= − = − − = − − + + =− −

+= = ± − − − ± − − = = = = = −= = −

diagonal/costat = 1 1x φ φ= =

Q.e.d.

FB/AF= Ф

1) FB= 1

2) AF= x-1

3) 1 1 11 1x

φφ ϕ

= = =− −

(pàg. 28, fig.1 i fig.2)

Q.e.d.

Aquestes relacions es repeteixen també entre els sinus dels angles i les divisions de la

resta de segments del pentàgon i pentacle.

3.2. L’HARMONIA DE L’ART__________________________________________

Nombroses obres d’art i d’arquitectura amaguen i estan basades en el nombre

d’or. Pitàgores demostrà que la proporció d’or es trobava en tot el cos humà, cosa que

repercutí en l’art i arquitectura grecs. Això es pot veure reflectit en grans edificis com el

Partenó o el temple de Ceres.

Acròpoli d’Atenes i el Partenó.

Temple de Ceres Esquema del temple de ceres

La base i l’alçada del Partenó són

les d’un rectangle auri. Així mateix,

fent subdivisions àuries successives

al “rectangle principal” es pot

observar com la proporció àuria

participa en més detalls de

El Partenó, acròpolis d’ATENES. l’estructura del temple.

Però la proporció d’or també apareix en

construccions anteriors a Pitàgores. Com per

exemple la piràmide de Keops, Egipte. Si dividim

la hipotenusa del triangle ABC (Figura de la dreta)

entre l’altura de la piràmide (Catet AB del triangle Esquema de la piràmide de Keops

ABC) obtenim el nombre d’or (aproximat fins al quart decimal).

La tomba rupestre de Mira

també guarda relació amb

Phi. A l’estructura general

s’hi pot descriure un

pentàgon regular (i, per

tant, també el pentacle), i a

la porta, un triangle auri.

Tomba rupestre de Mira

A la façana de catedrals com la

Nôtre Dame de Paris i la de

Chartres també presenten la

proporció d’or.

Catedral de Nôtre Dame Catedral de Chartres

Talment com Pitàgores ho va fer, Leonardo Da

Vinci estudià les proporcions del cos humà i

tornà a mostrar que les diferents parts del nostre

H.deVitrubi cos estaven relacionades amb el nombre d’or. Da

Vinci va fer nombrosos estudis del cos humà. El més conegut

segurament és l’home de Vitrubi. Però en té molts més i més

laboriosos que aquest.

Estudi del cos humà, L.da Vinci

La famosa Gioconda de Da Vinci també

presenta la divina proporció: la dama està inscrita en

un rectangle auri. La zona no negra dels braços i les

mans també pot ser limitada per un rectangle auri. El

fons del quadre presenta diverses divisions àuries. A

la figura de l’esquerra es pot apreciar.

Una altra obra de Da Vinci,

Sant Jeroni. La figura central

La Gioconda, Leonardo Da Vinci del sant pot ser perfectament

enquadrat en un rectangle auri. El rectangle pot ésser dividit en

proporció àuria de manera que la línia de divisió talla just per on

acaba el braç en la figura central. St. Jeroni, L. Da Vinci.

Rafael també emprà la proporció

d’or per a les seves obres. Un bon

exemple és la pintura la crucifixió

del mencionat artista. En ell s’ha

emprat el pentacle i el triangle auri

obtingut en allargar dos dels costats

d’aquest per a la construcció de la

figura.

La crucifixió, Raphael. La crucifixió, Raphael.

En diversos quadres de Salvador Dalí també s’empra

la divina proporció. Cal destacar El sacrament de

l’últim sopar i Leda atómica, del que es conserva

l’estudi previ, on es posa de manifest la intenció de

El sacrament de l’últim sopar, S.Dalí l’artista d’emprar phi en la pintura.

Michelángelo

emprà la

proporció d’or

en el quadre

La sagrada família La sagrada família,

i en l’escultura de David, Michelángelo

Leda atómica, S.Dalí

el cos humà perfecte. Tant pels grecs com per als

renaixentistes (que, sens dubte, feren una regressió als

valors clàssics) phi és símbol de bellesa, però... i ara?

David, Michelángelo.

3.3. ÉS EL NOMBRE D’OR ESPECIALMENT ATRACTIU PER A LA GENT?___

3.3.1. EL NOMBRE D’OR I LA BELLESA_____________________________

La bellesa ha adquirit un paper important a la nostra societat. Podem veure

models de bellesa a diversos medis de comunicació i divulgació (talment com a revistes

i, de manera remarcable, a la televisió), augmenta el nombre de centres d’estètica i la

cirurgia plàstica ens és més familiar que desconeguda.

Però què és la bellesa? Un model imposat per la societat i la moda? Una

abstracció? O bé un concepte que consta de definició pròpia?

Al vídeo “La cara humana” (The human face a l’original) de la BBC se’ns

presenta el dilema. S’hi explica que, arrel de diverses enquestes i estudis aplicats a

persones de tots els països, edats i d’ambdós sexes, es pot treure la conclusió de que phi

està decididament relacionat amb el que nosaltres anomenem bellesa.

Em va atraure especialment una enquesta que intentava demostrar que la bellesa

no és tant subjectiva com es sol creure, i que és una visió independent del país, edat i

sexe. L’enquesta constava en presentar trenta fotografies de diverses cares de persones,

unes de bellíssimes, d’altres d’atractives, algunes de normals, algunes poc afavorides i,

fins i tot, cares desfigurades. L’enquestat havia d’ordenar les cares de més belles a

menys belles. Pràcticament tothom, independentment de la seva raça, edat... col·locà les

cares en el mateix ordre.

També em cridà l’atenció la màscara de la bellesa, o phi mask. És una màscara

construïda a partir de la proporció àuria i mitjançant figures com el pentàgon, el triangle

auri... Com més s’adapta una cara (masculina o femenina) a aquesta màscara, més

atractiva resulta a la gent.

Màscara de la bellesa, phi mask, visió frontal.

Màscara de la bellesa, phi mask. Visió de perfil.

La màscara phi ha estat sobreposada a fotografies de les cares que, segons la

gent, són més belles. Les faccions facials dels individus més bells i les geometries de la

màscara solen encaixar força bé.

Escultura femenina de l’antiga Roma.

Pintura de Raphael

Escultura de Nefertiti, antic Egipte.

Fotografia de Greta Garbo

Fotografia de Marilyn Monroe.

Fotografia de DetrichMarlene.

.

En aquesta fotografia s’ha aplicat la phi mask del somriure. Una

cara somrient sol ser més bonica. Això pot ésser degut a la figura

pentagonal que es descriu al somriure.

Fotografia de Heidi Klum

Tot i que no tenia relació directa amb el que pretenia amb aquest treball, arrel de

l’estudi d’aquest vídeo vaig decidir fer un petit estudi propi sobre phi i la bellesa.

3.3.2. ENQUESTA TEST____________________________________________

3.3.2.1.PREPARANT L’ENQUESTA_____________________________

Abans de fer el disseny de l’enquesta havia de decidir què em preguntava

exactament, sobre què volia obtenir resultats. La pregunta que em vaig formular va ser:

“Resulta el nombre d’or especialment atractiu a la gent?”

La meva hipòtesi fou que sí. Ara era necessari comprovar-ho.

No vaig voler basar-me amb el cos humà, ja que la seva relació amb phi i la

bellesa estava força ben explicat al vídeo, i jo volia fer alguna cosa diferent. Vaig

decidir basar-me en figures geomètriques relacionades amb la proporció àuria.

A partir d’aquí, ja podia començar a recollir i dissenyar diverses figures que

tinguessin alguna cosa a veure amb phi. Cal dir que el primer intent no va ser ni molt

menys el definitiu; cal tenir en compte que no partia de cap base acadèmica relacionada

amb l’estadística ni cap mena de coneixement sobre com fer una enquesta (i donat que

el temps no era prou extens com per a fer una enquesta partint d’una bona base, vaig

haver de defensar-me amb el que tenia). Explicaré el procés complet del disseny de

l’enquesta, amb els seus errors i correccions.

La figura que segur usaria era, sens dubte, el pentacle (per la seva estreta relació amb el

nombre d’or). Una altra que no podia ésser descartada era el rectangle auri (Figura que

apareix en gran quantitat de llocs al nostre voltant). I la tercera figura insuprimible era el

triangle auri (que es pot obtenir a partir del pentàgon regular).

Pentacle (diagonals del pentàgon regular), rectangle auri i triangle auri.

Com que tres figures eren poques, vaig prendre’n dues més: l’espiral logarítmica i un

rectangle partit en proporció àuria. Vaig decidir prendre el rectangle partit en comptes

de la secció representada linealment perquè em semblava molt més visual i propici per a

l’enquesta.

Espiral logarítmica Divisió àuria.

Ara era necessari pensar com plantejaria l’enquesta per a obtenir els resultats que

cercava. Vaig decidir fer el següent.

Vaig prendre el pentacle regular i dos quadres idèntics més però “buits”. A cadascun

dels quadrats buits hi vaig marcar els vèrtex de dues figures regulars: un octàgon i un

hexàgon. Vaig unir els punts amb tots els altres punts possibles (excepte els contigus)

obtenint d’aquesta manera les diagonals dels respectius polígons regulars.

Pentacle (diagonals del pentàgon regular), diagonals de l’octàgon i diagonals de l’hexàgon.

Era el torn de la següent figura: el rectangle auri. Vaig agafar de nou dos quadrats, però

aquest cop hi vaig traçar dos rectangles no auris.

Rectangle auri, rectangle no auri #1 i rectangle no auri #2.

En el cas del triangle vaig procedir de manera molt semblant al cas del rectangle: vaig

traçar dos triangles no auris a dos quadrats.

