INTRODUCCIÓN Los griegos alcanzar n en el siglo III a.c. un elevado grado de abstracción en la Matemática, considerando a la Aritmética como una estricta : TEORIA DE LOS NÚMEROS.En la investigaciones efectuadas por los griegos alcanzaron muy pronto el concepto de número primo, del cual inició Eratóstenes para descubrir su curioso método de determinación de los números primos.Los principios de la divisibilidad aparecen como consecuencia del desarrollo de la teoría de los números. Así, los hindúes llegaron a conocer la divisibilidad por 3,9 y 7 ; los griegos y egipcios clasificaron los números pares e impares

OBJETIVOS- Diferenciar los múltiplos de los divisores de un número- Aplicar los criterios de divisibilidad

TEORIA Un número es divisible por otro cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo es cero.

Al dividir : 60 = 12 5 número entero Por lo tanto diremos: 60 es divisible por 5 o también : 5 divide a 60

También 80 es divisible por 16 porque ; 80 : 16 = 5 número entero Reglas de la divisibilidadPara saber si la división entre números naturales es exacta, no necesariamente habrá que resolverla. Se pueden aplicar determinadas reglas prácticas de divisibilidad para este propósito.Estas reglas son también llamados : CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD y que son condiciones que debe reunir un número para asegurar que es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división . algunas de estas reglas son las siguientes:

- Divisibilidad por 2: Son divisibles por 2 todos los números cuyo último dígito es cero o cifra par.Por ejemplo: 10, 14, 164 , ;

- Divisibilidad por 3. Son divisibles por 3 todos los números cuya suma de sus dígitos es un múltiplo de 3

Por ejemplo: 360 = 3 + 6 + 0 = 9 ; como 9 es múltiplo de 3, el número 360 es divisible por 3.

Por el contrario: 148 = 1 + 4 + 8 = 13 ; Como 13 no es múltiplo de 3 , 148 no es divisible por 3.

- Divisibilidad por 6. Todos los números que son ;divisibles por 2 y 3,, también son divisibles por 6.

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ARITMETICA AÑO

Por ejemplo: 144 Es divisible por 2 porque el último dígito es par (4).

Es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3: (1 + 4 + 4 = 9 ) 9 es múltiplo de 3

144 es divisible por 6, puesto que es divisible por 2 y 3 a la vez.

- Divisibilidad por 4. Son divisibles por 4 todos los números terminados en dos ceros o cuyos dos últimos dígitos, forman un número múltiplo de 4.

Por ejemplo: 1.500 es divisible por 4 porque termina en dos ceros.

128 es divisible por 4 porque sus dos últimos dígitos (28) forman un número múltiplo de 4.

es divisible por 4 , porque sus dos últimos dígitos son ceros

- Divisibilidad por 5. Son divisibles por 5 todos los números cuyo último dígito es cero o cinco.

Por ejemplo: 120 es divisible por 5 porque el último dígito es cero.

135 es divisible por 5 porque el último dígito es 5.

es divisible por 5 porque el último dígito es 5.

- Divisibilidad por 8. Son divisibles por ocho cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8

Por ejemplo: 121000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros.

es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son múltiplos de 8

es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son múltiplos de 8

- Divisibilidad por 9. Son divisibles por 9 todos los números cuya. suma de sus dígitos es un múltiplo de 9

Por ejemplo: 567 es divisible por 9 ya que 5 + 6 + 7 = 18 y 18 es múltiplo de 9

- Divisibilidad por 10. Son divisibles por 10 todos los números terminados en cero.

Por ejemplo: 20, 30, 100, 1.300, son divisibles por 10 ya que terminan en cero - Divisibilidad por 7. Se multiplica de derecha a izquierda cada cifra del número por :

1,3,2, –1, –3, -2,....

Y luego realizamos la suma algebraica de estos productos. Si el resultado es múltiplo de 7 resulta

0; entonces el número dado es Divisible por 7 por ejemplo : 2 4 1 6 6 8 será divisible por 7.

Veamos porque:

2 4 1 6 6 8 entonces cada producto resulta : -2 -3 -1 2 3 1 - 4 - 12 – 1 + 12 + 18 + 8 = 21 (21 es múltiplo de 7)

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- Divisibilidad por 11. Cuando al restar la suma de las cifras de lugar impar con la suma de las cifras de lugar par , el resultado es 0 (cero) o múltiplo de 11.Por ejemplo : 38016 es divisible por 11Veamos porque :

3 8 0 1 6 entonces: (6 + 0 +3 ) - ( 1 + 8 ) = 9 – 9 = 0 par par cifras de cifras de lugar impar lugar par MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Veamos lo siguiente:

