a complemento 22013

Coordinacin MAT022Campus Santiago Vitacura

Apuntes de

MAT022 - Complementos 2a vs. 2 sem.2013

Prefacio

Estimados alumnos:

Este texto, en su primera versin en formato de libro, es el resultado del esfuerzo de muchos co-legas del Departamento de Matemtica de la Universidad Tcnica Federico Santa Mara, que a lolargo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan apuntes de profesoresdel Campus Santiago, especialmente de Juan Bahamodes, Nelson Cifuentes, Roberto Geraldo,Leonel Guerrero y Erick Inda. En esta versin, stos han sido editados por quien suscribe, paraque su estructura incorpore no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sinoque tambin varios ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo,para lograr mejores aprendizajes. Hemos optado tambin por incluir muchas demostraciones delos teoremas que vern en clases. No es el objetivo que todos ellos sean vistos en clases. Ms bien,esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensinde los conceptos involucrados, y de comprender cmo se realiza la construccin del conocimientomatemtico. Esperamos que esta primera versin, an preliminar, les sea de utilidad, y que cual-quier error que encuentren (por cierto, involuntario), sea informado al mail indicado abajo.

El apunte est estructurado y ordenado en la forma de clases correlativas, estimando el tiemponecesario para tratar los temas que comprende el programa, clase a clase. Esto no los debe llevar aequvocos: el nmero total de clases en un semestre es superior al nmero de clases que aparecenen este texto. Esto se debe a que no se incluyeron aqu, de manera numerada, las clases de ejerciciosque se intercalan en algunos momentos, de acuerdo al calendario de certmenes de cada semestre,las eventuales falencias detectadas y a las necesidades especficas que cada curso determine.

Es importante que tengan presente que este apunte no reemplaza las clases. Para lograr un buenaprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental que asistan a clases,participen activamente en ella, estudien de manera metdica, ojal estructurando un horario deestudio diario, preparndose siempre para su prxima clase y que planteen a sus profesores cual-quier duda conceptual que les surja. Si sus dudas aparecen cuando estn resolviendo un problema,revisen los apuntes (stos y los personales de clases), ya que es posible que hay algn concepto queno han comprendido cabalmente, reintente, aplique muchas alternativas de solucin e intercambie

I

PREFACIO Vernica Gruenberg Stern

opiniones y mtodos con sus compaeros. Esta forma de estudiar les entregar una comprensinms profunda de las ideas y conceptos que estudiaremos en este curso y, por cierto, tendrn unaprendizaje de calidad.

Desendoles la mejor experiencia de aprendizaje y que su trabajo sistemtico rinda los frutos queesperan, los invita a iniciar esta aventura, muy cordialmente,

Vernica Gruenberg Stern

[email protected]

II

ndice general

Prefacio I

ndice general III

1. Matrices 11.1. CLASE 1: Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Operatoria con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Propiedades de las operaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. CLASE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. CLASE 3: Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.1. Mtodo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz . . . . . . . . 261.7. CLASE 7: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7.1. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Vectores en Rn 392.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1. Operaciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2. Producto punto y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.3. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.4. ngulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.5. Producto cruz en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2. CLASE 9: Geometra del Plano y el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.1. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III

NDICE GENERAL

2.2.2. Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


3. Espacios Vectoriales 593.1. CLASE 10: Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2. CLASE 11: Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3. CLASE 12: Espacio Generado. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. CLASE 13: Bases y dimensin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. Diagonalizacin 814.1. CLASE 14: Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2. CLASE 15: Diagonalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3. CLASE 16: Aplicacin: forma cannica de cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3.1. Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.2. Formas cuadrticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4. CLASE 17: Aplicacin: Secciones cnicas rotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4.1. Aproximacin geomtrica a la clasificacin de cudricas en el plano . . . . . 100


5. Sucesiones y Series Numricas 1055.1. CLASE 18: Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2. CLASE 19: Convergencia de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.1. El concepto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2.2. Algunas propiedades de las sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.3. Algunos resultados de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3. CLASE 20: Series Numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.4. Criterios de convergencia de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4.1. Criterio de la integral. Criterio de comparacin y comparacin al lmite. . . . 1295.4.2. CLASE 21: Criterios del cuociente y de la raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.5. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.5.1. Convergencia condicional y absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137


6. Series de Potencias 1416.1. CLASE 22: Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2. CLASE 23: Polinomios y Series de Taylor y MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

IV

NDICE GENERAL

6.2.1. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2.2. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3. CLASE 24: Aplicaciones al Clculo de Integrales y Serie Binomial . . . . . . . . . . . 1516.4. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

V

NDICE GENERAL

VI

Captulo 1

Matrices

1.1. CLASE 1: Matrices

DEFINICIN 1.1.1 Una matriz de orden nm (se lee n filas por m columnas) es un arreglo rectan-gular de la forma

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2ma31 a32 a33 a3m

......

.... . .

...an1 an2 an3 anm

Cada uno de los elementos aij del arreglo se llama entrada, elemento o coeficiente de la matriz.

OBSERVACIN: Denotaremos las matrices por letras maysculas A,B,C o tambin en la forma(aij)nm , (bij)nm

OBSERVACIN: Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier conjunto numrico, enparticular a R o C. Denotaremos porMnm (R) M (nm,R) al conjunto de todas las matricesde orden n m con coeficientes reales; de manera similar, Mnm (C) M (nm,C) denota elconjunto de todas las matrices de orden nm con coeficientes complejos.

EJEMPLOS:

1. La matriz A =

(1 2

3 4

)M22 (R) y la matriz B =

(1 2 1 ii 0 3

)M23 (C).

En A, se tiene que a12 = 2 y a21 = 3.

En B, se tiene que a13 = 1 i y a21 = i.

2. La matriz A = (aij)33 = (i+ j)33 est dada por

2 3 43 4 54 5 6

1

CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern

DEFINICIN 1.1.2 Una matriz de orden n 1 se llama matriz columna o vector columna, y tienen laforma

a11

a21...an1

De manera similar, una matriz de orden 1m se llama matriz fila o vector fila, y tiene la forma(

a11 a12 a13 a1m)

DEFINICIN 1.1.3 La matriz (aij)nm tal que aij = 0 para todo i, j se llama matriz nula de ordennm y es denotada por [0]nm, es decir

[0]nm =

0 0 00 0 0...

.... . .

...0 0 0

OBSERVACIN: Las matrices de orden nn (igual nmero de filas y de columnas) se les denominamatrices cuadradas de orden n.

DEFINICIN 1.1.4 Sea A una matriz cuadrada A = (aij)nn. Los coeficientes aii para i = 1, 2, . . . , nforman la diagonal principal de la matriz. La diagonal secundaria de A son los elementos de la formaai,n+1i para i = 1, 2, . . . , n es decir

La diagonal principal de A :

a11

a22. . .

ann

La diagonal secundaria de A :

a1n

an1,2an1

DEFINICIN 1.1.5 Una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal son todosnulos se llama matriz diagonal (los elementos de la diagonal pueden tomar cualquier valor, es decir,

2

Vernica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1: MATRICES

no necesariamente son distintos de cero).

Matriz diagonal:

a11 0 0 00 a22 0 00 0 a33

......

......

. . . 00 0 0 ann

Un tipo muy importante de matriz diagonal, es aquella que tiene todos los elementos de la

diagonal principal igual a 1, y se llama matriz identidad de orden n. Esta matriz es denotada por In.

EJEMPLO 1.1.1

I2 =

(1 0

0 1

)I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

DEFINICIN 1.1.6 Si una matriz cuadrada de orden n es tal que todos los elementos que estnsobre su diagonal principal son todos iguales a cero (no importan los dems) se denomina matriztriangular inferior; de manera similar, una matriz triangular superior es aquella en la cual todos loselementos que se encuentran bajo la diagonal principal son todos igual a cero.

Matriz triangular inferior:

a11 0 0 0a21 a22 0

. . . 0...

.... . . . . .

......

.... . . . . . 0

an1 an2 an3 ann

Matriz triangular superior:

a11 a12 a13 a1n0 a22 a23

. . . a2n

0 0. . . . . .

......

.... . . . . .

...0 0 0 ann

DEFINICIN 1.1.7 Dada una matriz cuadrada

A =

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n

......

.... . .

...an1 an2 an3 ann

3


llamaremos traza de A (denotado por tr(A) ) a la suma de los elementos de la diagonal principal,es decir,

tr (A) = a11 + a22 + + ann =ni=1

aii

EJEMPLO 1.1.2 La traza de la matriz

An =

1 0 0 01 2 0 01 2 3 0...

......

. . ....

1 2 3 n

es tr(A) = 1 + 2 + + n = n(n+ 1)

2.

1.1.1. Operatoria con matrices

Igualdad de matrices: Dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y ademsaij = bij i, j.

EJEMPLO 1.1.3 Encontrar los valores de las incgnitas si se tiene(x+ 1 0

x2 1

)=

(2 a

b d

)

Suma de matrices: Si A = (aij)nm y B = (bij)nm, se define la suma de A y B:

A+B = (aij + bij)nm es decir:a11 a12 a1ma21 a22 a2m

......

. . ....

an1 an2 anm

+

b11 b12 b1mb21 b22 b2m

......

. . ....

bn1 bn2 bnm

=

a11 + b11 a12 + b12 a1m + b1ma21 + b21 a22 + b22 a2m + b2m

......

. . ....

an1 + bn1 an2 + bn2 anm + bnm

EJEMPLO 1.1.4 (

1 2 10 2 3

)+

(1 1 23 1 1

)=

(0 3 1

3 3 4

)

4


OBSERVACIN: tr (A+B) = tr (A) + tr (B).

Multiplicacin por escalar: Si A = (aij)nm y R C, entonces

A = (aij)nm = (aij)nm , es decir

a11 a12 a1ma21 a22 a2m

......

. . ....

an1 an2 anm

=

a11 a12 ama21 a22 a2m

......

. . ....

an a2n amn

Producto de matrices: Sea K = R C. Sean A M (nm,K) y B M (m p,K). Lamatriz producto C = A B es la matriz de orden n p dada por (cij)np donde

cij =mk=1

aikbkj

es decir para obtener el elemento cij del producto se fija la fila i de A y la columna j de B yse forma el elemento anterior; se dice que el producto de matrices es filas por columnas.

1.1.2. Propiedades de las operaciones matriciales

Sean A,B,C matrices (con rdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplica-das) y a, escalares:

1. A+B = B +A 8. 1 A = A2. (A+B) + C = A+ (B + C) 9. (AB)C = A (BC)3. A+ [0] = A 10. A (B + C) = AB +AC4. A+ (1)A = [0] 11. (A+B)C = AC +BC5. (A+B) = A+ B 12. (AB) = (A)B = A (B)6. (+ )A = A+ A 13. A Mnm InA = A = AIm7. (A) = ()A

OBSERVACIN: Es muy importante notar que el producto matricial no es conmutativo; incluso unode los productos puede no estar definido. Si consideramos A M23 y B M34 entonces ABest definida y tiene orden 2 4. Notar que BA no est definido.

