8 problemas de optimizacion (1)

7/24/2019 8 Problemas de Optimizacion (1)

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APLICACIONES DE LA DERIVADA (continuacin)

3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN

Cuando tenemos un problema en donde hay que encontrar los valores para los cualesuna funcin tiene un valor mximo o mnimo, lo que debemos hacer es:

i. Encontrar la funcin a maximizar o minimizar. Esta funcin por loreular est en t!rminos de dos variables.

ii. Encontrar la relacin entre las variables presentes en la funcin y

despe"ar a una de estas variables. Esta relacin siempre la podemos encontrarde los datos del problema.

iii. Escribir la funcin en t!rminos de una sola variable.

iv. #erivar la funcin con respecto a su variable independiente.v. $ualar la derivada con cero para encontrar los valores crticos.

vi. %econocer, mediante el criterio de la seunda derivada, a los

valores mximos o mnimos de la funcin.

vii. $nterpretar los resultados.

Ejemplo 1 &ean dos n'meros no neativos cuya suma es () y su producto mximo. Encuentra elvalor de estos n'meros y el valor del producto mximo

*ara resolver este problema desinemos a a y b las variables que representan a los n'merosbuscados y siamos los pasos del recuadro anterior

i. +a funcin a maximizar es P ab= -su producto

mximo-

ii. +a relacin entre ay bes ()a b+ = -cuya suma es

()- de aqu tenemos que ()a b=

iii. +a funcin queda, por lo tanto,

( ) /() ()P b b b b= =

iv. &i derivamos P con respecto a b, tenemos:

() /dP

bdb

=

v. *ara encontrar los valores crticos iualamos laderivada con cero y resolvemos para b() / )b = , de donde 0b =


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vi. *ara saber si 0b = corresponde a un mximo o

mnimo de la funcinPencontremos/

/ /

d P

db= y por ser neativo para todos los valores

de bentoncesP tiene un mximo en 0b = .

vii. Entonces uno de los n'meros buscados es 0. *ara

encontrar el otro valor usamos la iualdad del punto ii () () 0 0a b= = =

en estecaso los dos n'meros resultaron iuales, aunque no siempre sucede as. &i queremosconocer el valor del producto mximo usamos la iualdad del punto i

( ) ( )0 0 /0P ab= = =

Ejemplo 2 1n ran"ero tiene /2)) pies de malla y desea cercar un campo rectanular que limitacon un ro no necesita cercar a lo laro del ro. 3allar las dimensiones del terreno

y su rea mxima.

4qu es necesario hacer un dibu"o para tener claro el rectnulo que se debe formar

sixeyson las dimensiones del campo hay que tener en cuenta que slo se van a cercar tres lados

de esta superficie /yyx. &iuiendo los pasos del recuadro tenemos que:

i. +a funcin a maximizar es A xy= -del terreno de

rea mxima-

ii. +a relacin entre x y y es / /2))y x+ = -tiene

/2)) pies de malla y desea cercar un campo rectanular - de aqu tenemos que/2)) /x y=


( ) //2)) / /2)) /A y y y y= =

iv. &i derivamos A con respecto a y, tenemos:

/2)) 2dA

ydy

=

v. *ara encontrar los valores crticos iualamos la

derivada con cero y resolvemos /2)) 2 )y = , de donde 5))y =

vi. *ara saber si 5))y = corresponde a un mximo o

mnimo de la funcinAencontremos/

/ 2

d A

dy= y por ser neativo para todos los valores

deyentoncesA tiene un mximo en 5))y =

vii. +a lonitud del lado perpendicular al ro es de 5))pies. *ara encontrar la lonitud del otro lado ii


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( )/2)) / /2)) / 5)) /2)) (/)) (/))x y= = = = . Con esto podemos decir que la

lonitud del lado del terreno paralelo al ro es de (/)) pies. *or 'ltimo, el rea que

encierra el terreno es iualdad del punto i ( ) ( )(/)) 5)) 6/))))A xy= = = pies al

cuadrado.

Ejemplo 3 Considera dos n'meros cuya suma es (0 y el producto de uno de ellos, con elcuadrado del otro, es mnimo. 7btener el producto mximo de ambos n'meros.

&eanp y qlos dos n'meros. &iuiendo los pasos del recuadro tenemos que:

i. +a funcin a maximizar es/

M pq= -el producto

de uno de ellos por el cuadrado del otro-

ii. +a relacin entrepy qes (0p q+ = -cuya suma es

(0- de aqu tenemos que (0p q=


( ) / / 8(0 (0M q q q q= =

iv. &i derivamos M con respecto a q, tenemos:

/8) 8

dMq q

dq=

v. *ara encontrar los valores crticos iualamos la

derivada con cero y resolvemos/8) 8 )q q = , de donde encontramos dos soluciones, a

saber: )q = y ()q = .

vi. Como tenemos dos valores crticos hay que usar el

criterio de la seunda derivada para saber cul corresponde al producto mximo y cul al

mnimo. Encontremos la seunda derivada ( )/

/ 99 8) 5

d MM q q

dq= = . Evaluando esta

seunda derivada en los valores crticos tenemos que para )q = ,

( ) ( )99 ) 8) 5 ) 85 )M = = > , por lo que con )q = tenemos el producto mnimo.

