75289078 aplicacion de la integral definida

7/13/2019 75289078 Aplicacion de La Integral Definida

1/20

buscar

APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Cuando hablamos de integracin, nos estamos refiriendo a un concepto fundamental de las matematicas avanzadas,especialmente del area del calculo y del analisis matematico (cualquiera que esta sea, ya que el area matematica abarca todoslos campos del conocimiento).

Las integrales son basicamente, una suma de infinitos sumandos, los cuales son infinitamente pequeos.

La definicion de integral se dice como sigue: Dada una funcionf(x) de una variable real xy un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al area de la regin del planoxylimitada entre la grafica de f, el ejex, y las lneas verticalesx= ayx= b, donde sonnegativas las reas por debajo del eje x.

Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchas situaciones prcticas. Consideremoscomoejemplo el de una alberca (o el del Acuario de Veracruz, que tiene un tunel redondo), el cual si es rectangular no hay masproblema que el de calcular su area a partir de su longitud,anchura y profundidad, se puede determinar fcilmente el volumendeagua que puede contener (para llenarla), el rea de la superficie (paracubrirla), y la longitud de su borde (para atarla); pero sies ovaladacon un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularian areas bajo curvas.
http://magician-of-the-dark.blogspot.es/1245287460/aplicacion-de-la-integral-definida/http://magician-of-the-dark.blogspot.es/1245287460/aplicacion-de-la-integral-definida/http://magician-of-the-dark.blogspot.es/1245287460/aplicacion-de-la-integral-definida/


2/20

Otras aplicaciones practicas se encuentran en areas como:

ECONOMIA:Coeficientes de desigualdad para la distribucion del ingreso en una poblacion; maximizacion de lautilidad con respecto al tiempo; superavit del consumidor y del productor;

PEDAGOGIA:Curvas de aprendizaje

FINANZAS:Valor presente de un ingreso continuo FISICA Y MECANICA:Area de una region en el plano; area de una region comprendida entre dos curvas;

volumenes de solidos; calculo del trabajo y esfuerzo


3/20

Aplicaciones de la integral definida a la Economa

Entre las funciones que se utilizan en economa para hacer modelos de situaciones de mercado se

estudian las funciones de oferta y de demanda.

Funcin de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta funcin

para relacionar la cantidad de productos que est dispuesta a ofrecer en el mercado con el preciounitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios,

existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes estn dispuestos a ofrecer en

el mercado en algn perodo especfico.

Cuanto mayor es el precio, mayor ser la cantidad de productos que la empresa est dispuesta a

ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la

funcin de oferta es una funcin creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad

ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina funcin de oferta y a

su grfica se la conoce como grfica de oferta.

A esta funcin la simbolizamos p = o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la

cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

Funcin de demanda: La empresa utiliza esta funcin para relacionar la cantidad de productos

demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de

acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminucin de la

cantidad demandada del artculo porque no todos los consumidores estn dispuestos a pagar un

precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es unafuncin decreciente como lo observamos en los ejemplos grficos. Podemos asegurar entonces

que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los

consumidores demandan en determinado perodo. Si el precio por unidad de un producto est dado

por p y la cantidad correspondiente en unidades est dada por q la ley que los relaciona se

denomina funcin de demanda. A su grfica se la llama grfica de demanda.
http://matematicaparaeconomistasdelaunsm.blogspot.com/2010/04/aplicaciones-de-la-integral-definida-la.htmlhttp://matematicaparaeconomistasdelaunsm.blogspot.com/2010/04/aplicaciones-de-la-integral-definida-la.htmlhttp://matematicaparaeconomistasdelaunsm.blogspot.com/2010/04/aplicaciones-de-la-integral-definida-la.html


4/20

A esta funcin la simbolizamos p = d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la

cantidad de productos que, a ese precio, se demanda

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES

El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de interseccin de la curva

de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de

equilibrio, los consumidores comprarn la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren

vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarn gastar ms en un artculo que el precio de

equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artculo y los mayores precios

que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama

el supervit de los consumidores.

El rea bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores estn dispuestos a

pagar por q0 artculos. El rea sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total que los

consumidores realmente gastarn en el preciop0 de equilibrio. El rea entre la curva y la recta

representa el supervit de los consumidores.

