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ReCalc. Año7 Vol.7 septiembre 2015 – septiembre 2016 http://mattec.matedu.cinvestav.mx/el_calculo/ ISSN: 2007-4107

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Tres temas de debates científicos en el cálculo1

François Pluvinage Francia

[email protected]

Resumen. Uno de los recursos a disposición de los profesores de matemática es la organización de debates científicos en el salón de clase. Es de interés particular para el aprendizaje de conceptos matemáticos que se introducen en los cursos de pre-cálculo y cálculo, y cuyas definiciones actuales se apoyaron sobre argumentos prácticos o sociales. Es el caso del objeto mismo del cálculo: las funciones reales de variable real. También hay motivo de debates cuando los estudiantes pueden encontrar, en documentos de referencia, informaciones contradictorias. El ejemplo del concepto de asíntota de una curva es un caso típico. En este artículo se consideran detalladamente estos dos casos y un tercero, que permite organizar con los estudiantes un debate abierto y fructífero: las rectas secantes a una curva.

Palabras clave: Recta secante, Función, Asíntota, Variable real, Curva.

1. Introducción

1.1 Debates científicos en la matemática y en clases de matemática

La idea que el profesor se pueda apoyar sobre debates científicos en el salón de clase para el aprendizaje de algunos tópicos matemáticos, ya fue sugerida hace varios años. En particular, Legrand (1993) presenta una defensa argumentada de esta idea y además declara lo siguiente: “Para que haya un real debate científico en la clase, debe de ser claro para el profesor como para los alumnos que la verdad matemática no es absoluta, sino social” [traducido del francés, Legrand, 1993, 126]. En un artículo más reciente Legrand et. al. (2011) expone una aplicación sistemática de debates en clases de varios niveles, de la secundaria al superior. La misma idea de recurrir a debates se usa en la metodología ACODESA (Aprendizaje Colaborativo, Debate Científico y Autoreflexión), detallamente descrita en Hitt y González-Martin (2014).

Los ejemplos que los documentos citados presentan, sea son casos en los que se necesita precisar hipótesis, como la situación descrita en Lakatos (1976), son problemas que se pueden solucionar con varios tratamientos (debates metodológicos). Un ejemplo de la primera categoría es la extensión al espacio de dimensión 3 de la definición que se da del paralelismo de rectas en el plano: “Dos rectas distintas son paralelas cuando no se cortan”. En el espacio, esta definición no se revela consistente, a menos que se precise que las rectas

Recepción: 10 de octubre 2016 - Aceptación 14 de noviembre 2016.

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87están contenidas en un plano (véase Legrand et. al., 2011, 30). Un ejemplo de la segunda

categoría es el problema del excursionista (en inglés hiker, véase Hitt y González-Martin, 2014, 209), donde una representación gráfica fue una propuesta de resolución que generó discusiones entre estudiantes.

Estos tipos de debates que acabamos de considerar se encuentran en la actividad profesional matemática, o más generalmente científica, pero no son los únicos. También existen debates más conflictivos en el seno de la comunidad matemática. Son famosos los que tuvieron lugares, a principios del siglo XX, y que constituyeron la crisis de los fundamentos. Durante esta crisis se enfrentaron, a veces con violencia, tres escuelas de pensamiento:

Logicista (a partir de 1903), de líderes Russell y Whitehead; Formalista (a partir de 1904), de líder Hilbert; Intuicionista (a partir de 1907), de líder Brouwer.

Para informarse de consecuencias de la diversidad de escuelas de pensamiento, no es necesario consultar documentos especializados; ya textos dirigidos a un amplio público dan informaciones sobre esto. Por ejemplo, en https://es.wikipedia.org/wiki/Intuicionismo, se lee la frase: “(…) un enunciado matemático no tiene el mismo significado para un intuicionista que para un matemático clásico”.

De manera general, los debates de la crisis de los fundamentos sobrepasan el nivel del inicio del aprendizaje del cálculo o hasta del análisis matemático. Con respecto a estos debates, sólo consideramos importante recomendar a los profesores considerar que las pruebas de existencia que no son constructivas están fuera del alcance de sus alumnos. Hasta el siguiente ejemplo numérico nos parece que merece ser conocido por profesores, pero, a pesar de su sencillez, probablemente no por estudiantes de bachillerato o de inicio de estudios superiores. Enunciado: ¿Es posible que sea racional una potencia de exponente irracional de un número irracional?

