6.- teoria de colas (con costos)

Modelos de Optimización Avanzados

Teoría de Colas

TEORIA DE COLAS

La formación de líneas de espera es un fenómeno común cuando la demanda por un servicio excede momentáneamente la capacidad de proporcionarlo

Esperar un servicio es parte de la vida diaria

Se espera para comer en restaurantes, se hacen colas en las cajas de los supermercados, en los hospitales, etc

Y el fenómeno no es exclusivo de los seres humanos: los trabajos esperan para que los procese una máquina (cuello de botella), los automóviles se detienen ante un semáforo, etc

TEORIA DE COLAS

Las colas se producen debido a que, en ocasiones, la capacidad instalada para proporcionar el servicio es insuficiente, ya que la demanda por su servicio es aleatoria, lo que implica que la teoría de colas trabaje con modelos probabilísticos

El estudio de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de colas, incluyendo el tiempo de espera y la longitud de la cola promedio, entre otras variables de interés. Esta información sirve después para decidir el nivel apropiado de servicio para las instalaciones

ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio se generan a través de una fuente de entrada o población. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a la cola.

En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio (orden de llegada, aleatorio, prioridades).

ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS

Después, se otorga el servicio requerido por el

cliente mediante el mecanismo de servicio,

caracterizado por el número de canales paraderos

o servidores y por el tiempo de servicio, tiempo

que transcurre desde el inicio del servicio para un

cliente hasta su término. El tiempo de servicio

puede tener una distribución exponencial,

degenerada o gamma

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS

Fuente deEntrada Cola

Mecanismode Servicio

Clientes servidosClientes

Sistema de Colas

ALGUNOS MODELOS DE COLAS

1) Modelo simple con un solo servidor

2) Sistema de colas en serie (trámites en serie)

3) Sistema de colas simple multiservidor

XXXX XXXX XXXXSEntrada Cola Servidor Salida

XXX XXX XXX XXX XXXS S

S

S

S

S

XXXXXX XXXXXX

XX

XX

XX

ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS

• Fuente de Entrada:

• Tiempo entre Llegadas:

• Tamaño de las Colas:

• Tiempo de Servicio:

• Disciplina de Servicio

• Servidor (es)

• Clientes

Puede ser finita (máquinas en un servicio de reparación) o infinita (llamadas telefónicas)

Es el arribo de clientes, puede ser probabilístico o determinístico

Puede ser finito o infinito

Describe la prestación del servicio que el servidor le da

al cliente. Puede serdeterminístico o probabilístico

IMPORTANCIA DE LA TEORIA DE COLAS EN LAS OPERACIONES

La teoría de colas determina las medidas del

funcionamiento de una situación de colas, es una

técnica útil para diseñar la capacidad del proceso

de operaciones, puesto que provee de información

muy útil para decidir el nivel apropiado de

prestación del servicio para las instalaciones

Para determinar la capacidad del proceso de operaciones, se evalúan los costos asociados al servicio que se presta

COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS

1) Costos Directos del Servicio

Costos de la cantidad de servidores en paralelo que suministren el servicio.

Costos de tecnología del servicio, relacionados con el tiempo del servicio (atención al cliente).

Estos costos tienen una relación directa con la capacidad de prestación del servicio

nº servidores

Tecnologíade servicio

costo

costo

+ +

++


1) Costos Directos del Servicio

Costos Directos

Capacidad de prestación del Servicio

Costo de operación de las instalaciones de servicio

por unidad de tiempo


2) Costos Indirectos del Servicio

Costo de oportunidad (eventual) por pérdida de clientes, si los tiempos de espera son muy largos

Estos costos tienen una relación inversa con la capacidad de la prestación del servicio

Costos Indirectos

Capacidad del Servicio

Costo de espera de los clientes por unidad de

tiempo


El diseño del proceso de operaciones debe tomar en cuenta ambos tipos de costos, entonces:

CostosTotales

Costos Directosdel Servicio

Costo de Oportunidadpor tiempo de espera= +

El objetivo del proceso de operaciones consiste en minimizar los costos totales


Costos

Capacidad del Servicio

C1: Costos Directos

C2: Costos de Oportunidad

CT: Costos Totales

Nivel Óptimo del Servicio


Es difícil plantear un modelo de costos que obtenga el nivel óptimo del servicio, ya que es difícil estimar el costo unitario de espera, en particular cuando el comportamiento humano influye en la operación del modelo