El supervit de los consumidores est dado por el rea entre las curvas p = d(q) y p = p0entonces

su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:

donde d(q) es una funcin demanda con precio de equilibrio p 0 y demanda de

equilibrio q0.

Problema


5/20

La curva de demanda est dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x2. Encuentre el supervit o ganancia

de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p = d(20) = 50 - 0,06 202= 26.

Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:

= = = 320

La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un

menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio

y los precios ms bajos a los que los fabricantes venderan el producto se considera como una

entrada adicional para los fabricantes y se llama el supervit de los productores.

El rea total bajo la curva de oferta entre q = 0 y q = q0 es la cantidad mnima total que los

fabricantes estn dispuestos a obtener por la venta de q0 artculos. El rea total bajo la recta p

= p0es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos reas, el supervit de los

productores, tambin est dada por una integral definida.

Si s(q) es una funcin de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio, entonces

supervit de los productores =

Problema

Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) = . Encuentre la ganancia de

los productores si la produccin asciende a diez artculos.

Si la produccin asciende a 10 artculos el precio es s(10) = = 12 pesos.

La ganancia o supervit de los productores se calculo resolviendo:

= =


6/20

Ganancia de las productores = = 25

La ganancia de los productores asciende a $25 si la produccin es de diez artculos.

Problema

Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas.

Funcin de demanda: p1 (q) = 1000 - 0,4 q2. Funcin de oferta: p2 (q) = 42q

El exceso de oferta y el de demanda estn representados por las reas que muestra la grfica:

La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir,:

p1 (q) = p2(q) 1000 - 0,4q2= 42q - 0,4q2 - 42q + 1000 = 0

q1= - 125 q2=20Como los valores de las abscisas corresponde a nmero de artculos ofrecidos o demandados, q 0=

20 y, por lo tanto, p0= 840.

El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la regin comprendida entre p 1(q) y

la recta p = 840, entre 0 y 20, o sea,:

= = = 2133,33

El excedente de demanda asciende a $2133,33

El excedente de oferta es la regin comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o

sea:

= = (840.20 - 21.202) = 8400

El superavit de oferta alcanza $8400.


7/20

ANLISIS MARGINAL

La derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administracin y economaen la construccin de las tasas marginales.

Es importante para los economistas este trabajo con el anlisis marginal porque permitecalcular el punto de maximizacin de utilidades.

En el anlisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firmaest produciendo determinado nmero de unidades al ao, el anlisis marginal se ocupa delefecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad ms.

Para que este mtodo pueda aplicarse a la maximizacin de utilidades se deben cumplir lassiguientes condiciones:

Deber ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo

total. Las funciones de ingreso y costo deben formularse en trminos del nivel de produccin o

del nmero de unidades producidas y vendidas.

Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo:

Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad ms deun producto o servicio.

Tambin se puede definir como el valor lmite del costo promedio por artculo extra cuando estenmero de artculos extra tiende a cero.

Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artculo extra cuando se efectaun cambio muy pequeo en la cantidad producida.

Debemos tener en cuenta que si c(x) es la funcin costo, el costo promedio de producir xartculos es el costo total dividido por el nmero de artculos producidos.

Costo promedio por artculo

Costo marginal

Costo marginal c'(x)

El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de lacantidad producida.


8/20

Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad ms de unproducto o servicio.

Para una funcin de ingreso total r(x), la derivada r(x) representa la tasa instantnea de cambioen el ingreso total con un cambio del nmero de unidades vendidas. Podemos decir que elingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artculo adicionalvendido cuando ocurre un incremento muy pequeo en el nmero de artculos vendidos.Representa la tasa con que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.

Utilidad marginalque obtiene una empresa est dada por la diferencia entre sus ingresos ysus costos. Si la funcin de ingreso es r(x) cuando se venden x artculos y si la funcin de costoes c(x) al producirse esos mismos artculos, la utilidad p(x) obtenida por producir y vender xartculos est dada por p(x) r(x)c(x).

La derivada p(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por artculo si laproduccin sufre un pequeo incremento.

Resuelva los siguientes problemas y verifique las respuestas.

Problema

Una funcin de costo marginal est definida por c'(x) 3x2+ 8x + 4 y el costo fijo es de $6.Determine la funcin costo total correspondiente.