Triangle auri, triangle no auri #1 i triangle no auri #2.

Per als dos complementaris a l’espiral logarítmica vaig triar dos deformacions

d’aquesta.

Espiral logarítmica deformada #1, espiral logarítmica i espiral logarítmica deformada #2.

Els dos quadres corresponents als del rectangle partit en proporció àuria van ser

emplenats amb dos rectangles de la mateixa mida però dividits en proporció no àuria.

Rectangle partit en proporció àuria, rectangle no partit en proporció àuria #1 i rectangle no partit

en proporció àuria #2.

Què pretenia amb aquests grups de tres figures? Pretenia presentar-les en format

de targetetes de tres en tres (grup a grup) als enquestats perquè aquests triessin la que els

semblés més bonica i atractiva a la vista. Però a aquest disseny aviat fou substituït per la

presentació en paper, per a un major dinamisme.

Enmig de les cinc preguntes (cadascuna de les quals consta de l’elecció entre

una de les figures de cada grup de tres) n’hi hauria dues que serien per a “despistar”,

com a descans:

El·lipses

Colors

Però la seva utilitat era pràcticament nul·la, pel que vaig decidir substituir-les per dues

preguntes més interessants. Podia, per exemple, fer-me una altra pregunta:

“Què resulta més atractiu, el nombre d’or o la simetria?”

Per a fer aquesta pregunta em vaig fixar en el que l’apartat 2.2.1.1. DIVISIÓ ÒPTIMA

D’UN SEGMENT deia sobre les dues divisions més òptimes i “automàtiques” d’un

segment: la simetria i la divisió en mitjana i extrema raó. Serien les dues proporcions

igual d’atractives per a la gent? O una resultaria més bella que l’altra? Per a

comprovar-ho vaig dissenyar les dues preguntes de simetria i regularitat.

Vaig mantenir la dels el·lipses, on el cercle seria la figura més regular i simètrica.

Tot seguit, vaig prendre una lletra “A” i en vaig fer dues deformacions. Resultaria la no

deformada, la més regular, més triada que les altres?

A deformada #1, A deformada #2 i A regular.

Al final de l’enquesta vaig plantejar una última pregunta que em va semblar

força condicionant: “Coneixes el nombre d’or?”

Ara faltava pensar les últimes variables a tenir en compte. Vaig decidir tenir en

compte el sexe, l’edat, els estudis, la professió, la població i el barri.

El disseny final de l’enquesta consta de dues pàgines grapades, una impresa per

ambdues cares i l’altra impresa per una. L’enquesta és, evidentment, anònima (em vaig

permetre la llibertat de recordar-ho als enquestats en el “títol” de l’enquesta). A cada

pregunta explicava breument què havien de tenir en compte els enquestats a l’hora de

triar una de cada tres figures. Era important que no es fixessin ni en la definició de la

imatge ni en la quantitat de línies o la complexitat del dibuix.

Pàgina #1 de l’enquesta.

3.3.2.2. CONCLUSIONS DE L’ENQUESTA_______________________

Durant el buidat de l’enquesta van sorgir diversos problemes. Primerament, per

qüestió de temps, no va ser possible passar l’enquesta per tot el poble, així que vaig

limitar l’estudi a l’institut. Això va comportar l’eliminació posterior de la variable

“professió” i “Edat”, doncs ja n’hi havia prou amb la de “estudis”. A més, els enquestats

no omplien alguns dels buits, com per exemple el de “BARRI”. La variable “Barri” va

ser també eliminada. Van restar aprofitables les variables “sexe” i “curs o estudis”.

La primera pregunta no va presentar problemes. Cal dir també que la gran

majoria de gent triava l’espiral logarítmica no deformada.

La segona pregunta presentà la primera errada de disseny:

Tot i que a l’ordinador pràcticament no es podia apreciar, la tercera figura presentava

una línia notablement més gruixuda que les altres: la línia vertical. Vaig pensar que la

línia vertical més marcada inspirava simetria, així doncs, vaig decidir que aquesta

pregunta tenia doble resposta: si l’enquestat triava el pentagrama, anotava que s’havia

marcat phi; si l’enquestat triava la última figura, anotava que s’havia preferit la simetria.

La tercera pregunta tampoc presentà problemes. La gran majoria de la gent trià

el cercle en comptes dels altres el·lipses.

La quarta pregunta tampoc presentà problemes.

La cinquena pregunta presentà de nou problemes de disseny. A l’ordinador, les

tres figures es poden apreciar perfectament, però al fotocopiar-les, el gris clar

pràcticament no s’aprecia.

Vaig fer comptar la pregunta, però poca gent triava el rectangle dividit en mitja i

extrema raó.

La qüestió sis no presentà cap problema. Pràcticament tothom trià la “A”

regular, sense deformar.

La qüestió set tampoc presentà problemes.

La pregunta vuit també presentà problemes. Recordem que en aquesta pregunta

s’havia de contestar sí o no a la qüestió: “Saps què és el nombre d’or o la proporció

d’or?”. Hauria hagut d’ésser més precisa, especificant, per exemple, que el fet de només

haver-ne sentit a parlar no és conèixer-lo.

Per últim cal tenir en compte que moltes enquestes van haver d’ésser eliminades

per falta de serietat i rigurositat.

REGISTRES INICIALS

*Nombre total d’enquestes vàlides: 270 *Enquestats vàlids de 1r Cicle d’ESO: 95 *Enquestats vàlidsde 2n cicle d’ESO: 67 *Enquestats vàlids de Batxillerat: 97 *Universitaris (professors) enquestats: 11 TAULES DE REGISTRE

Sexe Estudis Regular./simetr. Phi Phi? f 1r Cicle ESO 1 2 n f 1r Cicle ESO 2 4 n m 1r Cicle ESO 3 2 n f 1r Cicle ESO 2 3 n m 1r Cicle ESO 2 1 n m 1r Cicle ESO 0 3 n m 1r Cicle ESO 1 2 n m 1r Cicle ESO 0 2 n m 1r Cicle ESO 3 0 n f 1r Cicle ESO 2 1 n f 1r Cicle ESO 2 1 n m 1r Cicle ESO 3 4 n f 1r Cicle ESO 1 1 n m 1r Cicle ESO 1 1 n f 1r Cicle ESO 2 1 n f 1r Cicle ESO 1 1 n f 1r Cicle ESO 3 3 n m 1r Cicle ESO 2 4 n f 1r Cicle ESO 0 2 n f 1r Cicle ESO 2 4 n m 1r Cicle ESO 1 2 n f 1r Cicle ESO 1 2 n m 1r Cicle ESO 1 4 n m 1r Cicle ESO 3 3 n f 1r Cicle ESO 1 3 n f 1r Cicle ESO 2 1 n f 1r Cicle ESO 2 4 n m 1r Cicle ESO 0 0 n f 1r Cicle ESO 2 2 n f 1r Cicle ESO 2 2 n

Sexe Estudis Regular./simetr. Phi Phi? f 1r Cicle ESO 1 3 n f 1r Cicle ESO 1 0 n m 1r Cicle ESO 1 4 n m 1r Cicle ESO 2 2 n m 1r Cicle ESO 0 3 n m 1r Cicle ESO 0 2 n f 1r Cicle ESO 1 2 n m 1r Cicle ESO 1 3 n f 1r Cicle ESO 0 2 n m 1r Cicle ESO 1 0 n m 1r Cicle ESO 1 1 s m 1r Cicle ESO 3 1 s m 1r Cicle ESO 2 2 n m 1r Cicle ESO 0 2 s m 1r Cicle ESO 2 2 s f 1r Cicle ESO 3 2 n f 1r Cicle ESO 1 1 n f 1r Cicle ESO 1 1 n f 1r Cicle ESO 1 1 n f 1r Cicle ESO 2 0 n m 1r Cicle ESO 2 4 n f 1r Cicle ESO 3 2 n m 1r Cicle ESO 3 4 n f 1r Cicle ESO 0 2 n m 1r Cicle ESO 3 2 n f 1r Cicle ESO 1 3 s f 1r Cicle ESO 1 3 n f 1r Cicle ESO 0 2 n m 1r Cicle ESO 3 1 n m 1r Cicle ESO 2 3 n m 1r Cicle ESO 2 3 n f 1r Cicle ESO 2 1 n f 1r Cicle ESO 1 2 n m 1r Cicle ESO 0 0 n m 1r Cicle ESO 3 2 n f 1r Cicle ESO 0 1 n f 1r Cicle ESO 2 1 n m 1r Cicle ESO 1 2 n m 1r Cicle ESO 1 0 n f 1r Cicle ESO 3 0 n f 1r Cicle ESO 3 3 n f 1r Cicle ESO 2 3 n f 1r Cicle ESO 3 2 n f 1r Cicle ESO 0 1 n f 1r Cicle ESO 2 1 n m 1r Cicle ESO 1 1 n m 1r Cicle ESO 2 3 n

