6/5/2014 19:44estatÍstica aplicada i - teoria das probabilidades estatística aplicada i prof. dr....

11/04/23 12:12 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística AplicadaEstatística Aplicada I I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica


Capítulo IICapítulo II

Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia

Teoria das ProbabilidadesTeoria das Probabilidades

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica


Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário


Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes



Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.1 Introdução

A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de determinar possíveis correlações e nexos causais.

A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a freqüência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto experimentais.

Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.


2.1 Introdução

Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique, se determinístico ou probabilístico.

Modelo determinístico:

• Adotado para explicar fenômenos submissos às leis sistemáticas.

• Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em forma unívoca e imutável.


2.1 Introdução

Modelo probabilístico:

• Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que são aqueles cujos resultados, mesmo em condições normais de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro.

• Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo acaso.


2.1 Introdução

A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo matemático será o cálculo das probabilidades.

Diante de um acontecimento aleatório é possível, às vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de probabilidade.


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.2 Aleatoriedade

Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado considerando-se as seguintes afirmações:

a- Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6;b- A próxima carta retirada de um baralho será um ás.

• A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa).

• Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado que o fato é possível, mas que é possível, também, a saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.


2.2 Aleatoriedade

No segundo caso somente a realização do experimento permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira; trata-se de um acontecimento aleatório

Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem elementos de juízo suficientes para predizer qual deles ocorrerá em um determinado experimento.


Introdução

Aleatoriedade


Espaços amostral

Evento


Probabilidade



2.3 Experimento Aleatório

Características:

Para que um experimento seja considerado aleatório é necessário que apresente as seguintes características:

1. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;

2. Não se conhece, a priori, um particular valor do experimento; entretanto, pode-se descrever todos os possíveis resultados (as possibilidades);



Características:

3. Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade na apresentação dos resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da fração freqüência relativa:

n

rf

onde: n é o número de repetições, e r é o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento.



Exemplos:

• Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior.

• Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o número de coroas obtidas.

• Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina “A”.


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.4 Espaço Amostral

Definição:

• Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral S como o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).

- Exemplos:

a) E: jogar um dado e observar o número na face superior. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) E: lançar duas moedas e observar o resultado. S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.



- Exemplos:

c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte, acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até fundir o filamento:

S = {t : t ≥ 0}

d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um período de 24 horas em uma determinada localidade; as temperaturas mínima e máxima são registradas: S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a máxima



- Exemplos:

e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura máxima não poderá ser superior a um certo valor (M). S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M}


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.5 Evento

Definição:

• É um conjunto de resultados do experimento.

• Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S.

Observação: - Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,

, são eventos.- S é dito o evento certo e o evento impossível.


2.5 Evento

- Exemplo 1:

E: lançar o dado e observar o número da face superior.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6}B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5}C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.


2.5 Evento

- Exemplo 2:

E: jogar três moedas e observar o resultado.S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),

(k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}

Eventos: A: ocorrer pelo menos duas caras:

A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)} B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.


2.5 Evento

• Observações:

- Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode- se verificar que o número total de eventos extraídos de S é dado por 2n;

- No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de eventos é 26 = 64.


2.5 Evento

• Observações:

- A partir do uso das operações com conjuntos, novos eventos podem ser formados:

a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou

ambos ocorrem;

b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente;

c) é o evento que ocorre se A não ocorre.

BA

BA

A


2.5 Evento

- Exemplo:

E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6}

= {2, 3, 4, 6}

= {6}

= {1, 3, 5}

= {1, 2, 3, 4, 5}

BA

BA

A

BA


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.6 Eventos Mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, BA

• Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = ocorre número par – A = {2, 4, 6} B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5} ; logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um número que seja par e ímpar não pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.

BA


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.7 Probabilidade

Definição:

- Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas:

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(ii) P(S) = 1;

(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos

, então )B(P)A(P)BA(P BA






Teorema do produto


Teorema de Bayes



2.8 Teoremas Fundamentais

• T1: Se é o conjunto vazio, então .

