7 simulación numérica - unammmc2.geofisica.unam.mx/mdiaz/tesis/mdv/cap_7.pdf · usando funciones...

Capítulo 7 Simulación Numérica

7 Simulación Numérica 7.1 Problemas elípticos en una dimensión Los experimentos numéricos para el caso de una dimensión consistieron en resolver el

problema de la ecuación elíptica general de segundo orden Ec. (7.1) , con condiciones de

frontera de tipo Dirichlet Ec. (7.2) impuestas por la solución analítica y condiciones de

salto Ec. (7.3) igual a cero, excepto en el ejemplo E1D-6.

Ecuación diferencial

[ ]min max( ) ; ,d du da bu cu f x xdx dx dx Ω

− + + = ∀ ∈

x (7.1)

donde – son funciones definidas en [( ), ( ), ( ) y ( )a x b x c x f xΩ ]min max,x x , pero no

necesariamente continuas.

Condiciones de Frontera min min max ma( ) ; y ( ) ;u x u u x u x= = (7.2)

Condiciones de Salto

[ ] 0 1= ; y ; en 1,..., 1i iii

duu j a j i Edx

= = − (7.3)

min 0x x= x3 x1 x2 x4 . . . maxEx x= Fig. 7.1: Partición del dominio [ ]min max,x x dividido en E elementos, donde

. 1; 1,...,i ih x x i E−= − =

77


Los coeficientes de la ecuación de cada uno de los ejemplos están dados en la Tabla 7.1 y

sus correspondientes soluciones analíticas en la Tabla 7.2. Todos los ejemplos se

resolvieron para una partición uniforme del intervalo [ ]min max,x x , como se muestra en la

Fig. 7.1, usando el método de colocación convencional con polinomios cúbicos de Hermite

y el método de colocación TH con polinomios cuadráticos y cúbicos. Donde el número de

elementos E se incrementó sucesivamente desde 10 hasta 200, con incremento 10.

En los gráficos de las figuras 7.2 hasta 7.9 , se realiza la comparación de la convergencia

de ambos métodos en términos del error medido con la norma

h

∞, la cuál se expresa

como sigue:

max ;i ii

e uη

∞∈

= = −ERROR u (7.4)

El orden del error con respecto a , es decir se obtuvo a partir de la estimación de

la pendiente de la regresión lineal en la gráfica de

r h ( )rO h

( )log− ERROR contra log h− . En

efecto, esto se puede verificar que si se considera al error como una función de h , del tipo

, entonces al aplicar el logaritmo en ambos miembros resulta: (. rconst hERROR )=

( )log log . logconst r h− = − −ERROR (7.5)

donde, se toman los valores de ( )g ERRORlo y l con signo opuesto para que sean

cantidades positivas.

og h

El dominio que se tomó en todos los casos fue el intervalo [ ]0,1 , menos en el ejemplo E1D-

3 que fue [ ]0.1,0.9 . Los métodos de inversión que se usaron en la implementación fueron: el de eliminación

Gaussiana [88] en el método de colocación convencional y para la construcción de las

funciones de peso del método de colocación TH, mientras que se usó el algoritmo de

Thomas [88] (eliminación gaussiana para matrices tridiagonales) para la inversión del

sistema global en el método de colocación TH.

La variedad de los ejemplos intenta mostrar la flexibilidad y robustez del método de

colocación TH.

78


Tabla 7.1: Definiciones de los coeficientes de los ejemplos elípticos en 1-D.

Ejemplo a b c fΩ E1D-1 1 qpx /2

+++

− 22

2

2)1(4 pqp

qpp

0

E1D-2 1 0 240π− 0 E1D-3 12 −x 0 )1( +nn 0 E1D-4 34 2 +x 13 −x )1(3 +xx xex 2)1( +−E1D-5 1− α− 0 0 E1D-6 1− 0 1− 0

E1D-7

1; 0 14; 1< 2

xx

− ≤ ≤

− ≤

0

1

0

Tabla 7.2: Soluciones analíticas de los ejemplos elípticos en 1-D.

