8 oa10 guía estudiante

OA 10 – 8° Básico

MATEMÁTICASGUÍA PARA ESTUDIANTE Actividades de apoyo 8° Básico

UNIDAD 2

La función

Nombre:

Curso: Letra: Fecha:

Establecimiento:

GUÍA 1:

Tema: Función lineal

FICHA 1 Función y su representación.

FICHA 2 Función lineal y su representación.

FICHA 3 Resolución de problema que involucra función lineal.

GUÍA 2:

Tema: Función afín

FICHA 1 Función y su representación.

FICHA 2 Resolución de problemas que implican función afín.

Genesis Chamorro

8vo

colegio padre luis gallardo

GUÍADELESTUDIANTEN°1 Fichas1,2y3

8°básico

La siguiente guía tiene como objetivo reforzar los conocimientos previos que necesitas comprender para abordar, de manera eficiente, los nuevos conocimientos matemáticos, correspondientes al siguiente Objetivo de Aprendizaje (OA):

Esta guía se compone de 3 fichas, las que abordan los siguientes temas:

Tema Ficha

1. Función lineal

(Guía N°1)

1. Función y su representación.

2. Función lineal y su representación.

3. Resolución de problemas que involucran función lineal

En las fichas encontrarás las siguientes secciones:

• Recordemos: Se activan los conocimientos previos. • Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los

conocimientos previos.

GUÍA DEL ESTUDIANTE N°1 Función lineal

Introducción

OA 10: Mostrar que comprenden la función afín: Generalizándola

como la suma de una constante con una función lineal. Trasladando

funciones lineales en el plano cartesiano. Determinando el cambio

constante de un intervalo a otro, de manera gráfica y simbólica, de

manera manual y/o con software educativo. Relacionándola con el

interés simple. Utilizándola para resolver problemas de la vida diaria y

de otras asignaturas.

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.

Tema1:Funciónlineal FICHA1

OBJETIVO: Comprender lo que son las funciones y sus representaciones.

¿Qué es una función?

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una regla o correspondencia que a cada elemento de una colección o conjunto de entrada, le asigna un elemento de una colección o conjunto de salida.

Ejemplo: Podemos considerar una función que toma un número cualquiera (entrada) y lo multiplica

por 4 y le suma 2; entregando un número (salida).

Se puede visualizar en el siguiente diagrama.

Si la entrada es 3:

La función se puede describir mediante una expresión algebraica, si ! es un número (entrada), la función lo multiplica por 4, obteniendo 4!, y luego le suma 2, lo que entrega el número (salida) 4! + 2.

Si llamamos & a una función, entonces &(!) denota la salida de la función correspondiente a la entrada !. En el ejemplo anterior: &(!) = 4! + 2.

&(!) se lee como “f de x”.

Una notación que es muy usada y enfatiza la idea de función como la descripción de una relación entre dos variables es * = &(!) para expresar que las variables ! e * están relacionadas a través de la función &. Por lo tanto, ! denota una entrada de la función y se denomina variable independiente, mientras que * denota una salida de la función y se denomina variable dependiente, expresando que * depende de !.

FUNCIÓN Y SU REPRESENTACIÓN

Recordemos

Función como una regla

x(entrada)

Multiplicapor4ylesuma2

4x+2(salida)

3Multiplicapor4ylesuma2

14

Función como relación entre dos variables

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Cualquier secuencia se puede expresar a través de una función, por ejemplo:

a)

& ! = 5! * = 5!

b)

& ! =

!2 − 3

* = !2 − 3

ACTIVIDAD 1

Completa con la expresión algebraica de salida y la función respectiva.

a)

b)

c)

x(entrada)

Quíntuple5x

(salida)

x(entrada)

Mitadyluegoresta3

!2− 3

(salida)

x(entrada)

Multiplicapor7

(salida)

Escribelafunción

&(!) =

* =

x(entrada)

Duplicayluegosuma3

(salida)

Escribelafunción

&(!) =

x(entrada)

Décimaparteyluegoresta5

(salida)

Escribelafunción

* =

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Anteriormente, para &(!) = 4! + 1, se le dio un valor a x que fue 3, tal como se muestra a continuación.

La acción realizada corresponde a evaluar una función, que es entregar el valor de la salida según el número de entrada.

Ejemplo: Si la función & está descrita por la expresión & ! = /

0− 3, entonces al evaluar la

función en 8 obtenemos &(8) = 1, ya que:

&(8) = 1

Y si a la misma función la evaluamos en 20, obtenemos &(20) = 7:

&(20) = 7

ACTIVIDAD 2 Evalúa las siguientes funciones según los números de entrada dados.

& ! = 5! + 2

a)

&(3) =

Evaluar una función

3 Multiplicapor4ylesuma2

&(!) = 4! + 2

14

8 Mitadyluegomenos3

&(!) = !2 − 3

1

20 Mitadyluegomenos3

&(!) = !2 − 3

7

3 Multiplicapor5yluegosuma2

7

f(3)=5+2(3)-3-(3)2

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


b)

&(7) =

c)

&(10) =

ACTIVIDAD 3

& ! = !3 − 1

a)

&(21) =

b)

& 15 =

Al conjunto de valores de entrada (x) lo llamamos dominio de una función. Y al conjunto de valores de salida lo llamamos recorrido.

Dominio Función Recorrido

“x” “f(x)” o “y”



21 Terceraparteyluegoresta1

15 Terceraparteyluegoresta1

Dominio y recorrido

5x+2=37

37

5x+2=52

52

7-1=6

6

5-1=4

4

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Recuerda que la función como relación entre variables, a la salida se le puede expresar con la variable *.

Ejemplo: Para comprender de mejor manera lo de dominio y recorrido, analizaremos una situación de la vida real:

Claudia vende casas de un condominio. Su sueldo fijo mensual es de $350 000, y por cada unidad vendida recibe una comisión de $50 000. Si al condominio le quedan 5 casas por vender, ¿cuál es la función que modela el sueldo de Claudia? ¿Cuál es el dominio y cuál es el recorrido de la función?