• Demonstração:

- Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois

;

- De (iii), temos que ;

- Como , então ou

- Logo .

A

)(P)A(P)A(P

AA )(P)A(P)A(P

0)(P

0)(P

)A(P)A(P)(P



• T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever .

- Como (são mutuamente exclusivos), ,

; - De (ii) 1 = P(A) + P(Ā),

- Logo P(Ā) = 1 – P(A).

AAS

)A(P)A(P)AA(P

)A(P)A(P)S(P A Ā

S

AA



• T3: Se , então P(A) ≤ P(B).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever que .

- Como (são mutuamente exclusivos), ,

e

P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que P(A) ≤ P(B).

)BA(AB

)BA(P)A(P)B(P )A(P)B(P)BA(P

SA

B

)BA(A

BA


• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer, então .

• Demonstração: a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no axioma (iii);


)BA(

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

AB

BA

S


• Demonstração:

b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se:

- Os eventos A e são mutuamente exclusivos; logo, pelo axioma (iii)

- Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos e ;

- Logo,


)BA(

)BA(

)BA(P)A(P)BA(P)]BA(A[P

)AB( )AB(

).BA(P)BA(P)B(P A

BBA

S


• Demonstração:

- Substituindo o valor de na expressão anterior, tem-se:

- Analogamente, para três eventos tem-se:


)BA(P)B(P)A(P)BA(P

)BA(P)B(P)BA(P

)CBA(P

)CB(P)CA(P)BA(P

)C(P)B(P)A(P)CBA(P


Teoremas Fundamentais




Teorema do produto


Teorema de Bayes



• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.

• Considere-se o evento formado por um resultado simples A = {ai}.

• A cada evento simples {ai} associa-se um número pi denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições: a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., nb) p1 + p2 + ...+ pn = 1

• A probabilidade de cada evento composto (mais de um elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos pontos de A.

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos


• Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar?

• Solução:P(C) = p ; P(B) = 2.P(C) = 2p ; P(A) = 2.P(B) = 4pComo P(A) + P(B) + P(C) = 1, então4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7.

Logo: P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.



• Solução (continuação):

- Qual a probabilidade de B ou C ganhar?

Do axioma (iii):

= 2/7 + 1/7 = 3/7.)C(P)B(P)CB(P







Teorema do produto


Teorema de Bayes



• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade.

• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será igual a 1/n.

• Se um evento A contém r pontos, então:

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

n

1.r)A(P


• Freqüentemente, este método de avaliar a probabilidade é enunciado da seguinte forma:

)casosdetotalºn(NTC

)favoráveiscasosdeºn(NCF)A(P

ou

ocorreSamostralespaçooqueemvezesdeºn

ocorrerpodeAeventooqueemvezesdeºn)A(P



• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta de copas?

• Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas}

4

1

52

13

cartasdetotalºn

copasdecartasdeºn)B(P

13

1

52

4

cartasdetotalºn

reisdeºn)A(P



• Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número de casos favoráveis e o número total de casos.

• Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade:a) de ambas serem defeituosas;b) de ambas não serem defeituosas;c) de pelo menos uma ser defeituosa.



• Soluções:

a) A = {ambas são defeituosas}

11

1

66

6

NTC

NCF)A(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes6!2.1.2

!2.3.4

)!24(!2

!4CocorrerpodeA

2,12

2,4



• Soluções:

b) B = {ambas não são defeituosas}

33

14

66

28

NTC

NCF)B(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes28!6.1.2

!6.7.8

)!28(!2

!8CocorrerpodeB

2,12

2,8



• Soluções:

c) C = {pelo menos uma é defeituosa}

33

19

33

141)B(P1)C(P

BCouBdeocomplementoéC







Teorema do produto


Teorema de Bayes



• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. EntãoP(A) = 1/6.

• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5}, então P(B) = 1/2.

• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será P(A/B) = 1/3.