EJEMPLO 1.1.5 (1 12 1

)(1 10 1

)=

(1 22 1

)(

1 10 1

)(1 12 1

)=

(1 22 1

)

5


Se sigue que (1 12 1

)(1 10 1

)6=(

1 10 1

)(1 12 1

)

OBSERVACIN: En matrices, la ecuacin AX = B con A 6= [0] y B una matriz dada, no siempretiene solucin. Considere (

1 1

0 0

)X =

(1 11 1

)Si X tiene orden nm, para que est bien definido el producto, se ha de tener n = 2. El resultadosera de orden 2m, pero sabemos que es de orden 2 2, luego m = 2. Pongamos entonces

X =

(a b

c d

)

entonces (1 1

0 0

)(a b

c d

)=

(a+ c b+ d

0 0

)=

(1 11 1

)de inmediato esto no puede ser, pues observando la segunda fila, vemos que 0 6= 1.

OBSERVACIN: En matrices no es verdad que AB = [0] implique A = [0] B = [0]. En efecto:(0 1

0 0

)(0 1

0 0

)=

(0 0

0 0

)

Ejercicios Propuestos

1. Considerar la matriz B =

1 1 10 1 10 0 1

Calcular B2, B3, B4.

2. Sean A =

(1 1 20 3 4

), B =

(4 0 31 2 3

), C =

2 3 0 15 1 4 21 0 0 3

, yD =

213

. Calcule A+B, 3A 4B, AC, BD, At, CtBt.6


3. Sean A =

1 2 01 1 01 4 0

, B = 1 2 31 1 1

2 2 2

, C = 1 2 31 1 1

1 1 1

.Verifique que AB = AC. Qu consecuencia obtiene de lo anterior?

4. Determine x R tal que(x 4 1

) 2 1 01 0 20 2 4

x41

= 05. Qu condicin(es) deben verificar a, b, c, d para que las matrices

(a b

c d

),

(1 1

1 1

)conmuten? (respecto al producto).

6. Construir la matriz definida por:

a) A =

(i+jk=1

k2

)32

b) B =(|i j|

)35

c) C =(

(i+ 1)(j 2))33

7. Sea A =(i)33

y B =(j)33

. Encontrar 2A2 +AB.

Indicacin: A = (aij) B = (bij)

8. Sea A =

1 0 10 0 01 0 1

. Verifique que A2 = 2A. Puede afirmar algo de A3?

9. Sea A =

1 1 00 1 10 0 1

. Demostrar que An = 1 n

n(n 1)2

0 1 n

0 0 1

10. Hallar una matriz A de orden 2 2 tal que A2 = I

11. Hallar una matriz A de orden 2 2,A6= 0 tal que A2 = 0

12. Hallar una matriz A no nula, tal que A2 6= 0 y A3 = 0

13. Probar que tr (AB) = tr (BA)

7


1.2. CLASE 2

1.2.1. Matriz transpuesta

DEFINICIN 1.2.1 Sea A M (nm,K), A = (aij) con K = R C. La matriz transpuesta de A esla matriz denotada por AT M (m n,K) definida por

A = (aij) AT = (aji)

Es decir, AT es la matriz obtenida intercambiando las filas y columnas de la matriz A. Es decir, lai-sima fila de A pasa a ser la i-sima columna de AT .

Esto significa que si:

A =

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m

......

.... . .

...an1 an2 an3 anm

nm

entonces

AT =

a11 a21 an1a12 a22 an2a13 a23 an3

......

. . ....

a1m a2m anm

mn

EJEMPLO 1.2.1 Si

A =

(1 2 05 7 4

)entonces

AT =

(1 2 05 7 4

)T=

1 52 70 4

PROPOSICIN 1.2.1 Sea K,n N,A y B matrices con rdenes apropiados para que las opera-ciones estn bien definidas; entonces:

1.(AT)T

= A

2. (A+B)T = AT +BT

3. (A)T = (AT)

4. (AB)T = BTAT

5. (An)T =(AT)n, n N0

8

Vernica Gruenberg Stern 1.2. CLASE 2

DEFINICIN 1.2.2 Sea A una matriz cuadrada.

A se dice simtrica si AT = A

A se dice antisimtrica si AT = A

EJEMPLO 1.2.2 La matriz

A =

1 0 30 2 13 1 0

es simtrica, y la matriz B = 0 3 13 0 2

1 2 0

es antisimtrica.

OBSERVACIN: Notar que para que una matriz A pueda ser simtrica o antisimtrica, sta debeser cuadrada, por el orden de las matrices involucradas.

PROPOSICIN 1.2.2 Sean A y B matrices simtricas del mismo orden. Entonces:

1. A+B es simtrica

2. Si K entonces A es simtrica

Demostracin:

1. (A+B)T = AT +BT = A+B

2. (A)T = AT = A

PROPOSICIN 1.2.3 Si A es una matriz cuadrada entonces:

1. A+AT es simtrica

2. AAT y ATA son matrices simtricas

3. AAT es antisimtrica

Demostracin:

1.(A+AT

)T= AT + (AT )T = AT +A = A+AT . Por lo tanto A+AT es simtrica.

2.(AAT

)T= (AT )TAT = AAT . Anlogamente el otro caso.

3.(AAT )T = AT (AT )T = AT A = A + AT = (A AT ). Por lo tanto, A AT es

antisimtrica.

9


OBSERVACIN: De las proposiciones anteriores podemos deducir que toda matriz cuadrada sepuede descomponer en una parte simtrica y otra antisimtrica en la forma

A =

(A+AT

2

)+

(AAT

2

)Adems, esta descomposicin es nica.

PROPOSICIN 1.2.4 Si A es una matriz antisimtrica, su diagonal principal tiene solamente ceros.En efecto: de AT +A = 0 se sigue que

aii + aii = 0 aii = 0 para cada i


1. Considere A =

1 0 11 0 12 3 2

, B =1 20 3

5 6

y C = 11

0

. Calcular los siguientesproductos, si es posible:

a) CTB b) CTC c) CCT d) BBT e) CTAC

2. Sean A y B matrices simtricas. Determine si las siguientes son o no simtricas:

a) A2 +B2

b) A2 B2c) ABA

d) ABAB

3. Es cierto que si A es antisimtrica entonces A2 es simtrica?

4. Sea

S =

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 10 0 0 0 0

nn

a) Determinar Sn para n Nb) Si A es una matriz de orden n n encontrar una regla para calcular SA y AS.

10

Vernica Gruenberg Stern 1.2. CLASE 2

5. Estudie si existe una matriz con coeficientes reales A de orden 3 2 tal que AAT = I3.

6. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas; si es verdadera, demuestrela afirmacin, y si es falsa, d un contraejemplo:

a) Si A2 est definido, entonces A es cuadrada.

b) Si AB y BA estn definidos, entonces A y B son cuadradas.

c) Si AB y BA estn definidos, entonces AB y BA son cuadradas.

d) (AB)2 = A2B2

7. Determine An, n N para las matrices

A1 =

(a b

0 a

), A2 =

(c c

0 0

)

8. Se dice que una matriz A, cuadrada de orden n es nilpotente si, y solamente si, existe unentero k > 0 talque Ak es la matriz cero. El mnimo entero positivo para el cual esto secumple es llamado grado de nilpotencia de A.

a) Demuestre que cada una de las siguientes matrices es nilpotente y encuentre su gradode nilpotencia:

(a) A =

0 1 1 20 0 3 20 0 0 4

0 0 0 0

(b) A = 1 1 35 2 62 1 3

b) Encontrar todas las matrices de 2 2 nilpotentes, con grado de nilpotencia dos.

11


1.3. CLASE 3: Ejercicios

Estos son algunos ejercicios sugeridos:

1. Encuentre todas las matrices 3 3 que conmutan con la matriz

1 0 00 1 03 1 2

.2. Resuelva la ecuacin matricial X2 =

(4 1

0 4

)3. Sean A,B M3(R), donde

A = (aij) =

{i+ j si i < j2i j si i j y B = (bij) =

{3i si |i j| es par

2 i si |i j| es imparDetermine X Y si X = (A 2B)T , Y = A (2B)

4. Pruebe que si A es antisimtrica entonces los elementos de la diagonal principal son todosigual a 0.

5. Es verdadero o falso que A AT = AT A? Justifique.

6. Sea A =

(cos(2pik ) sen(

2pik )

sen(2pik ) cos(2pik )

), k Z+

Determine An, n N. A qu es igual An si n = k?

7. Sea A Mn(R) tal que A2 = [0]. Pruebe que A (I +A)n = A, n N.(Ayuda: use induccin).

12

Vernica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONES ELEMENTALES Y MATRICES ELEMENTALES

1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales

DEFINICIN 1.4.1 En una matriz podemos realizar tres tipos de operaciones elementales por fila:(1) Intercambiar (permutar) dos de sus filas.(2) Multiplicar una fila (es decir cada coeficiente de la correspondiente fila) por una constante

distinta de cero.(3) Sumar el mltiplo de una fila a otra fila

EJEMPLOS: Ejemplos de operaciones elementales:

Intercambio entre dos filas: las filas 1 y 3 2 0 15 4 37 6 9

7 6 95 4 3

2 0 1

Multiplicacin de una fila por un escalar: la fila 2, se multiplica por 3 4 0 15 4 3

2 8 9

4 0 115 12 9

2 8 9

Adicin del mltiplo de una fila a otra fila: Multiplicamos la fila 2 por 2 y se la sumamos a lafila 3 1 0 11 0 2

3 8 9

1 0 11 0 2

5 8 5

1.4.1. Matrices elementales

DEFINICIN 1.4.2 Una matriz elemental es una matriz que resulta al efectuar una operacin ele-mental sobre la matriz identidad In

Dado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirn entonces tres tipos de matri-ces elementales; usaremos la notacin siguiente:

Eij : es la matriz elemental obtenida intercambiando (en la matriz identidad) la fila i con lafila j.

Ei(): es la matriz obtenida multiplicando (en la matriz identidad) la fila i por 6= 0.

Eij(): es la matriz obtenida sumndole a la fila i, la fila j multiplicada por .

13


EJEMPLO 1.4.1 Para la matriz I4:

1. E24 =

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

2. E3(2) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 00 0 0 1

3. E31(4) =

1 0 0 0

0 1 0 0

4 0 1 00 0 0 1

Considere ahora la matriz

A =

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

Note que si multiplicamos esta matriz por la matriz elemental E24 por la izquierda, esto es,

efectuamos el producto E24A, obtenemos la matriz

E24 A =

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

=1 2 1 0

0 2 3 4

3 1 0 52 5 6 4

que es lo mismo que haber efectuado sobre la matriz A la operacin elemental, intercambiar la fila2 con la fila 4.

Si efectuamos el producto E3(2)A, obtenemos

E3(2)A =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 00 0 0 1

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

=1 2 1 0

2 5 6 4

6 2 0 100 2 3 4

que es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la matriz A la operacin elemental, la fila 3 lamultiplicamos por -2.