Una prueba de existencia no constructiva (Jarden, 1953). Se sabe que 2 es un número

irracional. El número 22 puede ser racional o irracional. Si es racional, proporciona

un ejemplo que conviene. Si es irracional, de elevarlo a la potencia 2 resulta

2

2 22 2 2

, que es racional y entonces da un ejemplo que conviene.

Mientras lo anterior es demasiado avanzado para la organización de debates fructíferos en los cursos de cálculo, existen otros temas, propios del cálculo, que presentan características muy adecuadas para este fin. En Legrand (1993, 152) se encuentra la hipótesis que:

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al contrario de los procesos de la aritmética, del álgebra o de la geometría que pueden, hasta cierto punto, conservar sentido a partir de una visión bastante empírica de las matemáticas, un tratamiento de análisis matemático (cuando no se efectúa en base a un enfoque algebraico) no tarda en colindar con lo absurdo para quien no entra en una problemática matemática [Traducido del Francés].

Además, muchos son los objetos del cálculo que no dan lugar a un consenso de toda la comunidad matemática, es decir acepciones compartidas. Cada uno de ellos puede ser el tema de un debate en clase de matemática. El primero no es otro que el objeto central de estudio en el cálculo, la noción de función.

2. Un objeto dando lugar a amplia argumentación: el concepto de función

Un debate se apoya sobre argumentos, mientras una prueba matemática se establece en base a inferencias lógicas. Según Duval y Egret (1989), la demostración se fundamenta sobre una operación de sustitución más vecina de un cálculo que de una argumentación en interacción social. El objetivo de una argumentación en efecto no es de establecer una verdad matemática, sino de convencer a interlocutores. Para llegar a este fin, hay diversos tipos de posturas, que aparecen en los esquemas de argumentación presentados por Flores (2007): autoritarios, simbólicos, fácticos, empíricos y analíticos. Precisamente en el caso del concepto de función, llamado procept en Gray y Tall (1994), y en el caso de conceptos vecinos, se encuentra, en textos tanto generales como especializados, una argumentación abundante, apoyada sobre varias consideraciones, en particular sociales.

Por ejemplo, el artículo Application (mathématiques) de Wikipedia en francés presenta dos definiciones, que se dieron en la época de la matemática moderna (los años 1970): Una es la definición de función., la otra es la definición de aplicación.

Función (E, F, G): E y F son conjuntos cualesquiera, G es un subconjunto de E×F tal que a todo elemento xE corresponda cero o un elemento yF tal que (x, y)G

Aplicación (E, F, G): E y F son conjuntos cualesquiera, G es un subconjunto de E×F tal que a todo elemento xE corresponde un elemento yF tal que (x, y)G.

Sin embargo, en el mismo artículo se declara primero que se puede reducir el dominio de una función a su conjunto de definición, y que así la función se transforma en aplicación (argumento utilitario), y segundo, que la distinción entre función y aplicación nunca ha sido aceptada por la comunidad matemática en su totalidad (argumento social). Además, se precisa que el mismo término de función se usa con frecuencia hoy como sinónimo de aplicación de codominio (o conjunto de llegada) R o C.

A pesar de esto, en la versión actual del diccionario de la Real Academia Española (RAE) se encuentra la misma definición de función dada arriba:

François Pluvinage


89Función. f. Mat. Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero

un elemento del segundo o ninguno.

En Wikipedia en inglés se encuentran dos artículos: Function y Map (mathematics). El primer propone una terminología bastante flexible, como se ve en el siguiente extracto, que reproducimos en su forma original, dado que vamos a encontrar más adelante el mismo vocabulario en español.

In modern mathematics, a function is defined by its set of inputs, called the domain; a set containing the set of outputs, and possibly additional elements, as members, called its codomain; and the set of all input-output pairs, called its graph. Sometimes the codomain is called the function's "range", but more commonly the word "range" is used to mean, instead, specifically the set of outputs (this is also called the image of the function).

El segundo artículo deja también cierta libertad en el uso del vocabulario, dado que se puede introducir en el uso de la palabra map (en español aplicación), una propiedad de conservación de estructura:

In many branches of mathematics, the term map is used to mean a function, sometimes with a specific property of particular importance to that branch. For instance, a "map" is a continuous function in topology, a linear transformation in linear algebra, etc.

Luego se dice en el mismo artículo que algunos autores, como Serge Lang, usan la palabra función sólo para indicar aplicaciones que tienen un conjunto de números (un subconjunto de R o C) como codominio.