Sexe Estudis Regular./simetr. Phi Phi? f 1r Cicle ESO 2 2 n m 1r Cicle ESO 2 2 n m 1r Cicle ESO 1 1 n m 1r Cicle ESO 1 0 n f 1r Cicle ESO 2 4 n f 1r Cicle ESO 2 2 n f 1r Cicle ESO 2 1 n f 1r Cicle ESO 2 3 n m 1r Cicle ESO 2 1 n f 1r Cicle ESO 2 4 n m 1r Cicle ESO 0 2 n f 1r Cicle ESO 2 1 n f 1r Cicle ESO 2 2 n m 1r Cicle ESO 2 1 n m 1r Cicle ESO 3 2 n f 1r Cicle ESO 2 3 n m 1r Cicle ESO 0 1 n f 1r Cicle ESO 0 1 n f 2n Cicle ESO 0 1 s f 2n Cicle ESO 3 3 n m 2n Cicle ESO 3 1 s f 2n Cicle ESO 1 2 s f 2n Cicle ESO 2 3 n f 2n Cicle ESO 2 4 n f 2n Cicle ESO 2 2 s f 2n Cicle ESO 1 1 s m 2n Cicle ESO 2 2 n f 2n Cicle ESO 3 2 n f 2n Cicle ESO 2 1 n m 2n Cicle ESO 1 2 n m 2n Cicle ESO 2 3 n f 2n Cicle ESO 1 3 n f 2n Cicle ESO 2 1 n f 2n Cicle ESO 1 2 n m 2n Cicle ESO 1 2 n m 2n Cicle ESO 3 2 n f 2n Cicle ESO 0 5 n m 2n Cicle ESO 3 2 n f 2n Cicle ESO 2 2 n f 2n Cicle ESO 2 3 n f 2n Cicle ESO 2 1 n m 2n Cicle ESO 2 3 n f 2n Cicle ESO 1 3 n f 2n Cicle ESO 3 4 n m 2n Cicle ESO 3 3 n m 2n Cicle ESO 1 3 n m 2n Cicle ESO 1 1 n

Sexe Estudis Regular./simetr. Phi Phi? f 2n Cicle ESO 1 2 n m 2n Cicle ESO 2 3 n m 2n Cicle ESO 1 2 s m 2n Cicle ESO 2 2 s f 2n Cicle ESO 0 2 s m 2n Cicle ESO 3 2 s m 2n Cicle ESO 3 2 n m 2n Cicle ESO 1 2 s f 2n Cicle ESO 2 4 n m 2n Cicle ESO 3 4 s f 2n Cicle ESO 2 1 n m 2n Cicle ESO 2 5 n m 2n Cicle ESO 2 1 n m 2n Cicle ESO 2 3 n m 2n Cicle ESO 2 0 n f 2n Cicle ESO 2 5 n f 2n Cicle ESO 2 4 n m 2n Cicle ESO 2 4 n f 2n Cicle ESO 3 4 n f 2n Cicle ESO 3 1 n f 2n Cicle ESO 2 3 n f 2n Cicle ESO 2 3 n f 2n Cicle ESO 0 4 n f 2n Cicle ESO 2 3 s f 2n Cicle ESO 1 4 s m 2n Cicle ESO 1 2 n m 2n Cicle ESO 0 1 n m 2n Cicle ESO 1 1 n m 2n Cicle ESO 3 3 n f 2n Cicle ESO 0 1 n f 2n Cicle ESO 2 4 n f 2n Cicle ESO 1 2 s f 2n Cicle ESO 1 2 n f 2n Cicle ESO 2 4 n f 2n Cicle ESO 2 2 n m 2n Cicle ESO 2 5 n m 2n Cicle ESO 2 2 n f 2n Cicle ESO 3 3 s f Batxillerat 2 2 n f Batxillerat 1 3 s f Batxillerat 2 4 n m Batxillerat 2 1 s f Batxillerat 2 1 s f Batxillerat 1 2 n m Batxillerat 2 1 n f Batxillerat 1 1 n f Batxillerat 1 3 n

Sexe Estudis Regular./simetr. Phi Phi? f Batxillerat 2 2 n m Batxillerat 1 2 s m Batxillerat 2 1 n f Batxillerat 2 3 n f Batxillerat 2 5 s f Batxillerat 3 4 n m Batxillerat 3 3 s m Batxillerat 3 3 s m Batxillerat 2 3 n f Batxillerat 3 3 n m Batxillerat 0 2 s m Batxillerat 2 1 n f Batxillerat 2 1 n f Batxillerat 2 3 s f Batxillerat 1 0 s f Batxillerat 1 4 s m Batxillerat 3 3 s m Batxillerat 2 4 s m Batxillerat 1 5 n m Batxillerat 2 3 s f Batxillerat 1 3 n f Batxillerat 3 3 n f Batxillerat 1 2 n f Batxillerat 2 2 n f Batxillerat 3 4 s m Batxillerat 2 3 s f Batxillerat 3 2 s m Batxillerat 1 2 s m Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 2 1 n f Batxillerat 3 3 s f Batxillerat 3 4 n f Batxillerat 2 2 n f Batxillerat 2 2 s m Batxillerat 1 3 n f Batxillerat 3 3 s m Batxillerat 2 4 s f Batxillerat 2 5 n f Batxillerat 1 2 n m Batxillerat 2 1 s m Batxillerat 2 1 s m Batxillerat 2 3 n m Batxillerat 3 3 n m Batxillerat 0 0 s m Batxillerat 1 2 n m Batxillerat 1 2 s m Batxillerat 1 5 s

Sexe Estudis Regular./simetr. Phi Phi? f Batxillerat 3 2 n m Batxillerat 2 4 s f Batxillerat 2 3 n f Batxillerat 3 1 s f Batxillerat 2 4 s f Batxillerat 3 3 n f Batxillerat 2 3 s f Batxillerat 2 3 n f Batxillerat 2 2 n f Batxillerat 2 4 s f Batxillerat 1 2 s f Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 2 5 s m Batxillerat 3 4 s m Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 1 3 n m Batxillerat 2 2 s f Batxillerat 2 2 n f Batxillerat 2 5 s f Batxillerat 1 5 s f Batxillerat 2 2 s f Batxillerat 1 3 s f Batxillerat 2 5 s f Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 2 3 s f Batxillerat 2 2 s f Batxillerat 2 1 n f Batxillerat 3 2 n f Batxillerat 2 1 s f Batxillerat 3 3 s m Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 2 3 s f Batxillerat 2 2 s m Batxillerat 2 2 n f Batxillerat 1 3 n m Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 2 2 n m Batxillerat 2 3 s m Batxillerat 2 4 s m Batxillerat 2 0 s m Universitaris 1 3 n f Universitaris 2 2 s m Universitaris 3 3 n m Universitaris 2 2 n m Universitaris 1 2 n f Universitaris 3 2 n

Sexe Estudis Regular./simetr. Phi Phi? f Universitaris 2 3 n m Universitaris 2 5 s m Universitaris 2 4 s m Universitaris 2 3 n f Universitaris 1 4 s f Universitaris 2 3 n m Universitaris 2 5 s m Universitaris 2 4 s m Universitaris 2 3 n f Universitaris 1 4 s

TAULA DE CÀLCULS

Sexe Estudis Simetria?

% Phi? %

f 1r Cicle ESO 33,3 40 f 1r Cicle ESO 66,7 80 f 1r Cicle ESO 66,7 60 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 33,3 20 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 33,3 20 f 1r Cicle ESO 100,0 60 f 1r Cicle ESO 0,0 40 f 1r Cicle ESO 66,7 80 f 1r Cicle ESO 33,3 40 f 1r Cicle ESO 33,3 60 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 66,7 80 f 1r Cicle ESO 66,7 40 f 1r Cicle ESO 66,7 40 f 1r Cicle ESO 33,3 60 f 1r Cicle ESO 33,3 0 f 1r Cicle ESO 33,3 40 f 1r Cicle ESO 0,0 40 f 1r Cicle ESO 100,0 40 f 1r Cicle ESO 33,3 20 f 1r Cicle ESO 33,3 20 f 1r Cicle ESO 33,3 20 f 1r Cicle ESO 66,7 0

Sexe Estudis Simetria? %

Phi? %

f 1r Cicle ESO 100,0 40 f 1r Cicle ESO 0,0 40 f 1r Cicle ESO 33,3 60 f 1r Cicle ESO 0,0 40 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 33,3 40 f 1r Cicle ESO 0,0 20 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 100,0 0 f 1r Cicle ESO 100,0 60 f 1r Cicle ESO 66,7 60 f 1r Cicle ESO 100,0 40 f 1r Cicle ESO 0,0 20 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 66,7 40 f 1r Cicle ESO 66,7 80 f 1r Cicle ESO 66,7 40 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 66,7 60 f 1r Cicle ESO 66,7 80 f 1r Cicle ESO 66,7 20 f 1r Cicle ESO 66,7 40 f 1r Cicle ESO 66,7 60 f 1r Cicle ESO 0,0 20 m 1r Cicle ESO 100,0 40 m 1r Cicle ESO 66,7 20 m 1r Cicle ESO 0,0 60 m 1r Cicle ESO 33,3 40 m 1r Cicle ESO 0,0 40 m 1r Cicle ESO 100,0 0 m 1r Cicle ESO 100,0 80 m 1r Cicle ESO 33,3 20 m 1r Cicle ESO 66,7 80 m 1r Cicle ESO 33,3 40 m 1r Cicle ESO 33,3 80 m 1r Cicle ESO 100,0 60 m 1r Cicle ESO 0,0 0


Phi? %

m 1r Cicle ESO 33,3 80 m 1r Cicle ESO 66,7 40 m 1r Cicle ESO 0,0 60 m 1r Cicle ESO 0,0 40 m 1r Cicle ESO 33,3 60 m 1r Cicle ESO 33,3 0 m 1r Cicle ESO 66,7 40 m 1r Cicle ESO 66,7 80 m 1r Cicle ESO 100,0 80 m 1r Cicle ESO 100,0 40 m 1r Cicle ESO 100,0 20 m 1r Cicle ESO 66,7 60 m 1r Cicle ESO 66,7 60 m 1r Cicle ESO 0,0 0 m 1r Cicle ESO 100,0 40 m 1r Cicle ESO 33,3 40 m 1r Cicle ESO 33,3 0 m 1r Cicle ESO 33,3 20 m 1r Cicle ESO 66,7 60 m 1r Cicle ESO 66,7 40 m 1r Cicle ESO 33,3 20 m 1r Cicle ESO 33,3 0 m 1r Cicle ESO 66,7 20 m 1r Cicle ESO 0,0 40 m 1r Cicle ESO 66,7 20 m 1r Cicle ESO 100,0 40 m 1r Cicle ESO 0,0 20 f 1r Cicle ESO 33,3 60 m 1r Cicle ESO 33,3 20 m 1r Cicle ESO 100,0 20 m 1r Cicle ESO 0,0 40 m 1r Cicle ESO 66,7 40 f 2n Cicle ESO 100,0 60 f 2n Cicle ESO 66,7 60 f 2n Cicle ESO 66,7 80 f 2n Cicle ESO 100,0 40 f 2n Cicle ESO 66,7 20


