7. integración por fracciones parciales

$: 7. Integración por fracciones parciales$
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

6

17

6

8493

3

4

2

322 −−

−=−−

++−=−

++ xx

x

xx

xx

xx

Hay ocasiones donde es necesario invertir el proceso. Para ver cómo funciona en general el método de fracciones parciales, trabajaremos sobre una función racional.

)(

)()(

xQ

xpxf = Donde )()( xQxp ∧ son polinomios

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencilla, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia.

CASO 1 Todos los factores de Q(x) son lineales y ninguno se repite. En este caso se escribe

nn

n

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xp

+++

++

+= L

22

2

11

1

)(

)(

Donde nAAA ,,, 21 K son constantes a determinar

Ejemplo 1: Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

6

172 −−

−xx

x

1. Factorizar el denominador

( )( )3262 −+=−− xxxx

2. Colocar cada factor obtenido de la siguiente forma

32)3)(2(

17

6

172 −

++

=−+

−=−−

−x

B

x

A

xx

x

xx

x

Esta ecuación es válida para todo valor de x excepto 32 =∧−= xx 3. Obtener el mínimo común denominador (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.

( ) ( )2317 ++−=− xBxAx Ecuación ( )1 Esta ecuación es válida para todos los valores de x 4. Sustituir los valores de x encontrados anteriormente 32 =∧−= xx en la ecuación ( )1 . Con x = -2

( ) ( )2317 ++−=− xBxAx ( ) ( ) ( )

( )

A

A

BA

BA

=−=−

+−=−−+−+−−=−−

3

515

)0(5114

2232127


Con x = 3 ( ) ( )2317 ++−=− xBxAx

( ) ( ) ( )4520

2333137

=⇒=++−=−

BB

BA

Respuesta: 3

4

2

3

6

172 −

++

=−−

−xxxx

x

Ejemplo 2. xxx

xx

32

913423

2

−+−+

1. Factorizar el denominador

( ) ( )( )133232 223 −+=−+=−+ xxxxxxxxx

2. Colocar cada factor obtenido de la siguiente forma

1332

913423

2

−+

++=

−+−+

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

Esta ecuación es válida para todo valor de x excepto 13,0 =∧−== xxx 3. Obtener el mínimo común denominador (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Ecuación ( )1 Esta ecuación es válida para todos los valores de x 4. Sustituir los valores de x encontrados anteriormente 13,0 =∧−== xxx en la ecuación ( )1 . Con x = 0

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0339

3001001030901304 2

AA

CBA

⇒−=−++−+−+=−+

Con x = -3

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11212

3331331333931334 2

−=⇒=−+−−+−−−+−−+−=−−+−

BB

CBA

Con x = 1

( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

C

C

CBA

==

++−+−+=−+

2

48

3111111131911314 2

Respuesta: 1

2

3

13

32

913423

2

−+

+−=

−+−+

xxxxxx

xx

Este método se aplica únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos.


CASO 2 Todos los factores de Q(x) son lineales y algunos se repiten. Se tiene nbax )( + como factor Q(x), entonces se dice que bax + es un factor n-múltiple de Q(x), y a este factor le corresponderá la suma de n fracciones parciales. En este caso se escribe

nnn

n

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xp

)()()(

)(2

22

2

11

1

+++

++

+= L

Ejemplo. Determinar la descomposición en fracciones parciales de: ( )2

2

3

3610

−−+

xx

xx

Como el denominador ya esta factorizado, entonces se coloca primero el término lineal x, luego el término repetido elevado a la 1 y por último el término repetido elevado al cuadrado, así:

( ) ( )22

2

333

3610

−+

−+=

−−+

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Operar el (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.

( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 333610 22 Operar los paréntesis

( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610 222 Desarrollar el producto notable

CxBxBxAAxAxxx +−++−=−+ 3963610 222 Armar el sistema de ecuaciones

A

CBA

BA

936

3610

1

=−+−−=

+=

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. De la última ecuación podemos obtener el valor de A

369 −=A 4−=A Al sustituir este valor en la primera ecuación obtenemos el valor de B

14 =+− B 5=B Sustituyendo los valores de A y B en la segunda ecuación obtenemos el valor de C

1

101524

1036

==+−

=+−−

C

C

CBA

Respuesta ( ) ( )22

2

3

1

3

54

3

3610

−+

−+−=

−−+

xxxxx

xx

CASO 3 Todos los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno se repite. Al factor cuadrático

cbxax ++2 del denominador le corresponde la fracción parcial de la forma:

Multiplicar las letras con los paréntesis


cbxax

BAx

+++

2

Ejemplo. Determinar la descomposición en fracciones parciales de: 2

523

2

−+−−

xx

xx

Se realiza división sintética en el denominador. El segundo término es irreductible y no se repite. Por eso es caso 3.

