9. oinarrizko funtzioak

B. Zientifiko-Teknikoa (1. maila)

1

ZIENTIFIKO-TEKNIKOA

MATEMATIKA I

2. eta 3. ebaluazioa:

9. Oinarrizko Funtzioak

ARRASATE B.H.I. (ARRASATE)


2

Bi funtzio dira: Ez da funtzioa:

FUNTZIOAK (I) Funtzio batek bi aldagaien menpekotasuna adierazten du:

• Etxebizitzaren prezioa etxearen azaleraren funtziopean dago.

• Esfera baten bolumena bere erradioaren menpekoa da.

• ........ Bi aldagai erlazionatzen dira, bat independentea (x) eta bestea dependentea edo menpekoa (y). Funtzioak f, g, h...letrez adierazten dira.

y=f(x) idazkerak “y” aldagaia “x”-ren menpe dagoela esan nahi du.

Grafikoa Funtzioak koordenatu-ardatzetan irudikatzen dira. Abzisa-ardatzean x-ren balioen multzoa adieraziko dugu, eta ordenatu-ardatzean y = f(x) funtzioaren balioen multzoa.

“x”-en balio bakoitzari “y” bakarra dagokio. (x,y) bikoteak funtzioaren marraren puntuak dira.

Ezkerrekoa ez da funtzioa , eskuinekoa bai

X

Y

x

y (x,y)

1 4 9

-3

-2

-1

1

2

3

1 4 9

-3

-2

-1

1

2

3y = +

è!!!x

y = -è!!!x


3

-3 -2 -1 1 2 3X

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

Y

x-k har ditzakeen balioen multzoari funtzioaren existentzia-eremua esaten zaio, eta

D(f) eran adieraziko dugu. Adibidez, x

y−

=1

3 funtzioan x-k ezin du 1 balioa hartu;

beraz, existentzia-eremua R – {1} da. Funtzioak (y) hartzen dituen balio guztien multzoari ibiltartea esaten zaio. Adibidez, y = x2 funtzioaren ibiltartea ),0[ ∞ da. y = 2x+1 funtzioaren existentzia-eremua R da

Funtzioen ibiltartea

da. )[-1, eremua

1

∞+= nfuntzioarexy

-3 -2 -1 1 2 3X

-2

-1

1

2

3

4

Y

f(x) = 5 funtzioaren ibiltartea 5 da

f(x) = -x2 + 3 funtzioaren ibiltartea ]3,(−∞ da


4

2

1

−=

xy xy −= 3

Eremua: R - {2} Ibiltartea: R - {0}

Eremua: (- ¶ ,3] Ibiltartea: [0,¶)

Adibideak.

Ariketak. 1. Laukizuzen baten perimetroa 20 cm-koa da. Adieraz ezazu laukizuzenaren azalera x aldearen funtzioan. 2. Aurki itzazu ondoko funtzioen existentzia-eremua :

x

yxy1

;4;1- xy 2 =−+==

xxyx

xy

x

xyxy

xx

xyxxyxxyxy

xyx

yx

yx

y

4;3

2;

1

2;2

56

1;23;32;9

9;100

5;

5

100;

100

5

32

2222

22

2

2

−=+−=

−+=−=

+−−=−−=−+=−=

−=+

=−=−

=


5

1. mailako funtzio polinomikoak: y =ax+b (zuzenak) a, zuzenaren malda da. b=0 denean, zuzena (0,0) puntutik pasatzen da. y=2x-4 funtzioaren grafikoa:

OX ardatza y = 0 zuzena da, eta OY ardatza x = 0 zuzena.

y = k zuzena, horizontala da; x= k , ordea, bertikala.

x y 0 -4 2 0

x y 0 0 1 4

- 1 1 2 3x

- 6

- 4

- 2

2

f H x L

Aski da ondoko bi puntu ezagutzea:

� Non mozten du 0X ardatza? y = 0 eginda x = 2 ateratzen da; beraz, A(2,0) puntuan.