Phi? %

f 2n Cicle ESO 33,3 60 f 2n Cicle ESO 66,7 20 f 2n Cicle ESO 33,3 40 f 2n Cicle ESO 0,0 100 f 2n Cicle ESO 66,7 40 f 2n Cicle ESO 66,7 60 f 2n Cicle ESO 66,7 20 f 2n Cicle ESO 33,3 60 f 2n Cicle ESO 100,0 80 f 2n Cicle ESO 33,3 40 f 2n Cicle ESO 66,7 80 f 2n Cicle ESO 66,7 20 f 2n Cicle ESO 66,7 100 f 2n Cicle ESO 66,7 80 f 2n Cicle ESO 100,0 80 f 2n Cicle ESO 100,0 20 f 2n Cicle ESO 66,7 60 f 2n Cicle ESO 66,7 60 f 2n Cicle ESO 0,0 80 f 2n Cicle ESO 0,0 20 f 2n Cicle ESO 66,7 80 f 2n Cicle ESO 33,3 40 f 2n Cicle ESO 66,7 80 f 2n Cicle ESO 66,7 40 m 2n Cicle ESO 66,7 40 m 2n Cicle ESO 33,3 40 m 2n Cicle ESO 66,7 60 m 2n Cicle ESO 33,3 40 m 2n Cicle ESO 100,0 40 m 2n Cicle ESO 100,0 40 m 2n Cicle ESO 66,7 60 m 2n Cicle ESO 100,0 60 m 2n Cicle ESO 33,3 60 m 2n Cicle ESO 33,3 20 m 2n Cicle ESO 66,7 60 m 2n Cicle ESO 100,0 40 m 2n Cicle ESO 66,7 100


Phi? %

m 2n Cicle ESO 66,7 20 m 2n Cicle ESO 66,7 60 m 2n Cicle ESO 66,7 0 m 2n Cicle ESO 66,7 80 m 2n Cicle ESO 33,3 40 m 2n Cicle ESO 0,0 20 m 2n Cicle ESO 33,3 20 m 2n Cicle ESO 100,0 60 m 2n Cicle ESO 66,7 100 m 2n Cicle ESO 66,7 40 f 2n Cicle ESO 0,0 20 f 2n Cicle ESO 33,3 40 f 2n Cicle ESO 66,7 40 f 2n Cicle ESO 33,3 20 f 2n Cicle ESO 0,0 40 f 2n Cicle ESO 66,7 60 f 2n Cicle ESO 33,3 80 f 2n Cicle ESO 33,3 40 f 2n Cicle ESO 100,0 60 m 2n Cicle ESO 100,0 20 m 2n Cicle ESO 33,3 40 m 2n Cicle ESO 66,7 40 m 2n Cicle ESO 100,0 40 m 2n Cicle ESO 33,3 40 m 2n Cicle ESO 100,0 80 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 66,7 80 f Batxillerat 33,3 40 f Batxillerat 33,3 20 f Batxillerat 33,3 60 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 66,7 60 f Batxillerat 100,0 80 f Batxillerat 100,0 60 f Batxillerat 66,7 20 f Batxillerat 33,3 60


Phi? %

f Batxillerat 100,0 60 f Batxillerat 33,3 40 f Batxillerat 100,0 80 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 66,7 100 f Batxillerat 33,3 40 f Batxillerat 100,0 40 f Batxillerat 66,7 60 f Batxillerat 100,0 60 f Batxillerat 66,7 60 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 66,7 20 f Batxillerat 100,0 40 f Batxillerat 33,3 60 m Batxillerat 66,7 20 m Batxillerat 66,7 20 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 20 m Batxillerat 33,3 100 m Batxillerat 66,7 20 m Batxillerat 33,3 60 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 100,0 60 m Batxillerat 33,3 40 m Batxillerat 33,3 60 m Batxillerat 66,7 40 m Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 33,3 60 f Batxillerat 66,7 20 f Batxillerat 66,7 100 f Batxillerat 66,7 60 f Batxillerat 33,3 0 f Batxillerat 33,3 80 f Batxillerat 100,0 80 f Batxillerat 100,0 40 f Batxillerat 100,0 60


Phi? %

f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 100,0 60 f Batxillerat 100,0 20 f Batxillerat 66,7 80 f Batxillerat 66,7 60 f Batxillerat 66,7 80 f Batxillerat 33,3 40 f Batxillerat 66,7 60 f Batxillerat 66,7 100 f Batxillerat 33,3 100 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 33,3 60 f Batxillerat 66,7 100 f Batxillerat 66,7 60 f Batxillerat 66,7 40 f Batxillerat 66,7 20 f Batxillerat 100,0 60 f Batxillerat 66,7 40 m Batxillerat 66,7 20 m Batxillerat 33,3 40 m Batxillerat 33,3 100 m Batxillerat 100,0 60 m Batxillerat 100,0 60 m Batxillerat 0,0 40 m Batxillerat 100,0 60 m Batxillerat 66,7 80 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 33,3 40 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 80 m Batxillerat 66,7 20 m Batxillerat 66,7 20 m Batxillerat 0,0 0 m Batxillerat 33,3 40 m Batxillerat 66,7 80 m Batxillerat 66,7 60


Phi? %

m Batxillerat 66,7 100 m Batxillerat 100,0 80 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 40 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 60 m Batxillerat 66,7 80 m Batxillerat 66,7 0 f Universitaris 100,0 40 f Universitaris 66,7 60 m Universitaris 33,3 60 m Universitaris 100,0 60 m Universitaris 66,7 40 m Universitaris 33,3 40 m Universitaris 66,7 60 f Universitaris 66,7 40 f Universitaris 33,3 80 m Universitaris 66,7 100 m Universitaris 66,7 80

CÀLCULS *Percentatge de persones de l’institut que coneixen phi: 30’0% *Percentatge de tria de simetria en enquestats femenins: 55’0% *Percentatge de tria de phi en enquestats femenins: 43’5% *Percentatge de tria de simetria en enquestats masculins: 62’9% *Percentatge de tria de phi en enquestats masculins: 62’9% *Percentatge de tria de simetria en el primer cicle d’ESO: 51’6% *Percentatge de tria de phi en el primer cicle d’ESO: 31’7% *Percentatge de tria de simetria en el segon cicle d’ESO: 59’2% *Percentatge de tria de phi en el segon cicle d’ESO: 50’4% *Percentatge de tria de simetria a Batxillerat: 64’2% *Percentatge de tria de phi a Batxillerat: 53’4% *Percentatge de tria de simetria en antics universitaris: 63’6% *Percentatge de tria de phi en antics universitaris: 60’0%

Basant-me en les dades obtingudes d’un institut no puc obtenir conclusions

especialment significatives i universals. Així doncs, les conclusions que extrec

d’aquesta enquesta giren únicament entorn al meu institut.

Segons els resultats obtinguts, es pot deduir que la simetria i la regularitat en

general resulten més atractius que phi. Tant la simetria i la regularitat com phi resulten

més atractius a les persones de sexe masculí que a les de femení. A partir del segon cicle

d’ESO es pot dir que l’apreciació per la bellesa de phi és significativa, mentre que la de

la regularitat es manifesta ja des del primer cicle.

A més, a mesura que avança l’edat i/o els estudis, la visió de les estructures

regulars i àuries resulta més bella, i la diferència entre l’atracció que produeix la

regularitat i phi va decreixent. Seria necessari fer l’enquesta a adults sense estudis

universitaris per veure si aquests increment i decrement respectivament són deguts a

l’edat o bé als estudis.

És necessari remarcar de nou que aquesta enquesta no demostra res a nivell

universal, sinó a nivell de l’institut enquestat, I.E.S. Manuel Blancafort.

Tot i així no descarto la meva hipòtesi inicial, ja que en aquesta enquesta res l’ha

truncat, ans el contrari (si bé és cert que mostra una major atracció cap a la simetria que

cap a phi).

4.EL NOMBRE D’OR A LA NATURALESA

“El món està compost de

certa harmonia de sons i el cel s’ordena en una modulació harmònica”

Sant Isidre

4. EL NOMBRE D’OR A LA NATURALESA_______________________________

4.0. APAREIX EL NOMBRE D’OR A LA NATURALESA? _________________

Com anteriorment he mencionat, aquest treball és mixt, en el sentit que no

només em baso en la matemàtica, sinó també en la biologia. És el moment de començar

a comparar ambdues ciències:

Charles Darwin, després d’anys i anys d’estudis i observació, elaborà la teoria

de l’evolució12 que, a l’hora, inclou diversos apartats. Per a encaminar el tema per on

ens convé, em fixaré en la selecció natural.

Al llarg dels anys, els individus de les diferents espècies no romanen estàtiques i

idèntiques als seus progenitors, sinó que adopten un seguit d’adaptacions al medi.

Evidentment, aquests canvis no són produïts expressament pels individus, ni es deuen a

“l’ús i el desús” de les habilitats, com un cop defensà Lamarck. Així doncs, per què les

espècies milloren, es perfeccionen, s’adapten millor al medi i s’hi especialitzen?

