1

2

A decadencia dun mito estético

O rectángulo de moda fala galego

1.- PRESENTACIÓN

Dende a antiguidade clásica os gregos crían que a proporción era a clave da beleza. A pro-

porción que constituía a base na que se fundaban a arte e a arquitectura gregas era a «sección áu-

rea», o Partenón de Atenas, por exemplo, está baseado nesta proporción. Na Idade Media pensábase

que a sección áurea mostraba a perfección da creación divina e así foi utilizada polos artistas do

Renacemento como Leonardo da Vinci. A “sección áurea” tamén é coñecida polo nome de Divina

Proporción que foi a que utilizou Fra Luca Pacioli (1445 – 1517) no seu libro “De Divina Propor-

tione” para referirse a ela.

se i n urea ef nese o o a propor i n ue apare e entre ous se entos dunha recta

ao dividir esta en media e extrema razón, isto é, un segmento queda dividido noutros dous segmen-

tos de tal forma que o segmento maior é ao menor como o todo é ao maior:

Esta e ua i n ten úas solu i ns irra ionais, unha elas es nase oa letra re a Φ e é o

chamado Número de Ouro:

3

Este número define polo tanto a proporción áurea ou divina proporción e ademais de ser

usado por artistas e arquitectos, aparece con moita frecuencia na natureza, como por exemplo nas

cunchas dos moluscos, en moitas flores ou nas pólas das árbores.

A súa aceptación como canon de beleza lévanos a convivir con el na nosa cotianeidade, pois

o DNI ou as tarxetas de crédito teñen esta proporción.

En 1876 o alemán Gustav Theodor Frechner (1801-1887),

creador da psicofísica -disciplina que establece as relacións ma-

temáticas precisas entre os estímulos e as sensacións que estes pro-

vocan- fixo un estudo estatístico con varios centenares de persoas

sen experiencia artística ás que lle pediu que escolleran o rectángu-

lo que máis lles agradase entre varios. O rectángulo áureo, definido

pola proporción áurea, resultou elixido por ampla maioría.

2.- OBXECTIVOS

O noso traballo pretende repetir o experimento de Frechner na vila de Mugardos.

Será necesario elixir rectángulos que acompañen ao rectángulo áureo na enquisa e seleccio-

nar unha mostra que represente con garantía á poboación de Mugardos.

Pretendemos, ademais, con este traballo:

• Relacionar ámbitos matemáticos como a xeometría e a estatística.

• Implicar ao pobo de Mugardos nunha investigación matemática.

• Aprender conceptos estatísticos como o tamaño dunha mostra.

• Saber organizarse para a realización dun amplo traballo de campo

• Aprender a manexar informaticamente unha cantidade elevada de datos.

3.- DESENVOLVEMENTO DA EXPERIENCIA

Os rectángulos que eliximos como opoñentes do rectángulo áureo son o rectángulo

cordobés, o rectángulo din e o rectángulo galego. Parécenos un número suficiente para poder elixir,

Gustav Frechner

4

sempre que teñan algunha característica común que permita comparalos. Decidimos que debían ter

unha das súas medidas -o ancho- da mesma lonxitude. A continuación describimos algunhas carac-

terísticas dos rectángulos que interveñen na nosa investigación e presentamos a súa construción co

programa xeoxebra.

3.1.- OS RECTÁNGULOS DA ENQUISA

O RECTÁNGULO ÁUREO

Na presentación xa mencionamos que o rectángulo áureo ten entre os seus lados a propor-

ción que define o Nú ero e Ouro, Φ. onstrución xeométrica que eliximos é a que parte dun

pentágono regular e se forma coa diagonal e o lado do pentágono. Podiamos construílo tamén a

partir dun cadrado, pero como isto xa o fixeramos na clase de matemáticas preferimos facelo así.

Esta é a nosa construción do rectángulo áureo co programa xeoxebra.

5

O RECTÁNGULO CORDOBÉS

A nosa profesora neste traballo contounos que nunha conferencia que lle escoitara en Sevilla

no ano 1994 ao arquitecto cordobés Rafael de la Hoz Arderius (1924-2000) titulada "La propor-

ción cordobesa", este aseguraba que un estudo estatístico que el realizara mostraba como a tenden-

cia estética non conducía á esperada proporción divina.