14


Si efectuamos el producto E31(4)A, obtenemos el mismo resultado de la operacin elementalsobre A, la fila 1 la multiplicamos por -4 y se la sumamos a la fila 3.

E31(4)A =

1 0 0 0

0 1 0 0

4 0 1 00 0 0 1

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

=1 2 1 0

2 5 6 4

7 9 4 50 2 3 4

Se tiene al respecto el siguiente teorema.

TEOREMA 1.4.1 Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar una operacin elemental por filasobre la matriz In. Si la misma operacin elemental se realiza sobre una matriz A de orden nm,el resultado es el mismo que el del producto E A.

DEFINICIN 1.4.3 Diremos que las matrices A y B son equivalentes por filas si existe una suce-sin de operaciones elementales por filas que convierte la matriz A en la matriz B. En tal casopondremos A B

Como hemos visto, realizar una operacin elemental sobre una matriz es equivalente a mul-tiplicar por la izquierda esa matriz por una matriz elemental; para efectos de nuestros clculosharemos directamente la operacin elemental sobre la correspondiente matriz, y la anotamos de lamanera que muestra el ejemplo siguiente:

EJEMPLO 1.4.2 1 0 12 4 03 4 6

E21 (2) 1 0 10 4 2

3 4 6

E31 (3) 1 0 10 4 2

0 4 9

E32 (1) 1 0 10 4 2

0 0 7

En este caso las matrices

1 0 12 4 03 4 6

y 1 0 10 4 2

0 0 7

son equivalentes (por fila).OBSERVACIN: Un desarrollo anlogo, multiplicando por las matrices elementales por la derecha,permite definir operaciones elementales columna.

DEFINICIN 1.4.4 Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si satisface las siguientespropiedades:

Cualquier fila que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la ma-triz.

15


En cada fila distinta de cero, la primera entrada o coeficiente (contado desde la izquierda),denominado pivote, se localiza en una columna a la izquierda de cualquier entrada principaldebajo de ella.

si adems se cumple:

Sus pivotes son todos iguales a 1

En cada fila el pivote es el nico elemento no nulo de su columna

decimos que la matriz se encuentra en forma escalonada reducida por filas.

EJEMPLO 1.4.3 Son matrices escalonadas

A =

1 2 4 5 2 90 0 2 6 0 10 0 0 3 4 1

0 0 0 0 1 1

y B =

1 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 0

0 0 0 0

pero la matriz

C =

1 2 0 1 1 30 1 4 5 7 0

2 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1

no es escalonada.

EJEMPLO 1.4.4 Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida:

A =

1 2 0 0 0 5830 0 1 0 0 920 0 0 1 0 530 0 0 0 1 1

, B =

1 0 0 1212 0

0 1 0 14 34 00 0 1 1916

3116 0

0 0 0 0 0 1

DEFINICIN 1.4.5 Un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables, no ambiguas,cuya ejecucin da una solucin de un problema en un tiempo finito.

El algoritmo de reduccin de Gauss escalona una matriz por medio de operaciones elementa-les fila. A continuacin encontrar la descripcin del algoritmo de reduccin de Gauss.

16


Sea A=(aij)mn. Para k (ndice de fila) tomando los valores 1, 2, . . . ,m 1 :

1. Si la submatriz Mk de las filas k, (k + 1) , ,m solo tiene coeficientes nulos no hacer nada.

2. Si el punto anterior no se cumple, buscar el ndice j0 ms pequeo tal que la columna j0tenga por lo menos un coeficiente distinto de cero en Mk. Hallar el i0 ms pequeo tal queai0j0 6= 0 e i0 k. Si i0 > k operar en la matriz permutando filas k e i0.

3. Para i de k + 1 a m, si aij0 6= 0 cambiar la fila i por la fila i menos aij0akj0 la fila k.

EJEMPLO 1.4.5 Consideremos la matriz 2 0 31 3 60 6 15

Encontrar su forma escalonada: 2 0 31 3 6

0 6 15

E12 1 3 62 0 3

0 6 15

E21(2) 1 3 60 6 15

0 6 15

E32(1) 1 3 60 6 15

0 0 0

est es su forma escalonada.

OBSERVACIN: Claramente, el algoritmo de Gauss- Jordan permite llevar matrices a la forma esca-lonada reducida. Prosiga con el proceso en el ejemplo anterior, hasta llegar a la forma escalonadareducida.

DEFINICIN 1.4.6 Sea A una matriz. Se denomina rango de la matriz A al nmero de filas nonulas de la matriz escalonada equivalente a la matriz A original, obtenida, por ejemplo, medianteel algoritmo de reduccin de Gauss. Se denota el rango de la matriz A por (A) o bien rango (A).

EJEMPLOS:

1. Determinar el rango de la matriz A =

1 2 3

4 1 02 1 1

0 0 0

3 1 2

2. Cules son todos los posibles rangos que puede tener una matriz 2 2? Y 3 2?

PROPOSICIN 1.4.1 Si A Mnm entonces (A) mn {n,m}.

17



1. Determine A25 si A =

0 0 10 1 01 0 0

2. Determine la forma escalonada reducida y el rango de la matriz A =

1 1 0

1 2 12 1 1

0 1 1

3. Hllese el rango de las siguientes matrices:

A =

1 4 3 22 2 1 11 2 2 1

y B = 1 4 3 22 2 1 1

1 2 2 1

4. Determine el valor de k para que (A) = 3, si A =

2 2 3 13 1 1 0k 1 2 1

.5. Determine las condiciones que deben cumplir h y k para que (A) = 3, si

A =

1 0 2

0 0 k 20 k 1 h+ 20 0 3

6. Hallar los valores de y de modo que el rango de la matriz A sea lo ms pequeo posible,con

A =

1 3 2 1 42 1 1 2 33 4 3 1 23 3 0 3

3 2 3 3

18

Vernica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el sistema de m ecuaciones y n incgnitas

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

......

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

Usando matrices, el sistema se puede escribir en la forma de una ecuacin matricial AX = B,donde

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

......

am1 am2 amn

mn

, X =

x1

x2...xn

n1

, B =

b1

b2...bm

m1

DEFINICIN 1.5.1 Considere el sistema de ecuaciones AX = B, A Mmn (R) , B Mm1 (R).Diremos que X0 Mn1 (R) es solucin del sistema si al reemplazar X0 en la ecuacin, sta setransforma en una identidad, es decir

AX0 = B

DEFINICIN 1.5.2 Un sistema se llama compatible si tiene al menos una solucin. Si el sistema notiene solucin, diremos que es incompatible.

OBSERVACIN: Notar que si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas entonces tieneinfinitas soluciones distintas.En efecto: Consideremos el sistema de ecuaciones AX = B, y supongamos que X1, X2 sondos soluciones distintas del sistema.

Sea R cualquiera. Demostraremos que X1 + (1 )X2 tambin es solucin del sistema:

A(X1 + (1 )X2

)= AX1 + (1 )AX2 = B + (1 )B = B

EJEMPLO 1.5.1 El sistema de ecuaciones lineales

x1 + 2x2 = 4

x2 x3 = 0x1 + 2x3 = 4

puede escribirse como una ecuacin matricial AX = B, con

19


A =

1 2 00 1 11 0 2

, X =x1x2xe

, B =40

4

Sistemas Homogneos

Antes de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales generales, consideremos en primer lugarlos sistemas homogneos, es decir, aquellos en que B = [0].

DEFINICIN 1.5.3 Sea A Mmn(R). El sistema AX = [0] se dice homogneo.

OBSERVACIN:

Sea AX = [0] un sistema homogneo. Entonces:

1. AX = [0] es siempre compatible, pues X = [0] es solucin.

2. Si C Mmn(R) es tal que C A, entonces los sistemas AX = [0] y CX = [0] tienen lasmismas soluciones.

Para ver esto, note que las matrices elementales satisfacen:

EijEij = I, Ei ()Ei(1

)= I, y Eij ()Eij () = I

Luego, si E es una matriz formada por un producto de matrices elemetales entonces existeuna matriz E1 (llamada matriz inversa de E) tal que

E1E = I

Como A C, existe una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , Ek tales que

E1E2 EkA = C

Sea E = E1E2 Ek. Luego, si X0 es tal que AX0 = 0 , entonces EAX0 = E0 = 0 dedonde CX0 = 0.

Recprocamente, si CX1 = 0 entonces E1CX1 = 0 de donde AX1 = 0.

Por lo tanto, los sistemas tienen las mismas soluciones.

20


Sistemas no homogneos

Con el mismo mtodo de la seccin anterior es posible mostrar que si E (A) es la matriz escalo-nada equivalente por filas con A entonces los sistemas

AX = B y E (A)X = EB

tienen las mismas soluciones (E es la matriz formada por el producto de matrices elementales queescalonan A). Claramente, el segundo sistema es mucho ms fcil de resolver.

EJEMPLO 1.5.2 Resolver 1 2 00 1 20 0 2

xy

z

= 12

3

Note que este sistema se puede escribir en la forma

x+ 2y = 1

y + 2z = 22z = 3

De la ltima ecuacin obtenemos z = 32 ; reemplazamos este valor en la segunda ecuacin ydespejamos para obtener y = 1; finalmente reemplazamos en la primera ecuacin y obtenemosx = 1.

Lo que hace que el sistema anterior sea fcil de resolver, es que pudimos ir reemplazando losvalores de las variables de manera sucesiva. Notamos que esto queda representado en la formamatricial, en que la matriz de coeficientes A de la ecuacin es triangular superior. Esta simpleobservacin nos entrega un mtodo para resolver sistemas, el que consiste en obtener el sistemaescalonado equivalente.

DEFINICIN 1.5.4 Sea A Mmn(R) y B Mm1(R). Consideremos el sistema AX = B conB 6= 0. Llamaremos matriz ampliada del sistema a la matriz

(A |B) =

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2

......

......

...am1 am2 amn bm

21


EJEMPLO 1.5.3 El sistema de ecuaciones lineales

x1 + 2x2 = 4

x2 x3 = 0x1 + 2x3 = 4

puede describirse con la matriz ampliada 1 2 0 40 1 1 01 0 2 4

La barra vertical solo nos ayuda a distinguir entre los coeficientes del sistema que se encuentran

a la izquierda del signo = y las constantes que se encuentran a la derecha.Con esta notacin, aplicamos el mtodo de Gauss:

1 2 0 40 1 1 01 0 2 4

E31(1) 1 2 0 40 1 1 0

0 2 2 0

E32(2) 1 2 0 40 1 1 0

0 0 0 0

La segunda fila representa la ecuacin: y z = 0 y la primera representa: x + 2y = 4, de

donde el conjunto solucin es{(4 2z, z, z) : z R}.

Una ventaja de esta notacin es que nos evita copiar muchas veces las variables y los signos.

Mtodo de solucin mediante el algoritmo de Gauss: Como sabemos,AX = B y E (A)X = EBtienen las mismas soluciones, note que la matrices E (A) y EB aparcen al aplicar las operacioneselementales que escalonan la matriz A entonces, si aplicamos el mtodo de Gauss para obtener laescalonada de matriz ampliada del sistema (A,B) estaremos obteniendo la matriz (E (A) , EB).