Para determinar la función, podemos construir una tabla que represente la cantidad de casas vendidas y el sueldo de Claudia.

Cantidad de casas vendidas Sueldo 0 $350 000 + $50 000 • 0 = $350 000 1 $350 000 + $50 000 • 1 = $400 000 2 $350 000 + $50 000 • 2 = $450 000 3 $350 000 + $50 000 • 3 = $500 000 4 $350 000 + $50 000 • 4 = $550 000 5 $350 000 + $50 000 • 5 = $600 000

Si representamos con * el sueldo recibido por Claudia al vender ! casas, la situación se puede modelar por la expresión:

* = 350000 + 50000! O como & ! = 350000 + 50000!

Para determinar el dominio, debemos considerar los valores que toma !, en este caso, es la cantidad de casas a la venta, desde 0 a 5, por lo tanto, el dominio de la función & es:

456 & = 0, 1, 2, … 5

Para determinar el recorrido, debemos reemplazar los valores de ! según los datos del dominio y calcular los valores de *, tal como se ha hecho en la segunda columna de la tabla anterior.

En este caso, representa el sueldo de Claudia. Por lo tanto, el recorrido de la función & es:

9:; & = 0, 350000, 400000, 450000, 500000, 550000, 600000

Las funciones deben cumplir con dos características, que son de unicidad y existencia, las cuales veremos con profundidad en la representación de función a través del diagrama sagital.

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


ACTIVIDAD 4 En un laboratorio, cierta sustancia tiene una temperatura inicial de 20 °C, a partir de la cual aumenta 3 °C por minuto.

a) Determina una expresión algebraica que represente la función temperatura resultante* pasados ! minutos.

b) Determina el dominio y el recorrido de la función *. Considera hasta los 10 minutos (considerar desde 0 minutos y avanzando 1 minuto cada vez).

t=3x+20

dom(t)=(0,60)rec(t)=(20,200)

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Una función se puede representar a través de un diagrama sagital que corresponde a relacionar los elementos de la función por medio de flechas desde el conjunto de entrada (dominio) al conjunto de salida (solo los elementos que participen serán parte del recorrido), tal como se muestra:

! & *

Conjunto de Conjunto de entrada salida Tal como se mencionó anteriormente, el diagrama sagital nos permite visualizar las características que deben cumplir las funciones, que son de unicidad y existencia. La unicidad significa que, para cada valor de x (dominio), existe un único valor f(x) (recorrido). Sin embargo, uno o más valores de x, pueden tener el mismo valor f(x). x y x y x y a a 1 1 1 b b 2 a 2 2 c c 3 Sí es función Sí es función No es función

Diagrama sagital

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


La existencia significa que, para todos los valores de x (dominio), existe un valor f(x) (recorrido), es decir, si a un valor de x no le corresponde un valor de y, entonces no es una función. X Y X Y a 1 a 1 b 2 b 2 c 3 c Sí es función No es función Ejemplo: En la función f(x) = 5x, si 456 & = −1, 2, 5 , entonces el recorrido es:

x= -1 f(-1)= 5∙ -1 f(x)=-5

x= 2 f(2) = 5∙ 2 f(x)=10

x= 5 f(5) = 5∙ 5 f(x)=25

El 9:; & = −5,10,25 .

¿Sepuedeobtenerelvalordexapartirdelvalordef(x)?

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


ACTIVIDAD 5

Identifica si los siguientes diagramas representan funciones o no. Explica por qué, basándote en las características de unicidad y existencia.

a) X Y -1 1 1 -1 4 -4 8 -8 ¿Es función? ______ ¿Por qué? ____________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________

b) X Y -3 -2 2 3 ¿Es función? ______ ¿Por qué? ____________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________

c) X Y 2 6 12 20 ¿Es función? ______ ¿Por qué? ____________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________

d) X Y -5 25 -1 5 2 -10 5 -25 ¿Es función? ______ ¿Por qué? ____________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________

12

13

12

16

112

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Tal como vimos en el ejemplo anterior, del sueldo de Claudia, se puede representar esta función en una tabla de valores.

Ejemplo: La función & que relaciona los números enteros con su antecesor se puede representar con una expresión algebraica, donde x representa un número entero, la expresión x – 1 representa su antecesor. Entonces tenemos que: * = ! − 1, (también se puede escribir como & ! = ! − 1).

Al representar la función & en una tabla de valores obtenemos: x - 2 - 1 0 1 2 y - 3 - 2 - 1 0 1

ACTIVIDAD 6

Completa las tablas de valores según la función dada.

a) El sucesor de un número entero x. La función es & ! = ! + 1.

x

y

b) Múltiplos de 7, donde la variable es x . La función es & ! = 7!.

x

y

c) La medida del lado de un cuadrado denotada por x y el área del cuadrado. La función es & ! = !0.

x

y

La representación gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfacen y = f(x).

Ejemplo: De la función del sucesor de un número entero, * = ! + 1, o bien, & ! = ! + 1, se puede representar en un plano cartesiano, pero antes se recomienda construir la tabla de dichos valores.

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y - 2 - 1 0 1 2 3 4

Tabla

Gráfico

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Un valor de entrada con su respectivo valor de salida conforman un par ordenado.

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y - 2 - 1 0 1 2 3 4

Luego, los representamos en un plano cartesiano.

ACTIVIDAD 7

Completa la tabla según la función dada y luego represéntala en un plano cartesiano.

a) El antecesor de un número entero x. La función es & ! = ! − 1.

x y

(-3,-2)(-2,-1)

(-1,0)(0,1)

(1,2)(2,3)

(3,4)

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


b) Múltiplos de 2, donde la variable es x. La función es & ! = 2!.

x

y

c) La medida del lado de un cuadrado denotada por x y el perímetro del cuadrado. La función es & ! = 4!.

x

y

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


OBJETIVO: Comprender lo que son las funciones lineales y sus representaciones.