Polo contrario, a elixida segundo Rafael de la Hoz, era unha proporción que, por non

axustarse á divina, chamou proporción humana ou proporción cordobesa que vén definida pola

relación entre o radio da circunferencia circunscrita ao octógono regular e o lado de este . Trátase da

proporción definida polo número irracional:

Esta é a construción do rectángulo cordobés en xeoxebra:

6

O RECTÁNGULO DIN

É o rectángulo que usamos habitualmente para escribir sobre el, é o rectángulo que se pon na

impresora para poder ver en papel o que vemos no ordenador. Trátase dun tamaño estándar que se

usa en moitas partes do mundo -curiosamente non se usa en Estados Unidos e Canadá- e que se ca-

racteriza porque se se divide en dúas metades polo lado máis longo, os dous rectángulos que se ob-

teñen teñen a mesma proporción.

Este rectángulo vén definido pola proporción entre a diagonal e o lado dun cadrado e a

obtención desta proporción é moi doada a partir do teorema de Pitágoras. É o número irracional:

A base do estándar chámase Din A0 que ten un metro cadrado de superficie. Partindo este en

dous obtense o Din A1 e en sucesivas particións obtéñense os Din A2, A3, A4, A5...

Esta é a construción:

7

O RECTÁNGULO GALEGO

Buscabamos outro rectángulo para engadir aos tres anteriores. Queriamos que a súa porpor-

ción tamén estivera definida por un número irracional, que fora maior que as tres anteriores e que a

súa construción fora sinxela. E tamén buscabamos que nel puidera inscribirse a fachada da Catedral

de Santiago e a bandeira galega. Así foi como xurdiu o que nos chamamos rectángulo galego.

Definimos a proporción galega, que designamos con g, á relación entre o segmento que

une dous vértices opostos dun hexágono e o lado do hexágono.

Este rectángulo adáptase ao que pensaramos: a súa contrucción é moi sinxela, o número

irracional que o define non é complicado de obter e, sobre todo, parece funcionar con símbolos

galegos como podemos comprobar coas seguintes imaxes:

8

3.2.- PREPARANDO AS ENQUISAS

Unha vez decididos os rectángulos da enquisa tiñamos que ver a forma de presentalos. En

principio probamos a presentalos individualmente para que as persoas que respondesen puideran

manipulalos ao seu antollo, pero vimos que non era cómodo -necesitábase un lugar para deposita-

los-, foi así que nunha folla de papel colocamos os catro rectángulos, todos coa mesma medida para

o lado menor, 4cm. Fixemos fotocopias e plastificamos para manipular sen que se estropeasen nin

aparecesen marcas nos rectángulos.

Vimos que, para non condicionar respostas, era necesario presentar de cada vez os rectán-

gulos nunha posición distinta. Tamén preparamos os formularios de recollida de datos, cada formu-

lario recollía 50 respostas:

3.3.- SELECCIÓN DA MOSTRA

Mugardos atópase no lado sur da ría do Ferrol,

ocupando unha franxa da denominada Península de

Bezoucos -conformada entre a devandita ría e a de

Ares-Betanzos-. Os lindes do municipio veñen deter-

minados pola propia liña de costa no lado norte, polo

concello de Ares ó oeste e ó sur, e polo de Fene ó leste.

A superficie é de 12'73 Km2.

Sexo Idade Opción elixida

nº 1º cifra C A g d001

002

003

004

005

006

007

008

009

9

Os datos do IGE no ano 2011 establecen para

Mugardos un cómputo de 5536 habitantes, e unha alta

densidade de poboación: 435 hab./Km2. A idade media

é de 47,3 anos (dato de 2010) e o número de habitantes

maiores de 65 anos case triplica ao número de

habitantes menores de 15 anos o que indica o grao de

envellecemento da poboación.

Por tramos de idade os datos do IGE son os seguintes:

Na elección da mostra tivemos en conta esta distribución, é unha nostra estratificada.

Calcular o tamaño da mostra foi o máis complicado para nós porque non temos o vocabula-

rio nin o nivel matemático requirido pero fomos quen de usar conceptos como parámetro, estatísti-

co, erro mostral ou intervalo de confianza.

Utilizamos a fórmula:

onde

n: tamaño da mostra

N: tamaño da poboación

Zα/2 : é un valor tabulado, o seu valor é 1,96 e depende do nivel de confianza elixido que nor

malmente é 0 95%. Non entendemos ben quen é o z(variable normal e reducida) pero ten

que ser de moita utilidade porque aparece moito.

p: é a proporción en que a variable estudada se da na poboación, asígnaselle o valor, 0,5, é a

probabilidade de elixir unha opción ou a contraria, q=1-p. Corresponde ao caso máis desfa

vorable posible.

e : erro máximo que nos situamos no 5%

Aplicando a fórmula aos nosos valores temos:

[0,9] [10,19] [20,29] [30,39] [40,49] [50,59] [60,69] [70,79] [80,-) Totais

Mugardos 368 353 573 895 758 782 731 673 403 5536

10

Polo tanto necesitabamos unha mostra mínima de 386 persoas que aumentamos ata as 500 e

repartimos en estratos por franxas de idade da forma seguinte:

[0,9] [10,19] [20,29] [30,39] [40,49] [50,59] [60,69] [70,79] [80,-) Totais

Mugardos 368 353 573 895 758 782 731 673 403 5536

Mostra 33 32 52 81 68 71 66 61 36 500

3.4.- TRABALLO DE CAMPO

Despois de preparalo todo, baixamos ao pobo unha mañá de mercadiño para realizar algun-

has enquisas, nas que, ademais e pre untar a pri eira ifra a i a e, fa ia os a pre unta: “cal

destes catro é o rectángulos que máis che gusta?”.

En primeiro lugar fomos ao colexio para cubrir a franza de idade dos máis novos, logo ao

concello, ao centro médico -era día de Sintrón- e ao mercado. A maioría da xente respondeu sen

problemas, aínda que soían asustarse ao escoitar que a enquisa tiña relación coas matemáticas e a

arte.

Aquel día, volvemos ao centro con máis de 300 respostas, coas que puidemos comezar a

traballar, aínda que nos faltaban case 200 para conseguir o noso obxectivo.

Nos días seguintes, intentamos entrevistar a máis persoas, esta vez por separado e tratando

de conseguir o número de persoas que faltaban de cada grupo de idade. Recollemos tamén datos no

Rastriño Solidario que montou o instituto na vila.

Como resumo temos que mencionar o complicado que resulta atopar xente entre 20 e 30

anos ou maiores de 70 unha mañá calquera en Mugardos durante a semana, os primeiros porque

non teñen alternativas de traballo e estudo na vila e os segundos porque están nas súas casas cando

o tempo é chuvioso, como sucedeu no mes de abril cando se realizou o traballo de campo. Sabemos

que deberiamos esforzarnos máis por atopar aos de 20 a 30 anos, porque podemos atopalos na fin de

semana pero ...non nos deixan sair de noite!

Finalmente conseguimos 581 entrevistas válidas. Esta é a nosa mostra co balance entre o que

temos e o que queriamos ter, pódese observar que faltan 5 de idades entre 20 e 30 e faltan 30 maio-

res de 70.

N = 5536

Zα/2 = 1,96

p = 0,5

e = 0,05

11

MOSTRA

Estas son algunhas imaxes da realización de enquisas:

balance final

[0,10) 51 33 +18

[10,20) 73 32 +41

[20,30) 47 52 -5

[30,40) 86 81 +5

[40,50) 104 68 +36

[50,60) 82 71 +11

[60,70) 71 66 +5

[70,80) 44 61 -17

[80,-) 23 36 -13

581 500 +81

idades mostra queriamos

Totais

12

3.5.- TRABALLO INFORMÁTICO

Unha vez recollidas todas as enquisas necesarias, comezamos a traballar no ordenador. Di-

vidimos o grupo en dous: unha parella redactaba un documento de texto no que incluía toda a in-

formación sobre o traballo e outra pasaba os datos das enquisas.

Pasados os datos comenzaron as ordenacións dos mesmos, os recontos e as gráficas. Como

son bastantes datos os listados non os engadimos neste informe.

4.- RESULTADOS DA ENQUISA

Mostraremos os resultados da enquisa cos datos e gráficas nas que aparecen:

1.- Resultados xerais

2.- Resultados por sexos

3.-Resultados por tramos de idade

Usaremos porcentaxes nas gráficas para unha mellor comparación.