Imaginem-nos (es tracta d’un cas completament hipotètic) una família ancestral de

cangurs. Temps enrera no tots tenien la cua llarga, per tant, a alguns se’ls feia més

feixuc saltar, doncs perdien l’equilibri amb més facilitat. Això comporta que els

depredadors els cacessin amb més facilitat, impedint la reproducció i transmissió de

gens13 de la seva presa. Aquest fet fa que els cangurs amb la cua més capacitada per al

salt (les dels que s’escapen dels depredadors gràcies a un salt eficaç per a la fugida)

siguin els que tinguin prole i transmetin la seva informació genètica (incloent la referent

a les dimensions de la cua). Per tant, al cap d’un llarg temps, només hi ha cangurs amb

la cua llarga, gaudint així d’un bon equilibri en els grans salts.

12 Charles Darwin, “L’orígen de les espècies” 13 Això és cert, tot i que a la Tª de Darwin no es parla de genètica. Això sí, es menciona l’herència de progenitors a prole.

Així mateix, també cal notar que dues espècies ben diferenciades des del punt de

vista taxonòmic poden presentar vies adaptatives similars en un mateix medi.

L’exemple més clàssic és el del tauró (qualsevol espècie de tauró) i el dofí (o qualsevol

altre cetaci). Ambdós grups presenten una morfologia similar: formes hidrodinàmiques,

aletes... Tot i així, pertanyen a dos grups ben diferents: el tauró és un peix cartilaginós, i

el dofí un mamífer. Això acaba de quedar ben clar en algunes diferències anatòmiques

externes (el tauró presenta petits denticles dèrmics, mentre que el dofí té una pell

“preparada” per al creixement de pèls; i en l’anatomia interna (el dofí té respiració

pulmonar mentre que el tauró té respiració branquial).

El fet és que les espècies s’adapten al medi de la manera més òptima possible, i

que dues espècies diferents poden adaptar-se de maneres similars a un mateix medi

(convergència adaptativa).

La pregunta que em plantejo ara (com he mencionat anteriorment a la

introducció) és la següent: “És possible que, al llarg del temps proporció àuria hagi

estat seleccionada(selecció natural) en diversos aspectes (anatòmics, per exemple...)?”

La meva hipòtesi és que sí, aquesta selecció s’ha produït. Aquí, però, hi ha dues coses a

aclarir: primerament que els individus no presentaran una proporció àuria perfecta, sinó

que, si la meva hipòtesi és correcta, tendiran a tenir-la, doncs les espècies tampoc han

arribat a un estadi evolutiu perfecte. En termes matemàtics (prenent-me la llicència) es

podria expressar l’anterior tot dient que el nombre d’or és un dels límits de la selecció

natural. El segon punt a comentar és que, evidentment, no demostraré que les espècies

hagin anat evolucionant cap al nombre d’or (cosa que comportaria anys i anys d’estudis

i d’observació), però sí que procuraré demostrar la seva presència en l’actualitat en

diverses espècies.

4.1. LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI__________________ _________________

4.1.1. QUÈ ÉS UNA SUCCESSIÓ?___________________________________

Entenem per successió el conjunt de nombres en el que cada nombre guarda

alguna relació amb el següent.

Alguns exemples de successió:

σ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

σ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

σ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

σ 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...

σ 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...

σ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

σ φ, φ2, φ3, φ4, φ5, ...

σ 1’7, 1’77, 1’777, 1’7777, ...

Cadascun dels nombres d’una successió és un terme de la successió, els quals es

numeren segons la posició que presenten. La primera posició es sol anomenar zero, però

també és correcte anomenar-la posició ú. La simbologia genèrica d’un terme és

{ }n nσ

∈14, on σ és el terme en sí, i n la posició d’aquest en la successió.

La successió té primer terme, però mai darrer.

En moltes successions existeix una fórmula, el terme general, que dóna el valor

de nσ quan es coneix n. Per exemple, el terme general de la successió 1, 2, 3, 4, 5, ... és

1n nσ = + ; el de la successió 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... és 3 2n nσ = + ; etc... És fàcil

comprovar que això és cert, només cal triar un dels nombres de la successió, substituir

la x de la fórmula per la seva posició en la successió i fer les operacions que la fórmula

14 ∈ simbolitza “...pertany a...”

indica. Si el resultat és el nombre emprat (i això passarà sempre que la fórmula sigui

correcta i s’hagin fet correctament les operacions) tindrem demostrada l’anterior

afirmació.

Algunes successions són recurrents. Això vol dir que els seus termes s’obtenen

en funció d’altres termes d’aquesta.

Ara ens fixarem en un dels primers exemples, la successió recorrent15

1,1,2,3,5,8,13,21... que és sobre la que realment ens interessa parlar: La successió de

Fibbonaci.

4.1.2. LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI A LA NATURALESA____________

Per a entendre com s’arriba a la successió de Fibonacci haurem de situar-nos en

un món ideal i òptim. En concret, ens fixarem en la reproducció dels conills (un clàssic

de la successió de Fibonacci). Imaginem un món ideal en el que els conills es

reprodueixin d’una manera força òptima. Les condicions serien les següents:

1) Els conills no moren mai.

2) Una parella de conills es pot reproduir a partir dels dos mesos de vida

3) A partir d’aquests dos mesos, cada mes té prole (Un mascle i una femella)

4) Dos conills germans (mascle i femella, s’entén) podran tenir prole sana i

sense problemes a nivell genètic.

Escenifiquem la situació:

En un recinte tancat tenim una parella de conills, un mascle i una femella.

Suposarem que acaben de néixer i anomenarem aquest instant “moment 0”. Passat un

mes els conills encara no estan preparats per a tenir prole; seguim tenint una parella

15 Per obtenir el valor d’un terme, cal sumar el valor dels seus dos anteriors termes: 1 2n n nσ σ σ− −= + ;

Els seus dos primers termes són 1: 0 1 1σ σ= = ; a partir d’aquestes dues premisses, queda determinada la successió de Fibbonaci.

(Parella 1). Al segon mes tenen una parella de conills, un mascle i una femella (Parella

2); ja tenim dues parelles. Al tercer mes, la primera parella té una altra parella (Parella

3), però la segona parella encara no poden reproduir-se; tenim tres parelles. Al quart

més, la primera parella torna a tenir una altra parella (Parella 4), la segona parella, una

altra parella (Parella 5), però la parella tres encara no pot reproduir-se. Ja tenim cinc

parelles de conills: la parella inicial (Parella 1), els seus sis fills (3 parelles) i els fills de

la segona parella. (···) Aquesta situació es pot allargar fins a l’infinit.

Representem gràficament la reproducció “òptima” dels conills fins al mes 6:

Però la successió de fibbonaci es fa evident en altres fenòmens i estructures de la

naturalesa. Cal destacar, per exemple, la disposició de

les branques d’alguns vegetals.

Algunes plantes creixen tot dibuixant un esquema com

l’anterior (el de les parelles de conills), on a partir de

cada bifurcació es pot comptar en horitzontal un

Creixement ideal d’una planta nombre de branques que coincideix

amb alguns dels valors de la successió de Fibbonaci. A més, el

nombre de pètals d’una flor i d’altres estructures animals i vegetals

sol coincidir amb el valor d’un nombre de la successió de

Fibbonaci. Secció de plàtan amb 3 talls naturals.

4.1.3. RELACIÓ DE LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI AMB PHI_I

D’ALTRES CURIOSITATS I PROPIETATS MATEMÀTIQUES_________________

Leonardo da Pisa, més conegut com a Fibonacci, fou un matemàtic medieval

força conegut. Ell trobà i estudià la famosa successió que porta el seu nom. Emprant

l’esmentada successió com a eina, Fibonacci estudià el creixement harmònic de la

natura i la vinculació que la successió tenia amb la proporció d’or.

Per observar la relació existent entre la successió i phi farem dues taules.

La primera (Taula F1) mostrarà quatre columnes. La primera amb la posició del

terme en la successió (n). La segona amb els vint-i-un primers termes de la successió

( nσ ). La tercera amb els corresponents termes anteriors als de la columna adjacent16

16 Exceptuant el primer terme que, per ser el primer, no té anterior.

1nσ − ). La quarta columna mostrarà els respectius valors resultants al dividir cada

terme amb el seu anterior 1

n

n

σσ −

. Observem aquests valors:

------(TAULA F1)-----------------------------------------------------------------------------------

N nσ 1nσ −

1

n

n

σσ −

0 1 - - 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1,5 4 5 3 1, 6 5 8 5 1,6 6 13 8 1,625 7 21 13 1,615384615... 8 34 21 1,619047619... 9 55 34 1,617647059... 10 89 55 1,618 11 144 89 1,617977528... 12 233 144 1,61805 13 377 233 1,618025751... 14 610 377 1,618037135 15 987 610 1,618032787... 16 1597 987 1,618034448... 17 2584 1597 1,618033813... 18 4181 2584 1,618034056... 19 6765 4181 1,618033963... 20 10946 6765 1,618033998...

Gràfica corresponent a la taula de valors 1 (TAULA F1)

GRÀFIC DE LA TAULA 1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Posició

Valo

r

Serie1

Tenint en compte que el valor aproximat de phi és 1,61803399, podem intuir que

els valors de la quarta columna s’aproximen cada vegada més a phi. És més, les

divisions dels termes senars amb el seu anterior terme donen aproximacions inferiors a

phi, mentre que la divisió dels termes parells entre el seu anterior donen aproximacions

majors que phi. Demostrem-ho :

1 2 2 2

1 1 1 1

2

lim lim lim 1 1 lim

1 11 1 1 0

n n n n n

n n n nn n n n

X

X X X XX X

σ σ σ σ σσ σ σ σ

φ

− − − −

→∞ →∞ →∞ →∞− − − −

+= = = + = + =

= + ⇒ = + ⇒ − − = ⇒ =

La segona taula (TAULA F2) també constarà de quatre columnes. La primera

amb la posició dels termes (n). La segona amb els primers vint-i-un termes de la

successió ( nσ ). La tercera amb els termes següents corresponents ( 1nσ + ). La quarta

columna mostrarà els valors obtinguts al dividir un terme entre el seu següent 1

n

n

σσ +

.