� Eta 0Y ardatza? x = 0 eginda y = -4 ; hau da, B(0,-4) puntuan.

m =y2 − y1x2 − x1

=0 − H−4L2 − 0

= 2Zuzenaren malda:

- 1 1 2O X

1

2

3

O Y

y = 3 - 4 - 3 - 2 - 1

- 2

- 1

1

2

x = -2

1O X

1

2

3

4

O Y

y = 4x

malda = 4 eta b = 0


6

2

1

02

10 −=−−== maldaa

Ariketa ebatzia: Zein da irudiko zuzenaren adierazpen analitikoa?

A(0,1) eta B(2,0) puntuetatik pasatzen da. Bi eratan egingo dugu:

I) y=ax+b forma du. A(0,1) puntua zuzenean dago; hots, 1=a(0)+b Berdin (2,0) puntua: 0=a(2)+b. Beraz, b=1 eta a=-1/2. Zuzenaren ekuazioa: y = -x/2 + 1

II) P(x1,y1) puntu bat eta m malda ezagutuz, zuzenaren ekuazioa y – y1 = m(x – x1 ) da.

Puntua, A(0,1) da eta m = -1/2 . Beraz, y -1 = -1/2(x - 0) ; y = -x/2 +1

Ariketa

Zeintzu dira "r" , "s" , "t" eta "v" funtzioak? Zeintzu dira A eta B puntuak? Zenbat da "s" zuzenaren malda? . Eta "v"zuzenaren a?

1 2OX

1

OY

B

A

- 2 - 1 1 2 3 4x

- 4

- 3

- 2

- 1

1

2

3

4

f H x L

r

st

v

A

B


7

−<+−−≥+

=+=2;)2(

2;22

xx

xxxy

Balio absolutuak

2. mailako funtzio polinomikoak: y = ax2 + bx + c (parabolak)

Gorputz bat 5 m/seg-ko abiadurarekin pasatzen da jatorritik 10 km-ra dagoen puntu batetik. Une horretan azelerazioa konstantea bada, esaterako 2 m/seg2-koa, gorputzaren posizioa (s) eta denbora (t) erlazionatzen duen funtzioa, s = f(t), hauxe da: s = 10 + 5t + ½ .2t2

y = x2 ; y = 3 – x2 ; y = (x-4)2

Zeintzu dira A,B eta D puntuak?

x y -2 0 -1 1 0 2 -3 1 -4 2

x y 0 0 -1 1 -2 2 1 1 2 2

y = » x»

<−≥

==0;

0;

xx

xxxy

y = » x+ 2 »

-2 -1 1 2x

0.5

1

1.5

2

fHxL=»x»

-5 -4 -3 -2 -1 1x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

fHxL=»x+2»

y = x+2 y = -x-2

y = x y = -x

-2 -1 1 2x

1

2

3

4f HxL=x^2

-1 1x

1

2

3f HxL=3−x^2

A B 2 4 6 8x

f HxL=Hx−4L^2

D


8

{ }2≥x{ }0≤x

3. mailako funtzio polinomikoak y = x3 y = -x3 y = x3 + 3x2

4. mailako funtzio polinomikoak y = x4 y = - x4 y = x4 - x2

1. mailako funtzio irrazionalak

x y 2 0 6 2 11 3

x y 0 0 -1 1 -4 2

-2 -1 1 2x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

f Hx L= x^3

-2 -1 1 2x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

f H x L= − x^3

-3 -2 -1 1x

-2

-1

1

2

3

4

f HxL=x̂ 3 +3x̂ 2

-2 -1 1 2x

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

f HxL=x4

-1.5-1-0.50.511.5x

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

fHxL=−x4

-2 -1 1 2x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

fHxL=x̂4−x̂2

y =è

−x y =èx − 2

Existentzia-eremua: Existentzia-eremua:

-9 -4 -1

1

2

3

y=+è!!!!!!-x

2 6 11OX

1

2

3

OY

y=+è!!!!!!!!!x-2


9

xy −= 3 3+= xy xy −= 1

Ariketak

1. Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?