¿Qué es una función lineal?

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Una característica de una función lineal es que se representa con una recta que pasa por el origen o (0,0), en el plano cartesiano.

Analicemos las siguientes representaciones:

&(!) = 2! &(!) = 2! + 1 &(!) = 5!

& ! = 4! − 2 &(!) = 10! & ! = 3! + 5

En aquellas representaciones donde la recta pasa por el origen, ¿qué tienen en común esas funciones?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

De las funciones anteriores, las funciones lineales son:

&(!) = 2!

&(!) = 5!

&(!) = 10!

FUNCIÓN LINEAL Y SU REPRESENTACIÓN

Recordemos

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Y todas se pueden escribir como un número por x, considerando que ese número no puede ser cero.

Analiza las gráficas y responde la siguiente pregunta.

&(!) = 0,5! &(!) = 2! &(!) = 5!

&(!) = 10! &(!) = 30! &(!) = 50!

¿Qué relación hay entre las funciones y la inclinación de la recta?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Sí 6 > 0 la función es creciente. En cambio, sí 6 < 0, la función es decreciente.

Por lo tanto, una función lineal se puede escribir como:

&(!) = 6 · ! , 6 ≠ 0

(recuerda que también se puede escribir como * = 6 · !)

En una función lineal, &(!) = 6 · !, el valor de 6 determina la pendiente o inclinación de la recta.

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Ejemplo: &(!) = 2! & ! = −2!

En la primera función el valor de 6 es mayor que 0, por lo tanto, es creciente; en cambio, en la segunda es menor que 0, entonces la función es decreciente.

ACTIVIDAD 1

Determina si cada función es lineal y si es creciente o decreciente.

a)

b)

c) & ! = 100!

d) & ! = −5! + 5

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Las funciones lineales también se pueden evaluar. Recordar que esto corresponde a entregar el valor de salida según el valor de entrada.

Ejemplo:

Si la función & está descrita por la expresión & ! = 2!, entonces, al evaluar la función en 10 obtenemos &(10) = 20, ya que:

&(10) = 20

Y si a la misma función la evaluamos con x=4, obtenemos &(4) = 8, ya que:

&(4) = 8

ACTIVIDAD 2 Evalúa la siguiente función según los números de entrada dados.

a)

&(6) =

b)

&(8) =

c)

&(10) =

Evaluar una función lineal

10 Doble

&(!) = 2!

20

4 Doble

&(!) = 2!

8

6 Quíntuple

&(!) = 5!

8 Quíntuple

10 Quíntuple

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Al igual que en las funciones, al conjunto de valores de entrada (x) de las funciones lineales se les llama dominio. Y al conjunto donde solo están los valores de salida de una función lineal, se les llama recorrido.

Dominio Función Recorrido

“x” f(!) = 6 · !; “f(x)” o “y”

Ejemplo: Con la siguiente situación de la vida real identificaremos el dominio y el recorrido.

Un bus viaja al norte a una rapidez constante. Según la siguiente información:

Si el viaje dura 6 horas, ¿cuál es la función que modela las distancias recorridas? ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?

Para determinar la función, podemos construir una tabla con los datos de distancia recorrida y tiempo de viaje.

Tiempo (h)

Distancia (km)

0 90 • 0 = 0 1 90 • 1 = 90 2 90 • 2 = 180 3 90 • 3 = 270 4 90 • 4 = 360 5 90 • 5 = 450 6 90 • 6 = 540

Si x representa la cantidad de horas de viaje e * la distancia recorrida, la situación se puede modelar por la expresión:

* = 90! (o como &(!) = 90!)

Para determinar el dominio, debemos considerar los valores que toma !, en este caso, el tiempo, desde 0 a 6, por lo tanto, el dominio de la función es:

456 & = 0, 1, 2, 3, 4, 5,6

Para determinar el recorrido, debemos reemplazar los valores del dominio y calcular los valores de *, tal como se ha hecho en la segunda columna de la tabla. Por lo tanto, el recorrido de la función es:

9:; & = 0, 90, 180, 270,360,450,540

Dominio y recorrido

Distancia recorrida: 90 km

Tiempo: 1 h


Tiempo: 2 h


Tiempo: 3 h

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


ACTIVIDAD 3 En una pastelería un pastel cuesta $2 500.

a) Determina una expresión algebraica que represente la función valor de pasteles * según ! unidades de pasteles.

b) Determina el dominio y el recorrido de la función *. Considera 0, 1, 2, 3 y 4 pasteles.

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN LINEAL

La función lineal puede ser representada en una tabla, lo que permite organizar valores correspondientes al dominio y al recorrido. Y también puede ser representada en un gráfico en el plano cartesiano, lo que permite visualizar la recta que ahí se representa.

Para esto, se debe evaluar la función dada.

Ejemplo: Para la función f(x) = 3x. Paso 1. Calcula valores de y, otorgándole distintos valores a x. Si x= -1 f(-1)=3∙-1 f(-1)=-3

Si x=1 f(1)=3∙1 f(1)=3 Si x= 2 f(2)=3∙2 f(1)=6 Si x=3 f(3)=3∙3 f(3)=9 Paso 2. Organiza los datos en la tabla.

x y (x, y) -1 -3 (-1,-3) 1 3 (1,3) 2 6 (2,6) 3 9 (3,9)

Representación de la función lineal, en tabla y en gráfico.

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


Paso 3. Marca con un punto en la gráfica cada (x, y).