EJEMPLO 1.5.4 Resolver el sistema 1 2 13 0 11 1 2

xy

z

= 12

0

Formamos la matriz ampliada del sistema

(A,B) =

1 2 1 13 0 1 21 1 2 0

22


aplicamos el algoritmo de Gauss para obtener la escalonada 1 2 1 13 0 1 21 1 2 0

1 2 1 10 6 2 1

0 0 2 12

y ahora resolvemos el sistema 1 2 10 6 2

0 0 2

xy

z

= 1112

que tiene las mismas soluciones.

TEOREMA 1.5.1 Sea A Mmn(R) y B Mm1(R):

1. El sistema AX = B es compatible si y solo si (A) = (A,B)

2. Sea AX = B un sistema compatible.

a) Si (A) = (A,B) = n (nmero de incgnitas) entonces el sistema tiene solucin nica.

b) Si (A) = (A,B) < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

OBSERVACIN: En lugar de aplicar el algoritmo de Gauss, podemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan (matriz escalonada reducida) para resolver un sistema equivalente ms simple.

Ejercicios propuestos

1. Usar el mtodo de Gauss -Jordan para resolver los sistemas:

a)2x+ 3y + z = 1

3x 2y 4z = 35x y z = 4

(La solucin nica es x = 1, y = 1, z = 2 )

b)2x y + 3z = 43x+ 2y z = 3x+ 3y 4z = 1

(Posee infinitas soluciones : x = 117 57z, y = 117 z 67 ).

c)

x+ y + z w = 22x+ y + w = 5

3x+ z + w = 1

3x+ 2y + z = 3

(No hay solucin)

23


2. Usar el mtodo de Gauss para resolver:

a)2x + 3y = 13

x y = 1

b)x z = 03x + y = 1

x + y + z = 4

c)2x + 2y = 5

x 4y = 0

d)x + y = 1x + y = 2

e)x 3y + z = 1x + y + 2z = 14

f )x y = 13x 3y = 2

g)

4y + z = 20

2x 2y + z = 0x + z = 5

x + y z = 10

3. Determine los valores de k R para los que el sistemaa) tiene solucin nica; b) tiene infinitas soluciones ; c) no tiene solucin, si:

x y = 13x 3y = k

4. Qu condiciones deben cumplir las constantes bi para que cada sistema tenga solucin ni-ca?

a)

x 3y = b13x + y = b2

x + 7y = b3

2x + 4y = b4

b)x1 + 2x2 + 3x3 = b1

2x1 + 5x2 + 3x3 = b2

x1 + 8x3 = b3

5. Determine a, b, c R para que la grfica de f(x) = ax2 + bx + c pase por los puntos(1, 2), (1, 6) y (2, 3).

6. Pruebe que si ad bc 6= 0, entoncesax + by = j

cx + dy = ktiene solucin nica.

7. Dados 4 nmeros positivos, se sabe que al seleccionar tres cualesquiera de ellos, determinarsu promedio y sumarle el cuarto nmero, se obtienen los nmeros 29, 23, 21 y 17. Culesson los nmeros originales?

24


8. a) Resuelva el sistemaax + y = a2

x + ay = 1

Para qu valores de a R tiene solucin vaca? e infinitas soluciones?

b) Resuelva el sistemaax + y = a3

x + ay = 1

Para qu valores de a R tiene solucin vaca? e infinitas soluciones?

9. Considere el sistema lineal definido en R:

x + ay + 3z = 2

x + (2a 1)y + 2z = 2x + ay + (a+ 4)z = 2a+ 4

Determine a R para que el sistema tenga:a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin

10. Considere el sistema lineal definido en R:

ax + y + z = 1

x + ay + z = 1

x + y + az = 2

Determine a R para que el sistema tenga:a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin.

11. Dado el sistema:x y + (4a2 + 1)z = b

y + (3 a)z = 02x y + (7 a)z = 2

donde a y b R,

hallar condiciones para a y b de tal manera que el sistema tenga:

a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin

12. Resuelva el sistema:2

x 1

y+ z = 1

1

x+

3

y 2z = 0

4

x 3

y+ z = 2

25


1.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales

DEFINICIN 1.6.1 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es invertible si existe unamatriz cuadrada de orden n, que denotaremos por A1 tal que AA1 = A1A = In

OBSERVACIN:

Si una matriz es invertible, tambin se suele decir que es no singular.

Si la inversa de una matriz existe, es nica.

No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo, si consideramos las matrices

A =

(1 3

1 1

)B =

(2 2

1 1

)

entonces A es invertible y B no lo es. (Verificar directamente suponiendo la existencia yresolviendo ecuaciones)

PROPOSICIN 1.6.1 Sean A,B M(n,K) matrices no singulares (invertibles), entonces:

1. (AB)1 = B1A1

2.(A1

)1= A

3.(AT)1

=(A1

)T4. (A)1 =

1

A1, para todo 6= 0

5. (An)1 =(A1

)n para todo entero no negativo n.

1.6.1. Mtodo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz

No disponemos an de un criterio para decidir si una matriz es o no invertible. El siguienteteorema nos provee un mtodo para calcular la matriz inversa (en caso de existir) de una matrizcualquiera.

TEOREMA 1.6.1 Sea A una matriz cuadrada de orden n invertible. Si una sucesin de operacioneselementales por filas transforma la matriz A en la matriz identidad In, entonces la misma sucesinde operaciones elementales convierte la matriz In en A1.

26

Vernica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZ INVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES

Dem. En efecto: si A es equivalente por filas a la matriz In, entonces existe una sucesin deoperaciones elementales que convierte a la matriz A en la matriz In; esto quiere decir que existeuna sucesin de matrices elementalesE1, E2, . . . , Ek tales queEkEk1 E2E1 A = In. Si anotamosB = E

kE

k1 E2E1 , entonces BA = In, es decir B = A1.2

OBSERVACIN: En la prctica, el teorema anterior nos entrega un mtodo para calcular la inversade una matriz A: si A una matriz cuadrada de orden n , invertible, para calcular su inversaprocedemos como sigue:

Construmos una nueva matriz, denominada matriz aumentada, de la forma (A | In). Sobre estamatriz aumentada (que tiene orden n 2n), realizamos operaciones elementales hasta obteneren el lado izquierdo de esta matriz aumentada (es decir en el lado donde est la matriz A), lamatriz identidad; al conclur este proceso, en el lado derecho de la matriz aumentada (es deciren el lado donde originalmente se encontraba la matriz identidad), aparece la inversa A1 queestamos buscando, es decir:

(A | In) (In |A1

)

EJEMPLO 1.6.1 Calcule la inversa, en caso de existir, de la matriz A =

2 1 11 2 00 1 2

Dem.: Formamos la matriz aumentada 2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 0

0 1 2 0 0 1

y calculamos mediante operaciones elementales: 2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 0

0 1 2 0 0 1

E12 1 2 0 0 1 02 1 1 1 0 0

0 1 2 0 0 1

E21(2) 1 2 0 0 1 00 3 1 1 2 0

0 1 2 0 0 1

E32

1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 10 3 1 1 2 0

E32(3) 1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

0 0 5 1 2 3

E3( 15) 1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

0 0 1 15 25 35

E23(2)

1 2 0 0 1 00 1 0 25 45 150 0 1 15 25 35

E12(2) 1 0 0

45 35 25

0 1 0 25 45 150 0 1 15 25 35

27


Se sigue que

A1 =

45 35 2525 45 1515 25 35

Verifique que AA1 = A1A = I3.

TEOREMA 1.6.2 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si, y solo si, (A) = n.


1. Sean A, B, C Mn(K) invertibles. Demuestre que:

a) ABC es invertible

b) (ABC)1 = C1B1A1

2. Suponga que A3 = [0]. Muestre que I A es invertible.

3. a) Hallar matrices A y B invertibles, pero que A+B no lo sea.

b) Hallar matrices A y B no invertibles, y que A+B si lo sea.

4. Si B es la inversa de A2, probar que AB es la inversa de A.

5. Sean A,B matrices, A de orden p q y B de orden q p, con q < p.

a) Demostrar que AB es singular.

b) Muestre que BA puede ser no singular.

6. Hallar la matriz X en la ecuacin (AX1B)t = AB, donde

A =

1 1 10 1 23 1 0

y B = 0 0 11 2 0

1 1 0

7. Resolver X en la ecuacin: (AXt +B)t = XC D con At C invertible.

8. Usando operaciones elementales calcular la inversa de

1 2 02 3 11 1 5

28

Vernica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZ INVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES

9. Calcular A1 si

A =

6 2 1 0 5

2 1 1 2 11 1 2 2 33 0 2 3 11 1 3 4 2

10. Qu condiciones deben cumplir a y b de modo que A sea invertible?

A =

a 0 b 0

0 a 0 b

b 0 a 0

0 b 0 a

11. Sean E, F, T matrices cuadradas de orden n, tal que E es no singular, EF = FE y T 2 = F .

Demuestre que: (E1TE)2 = F .

12. Una matriz A es ortogonal si y slo si At = A1. Si A es una matriz ortogonal, demuestreque A1 es ortogonal y At es ortogonal.

29


1.7. CLASE 7: Determinantes

DEFINICIN 1.7.1 Sea A Mn(R).

Se llama menor de orden ij de A y se denota por Mij al determinante de orden n 1 obtenidoeliminando la i-sima fila y la j-sima columna de la matriz A.

Se llama cofactor de orden ij de A, denotado por Cij , al nmero Cij = (1)i+jMij

EJEMPLO 1.7.1 Consideremos la matriz A =

2 4 10 3 25 1 6

Calcular M13, M21, C13 y C21.Solucin: Eliminemos la primera fila y la tercera columna de A:

A =

2 4 10 3 25 1 6

y obtenemos el menor M13 = 0 35 1

= 15Si eliminamos la segunda fila y la primera columna

A =

2 4 10 3 25 1 6

obtenemos el menor M21 = 4 11 6

= 25Calculemos los cofactores:

C13 = (1)1+3M13 = (1)415 = 15, C21 = (1)2+1M21 = (1)325 = 25

DEFINICIN 1.7.2 Sea A Mn(R). El determinante de A es una funcin

det : Mn(R) R

que a cada matriz A le asocia el nmero real que denotamos por det(A). Tambin se usa la nota-cin det(A) = |A|.