-----TAULA F2--------------------------------------------------------------------------------------

N nσ 1nσ +

1

n

n

σσ +

0 1 1 1 1 1 2 0,5 2 2 3 0, 6 3 3 5 0,6 4 5 8 0,625 5 8 13 0,615384615... 6 13 21 0,619047619... 7 21 34 0,617647059... 8 34 55 0,618 9 55 89 0,617977528... 10 89 144 0,61805 11 144 233 0,618025751... 12 233 377 0,618037135 13 377 610 0,618032787... 14 610 987 0,618034448... 15 987 1597 0,618033813... 16 1597 2584 0,618034056... 17 2584 4181 0,618033963... 18 4181 6765 0,618033998... 19 6765 10946 0,618033985... 20 10946 17711 0,61803399...

Gràfica corresponent a la taula de valors 2 (TAULA F2)

GRÀFICA DE LA TAULA 2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Posició

Valo

r

Serie1

Tenint en compte que el valor de “phi menor” (ϕ ) és 0,61803399... podem

intuir que els valors de la quarta columna s’aproximen cada cop més a phi menor. Demostrem-ho:

1 2 2 2

1 1 1 1

2

lim lim lim 1 1 lim

1 11 1 1 0

n n n n n

n n n nn n n n

X

X X X XX X

σ σ σ σ σσ σ σ σ

φ

− − − −

→∞ →∞ →∞ →∞+ − − −

+= = = + = + =

= + ⇒ = + ⇒ − − = ⇒ =

Fibbonaci, a més, té relació amb l’anomenada

piràmide de Pascal. La piràmide de Pascal s’obté tot

escrivint progressivament la suma de dos nombres

entremig i a sota d’aquests. Per exemple, si tenim un 1

i un 3 (marcats en blau al dibuix de l’esquerra) els

Piràmide de Pascal haurem de sumar i escriure el valor de la seva suma (4)

a sota seu. De moment ja es veu que és un procediment força semblant al de l’obtenció

dels termes de la successió de Fibbonaci (on per obtenir un terme s’havien de sumar els

valors dels dos anteriors), però analitzem-ho.

Si sumem els nombres de la

piràmide en diagonal, talment

com la figura de l’esquerra ho

mostra, anirem obtenint els

termes de la successió de

Fibbonaci.

Relació de la piràmide de Pascal amb la Successió de Fibbonaci.

4.2. L’ESPIRAL LOGARÍTMICA______________________ _________________

4.2.0. QUÈ ÉS L’ESPIRAL LOGARÍTMICA?___________________________

Les espirals logarítmiques són funcions del tipus br ae θ= ó de components:

: cos: sin

b

b

x a ey a e

θ

θ

θθ

Les constants a i b determinen la representació gràfica concreta de l’espiral.

No puc escriure més sobre les espirals logarítmiques ja que no tinc els

coneixements necessaris per a entendre més.

4.2.1. OBTENCIÓ DE L’ESPIRAL LOGARÍTMICA I RELACIÓ AMB EL

NOMBRE D’OR________________________________________________________

Si es construeix una espiral tot seguint un dels dos mètodes posteriorment

explicats, obtindrem una aproximació a una espiral logarítmica, relacionada amb phi, de

certs valors a i b17.

La manera més senzilla d’obtenir una espiral logarítmica relacionada amb phi

emprant regle, escaire i compàs és partint de la figura del rectangle auri18. Tot seguit, cal

seguir els següents passos:

Un cop obtingut el rectangle auri, “inscriure-hi” un quadrat de costat igual al costat menor del rectangle. Anomenem els vèrtex del quadrat, començant pel superior dret i en l’ordre de les agulles del rellotge W, X, Y, Z. Fent això ens quedarà el rectangle dividit en un quadrat i en un altre rectangle auri.

17 Amb la meva tutora de recerca hem intentat trobar els valors a i b, però el temps se’ns ha llençat al damunt sense haver-ho encara aconseguit. 18 Al punt 2.2.2. s’explica com obtenir-lo.

Repetim el procés anterior amb el rectangle auri petit i amb els rectangles que anem obtenint.

Tracem amb el compàs un arc de circumferència d’un color diferent de centre X i radi XY.

Repetim el procés anterior per cada quadrat obtingut i haurem traçat una espiral logarítmica.

L’espiral logarítmica també es pot obtenir partint del triangle auri19, tot seguint

uns passos molt similars als anteriorment explicats.

Triangle auri. Triangle auri dins Cadena espiral del primer. de triangles auris. Espiral logarítmica obtinguda a partir d’un triangle auri. Com abans he dit, aquests dos mètodes només ens permeten l’obtenció d’una

espiral logarítmica de manera aproximada; és clar que no podem obtenir una espiral

logarítmica a partir d’arcs de circumferència.

19 Al punt 2.2.3. s’explica com obtenir-lo.

Ara ja sabem perquè es pot dir que l’espiral logarítmica està relacionada amb

phi, però quina relació té tot això amb la naturalesa?

4.2.2. L’ESPIRAL LOGARÍTMICA A LA NATURALESA________________

El lloc on resulta més evident l’aparició de l’espiral logarítmica

és a les closques d’alguns

invertebrats. Es pot mencionar, per

exemple, la closca de qualsevol

cargol que podem trobar pel carrer, alguns cargols

de mar... però la closca

que cal destacar és la del Nautilus, Nautilus sp.

Nautilus, Nautilus sp. .La

forma com es disposen les

pipes d’un gira-sol o els

“pinyons” d’una pinya també

traça espirals logarítmiques. Així

mateix, les galàxies també es

disposen traçant espirals logarítmiques.

Perquè fos possible que la closca del

Nautilus tracés una espiral logarítmica, les

partícules que conformarien l’individu

haurien d’ésser infinitament petites. De

fet, l’espiral obtinguda mitjançant arcs de circumferència segurament s’aproxima més a

la forma de l’animal.

4.3. ESTRUCTURA D’ALGUNES PLANTES______________________________

4.4.0. PER QUÈ HE DECIDIT FER AQUEST EXPERIMENT?_____________

Vaig arribar a llegir força informació sobre la relació de les plantes i la natura en

general amb el nombre phi. Però em negava a escriure el que havia llegit sens més, que

si bé era molt interessant, li mancava el major interès i aprofundiment de l’experiència

pròpia.

4.4.1. PREPARACIÓ DE L’OBSERVACIÓ_____________________________

Així vaig decidir prendre un cert terreny i buscar tot allò natural que tingués

qualsevol relació amb phi. Vaig triar el “bosquet” del pati del meu institut, l’I.E.S.

Manuel Blancafort de La Garriga. Se’m va facilitar un plànol del mencionat bosquet20,

on hi marcaria els llocs on aniria trobant les espècies amb certa relació amb phi. A més,

vaig dissenyar unes petites fitxes per a anar anotant les meves observacions i faria

fotografies de les espècies d’interès.

Però per desgràcia, poc després del començament de curs, l’Ajuntament de La

Garriga va decidir “netejar” el bosquet, pel que van reduir substancialment la quantitat

d’espècies a estudiar. A causa d’aquest incident, l’experiència ha quedat força més

dispersa. Vaig ampliar l’estudi de manera que recaigués a tota planta o animal en que

trobés la proporció d’or.

Però va aparèixer un altre problema. Durant algunes tardes d’exploració i

fotografia vaig emprar una màquina fotogràfica digital de no massa qualitat, i la majoria

de fotografies no varen ser aprofitables. Finalment vaig aconseguir una Reflex, amb la

que les fotos haurien d’haver tingut una qualitat notable, però vaig tenir tamb. A partir

d’aquí, ja només feia falta agafar la càmera i un regle, i anar a la recerca.

20 Gràcies, Roser!!!

Plànol de la zona a estudiar

NOM COMÚ: Sòl: Inclinació:

NOM CIENTÍFIC: Humitat mitjana: Temperatura mitjana:

Fulla:

Flor/Fruit:

Tija:

Dibuix i mides:

Prototip #1 de fitxa de camp

4.4.2. OBSERVACIÓ SOBRE EL TERRENY_(LLIBRETA DE CAMP)______

Com anteriorment he mencionat, les fotos amb la càmera digital no eren massa

bones... Però n’he pogut aprofitar algunes. La il·luminació a les fotografies amb la

càmera Reflex tampoc és massa bona, però n’he descartat poques.

*____SEGONS LA PROPORCIÓ MARCADA PELS PECÍOLS EN LA SEVA

DISTRIBUCIÓ A LES TIJES I BRANQUES

*____NOMBRE DE PÈTALS O FULLES EN UNA FULLA COMPOSTA

COINCIDENTS AMB EL VALOR D’UN DELS TERMES DE LA SUCCESSIÓ DE

FIBBONACCI (QUE NO SIGUI 1)

*____D'ALTRES RELACIONS_AMB PHI

RELACIÓ AMB PHI: Les puntes de la fulla coincideixen amb dos dels termes de la

successió de Fibbonaci; 3 i 5. Ambdues fulles són del mateix individu.

Les puntes de la fulla coincideixen amb un terme de la successió de Fibbonaci; 3.