Lo que se hace es evaluar diferentes configuraciones de servicios, utilizando las fórmulas propias de cada modelo de colas en particular

COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE COLAS

Es diferente en cada una de las etapas del sistema. Matemáticamente es difícil plantear modelos en los inicios y términos de atención del sistema, es más simple plantearlos cuando el sistema alcanza un estado estable, el que se da si en todos los estados:

Estado Estable

Entradas al Sistema

Salidasal Sistema=

Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas al sistema no son iguales a las salidas del sistema, entonces no se ha alcanzado el estado estable

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

n Cantidad de clientes: Que están en el sistema en un momento dado

L Valor esperado de clientes en el sistema

L E (n)=

W Valor esperado de tiempo de atención

cliente en el sistemaW E (w)=

de un

w: tiempo específico que tarda un cliente particular dentro del sistema. Es una variable aleatoria


P0 : Probabilidad de que el sistema esté vacíoP1 : Probabilidad de que el sistema tenga 1 clienteP2 : Probabilidad de que el sistema tenga 2 clientesP3 : Probabilidad de que el sistema tenga 3 clientes

Pn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientes

Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado

Pn

Asimismo es posible definir:

Lq

Wq

Valor esperado de clientes en la cola

Valor esperado del tiempo en la cola

Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado


Pn

Esto tiene dos interpretaciones:

(1)

(2)

Probabilidad de que en un instante cualquiera se observe el sistema y esté presente un estado n. Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la probabilidad de encontrar 3 clientes en el sistema es 0,1 o del 10%

Pn es la fracción del tiempo en que el sistema permanece en el estado n


Valor esperado de clientes en el sistemaL

L n PnL E (n)= = n=0

8

En consecuencia:

LAS VARIABLES EN EL TIEMPO

En general la cantidad de clientes es el sistema depende del instante de tiempo en que se determinan

Luego, las variables dependen del momento de tiempo en que se miden. Por ende, Pn, L, W, etc, también dependen del tiempo: Pn(t), L(t), W(t), etc

n n (t)=

Sin embargo, los modelos de colas que se estudian, determinan tales variables cuando el sistema está en estado estable

n(t) = n

Pn(t) = PnL(t) = L

W(t) = W

LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA

La llegada de clientes se asume que tiene una distribución poisson, con parámetro

Si A es el número de clientes que llegan en un intervalo específico de tiempo, entonces:

P(n=A) = A

n = 1,2,3,....n

e-

n !

Las llegadas al sistema son aleatorias. Es decir que la probabilidad de llegada al sistema durante un instante de tiempo es un valor constante, independiente del número de arribos previos y de la duración del tiempo de espera

LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA

Se define:

Tasa media de llegada de clientes al sistema Indica el número promedio de clientes que ingresa al sistema en un instante específico de tiempo

1 Tiempo promedio entre llegadas

es el tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas sucesivas, entre el arribo de dos clientes consecutivos

SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA

Según los sistemas de colas, puede ser una distribución exponencial, degenerada o gamma

Pero, para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista para que el modelo proporcione predicciones razonables y, también debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable

Para lograr todo lo anterior, se asume que los tiempos de prestación del servicio tienen una distribución exponencial, con parámetro 1


Si B es el tiempo de servicio para un cliente promedio, la función de distribución acumulada es:

P(B t)< = 1 e- - t si t 0>

Obs: Poisson se refiere a unidades de evento partido por unidades de tiempo fijaExponencial se refiere a unidad de tiempo existente entre dos eventos seguidos

Poisson

Exponencial


Se define:

Tasa media de prestación del servicio en el sistema Indica el número promedio de clientes que reciben el servicio en el sistema en un instante específico de tiempo. Es la tasa media del servicio, implica el concepto de velocidad de atención del sistema

1 Tiempo promedio entre prestaciones del

servicio es el tiempo promedio que se demora en atender a un cliente en el sistema

Población ColaMecanismode Servicio

Clientes servidosClientes

Sistema de Colas

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS

Lq , Wq

L , W (clientes / tiempo)

1 (tiempo / clientes)

Poisson Exp

DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE

Muestra el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema de colas

0 1 2 3

1 2 3

3

4

210

......