En México, se suele usar un vocabulario en parte adaptado de lo usado en los Estados Unidos. Por ejemplo, en un libro de texto escrito con mucha atención a los aspectos históricos y con gran cuidado del vocabulario, se lee lo que sigue (Rivera, 2012):

Desde un punto de vista conceptual y práctico, es insuficiente concebir una función como fórmula o gráfica; una definición que goza de gran aceptación es la que la describe como regla de asociación (…)

Definición. Dados X, Y, conjuntos cualesquiera, una función con dominio X y contradominio Y, es toda regla de asignación que asigna a cada elemento x X uno y solo un elemento y Y.

Una vez más, se nota entonces la presencia del calificativo práctico y de un argumento de tipo social (goza de gran aceptación). Así se subraya la importancia de la argumentación en la elección de este núcleo del cálculo y del análisis matemático que es la función. Desde el punto de vista de la enseñanza, es importante tomar en cuenta el acceso a información en línea que hoy los estudiantes tienen. Para formar a lectores avisados, además de ciudadanos capaces de entender y manejar tratamientos matemáticos usuales, el estudio en clase del



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material que se consigue en línea puede ser una situación de carácter muy formativo. El siguiente apartado refuerza esta sugerencia.

3. Asíntota, objeto de insuficiente atención

Un verdadero problema didáctico surge a propósito de asíntotas en el cuarto semestre del bachillerato2, dado que el estudio tradicional de las asíntotas usa el concepto general de límite, mientras este concepto en su generalidad sólo se debería presentar en los semestres ulteriores. Consultamos los dos sitios de acceso no restringido, recomendados en el documento oficial de la Dirección General del Bachillerato: http://www.ematematicas.net/ y http://www.acienciasgalilei.com/mat/problemas-mat0.htm, a propósito de asíntotas, para darnos cuenta de los tratamientos propuestos para enfrentar esta dificultad. Pero, antes de reportar el resultado de esta consulta, con el objetivo de conseguir una información sobre las posibles ideas previas de estudiantes sobre el tema, señalamos lo que presentan las versiones actuales de algunos diccionarios de referencia.

Definición de la RAE Asíntota. f. Geom. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una curva, sin llegar nunca a encontrarla.

Definición del diccionario Larousse español Línea recta que es tangente a una curva en un punto del infinito.

Definición del American Heritage Dictionary of the English Language Asymptote. A line whose distance to a given curve tends to zero. An asymptote may or may not intersect its associated curve.

Definición del Collins English Dictionary

(Mathematics) a straight line that is closely approached by a plane curve so that the perpendicular distance between them decreases to zero as the distance from the origin increases to infinity.

Definición del Webster's College Dictionary

Math. a straight line approached by a given curve as one of the variables in the equation of the curve approaches infinity.

Ya un tema de posible debate aparece con estas definiciones: ¿Son las mismas o son diferentes? Es decir, ¿puede ser una recta asíntota de una curva en conformidad con una definición y no ser asíntota en el sentido dado por otra definición? Por ejemplo, la definición de la RAE excluye que una recta sea asíntota de una curva cuando la corta. Se puede proponer a estudiantes del cuarto semestre de bachillerato el siguiente enunciado:

2 En México, el ciclo del bachillerato se desarrolla durante seis semestres.

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91Ejercicio. Trazar la recta de ecuación y = x + 1 y la gráfica de la función real definida por

5 4 2 2/ 1y x x x . ¿Se cortan? ¿Le parece la recta ser asíntota de la curva?

Más temas de discusión se pueden abrir a propósito de incorrecciones contenidas en las definiciones anteriores. En particular, lo flojo que aparece en las definiciones que incluyen distancia merece esclarecimientos con estudiantes. Si la distancia de un punto a una recta en el plano euclidiano (Collins y Webster) se obtiene sin dificultad por trazo de la perpendicular, determinar la distancia de un punto a una curva cualquiera (American Heritage) es un asunto bien diferente. En la realidad de los tratamientos, sólo dan lugar a consideraciones de distancia las asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas; en casos de asíntotas oblicuas, lo que se considera son diferencias de ordenadas entre los valores de la función dada en una abscisa x y de la función lineal de la asíntota en la misma abscisa x. La Figura 1 representa las gráficas de:

3

2

1

1

x xy

x x

y de y = x – 1. Consideramos

3

2 2

1d = 1

1 1

x x xx

x x x x

.