Respuesta: c(x) x3+ 4x

2+4x + 6

Problema

Para un artculo particular, la funcin de ingreso marginal es i'(x) 15 4x. Si x unidades sondemandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:

a) Determine la funcin ingreso total.

b) Determine la ecuacin de demanda.

Respuestas: a)i(x) 15x 2x2 b )p(x) 15 2x

Analice los problemas resueltos a continuacin.

Problema


9/20

Suponemos que durante los primeros cinco aos que un producto se puso a la venta en elmercado la funcin f(x) describe la razn de ventas cuando pasaron x aos desde que el

producto se present en el mercado por primera vez. Se sabe que si. Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro aos.

Debemos plantear Venta total

Venta total 18000

Las ventas totales durante los primeros cuatro aos ascienden a 18000 unidades.

Problema

Se espera que la compra de una nueva mquina genere un ahorro en los costos de operacin.Cuando la mquina tenga x aos de uso la razn de ahorro sea de f(x) pesos al ao donde f(x)1000 + 5000x.

a) Cunto se ahorra en costos de operacin durante los primeros seis aos?

b)Si la mquina se compr a $ 67500 cunto tiempo tardar la mquina en pagarse por ssola?

a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis aos calculamos

Al cabo de seis aos el ahorro asciende de $ 96000

b) Dado que el precio de compra es de $ 67500, el nmero de aos de uso que se requierenpara que la mquina se pague sola es n, entonces

1000n + 2500 n267500 2500 n2+ 1000n 67500 0

5 n2+ 2n 135 0


10/20

Hallamos los valores de n aplicando la resolvente y resulta n15,4 (imposible para nuestroproblema) y adems n25.

Se tardarn 5 aos para que la mquina se pague sola.

Aplicaciones a la Fsica

Muchas leyes fsicas se descubrieron durante el mismo perodo histrico en el que estabasiendo desarrollado el clculo. Durante los siglos XVII y XVIII exista poca diferencia entre serun fsico o un matemtico.

Sirven para calculo de:Areasvolumenesmomentos de inercia de un cuerpomasa de un cuerpoobtencion de la velocidad y posicion de un cuerpo a partir de su aceleracion y velocidad, respectivamentecalculo de trabajo y energiaflujos de campos vectoriales a traves de un areapuede servir tambien para calcular:carga encerrada en determinada area cerradacorriente q circula por un circuito sabiendo el campo magnetico

ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILNEO

Para un objeto con movimiento rectilneo la funcin posicin, s(t), y la funcin velocidad, v(t), se

relacionan por s(t) .

De este hecho y del teorema fundamental del clculo se obtiene: s(t2) s(t1)


11/20

La posicin del objeto en el instante t1 est expresada por s(t1) y s(t2) es la posicin en elinstante t2, la diferencia s(t2) s(t1) es el cambio de posicin o desplazamiento del objetodurante el intervalo de tiempo [t1, t2].

Un desplazamiento positivo significa que el objeto est ms hacia la derecha en el instante t 2que en el instante t1, y un desplazamiento negativo significa que el objeto est ms hacia laizquierda. En el caso en que v(t) 0 en todo el intervalo de tiempo [t1, t2], el objeto se mueve enla direccin positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t2) s(t1) es lo mismo que ladistancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la direccinnegativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t2) s(t1) es el negativo de la distanciarecorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo detiempo [t1, t2], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrs y el desplazamiento es ladistancia recorrida en la direccin positiva menos la distancia recorrida en la direccin negativa.Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en ladireccin positiva ms la distancia recorrida en la direccin negativa) debe integrarse el valorabsoluto de la funcin velocidad, es decir:

distancia totalrecorrida durante elintervalo de tiempo

[t1, t2]=

Problema

Un objeto se mueve con movimiento rectilneo de modo tal que su velocidad en el instante t esv(t) t22t metros por segundo. Halle:

a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.

b) la distancia recorrida durante ese tiempo.

a) 0.

Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posicin en el instante t 3 que en elinstante t 0.


12/20

b)La velocidad puede escribirse como v(t) t ( t 2) de modo que v(t) 0 si 2 t 3 y lavelocidad es negativa si 0 t 2.

La distancia recorrida es:

distancia recorrida .

Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.