Para salir del estado 2 hay dos posibilidades:

DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE

Sale un cliente que es atendido y en tal tiempo no ingresa nadie al sistema ( )

El cliente que está siendo atendido no termina de ser atendido e ingresa otro cliente al sistema ( )

2

2

2 pasa del estado 2 al estado 1

2 pasa del estado 2 al estado 3

ESTADO ESTABLE

Estado Estable

Entradas al Sistema

Salidasal Sistema=

En estado estable y bajo el supuesto de que puede ocurrir sólo una llegada o sólo una salida a la vez:

Estado 0

Estado 1

Estado 2

Estado 3

P1

P1

P1P1

11

1

1

====

P0

0

0 +P0P2

P2P2

P2

2

2

22 +

+

+

+

+ 33

3

4 P3 P3

P3

P4

ESTADO ESTABLE

Se forma un sistema de n-ecuaciones y (n +1) incógnitas. Resolviendo en función del Pn se tiene:

De la primera ecuación (estado 0)

P1

P2

P1 =

P0P2

P0P1

P0

0

1

0

De la segunda ecuación (estado 1)

0

2

2 = ( )

1

11 + -

=( )1 + -

1P0

0

ESTADO ESTABLE

reemplazando P1:

P0

P0

P2

P2

P2 =( )

1

111

+

+

-

-P0

0

00

2

2

2

=

1

1( )00

=

ESTADO ESTABLE

En general:

Pn =0 1

1

2

3

3

4

n-1

nP0

Suponiendo que las tasas son constantes, entonces:

1

1

2

2

2

=0 =

==

==== =

==3

3

4 n

n-1 =

=

LuegoPn

nP0

ESTADO ESTABLE

Si además se considera que: n=1

8

Pn = 1

P0 + P1 + P2 + P3 + ........................ 1=

P0 +

+ + P0P0P0 + ............... = 1

2 3

Progresión Geométrica

Suma de la progresión geométrica

i=1

na r i =

a ( 1 - r )

( 1 - r )

n

ESTADO ESTABLE

Por lo tanto

n

1 -

1 -

P0

= 1

Además

Condición de estado estable

< 1

La tasa de llegada ( ) tiene que ser menor que la tasa del servicio ( )

ESTADO ESTABLE

Como

< 1

n

0

111

si n 8

EntoncesP0

P0 ( 1 - 0 )

-= = -

P0 = - Es la probabilidad de

que hayan 0 clientes en el sistema

ESTADO ESTABLE

Asimismo, reemplazando:

Pn =

- Es la probabilidad de

que hayan n clientes en el sistema

Obs: Las fórmulas anteriores son un caso particular analizado, no son fórmulas generales, puesto que incluyen muchos supuestos en su análisis

n

SUPUESTOS PARA LA CONDICIÓN DE ESTADO ESTABLE

•

•

< 1

El sistema de colas no colapsa, o sea que el sistema oscila entre los estados razonables, si bien hay cola, ésta no crece sin fin

Las entradas y salidas de clientes al sistema de colas, son de a un cliente cada vez

La tasa promedio de llegada de clientes y la tasa promedio del tiempo de prestación del servicio, son independientes del estado (cantidad de clientes) en el sistema de colas

•

FACTOR DE UTILIZACION

= Indica la proporción de tiempo

en el que el sistema de colas está ocupado

Si 1

Si 1<

> El sistema está sobrecopado la mayor parte del tiempo: la cola está creciendo permanentemente

El sistema no está copadoPor ejemplo, si 0,9 indica que el 90% del tiempo el sistema de colas está ocupado y que, el 10% del tiempo no lo está

=

FACTOR DE UTILIZACION

Las fórmulas anteriores de P0 y de Pn, se pueden denotar también como:

P0 = 1 -

Pn =n

( 1 )-

VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA

n PnL E (n)= = n=0

8

E (n) = 0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + ...................

L = 0(1- ) + 1 (1- ) + 2 (1- ) + 3 (1- ) + ........2 3

Factorizando:

L = (1- ) + 2 + 3 + 4 +2 3 4

........................

L = (1- ) 1 + 2 + 3 + 4 +2 3

......................