Ejemplo Solución Exacta E1D-1 sin cos( ) ( )px x px+

donde π40=p ; )1(1 2xpq ++=E1D-2 ( )sin 40 xπ

E1D-3 8/)157063( 35 xxx +− E1D-4 xe

E1D-5 ; 20, 40, 60, 80, 100

1

xe ee

α α

α α−=

−

E1D-6 1

2

312 2

12

1 124

1 1 122 2

; 0

;

1 ; 1 1

x

x x

e x

e x

e ee e xe e

−−

≤ <

+ =

− + < − −

1≤

donde las condiciones de salto son:

( ) ( )0 1 10.5 0.5; 0.5 0.5 ;1

ej je

+ = = −

E1D-7

2 2

sin ; 0 1sin cos ; 1< 2x x

A x xC D x

≤ ≤+ ≤

donde A, C y D se definen como: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 12 2

1 12 2

12

sin 1 sin cos 0cos 1 2cos 2sin 0

0 sin cos 1

ABC

− −

1

− =

79


pendiente=4.00

0.80 1.20 1.60 2.00 2.40- Log h

-2

0

2

4

6

8

-Log

ER

RO

R

Ejemplo E1D-1:Colocación Convencional (cúbicas)Colocación TH (cúbicas)Colocación TH (cuadráticas)

pendiente=2.00

Fig. 7.2: Ejemplo E1D-1. Comparación de la convergencia del método de colocación TH

usando funciones de peso cuadráticas y cúbicas con respecto al método convencional de

colocación con funciones de peso cúbicas.

80


pendiente=4.00

0.80 1.20 1.60 2.00 2.40- Log h

-2

0

2

4

6

8

-Log

ER

RO

R


pendiente=2.00




81


pendiente=4.00

pendiente=4.00

0.80 1.20 1.60 2.00 2.40- Log h

2

4

6

8

10

-Log

ER

RO

R


pendiente=2.00




82


0.80 1.20 1.60 2.00 2.40- Log h

0

4

8

12

16

-Log

ER

RO

R


pendiente=4.00

pendiente=4.00

pendiente=2.00




83


pendiente=4.00

0.80 1.20 1.60 2.00 2.40- Log h

0

2

4

6

8

-Log

ER

RO

R

Ejemplo E1D-5: (Caso alfa=20)Colocación Convencional (cúbicas)Colocación TH (cúbicas)Colocación TH (cuadráticas)

pendiente=2.00

Fig. 7.6: Ejemplo E1D-5 (caso α=20). Comparación de la convergencia del método de

colocación TH usando funciones de peso cuadráticas y cúbicas con respecto al método

convencional de colocación con funciones de peso cúbicas.

84


pendiente=4.00

0.80 1.20 1.60 2.00 2.40- Log h

0

1

2

3

4

5

-Log

ER

RO

R

Ejemplo E1D-5: (Caso alfa=100)Colocación Convencional (cúbicas)Colocación TH (cúbicas)Colocación TH (cuadráticas)

pendiente=2.00

Fig. 7.7: Ejemplo E1D-5 (caso α=100). Comparación de la convergencia del método de

colocación TH usando funciones de peso cuadráticas y cúbicas con respecto al método

convencional de colocación con funciones de peso cúbicas.

85


0.8 1.2 1.6 2 2.4- Log h

2

4

6

8

10

12

14

- Log

ER

RO

R

Ejemplo E1D-6:Colocación TH (cúbicas)Colocación TH (cuadráticas)

pendiente=2.00

pendiente=4.00

Fig. 7.8: Ejemplo E1D-6. Convergencia del método de colocación TH usando funciones de

peso cuadráticas y cúbicas en presencia de saltos prescritos.

86


0.8 1.2 1.6 2 2- Log h

.4

2

4

6

8

10

12

14

- Log

ER

RO

R

Ejemplo E1D-7:Colocación TH (cúbicas)Colocación TH (cuadráticas)

pendiente=4.00

pendiente=2.00

Fig. 7.9: Ejemplo E1D-7. Convergencia del método de colocación TH usando funciones de

peso cuadráticas y cúbicas en presencia de coeficientes discontinuos.