Sobre la Figura 1, esta diferencia es la longitud del segmento PQ. Por supuesto, la desigualdad del triángulo implica que la distancia de P a la recta es inferior a d. Más adelante, describimos una manera de usar el software para conseguir fácilmente la ecuación de una asíntota horizontal u oblicua, como es la recta y = x – 1 en el caso de la Figura 1, que enseña la determinación de d.

Figura 1. Comportamiento asintótico: d = diferencia de ordenadas entre curva y asíntota.



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Sin embargo, vale la pena observar que el software GeoGebra, que usamos para diseñar la Figura 1, traza por defecto las figuras en un plano euclidiano, pero autoriza al usuario cambiar la razón de escalas de los ejes. Un cambio tal modifica la estructura geométrica del plano: Pierden sentido propiedades euclidianas como la perpendicularidad o las distancias, pero se conservan las propiedades afines, como es la variación de la diferencia de ordenadas que nos interesa para asíntotas.

Después de la consideración de lo que está a disposición del público en general, examinamos el material entregado en los sitios dirigidos hacia la enseñanza en el nivel medio superior (bachillerato). Las siguientes descripciones de asíntotas se tomaron del sitio http://www.ematematicas.net.

Una de las formas de estudiar el comportamiento de una función cuando sus valores tienden a infinito o en aquellos puntos en los que la función no está definida (puntos aislado) es comparar la función con una recta, así diremos que una recta es una asíntota de una función cuando la gráfica de la función y la recta permanecen muy próximas.

Dependiendo de cómo sea la recta tenemos tres tipos de asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas.

Más adelante en la misma página web http://www.ematematicas.net/asintotas.php?a=5 se ve

Una recta x = a es una asíntota vertical de una función f si lim ( )x a

f x

o

lim ( )x a

f x

Con estas definiciones, no es sencillo, en el caso de

1sen

( )x

f xx

, decidir si el eje Oy, es

decir la recta x = 0, es, o no es, asíntota de la gráfica de f(x) (véase Figura 2).

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Figura 2. Representación de la función definida por sen 1/

f ( )x

xx

, x ≠ 0.

En efecto, en el caso de la función de la Figura 2, la gráfica corresponde a la primera de las dos descripciones presentadas: la gráfica y la recta permanecen muy próximas, pero no a la segunda (la definición de asíntota vertical), dado que f (x) no tiene ningún límite cuando x tiende hacia 0. Sin embargo, en el sitio Internet señalado, presentan la gráfica de la hipérbola

de ecuación 1

1y

x

, con el acompañamiento del comentario: “Observa la gráfica de la

función f(x), en x=1 presenta una asíntota vertical, ya que la función se aproxima cada vez más a la recta vertical x=1 cuando x tiende a 1”. El mismo comentario permitiría acertar que la función de la Figura 2 tiene a x = 0 cono asíntota vertical. ¡Buen objeto de debate!

En el sitio Internet Descartes, aprobado por el Gobierno de España, http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Asintotas/asintotas1.htm#Averticales, lo que se dice de asíntotas se apoya sobre el conocimiento previo de límites: “Las ramas infinitas de una función se dan cuando la x, o la y=f(x), o ambas tienden a infinito. Cuando la curva se acerca a una recta cuando x o y tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la gráfica, cuando no se acerca a ninguna recta se llama RAMA PARABÓLICA”.

ASÍNTOTA VERTICAL

ASÍNTOTA HORIZONTAL



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En un experimento reportado en Carrión, Pluvinage y Adjiage (2016, 818), se encontró que los estudiantes de primer año de universidad que interrogamos tenían de manera general buenas ideas de variaciones y de tendencias, pero no se atrevían a usar un lenguaje formalizado ni símbolos no previamente introducidos en la enseñanza. Por eso, nuestra postura didáctica es en favor de la presentación de la escritura lim f( )

x ax

, que se enseña

en Descartes, no como un punto de partida, sino como un objetivo de enseñanza, que resultará de actividades como las que se describen a continuación.

Figura 3. Gráfica en vista usual y vista “de lejos” como una recta.