2. Adierazi grafikoki ondoko funtzioak:

y = 1-x2 ; y = x

2 +3 ; y = 1+x

3

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

5

6

f HxL

H2,5L

- 2 - 1 1x

- 1

- 4

1

4

8

f H x L

H - 1 , 1 L

H - 2 , 8 L

-2 -1 1 2x

-4

-3

-2

-1

1

f HxL

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4

f HxL

1 4 9OX

1

2

3

OY

H4,2L

-1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

-3 -2 -1 1

0.5

1

1.5

2


10

Alderantziz proportzionalak diren funtzioak Askotan agertzen dira mota horietako funtzioak. Adibidez, tenperatura konstantean, gas

masa baten presioa eta bolumenen arteko erlazioa B

kP = da.

Funtzio esponentzialak: y=2x eta (1/2)x

Txanpon bat” n” aldiz botatzen dugu airera.. Zenbat emaitza posible daude? Lehenego jaurtiketan : 2 Bigarren " : 2.2 = 4 Hirugarrenean: 2.2.2 = 8 Laugarrenean: 2.2.2.2 = 16 "n" jaurtiketa egin ondoren, emaitza guztiak adierazten duen funtzioa y = 2n da. Adieraz ditzagun grafikoki bi funtzio hauek : y = 2x eta y = (1/2)x

Edozein x-rentzat (existentzia-eremua:R), funtzioaren balioa , y, beti da positiboa. Ibiltartea : ( )∞,0

Oinarria “e” zenbakia (2,711828...) duen funtzio esponentziala: y = ex

x 0,1 0,01 1 4 -1 -10 y 10 100 1 0,25 -1 -0,1

x 0,1 0,01 1 4 -1 -10 y 10 100 1 0,25 -1 -0,1

x y 0 1 1 e = 2,71... 2 e2 = 7,389... -1 1/e = 0,3678...

xxy

== −

2

12 xy 2=

-1 1 2

1

0.367

7.39

y = ex

-5 0,03125 32-4 0,0625 16-3 0,125 8-2 0,25 4-1 0 ,5 20 1 11 2 0,52 4 0,253 8 0 ,1254 16 0,06255 32 0,03125

x 2-x 2x

xy

1= Existentzia-eremua: R – { 0}

-4 -2 2 4x

-10

-5

5

10

y

y =1êx

xy

1−=Existentzia-eremua: I = R – { 0}

-4 -2 2 4x

-10

-5

5

10

y

y=-1êx


11

xey −=

≥<<

≤−−=

1xbaldin2-x

1x1-baldin3

-3xbaldin1x

y

zuzena. 2-xy denean,1 =≥x

da.n irudikatze zuzena -2y denean,1 =<x

funtzioa. 12y denean,31 −=<≤ xx

funtzioa. 8y denean,3 xx −=≥

≥−<≤−

<−=

3 x;8

31;12

1x;2

x

xxy

Oinarria “e” zenbakia (2,711828...) duen funtzio logaritmikoa: y = ln x

Ariketa Adierazi grafikoki ondoko funtzioak: Zatika definituriko funtzioak

-1<x<1 denean, y = 3 zuzen horizontala.

x y 1 0 2 0,693 3 1,099

0,5 -0,693

x y -3 2 -4 3

x y 1 -1 2 0

y x 1 1 3 2

4,998 2,999

x y 3 5 8 0

0.5 1 2 3

-0.693

0.693 y= lnx

Existentzia-eremua: {x>0}

xy

2=

da.n irudikatze zuzena 1--xy denean,3 =−≤x


12

Ariketak

1. Adierazi grafikoki ondoko funtzioak:

2. Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?