87


7.2 Problemas elípticos en dos dimensiones

Los experimentos numéricos en dos dimensiones consistieron en resolver el problema de la

ecuación elíptica general de segundo orden Ec. (7.6), con condiciones de frontera de tipo

Dirichlet Ec. (7.7) impuestas por la solución analítica y condiciones de salto Ec.(7.8) igual

a cero, excepto en los ejemplos E2D-6 y E2D-7, donde las condiciones de salto están

especificadas en la Tabla 7.4.

Ecuación diferencial [ ] [ ]min max min max( ) ( ) ; en , ,u a u bu cu f x x y yΩ≡ −∇ ⋅ ⋅∇ +∇ ⋅ + = ×L (7.6)

donde 11 12

21 22

a aa

a a

=

; 1

2

bb

=

b y a a son funciones de 11 12 21 22 1 2, , , , , ,a a b b c ( , )x y definidas

en [ ] [ ]min max min,x x y× max, y pero no necesariamente continuas.

Condiciones de Frontera

min 1 max 2

min 3 max 4

( , ) ( ); ( , ) ( );( , ) ( ); ( , ) ( );

u x y u y u x y u yu x y u x u x y u x

∂ ∂

∂ ∂

= == =

(7.7)

Condiciones de Salto 0 1[ ] [ ] ; ; en u u j a u n a u n jΣ Σ Σ Σ = = ∇ = ∇ = i i i i Σ

y

(7.8) Los coeficientes de la ecuación de cada uno de los ejemplos están dados en la Tabla 7.3 y

sus correspondientes soluciones analíticas en la Tabla 7.4. Todos los ejemplos se

resolvieron para una partición uniforme ( xh h h≡ = ) del dominio rectangular, como se

muestra en la Fig. 7.10, usando el método de colocación TH con polinomios lineales y

cúbicos. Donde el número de elementos por se tomó igual en ambas direcciones

( ) y se incrementó sucesivamente desde 10 hasta 200, con incremento 10, para

el caso de polinomios lineales, mientras que se tomó de 5 hasta 50, con incremento 5, para

el caso con polinomios cúbicos.

xE E E= = y

En los gráficos de las figuras 7.11 hasta 7.17 , se realiza la comparación de la convergencia

del método de colocación TH en términos del error medido con la norma h∞

, el cuál

en dos dimensiones se expresa como sigue:

88


max ;ij ijij

e uη

∞∈

= = −ERROR u (7.9)

De manera análoga al caso unidimensional se obtuvo el orden del error con respecto a ,

es decir , a partir de la estimación de la pendiente de la regresión lineal en la gráfica

de contra

r h

( )rO h

g ERROR( )lo− log h− , para diferentes valores sucesivamente menores de . h

El dominio en todos los casos fue el cuadrado unitario [ ] [ ]0,1 0,1× , excepto en el ejemplo

E2D-2 que se tomó [ ] [ ]1, 2 1, 2× .

Los métodos de inversión que se usaron en la implementación del método de colocación

TH en dos dimensiones fueron: el de eliminación Gaussiana para las matrices locales

(construcción de las funciones de peso) y el de Gradiente Biconjugado [88] para las

matrices globales.

La variedad de los ejemplos intenta mostrar la flexibilidad y robustez del método de

colocación TH.

. . . 0x 1x 1−xExxEx

yh

xh

Σ

( )2u y∂

yEy

1−yEy

.

.

.

1y

0y

∂Ω( )4u x∂

( )1u y∂

( )3u x∂ Fig. 7.10: Partición del dominio [ ] [ ]min max min max, ,x x y y×

1; 1,...,y j jh y y j−

dividido en elemdonde y

xE E× y

x y1; 1,...,x i ih x x i E−= − = E= − = .

