199

6. MODELO LINEALIZADO

6.1. INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones que describen el comportamiento de la máquina de inducción

son no-lineales y sólo es posible resolverlas mediante técnicas de integración numérica

por ordenador.

En cualquier caso se puede adquirir una visión interesante de la máquina de

inducción mediante la linealización de sus ecuaciones, a parte del hecho de poder

predecir el comportamiento alrededor de un punto de trabajo con una cierta exactitud

para pequeñas oscilaciones alrededor del mismo.

Esta linealización puede ser realizada mediante el desarrollo de Taylor alrededor

de un punto de trabajo. Entonces las máquinas pueden ser tratadas como sistemas

lineales al referirse a pequeños cambios de operación de las mismas. De esta forma la

teoría de sistemas lineales puede ser utilizada para calcular autovalores y para establecer

funciones de transferencia para el uso en el diseño de sistemas de control.

En este capítulo se van a establecer las ecuaciones linealizadas. Se determinarán

los autovalores y se establecerán funciones de transferencia.

6.2. ECUACIONES A LINEALIZAR

Las ecuaciones linealizadas son deducidas de las ecuaciones de tensión

expresadas en términos de parámetros constantes, con fuerzas constantes,

independientes del tiempo. Estas condiciones se dan durante el régimen permanente

equilibrado por las ecuaciones de tensión expresadas en el sistema de referencia

síncrono. Como variables de estado se pueden escoger tanto las intensidades como los

flujos por segundo como bien se ha visto anteriormente, ya que no son independientes

entre sí.

Las ecuaciones de la máquina de inducción escritas en forma canónica tienen la

siguiente estructura,

( , )

( , )

df

dt

g

xx u

y x u

(6-1)

donde x es el vector de variables de estado, u es el vector de entradas e y es el vector de

salidas.

En caso de escoger los flujos por segundo como las variables de estado, entonces

las intensidades pertenecerán al vector de salidas y viceversa. Como se va a considerar

el régimen permanente equilibrado las componentes 0 de las variables serán nulas y por

tanto no van a ser formuladas aquí.

6 Modelo linealizado

200

( , )f x u

( , )g x u

dt

u ddt

x

y

x

u

x

x

6-1 Esquema de las ecuaciones del motor de inducción

Escogiendo los flujos por segundo como variables de estado las ecuaciones de

tensión en PU vienen dadas por

'

'

' '''

' '

''

0

01

0

0

s lr M e s M

b

e e e

qs qs qss lr Me s Me e e

ds ds dsbe e

bqr qr qr ls M e rr M

e e

dr dr

r ls Me rr

b

b

M

r X X r X

D D

v r X X r X

v dD D

dtv r X Xr Xv D D

r X Xr X

D D

'

'

e

r

e

dr

(6-2)

El par electromagnético, también en PU, será,

' '1( ) 

2

me qs dr ds qr

XT

D

(6-3)

y la ecuación mecánica

2 re L

b

dT H T

dt

(6-4)

6.3. LINEALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES

Hay dos procedimientos que pueden e seguidos a la hora de obtener las

ecuaciones linealizadas. La primera es usar el desarrollo de Taylor alrededor de un

punto. Cualquier variable ix puede escribirse en términos del desarrollo de Taylor como

2

0 0 2

0 2

1

2!

i i

i i i i

i i

f x f xf x f x x x

x x

(6-5)

0i i ix x x (6-6)

6 Modelo linealizado

201

Para pequeños desplazamientos los términos de mayor orden que 1 pueden ser

despreciados y la ecuación (6-5) puede ser aproximada por

0

0

i

i i i

i

f xf x f x x

x

(6-7)

y por tanto la característica de pequeño desplazamiento viene dada por término de

primer orden de la serie de Taylor.

0i

i i

i

f xf x x

x

(6-8)

El desarrollo para funciones de dos variables es similar

0 0 0 0

0 0

, ,, ,

i j i j

i j i j i j

i j

f x x f x xf x x f x x x x

x x

(6-9)

con

0 0 0 0, ,

,i j i j

i j i j

i j

f x x f x xf x x x x

x x

(6-10)

Un segundo procedimiento es escribir las ecuaciones en la forma dada por (6-6).

Se ejecutan todas las multiplicaciones y se cancela de ambos lados de la ecuación la

expresión correspondiente al régimen permanente, posteriormente se desprecian los

términos que sean productos de dos desplazamientos i jx x .