(x, y)

ACTIVIDAD 4

Calcula los valores de f(x) con los datos dados o agrega valores para x cuando lo creas necesario. Organízalos en la tabla y representa los puntos en el gráfico, dibujando la recta que pasa por esos puntos.

a) f(x) = 4x

b) f(x) = 5x

(-1,-3) (1,3) (2,6) (3,9)

x y (x, y) -2 -1 1 2

x y (x, y) -2 1

(-1,-3)

(1,3)

(2,6)

(3,9)

-4-3-2-1012345678910

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Y

f(x)=3x

X

Yf(x)=4x

X

Y

f(x)=5x

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


c) f(x) = -5x

Grafica las funciones, creando primero una tabla de valores.

a) f(x) = -8x

b) f(x) = C0!

c) f(x) = 6,5x

x y (x, y) -3

Práctica

X

Y

f(x)=-5x

GUÍADELESTUDIANTEN°1 Fichas1y2

8°básico

OBJETIVO: Resolver problemas que involucran función lineal.

¿Cuánto es el rendimiento de un auto que recorre 28 km con 2 litros de gasolina?

SITUACIONES Y PROBLEMAS CON FUNCIÓN LINEAL

Muchas situaciones de la vida cotidiana pueden representarse con una función lineal.

Consideremos que los términos “f(x)”, “m” y “x” representan valores que cumplen una relación entre sí.

f(x) = m∙x

Valor 1 Valor 2 Valor 3

(variable dependiente) (constante) (variable independiente)

Ejemplo 1:

Una persona gana $2 500 por cada hora trabajada. ¿Cómo puede calcular su ganancia total, si trabaja una cierta cantidad de horas? Paso 1. Identifica dentro de la situación cuáles son las variables involucradas y cuál es la relación entre ellas.

Ganancia total = valor constante ∙ cantidad de horas por hora trabajada trabajadas

Paso 2: Relaciona cada uno de los términos con uno de los valores de la situación.

- x: representa la cantidad de horas trabajadas. Variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, en este caso un número natural o cero.

- m: representa el valor por hora ($2 500), que es constante. - f(x): representa la ganancia total de esa persona. Variable dependiente, pues

depende de la cantidad de horas que trabaje. Paso 3. Escribe la función. f(x) = 2 500 ∙ x Por tanto, se puede calcular multiplicando 2 500 por la cantidad de horas trabajadas.

FUNCIÓN LINEAL: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Recordemos

Modelamiento de situaciones a través de una función lineal


8°básico

Ejemplo 2: Un pintor utiliza 200 ml de pintura por cada m². Si en cada trabajo le solicitan distintas medidas a pintar, ¿cómo calcula cuánta pintura necesita? Paso 1. Identifica dentro de la situación cuáles son las magnitudes involucradas y cuál es la relación entre ellas.

Cantidad total = cantidad constante de ∙ m² de cada de pintura pintura por m² encargo.

Paso 2: Relaciona cada uno de los términos con uno de los valores de la situación.

- x: representa la cantidad de metros cuadrados de cada encargo. Variable independiente, ya que puede tomar cualquier valor, en este caso un número natural o cero

- m: representa la cantidad de pintura por m², que son 200 ml, que es constante.

- f(x) o y: representa la cantidad total de pintura. Variable dependiente (de la cantidad de m² que le soliciten).

Paso 3. Escribe la función. f(x) = 200 ∙ x

ACTIVIDAD 1

Observa las siguientes situaciones e identifica cuál es la variable independiente, la constante y la variable dependiente. Luego escribe la función.

a) Luisa todos los días compra pan amasado. Cada pan cuesta $150. Cada día compra distintas cantidades de pan, por tanto, cada vez el total que paga es distinto.

- Variable independiente x: - Constante m: - Variable dependiente f(x): - Función:

¿Cómoseescribiríalafunción,silacantidaddepinturaautilizarfuera500mlporm²?


8°básico

b) En un sector de la ciudad se quiere construir una villa con casas de ladrillo. Cada casa se construye con 600 ladrillos. ¿Cómo se puede calcular la cantidad total de ladrillos que van a necesitar para construir la villa entera?


c) Diego va a celebrar su cumpleaños y para ello está pensando en la cantidad

de bebidas que necesita comprar. Sabe que cada persona invitada bebe aproximadamente 800 cc de bebida. ¿Cómo puede calcular la cantidad de bebida que debe comprar?



8°básico

Los problemas de la vida cotidiana que se pueden representar con funciones lineales, involucran distintas magnitudes que mantienen la misma relación que en una función lineal.

Sin embargo, una de esas magnitudes es una incógnita, por lo que utilizando la función lineal se puede descubrir su valor y resolver el problema.

Ejemplo: Una persona quiere viajar 180 kilómetros en un auto que rinde 12 kilómetros por litro. ¿Cuántos litros de gasolina debe tener en el estanque para efectuar el viaje? Paso 1. Identifica cuáles son las magnitudes involucradas y cuál es la relación entre ellas. Relaciona cada una de ellas con los términos de la función lineal.

Cantidad total = kilómetros que el auto ∙ litros de gasolina de kilómetros rinde por 1 litro de gasolina que necesita

f(x) m x

Paso 2. Escribe una ecuación con los datos que ya están dados.

f(x) = m∙x à 180 = 12∙x Paso 3. Despeja la incógnita.

180 = 12∙x à 180:12 = 12∙x:12 à 15 = x

Por lo tanto, debe tener 15 litros de gasolina para recorrer 180 km.

Resolución de problemas que involucran función lineal.

¿Cuántoskilómetrospodríarecorrersidisponede23litrosdegasolina?


8°básico

Sigue los pasos sugeridos anteriormente y resuelve los siguientes problemas:

1) Un auto va a una velocidad constante de 90 km/h (cada hora recorre 90 km). ¿Cuántas horas lleva andando si ha recorrido 540 kilómetros?

2) Un repartidor entrega una cantidad constante de pedidos por hora. Si un día trabajó 9 horas y repartió 27 pedidos, ¿cuántos pedidos entregó por hora?