89

entos,


Tabla 7.3: Definiciones de los coeficientes de los ejemplos elípticos en 2-D.

Ejemplo a b c fΩ

E2D-1 11 22 1a a= =

12 21 0a a= =

1 2 0b b= = 1

2 2(1 ) xyx y e− −

E2D-2

11 22a a x= =

12 21 0a a= =y

1 2 0b b= =

0

0

E2D-3

211 1a x= +

222 1a y= +

12 21 0a a= =

1 2 0b b= =

0

( )2 26 y x−

E2D-4

211 1a x= +

222 1a y= +

12 21 0a a= =

1

2

2, 2

b yb x= −= −

2( )x y+

4 4( ) xyx y e− +

E2D-5 11 22 1a a D= = ≡

12 21 0a a= =

1 2 v 50b b= = ≡ 0

( ) 2 v exp (D x− + − + )y

E2D-6 11 22 1a a= =

12 21 0a a= =

1 2 1b b= = 0

0

E2D-7

11 22a a= = 1

2

12

1; 04; 1

yy

≤ ≤= < ≤

12 21 0a a= =

1 2 0b b= =

1

2 2

2 2

12

12

(1 ) ; 0(1 4 4 ) ; 1

xy

xy

x y e yx y e y

− − ≤ ≤

− − < ≤

Tabla 7.4: Soluciones analíticas de los ejemplos elípticos en 2-D.

Ejemplo Solución Exacta E2D-1 xye E2D-2 2 2x y− E2D-3 2 2x y− E2D-4 xye E2D-5 exp ( )x y− +

E2D-6

12

12

12

2; y<

; y=

2; y>

x y

x y

x y

e e

e e

e e

+ −

+

+ +

donde las condiciones de salto son: ( ) [ ]0 ,0.5 4; 0,1j x xΣ = ∈

E2D-7

xye donde las condiciones de salto son:

( ) [ ]1 / 2,0.5 3 ; 0,1xj x xe xΣ = ∈

90


0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4- Log h

2

4

6

8

10

- Log

ER

RO

R

Ejemplo E2D-1: Colocación TH (lineales)Colocación TH (cúbicas)

pendiente= 1.98

pendiente=3.90

Fig. 7.11: Ejemplo E2D-1: Convergencia del método de colocación TH usando funciones

de peso lineales y cúbicas.

91


0.4 0.8 1.2 1.6 2- Log h

2.4

2

4

6

8

10

-Log

ER

RO

R

Ejemplo E2D-2:Colocación TH (lineales)Colocación TH (cúbicas)

pendiente=1.97

pendiente=3.80



92


0.4 0.8 1.2 1.6 2- Log h

2.4

2

4

6

8

10

-Log

ER

RO

R

Ejemplo E2D-3: Colocación TH (lineales)Colocación TH (cúbicas)

pendiente=1.98

pendiente=3.83



93


0.4 0.8 1.2 1.6 2- Log h

2.4

2

4

6

8

10

-Log

ER

RO

R


pendiente=1.98

pendiente=3.90



94


0.4 0.8 1.2 1.6 2- Log h

2

3

4

5

6

- Log

ER

RO

R


pendiente=1.90

pendiente=3.90



95


0.4 0.8 1.2 1.6- Log h

2

0

2

4

6

8

10

- Log

ER

RO

R

Ejemplo E2D-6Colocación TH (lineales)Colocación TH (cúbicas)

pendiente=1.96

pendiente=3.98


de peso lineales y cúbicas en presencia de saltos prescritos.

96


0.4 0.8 1.2 1.6- Log h

2

2

4

6

8

10

- Log

ER

RO

R

Ejemplo E2D-7Colocación TH (lineales)Colocación TH (cúbicas)

pendiente=1.95

pendiente=3.90


de peso lineales y cúbicas en presencia de coeficientes discontinuos.