Por cualquiera de los dos métodos las ecuaciones linealizadas quedan

'

'

''''0

'

'''0

' '

0 0

0 0

0

0

02 2 2 2

s lr M e s M

b

e s lr Me s Mqs

eb

ds

er ls M ee rr Mqr

dre

dr

r ls M ee rr Mqr

e e e eM M M Mdr q

b

L

d

b

r s qs

r X X r X

D D

r X X r XvD Dv

r X Xr Xv

D Dv

r X Xr X

D D

X X X

D D D

T

X

D

' '

' '

1

2

e e

qs qs

e e

ds ds

e e

qr qr

e ebdr dr

r rb

b b

d

dt

H

(6-11)

Si se expresa esta ecuación de la siguiente forma:

d E x Fx u (6-12)

entonces

6 Modelo linealizado

202

'

'

'''0

'''0

' '

1 0 0 0 0

0 1 0 0 01

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 2

0 0

0 0

0

0

02 2 2 2

b

b

s lr M e s M

b

s lr Me s M

b

r ls M ee rr Mdr

r ls M ee rr Mqr

e e e eM M M Mdr q

b

d s

b

r s q

H

r X X r X

D D

r X X r X

D D

r X Xr XF

D D

r X Xr X

D D

X X X

D D

E

X

D D

(6-13)

Al pasar a forma canónica:

d

dt

xAx Bu (6-14)

entonces

1 1d

dt

xE Fx E u (6-15)

de forma que

1

1

A E F

B = E (6-16)

En estas ecuaciones se han linealizado de forma manual las ecuaciones del

funcionamiento del motor de inducción, pero sin tener en cuenta la saturación del

núcleo magnético. Si lo que se pretende es linealizar las ecuaciones con la consideración

de la saturación magnética se tendrá que realizar con métodos computacionales

mediante el cálculo de los jacobianos de las funciones que gobiernan la máquina, como

se expone en el epígrafe 6.5.

6.4. ESTABILIDAD EN PEQUEÑAS VARIACIONES - AUTOVALORES

Si en la ecuación (6-15) el vector u de las entradas es cero, o sea no hay

excitación, la solución de la ecuación diferencial homogénea es.

6 Modelo linealizado

203

te Ax K (6-17)

donde K es un vector formado por las condiciones iniciales que se hayan impuesto. La

exponencial representa la respuesta no forzada del sistema, también llamada matriz de

transición de estados. La estabilidad para pequeñas variaciones estará asegurada si la

matriz de transición tiende asintóticamente a cero cuando el tiempo tiende a infinito.

Esto ocurre cuando las raíces de la ecuación característica de A tienen todas parte real

negativa. Las raíces se calculan de la ecuación

det 0 A I (6-18)

Los autovalores arrojan una forma de predecir el comportamiento de la

máquina de inducción de una forma simple para cualquier punto de operación

equilibrado. Los autovalores pueden ser reales o complejos, en este caso aparecen por

parejas de conjugados significando la oscilación de las variables de estado. La parte real

negativa corresponde a amplitudes de las variables de estado que decrecen con el

tiempo exponencialmente.

Cuando se considera el rótor bloqueado en una máquina de inducción, las dos

parejas de autovalores tendrán una parte imaginaria (frecuencia de oscilación)

correspondiente a la velocidad angular del sistema eléctrico. La frecuencia de una de las

dos parejas de autovalores complejos conjugados decrece a medida que aumenta la

velocidad del rótor, mientras que la otra pareja sufre una menor disminución de la parte

imaginaria, de hecho, para grandes máquinas prácticamente se mantiene constante.

La pareja de autovalores que mantiene la frecuencia prácticamente constante

está principalmente asociada a los transitorios eléctricos del estátor, mientras que la otra

pareja está principalmente asociada a los del rótor. De esta forma a la primera pareja se

le denomina autovalores del estator y a la segunda autovalores del rótor.

6-2 Autovalores de motor 50 HP con saturación

6 Modelo linealizado

204

Así, la respuesta eléctrica transitoria de la máquina viene influenciada por estas

parejas de autovalores. En la figura 6-2 están representados los autovalores de un motor

de inducción de 50 HP con saturación del núcleo magnético, en el mismo color vienen

representadas la parte real y la parte imaginaria positiva de cada pareja de autovalores

conjugados. En color verde está representado el autovalor real.

6-3 Autovalores motor de inducción 2250 HP

En la figura 6-3 se han mantenido los colores para representar a los autovalores,

de forma que los valores representados en azul son los correspondientes a la pareja de

autovalores del estátor y los representados en rojo a los del rótor.