221)22)(1(

522

2

++++

−=

++−−−

xx

CBx

x

A

xxx

xx


( )1)()22(5 22 −++++=−− xCBxxxAxx Operar los paréntesis

CCxBxBxAAxAxxx −+−+++=−− 222 225 Armar el sistema de ecuaciones

CA

CBA

BA

−=−+−=−

+=

25

21

1

Se obtienen los valores de las constantes

1−=A 2=B 3=C

Respuesta 22

32

1

1

)22)(1(

522

2

++++

−−=

++−−−

xx

x

xxxx

xx

CASO 4 Todos los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos se repiten. Si cbxax ++2 es un factor

cuadrático de multiplicidad n de Q(x) entonces el factor ncbxax )( 2 ++ le corresponde la suma de las siguientes n fracciones parciales:

nnn

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

)()( 22222

211

+++++

++++

+++

L

Ejemplo. Determinar la descomposición en fracciones parciales de: 22

234

)23(

4114123

−−++−−

xxx

xxxx

Como el denominador ya está factorizado, entonces se escribe

22222

234

)23(23)23(

4114123

−−++

−−++=

−−++−−

xx

EDx

xx

CBx

x

A

xxx

xxxx


))(()22)()(()22(4114123 222234 xEDxxxxCBxxxAxxxx ++++++++=++−− Al operar los paréntesis y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los valores de las constantes