La forma en la cual acta la funcin determinante en una matriz cuadrada de orden n es lasiguiente:

Para n = 1 : det(a) = a

Para n = 2 : det

(a b

c d

)= ad bc

30

Vernica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES

Para n > 2 el determinante de A = (aij) Mnn(R) es el nmero real

det(A) =

ni=1

(1)i+jaijMij =ni=1

aijCij , para 1 j n (con j fijo)nj=1

(1)i+jaijMij =nj=1

aijCij , para 1 i n (con i fijo)

EJEMPLO 1.7.2 Calculemos el determinante de la matriz A =

2 4 10 3 25 1 6

Fijemos una fila i = 1, entonces

det(A) =3j=1

(1)i+ja1jM1j = a11M11 a12M12 + a13M13

det(A) = 2

3 21 6 4

0 25 6 1

0 35 1 = 23

Si fijamos una columna, por ejemplo j = 1, se tiene

det(A) =3i=1

(1)i+jai1Mi1 = a11M11 a21M21 + a31M31

det(A) = 2

3 21 6 0

4 11 6 5

4 13 2 = 23

1.7.1. Propiedades de los determinantes

PROPOSICIN 1.7.1 Sean A Mnn(R) y B Mnn(R)

1. det(A) = det(AT )

2. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero, entonces el valor deldeterminante es cero.

3. det(In) = 1

4. El determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementosde la diagonal.

31


5. Si R, entonces det(A) = n det(A)

6. det(AB) = det(A) det(B)

7. Si A tiene dos filas( o columnas) iguales o proporcionales, entonces det(A) = 0.

8. Si se intercambian dos filas (o columnas) en una matriz su determinante cambia de signo.

9. Si B se obtiene a partir de A multiplicando una fila (o columna) de A por un nmero k,entonces det(B) = k det(A).

10. SiB se obtiene a partir deA, sumando a una fila (o columna) otra fila (o columna) amplificadapor un factor k, entonces det(B) = det(A).

EJEMPLO 1.7.3 Sea A =

(1 2

3 4

), entonces el det(A) = 2. Si la primera fila de A se multiplica por

3, obtenemos B =

(3 6

3 4

)y det(B) = 6 = 3 det(A). Si la primera fila de A la multiplicamos por

-3 y se la sumamos a la segunda fila de A, obtenemos la matriz B =

(1 2

0 2

)y det(B) = 2 =

det(A).

EJEMPLO 1.7.4 Calculemos el siguiente determinante usando la propiedad 101 3 42 5 13 1 0

=

1 3 40 1 70 10 12

= 1 M11 = 1 710 12

= 58

DEFINICIN 1.7.3 La adjunta de una matriz A, denotada por adj(A), es definida por

adj(A) = CT

donde C = (Cij) es la matriz de cofactores. Es decir, la matriz adjunta es la traspuesta de la matrizde los cofactores.

EJEMPLO 1.7.5 Sea A =

(a b

c d

). La matriz de cofactores es C =

(d cb a

). Por lo tanto,

adj(A) =

(d bc a

)

32


Consideremos la matriz A =

2 3 14 0 52 1 1

, la matriz de cofactores es C =5 14 42 4 8

15 6 12

. Porlo tanto,

adj(A) =

5 2 1514 4 64 8 12

TEOREMA 1.7.1

A adj(A) = det(A) In y adj(A) A = det(A) In

Note que, s det(A) 6= 0, entonces A es no singular (invertible) y

A1 =1

det(A)adj(A)

Adems, si A es no singular, entonces

1 = det(In) = det(AA1) = det(A) det(A1) = det(A) 6= 0

y concluimos que

det(A1) =1

det(A)

TEOREMA 1.7.2 Si A Mnn(R), entonces A es no singular s y solo s det(A) 6= 0

EJERCICIOS: Calcular el determinante a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

Desarrollo:

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

=

a a a a

0 b a b a b a0 b a c a c a0 b a c a d a

= a (b a)

1 b a b a1 c a c a1 c a d a

= a (b a)

1 b a b a0 c b c b0 c b d b

= a (b a) (c b) 1 c b1 d b

= a (b a) (c b) (d b (c b)) = a (b a) (c b) (d c)

33


EJERCICIOS: Resolver la ecuacinx a b a b

c x b c bc a x a c

= 0x a b a b

c x b c bc a x a c

=x a b a+ b b

c x c bc x c x a c

=x a+ b b

x x c bx x c x a c

= x

1 a+ b b

1 x c b1 x c x a c

= x

1 a+ b b

0 x c a b 00 x c a b x a c b

= x x c a b 0x c a b x a c b

= x (x (a+ b+ c))2

las soluciones son x = 0 y x = a+ b+ c.

EJERCICIOS: Muestre quey1 + z1 z1 + x1 x1 + y1

y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2

y3 + z3 z3 + x3 x3 + y3

= 2x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

Desarrollo:y1 + z1 z1 + x1 x1 + y1

y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2

y3 + z3 z3 + x3 x3 + y3

=y1 x1 z1 + x1 x1 + y1y2 x2 z2 + x2 x2 + y2y3 x2 z3 + x3 x3 + y3

=

2y1 z1 + x1 x1 + y1

2y2 z2 + x2 x2 + y2

2y3 z3 + x3 x3 + y3

=

2

y1 z1 + x1 x1 + y1

y2 z2 + x2 x2 + y2

y3 z3 + x3 x3 + y3

= 2y1 z1 + x1 x1

y2 z2 + x2 x2

y3 z3 + x3 x3

= 2y1 z1 x1

y2 z2 x2

y3 z3 x3

= 2x1 z1 y1

x2 z2 y2

x3 z3 y3

= 2

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

34


1.7.2. Regla de Cramer

Es un mtodo para resolver sistemas de ecuaciones, til en aspectos tericos, y en lo prctico,til solo para sistemas cuadrados muy pequeos. Sea

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

...an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

un sistema lineal con n ecuaciones y n incgnitas. Resolver este sistema es equivalente a resolverla ecuacin matricial AX = B, donde

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

......

an1 an2 ann

, X =x1

x2...xn

, B =b1

b2...bn

Si det(A) 6= 0, entonces el sistema tiene una nica solucin dada por:

x1 =|A1||A| , x2 =

|A2||A| , x3 =

|A3||A| , . . . , xn =

|An||A|

donde Ai es la matriz obtenida a partir de A al reemplazar su i-sima columna por la matriz B.La demostracin se basa en escribir

X = A1B =1

det(A)adj(A)B

e identificar los elementos de adj(A)B como los determinantes sealados.

EJEMPLO 1.7.6 Resolver el sistema

2x1 + 3x2 x3 = 1x1 + 2x2 x3 = 42x1 x2 + x3 = 3

2 3 11 2 12 1 1

x1x2x3

= 143

Solucin: Como det(A) = 2, obtenemos:

x1 =

1 3 14 2 13 1 1

|A| =

42 = 2, x2 =

2 1 11 4 12 3 1

|A| =

62 = 3

35


x3 =

2 3 11 2 4

2 1 3

|A| =

82 = 4

1.8. Ejercicios de Controles y Certmenes

1. Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:

a) A Mnn(C), n impar det(AAt) = 0.b) A+At es simtrica.

c) A M22(C) tal que A2 +A = I2.

d) Si A =

1 0 00 a b0 b a

, a 6= 0 b 6= 0 A1.2. Determinar la relacin que deben cumplir a, b, c, d para que el siguiente sistema tenga infini-

tas soluciones:

x1 + ax2 + a2x3 + a

3x4 = 0

x1 + bx2 + b2x3 + b

3x4 = 0

x1 + cx2 + c2x3 + c

3x4 = 0

x1 + dx2 + d2x3 + d

3x4 = 0

3. Si A =

1 1 11 0 11 2 1

, B =1 1 00 1 0

1 0 1

, resolver (Xt +Bt)t = A2 +BAB.

4. Sea A =

4 1 82 1 31 0 2

. Sabiendo que A es invertible, determine A1 usando operacioneselementales.

5. Demuestre que si B es una matriz de orden 2 que conmuta con toda matriz A (de orden 2),

entonces B es de la forma

(k 0

0 k

), para algn k R.

36

Vernica Gruenberg Stern 1.8. EJERCICIOS DE CONTROLES Y CERTMENES

6. Sea A =

1 2 3 4

0 2 3 4

0 3 4

0 0 4

a) Determine la relacin entre y para que exista A1.

b) Si = = 0, calcule A1.

7. Usando el mtodo de la matriz ampliada, determine los valores de R tales que el sistema1

2x + y +

1

2z = 2

4x + y + 4z = 5

3x y + 2z = 1

tengaa) infinitas soluciones.

b) solucin nica.

c) solucin vaca.

8. Determine X (matriz) tal que (A1 X A)1 = A2, donde A =

3 2 14 1 12 0 1

.9. Sin usar la expansin de Laplace (ni en particular la regla mnemotcnica para determinantes

de matrices de 3 3) demuestre, usando slo propiedades, que0 a b

a 0 cb c 0

= 0 , a, b, c R10. Dado el sistema de ecuaciones

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = y1

2x1 + x2 + 4x3 + x4 = y2

3x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = y3

a) para qu valores de y1, y2, y3 R el sistema tiene solucin?b) para qu valores de y1, y2, y3 R el sistema no tiene solucin?c) Resuelva el sistema para y1 = y2 = y3 = 1.

37


11. Sea A() =

1 0 00 cos sen 0 sen cos

.a) Determine el (los) valor (es) para tales que I3 +A() no sea invertible.

b) Compruebe que (I3 A(pi/2))(I3 +A(pi/2))1 =

0 0 00 0 10 1 0

12. Calcule el valor del determinante

3 1 1 1 1 1

3 1 1 1 1 13 1 1 1 1 13 1 1 1 1 13 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1

38

Captulo 2

Vectores en Rn

2.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio

A partir de la representacin de R como una recta numrica, los elementos o puntos del plano(a, b) R R = R2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares,cada una representando una recta real, que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadasrectangulares, donde la interseccn representa a (0, 0) y cada par ordenado (a, b) se asocia con unpunto de coordenada a en la recta horizontal (eje de las abcisas o eje X) y la coordenada b en larecta vertical (eje de las ordenadas o eje Y).

Analgamente, los elementos (a, b, c) R R R = R3 se asocian con puntos en el espaciotridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejesdel sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 yen R3. La direccin de la flecha indica la direccin del vector y la longitud de la flecha determinasu magnitud.

Denotaremos los vectores con letras minsculas con un flecha arriba tales como v ,w ,z . Lospuntos se denotarn con letras maysculas tales como A,B,C. En el contexto de los vectores, losnmeros reales sern llamados escalares y se denotarn con letras minsculas tales como , , .

Si el punto inicial de un vector v es A y el punto final es B, entonces v = AB. El vector nulose denota con

0 = (0, 0, . . . , 0) Rn.

En lo que sigue y con el afn de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores enRn.

DEFINICIN 2.1.1 Un vector en Rn es un n-tupla (x1, x2, . . . , xn) con cada xi R. A xi se le llamacomponente i-sima del vector.

En R3 utilizaremos la notacin especiali = (1, 0, 0),

j = (0, 1, 0) y

k = (0, 0, 1) y les

llamaremos vectores cannicos.

