CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO.

PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS

PARTE VIRTUAL O A DISTANCIA

TAREA # 1

Estudios de posgrado

TEMA:

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.

ACTIVIDAD 1:

Realizar un ejercicio y un problema con su solución de una ecuación diferencial de primer orden.

ALUMNO: FLORES MARTÍNEZ ROGELIO IGNACIO

CATEDRÁTICO: DR. LUIS GERARDO VELA

POSGRADO DE ELECTRÓNICA

CUERNAVACA, MOR., A 6 DE JUNIO DE 2015.

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INTRODUCCIÓN.

Una ecuación diferencial es una expresión matemática que contiene al menos una derivada por diferencial, de una variable dependiente y de una o más variables independientes.

La solución de una ecuación diferencial es una expresión matemática que no contiene derivadas y cumple con una igualdad y puede ser:

A) Solución general Contiene al menos una constante de integración. Ejemplo:

X= C1cos4t + C2sen4t es una solución general de la ecuación diferencial x2+16x=0.

B) Solución particular:

Es una expresión matemática que no contiene constantes de integración ya que existen condiciones iniciales de “X” y “Y” que permiten sustituirlas en la solución general para hallar los valores de las constantes de integración. Ejemplo:

Y=x-1+ (2-e) x-1 es una solución particular de la ecuación diferencial xy ’+ y = ex con condiciones iniciales Y (-1) =4.

Ejercicio. Hallar la solución particular de la ecuación diferencial separable a las condiciones iniciales que se indican.

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 4(𝑥2 + 1); 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑋 (

𝜋

4) = 1; 𝑥(𝑡) = 1

Solución:

𝑑𝑥 = 4(𝑥2 + 1)𝑑𝑡 → 𝑑𝑥

𝑥2 + 1 = 4𝑑𝑡 → ∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 1= 4 ∫ 𝑑𝑡 + 𝑐

Analizamos si la integral está completa:

Aplicamos formula:

∫𝑑𝑢

𝑢2+𝑎2=

1

𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑢

𝑎+ 𝑐

u2=x2 a2=1 u=x a=1

du=dx

Arc tan x = 4t+c Solución general

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Ahora para encontrar la solución general sustituimos condiciones iniciales en

solución general: X (𝜋

4)=1; X=1, t=

𝜋

4.

Arc tan (1)=4(𝜋

4)+c;

0=+c

C=-; ahora sustituimos c en solución general…

Problema.

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta a una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplico en 5 años, ¿en cuanto tiempo se triplicara y cuadruplicara?

Solución

Definimos la ecuación diferencial: 𝒅𝑷

𝒅𝒕= 𝒌𝒑; 𝒑(𝟎) = 𝒑𝟎

Resolviendo: 𝑑𝑝

𝑝= 𝑘𝑑𝑡 → ∫

𝑑𝑝

𝑝= ∫ 𝑘𝑑𝑡 → 𝒍𝒏𝒑 = 𝒌𝒕 + 𝒄

Despejamos p… 𝒑(𝒕) = 𝒆𝒌𝒕𝒆𝒄 → 𝒑(𝒕) = 𝒄𝒆𝒌𝒕 𝒔𝒐𝒍. 𝒈𝒓𝒂𝒍.

Sustituimos C.I. 𝑝0 = 𝑐𝑒𝑘(0) = 𝑐 → 𝑝0 = 𝑐

Entonces: 𝑷(𝒕) = 𝑷𝟎𝒆𝒌𝒕 Solución del sistema de población.

Si la población se duplico en 5 años:

P (5)=2P0

2P0=P0e5k eliminamos P0

2=e5k

Aplicamos ln en ambos lados para despejar k:

Ln2=5k 𝐾 =𝑙𝑛2

5 K=0.139

Sustituimos en nuestra solución del sistema de población:

Arc tan x = 4t- solución particular

P (t)=P0e0.139t solución particular.

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Ahora la pregunta que nos hacen es ¿en cuanto tiempo se triplicara y cuadriplicara?

a) t =? ; P=3P0 b) t =? ; P=4P0

Pero para nosotros la mejor manera de saberlo es encontrar una ecuación que defina en cuanto tiempo la población será n veces la población inicial.

t=? ; P=nP0

nP0= P0 e0.139t

n= e0.139t

Aplicamos ln a ambos lados para despejar t:

Ln(n)=0.139t

𝑡 =ln (𝑛)

0.139

De esta manera tenemos la ecuación general para obtener el crecimiento de población en n número de años.

Respuestas:

a) si n = 3 el tiempo es t=7.9 años b) si n = 4 el tiempo es t=10 años

CONCLUSIÓN.

La dificultad de este tipo de problemas no se basa en resolver la ecuación diferencial, se trata de aplicar la solución de la ecuación diferencial de acuerdo al problema que estemos resolviendo, entra el razonamiento y el pensamiento para poder plantear una ecuación que nos ayude a determinar el resultado que deseamos obtener.

BIBLIOGRAFÍA.

[1] Ecuaciones diferenciales aplicadas Murray r. spiegel. Prentice Hall, Hispanoamericana, S.A. 3ra edición, Retrieved June 6, 2015.

[2] Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos - Resuelve eficazmente ejercicios de ecuaciones diferenciales mediante explicaciones detalladas que te inspiran. Retrieved June 6, 2015, from http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/

[3] Apuntes de matemáticas V de la Carrera de ingeniería Electrónica.