3) Un estudiante se propone realizar 15 ejercicios cada día. ¿En cuántos días logra realizar 315 ejercicios?

4) Un vendedor gana $1 860 por cada producto vendido. ¿Cuánto gana en un día si vende 16 productos?, ¿y si vende 18 productos?

5) El pasaje de metro en Santiago en hora punta tiene un costo de $800. ¿Cuántas veces puede usar el metro en horario punta una persona si carga $20 000?

Práctica


8°básico

La siguiente guía tiene como objetivo desarrollar los conocimientos que necesitas comprender para abordar el Objetivo de Aprendizaje 10 de octavo básico, que declara lo siguiente:

Esta guía se compone de 2 fichas, las que abordan los siguientes temas:

Tema Ficha

2. Función afín (Guía N°2)

1. Función afín y su representación.

2. Resolución de problemas que involucran función afín

En las fichas encontrarás las siguientes secciones:

• Recordemos: Se activan los conocimientos previos. • Práctica: Se proponen actividades que te permitirán aplicar los

conocimientos previos.

GUÍA DEL ESTUDIANTE N°1 Función afín

OA 10: Mostrar que comprenden la función afín: Generalizándola

como la suma de una constante con una función lineal. Trasladando

funciones lineales en el plano cartesiano. Determinando el cambio

constante de un intervalo a otro, de manera gráfica y simbólica, de

manera manual y/o con software educativo. Relacionándola con el

interés simple. Utilizándola para resolver problemas de la vida diaria y

de otras asignaturas.

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.

Tema2:Funciónafín FICHA1

OBJETIVO: Comprender el concepto y representación de una función afín.

¿ qué tipo de función es D(E) = FGE + HIG?

RELACIÓN ENTRE FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Al igual que la función lineal, la función afín permite modelar situaciones cotidianas, por lo tanto, es útil conocer su definición y la estrecha relación entre ambas.

En un punto inicial ambas funciones se relacionan entre sí porque gráficamente se representan con una línea recta en el plano cartesiano. Ambas modelan situaciones de cambio lineal, contienen una constante de cambio, que en ambos casos se relaciona con la pendiente de esa línea recta.

Como ya has estudiado, la función lineal es una relación de proporcionalidad directa entre dos variables.

Ejemplo:

Un recipiente cilíndrico vacío se llena de agua a un ritmo constante tal que al cabo de un minuto el nivel de agua alcanza una altura de 3 cm. A los 2 minutos serán 6 cm de altura, y así sucesivamente. Observa una imagen que representa esta situación:

Podemos decir que la altura del nivel de agua f(x) corresponde al triple de cada minuto, es decir:

& ! = 3!

, obteniendo la siguiente tabla:

E (minutos) 0 1 2 3 4 5 D(E) (centímetros) 0 3 6 9 12 15

FUNCIÓN AFÍN Y SU REPRESENTACIÓN

3cm

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


En cambio, si el recipiente cilíndrico no hubiera estado vacío al inicio y su altura de agua inicial hubiese sido por ejemplo 2 cm, entonces la altura del nivel de agua &(!) en cada instante !sería:

& ! = 3! + 2

La interpretación que podemos hacer es que el valor 2 es una constante fija, no vinculada a la relación lineal.

En este caso obtendríamos los siguientes datos:

E (minutos) 0 1 2 3 4 5 D(E) (centímetros) 2 5 8 11 14 17

A partir de este caso, podemos inferir que una función afín puede definirse como una función lineal que además tiene un valor fijo o condición inicial, la cual no depende de la variable independiente.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN AFÍN

Una función afín es de la forma &(!) = 6! + ;, con 6 y ; distintos de cero. Se considera ! la variable independiente y &(!) la variable dependiente.

En la función afín, la constante 6 es la pendiente de la recta que la representa, ; el “coeficiente de posición”, que corresponde a la coordenada en * del punto que está sobre el :J:* por donde pasa la gráfica, es decir, una coordenada de la gráfica es (0,c).

• Si ; = 0, las variables no tienen una relación de función afín y la relación

pasa a ser una función lineal.

Ejemplos de funciones afín:

Función Pendiente (K)

Coeficiente de posición (L)

& ! = 66! − 28 66 -28 & ! = 15 − 3! -3 15 & ! = 250 + 1,2! 1,2 250

UNIDAD2:LAFUNCIÓN.


ACTIVIDAD 1

Clasifica las siguientes funciones en lineal o afín.

a. f x = −2x + 8 ______

d. f x = 32 − 0,1x ______

b. f(x) = −6x ______ e. f x =45x + 4

______

c. f(x) = 5,8x + 9,54 ______

f. f x = −2,58x ______

ACTIVIDAD 2

Completa la siguiente tabla

Función afín Pendiente Coeficiente de posición a) & ! = 4! + 7

b) −3 2

c) & ! =73! − 4 7

3

d) & ! = −0,5! + 0,3 0,3

ACTIVIDAD 3

Completa la tabla de valores para cada función.

a. & ! = −9! + 7 E D(E) -1 0 3 5

b. & ! = 4,6! − 1 E D(E) 1 2 -3 4

ACTIVIDAD 4 En las siguientes situaciones, determina la constante que no depende de la variable independiente.

a. El valor que cancelamos cuando abordamos un taxi es de $300, más $150 por cada 200 metros recorridos.

b. El sueldo de un vendedor es de $300 000 base, más $3 500 de comisión por cada venta que realice en el mes.

c. Un recipiente que contiene 100 mm de agua, comienza a llenarse a un ritmo constante de 7 cm por minuto.

d. Un montañista inicia un ascenso a la cumbre comenzando a una altura de 2 400 metros sobre el nivel del mar. Cada día asciende 200 metros.

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e. La temperatura de un lugar es de – 1 °C a las 7 de la tarde, descendiendo 4 °C cada hora.

REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN AFÍN

Las funciones afines se representan en el plano cartesiano con una recta.