39

CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern

2.1.1. Operaciones bsicas

DEFINICIN 2.1.2 (Igualdad de vectores) Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden,las mismas componentes. Es decir, si v = (v1, v2, . . . , vn) y w = (w1, w2, . . . , wn) entonces

v = w si y solo si vi = wi i = 1, . . . n

DEFINICIN 2.1.3 (Suma de vectores) Sean v = (v1, v2, . . . , vn) y w = (w1, w2, . . . , wn) vectoresen Rn. Se define la suma de vectores como

v +w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn)

DEFINICIN 2.1.4 (Producto por escalar) Si v = (v1, v2, . . . , vn) Rn y k R entonces

kv = (kv1, kv2, . . . , kvn)

OBSERVACIN: Si v = (v1, v2, v3) R3 entonces podemos escribirv = v1i + v2j + v3k

OBSERVACIN: En clases, ver la interpretacin geomtrica de la suma y resta de vectores, y tam-bin el significado geomtrico de la multiplicacin por escalar.

PROPOSICIN 2.1.1 Sean u ,v ,w Rn vectores y , R. Entonces:

1. (u +v ) +w = u + (v +w ) (propiedad asociativa)

2. u +0 = u (existencia del neutro aditivo, que es el vector 0 )

3. (v ) R3 : v + (v ) = 0 (existencia del inverso aditivo)

4. v +w = w +v (propiedad conmutativa)

5. (v +w ) = v + w (propiedad distributiva)

6. (+ )v = v + v (propiedad distributiva)

7. (v ) = ()v

8. 0v = 0

9. 1v = v

40

Vernica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

2.1.2. Producto punto y norma

El producto punto (o producto escalar) es una operacin entre vectores cuyo resultado un escalar.

DEFINICIN 2.1.5 (Producto punto) Seanv = (v1, v2, . . . , vn) y w = (w1, w2, . . . , wn) vectores enRn. El producto punto (o producto escalar) entre los vectores v y w , que denotamos por v wo tambin v ,w se define de la siguiente manera

v w v ,w ni=1

viwi

EJEMPLOS:

1. Calcule (1, 7,3) (5,1, 2)Solucin (1, 7,3) (5,1, 2) = 1 5 + 7 (1) + (3) 2 = 8

2. Determine R tal que (, 4) (,9) = 0Solucin (, 4) (,9) = 0 2 13 = 0 = 13

TEOREMA 2.1.1 Sean u ,v ,w Rn vectores y R. Entonces:

1. v v 0

2. v 0 = 0

3. v w = w v

4. v (w +u ) = v w +v u

5. (v ) w = (v w )

Dem.: Demostraremos solo la propiedad 1.:

v v =ni=1

v2i 0 pues es suma de cuadrados.

Notar adems, que v v = 0 v = 0

41


2.1.3. Norma de un vector

DEFINICIN 2.1.6 Consideremos el vector v = (v1, v2, . . . , vn) Rn. La norma o magnitud de v ,denotada por v , est dada por

v =v v =

(ni=1

v2i

)1/2La distancia entre los vectores v y w en Rn, denotada por d (v ,w ) est definida por

d (v ,w ) = v w

OBSERVACIN: En R2 y R3 la norma de un vector v mide la magnitud del vector. Si consideramosel punto A en el plano o en el espacio asociado al vector v , su norma representa la distancia delpunto al origen. Note que al considerar la interpretacin geomtrica de la resta de vectores, laexpresin para distancia entre dos puntos es, de forma natural, la magnitud del vector resta.

Si n = 1, 2 o 3, la distancia as definida coincide con la distancia euclideana usual.

En efecto, si n = 1, u = u R, v = v R, por lo que la distancia

d(u ,v ) = d(u, v) =

(u v)2 = |u v|

Si n = 2, u = (u1, u2), v = (v1, v2), entonces

d(u ,v ) = u v = 2

i=1

(ui vi)2 =

(u1 v1)2 + (u2 v2)2

Anlogamente en el caso en que n = 3.

PROPOSICIN 2.1.2 Consideremos los vectores v ,w Rn y R. Entonces:

1. v 0 y v = 0 v = 0 .De esta propiedad obtenemos que d (v ,w ) 0, y adems d (v ,w ) = 0 v = w .

2. v = || v

3. v w = w v de donde d (v ,w ) = d (w ,v ).

4. v +w v + w (Desigualdad triangular)

5. |v w | v w (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)

42


Dem.: Demostraremos slo 4 y 5.

5. Sean u ,v Rn. Luego, t R:tu v 2 0, es decir:

(tu1 v1)2 + (tu2 v2)2 + + (tun vn)2 0

Reescribiendo esta relacin como una ecuacin cuadrtica en la variable t:

(ni=1

u2i

)t2 2

(ni=1

uivi

)t +

(ni=1

v2i

) 0

Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuacin de segundo grado en t esmenor o igual a 0, es decir,

4

(ni=1

uivi

)2 4

(ni=1

u2i

) (ni=1

v2i

) 0

(

ni=1

uivi

)2(

ni=1

u2i

) (ni=1

v2i

)

y extrayendo raz cuadrada a ambos lados de la desigualdad, obtenemos la desigualdadpedida.

4.u +v 2 = (u +v ) (u +v )

= u 2 + 2 (u v ) + v 2 u 2 + 2 |u v | + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 (u + v )2

Nuevamente, extrayendo raz cuadrada, obtenemos lo pedido.

DEFINICIN 2.1.7 Un vector se dice unitario si su norma es 1.

EJEMPLO 2.1.1 Si v 6= 0 entonces w = v / v es unitario. Tambin, notar que R :v = (cos , sen ) es unitario.

43


2.1.4. ngulo entre vectores

Considere v y w vectores en R2. Entonces, v ,w y v w forman un tringulo con lados demagnitudes v , w y v w respectivamente. Por el teorema del coseno para tringulos, sesigue que

v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos

Por otro lado

v w 2 = (v w ) (v w )= v 2 + w 2 2v w

Igualando ambas expresiones, obtenemos que

v w = v w cos

En el caso general, si v y w vectores en Rn entonces por la desigualdad de Cauchy-SchwarzS

1 v wv w 1

Luego, existe un nico [0, pi] tal que

cos =v wv w

DEFINICIN 2.1.8 Si v y w son vectores en Rn no nulos, el ngulo entre v y w es el nico [0, pi] tal que

v w = v w cos

Denotaremos tal ngulo por ]v ,w .

DEFINICIN 2.1.9 Sean v y w son vectores en Rn no nulos. Diremos que:

1. v y w son perpendiculares u ortogonales si ]v ,w = pi2 . Esto es equivalente a v w = 0

2. v yw son paralelos si ]v ,w = 0]v ,w = pi. Esto es equivalente av = w para algn R.

44


2.1.5. Producto cruz en R3

En esta seccin definiremos un producto vectorial que nos permite encontrar un vector que esperpendicular a dos vectores dados del espacio, es decir, en R3.

DEFINICIN 2.1.10 Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) vectores en R3. Definimos el productocruz entre u y v , que denotamos por u v como el vector

u v = (u2v3 u3v2)i (u1v3 u3v1)j + (u1v2 u2v1)k

Recordemos que en R3:i = (1, 0, 0),

j = (0, 1, 0) y

k = (0, 0, 1), entonces

u v = ((u2v3 u3v2) , (u1v3 u3v1) , (u1v2 u2v1))

OBSERVACIN: La definicin de producto cruz se puede recordar y trabajar como un determinantede la siguiente manera:

u v =

ijk

u1 u2 u3

v1 v2 v3

OBSERVACIN: El vector u v es perpendicular a u y v . Note que en dos dimensiones esto notiene sentido.

EJEMPLO 2.1.2 Sean u = (1, 2,1) y u = (1, 0,1). Calcular u v .Solucin:

u v =

ijk

1 2 11 0 1

=i

2 10 1j

1 11 1+k

1 21 0

= 2i j (0) +k (2) = 2i 2k = (2, 0,2)

PROPOSICIN 2.1.3 Sean u = (u1, u2, u3) ,v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) vectores en R3.Entonces

u (v w ) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

45


Dem.: En efecto: sabemos que

v w =( v2 v3w2 w3

, v1 v3w1 w3

, v1 v2w1 w2

)

y si u = (u1, u2, u3) entonces

u (v w ) = u1 v2 v3w2 w3

u2 v1 v3w1 w3

+ u3 v1 v2w1 w2

=

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

(es el desarrollo del determinante por la primera fila en cofactores).

Note adems que

u (v w ) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

= (u v ) w

OBSERVACIN: Este producto entre 3 vectores en R3 se conoce como producto mixto entre ellos.

TEOREMA 2.1.2 El producto vectorial o producto cruz cumple las siguientes propiedades:

1. u R3 : u u = 0

2. u ,v R3 : u (u v ) y v (u v )

3. u ,v R3 : (u v ) = (v u )

4. u ,v ,w R3 : (u +v )w = u w +v w

5. u ,v ,w R3 : u (v +w ) = u v +u w

6. u ,v R3 R : (u v ) = (u )v = u (v )

OBSERVACIN: Dejamos como ejercicio la demostracin de estas propiedades, para lo que reco-mendamos utilizar las propiedades de los determinantes y la proposicin anterior.

46


EJEMPLO 2.1.3 Simplificar la expresin

[(u +v ) (2u v )] u

Desarrollo: Por las propiedades recin enunciadas

(u +v ) (2u v )= (u +v ) (2u ) + (u +v ) (v )= u (2u ) +v (2u ) +u (v ) +v (v )= 2 (u u ) + 2 (v u ) (u v ) (v v )= 0 + 2 (v u ) (u v ) + 0= 3 (u v )

Luego

[(u +v ) (2u v )] u = (3 (u v )) u = 0

TEOREMA 2.1.3 (Identidad de Lagrange) Para cada v , w en R3 se tiene

(v w )2 + v w 2 = v 2 w 2

Dem.: Ejercicio.

Gracias a la identidad de Lagrange, podemos mostrar lo siguiente: comov w = v w cos se sigue que

(v w cos )2 + v w 2 = v 2 w 2

luego

v w 2 = v 2 w 2 v 2 w 2 cos2 = v 2 w 2 (1 cos2 )= v 2 w 2 sen 2

Esto nos lleva a la siguiente:

PROPOSICIN 2.1.4 Sean v y w vectores en R3. Entonces

v w = v w |sen |

donde [0, pi] es el ngulo que forman v e w .

47


EJERCICIOS:

1. Considere un paralelgramo determinado por dos vectores u y v en R3 si ]u ,v = entonces el rea del paralelgramo es A = u v sen = u v . Notar que de estaforma se puede calcular el rea de un tringulo por

A =u v

2

2. Considere un paralelepipedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanaresu ,v ,w R3 entonces el volmen del paraleleppedo esta dado por

V = |w (u v )| =

det u1 u2 u3v1 v2 v3

w1 w2 w3

48

Vernica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRA DEL PLANO Y EL ESPACIO

2.2. CLASE 9: Geometra del Plano y el Espacio

2.2.1. Proyecciones

Geomtricamente, lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogo-nalmente el vector u 6= 0 sobre el vector w . Si denotamos a este vector con proyuw entonces, paraalgn t R, se debe cumplir

proyuw = t

ww (u tw ) = 0

Entoncesw u t w 2 = 0 = t =

w uw 2

Se sigue

proyuw =

(w uw 2

)w

DEFINICIN 2.2.1 Sean u y w son vectores en Rn, w 6= 0 . Se define el vector proyeccin de usobre w como el vector

proyuw =

(w uw 2

)w

OBSERVACIN: El vector u proyuw se llama componente de u ortogonal a w .