4 x 0 = 0 6 x 0 = 0 También podemos formar múltiplos de la sgte. Forma: 4 x 1 = 4 6 x 1 = 6

4 x 2 = 8 6 x 2 = 12 encontremos 4 múltiplos de 7 ( ) :

4 x 3 = 12 6 x 3 = 18 7 x 5 = 354 x 4 = 16 6 x 4 = 24 7 x 8 = 564 x 5 = 20 6 x 5 = 30 7 x 9 = 63 4 x 6 = 24 6 x 6 = 36 7 x11 = 77

Luego : 35 56 63 y 77 son ( )

Estos números son Estos números son Múltiplos de 4 múltiplos de 6

Observa el siguiente ejemplo:

¿cuál es el máximo valor que puede tomar “a” para que sea ?

Recordando: Para que un número sea divisible por 4 las dos últimas cifras deben ser ceros ó deben ser Múltiplos de 4. Por tanto: la cifra “a” puede ser: 0; 4; 8 Donde la mayor cifra será 8

DIVISOR DE UN NÚMERO:Se dice que un número es divisor de otro cuando , al dividirlo por él, la división es exacta. Veamos los divisores de 12 : 12 : 1 = 12 (EXACTO) 12 : 2 = 6 (EXACTO) 12 : 3 = 4 ( EXACTO)12 : 4 = 3 (EXACTO) 12 : 5 = 2,4 (INEXACTO) 12 : 6 = 2 (EXACTO)12 : 7 = 1,71.... (INEXACTO) 12 : 8 = 1,5 (INEXACTO) 12 : 9 = 1,33...(INEXACTO)12 : 10 = 1,2 (INEXACTO) 12 : 11 = 1,09.... (INEXACTO) 12 : 12 = 1 (EXACTO) Luego serán divisores de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 y 12

Calculemos los divisores de 15: D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

Calcular los divisores pares de 48:

Los divisores de 48 son : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ,16, 24, 48 De los cuales son pares : 2 , 4 , 6 , 8 , 12, 16 , 24 y 48 son 8 divisores.

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ARITMETICA AÑO

DIVISIBILIDAD

01. A continuación se presentan un grupo de preguntas, que deberás de leer detenidamente para luego contestar

¡ adelante !....... Elimina los números que no sean divisibles por 2 . a) 2221 b) 4588 c) a0b0 d) 4mnn3

Encierra en un círculo los números que sean divisibles por 3.a) 2568 b) 10108c) aaa d) bbbbbb

¿Cuáles de estos números son divisibles por 4 a) 528 b) 648 c) 500 d) aa000

De los siguientes números, ¿cuáles no son divisibles por 9?a) 2 961 b) 7 431 c) 81 162 d) 9 729

De los siguientes números. ¿Cuáles son divisibles por 11?a) 2 596 b) 819c) 5 830 d) 61 853

En el siguiente grupo de números, dos de ellos son divisibles por 7 , enciérralos en un círculo.a) 11124 b) 4438c) 67823 d) 77177

02. La suma de tres números naturales consecutivos es siempre múltiplo de : .............

03. Halla los elementos de cada conjunto :A={x N/4 < x 15; x es múltiplo de 3}B={x N/20 x 45; x es múltiplo de 5}C={x N/3 < x 20 ; x es múltiplo de 6}D={x N/8 x < 30 ; x es múltiplo de 4}

04. ¿Cuál es la menor cifra que debe agregarse a la derecha de 926 para obtener un número de cuatro dígitos divisibles por 4?

05. ¿Cuál debe ser el valor de a > 5 para que el número sea divisible por 4?

06. ¿Cuál es el valor de a para que sea divisible por 8?

07. Calcula la suma de todos los valores posibles que puede tomar “a” para que el número

sea divisible por 9.

08. Desde el 11 al 80, ¿cuántos son múltiplos de 4?

09. ¿Cuántos divisores pares tiene el número 24?

10. Calcula la suma de todos los posibles valores de a y b, sabiendo que los números de dos

cifras cumplen: y

11. La suma de cinco números consecutivos es siempre divisible por : ...................

12. ¿Puede un número formado exclusivamente por cifras 6 ser divisible por 3?. ¿Por qué?29

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13. Halla el mayor valor de a para que el número divisible por 3.

14. ¿Cuántos divisores mayores que 5 posee 80?

15. Del 1 al 100. ¿Cuántos son múltiplos de 6?

16. Del 1 al 300, ¿cuántos números no son múltiplos de 8?

17. ¿Cuántos divisores mayores que 20 posee 140?

18. Calcula los valores de a y b si el número de la forma : es divisible por 72.

19. Halla el valor de “a” para que el número de la forma sea divisible por 11.

20. Determina el valor de a y b si el número de la forma: divisible por 88.

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