1=A 2=B 0=C 3=D 1−=E

Respuesta 22222

234

)23(

13

23

21

)23(

4114123

−−−+

−−+=

−−++−−

xx

x

xx

x

xxxx

xxxx

Resolver los siguientes ejercicios

Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta

1. ( )( )∫ +−−

dxxx

x

32

18

cxx +++− 3ln52ln3 2. ( )( )14

29

+−−

xx

x

cxx +++−− 1ln64ln5

3 ∫ −−

dxxx

x

4

1252

cxx +−+ 4ln2ln3

4. ∫ −−

dxx

x

4

252

cxx +−++ 2ln22ln3

5. 124

342 −−

+xx

x

cxx ++−− 2ln46ln5 6. ∫ −−

++dx

xxx

xx

103

201923

2

2ln5ln4ln2 +−−+− xxx

7. ∫ −−−−

dxxxx

xx

54

155423

2

cxxx ++−−+ 1ln5ln2ln3

8. ∫ −−−

dxxx

xx3

2

4

126 12ln

4

112ln

4

3ln −−++ xxx

9. ∫ −−++

dxxxx

xx

183

1813223

2

3ln9

16ln

9

28ln +−−+− xxx 10.∫ +−−

−−dx

xxx

xx

652

115423

2

2ln33ln1ln2 ++−−− xxx

11 ( )∫ +−

dxxx

x

2

452

2

cxx

x ++++ 2ln42

ln 12 ( )∫ −

+dx

x

x21

32 c

xx +

−−−

1

51ln2

13. ∫ +−

dxxx

x23

3 cx

xx ++−+ 1ln4

3ln4 14∫ −

−+dx

xx

xx23

2

53

255019 cx

xx +−+−− 53ln

3

405ln7

15. ∫ ++−

dxxx

x

2510

102

cx

x ++

−+−5

155ln 16. ∫ −+

−dw

ww

w

472

1142

cww +++−− 4ln312ln

17. ∫ −+−

dxxx

xx23

2 13 cx

x+−+ 1ln3

1 18. ∫ ++

dxxx

x

862

cxx ++−+ 2ln4ln2

19. ∫ +−−+

dxxxx

x

1

5323

1ln2

1

1

41ln

2

1 ++−

−−− xx

x 20. ∫ ++dx

xx

x

652

cxx ++++− 3ln32ln2

21. ∫ ++dx

xx

x

1072 cxx ++++− 5ln

3

52ln

3

2 22. ∫ −+

−+dx

xxx

xx

232

1223

2

2ln10

112ln

10

1ln2 +−−+ xxx

23 dxxxx

xx∫ −+−

−+)6)(12(

232262

2

2ln33ln12ln −++−− xxx

24. ∫ −−−

dxxx

x

6

132

cxx +−++ 3ln5

82ln

5

7

25∫ −−+

dxxxx

x

32

3523

3ln3

21ln

2

1ln −++−− xxx 26∫ −+

−dx

xx

x

43

112

cxx +−−+ 1ln24ln3

27∫ −+−

dxxx

x

103

1332

cxx +−−+ 2ln5ln4

28∫ −+−

dxxx

x

23

3172

cxx +++− 1ln423ln3

5

29 ∫ −++

dxxx

x

592

2122

cxx ++−− 5ln12ln2

30. dxxxx

x∫ −−−

+593

1123

2

cx

x ++

+−1

25ln

31 dxxx

x∫ −+

−134

732

cxx +++−− 1ln214ln4

5 32. ∫ −

dxx

x2)3(

cx

x +−

−−3

33ln


33. ∫ +dx

xx 3

22

cxx ++− 3ln3

2ln

3

2 34∫ −

dxx 1

32

cxx +−++− 1ln2

31ln

2

3

35. ∫ +dx

xx

x23 62

5 cxx ++− 3ln

6

5ln

6

5 36. ∫ −

+dx

x

x2)3(

1 c

xx +

−−−

3

43ln

37. ∫ +++

dxxx

x

44

752

cx

x ++

++2

32ln5 38 ∫ +++

+dx

xxx

x

133

2323

cxx

++

++

−2)1(2

1

1

3

39. dxxxx

xx∫ ++

++23

2

2

6205 c

xxx +

+−+−

1

91lnln6 40. ∫ −

dxxx 249

1 cxx

x+−++− 13ln

2

313ln

2

31

41. ∫ +dx

xx 249

1 cx

x+−− − 3tan3

1 1 42. dxx

x∫ +

+4

122

2

cx

x ++ −

2tan4 1

43. ∫ +−−−

dxxx

xx

)9)(12(

36322

2

cxx ++−−− 9ln2

312ln2 2 44. dx

x

xx∫ +

−22

3

)1(

4 c

xx +

+++

)1(2

51ln

2

12

2

45. dxxxx

xx∫ −+−

+123

2

cxx ++− −1tan1ln

46 dxxxx

xx∫ +++

++464

23223

2

cxx ++−+ − )1(tan2ln2 1

47. ∫ ++

dxxx

x

4

543

2

cxx +++ 4ln2ln 2

48. ( )∫+

+dx

x

xx22

3

2

138 c

xx +

+++

)2(2

32ln4

22

49. ∫ +++++

dxxx

xxx

)2)(1(

1222

23

cx

x +

++ −

2tan

2

21ln

2

1 12 50. ∫ −−−−

dxxx

xx

42

23

2

cxx +++ 22ln2

1 2

51. ∫ +−+

dxxx

xx

4

823

2

cx

xx +

+++− −

2tan

2

14ln2ln2 12

52. ∫ −dx

x 16

14

cx

xx +

−+−− −

2tan

16

12ln

32

12ln

32

1 1

53. ∫ ++

dxxx

x

4

43

cx

xx +

++− −

2tan

2

14ln

2

1ln 12

54. ∫ −dx

x 116

14

cxxx +−+−− − 2tan4

112ln

8

112ln

8

1 1

55. dxxxx

x∫ +++ 22 23

cxxx +++++− −12 tan5

11ln

5

12ln

5

2

56. dxxxx

xx∫ +++

++1

3323

2

cxxx +++++ −12 tan2

51ln

4

11ln

2

1

57. ∫ +−−−

dxxxx

xx

)4)((

84222

3

cx

xxx +

+++−− −

2tan24ln1ln2ln2 12

58. ∫ +−dx

xx )9)(1(

102

cx

xx +

−+−− −

3tan

3

19ln

2

11ln 12

59. ∫ ++−

dxxx

xx

3

63

2

cx

xx +

−+− −

3tan

3

33ln

2

1ln2 12

60. dxxx

xx∫ −+

−−2

523

2

( ) cxxxx ++++++−− − 1tan22ln1ln 12

7. integración por fracciones parciales

Documents