13

4.1.- RESULTADOS GLOBAIS

CORDOBÉS ÁUREO GALEGO DIN Total

Nº respostas 100 145 255 81 581

% 17 15 44 14 100

14

4.2.- RESULTADOS POR SEXOS

SEXO CORDOBÉS ÁUREO GALEGO DIN Totais

HOMES 36 52 94 36 218

MULLERES 64 93 161 45 363

Porcentaxes

% SEXO CORDOBÉS ÁUREO GALEGO DIN

40 HOMES 16,5 24 43 16,5

60 MULLERES 18 26 44 12

Homes Mulleres

1718

24

26

4344

17

12

Rectángulo Cordobés Rectángulo Áureo Rectángulo Galego Rectángulo DIN-A4

15

4.3.- RESULTADOS POR TRAMOS DE IDADES

Idades nº persoas Cordobés Áureo Galego Din

[0,10) 51 6 14 23 8

[10,20) 73 15 20 25 13

[20,30) 47 7 15 17 8

[30,40) 85 15 22 38 10

[40,50) 104 16 22 56 10

[50,60) 82 15 23 33 11

[60,70) 71 14 12 32 13

[70,80) 44 10 9 20 5

[80,--) 24 2 8 11 3

Porcentaxes

Idades Cordobés Áureo Galego Din

[0,10) 12 27 45 16

[10,20) 21 27 34 18

[20,30) 15 32 36 17

[30,40) 18 26 45 12

[40,50) 15 21 54 10

[50,60) 18 28 40 13

[60,70) 20 17 45 18

[70,80) 23 20 45 11

[80,--) 8 33 46 13

Clave de cores para as gráficas que veñen a continuación

Rectángulo galego

Rectángulo áureo

Rectángulo cordobés

Rectángulo din

16

Gráficas por tramos de idade

17

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,--)

10

20

30

40

50

60

Cordobés Áureo Galego Din

Tramos de idade

%

18

5.- CONCLUSIÓNS

Cando comenzamos este traballo non imaxinabamos o que logo aconteceu. Dun xeito irre-

futable, con sorprendente uniformidade por sexos e tramos de idades, un mito estético como a Divi-

na Proporción derrúbase na vila de Mugardos.

Nada nos fai pensar que esta vila ten gustos estéticos diferentes a outras vilas e cidades, ao

contrario, Mugardos é un lugar no que se impulsan accións que melloran a formación estética da

xente como os premios de pintura Bello Piñeiro e Piñeiro Pose que gozan de prestixio en Galicia, o

proxecto educativo do IES de Mugardos "Isto faino un neno" que achegou a todos os estudiantes do

concello a arte contemporánea, as clases do concello de debuxo e pintura con grande afluencia de

alumnado, incluso existe algo tan curioso como unha activa sociedade cultural co nome "Amigos da

paisaxe galega" no lugar de O Seixo.

Polo dito anteriormente atrevémonos a extrapolar os resultados obtidos en Mugardos asegu-

ramos que existe un rectángulo que se alza coa coroa do reino estético dos rectángulos, o rectángu-

lo galego: o REI TÁNGULO

Somos conscientes de que haberá presións para derrocalo, sabemos que o rectángulo 16:9

ten importantes apoios que tentarán facerse coa coroa estética, incluso sabemos que a Divina Pro-

porción tentará voltar ao trono estético apoiada por unha parte importante da comunidade matemá-

tica, pero dende a vila de Mugardos esperamos que o REI TÁNGULO logre ter un longo reinado.

FICHA TÉCNICA ÁMBITO: Municipio de Mugardos. UNIVERSO: Poboación do concello de Mugardos. TIPO DE ENQUISA: Entrevista directa. TAMAÑO DA MOSTRA: 581 entrevistas. SELECCIÓN DAS ENTREVISTAS: Selección aleatoria por cuotas de idade. ERRO MOSTRAL: Cun nivel de confianza do 95,5% (dos sigmas), e P=Q como caso máis desfavora-ble, o erro é de ±5%. DATAS DE REALIZACIÓN: Do 9 ao 23 de abril de 2012. INSTITUTO RESPONSABLE: IES Mugardos. O Cristo s/n . 15624 Mugardos (A Coruña) Tel: 981472074; Fax: 981470818. Correo electrónico:ies.mugardos@edu.xunta.es. Internet: www.edu.xunta.es/centros/iesdemugardos/

19

A decadencia dun mito estético

O rectángulo de moda fala galego

ÍNDICE

páxina

1.- PRESENTACIÓN....................................................................... 1

2.- OBXECTIVOS............................................................................ 3

3.- DESENVOLVEMENTO DA EXPERIENCIA........................ 3

3.1.- OS RECTÁNGULOS DA ENQUISA................................... 4

3.2.- PREPARANDO AS ENQUISAS............................................ 8

3.3.- SELECCIÓN DA MOSTRA................................................. 8

3.4.- TRABALLO DE CAMPO....................................................... 10

3.5.- TRABALLO INFORMÁTICO............................................... 12

4.- RESULTADOS DA ENQUISA.................................................. 12

4.1.- RESULTADOS GLOBAIS .................................................... 13

4.2.- RESULTADOS POR SEXOS................................................. 14

4.3.- RESULTADOS POR TRAMOS DE IDADES...................... 15

5.- CONCLUSIÓNS.......................................................................... 18

20

Agradecementos:

A Rafael Lago

A Leticia Ogando

Aos compañeiros e compañeiras de 2º ESO B

Ao pobo de Mugardos.

A Isabel Seoane

En Mugardos a 14 de maio de 2012

Mercedes Sara Covadonga Rubén Pedro