*ara ()q = , ( ) ( )99 () 8) 5 () 8) 5) 8) )M = = = < , obtenemos el producto mximo.

El valor de qque nos interesa para resolver este problema es ()q = .

vii. Como todava no tenemos el valor del producto

mximo debemos encontrar el valor depusando la iualdad del punto ii con ()q = ,

(0 () 0p = = . El producto mximo buscado es, usando la iualdad del punto i,

( )( ) ( ) ( )/ /0 () 0 ()) 0))M pq= = = =


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Ejercicios para el aula

(. &ean dos n'meros positivos cuya suma es mnima y su producto es ()). El valor de uno

de estos n'meros es

a / b () c /) d /0

/. 1no de los lados del rectnulo de rea mxima y permetro iual a ()) es

a (0 b /0 c /0 d 20

8. 1no de los lados del rectnulo de rea ()) m/y permetro el menor posible, mide en

metrosa ( b () c 0) d ())

2. uan tiene /)) pies de tela de alambre con el que planea cercar un patio rectanular para superro. &i desea que el rea sea mxima uno de los lados del patio debe medir en pies

a ()) b 5) c 0) d 2)

0. 1n ran"ero tiene ;) metros de tela de alambre, pretende formar un corral "unto a un ranero.

&i el lado que est "unto al ranero no necesita cerca, el lado ms corto del corral mide en

metrosa /) b /0 c 8) d 80

5. 1n ran"ero tiene ;) metros de tela de alambre, pretende formar un corral "unto a un ranero.&i el lado que est "unto al ranero no necesita cerca, el lado ms laro del corral mide en

metros

a () b /) c 8) d 2)

6. 1n ran"ero tiene ;) metros de tela de alambre, pretende formar un corral "unto a un ranero.

&i el lado que est "unto al ranero no necesita cerca, el rea ms rande que se puede

encerrar con el alambre es en metros al cuadradoa ;)) b 60) c 5)) d 80)

;. +a suma de dos n'meros es 5). El valor de uno de ellos para tener su producto mximo esa () b /) c 8) d 2)

60 b >6) c >00 d >0)

(). &ean ay bdos n'meros tal que su diferencia sea ()) y su producto mnimo. El valor del

n'mero ms rande es

a 0) b 00 c 6) d 60

((. El valor mnimo de la suma de un n'mero no neativo y su recproco es

a 2 b ; c / d (


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(/. &e tiene 5) metros de alambre para cercar un "ardn rectanular de rea mxima, pero uno de

los lados corresponder a la pared de la casa.. +a lonitud ms rande del "ardn medir

a () b /) c 8) d 2)

(8. &e tiene 5) metros de alambre para cercar un "ardn rectanular de rea mxima, pero uno de

los lados corresponder a la pared de la casa. +a lonitud ms peque=a del "ardn medir

a () b (0 c /) d /0

Ejercicios para la casa

(. El valor mximo de la suma de un n'mero y 2 veces su recproco es

a 2 b >2 c / d ?/

/. +a suma de dos n'meros no neativos es 5, el valor de uno de ellos para que el producto de !l

por el cuadrado del otro sea mximo es

a ) b ( c / d 8

8. +a suma mnima de dos n'meros positivos cuyo producto sea 0) es

a / b 0 / c () / d (0 /

2. +a suma de dos n'meros no neativos es 5, el valor de uno de ellos para que el producto de !lpor el cuadrado del otro sea mximo es

a 8 b 2 c 0 d 5

0. 1n campesino quiere bardear dos corrales rectanulares, uno "unto al otro, id!nticos@ cada

uno mide 5)) m/de rea. *ara que se necesite la mnima cantidad de barda, una de las

lonitudes del corral debe medir

a 0 / b () / c (0 / d /) /

5. 1n terreno rectanular que tiene (0)) m/ de rea, va a ser cercado y dividido en dos

porciones iuales mediante una cerca adicional paralela a uno de sus lados. *ara que la

cantidad de cerca sea la menor posible entonces la lonitud de uno de sus lados debe ser

a () b () () c /) () d 8) ()

6. &e tienen ()) metros de alambre para cercar un "ardn rectanular, pero uno de los lados

corresponde a una de las orillas de un ro. El rea mxima posible de dicho "ardn, si el ladodel ro no necesita alambre ser de en m/

a ()/0 b ()0/ c (/0) d (0/)


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HOJA DE RESPUESTAS

13 SESINEjercicios para el aula

1er lo!ue "3# PRO$%E&AS DE OPTI&I'A(IN)

1* 2* 3* +* c ,* a -* ./* a 0* c * . 1* a 11* . 12* c13*

Ejercicios para la casa

1* a 2* c 3* c +* ,* . -* /* c

8 problemas de optimizacion (1)

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