TRABAJO

El concepto de trabajo es importante para los cientficos e ingenieros cuando necesitandeterminar la energa necesaria para realizar diferentes tareas fsicas. Es til conocer lacantidad de trabajo realizado cuando una gua eleva una viga de acero, cuando se comprimeun muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camin transporta una carga por unacarretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el trmino trabajo se una para indicar la cantidadtotal de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En fsica tiene un significado tcnico queest en relacin con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como elhecho de empujar un objeto o tirar de l. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerzamueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definicin siguientede trabajo.

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Si un objeto se mueve una distancia den la direccin de una fuerza constante Faplicada sobrel, entonces el trabajo wrealizado por la fuerza se define como w F . d

Existen muchos tipos de fuerzas: centrfuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado dereposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelenutilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.


13/20

Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable aun objeto se necesita el clculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza varasegn el objeto cambia de posicin.

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta desde x a hasta x bdebido a una fuerza que vara continuamente F(x). Consideramos una particin que divide al

intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a x0x1x2x3......... xn1xnbdonde xiindica la amplitud o longitud del i-simo subintervalo, es decir xixi xi1. Paracada i escogemos cital que xi1ci xi. En cila fuerza est dada por F(c i). Dado que F escontinua y suponiendo que n es grande, xi es pequeo. Los valores de f no cambiandemasiado en el intervalo [xi1, xi] y podemos concluir que el trabajo realizado w ial mover el

objeto por el subintervalo i-simo (desde xi1hasta xi) es aproximadamente el valor F(ci). xi

Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total

realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por w .

Esta aproximacin mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el lmite de esta suma

cuando n resulta w

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la accin de una fuerza que varacontinuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve

desde x a hasta x b est dado por w .

PRESIN Y FUERZA EJERCIDAS POR UN FLUIDO

PRESIN DE UN FLUIDO

Los nadadores saben que cuanto ms profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es lapresin sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen ms gruesas en la baseque en la parte superior porque la presin ejercida contra ellas se incrementa con laprofundidad. Para calcular la presin de un fluido se emplea una ley fsica importante que seconoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos ycarentes de rigor matemtico pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de

Pascal establece que la presin ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma entodas direcciones. La presin en cualquier punto depende nicamente de la profundidad a laque se halla el punto. En un fluido en reposo, la presin pa una profundidad hes equivalente ala densidad wdel fluido por la profundidad,p w . h. Definimos la presin como la fuerza queacta por unidad de rea sobre la superficie de un cuerpo.

FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CONPROFUNDIDAD CONSTANTE


14/20

Dado que la presin de un fluido aparece en trminos de fuerza por unidad de rea,p , lafuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal sepuede calcular multiplicando el rea de la base por la presin sobre ella F p . A presin .rea . Teniendo en cuenta la frmula para calcular la presin resulta el valor de la fuerza F w .h . A

FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON

PROFUNDIDAD VARIABLE

Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplazadesde y a hasta y b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa

es F w . donde h(y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medidade izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.

tener. Sin embargo, la integral definida es un mtodo rpido para calcular reas, volmenes, longitudes,etc.,lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En fsica, su empleo es constante, alestudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el clculo integral

1. Clculo de reas planasTal cmo hemos visto antes, la integral definida es una generalizacin del proceso del clculo de reas.Ahora bien, el rea de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa

onula. Por tanto, en la aplicacin de la integral al clculo de reas, debe tenerse en cuenta el signo de cadaunode los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el rea.Ejemplo 1 :a) Hallar el rea de la regin limitada por la curvay x 2 , el eje OX y las rectasx 2 yx 4 .b) Hallar el rea de la regin limitada por la curvay x 3 3x 2 x 3 y el eje OX en el intervalo

1,3.c) Hallar el rea delimitada por la grfica dey cosx y el eje OX , en el intervalo 0,2 .Con escasas modificaciones podemos extender la aplicacin de la integral definida para cubrir no slo el

rea de la regin bajo una curva, sino el de una regin comprendida entre dos curvas. Por tanto,obtenemosel siguiente resultado :

Teorema (rea de una regin entre dos curvas): Sif yg son funciones continuas en a, b y severifica

queg(x) f (x) x a, b, entonces el rea de la regin limitada por las grficas de f yg , y las rectasverticalesx a yx b , es :