RELACIÓ AMB PHI: La disposició dels pinyons dibuixa espirals logarítmiques

RELACIÓ AMB PHI:

Disposició de les fulles de manera

que coincideixen formant un

nombre de sortints coincident

amb un terme de la successió de

Fibbonaci.

Imatge extreta d’internet.

4.4.3. CONCLUSIONS________________________________________

Tot i que no em va ésser possible de fotografiar-ne gaires (no tenia la càmera a

mà quan ho vaig veure), també vaig veure gran quantitat de flors amb corol·les

constituïdes per pètals de nombre coincident amb un dels termes de la successió de

Fibbonaci), cargols (closca dibuixant una espiral logarítmica) i més plantes amb

proporcions àuries.

Quatre de les millors fotografies que vaig fer no han pogut ésser ni tan sols

revelades. A la primera hi apareixia una mandarina sense pelar (mostrant com el calze

era constituït per 5 sèpals <pentàgon>), amb una altra mandarina pelada al costat (amb

deu grans, <Decàgon, 2 pentàgons, l’un girat 30º respecte de l’altre>). A la segona hi

apareixien una taronja pelada, una taronja sense pelar i una rodanxa de taronja;

s’evidenciaven les mateixes relacions amb phi que a la fotografia de la mandarina. A la

tercera s’hi podien apreciar la secció d’un plàtan, que presentava 3

(terme de la successió de Fibbonaci) divisions al centre. He llegit que

els plàtans poden presentar tant tres com 5 (terme de la successió de

Fibbonaci i nombre relacionat amb el pentàgon) divisions d’aquesta

imatge d’internet mena. A la última fotografia s’hi apreciava la part inferior d’un

enciam (sense les arrels). Les cinc fulles més exteriors feien pensar en un pentàgon.

La relació que phi té amb la naturalesa no és exacta, ja que el que la matemàtica

exposa no deixa d’ésser idealista i difícilment representable a la realitat. El que sí que és

veritat és que s’intueix la tendència de la naturalesa a prendre estructures relacionades

d’una manera o altra amb el nombre.

5.CALAIX DE SASTRE: EL NOMBRE D’OR A

D’ALTRES LLOCS

5. CALAIX DE SASTRE: EL NOMBRE D’OR A D’ALTRES LLOCS__________

És difícil fer un treball de recerca sobre el nombre d’or, puix que apareix a tants

llocs que es fa realment complicat triar què posar-hi i què no. Així doncs, he decidit fer

un cinquè apartat on comentaré algunes relacions àuries realment sorprenents.

EL NOMBRE D’OR I EL DNA (Desoxiribonucleid acid) O ADN (àcid

desoxiribonucleic). La doble cadena helicoidal d’ADN (formada per glucoses, fosfats i

quatre menes de bases) presenta relacions amb el nombre d’or. Si disposem la hèlix de

forma horitzontal i la tractem com a una funció sinusoidal podem observar que el

període i l’amplitud multiplicada per dos d’aquesta

formen un rectangle auri.

Així mateix, la proporció

entre la distància d’un

Període de les corbes període (període 21°

Τ = Α

sinusoidals traçades per aprox.) i el desplaçament

l’ADN d’una corba respecte l’altra

(desplaçament, 13α°

= Α aprox.) és aproximadament la

proporció d’or. Però encara hi ha més; si prenem una

secció de l’ADN observarem que

forma un decàgon. Un decàgon és Doble hèlix d’ADN

dos pentàgons, un rotat 36º respecte l’altre, i el pentàgon, com

hem anat veient, és una figura estretament relacionada amb phi.

Secció d’ADN (decàgon)

COMBINACIONS ÀURIES DE COLOR. Michael Semprevivo observà una nova

relació de phi amb la bellesa. Consisteix en relacionar el segment partit en mitjana i

extrema raó a l’espectre de la llum.

Phi i l’espectre de la llum

Els colors que es troben en els extrems del segment i en el punt de divisió d’aquest

produeixen combinacions riques i atractives. De fet, aquestes combinacions de colors

apareixen fins i tot a la Bíblia. Per exemple, a Èxode 26:1 Déu diu dirigint-se a Moisès:

“Fes un tabernacle amb deu cortines de (···) fil blau, porpre i escarlata (···)” Aquesta

Colors emprats per Moisès per a decorar el tabernacle.

combinació de tres colors es repeteix 24 cops en aquest fragment de la Bíblia, ja que

són els colors emprats per a tota la decoració del tabernacle. I resulta que aquests colors,

a l’espectre de la llum, guarden entre sí una relació àuria.

La relació de phi amb els colors, més que semblar-me un gran objecte d’estudi o

un fet transcendental, em va semblar una curiositat a comentar.

PHI A LA RELIGIÓ. Però els colors del tabernacle no són la única relació de phi amb

la Bíblia; l’Arca del Pacte, construïda per Moisès, per ordre de Déu, està construïda

aproximadament a partir de rectangles auris: Èxode,

25:10 “Construiràs una arca d’acàcia, de dos colzes i

mig de llarg, colze i mig d’ample i colze i mig d’alt.” La

raó de 2’5 i 1’5 és 1’ 6 , aproximadament phi. A simple

vista costa distingir un rectangle auri L’arca del pacte

d’un dels que composaven l’Arca del pacte. A més, 1’ 6 és la raó entre 5 i 3, dos termes

de la successió de Fibbonaci21.

A Gènesi 6:15 Déu mana a Noè de construir una arca: “L’allargada de l’arca ha

d’ésser 300 colzes, l’amplada de 50 colzes i l’alçada 30 colzes.” La divisió de 50 entre

30 és, igual que en el cas de 5 i 3, 1’ 6 . La figura que deu arques del pacte formaven en

posar-se en renglera, era semblant a la de l’arca de Noè.

El nombre de la bèstia, del diable, 666, també està relacionat amb la proporció

divina. El llibre de la bíblia Apocalipsi, 13:18 diu: “Aquí es necessita saviesa! El que

tingui intel·ligència que calculi la xifra de la bèstia. És xifra d’un home. La seva xifra

és sis-cents seixanta-sis.” Però per quina raó està relacionat 666 amb phi? En que el

sinus de 666º multiplicat per dos és phi negatiu. 666º és igual a 365º+270º+36º. El sinus

multiplicat per dos de 36º+270º és –Ф. Si afegim 360º (una volta sencera) el sinus

segueix essent el mateix. L’obertura angular 36º apareix en el pentàgon regular i el

pentacle.

21 Informació sobre la successió al punt 4.1.

PHI AL DIA A DIA. Tot i que no ens en donem compte, al nostre voltant hi ha gran

quantitat de coses relacionades amb

phi. Per a comprovar-ho només fa

falta fixar-s’hi una mica. La majoria

de targetes (de crèdit, de supermercats, el DNI...) són rectangles auris. També són un

exemple de rectangle auri les caixes de tabac, alguns marcs de fotos, rètols, algunes

càmeres fotogràfiques i de filmar... La proporció divina també es pot observar a la moda

i el disseny. Per exemple, a la roba que porta la noia

de la fotografia de l’esquerra, o les proporcions del

morro del cotxe de la dreta22. Parlant de cotxes, les

llantes d’aquests solen prendre formes pentagonals o de decàgon.

EL BATEGAR DIVÍ. En el següent gràfic es representa el bategar d’un cor:

Com es pot apreciar, fins i tot aquí podem observar la proporció àuria.

22 A ambdues fotografies apareix un estri emprat per a la mesura de la proporció d’or anomenat auròmetre.

UN ESQUELET DIVINAMENT PROPORCIONAT. Les

proporcions entre els ossos de l’esquelet d’un animal vertebrat són

àuries. Pecant d’antropocentrisme, fixem-nos en l’exemple més

proper, el cos humà. Gran quantitat de les proporcions del cos

humà tenen relació amb el nombre phi. Si dividim l’alçada del cos

humà per l’alçada del melic, l’haurem partit en mitjana i extrema

raó. Si dividim la

distància del maluc als peus pel genoll, també

l’haurem dividit en proporció àuria. El mateix

passa amb les proporcions

dels braços, les falanges, el

tronc... i fins i tot

amb les dents, com

mostra la imatge de l’esquerra. Així mateix, la orella presenta una forma que s’ajusta

força bé a l’espiral logarítmica.

El nombre d’or apareix, sens dubte, a gran

quantitat de llocs. De manera més fàcil o

difícilment apreciable, ens observa des dels llocs més insospitats; des d’una pedra d’un

edifici, des de la formiga que estem a punt de trepitjar, des de la

flor que ens han regalat, des de la papallona que veiem passar...

des de la galàxia més llunyana.

6.CONCLUSIÓ

6.CONCLUSIONS_______________________________________________

És curiós com un treball pot arribar a “formar part de la teva vida”. Des de que

el vaig iniciar, vaig començar a veure el nombre diví per tota reu, i a mesura que sabia

més sobre el tema, el veia a més llocs: pel carrer, cases; enquadraments de la televisió,

fotografies de revistes... De fet, no vaig poder evitar mesurar les faccions facials i el cos

d’algunes persones... A l’hora de les postres és quan més sorpreses em venien a les

mans: mandarines, taronges, plàtans... (Vaig fer fotografies a les mencionades fruites

però, per desgràcia, no van sortir bé.)

Un dels majors entrebancs d’aquest treball ha estat la recerca d’informació. No

per la falta d’aquesta, ans el contrari. Phi es troba a gran quantitat de llocs, tant a la

natura com en l’art, l’arquitectura... Així doncs, no era difícil trobar informació nova

cada dia, cosa que em despertava encara més l’interès i les ànsies de saber més. Però és

aquí on venia la frustració, quan havia d’escollir què posar al treball i què no. I com

triar-ho, amb l’interessant que era cadascun dels llibres, cadascuna de les pàgines web

que llegia? Però em vaig veure obligada a fer-ho; el temps que se’m donava no era

suficientment llarg, moltes coses no encaixaven en el perfil del treball, i havia d’evitar

la dispersió. L’acotament del treball va ésser un gran problema, perquè m’obligava a

eliminar i/o reduir temes que m’hauria agradat tractar i tractar amb més profunditat. Em

va resultar força difícil fer l’índex; era difícil eliminar informació i dividir-la en

apartats i subapartats.

