95247923 ejemplos de ecuaciones diferenciales aplicados a la ing civil uss 1
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FACULTAD DE INGENIERIA – ARQUITECTURA Y
URBANISMO
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL.
Docente:
Idrogo Burga Edinson
Asignatura:
Matemática III
Trabajo:
Estudio de la ley de Newton.
Crecimiento poblacional.
Física(mecánica)
Integrantes:
Paredes Tenorio Jonatan Edgardo.
Tarifeño Fonseca Branco Y.
Zeña Flores Edgar Jhomar
Ciclo:
IV
2012
En un cuerpo que se está enfriando la tasa de cambio de temperatura con respecto
al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la
temperatura del medio que o rodea.
Esto es:
Donde es una constante de proporcionalidad:
Integrando esta ecuación con la condición que la temperatura ambiente es constante.
∫
∫
Obtenemos la relación lineal siguiente.
Despejamos T.
Problema aplicativo Nº 01
Una varilla de acero corrugado a una temperatura de se pone en cuarto a una
temperatura constante de . Después de 20 minutos la temperatura de la barra es de
.
¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de ?
¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos?
Solución:
Sea la temperatura de la barra al tiempo , luego y .
La temperatura del medio ambiente, , es . Nótese que
es l velocidad a la
que se enfría la barra.
Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:
Y como , este problema queda formulado con la siguiente ecuación diferencial y
sus condiciones
La solución general ya es conocida
Como se tiene que:
Cuando resulta:
La ecuación resultante quedaría:
Rptas:
a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de
La barra tardará 40 minutos en alcanzar una temperatura de .
b) La temperatura de la barra después de 10 minutos es igual a
(
)
La temperatura de la barra después de 10minutos será aproximadamente de .
Problema aplicativo Nº 02
Una taza de café cuya temperatura se coloca en cuarto cuya temperatura es
. Dos minutos más tarde la temperatura del café es .
¿Después de cuánto tiempo la temperatura del café será ?
Solución:
Datos:
→
6° 2’ 7.46” Rpta.
Problema aplicativo Nº 03
Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura
constante de . Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de y des
pues de 40 minutos a temperatura del cuerpo es de , hallar la temperatura inicial
de éste.
Solución:
Denotemos nuevamente con a la temperatura del cuerpo en u instante dado. Así
, , y
es la velocidad con que se enfría el cuerpo.
Ahora la temperatura constante del medio ambiente es
La solución general de la ecuación diferencial es:
Para obtener y utilizamos las condiciones iniciales dadas, como siempre.
De donde:
Aplicando logaritmo natural a las ecuaciones anteriores:
De aquí que:
Sustituyendo en y hallando :
Obtenemos la ecuación:
(
)
(
)
⁄
Rptas:
La temperatura inicial del cuerpo era aproximadamente .
Sea el numero de individuos en el timpo . La ley de Malthus de crecimiento de
poblaciones dice que la razon de cambio de la población es proporcional al numero de
individuos en ese tiempo, es decir:
Este modelo lineal para crecimientode poblaciones, son satissfactorios siempre que la
población no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futro distante.
Cuando la poblacion es demasiado grande, este modelo matematico no puede ser
exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre si por el
limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. Asi pues, hay que agregar un termino
de competicion para que el crecimiento de la poblacion esté representado en forma mas
realista. Una eleccion adecuada del termino competitivo es , llamda ley de
logistica(Verhulst, en 1837):
Ahora bien, en general la constante es muy pequeña comparada con , de tal modo
que si no es demasiado grande entonces el termino es insignificante
comparado con . Sin embargo, si es grande entonces el termino debe tomarse
en cuenta ya que dismnuye la tasa de crecimiento.
Problema aplicativo Nº 04
La aparición de salitre en estructuras de concreto armado cerca a las orillas del mar se
ve incrementando muchísimo al pasar del tiempo. Si se tuvo una cierta cantidad de
salitre . Después de 5 días se observó que aumento en un 100 por ciento y después de 8
días 400 por ciento. Encontrar la expresión para la cantidad de salitre presente en
estructuras de concreto al tiempo y el porcentaje que había originalmente de salitre.
Solución:
Sea la cantidad de salitre que hay en días. De ahí que y
y
es la velocidad a la que se incrementa el salitre.
Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente manera:
Cuya solución integrada es conocida:
Como se tiene que:
Cuando resulta:
La ecuación resultante quedaría:
Hallan , si
La ecuación resultante quedaría:
Rpta.
El porcentaje que habia inicialmente aproximadamente es de 9.9213 porciento .
Problema aplicativo Nº 05
En un cultivo de bacterias se tenían número de familias. Después de una hora se
observaron en el cultivo 1000 familias de la bacteria y después de cuatro horas, 3000
familias. Encontrar la expresión para el número de familias de la bacteria presentes en
el cultivo al tiempo y el numero de familias de la bacteria que había originalmente n el
cultivo.
Solución:
Sea la cantidad de familias de la bacteria que hay en horas. De ahí que
y y
es la velocidad a la que crece el cultivo de bacterias.
Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente manera:
Cuya solución integrada es conocida:
Y considerando las ecuaciones iniciales se tiene que:
Rpta.
Es la expresión que nos da el número de familias presentes en un momento .
Observamos que el número de familias que había originalmente en el cultivo es
Familias
Problema aplicativo Nº 06
Una población de cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a la cantidad
de personas, si la población se duplico en 5 años ¿en cuanto tiempo se va a triplicar la
población?
Como:
Cuando
Por lo tanto :
Entonces:
Aplicando logaritmo natural:
Hallando
Rpta:
La población se triplicara en 7.85 años
Problema aplicativo Nº 07
Al abrir su paracaídas un paracaidista esta cayendo con una velocidad de 176 ⁄ , si la
fuerza de resistencia del aire es ⁄ , donde es el peso total del hombre y
del paracaídas y la velocidad con que va cayendo hallar la velocidad en cualquier
tiempo después de abierto el paracaídas.
Solución:
De a segunda ley de Newton, usando que y ⁄ , se da que:
Es equivalente
La ecuación anterior es separable, resolviéndola y usando la condicional inicial
, obtenemos
De donde se observa que para t muy grande tiende el valor de ⁄ . Esta es la
llamada velocidad terminal y es la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.
Problema aplicativo Nº 08
Para el modelo Dinámico que se da, plantear la ecuación diferencial para la Masa m, del
siguiente gráfico.
K: Constante de rigidez del resorte
C: Coeficiente de amortiguación
Diagrama de cuerpo libre
Para el modelo Dinámico que se da, plantear la ecuación diferencial para la Masa m, del
siguiente gráfico.
K: Constante de rigidez del resorte
C: Coeficiente de amortiguación
X: es un desplazamiento
m
xcf2
xkf 1
)(0 tsenf
ECUACIÓN DIFERENCIAL
xmsenwt fff210
xmxckxsenwtf0
)(0
wtsenkxxcxm f
ACELERACIÓN VELOCIDAD V. POSICIÓN
)(0 wtsenmm
kx
m
xcx
f
Problema aplicativo Nº 09
Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m con una velocidad
inicial de 180 m/s a un ángulo de 30° con la horizontal. Si se ignora la resistencia del
aire, encuentre:
La distancia horizontal desde el cañón hasta el punto en el que el proyectil golpea el
suelo.
La elevación máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.
Solución:
Modulo :
| | | | √
| | | |
En el punto más alto:
En el tramo
∫
∫
∫
∫ ( )
En tramo En tramo
∫
∫ ( )
√
√
Calculando el distancia horizontal máxima
∫
∫
√
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