L = (1- ) ( + + + +2 3 4

......................


donde ( + + + + + )2 3 4 5

..........es progresión

geométrica

Suma de la progresión geométrica

i=1

na i =

a ( 1 - a )n

1 - a

Por lo tanto L (1- )=(1- )

1 -

n

como < 1 (condición de estado estable)

< 1n

0 si n

8


En consecuenciaL (1- )= 1 -

derivando:

L = (1- )(1- ) - (-1)

(1- )2

L = (1- )1

(1- )2 L = 1 -reemplazando =

L

-=

PROPIEDADES

También se pueden demostrar:

W = -1

L = W

Lq Wq=

Wq = ( )

--

Lq = ( )

2

Si se dispone de los valores de y , entonces es posible conocer a cada una de las variables principales de los modelos de colas: L, W, Lq, Wq

RELACION ENTRE W y Wq

W = Wq + Ws

Ws Tiempo medio de la prestación del servicio

Se define

que es un valor a priori desconocido

Ws = W - Wq

Ws = -1

-- ( )

1

Ws = ( )

-- = W Wq +

1 =

VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE

Se puede demostrar de acuerdo a las fórmulas planteadas en las propiedades anteriores

W = - 1

W = Wq + Ws =W Wq + 1

Pero también se puede obtener mediante W = E(w) determinando la distribución de probabilidades de w

Recuerdo: w es el tiempo específico que tarda un cliente en el sistema. Es una variable aleatoria


Consideremos la probabilidad de que un cliente tarde más de un tiempo T en salir del sistema

Sea Sn+1 = T1 + T2 + T3 + .............. + Tn + Tn+1

Sn+1 es la suma de los tiempos de atención de los “n” clientes que ya estaban en el sistema, más el tiempo de atención del “n+1” cliente, que acaba de ingresar al sistema

donde T1, T2, T3, ........... son variables aleatorias independientes que tienen

una distribución exponencial

PROPIEDAD REPRODUCTIVA

Por una propiedad reproductiva, la suma de las variables aleatorias con distribución exponencial, tiene una distribución de probabilidades gamma

Sn+1 tiene una distribución gamma

EntoncesP (w t)

n=0

8=> Pn P(Sn+1 t)>

P (w t) considera dos supuestos>• Al ingresar el cliente al sistema, éste está ocupado• El tiempo de espera en la cola más el tiempo de atención del cliente sea mayor que t


Reemplazando las fórmulas de Pn y , y después de mucho trabajo algebraico se llega a:

P(Sn+1 t)>

>P (w t) = e- 1 -

t,si t 0>

¡¡¡ w también tiene una distribución exponencial !!!

E(w) = 1

- 1- W E(w)= =

1

-

UNIDADES DIMENSIONALES

• W (tiempo)

• L (clientes)

• (clientes / tiempo)

• (clientes / tiempo)

• (tiempo / clientes)

• (tiempo / clientes)

1

1

NOMENCLATURA

Un modelo de colas se caracteriza por los siguientes símbolos:

Tiempo entre llegadas, que

se asocia a una distribución

exponencial (la tasa de llegada

es poisson)

Tiempo de servicio, que es exponencial

Cantidad de servidores en paralelo

Cantidad en la población potencial

(población finita)

Cantidad admisible en el sistema

(capacidad finita)

M / M / S / K / N

MODELOS DE COLAS

Según se combinen las diferentes características (población finita o infinita, uno o más servidores, capacidad admisible finita o infinita), se da origen a una combinación de distintos modelos de colas:

• Modelo M / M / 1

• Modelo M / M / S

• Modelo M / M / 1 / K

• Modelo M / M / S / K

• Modelo M / M / 1 / N

• Modelo M / M / S / N

MODELOS DE COLAS

Si el modelo de colas tiene capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con la letra K

Si el modelo de colas atiende a una población finita, entonces el modelo se denota con la letra N

Cuando el modelo de colas tiene tanto población finita como capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con letra N (si hay población finita, se asume capacidad admisible finita)

S SERVIDORES EN PARALELO

Si existen S servidores, pero se forma una sola cola para requerir el servicio, que es suministrado por el servidor que se desocupe primero, entonces estamos en el caso de servidores en paralelo

Ejemplos de esto son algunos bancos, algunos locales de pago de ciertos servicios públicos, algunas fiambrerías de los supermercados, etc

Este caso corresponde al modelo M / M / S

0 1 2 S

2 3 S

.....