Una asíntota corresponde al comportamiento de una función real cuando se manifiestan tendencias hacia el infinito, sea en el contradominio de la función (caso de una asíntota vertical, como y = 1/x cuando x tiende hacia 0), o en su dominio (asíntota horizontal, como

y = 1/x cuando x tiende hacia ; o asíntota oblicua, como y = x + 1/x cuando x tiende hacia

) (Carrión, Pluvinage y Adjiage, 2016, [traducido del inglés]). La Figura 3 enseña una manera de obtener una asíntota, horizontal o oblicua, mediante la técnica que se presenta en el artículo citado, y que llamamos uso del macroscopio: De repetir el comando “Alejar” en GeoGebra, obtenemos que una gráfica que tiene asíntotas tome la apariencia de una recta o dos semirrectas. Sus singularidades (asíntotas verticales), si existen, desaparecen, y la curva

se confunde con una asíntota obtenida cuando x tiende hacia + o cuando x tiende hacia –. Obtenemos una ecuación aproximada de esta(s) asíntota(s) al conectar dos puntos lejanos situados sobre la gráfica. La Figura 3 ilustra un caso de obtención de una recta como asíntota y la Figura 4 en adelante un caso de dos semirrectas soportes de asíntotas.

La técnica del macroscopio se finaliza con el retorno a la escala usual, mediante el uso del comando “Aproximar” de GeoGebra (o Ctrl+M). La visión de las rectas obtenidas

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95proporciona buenas candidatas a ser asíntotas. Sea y = mx + p la ecuación de una candidata.

En la vista CAS de GeoGebra, la introducción de f(x) – mx – p permite al usuario llegar a la conclusión que la candidata es una verdadera asíntota. Es también lo que hace el sistema GeoGebra cuando uno introduce el comando “Asíntota[<función>]” en la ventana de entrada. Además del carácter visual del estudio, se notará la simplificación con respecto al algoritmo tradicional de búsqueda de asíntota, compuesto de dos obtenciones sucesivas de límites: La primera es el límite de la razón f(x)/x cuando x tiende hacia el infinito, y, si en esa se ha obtenido un límite m, la segunda es el límite de la expresión f(x) – mx cuando x tiende hacia el infinito

Ejemplo ilustrado en la Figura 3: En la escala usual, la recta AB parece pasar por los puntos (–1, 0) y (0, 1); entonces en la vista CAS se introduce f(x) – x – 1, de la que resulta la fracción (2x² - 1) / ((x - 1)² (x + 1)). Es una función racional, con polinomios de grados respectivos 2 en el numerador y 3 en el denominador. Siendo el grado del numerador inferior al grado del denominador, la función tiende hacia 0 cuando x tiende hacia el infinito.

Ejemplo ilustrado en las Figuras 4 y 5: Dos semirrectas asíntotas de una curva

Figura 4. Gráfica en vista usual y vista “de lejos” como dos semirrectas.

El ejemplo escogido para ilustrar la técnica completa es muy simple: Se trata de la ecuación de una parte de hipérbola, expresada en una expresión con una raíz cuadrada. En la Figura 4 se observa el efecto del alejamiento: la gráfica se ve como dos semirrectas.



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Figura 5. Gráfica en escala usual de la misma función y de las rectas AB y CD.

Después de trazar las rectas AB y CD (todos son puntos de la gráfica), regresamos a la escala usual (ejes graduados en unidades). La Figura 5 enseña dos rectas (denotadas por g y h). La recta g parece pasar por los puntos (–2, 0) y (0, –2), y la recta h por (–2, 0) y (0, 2), entonces candidatas son las rectas y = x – 2, y = x + 2. En la vista CAS, hace falta entonces introducir las expresiones f(x) – x + 2 y f(x) – x – 2. Luego se debe aplicar a estas expresiones una técnica clásica, que es el uso de la cantidad conyugada. Con la primera expresión se obtiene:

2 22

2 2

( 4 1) ( 2) 3f( ) 2 4 1 2

4 1 2 4 1 2

x x xx x x x x

x x x x x x

.

Bajo esta escritura, resulta evidente, sin necesidad de escritura formal de límite, la tendencia

hacia 0 cuando x tiende hacia +. Un estudio análogo se hace con la segunda expresión, para

probar que también tiende hacia 0 cuando x tiende hacia –.

Las asíntotas a curvas se pueden considerar de cierta manera como tangentes en el infinito a una curva (definición del diccionario Larousse). Los casos generales de rectas tangentes, y sobre todo de secantes, también son posibles objetos de debates enriquecedores. Aquí no introduciremos debates sobre tangentes, que se pueden apoyar sobre la lectura de un artículo sometido (Cuevas, Delgado y Pluvinage, 2016 [sometido]), sino sobre secantes.