97


7.3 Problemas parabólicos en una dimensión Los experimentos numéricos para el caso de una dimensión consistieron en resolver el

problema de la ecuación parabólica Ec.(7.10) definida en el intervalo [ ]min max,x x usando

una partición uniforme, como se muestra en la Fig. 7.1. Las condiciones iniciales están

dadas por la Ec.(7.11) y las condiciones de frontera de tipo Dirichlet Ec.(7.12) son

impuestas por la soluciones analíticas dadas en la Tabla 7.6. En todos los casos se

consideraron coeficientes continuos (ver Tabla 7.5) y condiciones de salto nulas Ec. (7.13).


[ ]min max 0( ) ; , ,u ua bu cu f x x x tt x x x Ω

∂ ∂ ∂ ∂ − + + = ∈ ∂ ∂ ∂ ∂ t> (7.10)

a(x,t), b(x,t), c(x,t) - coeficientes de la ecuación parabólica

Condiciones Iniciales ( ) [ ]0 0 min max( , ) ; , , u x t u x x x x t t0= ∈ = (7.11)

Condiciones de Frontera ( ) ( )min min max max 0( , ) ; y ( , ) ; para u x t u t u x t u t t t= = > (7.12) Condiciones de Salto

[ ] =0; y 0; en 1,..., 1i

i

duu a idx

E= = − (7.13)

Tabla 7.5: Definiciones de los coeficientes de los ejemplos parabólicos en 1-D.

Ejemplo a b c fΩ P1D-1 1 0 0 ( ) ( )21 sinte xπ π+

P1D-2 21 x+ 0 2(3 1)x+ 39 x te −− P1D-3 D v 0 0

98


Tabla 7.6: Soluciones analíticas de los ejemplos parabólicos en 1-D.

Ejemplo Solución Exacta P1D-1 ( )sinte xπ P1D-2 3x te − P1D-3 1 v v( , ) erfc exp erfc

2 D2 D 2 Dvx t x xu x t

t tt − + = +

0.8 1.2 1.6 2 2.4- Log h

4

6

8

10

- Log

ER

RO

R

Ejemplo P1D-1:(t=0.001)Colocación TH (cúbicas) Colocación TH (cuadráticas)

pendiente=3.95

pendiente=2.05

Fig. 7.18: Ejemplo P1D-1: Convergencia del método de colocación TH en t 0.001=

usando un esquema completamente implícito en el tiempo.

99


0.8 1.2 1.6 2 2- Log h

.4

0

2

4

6

- Log

ER

RO

R

Ejemplo P1D-2: (t=0.001)Colocación TH (cúbicas)Colocación TH (cuadráticas)

pendiente=1.90

pendiente=3.92



100


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u(x,

t)Ejemplo P1D-3: (t=0.1, Cr=10, Pe=1)

Solución ExactaCompl. ImplícitoCompl. Implícito (Modificado)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u(x,

t)

Ejemplo P1D-3: (t=0.1, Cr=0.5, Pe=5)Solución ExactaComp. ImplícitoComp. Implicito (modificado)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.4

0.8

1.2

u(x,

t)

Ejemplo P1D-3: (t=0.4, Cr=10, Pe=1)Solución ExactaCompl. Implícito Compl. Implícito (Modificado)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.4

0.8

1.2

u(x,

t)

Ejemplo P1D-3: (t=0.4, Cr=0.5, Pe=5)Solución ExactaCompl. ImplícitoCompl. Implícito (Modificado)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.4

0.8

1.2

u(x,

t)

Ejemplo P1D-3: (t=1.0, Cr=10, Pe=1)Solución ExactaCompl. ImplícitoCompl. Implícito (Modificado)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

u(x,

t)

Ejemplo P1D-3: (t=1.0, Cr=0.5, Pe=5)ExactaComp. ImplícitoComp. Implícito (Modificado)

Fig. 7.20: Ejemplo P1D-3: Comparación del método de Colocación TH (cúbicas) usando un esquema completamente implícito en el tiempo para diferentes números de Courant (Cr) y Peclet (Pe).