A f x g x dxa


15/20

b

( ) ( ) nObservaciones:a) Es importante darse cuenta de que la validez de la frmula del rea depende slo de que f ygsean continuas y de queg(x) f (x) .b) Las grficas def ygpueden estar situadas de cualquier manera respecto del ejeOX .c) Si, cmo suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) f (x) y otras veces quef (x) g(x) ,

entonces el rea de la regin comprendida entre f yg sobre el intervalo a, b, viene dado por lafrmula:A f x g x dxa

b

( ) ( ) ,I.T.Telecomunicaciones Curso 2000/2001

DPTO. MATEMTICA APLICADAJavier Martnez del Castillo Tema 5 Pg. 2 de 16En la prctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es ms fcil dibujar las grficas de f yg ,calculando los puntos de interseccin de ambas, y sumar una o ms integrales para obtener el readeseada.

Ejemplo 2:a) Hallar el rea de la regin limitada porf (x) x 2 yg(x) x .b) Hallar el rea de la regin limitada porf (x) x 2 yg(x) x 3 .c) Hallar el rea de la regin limitada porf (x) x 2 ,g(x) x 2, y el ejeOX .

d) Hallar el rea de la regin limitada porf (x) x 2 2 ,g(x) x en 0,1.e) Hallar el rea de la regin limitada porf (x) 3x3 x 2 10x yg(x) 2x x 2Observacin: Algunas veces es ms conveniente calcular el rea integrando respecto a la variable y envezde la variablex. ,Ejemplo 3: Hallar el rea de la regin limitada por la grfica dey 2 3x ey x 1.

2. Clculo de volmenesAl introducir la integracin, vimos que el rea es solamente una de las muchas aplicaciones de la integraldefinida. Otra aplicacin importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un slidotridimensional.Si una regin de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una regintridimensional llamada slido de revolucin generado por la regin plana alrededor de lo que se conocecomo eje de revolucin. Este tipo de slidos suele aparecer frecuentemente en ingeniera y en procesosdeproduccin. Son ejemplos de slidos de revolucin: ejes, embudos, pilares, botellas y mbolos.Existen distintas frmulas para el volumen de revolucin, segn se tome un eje de giro paralelo al eje OXo

al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolucin.2.1. Volmenes de revolucin: El Mtodo de los discosSi giramos una regin del plano alrededor de un eje obtenemos un slido de revolucin. El ms simple deellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectngulo alrededor de un ejeadyacente auno de los lados del rectngulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura es:Volumen del disco = R2Para ver cmo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un slido de revolucin general,

consideremos una funcin continuaf (x) definida en el intervalo a,b, cuya grfica determina con las


16/20

rectasx a ,x b,y 0, el recintoR. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un slidode revolucin.Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un procesosimilar alrealizado en la definicin de integral definida.I.T.Telecomunicaciones Curso 2000/2001

DPTO. MATEMTICA APLICADAJavier Martnez del Castillo Tema 5 Pg. 3 de 16

Elegimos una particin regular de a,b:a x x x x b n n 0 1__ 1Estas divisiones determinan en el slido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo.Teniendoen cuenta que el volumen de un disco es R2 , la suma de Riemann asociada a la particin, y que da unvolumen aproximado del slido es:f c x x i i ii

n

211

( ) ( )

siendo: c x x i i i ( , ) 1 x x i i1 , la altura (anchura) de los cilindros parcialesR f ci ( ) el radio de los cilindros parcialesSi el nmero de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez ms al volumen del slido; esdecir:V Limn

f c x x i i ii

n

211

( ) ( )

Por tanto, recordando la definicin de integral definida de Riemann se obtiene que:V f x dxa

b

2( )

Adems, si se toma el eje de revolucin verticalmente, se obtiene una frmula similar :V f y dyc

d

2( )Ejemplo 4:a) Hallar el volumen de la esfera de radio r.b) Hallar el volumen del elipsoide de revolucin engendrado por una elipse al girar alrededor del ejeOX .c) Hallar el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h.