Para graficar la función afín realizaremos los siguientes pasos:

a) Calcular por lo menos dos puntos para colocar en la tabla de datos.

b) Ubicar en el plano cartesiano los dos puntos obtenidos.

c) Trazar una recta que pase por esos puntos marcados en el plano.

Ejemplo: Al graficar la función afín &(!) = −2! + 3.

Primero: Hacemos una tabla y a la variable independiente le asignamos dos valores arbitrarios, en este caso 1 y 2.

E D E = −HE + O D(E) (E, P) 1 −2 ∙ 1 + 3 1 (1,1) 2 −2 ∙ 2 + 3 −1 (2, −1)

Segundo: Los pares ordenados encontrados los ubicamos en el plano cartesiano.

Tercero: Trazamos una línea recta que pase por esos puntos. Lo obtenido es la gráfica de la función afín &(!) = −2! + 3.

Gráfica

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ACTIVIDAD 5

Calcula los valores de f(x) con los datos dados y si es necesario, asigna valores a x. Organízalos en una tabla de valores y representa los puntos obtenidos en un gráfico, marcando la recta que pasa por ellos.

a) f(x) = 3x - 1

b) f(x) = -2x+1

c) f(x) = x+2

x y (x, y) -2 -1 1 2

x y (x, y) -2 1

x y (x, y) -3

X

Yf(x)=3x- 1

X

Yf(x)=-2x+1

X

Yf(x)=x+2

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¿CÓMO DETERMINAR UNA FUNCIÓN AFÍN A PARTIR DE SU GRÁFICA?

Analicemos la representación de algunas funciones afines con la función lineal que se relaciona.

&(!) = −2! + 3 &(!) = −2!

& ! = 5! − 1 &(!) = 5!

¿Qué tiene en común y en qué se diferencia la función afín con su función lineal relacionada?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Identificación del coeficiente de posición

La función afín con su función lineal relacionada comparten el mismo valor de 6, por ende, la pendiente o inclinación de las rectas es la misma.

La diferencia es que la función afín tiene coeficiente de posición distinto de cero, el cual corresponde al valor donde corta al eje Y.

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La siguiente gráfica corresponde a una función afín &, ya que la recta no pasa por el origen. El coeficiente de posición es 4 ya que la recta pasa por (0,4)

Se puede decir que la función afín representada corresponde a la traslación de 4 unidades hacia arriba de la función lineal relacionada. Como la función relacionada es f(x)=x, la función afín graficada es f(x)=x+4.

Si la pendiente de la siguiente función es 3, entonces la función representada es & ! = 3! − H, ya que la recta corta al eje Y en el punto (0,– 2).

La función & ! = 3! − 2 es la traslación de 2 unidades hacia abajo de & ! = 3!.

Si la pendiente de la siguiente función es 5 y su coeficiente de posición es 0, entonces la función es & ! = 5! ya que la recta corta al eje Y en el punto (0,0), por lo tanto, es una función lineal.

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ACTIVIDAD 6

Según la gráfica, agrega en el espacio el coeficiente de posición.

a)

&(!) = −2!

b)

&(!) = 3!

c)

&(!) = !

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La pendiente m se puede definir como la diferencia en el eje * , dividido por la diferencia en el eje ! , para dos puntos distintos de la recta, (x1,y1) ; (x2,y2).

Al calcular la pendiente usamos la expresión:

6 =*0 − *C!0 − !C

Ejemplo:

Para calcular la pendiente de la siguiente recta, se sugieren los siguientes pasos:

Primer paso: Seleccionamos dos puntos graficados cualquiera e identificamos las coordenadas !C,!0,*C, *0.

(ER, PR) (EH, PH) (−1,3) (0,6)

Segundo paso: Reemplazamos los datos en la expresión.

6 =*0 − *C!0 − !C

=6 − 3

0 − (−1) =31 = 3

Por lo tanto, la pendiente es 3.

Como la recta pasa por (0,6), la función es &(!) = 3! + 6.

Identificación de la pendiente

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Según la gráfica, determina la pendiente y el coeficiente de posición de la función representada. 1)

2)

3)

Práctica

Pendiente:

Coeficiente de posición:

Función:

Pendiente:


Función:

Pendiente:


Función:

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Se dice que 3 o más puntos del plano son colineales si pertenecen a una misma recta. Verifica si el siguiente trío de puntos son o no colineales.

S 2,−3 , T 4,−5 *U(9, −10)

Desafío

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OBJETIVO: Modelar situaciones usando funciones afín.

¿En qué situaciones de la vida real se usa la función afín?

Modelamiento de situaciones a traves de una función afín

Las funciones permiten describir el mundo real en términos matemáticos, como por ejemplo, variaciones de temperatura, movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardíaco, el crecimiento poblacional, entre otras. Situaciones que involucren relaciones entre variables, se pueden representar de diversas formas utilizando algunos modelos matemáticos, a través de funciones estudiadas hasta ahora, es decir, la función lineal y la función afín.

Una vez revisada la función afín y sus parámetros en la ficha anterior, ahora los utilizaremos para resolver situaciones que se expresan mediante estas en diversas representaciones (gráficas, verbales o simbólicas).

Modelar es encontrar una expresión algebraica que describa el comportamiento de la situación planteada.

¿Cómo modelar a través de una función afín?

Para modelar situaciones a través de este tipo de función necesitamos reconocer sus elementos, para llegar a & ! = 6! + ;.

• Variable independiente (E): Es aquella propiedad, cualidad o característica de una situación, que tiene la capacidad para influir o afectar a otra variable. •Variable dependiente (D E ): Es aquella propiedad, cualidad o característica de una situación, que tiene la capacidad de reflejar los cambios a partir de la variable independiente. • La razón de cambio o pendiente (K): Corresponde a una constante que en el plano cartesiano se conoce como pendiente y evidencia la relación por la cual varían las variables presentes en una situación. • Valor inicial o constante(L): Es aquella propiedad, cualidad o característica de una situación, en la que se indica una condición inicial. En el plano cartesiano se conoce como el coeficiente de posición.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN FUNCIÓN AFÍN

¿Qué es modelar?