2.11 Probabilidade Condicional


• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a probabilidade do novo evento é avaliada.

• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:

.ocorreujápois,0)B(P,)B(P

)BA(P)B/A(P



• Para o exemplo apresentado, tem-se:

3

1

21

61

)B(P

)BA(P)B/A(P

• No caso de aplicações mais complexas, é mais prático se utilizar a seguinte fórmula:

)B(NCF

)BA(NCF

NTC)B(NCF

NTC)BA(NCF

)B(P

)BA(P)B/A(P



• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados, considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).

• Soluções:S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)}

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)} (6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(6,4)}



• Soluções:

.3

1

)A(NCF

)BA(NCF)A/B(P

;15

1

)B(NCF

)BA(NCF)B/A(P

;12

5

36

15

NTC

)B(NCF)B(P

;12

1

36

3

NTC

)A(NCF)A(P







Teorema do produto


Teorema de Bayes



• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da definição de probabilidade condicional, como:

“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro em relação ao primeiro”.

• Assim:

2.12 Teorema do Produto

)A/B(P).A(P)BA(P)A(P

)BA(P)A/B(P

)B/A(P).B(P)BA(P)B(P

)BA(P)B/A(P


• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas?

• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa} B = {a segunda peça retirada é boa}

33

14

11

7

12

8)B/A(P).B(P)BA(P

2.12 Teorema do Produto






Teorema do produto


Teorema de Bayes



• Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade de A condicionada a B, ou

2.13 Independência Estatística

)B/A(P)A(P

)A/B(P)B(P

Se A é independente de B, então B é independente de A; logo:

- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são independentes, então:

)B(P).A(P)BA(P


- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é:

)A(P).A(P...).A(P).A(P).A(P)A...AA(P

)A(P).A(P).A(P)AAA(P

...;);A(P).A(P).A(P)AAA(P

)A(P).A(P)AA(P...;);A(P).A(P)AA(P

n1n321n21

n1n2nn1n2n

321321

n1nn1n2121



• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem defeitos?

• Solução: A = {a primeira peça não possui defeito} B = {a segunda peça não possui defeito}

- Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por A, ou seja, A e B são independentes; logo:

9

4

12

8

12

8)B(P).A(P)BA(P



• Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de S, verificar se estes eventos são independentes.

• Solução: S = {1, 2, 3, 4}; A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};

}1{CBA

};1{CB};1{CA};1{BA




4

1)C(P).A(P)CA(P

:olog;4

1)CA(P;

2

1

4

2)C(P;

2

1)A(P:CeAPara

4

1)B(P).A(P)BA(P

:olog;4

1)BA(P;

2

1

4

2)B(P;

2

1

4

2)A(P:BeAPara




8

1)C(P).B(P).A(P

4

1)CBA(P

:olog

;4

1)CBA(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P;

2

1)A(P:CeB,APara

4

1)C(P).B(P)CB(P

:olog;4

1)CB(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P:CeBPara

- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes.







Teorema do produto


Teorema de Bayes



• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos, tais que .Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ai).

Então, para cada i, tem-se:

que é o Teorema de Bayes.

SA...AAA n321

)A/B(P).A(P...)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P

)A/B(P).A(P)B/A(P

nn2211

iii

2.14 Teorema de Bayes


• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da urna 2? e da urna 3?

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

3

1

5

4

3

2

2

3

3



Solução:

;8

3)u/B(P;

3

1

9

3)u/B(P;

9

1)u/B(P

;3

1)u(P;

3

1)u(P;

3

1)u(P

321

321

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

3

1

5

4

3

2

2

3

3




59

8)B/u(P1)B/u(P)B/u(P)B/u(P

59

27)B/u(P

59

24

83

31

31

31

91

31

31

31

)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P

)u/B(P).u(P)B/u(P

1321

3

332211

222



Teoria das Probabilidades

FIM

6/5/2014 19:44estatÍstica aplicada i - teoria das probabilidades estatística aplicada i prof. dr....

Documents