Però encara es van presentar més problemes. Com en l’apartat corresponent

explico, quan ja tenia plantejat l’estudi de les plantes, les van tallar (no totes, però sí una

bona part), pel que l’eix central del treball es desplaçava, i el treball perdia equilibri i

consistència. A més, vaig tenir força problemes amb les fotografies, i quan aquests ja

estaven solucionats, can començar a caure les flors i les fulles. És per això que no m’ha

estat possible posar fotografies de flors al treball.

Amb l’enquesta vaig tenir de nou problemes (àmpliament comentats a l’apartat

corresponent). Mai n’havia fet cap, ni tenia gaire idea de com s’havia de fer. No tenia

temps a buscar massa informació, pel que vaig haver d’improvisar força. La meva

inexperiència generà un seguit de problemes que s’haurien pogut evitar amb una mica

més de temps i dedicació. Va haver problemes amb el disseny (figures, dades de

l’enquestat i pregunta final) i amb el sector de gent triat (poc variat). Vaig haver de

buscar professors que fessin matèries comuns perquè repartissin les enquestes a classe.

Després m’havia d’encarregar de recollir-les i, la feina més laboriosa,

buidar-les. En el buidat vaig haver de tenir en compte i vaig haver d’adaptar-me als

errors de disseny, tot adequant les “puntuacions” de cada pregunta. Però finalment vaig

obtenir resultats coherents, cosa que, sincerament, em va sorprendre.

La idea inicial per a aquest treball (com a la introducció es veu reflectit) era el

desenvolupament de la pregunta “Apareix el nombre d’or a la naturalesa?”. Però al llarg

d’hores i hores de recerca i treball, es va fer pràcticament impossible de centrar el

treball en un sol eix, ometent tot allò que anava trobant i que cada cop em feia sentir

més fascinació pel nombre d’or. Quan em vaig donar compte de que l’eix del treball

esdevenia únicament un apartat més d’aquest, ja era massa tard per rectificar: com podia

no posar totes aquelles relacions que tant havien despertat el meu interès i curiositat?

Una cosa que tenia molt clara era que no posaria al treball res que no entengués.

Així doncs, fins que no entenia una cosa, la practicava i estudiava. I un cop l’entenia, la

posava al treball. El que més em va costar d’entendre segurament va ser el tema dels

nombres polars i l’espiral logarítmica.

Ha resultat molt interessant fer els càlculs i comprovacions jo mateixa,

comprovant després que ho havia fet bé, i pràcticament sempre amb l’ajut i guia de la

meva tutora de recerca i d’altres professors de l’institut, sense els quals, el meu treball

hauria estat de bon tros més feixuc.

Amb aquest treball he après moltes, moltíssimes coses, tan sobre el nombre d’or,

com sobre la naturalesa, les matemàtiques, la vida dels pitagòrics... Ha estat molt

interessant desenvolupar els diferents temes entorn el nombre phi, tot i que, com ja he

dit abans, em sap greu no haver-los pogut desenvolupar amb més profunditat (i

abundància). Sens dubte penso seguir llegint i aprenent sobre la relació de la matemàtica

amb la naturalesa i sobre aquest nombre que tant m’ha fascinat.

La meva propera meta és cursar química a la universitat. Qui sap, potser allí,

entre àtoms i molècules, em tornaré a trobar amb phi; l’ADN em va donar esperances...

Georgina Faura Muñoz, 16 - I – 2005

Amb l’ajut incommensurable de Rosa Maria Trias. GRÀCIES

7.BIBLIOGRAFIA

7. BIBLIOGRAFIA_____________________________________________________

***GONZÁLEZ URBANEJA, Pedro Miguel, (2001), Pitágoras, el filósofo del número, Nivola, 1999, Madrid.

D’aquest llibre he emprat la biografia de Pitàgores (punt 3.1.1.), i la informació

sobre la societat (o secta) pitagòrica (punt 3.1.1.), la secció àuria (punt 2.2.1.), la relació

del nombre d’or amb la successió de Fibonacci (Punt 4.1.), algunes curiositats del

nombre d’or (Punt 2.3.), el rectangle auri (Punt 2.2.2.), l’espiral logarítmica (Punt 4.2.),

la divina proporció relacionada amb la bellesa (Punt 3.3.), l’art (Punt 3.2.) i la natura

(Punt 4), informació sobre Luca Pacioli, el poema “la divina proporción” de Rafael

Alberti, el pentagrama (Punt 3.1.2.), el triangle auri (Punt 2.2.3.) i la simbologia que

pren el pentagrama al llarg de la història(Punt 3.1.2.).

_____________________________________________________________

***FRANCISCO VERA, Científicos griegos, Aguilar, 1970, Espanya.

He emprat el llibre per a informar-me sobre la manera com Arquímedes

demostrà la relació entre el perímetre i el diàmetre d’una circumferència. (Punt 2.0.)

___________________________________________________________

***CARL B.BOYER, Historia de la matemática, Alianza.

Irracionalitat de l’arrel de 2 i maldecaps que aquest descobriment comportà.

(Punt 2.0.)

___________________________________________________________

***R.TORIJA HERRERA, Arquímedes, alrededor del círculo, Nivola,

1999, Madrid.

Definició d’espiral segons Arquímedes (Glossari) i petits detalls sobre el

nombre pi (Punt 2.0.).

***ISAAC ASIMOV, De los números y su historia, El ateneo, 1983, Buenos Aires.

Informació bàsica sobre la història dels nombres, necessària per la redacció del

punt 2.0.

___________________________________________________________

***MATILA C. GHYKA, El número de oro, Poseidon, 1968, Buenos Aires.

Aquest llibre m’ha servit sobretot per a la redacció del punt 4 del treball. Té

diverses làmines d’animals i plantes que presenten la proporció d’or, informació sobre

l’aparició del nombre d’or a la natura, etc...

També m’ha estat útil pel punt 3, amb diverses referències a l’art i a

l’arquitectura.

___________________________________________________________

***MATILA C. GHYKA, Estética de las proporciones en la naturaleza y en las

artes, Poseidon, 1983, Espanya.

Informació sobre l’obtenció gràfica i matemàtica del nombre d’or (Punt 2.2.),

propietats del nombre d’or, (Punt 2.3.), el nombre d’or a l’art i la naturalesa

(Punts 3 i 4),

***http://www.google.com

És el buscador que he emprat en la recerca d’informació per internet.

___________________________________________________________

***Roland, Geider.net, última actualització Setembre 2003

http://www.geider.net/esp/mate/logo.htm , març 2004

Informació sobre la successió de Fibonacci (Punt 4.1.) i l’origen del nombre d’or.

***Ignacio A.Langarita Felipe, Nacholan.net, última actualització 12-5-2004,

http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm, març 2004

Aquí vaig informar-me sobre els tres grans irracionals (Punt 2.1.), la secció àuria (Punt

2.2.1.), el rectangle auri (Punt 2.2.2.), Pitàgores i la secta pitagòrica (Punt 3.1.1.), la

successió de Fibonacci (Punt 4.1.), el nombre d’or a l’art (Punt 3.2.) i curiositats i

propietats del nombre d’or (Punt 2.3.).

***Lolita Brain, El número de oro, arxiu pdf,

http://aula.el-mundo.es/aula/laminas/numero.pdf, maig 2004

Arxiu Power point que m’ha servit més que res com a font d’idees i inspiració.

______________________________________________________________________

***JAIME GARCIA SERRANO, MARIANO ARNAL , JUAN LUIS ALVAREZ,

El almanaque, http://www.elalmanaque.com/acertijos/num-oro.htm, Abril 2004

En aquesta pàgina va ser on vaig llegir per primera vegada el poema “La divina

proporción” de Rafael Alberti.

___________________________________________________________________

***http://centros5.pntic.mec.es/barriope/matematicas/web_taller_0102/oro.htm

La proporció àuria als carnets i caixes.

____________________________________________________________________

***[email protected], Apuntes de matemáticas, última actualització març 2004

http://suanzes.iespana.es/suanzes/num_aure.htm, abril 2004 D’aquí he obtingut informació sobre la proporció àuria (Punt 2)., el nombre auri a l’art

(Punt 3.2.), el pentagrama (Punt 3.1.2.), el nombre d’or a la natura (Punt 4), el nombre

d’or i Da Vinci (Punt 3.2.2), el rectangle auri (Punt 2.2.2.) i les proporcions del cos

(Punt 3.2.2.).

***R.KNOTT, Fibonacci numbers and nature, 23 novembre 2003

http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html, maig 2004

Informació sobre la successió de Fibonacci i la naturalesa. (Punt 4.1.)

______________________________________________________________________

***2004 Discovery Communications Inc., 2004

http://tlc.discovery.com/convergence/humanface/articles/mask.html,

visitada el 12-VII-2004.

És la versió interactiva i virtual del vídeo THE HUMAN FACE, de la BBC,

presentat per John Cleese (un dels actors del grup humorístic Monty Pyton). D’aquesta

web n’he extret força imatges on apareix la màscara phi. També hi havia un e-mail de

contacte amb un dels científics més ficats en el tema de la PHI MASK:

[email protected]

______________________________________________________________________

a en carles c, amb molt d’afecte - ersiliaersilia.org/canalrecerca/documents/treballs/auri.pdf ·...

Documents