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A continuación, desarrollaremos algunas situaciones que se expresan mediante funciones afines:

Josefina es una adolescente de 17 años que busca formas para generar dinero y ahorrarlo. El día de hoy decide vender chocolates a sus vecinos. Si preparar los chocolates le implica un costo total de $3 000 y pretende venderlos a $150 cada uno, ¿qué función modela las ganancias de Josefina en función de la cantidad de chocolates vendidos?

Para modelar la situación de Josefina, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: Definir las variables dependiente e independiente.

- Variable dependiente: las ganancias de Josefina, que dependen del número de chocolates vendidos

- Variable independiente: Número de chocolates vendidos

Paso 2: Identificar e interpretar los elementos de la función afín

Para identificar los elementos, iniciaremos reconociendo los datos entregados en la situación

- El costo de preparar los chocolates es $3 000 - El precio al que venderá un chocolate es $150

Según esta situación si Josefina no vende ningún chocolate, no tiene ganancia, de hecho, tendría una deuda de $3 000, Por lo tanto, cada venta crece el dinero que recibe y así empieza a recuperar lo invertido en los chocolates.

A partir de este análisis hemos identificado el primer elemento de la función afín, el valor inicial, el cual sería ; = −3000, que corresponde al dinero que habrá invertido Josefina si no vende chocolates.

Y como segundo elemento, está la cantidad que recibe por cada venta, lo cual corresponde al precio de cada chocolate, que es 6 = 150, dato que consideraremos como razón de cambio (pendiente de la recta).

En resumen, los datos encontrados fueron:

Razón de cambio 6 = 150 Valor inicial ; = −3000

Paso 3: Expresar la función en términos algebraicos

En este paso debemos reemplazar los valores antes mencionados en la función

& ! = 6! + ;

, la cual queda:

& ! = 150! − 3000

Con esta expresión, podemos encontrar el dinero que obtendrá Josefina, dependiendo del número de chocolates que logre vender.

Caso 1: “Las ganancias de Josefina”

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Una piscina de fondo plano tiene forma de paralelepípedo. Sus dimensiones son 2 metros de alto, 5 metros de largo y 10 metros de ancho. Durante el invierno, el agua es conservada con productos químicos especiales, a una altura de 1 metro. En el mes de noviembre, se vuelve a llenar con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1,2 metros cúbicos por hora. ¿Cuál es la función que modela la altura del agua en función de las horas de llenado?

Para modelar la situación, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: Definir las variables dependiente e independiente.

- Variable dependiente: Altura de la piscina, ya que depende de las horas de llenado.

- Variable independiente: Horas de llenado.

Paso 2: Identificar e interpretar los elementos de la función afín

Para identificar los elementos, iniciaremos reconociendo los datos entregados en la situación

- El caudal de la manguera, que es de 1,2 metros cúbicos por hora - El volumen de la piscina si las dimensiones de 26!56!106 , que equivale a

1006V - El volumen inicial de agua en la piscina al momento de comenzar el llenado, si

las dimensiones con la altura del agua son de 16!56!106, que serán 506V.

Bajo este análisis, si la piscina aún no se le comienza a agregar agua, tendría un volumen inicial de 50 6V, y luego 1,2 metros cubicos por hora ingresarían a la piscina.

A partir de esta observación hemos identificado el primer elemento de la función afín, el valor inicial ; = 50, que corresponde al volumen inicial de la piscina.

Y como segundo elemento, está la cantidad de agua que ingresa por hora a la piscina, que corresponde al caudal de agua 6 = 1,2.

En resumen, los datos encontrados fueron:

Razón de cambio 6 = 1,2 Valor inicial ; = 50

Paso 3: Expresar la función en términos algebraicos

En este paso debemos remplazar los valores antes mencionados en la función

& ! = 6! + ;

, la cual queda:

& ! = 1,2! + 50

Con esta expresión, podemos encontrar la altura del llenado de la piscina en función de las horas de llenado.

Caso 2: El llenado de una piscina

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ACTIVIDAD 1

Dadas las siguientes situaciones, que pueden ser modeladas por alguna función, determina en cada caso la variable dependiente e independiente:

a. El consumo de una estufa a gas se determina por el nivel de potencia con el que se esté usando.

Variable independiente: ____________________________________

Variable dependiente: ____________________________________

b. El perímetro de un cuadrado varía según las medidas de sus lados.



c. La cuenta del agua varía según el consumo que se haya tenido durante el mes.



ACTIVIDAD 2

Escribe una función f(x) que modele cada una de las siguientes situaciones.

a. En un plan telefónico de red fija, se paga $950 de cargo fijo y concepto de arriendo del aparato telefónico. Además de $15 por minuto de llamado. Determina la función que modela el pago de una cuenta según el total de minutos usados.

b. Si en el detalle de una boleta de luz, se tiene un cargo fijo de $3 270 y por consumo de cada WXℎ se cobran aproximadamente $20, ¿qué función permite representar el pago aproximado de una cuenta de luz dependiendo de los WXℎ consumidos?

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c. En los trabajos relacionados a venta de productos, hay trabajadores a los que se les paga por comisión. Esto significa que tienen un sueldo base fijo y aparte de ello les pagan una cantidad por cada venta realizada al mes. Salvador es vendedor de notebooks. A él le pagan $345 000 de sueldo base y por cada notebook vendido al mes, $5 000. Determina la función que modela el sueldo de Salvador según la cantidad de Notebooks que venda.

d. El precio de un Smartphone de última generación va decayendo a medida que pasa el tiempo. Así un teléfono de cierta marca y modelo costará más barato si lo compras pasado varios meses después de su lanzamiento. Supongamos que el nuevo Smartphone tiene un precio inicial de $1 890 000 y por cada mes de antigüedad la compañía de ventas hace un descuento de $20 500. Determina la función que modela el precio del Smartphone dependiendo de los meses de antigüedad desde su lanzamiento.