Se puede comprobar que calculando los autovalores de distintas máquinas, a

mayor potencia de la máquina menor amortiguamiento (parte real del autovalor menor

en valor absoluto) en la respuesta libre asociada a los transitorios. Esto produce entre

otras cosas que las máquinas grandes se aproximen al punto de sincronismo de forma

oscilante durante el arranque en vacío. Un funcionamiento similar se aprecia cuando

hay un cambio brusco en el par resistente aplicado, aproximándose también de forma

oscilante al nuevo punto de equilibrio. Este tipo de comportamiento está asociado a los

autovalores del rótor. Es interesante el hecho de que este autovalor se ve reflejado de

forma notable en la velocidad del rotor, mientras que el autovalor del estator, de mayor

frecuencia, no. Esto es debido a que para una determinada inercia y amplitud de par, una

componente de par de baja frecuencia causará una variación mayor en la amplitud de la

velocidad del rotor que otra de alta frecuencia.

El autovalor real significa la respuesta exponencial. Caracterizaría el

comportamiento de la máquina si todos los transitorios eléctricos fueran despreciados, o

si están muy amortiguados como en el caso de las máquinas de baja potencia. Lo más

6 Modelo linealizado

205

interesante es que puede ser relacionado con la curva par-velocidad del régimen

permanente, dado que la parte en el que el autovalor es positivo, por tanto con un

funcionamiento inestable, coincide con la parte de curva que tiene pendiente positiva.

De esta forma, en la zona donde el autovalor es negativo corresponde a la zona donde la

curva par-velocidad de régimen permanente tiene una pendiente negativa, siendo la

única zona de funcionamiento estable.

6.5. FORMULACIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Las ecuaciones de (6-1) una vez linealizadas toman la siguiente forma

d

dt

xAx Bu

y Cx Du

(6-19)

en las que las constantes se han calculado mediante las siguientes expresiones,

equivalentes al segundo término del desarrollo de Taylor, pero correspondientes a un

sistema multivariable,

0 0 0 0

0 0 0 0

, ,

, ,

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f g

f g

x u x u

x u x u

x u x uA C

x x

x u x uB D

u u

(6-20)

que son los jacobianos de las funciones f y g con respecto a los vectores x y u evaluados

en el punto de trabajo 0 0,x u .

Ax Bu

Cx Du

dt

u ddt

x

y

x

u

x

x

6-4 Esquema de simulación mediante ecuaciones linealizadas.

Para calcular las funciones de transferencia se transforma (6-19) al dominio de

Laplace.

0 s

A I x Bu

y Cx Du (6-21)

Donde I es la matriz identidad. La primera de estas dos ecuaciones es la

ecuación de estado o la forma fundamental del sistema de ecuaciones linealizado. La

segunda ecuación es la ecuación de salida, donde y es el vector de salidas expresado

como una combinación lineal del vector de estado x y el vector de entradas u.

6 Modelo linealizado

206

Resolviendo x en la primera ecuación de (6-21) y sustituyendo en la segunda

ecuación.

1( )s y C I A Bu Du (6-22)

En el cálculo de las funciones de transferencia lo normal es estar interesado en la

relación entre la entrada, que puede ser una sola variable o una combinación lineal de

las entradas, y las salidas, de las que también podemos estar interesados en una sola

variable de salida o una combinación lineal de las mismas.

Así pues es conveniente expresar

if

z

u G

Ky (6-23)

donde G es una matriz columna y if es una variable de entrada o combinación lineal

de diversas variables de entrada y K es una matriz fila con los coeficientes apropiados

para la selección de las salidas.

Sustituyendo

1

1

( )

( )

i i

i i

s f f

z s f f

y C I A BG DG

Ky KC I A BG KDG (6-24)

La formulación de la ecuación de transferencia queda completa una vez se

seleccionan K para la variable de salida deseada y se selecciona G para dar la entrada o

combinación de entradas conveniente.

De forma que la función de transferencia H s queda

1( )i

zH s s

f

K C I A B D G (6-25)

que relaciona una salida con una entrada en el dominio de Laplace, y que permitiría

diseñar controladores específicos para las variables involucradas, como podrían por

ejemplo ser los variadores de velocidad.

6.6. MODELOS REDUCIDOS LINEALIZADOS

6.6.1. ECUACIONES LINEALIZADAS DEL MODELO DE TERCER ORDEN

CLÁSICO

En el modelo reducido de tercer orden clásico se despreciaban los transitorios

eléctricos debidos al estátor, se trataba de simplificar el modelo reduciendo el orden

mediante la eliminación de dos términos diferenciales. Si en la ecuación (6-11) se

desprecia también dichos transitorios, considerando régimen senoidal equilibrado

queda:

6 Modelo linealizado

207

'

'

''''0

'

'''0

' '

0 0

0 0

0

0

02 2 2 2

s lr M e s M

b

e s lr Me s Mqs

eb

ds

er ls M ee rr Mqr

dre

dr

r ls M ee rr Mqr

e e e eM M M Mdr q

b

L

d

b

r s qs

r X X r X

D D

r X X r XvD Dv

r X Xr Xv

D Dv

r X Xr X

D D

X X X

D D D

T

X

D

''