EJEMPLO 2.2.1 Considere un tringulo en R3 determinado por los vrtices en los puntos A,B,C.Encuentre su rea.

Solucin: Sean u = B A, w = C A. Entonces, la altura del tringulo es

h =u proyuw

de donde el rea pedida es

A =1

2w

u proyuw

49


2.2.2. Rectas en el espacio

DEFINICIN 2.2.2 En R3, sea p un punto dado y d un vector no nulo. Definimos la recta que pasapor p y es paralela a d (o tiene direccin d ), como el conjunto de puntos

L ={p + d : R}

El vectord se llama vector director de la recta L.

Escribamos la relacin que define a una recta en el espacio, en trminos de coordenadas. Seap = (x0, y0, z0), d = (d1, d2, d3). Un punto (x, y, z) pertenece a la recta si

x = (x, y, z) = (x0, y0, z0) + (d1, d2, d3) R

que es la ecuacin vectorial de la recta.De esta ecuacin, podemos escribir:

x = x0 + d1

y = y0 + d2

z = z0 + d3

Esta forma de escribir la ecuacin de la recta se llama ecuacin paramtrica de la recta, o formaparamtrica de la ecuacin, de parmetro .

Si en cada ecuacin anterior despejamos el parmetro obtenemos

=x x0d1

=y y0d2

=z z0d3

= x x0d1

=y y0d2

=z z0d3

Esta forma de presentar una recta en el espacio se conoce como las ecuaciones simtricas o ecua-cin cartesiana de la recta.

OBSERVACIN:

1. Supongamos que una componente del vector director es igual a 0, digamos d1. Entonces, laecuacin simtrica queda de la forma:

x = x0,y y0d2

=z z0d3

50


2. Si conocemos dos puntos en el espacio, digamos p1 y p2 , la ecuacin de la recta que pasa porellos es

L : (x1, y1, z1) + t(x1 x2, y1 y2, z1 z2), t RLa forma paramtrica de la ecuacin de la recta que pasa por estos dos puntos es:

x = x1 + t(x1 x2)y = y1 + t(y1 y2)z = z1 + t(z1 z2)

y la forma simtrica es:x x1x1 x2 =

y y1y1 y2 =

z z1z1 z2

DEFINICIN 2.2.3 Dos rectas L1 = p1 + td1, t R y L2 = p2 + rd2, r R son paralelas si susvectores directores son paralelos. Es decir,

d1 = a

d2 con a R y a 6= 0

2.2.3. Planos

DEFINICIN 2.2.4 Sean p , u y v vectores en el plano, tales que u y v no son paralelos. Enton-ces, el conjunto R3 es un plano si

= {p + u + v : , R}

En trminos de coordenadas, si p = (x0, y0, z0), u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), entonces

x = x0 + u1 + v1

y = y0 + u2 + v2

z = z0 + u3 + v3

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramtricas del plano.

OBSERVACIN: Un plano en R3 se puede determinar especificando un punto contenido en l y unvector normal al plano, es decir, un vector perpendicular a l.

En efecto, dado el punto P = (x0, y0, z0) y el vectorn = (n1, n2, n3), un puntoQ = (x, y, z) si y solo si

PQ n . Es decir

PQ n = 0 (x x0, y y0, z z0) (n1, n2, n3) = 0

(x x0)n1 + (y y0)n2 + (z z0)n3 = 0 n1x+ n2y + n3z x0n1 y0n2 z0n3 = 0

51


Por lo tanto, la ecuacin general de un plano es

ax+ by + cz + d = 0

donde el vector (a, b, c) es normal al plano. Este vector se llama vector director o direccin del plano.

OBSERVACIN: Un plano puede ser determinado conociendo 3 puntos no colineales. En efecto,sean P1, P2, P3 los puntos. Formamos los vectores

P1P2 y

P1P3. El vector n = P1P2 P1P3 es

perpendicular aP1P2 y a

P1P3. Luego, n es normal al plano. Usamos cualquiera de los 3 puntos

Pi y n y obtenemos la ecuacin del plano.

EJEMPLO 2.2.2 Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos

P1 = (2,2, 1), P2 = (1, 0, 3), P3 = (5,3, 4)

Solucin: Formemos los vectores

P1P2 = P2 P1 = (3, 2, 2) y P1P3 = P3 P1 = (3,1, 3)

Ahora, el vector normaln = P1P2 P1P3 = (8, 15,3)

Por lo tanto, la ecuacin del plano es dada por:

(x 2, y + 2, z 1) (8, 15,3) = 0 8x+ 15y 3z + 17 = 0

TEOREMA 2.2.1 Dados dos planos

1 = a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 y 2 = a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

se tiene:

1. 1 2 a1 = ka2, b1 = kb2, c1 = kc2 con k R y k 6= 0

2. 1 2 (a1, b1, c1) (a2, b2, c2) = 0

3. 1 = 2 a1 = ka2, b1 = kb2, c1 = kc2, d1 = kd2 con k R y k 6= 0.

TEOREMA 2.2.2 Consideremos la recta L = p + d y el plano = x+ y + z + = 0. Se tiene

1. L (, , ) d = 0

2. L d (, , ) = kd1, = kd2, = kd3, donde k 6= 0 y(d1, d2, d3) =

d .

52


TEOREMA 2.2.3 (Distancia de un punto a una recta) Consideremos la recta L que pasa por el pun-to P0 = (x0, y0, z0) y tiene como vector director a

d . Sea P = (x, y, z) un punto que no pertenece a

L. La distancia de P a L est dada por:

d(P,L) =||d P0P ||||d ||

TEOREMA 2.2.4 (Distancia de un punto a un plano) Dado un punto P0 = (x0, y0, z0) y un plano = ax+ by + cz + d = 0; la distancia entre P0 y est dada por:

d(P0,) =|ax0 + by0 + cz0 + d|

a2 + b2 + c2

TEOREMA 2.2.5 (Distancia entre rectas) Sea L1 la recta que pasa por el punto P1 y tiene direccind1. Sea L2 la recta que pasa por el punto P2 y tiene direccin

d2. La distancia (mnima) entre L1 y

L2 est dada por:

dmin(L1, L2) =|P1P2 n |||n || , donde

n = d1 d2

Ejercicios propuestos

1. Determine si las rectas

L1 : x = 2t3, y = 3t2, z = 4t+6 y L2 : x = r+5, y = 4r1, z = r4

se cortan.

Solucin. Si existe un punto P tal que P = L1 L2, debe existir t1 R y r1 R tales que

2t1 3 = r1 + 5, 3t1 2 = 4r1 1, 4t1 + 6 = r1 4

La solucin de este sistema de 3 ecuaciones y dos incgnitas es:

t1 = 3 y r1 = 2

Reemplazamos el valor del parmetro t1 en L1 o reemplazamos el valor del parmetro r1 enL2, para obtener el punto donde se intersectan: P = (3, 7,6).

2. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por P (1, 4, 0) y es perpendicular a las rectas

L1 :

x = 3 + t

y = 4 + t

z = 1 + t, L2 :

x+ 4

6=

2y 13

, z =1

2

53


Solucin. Sea L : (1, 4, 0) + d , con R, la recta buscada y sean d 1 = (1, 1, 1) y d 2 =

(4, 1, 0) los vectores directores de L1 y L2 respectivamente. Como

LL1 LL2 = d d 1 d d 2 = d //d 1 d 2 = (1, 4,3)

Por lo tanto, la ecuacin de la recta L es

L : (1, 4, 0) + (1, 4,3), con R

3. Hallar la ecuacin del plano que pasa por (3,1, 2) y es paralelo al plano 2x+4y3z+10 = 0

Solucin. El plano buscado tiene por ecuacin 2x + 4y 3z + d = 0. Para determinar d,usamos que el punto (3,1, 2) debe pertenecer al plano, entonces debe satisfacer la ecuacin

2(3) + 4(1) 3(2) + d = 0 = d = 4

Por lo tanto, el plano pedido es2x+ 4y 3z + 4 = 0

4. Hallar la ecuacin del plano determinado por el punto (1, 0, 2) y la recta L :x+ 3

3=y 53 =

z 11

Solucin. Vamos a escribir la recta como interseccin de 2 planos. Para esto, consideramoslas igualdades siguientes:

x+ 3

3=y 53 y

y 53 =

z 11

De la primera igualdad, se tiene

x+ 3

3=y 53 3x 9 = 3y 15 x+ y 2 = 0

De la segunda igualdad , obtenemos

y 53 =

z 11 y 5 = 3z + 3 y + 3z 8 = 0

La ecuacin del haz de planos que tiene a L como eje del haz es:

(x+ y 2) + (y + 3z 8) = 0

Necesitamos el plano de este haz que pasa por el punto dado (1, 0, 2). Para esto, reemplaza-mos el punto en la ecuacin del haz, obteniendo

(1 + 0 2) + (0 + 3(2) 8) = 0 = = 12

54


El plano buscado es:

(x+ y 2) 12

(y + 3z 8) = 0 2x+ y 3z + 4 = 0

5. Considere

el punto A(1, 0, 1), el plano : 2x+ y z 7 = 0 y la recta L : (1, 1, 0) + t(0, 1, 5)

a) Determine el punto B, que es la interseccin del plano con la recta que pasa por A yes perpendicular a .

b) Determine el punto D, punto de interseccin de la recta L con el plano

c) Hallar un punto C L tal que el volumen del tetraedro de vrtices A,B,C,D sea 4.

Solucin. Denotemos por LA : (1, 0, 1) + r(2, 1,1) la recta que pasa por A e intersectaperpendicularmente a

a) Como B LA

= B LA B = B = (1 + 2r, r, 1 r) y debe satisfacer laecuacin del plano, es decir,

2(1 + 2r) + r (1 r) 7 = 0 = r = 1 = B = (3, 1, 0)

b) Analogamente, si D L = D = (1, 1 + t, 5t) y2(1) + (1 + t) 5t 7 = 0 = t = 2 = D = (1,1,10)

c) Si C L = C = (1, 1 + t, 5t), entoncesBC = (4, t, 5t), BD = (4,2,10), BA = (2,1, 1)

El volumen del tetraedro de vrtices A,B,C,D es dado por V =1

6|BC BD BA|.

Como se quiere que el volumen sea 4, tenemos:

4 =1

6|(4, t, 5t) (4,2,10) (2,1, 1)|

Calculemos

(4, t, 5t) (4,2,10) (2,1, 1) =

4 t 5t4 2 102 1 1

= 48 + 24tPor lo tanto, 24 = |48 + 24t|, es decir, tenemos dos soluciones

24 = 48 + 24t = t = 1 24 = (48 + 24t) = t = 3

Luego, C1 = (1, 0,5), C2 = (1,2,15).

55


6. Hallar la ecuacin del plano que contiene a la recta L : x = 2y = 3z 1, sabiendo quedicho plano est a una distancia de 27 unidades del origen.