Resolucion de problemas que involucra funcion afin

Los problemas de función afín tienen sentido cuando les proponemos condiciones a las expresiones que los modelan. Esto quiere decir que los problemas nos entregaran datos que condicionan el resultado de la expresión, en el cual debemos despejar alguna variable en función de otra que es desconocida.

Para mostrar lo planteado en el párrafo anterior analizaremos los siguientes casos.

La empresa de transporte “Envió seguro” cobra $350 fijos por envío más $150 por kilómetro recorrido. Si la función que modela el costo del envío en función de los kilómetros recorridos es & ! = 150! + 350, donde x es el número de kilómetros y f(x) el costo de envío,

• ¿cuánto cuesta un envío que está a 120 km?

• Si por un envío se pagaron $8 150, ¿cuántos kilómetros se recorrieron?

Para responder a cada pregunta seguiremos los siguientes pasos.

Paso 1: Identificar las condiciones que debemos evaluar en el modelo.

Paso 2: Evaluar las condiciones en el modelo.

Caso 1: “La empresa de envíos”

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Paso 3: Responder a la pregunta según el contexto planteado.

Responder: ¿Cuánto cuesta un envío de 120 km?

Paso 1: Identificar las condiciones que debemos evaluar en el modelo

Incógnita: Costo del envío f(x)

Condición: Un envío de 120 km, por lo tanto, ! = 120

Paso 2: Evaluar las condiciones en el modelo

Remplazamos los datos encontrados en el paso anterior en la función de costo de envío.

& ! = 150! + 350

& 120 = 150 ∙ 120 + 350& 120 = 18000 + 350

& 120 = 18350


El costo que tendrá enviar un artículo a 120 km de distancia es de $18 350.

Responder: Si por un envío se pagó $8 150, ¿cuántos kilómetros se recorrieron?

Paso 1: Identificar las condiciones que debemos evaluar en el modelo.

Incógnita: Numero de kilómetros recorridos. Lo que equivale al valor de x

Condición: Si se pagó por el envío $8 150, & ! = 8150

Paso 2: Evaluar las condiciones en el modelo.

8150 = 150! + 3508150 − 350 = 150!

7800 = 150!7800150 = !

52 = !


El pago de $8 150 fue por un envío que estaba a 52 kilómetros.

Para alentar y apoyar a su equipo de fútbol preferido durante el campeonato del año actual, Felipe tiene dos opciones.

• Opción A: Hacerse socio del equipo de fútbol, pagando una cuota de inscripción de $40 000, que implica que el costo por cada entrada a los partidos tiene un valor de $2 000.

Caso 2: “La inscripción en un club de fútbol”

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• Opción B: Pagar por cada entrada un valor de $12 000.

¿Qué opción es más conveniente?, ¿cuántas entradas deberá comprar Felipe para que la opción A sea más conveniente?

Para resolver el caso seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: plantear la función que modela cada opción.

Opción A Opción B La función que modela la situación es & ! = 40000 + 2000!, donde x corresponde a la cantidad de entradas y f(x) el precio que deberá pagar siendo socio del club, yendo al estadio x veces.

La función que modela la situación es Z ! = 12000!, donde x corresponde a la cantidad de entradas y g(x) el precio que deberá pagar sin ser socio del club.

Paso 2: Construir una tabla de valores para cada función.

Se construirá una tabla de valores que represente a cada función para saber el costo de cada una de estas opciones.

& ! = 40000 + 2000!

x 1 2 3 4 5 10 f(x) 42 000 44 000 46 000 48 000 50 000 60 000

Z ! = 12000!

x 1 2 3 4 5 10 g(x) 12 000 24 000 36 000 48 000 60 000 120 000

Paso 3: Se responde a la pregunta.

La opción A es más conveniente desde la quinta entrada comprada.

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1. En una biblioteca, por atraso, cobran $ 350 más $15 por hora adicional de retraso.

a. Determina la función que modela la situación.

b. ¿Cuánto se debe pagar por 15 horas de atrasos?

c. Si se pagaron $1 250, ¿cuántas horas se atrasó una persona en la devolución?

2. El costo fijo en la cuenta del gas es de $1 300 mensuales, más $3 500 por metro cúbico de consumo. Con la información anterior:

a. Completa la siguiente tabla

Consumo 6V 0 3 6 9 12 15 18

Valor a pagar ($)

b. Determina la expresión algebraica que modela la situación

c. Si una persona pagó por el consumo del mes $53 800, ¿pudo haber consumido menos de 20 6V?

Práctica

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3. Para celebrar la graduación de fin de año, un grupo de 32 estudiantes más sus familias pretenden arrendar un local y han cotizado dos locales cuyos precios son:

“Salón 73”: $300 000 fijos y $12000 por asistente.

“Casa de sueños”: $150 000 fijos y $20 000 por asistente.

La capacidad máxima de ambos locales es de 300 personas.

a. Determina qué expresión algebraica modela cada opción.

b. ¿Cuáles de las opciones es más conveniente escoger? Justifica.

5. Alumnos de agricultura hacen un estudio sobre la población de abejas y se han dado cuenta, después de un tiempo de investigación, que por diversos motivos, entre ellos la señal de las antenas de telefonía celular, las abejas están muriendo. El estudio arrojó que la cantidad de abejas está modelada por la funcion S \ = −9780\ + 1000000,donde t es el tiempo en meses después de iniciada la investigación.

a. ¿Cuántas abejas habrá en un año?

b. Si había 569 680 abejas cuando terminaron la investigación, ¿de cuántos meses ha sido la investigación?

8 oa10 guía estudiante

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