''

0

0

1

2

e

qs

e

ds

eeqrqr

eeb drdr

rrb

bb

d

dt

H

(6-26)

Esta ecuación se puede expresar como

''

pk rrrr

e e

qds qds

ee

rr

d

dt

0

00 0W

S

v Y

Qv S

(6-27)

donde

0 0

0

1

1

0 0 2

0p

b

b

H

S (6-28)

Despejando

'1 1e e e

qds qds rr

W Yv -W (6-29)

y sustituyendo

'

'1 1 1

1 1e

errp k rr p

e

rr qdsp

d

dt

+ vS Q - vW Y S S S QW

(6-30)

Esta ecuación está escrita en forma fundamental, o sea

1 1 2 2

d

dt

xAx B u B u (6-31)

Lo que queda es

1 2

1 1 11

'

1

1 2

rr

p k p

rr

p

e e

qds

x u u

A = S QW Y S B S B S

v

QW

v (6-32)

Si se toman como salida las intensidades,

6 Modelo linealizado

208

'

' '

' ' ' '

'

0 0 0

0 0 01

0 0 0

0 0 0

e

qs

e eqs lr M M ds

e eds lr M M qr

e eqr M ls Mls lr ls lr M dr

e

dr M ls M r

b

i X X X

i X X X

i X X XX X X X X

i X X X

(6-33)

que se puede expresar como,

11 12

'

21 22

e eqds qds

e

qdr rr

x x

x x

i

i

(6-34)

Sustituyendo (6-29) en (6-34)

11 12 11

'

2

1 1

1

1 22 21

1

e eqds qds

e

qdr rr

x x x

x x x

i - v

i Y-

W W Y

W W (6-35)

y pasando a forma canónica

12 11 11

'

1

22 21 2

1

1 1

1

e

qds e

rr qdse

qdr

x x x

x x x

W Y W

W W

i

Y

-v

i - (6-36)

que es de la forma

1 1 2 2 y Cx D u D u (6-37)

y entonces

2

1 1

1 21

'

12 11 11

2

1

22 21 1

0

e

qds e

rr qdse

qdr

x x x

x x x

y = x u

W Y

iv

i

- WC = D

W-D

W Y

(6-38)

6.6.2. AUTOVALORES DEL MODELO DE TERCER ORDEN CLÁSICO

Al haber reducido el orden a tres el número de autovalores de la matriz A de

(6-32) se verá igualmente reducido. Al haber despreciado los transitorios del estátor la

pareja de autovalores complejos conjugados que aparecerá será muy similar a la de la

pareja del rotor del orden completo.

En la figura 6-5 se aprecia este hecho si se compara con la figura 6-3. El

autovalor real y dibujado en verde en ambas figuras es el autovalor correspondiente a la

curva característica par-velocidad y no se ve alterado prácticamente. El autovalor

complejo dibujado en rojo corresponde al autovalor del rotor y en su parte imaginaria

6 Modelo linealizado

209

casi no sufre variación alguna, especialmente cuando se está en torno a velocidad

nominal de la máquina.

6-5 Autovalores modelo reducido de 3er orden clásico

6-6 Comparativa autovalores modelo reducido frente a modelo completo

6 Modelo linealizado

210

Es la parte real del autovalor complejo del rotor la parte que se ve más alterada,

aunque principalmente para velocidades muy bajas, en la que en el modelo reducido se

ve mucho más plana que en el modelo completo, a velocidades cercanas a la nominal, la

forma de la curva es cualitativamente similar y con unos valores también bastante

parecidos.

Obviamente, al despreciar los transitorios del estátor, los autovalores

correspondientes al estátor han desaparecido.

6.6.3. FORMULACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

La formulación de la ecuación de transferencia es directa siguiendo los pasos del

epígrafe 6.5. Si se toman las ecuaciones dadas por (6-31) y (6-37), expresándolas en el

dominio de Laplace

1 1 2 2

1 1 2 2

0 s

A I x B u B u

y Cx D u D u (6-39)

Despejando en la primera ecuación x y sustituyendo en la segunda

1 1

1 1 1 2 2 2s s

y C I A B D u C I A B D u (6-40)

Ahora para incluir las combinaciones de las entradas o las entradas concretas de

las que se pueda estar interesado y para seleccionar la salida

1 1 1

2 2 2

i

i

f

f

z

u G

u G

Ky

(6-41)

donde 1G y 2G son matrices columna y K es una matriz fila, 1if y 2if son escalares

que son entradas individuales o combinaciones lineales de las entradas. Sustituyendo

1 1

1 1 1 1 2 2 2 2i iz s f s f

K C I A B D G K C I A B D G (6-42)