≥−<<

≤−=

1;2

10;2

0;1

xx

xx

x

y

≤<−≤≤−+

=20;1

02;22 xx

xxy

>≤−

=0xbaldinx

0xbaldin12

xy

≥−<≤

<−=

2x;22

20;2

0x;

x

x

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5x

1

2

3

4

f HxL

H2,4L


13

Funtzio trigonometrikoak

x y = sin x -90º -1 0º 0 30º 0.5 90º 1 180º 0 270º -1 360º 0

x y = cos x -90º 0 0º 1 60º 0.5 90º 0 180º -1 270º 0 360º 1

x y = tg x

-90º

-45º -1 0º 0 45º 1

90º

180º 0

270º

... ...

y = sin x

− π −π�� 2

π�� 6

π�� 2

π 3 π��

2

r a d i a n a k

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

y = s i n x

HpÅ ÅÅÅ ÅÅ2

,1 L

p

H3 pÅ ÅÅÅ ÅÅÅ ÅÅÅÅÅ

2,- 1 L

y = cos x

− π −π��2

π� ��3

π��2

π 3 π��

22 π

radianak

-1

-0.5

0.5

1

y = cos x

H 2p ,1L

p

H p ,- 1 L

Existentzia-eremua: R Ibiltartea: [-1 , 1] Funtzio periodikoa : cos x = cos (x + 2k ) Periodoa = 360º

π

y = tg x

puntuetan.,...2

3,

2,

2

bertikalak Asintota

πππ−=x

−π −π��2

π��4

π��2

π 3 π��2

2 π 5 π��2

radianak

-1

0.51

y = tg x∞±

∞±

∞±

Existentzia-eremua: R – {-90º, 90º, 270º,...} Ibiltartea: R Funtzio periodikoa: tg x = tg (x + k ) Periodoa = 180º

π

Existentzia-eremua: R Ibiltartea: [-1 , 1] Funtzio periodikoa : sin x = sin (x + 2k ) Periodoa = 360º

π


14

Simetriak

� Simetria 0Y ardatzari begira

f simetrikoa da y ardatzari begira x eta –xek irudi berdina dutenean, hots, f(x)= f(-x) denean

Adibidez: • 2 → 4 eta -2 → 4

• 1 → 1 eta -1 → 1 Mota horietako funtzioak funtzio bikoitiak direla esaten da.

� Simetria (0,0) puntuari begira

f simetrikoa da (0,0) puntuari begira x eta –xek irudi aurkakoa dutenean, hots, f(x)=- f(-x) denean • 2 → 8 • -2 → -8

Mota horietako funtzioak funtzio bakoitiak direla esaten da.

Ariketak . Simetria, existentzia-eremua, ibiltartea

-3 -2 -1 1 2 3X

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Y

f HxL=x2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4X

-32

-24

-16

-8

8

16

24

32Y

f HxL=x3

Aukeratu erantzuna

• Simetria

• (0,0) puntuari begira

• Bakoitia

• Bikoitia

• Y ardatzari begira

• Existentzia- eremua

• (- ¶, 9]

• (-¶, ¶)

• Ibiltartea

• (- ¶, 9]

• (-¶, 0 )


15

Ariketa Azter ezazu ondoko funtzioen simetriak :

Aukeratu erantzuna

• Simetria

• Bakoitia

• Bikoitia

• Y ardatzari begira

• (0,0) puntuari begira

• Izate- eremua

• (-11, 11]

• (-¶, ¶)

• Irudi multzoa

• (- 3, 3]

• (-¶, 0 )

• R

23

324

1);

1);)

1);13)

xye

xydxxyc

xybxxya

==−=

−=+−=


16

Funtzioen konposizioa Har ditzagun f(x) = x+3 eta g(x) = x2-1 funtzioak eta zenbaki erreal bat, x = 2 adibidez. Lehenik, 2 balioaren f bidezko irudia kalkula dezakegu, eta horrela f(2) = 5 lortuko dugu, eta jarraian g bidezko irudia; hau da: g(5) = g(f(2)) = 24 2 → f(2) = 5 → g(f(2)) = 24

Oro har, f eta g funtzioak emanik, x balioari g(f(x)) balioa egokitzen dion funtzioari f-ren eta g-ren funtzio konposatua deritzo eta g o f eran idazten da.

x → f(x) → g(f(x)) = (g o f)(x)

Eragiketa honetan g funtzio bat , f(x) beste funtzio baten emaitzaren gain aritzen da.

Adibidea : Eman ditzagun xxf =)( eta g(x) = x2 - 1 funtzioak. Kalkula ditzagun (g o f)(x) eta (f o g)(x) funtzio konposatuak.