101


7.4 Problemas parabólicos en dos dimensiones

Los experimentos numéricos en dos dimensiones consistieron en resolver el problema de la

ecuación parabólica Ec.(7.14), con condiciones iniciales Ec.(7.15) y condiciones de

frontera de tipo Dirichlet Ec.(7.16) impuestas por la solución analítica. Las condiciones de

salto Ec.(7.17) se tomarán igual a cero en todos los casos.


( ) ( ) [ ] [ ]min max min max( ) ; , , , , 0u a u bu cu f x y x x y y tt

∂∂ Ω−∇ ⋅ ⋅∇ +∇ ⋅ + = ∀ ∈ × > (7.14)

donde aa x y t a x y ta x y t a x y t

=

11 12

21 22

( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )

es un tensor simétrico, positivo definido, acotado y

suave a tramos en todo el dominio[ ] [ ]min max min max, ,x x y y× , (Fig. 6.3), bb x yb x y

=

1

2

( , )( , )

y

los coeficientes - son funciones continuas en todo el dominio. a x y b x yij i( , ), ( , ),c x y( , )

Condiciones Iniciales ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]0 0 min max min max, , , ; , , ,u x y t u x y x y x x y y= ∀ ∈ × (7.15) Condiciones de Frontera

min 1 max 2

min 3 max 4

( , , ) ( , ); ( , , ) ( , );( , , ) ( , ); ( , , ) ( , );

u x y t u y t u x y t u y tu x y t u x t u x y t u x t

∂ ∂

∂ ∂

= == =

t>0 (7.16)

Condiciones de Salto [ ] [ ] 0; 0; en u u a u n a u nΣ Σ = = ∇ = ∇ = i i i i Σ (7.17) Los coeficientes de la ecuación de cada uno de los ejemplos están dados a continuación en

la Tabla 7.7 y sus correspondientes soluciones analíticas en la Tabla 7.8.

102


Tabla 7.7: Definiciones de los coeficientes de los ejemplos parabólicos en 2-D.

Ejemplo a b c fΩ

P2D-1 2

11 22 1a a π= =

12 21 0a a= =

1 2 0b b= =

0

0

P2D-2 211 1a x= +

222 1a y= +

12 21 0a a= =

1 2 0b b= =

( )2 21 2 2x yπ− + +

( ) ( )( ) ( )

cos sin

sin cos

2 t x x y

y x y

e π π

π π

π −

+

−

P2D-3 11 22a a= =

12 21 0a a= =D

1 2 vb b= =

( )21 2Dπ+− ( ) vsinte xπ π + y

Tabla 7.8: Soluciones analíticas de los ejemplos parabólicos en 2-D.

Ejemplo Solución Exacta P2D-1 ( ) ( )( )sin sinte xπ π− + y P2D-2 ( ) (sin sinte x )yπ π− P2D-3 ( ) (sin sinte x )yπ π

103


0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4- Log h

1

2

3

4

5

6

- Log

ER

RO

R

Ejemplo P2D-1: (t=0.001)Colocación TH (lineales)Colocación TH (cúbicas)

pendiente=1.97

pendiente=3.85



104


0.6 0.8 1 1.2 1.4-Log h

1

2

3

4

5

6

- Log

ER

RO

R

Ejemplo P2D-2: (t=0.001)Colocación TH (Cúbicas)Colocación TH (lineales)

pendiente=2.00

pendiente=3.88

0.001

Fig. 7.22: Ejemplo P2D-2: Convergencia del método de colocación TH en t =


105


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Ejemplo P2D-3: Solución Exacta (t=0.5, Pe=10, Cr=10)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Ejemplo P2D-3: Compl. Implícito (t=0.5, Pe=10, Cr=10)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Fig. 7.23: Ejemplo P2D-3: Comparación de Colocación TH (cúbicas) usando un esquema

completamente implícito en el tiempo para diferentes números de Courant (Cr) y Peclet (Pe).

106

7 simulación numérica - unammmc2.geofisica.unam.mx/mdiaz/tesis/mdv/cap_7.pdf · usando funciones...

Documents