Si los servidores tienen todos la misma tasa de servicio constante , entonces hay un aumento proporcional en la tasa de prestación del servicio de las sucursales a:

S SERVIDORES EN PARALELO

n , si n SS , si n S >

<

S+1 S+2 ....

S S

MODELO M / M / S

Según el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema, en flujo estable:

Pn =

n-1 n-2

n

2

3

1

2

0

1P0

En este caso:

1

n-1

20 = = = == 3 n-1 =nPero:

=

=n , si n S

S , si n Ss

<>

Condición de estado estable

S < 1

Se obtiene:

Pn

n

n

S !

n !

S(n-s) ; si n S

; si n S

>

n

n <

Para determinar : P0 P0 + P1 + P2 + P3 + ......... = 1

P0 +

1 !+

2

32 2 !+

3

3 !+

+ S

S+1S

S !+

P0

P0

P0P0 P0

P0 S+1 S !S1 2P0 + P0

S+2

S+2 S S !+ = 1

MODELO M / M / S

MODELO M / M / S

Factorizando:

P0 n=0

S-1

n-s

Sn1n ! + 1

S !

8

8

n=s S

n-s

= 1

Además:n=s S

Es una progresión geométrica cuyo resultado es:

n-s

S

1

= S

n=s

8

1 -

Finalmente, se obtiene P0

S-1 n=0

n1n !

+S !

1

S

1 -

S

1

1P0 =

MODELO M / M / S

MODELO M / M / S

Asimismo, con los valores de P0, P1, P2, ........., Pn es posible obtener el valor de L

L = 0P0 + 1P1 + 2P2 + ...........

(S - 1) ! S

S+1

P0

-

+ =L 2

Lq +L Lq=

cumpliéndose:

MODELO M / M / S

Usando las fórmulas tradicionales, es posible obtener las demás variables de interés

Wq = =Lq

WqW + 1

P (w > t)

t -

e1- S 1

S

P0

-1S !

=

S 1--

--+1

t -e

SISTEMA DE COLAS CON CAPACIDAD FINITA

Con capacidad admisible finita significa que el sistema puede contener como máximo K clientes, por lo tanto se asume que:

n = 0 si n > K

Existen dos modelos de colas con capacidad finita:

• Modelo M / M / 1 / K : Caso de un solo servidor

• Modelo M / M / S / K : Con S servidores en paralelo

Un solo servidor y capacidad admisible finita

0 1 2

K

0

MODELO M / M / 1 / K

.....

• S = 1• n =• n =

Ejemplos de modelos M/M/1/K son un médico que atiende con una consulta particular independiente o el taxi colectivo en hora vespertina


Pn

n

P0 ; si n K

; si n K0 >

<

P0

1 -

-=

1

K+1

Se obtiene por suma de progresión geométrica


K+1

K+1

1

L =-

-( K+1 )

1 -

Lq = L ( 1 )Como S = 1 P0- -


En un modelo de cola con capacidad finita sucede:

n 0

si n K

si n K

<>

Por lo tanto, corresponde: W = =L

Wq

Lq

donde =

n=0

8

n Pn

K-1

n=0= Pn con

n=0

K-1Pn = ( 1 - Pk )


Luego: donde Pk = P0

K

Finalmente: L

KP0

( 1 )- =W

= ( 1 - Pk )

MODELO M / M / S / K

El sistema de S servidores en paralelo con capacidad finita no permite más de K clientes, por lo que K es el número máximo de servidores que pueden necesitarse. Suponiendo S < K, hay varios servidores (S) y un límite en la capacidad del sistema (K)

Un ejemplo de esto es la sala de emergencia de un hospital: el sistema tendría una capacidad admisible finita, si solo hay K camillas para los pacientes y, si la política del hospital es derivar a los pacientes que llegan hacia otro hospital cuando no hay lugares disponibles

0 1 2 S

2 3 S

..... S+1 K....

S S

S

0


Ejemplos de modelos M/M/S/K son las secciones de maternidad y urgencia en un hospital o algunos centros integrales de belleza

Pn

n

n

S !

n !

S(n-s)

; si n S

; si S n K

; si n K>

n <

P0

P0

< <

0


n

Para obtener , se utiliza un método bastante similar al del modelo M / M / S

P0

S n=0

n1n !

+S !