4. Tangentes y secantes a gráficas de funciones en un punto interior del dominio

En el artículo citado (Cuevas, Delgado y Pluvinage, 2016 [sometido]), consideramos el abanico completo de las situaciones de tangentes y semitangentes a una curva. Por ejemplo,

la función real definida por 2

| |

1

xy

x x

es continua en 0, pero no diferenciable: En el

François Pluvinage


97origen, no admite tangente, sino dos semitangentes, que son las bisectrices de los ejes de

coordenadas. Aquí, sólo nos interesaremos en situaciones genéricas, pero más sencillas, que a grosso modo se encuentran en puntos que son interiores al dominio de una función real, y en los que la gráfica tiene una tangente en el sentido que vamos a precisar. Así no

consideremos por ejemplo el caso del origen en la gráfica de la función definida por y x

sobre los reales positivos. Para complementar el panorama presentado aquí, recomendamos la consulta del artículo que citamos.

4.1. Entornos cónicos

Una recta en el plano es la frontera de dos semiplanos. Dos rectas cuya intersección consta de un punto P forman cuatro sectores, determinados por las intersecciones de los semiplanos que las rectas definen. Dos sectores opuestos definen lo que llamamos un cono3 cuando se incluyen sus rectas fronteras. De manera más formal, llegamos a las definiciones siguientes.

Definición: cono cerrado. Sean dos rectas distintas 1r y 2r tales que 1 2r r P . La

intersección de dos semiplanos de fronteras respectivas 1r y 2r , incluyendo las rectas, define

un sector cerrado de vértice P. Un cono cerrado de vértice P (Figura 6) es la reunión de dos sectores opuestos, o simétricos con respecto al punto P.

Nota: Con 1r y 2r se forman dos conos cerrados. Aparecen sombreados en la Figura 6.

Definición: entorno cónico de una recta. Sea r una recta que pasa por un punto P. Se dice que un cono de vértice P es un entorno cónico, o c-entorno, de la recta r si y sólo si la recta

r pertenece al cono y es distinta de 1r y 2r (Figura 7).

3 Aquí llamamos cono lo que es una imagen plana de cono espacial.

Figura 6. Los dos conos de vértice P definidos por las rectas 1r y 2r .



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Figura 7. Un entorno cónico de vértice P de r.

Si se introduce la noción de cono abierto (el cono privado de sus rectas fronteras), se puede también decir que el cono es un c-entorno de la recta r si y sólo si la recta privada de P es contenida en el cono abierto.

Propiedad. La intersección y la reunión de dos c-entornos de una misma recta r en un punto P son también c-entornos de r en P.

Con ,P r designamos al conjunto de c-entornos de r de vértice P. Se cumple entonces que

para dos conos 1 2 ,, P rk k , se tiene 1 2 ,P rk k y 1 2 ,P rk k . Además, ,P rk

k r

.

Esta propiedad es análoga a la propiedad, sobre la recta, de intersección y reunión de dos segmentos que tienen un punto en común en su interior.

En el plano cartesiano de sistema de ejes Ox y Oy, cuando una recta r no es paralela al eje Oy, algunos de sus c-entornos tienen un interés específico: Son los conos que presentan una simetría oblicua en la dirección del eje Oy. Los llamaremos c-entornos de eje oblicuo r. La Figura 8 ilustra esta situación, con dos segmentos paralelos a Oy de misma longitud. Por el teorema de Tales, la misma igualdad es válida sobre toda recta paralela a Oy.

Figura 8. Un c-entorno de eje oblicuo r.

François Pluvinage


99Nota: Si la recta r es paralela al eje Ox, el cono es simétrico en la reflexión de eje r.

Propiedad. Todo c-entorno de vértice P de una recta r no paralela al eje Oy contiene un c-entorno de eje oblicuo r (Figura 9).

La prueba es obvia: Basta trazar una paralela a Oy y considerar el menor de los dos segmentos obtenidos en el cono. En la Figura 9, el menor corresponde a la recta r1, entonces se remplaza r2 por la recta r’2 tal que el c-entorno de r de fronteras r1 y r’2 tenga a r como eje oblicuo.

Figura 9. Un c-entorno de vértice P de una recta r conteniendo

un c-entorno de eje oblicuo r.

4.2. Tangente en un punto a la gráfica de una función

Definición: c-entorno de una gráfica en un punto. Sean :f D una función

continua en D, 0 ( )x interior D y 0 0, ( )P x f x un punto de la gráfica de f. Un entorno

local cónico, o c-entorno, de vértice P de la gráfica de f es un cono de vértice P para el cual existe un intervalo

0 0 0,xU x x de 0x tal que la gráfica de la función

restringida a 0xU está contenida en el cono . Es decir, 0 0( , ( )) ,x f x x x x .