Solucin. El haz de planos que contiene a la recta L tiene por ecuacin

(x 2y) + (x 3z + 1) = 0 x(1 + ) 2y 3z + = 0

La distancia del origen (0,0,0) al haz de planos est dada por

d(O,haz) =||

(1 + )2 + (2)2 + (3)2

Pero el plano pedido debe estar a 27 del origen, entonces

||(1 + )2 + (2)2 + (3)2 =

2

7

Esta ecuacin cuadrtica tiene 2 soluciones:

= 2 = 109

Por lo tanto, tenemos 2 soluciones

1 : (x 2y) + 2(x 3z + 1) = 0 3x 2y 6z + 12 = 0

y

2 : (x 2y) 109

(x 3z + 1) = 0 x+ 18y 30z + 10 = 0

7. Hallar la distancia mnima entre las rectas

L1 : (1, 1, 4) + t(0, 1,3) y L2 : x = 4 + , y = 5, z = 3 + 2

Solucin. El vector director de L1 esd1 = (0, 1,3) y el vector director de L2 esd2 = (1, 0, 2).

Entoncesn = d1 d2 = (2,3 1)

Ahora, sea P1 = (1, 1, 4) y P2 = (4, 5,3), entoncesP1P2 = P2 P1 = (3, 4,7)

Reemplazando en la frmula, obtenemos

dmin(L1, L2) =|P1P2 n |||n || =

|(3, 4,7) (2,3 1)|||(2,3 1)|| =

114

56

Vernica Gruenberg Stern 2.3. EJERCICIOS DE CONTROLES Y CERTMENES

2.3. Ejercicios de Controles y Certmenes

1. Demuestre o refute:

a) Si ~a = (2, 0, 1) y ~c = (1,1, 1), entonces existe~b R3 tal que ~a~b = ~c.b) Sean ~a,~b R3. Entonces

~a~b = ~0 ~a ~b = ~0 = ~a = ~0 ~b = ~0

c) Sean ~a, ~b y ~p los vectores posicin de A, B y P , respectivamente. Si ~p = 3~a 2~b,entonces P divide a AB en la razn 3 : (2).

2. Sean (3, 7, 5), B = (3, 4, 8) y C = (4, 4, 5).

a) Demostrar que el4ABC es issceles.b) Determinar la ecuacin de la recta que contiene a la altura h.

c) Calcular el BAC.

3.

57


58

Captulo 3

Espacios Vectoriales

3.1. CLASE 10: Espacios Vectoriales

DEFINICIN 3.1.1 Sea V un conjunto no vaco y seaK un cuerpo (los cuerpos que consideraremosen este curso sernR C). Supongamos que en V se han definido dos operaciones, que llamaremosadicin y producto por escalar, del siguiente modo:

I. La adicin toma dos elementos de V , llamsmoslos u y v, y mediante la operacin los lleva a unelemento w V con w = u+ v.

II. El producto por escalar toma un elemento del cuerpoK y un u V , y mediante la operacinlos lleva a un elemento w V con w = u

Diremos que (V,+, ) es un espacio vectorial sobreK ( unK- espacio vectorial) si y solamentesi las operaciones satisfacen las siguientes propiedades:

1. u, v V : u+ v = v + u

2. u, v, w V : u+ (v + w) = (u+ v) + w

3. 0V V : u+ 0V = u, u V

4. u V, (u) V : u+ (u) = 0V5. u, v V, K : (u+ v) = u+ v

6. u V, , K : (+ ) u = u+ u

7. u V, , K : () u = ( u)

8. u V : 1 u = u

Los elementos de V se llaman vectores y los del cuerpoK se llaman escalares.

59

CAPTULO 3. ESPACIOS VECTORIALES Vernica Gruenberg Stern

EJEMPLOS:

1. (R2,+, ) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones: Si u,v R2, conu = (u1, u2), v = (v1, v2) y R, definimos

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2) y u = (u1, u2)

Este espacio vectorial se identifica, geomtricamente, con el plano cartesiano, y sus elementosson los vectores en (R2,+, ).

2. (R3,+, ) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones: si u,v R3, conu = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y R, definimos

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y u = (u1, u2, u3)Este espacio vectorial se identifica, geomtricamente, con el espacio cartesiano, y sus elemen-tos son los vectores en (R3,+, ).

3. La generalizacin (Rn,+, ) es un espacio vectorial sobre R, con las siguientes operaciones:Si u,v Rn, con u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn) y R, definimos

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

y u = (u1, u2, . . . , un)

4. (C2,+, ) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones: Si u,v C2, conu = (u1, u2), v = (v1, v2) y C, definimos

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2) y u = (u1, u2)Debe tenerse presente que, en este caso, todos los nmeros involucrados son nmeros com-plejos, por lo cual las operaciones mencionadas son entre elementos en C.

5. (C3,+, ) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones: Si u,v C3, conu = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y C definimos

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y u = (u1, u2, u3)Anlogamente, las operaciones se realizan entre nmeros complejos.

6. La generalizacin (Cn,+, ) es un espacio vectorial sobre C, con las siguientes operaciones: Siu,v Cn, con u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn) y C definimos

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)

y u = (u1, u2, . . . , un)

60

Vernica Gruenberg Stern 3.1. CLASE 10: ESPACIOS VECTORIALES

7. Casos particulares:

Si n = 1, en el ejemplo 3. vemos que (R,+, ) es un espacio vectorial sobre R y si n = 1, en elejemplo 6. vemos que (C,+, ) es un espacio vectorial sobre C. De esta forma, notamos quetanto R como C tienen estructura de cuerpo y de espacio vectorial sobre si mismos.

8. Consideremos el conjunto

Rn[x] = {p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anxn, ai R, i = 0, . . . , n}

es decir,Rn[x] es el conjunto de los polinomios con coeficientes reales en una variable real degrado menor o igual a n (incluyendo al polinomio nulo). (Rn[x],+, ) es un espacio vectorialsobre R con la adicin y el producto por escalar habitual de polinomios, vale decir, sip (x) = a0 + a1x+ a2x

2 + . . .+ anxn y q (x) = b0 + b1x+ b2x2 + . . .+ bnxn, entonces

(p+ q)(x) = p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + . . .+ (an + bn)x

n

(p)(x) = p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n, R

9. Consideremos el conjunto de las funciones a valores realesF = {f : A R R} premunidode la adicin usual de funciones y del producto por escalar usual:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) y ( f)(x) = (f(x)) f, g F , x A, R.Con estas operaciones, (F ,+, ) es un espacio vectorial sobre R.

10. El espacio de las funciones continuas definidas en un intervalo [a, b], que denotamos por(C[a, b],+, ) con las operaciones recin definidas para las funciones, es un espacio vectorialsobre R.

11. El espacio de las funciones n veces derivables (funciones de clase Cn) definidas en un inter-valo ]a, b[, que denotamos por (Cn (]a, b[) ,+, ) con las mismas operaciones anteriores, es unespacio vectorial sobre R.

12. Consideremos el conjunto de las matrices de orden m n con entradas reales, que denotare-mosMmn(R). Recordemos que si A,B Mmn(R), definimos la suma de matrices:

A+B = (aij)mn + (bij)mn = (aij + bij)mn

El producto por escalar queda definido por:

A = (aij)mn = ( aij)mn

De esta manera, (Mmn(R),+, ) es un espacio vectorial sobre R.

61


13. Anlogamente, las matrices con entradas complejas (Mmn(C),+, ) con las operacionesanlogas a las descritas arriba, forman un espacio vectorial sobre C.

14. El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes complejos,es decir Cn[x] = {p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn, ai C, n N}, dotado de lasuma y el producto habitual de polinomios, es un espacio vectorial sobre C.

EJERCICIOS:

1. Sea V un Kespacio vectorial y sea X un conjunto. Sea F (X,V ) el conjunto de todas lasfunciones de X es V. Dotamos a F (X,V ) de las operaciones usuales para funciones, adiciny producto por escalar, definidas por:

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

( f) (x) = f (x)

Muestre que (F (X,V ) ,+, ) es un espacio vectorial sobreK.

2. Determine si (R,+, ) es un espacio vectorial sobre C. Justifique.

3. Determine si (C,+, ) es un espacio vectorial sobre R. Justifique.

4. Determine si (Mmn(R),+, ) es un espacio vectorial sobre C. Justifique.

5. Determine si (Mmn(C),+, ) es un espacio vectorial sobre R. Justifique.

6. En R+ = {x R : x > 0}, se definen las siguientes operaciones:

x y = xy, x = x, x, y R+, R.

Es (R+, , ) un espacio vectorial sobre R?

7. Determine para cada uno de los siguientes casos si el conjunto dado es o no un R-espaciovectorial. En caso negativo, liste los axiomas que no se cumplen.

a) A = {(x, y) R2 : y 0}, con la suma y producto por escalar habitual.b) B = R2, con el producto por escalar usual pero la suma definida por

(x1, y1) (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1)

c) C = {(aij) M22(R) : a11 = a22 = 0}, con la suma y producto por escalarhabitual enM22(R).

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Vernica Gruenberg Stern 3.1. CLASE 10: ESPACIOS VECTORIALES

PROPOSICIN 3.1.1 Sea V unK-espacio vectorial. Entonces:

1. El neutro aditivo 0V es nico.

2. Para cada v V el inverso aditivo (v) es nico.

3. La ley de cancelacin es vlida para la adicin de vectores.

4. v V : 0 v = 0V5. K v V : () v = (v)

Dem.:

1. Supongamos que no es nico, es decir, que existen al menos dos neutros para la adicin0V , 0

V V . Entonces:

0V + 0V = 0V pues 0

V es neutro.

0V + 0V = 0V pues 0V es neutro.

}Como 0V + 0V = 0

V + 0V 0V = 0V .

2. Anlogamente al caso anterior, suponga que el inverso aditivo no es nico. Dejamos la de-mostracin como ejercicio.

3. Debemos probar que si u1, u2, v V : u1 + v = u2 + v u1 = u2Suponemos u1, u2, v V : u1 + v = u2 + v. Como v V se tiene que v V .Sumando a ambos lados de la ecuacin:

(u1 + v) + (v) = (u2 + v) + (v) u1 + (v + (v)) = u2 + (v + (v)) u1 = u24. Calculamos 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. Aplicamos 3. y tenemos 0 v = 0V .

5. Notamos que 0V = 0 v = (+ ()) v = v + () v.Por lo tanto, el inverso aditivo de v es () v. Pero, el inverso aditivo de v es( v). Por la unicidad del inverso: () v = ( v).

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3.2. CLASE 11: Subespacios Vectoriales

DEFINICIN 3.2.1 Sea (V,+, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V, S 6= . Se dice queS es un subespacio vectorial de V si (S,+, ) es un espacio vectorial sobreK.

Notacin: Si (S,+, ) es un subespacio vectorial de (V,+, ), escribimos S V .

OBSERVACIN: La definicin anterior no permite averiguar, de manera simple, si un determinadosubconjunto es o no su

a complemento 22013

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