1

S

S

1P0 =

n = S+1

K Sn-


(S-1)! S

s+1

P0

-

+ = 2Lq

1-

S

(k-s)

- (K-S) S

(k-s)

-1S

Adaptando la derivación de Lq del modelo M / M / S al caso actual de M / M / S / K se llega a:


L = n=0

S-1n Pn + Lq + S 1-

n=0

S-1Pn


Como modelo de cola con capacidad finita, ocurre:

n 0

si n K

si n K

<>


Wq

Lq

donde =

n=0

8

n Pn

K-1

n=0= Pn con

n=0

K-1Pn = ( 1 - Pk )


Luego: donde Pk = P0

K

Finalmente: L

KP0

( 1 )- =W

= ( 1 - Pk )

SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITA

La fuente de entrada o población potencial es finita

Se define el tamaño límite de la población como N

Cuando el número de clientes en el sistema de colas es n (n = 0, 1, 2, ......, N) existen sólo (N - n) clientes potenciales restantes en la fuente de entrada

Población Potencial

N n clientes en el sistema

(N - n) clientes potenciales afuera

SISTEMA DE COLAS CON POBLACIÓN FINITA

Este problema tiene múltiples aplicaciones en el

flujo de recursos materiales de la cadena logística

Una de sus aplicaciones más importante es el

problema de reparación de máquinas o

mantención de computadores, donde se asigna a

uno o más mecánicos la responsabilidad de la

mantención de N computadores, dando servicio a

cada uno de los que se descomponen.

SISTEMA DE COLAS CON POBLACIÓN FINITA

Los computadores constituyen la población

potencial Cada uno es un cliente en el sistema de

colas cuando está descompuesto en espera de

ser reparado, mientras que cuando está en

operación normal está afuera del sistema, pues

no está en reparación.

Cada técnico asistente o cuadrilla de técnicos es un servidor, que trabaja la mantención en una solo computador a la vez.

Un solo servidor y población finita

0 1 2 3

N

N (N-1)

MODELO M / M / 1 / N

(N-2) (N-3)

.....

• S = 1• n = • n

(N - n) ,si n N

0 ,si n N

<>

Esquema suponiendo población finita N = 5

0 1 2 3

4 5

235 4


Otros ejemplos de modelos M/M/1/N son el médico que atiende enfermos de patologías escasas o el alumno AII con sus optativas de final de semestre

Para el esquema con N = 5, y usando las ecuaciones de balance de estado estable en cada estado:


Estado 0

Estado 1

Estado 5

P1

P1P1

==

=

P0

+P0P2

P4

+

P5

5

45

De acuerdo a una situación general, con un total de N estados (población finita) se obtienen P0 y Pn

....

....

....

....

S-1 n=0

nN !

1P0 =

(N - n) !

n

Pn = (N - n) !P0


N !

Lq (n - 1) Pn= n=1

NComoLq = L - (1 - P0) L N= -

(1 - P0)


En un modelo de cola con población finita sucede:

n

0

si n N

si n N

<>


Wq

Lq

donde =

n=0

8

n Pn

K-1

n=0= Pn

(N - n)

(N - n) = ( N L )-

0 1 2 S-1

N

N (N-1) (N-2) (N-S+2)

.....

• S > 1

• n • n

(N - n) ,si n N

0 ,si n N

<>

2

32 (S-1) S

S

(N-S+1) (N-S)

S

S S

N-1.....

Varios servidores (S > 1) y población finita (N)Se asume S < N

MODELO M / M / S / N

n

S

,si n S

,si n S

<>


Con las ecuaciones de balance de estado estable:

Es la misma fórmula del modelo M / M / S / K, solo que ahora se multiplica por la combinatoria del número de clientes (n) sobre la población potencial (N)

Pn

n

S !

n !

S(n-s)

; si n S

; si S n N

; si n N>

n

<

P0

P0

< <

0

(N - n) !

N !

(N - n) !

N !


Además:

S-1 n=0

nN !

1P0 =

(N - n) !+

N

n=S (N - n) !

n

S ! S(n-s)N !

Lq (n - S) Pn= n=S

N

L = n=0

S-1n Pn + Lq + S 1-

n=0

S-1Pn

Después se pueden obtener W y Wq con las mismas ecuaciones que en el caso de un servidor

6.- teoria de colas (con costos)

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