elipse1
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HISTORIA DE LA ELIPSE
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus,
investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio dePerge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueronestudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse
con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el
cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.2Elementos de una elipse
Elementos de una elipse.
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un«eje menor», trazo CD (que equivale a ); la mitad de cada uno deesos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se losdenomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman«focos».
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El punto es uno que pertenezca a la «elipse».
Puntos de una elipse
Si F1 y F2 son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la
distancia F1 F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:
donde es el semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entre dos puntos adversos. En lafigura, longitud del segmento AB.
La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el semieje mayor. Ladistancia del centro de la elipse al punto A o al punto B.
El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier puntoa los focos equivale al eje mayor.Obsérvese que d(AF2) + d (AF1) = d(AF2) + d (BF2)= AB
La medida b es la mitad del eje menor, o sea es el semieje menor, ladistancia del centro al punto C o al punto D.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal(segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos),denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentraentre cero y uno.
, con (0 <e< 1)
Dado que , también vale la relación:
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o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será másredondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3
Constante de la elipse
En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambossegmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempreserá igual a la longitud del «eje mayor».
En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud
medida desde el foco al punto (ubicado en cualquier lugar de laelipse) sumada a la longitud desde el foco a ese mismo punto .(El segmento de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo (color azul), como al
(color rojo), se llaman «radio vector ». Los dos «focos» equidistan del centro . En la animación, el punto recorre la elipse, y en élconvergen ambos segmentos (azul y rojo).
Ecuaciones de la elipse
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La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro enel origen, es:
dondea> 0 y b> 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al ejede las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad delsegmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distanciafocal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a elsemieje mayor .
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuaciónes:
En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos)viene definida por la ecuación:
También en coordenadas polares una elipse (con centro en el origen)
viene definida por la ecuación:
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k ) es:
con , y donde el ángulo se puede interpretar como elángulo polar.
Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:
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Siendo a y b los semiejes.4
Longitud de una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo deintegrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación mássimple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse,pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas.Ramanujan, en su formula, entre otros valores utiliza el ³semiejemayor´ y el ³semieje menor´. Ecuación de la longitud de una elipse:
Propiedades notables
La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes,como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.
La elipse como cónica
La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con unplano, de tal manera que la inclinación del plano no supere lainclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que laintersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figurasbidimensionales se las llama secciones cónicas o simplementecónicas.
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la elipse como conica.
La elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r , siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferenciageneratriz.
En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al puntogeneratriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferenciadirectriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d= 1.
Construcción paramétrica de una elipse
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Se dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetrosequivalen a la medida de los ejes ortogonales de la futura elipse. Sitrazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y, partiendodel extremo de los radios alineados, la intersección de dichossegmentos son puntos de la elipse.
Anamorfosis de un cír culo en una elipse
Artí culo princ i pal: Anamorf osi s
Cierta trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmenteel plano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Secorresponde a una perspectiva especial. El término anamorfosis
proviene del idioma griego y significa trasformar.
Una circunferencia en un planocartesiano no deformado.
Esta circunferencia se transforma enuna elipse mediante unaanamorfosis, donde el eje Y se hacontraído y el X se ha dilatado.
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En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide encuadrados, cuando dicho plano se «deforma» en sentido del eje X, elY, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse, y loscuadrados en rectángulos.
La elipse en mecánica celeste
En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria deotro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica ideal. Unode los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. Laexcentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales.Esto está descrito en las leyes de Kepler .
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la el ipse a
los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c , c es el valor de la
semidistancia focal.
Vértices
Son los puntos de intersección de la el ipse conlos ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a, a es el valor
del semie je mayor .
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b , b es el valor
del semie je menor .
Ejes de simetr ía
Son las rectas que contienen al eje mayor o al
eje menor.
Centro de simetr ía
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Coincide con el centro de la el ipse, que es el
punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semie jes