17/20

d) Hallar el volumen engendrado por la revolucin entorno al eje OX del recinto limitado por lacurvay senx , entre 0 y .e) Hallar el volumen del slido generado al hacer girar la regin limitada por la grfica def (x) 3x x2 y el ejex (0 x 3) , entorno del ejex .f) Hallar el volumen del slido generado al hacer girar la regin limitada por la grfica def (x) 2 x 2 yg(x) 1, en torno a la rectay 1.

Ecuaciones diferenciales como modelos matemticos1.1. Modelo matemtico

Un modelo matemtico es la descripcin matemtica de un sistema o fenmeno de la vidareal.La formulacin de un modelo matemtico implica:Identi_car las variables causantes del cambio de un sistema.Establecer un conjunto de hiptesis razonables acerca del sistema (leyes empricas aplicables).Las hiptesis de un sistema implican con frecuencia la razn o tasa de cambio de una o msvariables que intervienen. El enunciado matemtico de esas hiptesis es una o ms ecuacionesdonde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.1.2. Proceso de modeladoEl proceso de modelado bsicamente sigue los siguientes pasos:1. Identi_cacin de variables estableciendo una notacin matemtica.2. Leyes empricas que se pueden aplicar.3. Planteamiento de las ecuaciones.

1.3. Ejemplos de formulacin de modelos1.3.1. FusinSe considera una esfera de hielo que se derrite a razn proporcional al rea de su super_cie.Hallar una expresin para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo.1. Variables:La incgnita del problema: volumen (es funcin del tiempo).Notacin matemtica:V : volumen, t: tiempo, V = V (t): el volumen depende del tiempo, es decir, esfuncin del tiempo.2. Leyes empricas que se pueden aplicar:En los datos: _La esfera se derrite a razn proporcional al rea de su super_cie_, esdecir, _el volumen de la esfera vara a razn proporcional al rea de su super_cie_.La variacin de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo: dVdt .Expresin de la ley en forma matemtica: dVdt= k 4r2,r es el radio de la esfera, r = r(t).23. Planteamiento de la ecuacin:Planteamos la ecuacin con la incgnita inicial V :V =43r3 !3V


18/20

41=3= r:Sustituyendo:dVdt= k43V42=3= k(4)1=332=3V 2=3:Ecuacin diferencial que proporciona el volumen en cualquier tiempo t.1.3.2. Reacciones qumicasEn cintica de las reacciones, en lo que se est interesado es en la evolucin de stas con eltranscurso del tiempo. Como las velocidades son derivadas con respecto al tiempo, no es deextraar que la cintica de las reacciones se modelen mediante ecuaciones diferenciales. Unejemplo de tales reacciones son las reacciones bimoleculares.Sea la reaccin bimolecular elementalA + B ! P;en la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar unaexpresin para las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo.1. Variables.

Las incgnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones deltiempo): [A]; [B], [P].2. Leyes empricas que se pueden aplicar:La velocidad de reaccin depende de las concentracin de los reactantes y quizs delproducto. La ley de la velocidad de reaccin es la formulacin de esa dependencia:velocidad = d[P]dt= d[A]dt= d[B]dt

Para las reacciones elementales existe un principio bsico, la ley de accin de masas: lavelocidad de una reaccin elemental es proporcional al producto de las concentracionesde los reactantes:velocidad = k[A][B]La ley de accin de masas est basada en la suposicin de que reacciones elementalesocurren cuando las molculas de los reactantes estn en contacto simultneamente. Portanto, a mayor concentracin, mayor velocidad.El coe_ciente k es la constante de la reaccin y se toma siempre positiva.Por ltimo la ley de conservacin: la suma de las concentraciones de los productos y decualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reaccin.[B] + [P] = B0 + P0[A] + [P] =A0 + P0;A0; B0; P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los componentes.33. Planteamiento de la ecuacin.Igualando velocidades:d[A]dt= k[A][B]d[B]dt= k[A][B]d[P]dt= k[A][B]:Por ltimo, aplicando la ley de conservacin, se pueden eliminar variables para obtener


19/20

la ecuacin de [A]:d[A]dt= k[A]([A] A0 + B0):De la misma forma se obtienen las ecuaciones que proporcionan las dems concentraciones:d[B]dt= k[B]([B] B0 +A0);d[C]dt