La Figura 10 ilustra esta definición: El cono está sombreado y contiene la gráfica de f(x)

restringida al segmento 0 0,x x .

Nota: Caso de una función definida por una ecuación del tipo y = ax + b. Cuando la gráfica es una recta r, en cualquier punto P tomado como vértice, un c-entorno en el sentido de la definición anterior, contiene toda la recta r, entonces es también un c-entorno en el sentido de la definición de entorno cónico de una recta ya dada.



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Figura 10: Un c-entorno de la gráfica de una función

La Figura 11 ilustra varios casos de tangencia, obtenidos con cúbicas. En las gráficas del centro y de la derecha, la tangente es uno de los ejes de coordenadas. La gráfica de la izquierda corresponde a una aplicación del teorema que sigue.

Figura 11. Ejemplos de recta tangente a una gráfica de cúbica en un punto.

Unicidad de la tangente: Invitamos al lector interesado a establecer que, cuando existe, la tangente en un punto a una gráfica de función es única.

Definición: tangente en un punto a la gráfica de una función. Sean :f D una

función continua en D, 0 ( )x interior D y una recta r que contiene al punto

0 0, ( )P x f x . La recta r es tangente en el punto P a la gráfica de la función f si y sólo si

cada c-entorno de vértice P de la recta r es también un c-entorno de la gráfica de la función f.

François Pluvinage


101Esta definición geométrica de tangente en un punto a la gráfica de una función

derivable se relaciona con la derivada de la misma función en este punto.

Demostración. Por definición de la derivada f’(x0), como límite de la razón de cambio

0

0

( ) ( )f x f x

x x

cuando x x0, tenemos que

(1) 00 0

0

( ) ( )0, 0, ,0 | | '( )

f x f xx x x f x

x x

.

Al multiplicar en (1) la desigualdad por (x – x0), cualquier sea su signo, llegamos a

(2) 0 0 0 0( ) ( ) '( ) | |f x f x f x x x x x .

Sea r la recta de ecuación 0 0 0( ) '( )y f x f x x x . El primer miembro de (2) se interpreta

geométricamente como la desviación obtenida en x entre el valor f(x) y su aproximación lineal, es decir la ordenada dada por la recta r. En la Figura 12, esta desviación es el valor absoluto de la diferencia de ordenadas entre los puntos M (punto sobre la gráfica de f) y N (punto sobre la recta r).

Figura 12. Aproximación lineal de una función f en la vecindad de un punto P.

Ahora representamos geométricamente la condición (1).

Teorema: Tangente a la gráfica de una función derivable. Sea y :D f D una

función derivable en 0 ( )x interior D , de derivada '( )of x . La recta r de ecuación

0 0 0( ) ( )y f x f x x x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto 0 0, ( )P x f x .



102

Figura 13. Un c-entorno de vértice P de la recta r es también un c-entorno de la gráfica de f en una

vecindad de P.

A partir de cualquier c-entorno de vértice P de la recta r, la propiedad descrita en el teorema nos permite reducirlo a un c-entorno de eje oblicuo r. Sea Q el punto de r de abscisa (x0 + 1). En este valor de abscisa, las rectas fronteras del c-entorno de r considerado determinan dos

puntos A1 y A2, Definimos a como el valor común de QA1 y QA2. La condición (1) nos

asegura entonces que existe un valor tal que la distancia MN sea inferior a cuando se

cumple la condición x0 – < x < x0 + . En la Figura 13, esto corresponde a la zona sombreada del c-entorno, donde la gráfica de f está en el cono [Q.E.D.].

4.3. Secantes en un punto a la gráfica de una función

Como en el caso de tangente, consideramos una función 0 ( )x interior D continua en D,

0 ( )x interior D y una recta s que contiene al punto 0 0, ( )P x f x . A diferencia de la

tangente, que corresponde a una única definición, dos definiciones de recta secante en P a la gráfica de f se pueden considerar. Por supuesto, las dos definiciones coinciden en la mayoría de los casos. Sin embargo, enseñaremos casos donde la conclusión difiere. Es la razón que nos incitó a presentar ambas definiciones, para proporcionar la oportunidad en una clase de abrir un debate científico.

4.3.1. Recta c-secante

La primera definición que presentamos se apoya sobre los c-entornos, al igual de la definición de tangente.