• (g o f)(x) = g[f(x)] = 11)()( 2 −=−= xxxg

• (f o g)(x) kasuan, f funtzioa g-ren emaitzari aplikatu behar zaio:

x → g(x)→ f(g(x)). Hau da, (f o g)(x) = f[g(x)] = f[x2-1] = 12 −x

(f o g) eta (g o f) ez dira berdinak

Ariketak

1. f(x) = 2x+1 eta g(x)= x2 izanik , kalkula itzazu f o g eta g o f funtzio konposatuak . Betetzen al da trukatze propietatea?

2. izanik,kalkula itzazu (f o g) (2) eta (g o f) (2)

3. Egiazta ezazu y = (4x 2 – 1) 10 funtzioa funtzio konposatua

dela. Horretarako,har itzazu f(x)=x10 eta g(x)=4x2 -1 funtzioak eta kalkulatu (f o g)(x).

3. Egizu gauza bera y = sin 3x funtzioarekin. Har itzazu

f(x)=sin x eta g(x)=3x funtzioak eta kalkulatu (f o g)(x).

3xg(x) eta 1

2)( =

+=

xxf


17

Alderantzizko funtzioa konposizioarekiko

Funtzio batzuk, beste funtzio ezagun batzuren alderantzizko gisa sortu dira. Esaterako,

xxf )( funtzioa g(x) = x2-aren alderantzizkoa da.

Azter ditzagun xxf )( eta f -1(x) = x2 funtzioaren grafikoak

Ikus dezakezunez, bi grafikoak simetrikoak dira 1. eta 3. koadranteen erdikariarekiko; hau da y = x zuzenarekiko. Horren zergatia ondokoa da: (a , b) puntua f funtzioaren grafikokoa bada, (b , a) puntua f –1 funtzioaren grafikokoa da.

Nola kalkulatu funtzio baten alderantzizkoa ? Adibidez, har dezagun y = f(x) = 2x +3 funtzioa. Alderantzizko funtzioa lortzeko, ondoko prozedura erabiliko dugu:

• x aldagaia bakanduko dugu: 2

3−= yx

• y aldagaiaren ordez x jarriko dugu, eta alderantziz, zeren normalean aldagai

independentea x letraz adierazten baita eta aldagai dependentea y letraz:

2

3−= xy

2. adibidea . Kalkula dezagun y = x2-3 funtzioaren alderantzizkoa.

� x aldagaia bakandu: 3+= yx

� Aldagaiak trukatu:

3+= xy

4 → 2 9 → 3 16 → 4 ...

xxf =)( g(x) = x2

2 → 4 3 → 9 4 → 16 ...

Esate baterako, 4 balioaren irudia f bidez 2 balioa bada, orduan g-ren bidez 2 balioari 4 balioa dagokio. g(x) funtzioari f-ren alderantzizko funtzioa deritzo (f –1)

1 2 3 4 9

1

2

3

4

9

y= x 2y= x

y= +" ###x

Funtzio logaritmikoa ( y = ln x) eta esponentziala ( y = ex) alderantzizkoak dira.

y=sin x , y=cos x eta y=tg x funtzioen alderantzizkoak y=arc sin x , y=arc cos x eta y=arc tg x dira, hurrenez hurren. Hori dela eta, arc sin 0,5 = 30º , arc cos(-1) = 180º , arc tg 1 = 45º …dira.


18

x log3x0,00 -50,01 -40,04 -30,11 -20,33 -1

1 03 19 227 381 4243 5

Funtzio esponentziala eta logaritmikoa: y = 3x eta y = log 3x

x 3x

-5 0,00-4 0,01-3 0,04-2 0,11-1 0,330 11 32 93 274 815 243

y = x

y = log3x

y = 3x

Ez dago zeroren ez eta zenbaki negatiboen logaritmorik.

y = log3x funtzioaren existentzia-eremua: {x>0}

Bi grafikoak simetrikoak dira y = x zuzenarekiko.

9. oinarrizko funtzioak

Documents