= k(A0 + C0 [C])(B0 + C0 [C]):1.4. Condiciones adicionalesEn el proceso de modelado, con bastante frecuencia, aparecen condiciones adicionales que sedeben aadir al problema que se plantea. En el caso de las reacciones del ejemplo anterior,las concentraciones iniciales de los elementos son datos del problema que se consideran en laformulacin de ste.1.4.1. Ejemplo: enfriamientos

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300oF. Tres minutos despus su temperaturaes de 200oF. Estamos interesados en saber la temperatura del pastel en cualquier momento,siendo la temperatura ambiente de 70oF.1. Variables. La temperatura T es funcin del tiempo t.2. Ley de Newton del enfriamiento: la rapidez con que la temperatura cambia es proporcionala la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que

lo rodea.3. La ecuacin: dTdt= k(T 70):4. Condiciones adicionales : T(0) = 300; T(3) = 200:1.5. Mtodos para resolver o analizar ecuaciones diferencialesUna vez que tenemos formulado el modelo matemtico, el problema est en resolverlo, queen la mayora de las ocasiones no es fcil. Los mtodos de estudio de modelos los podemosresumir en:Mtodo analtico: mtodo de bsqueda de soluciones a las ecuaciones diferenciales.

Anlisis cualitativo: se utiliza la ecuacin diferencial como fuente de informacin de laspropiedades de las posibles soluciones.

Anlisis numrico: aproximacin a los valores de la solucin.

4Ejercicios del captulo1. Sea la reaccin elemental unimolecularA ! P:Plantea el modelo matemtico que da la concentracin deA y de P en cualquier unidadde tiempo.2. Una reaccin bimolecular elemental. Una molcula de hidrgeno H2 reacciona con unade yodo I2 y forman cido de halgeno HI. La reaccin esH2 + I2 ! 2HI:Plantea las ecuaciones diferenciales que dan la concentracin de cada componente y ladel producto en cualquier unidad de tiempo.3. Radioactividad. El istopo de carbono C14 se transforma en nitrgeno ordinario N14emitiendo un electrn en el proceso. Plantea la ecuacin del modelo.

4. El hierro Fe y el oxgeno O2 molecular reaccionan cuando se calientan para formar xidode hierro negro Fe3O4:3Fe + 2O2 ! Fe3O4:Formula las ecuaciones correspondientes a las distintas concentraciones en cualquierunidad de tiempo.5. Un granizo esfrico se derrite a razn proporcional a su rea super_cial. Se supone quetena originalmente un radio de18 de pulgada y 40 minutos despus su radio meda124de pulgada.


20/20

a) Obtn una expresin para el radio del granizo en cualquier tiempo t.b) Obtn expresiones del rea super_cial y el volumen del granizo en cualquier tiempot.6. En el proceso de conservacin de alimentos, el azcar de caa experimenta una inversin convirtindose en una mezcla de dos azcares ms sencillos: glucosa y fructosa.En solucin diluida, la tasa de inversin es proporcional a la concentracin de azcarno alterado. Si la concentracin es de 1=50 al principio y de 1=200 despus de tres horas,plantea la el problema que proporciona la concentracin de azcar no alterado encualquier momento.7. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad determinada de bacterias. En una hora, elnmero de bacterias medido es (3=2) de la cantidad inicial. Si la rapidez de multiplicacines proporcional al nmero de bacterias presentes, plantea el modelo que proporciona eltiempo necesario para que el nmero de bacterias se triplique.8. Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el istopo plutonio239. Despus de 15 aos se determina que 0;043% de la cantidad inicialA0 de plutoniose ha desintegrado. Plantea el modelo que da la semivida de este istopo si la rapidezde desintegracin es proporcional a la cantidad restante.9. Un polica descubre el cuerpo de un profesor de ecuaciones diferenciales. Para resolver elcrimen es decisivo determinar cundo se cometi el homicidio. El forense llega al medioda y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 94.6 grados Fahrenheit.Espera una hora y observa que la temperatura del cuerpo ha disminuido a 93.4 gradosFharenheit. Asimismo, observa que la temperatura de la habitacin es constante a 70grados F. Suponiendo que la vctima estaba normal (al menos en cuanto a temperatura se

re_ere) hasta el momento de su fallecimiento, plantea la ecuacin y los datos adicionalesque nos de la hora a la que se cometi el crimen.5

75289078 aplicacion de la integral definida

Documents