Definición: de recta c-secante. Sean 0 ( )x interior D una función continua en D,

0 ( )x interior D y el punto 0 0, ( )P x f x . Se dice que una recta s es c-secante en el punto

P a la gráfica de la función f si y sólo si existen un c-entorno de vértice P de la recta s y un

François Pluvinage


103intervalo 0 0,I x x tales que P sea el único punto de la gráfica de f sobre I contenido

en :

, ( )x f x x I P .

Nota: De inmediato se nota que esta definición se opone de cierta manera a la noción de tangente. En particular se excluye que una tangente en un punto a una gráfica sea c-secante, aunque el punto sea un punto de inflexión. En contraste, la definición de recta s-secante autorizará que una misma recta sea en un punto de una gráfica a la vez tangente y s-secante.

Gráfica: Parábola

Función (0) 0f y 1

( )f x xsenx

si x 0

Figura 14. Ejemplos de recta s c-secante a una gráfica en un punto.

En la gráfica de izquierda de la Figura 14, se puede observar que la parábola tiene en común, con el c-entorno considerado, puntos otros que P. Pero las abscisas de estos puntos se sitúan

fuera del intervalo 0 0,I x x . En la gráfica de derecha, si se considera una recta s

de ecuación y = mx, hay dos situaciones posibles. La primera situación, representada en la figura, corresponde a casos en los que |m| > 1: La recta s es c-secante en O a la gráfica. La

segunda situación corresponde a casos en los que |m| 1, y en un caso de este tipo la recta s no es s-secante en O a la gráfica.

El abanico de todos casos posibles de situación de una recta con respecto a la gráfica de una función se estudiará después de la consideración de la segunda definición relacionada con secantes.

4.3.2. Recta s-secante



104

La segunda definición propuesta se apoya sobre la etimología de la palabra secante. De manera intuitiva consideramos una recta trazada en el plano como la marca o la huella de una sierra; y diremos que la recta es s-secante en un punto P a la gráfica estudiada si localmente la corta en trozos situados de cada lado del corte. La definición que sigue precisa esta visión intuitiva.

Definición: recta s-secante. Sean :f D una función continua en D,

0 ( )x interior D y una recta r que contiene al punto 0 0, ( )P x f x . Se dice que la recta r

es s-secante en P a la gráfica de f si y sólo si cualquier sea > 0, cada una de las dos partes

abiertas determinadas por r en la banda {(x, y), x (x0 – , x0 – )} tiene con la gráfica de f una intersección no vacía.

Figura 15: Recta tangente y s-secante en P a la gráfica de f.

La figura 15 ilustra un caso de inflexión en un punto P, en el que una misma recta r es a la vez tangente y s-secante a la cúbica considerada. Sin embargo, los casos de divergencia entre c-secante y s-secante son excepciones con respecto a la situación general, que es la concordancia entre ambas definiciones ilustrada en la Figura 16 y por eso, sólo se hablará de secantes en estas situaciones.

Recta secante en el punto M. Recta tangente en el punto M

y secante en el punto P. Recta secante en cada uno de

los puntos A, B y C.

François Pluvinage


105Figura 16. Ejemplos de rectas a la vez c-secantes y s-secantes en un punto de una cúbica.



106

Tabla de las situaciones posibles en un punto interior al dominio de una función continúa.

Descripción Figura Situación de rectas

Punto P regular

Una recta r es tangente, toda otra recta s que pasa por P es secante.

Punto P de inflexión

Una recta r que pasa por P es tangente. La recta r es s-secante, pero no c-secante. Toda recta que pasa por P diferente de r es secante.

Función no derivable en O:

3( )f x x

El eje Oy es tangente en O a la gráfica. El eje Oy es s-secante en O a la gráfica, pero no es c-secante.

Toda recta diferente de Oy que pasa por O es secante en O a la gráfica.

François Pluvinage


107Retroceso en el

punto O:

3 2( )f x x

El eje Oy es tangente en O a la gráfica y también es s-secante.

Toda recta diferente de Oy que pasa por O es c-secante en O a la gráfica, pero no es s-secante.

Vibración en O:

(0) 0 y

1( ) sen ,

0

f

f x xx

x

Ninguna recta que pasa por O es tangente en O a la gráfica.

Toda recta que pasa porO es s-secante en O a lagráfica, pero sólo son c-secantes las rectas deecuación y = mx, con |m|> 1, (figura: ejemplo s1,contraejemplo s2).

Tabla 1. Situaciones posibles.

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