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Aritmtica
7 Tanto por Ciento
Se llama tanto por ciento de un nmero, al nmero decentsimas partes del nmero.
OPERACIONES CON TANTO POR CIENTO
Luego
N: cantidad indicada
Tanto por ciento: %
a % =a
100
Ejemplo 1:
20% = =20
10015
25% = =25
10014
64% = =64
1001625
Cul es el 20% de 720? 20% de 720 = 20% (720)
20100
= (720) = 144
Cul es el 75% de 420?
75% de 420 = 75% (420)
75100
= (420) = 315
a % de N = (N)a
100
1.1. a% N b % N = (a b)% N1.2. a x (b%N) = (a x b) % N1.3. a(m%Nn%N) = am%Nan%N
1.4. Para todo N = 100% N Si N aumenta a%, se obtiene (100 + a)% N Si N disminuye b%, se obtiene (100 -b)% N
Ejemplo 1:
Dada una cantidad, la suma de su 20 % y 30% excede al10% de su mitad en 135. Halla la cantidad indicada.
Resolucin:
20% (N) + 30% (N)-10% ( )= 135
= (20 + 30)%N -(10 x )% N
= 50% N -5% N = (50 -5)% N= 45% N= N=135 N=300
N2
12
45100
Ejemplo 2:
La suma de un nmero con su 20% equivale al 75% de 2000.Cul es el nmero?
Resolucin:
Sea N el nmero buscado, entonces:
N + 20% N = 75% (2000)100%N + 20% N = 75% (2000) 120% N = 75% (2000) 120 N = 75 (2000)De donde N = 1250
Para determinar que tanto por ciento de B es A, se puedeproceder como sigue.
Lo que hace de parteLo que hace de todo
AB
x100%
Relacion parte - todo en %
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
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Aritmtica
APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO
Aplicaciones comerciales
En la venta de un artculoPv: Precio de ventaPc: Precio de costoG: Ganancia (Pv >Pc)P: Prdida (Pv < Pc)
Pv = Pc + G
Pv = Pc -P
Las ganancias y prdidas se expresan como un tanto porciento de los precios, generalmente del precio de costo.
Ejemplo 1:
Si se vendi un artculo en 240 soles ganando el 20% decosto, cunto cost el artculo?
Resolucin:
Pv = Pc + G 240 = 100%Pc + 20%Pc 240 = (100 + 20)% Pc = 120% Pc 240 = Pc Pc = 200 soles
120
100
Ejemplo 2:
Un distribuidor vende un objeto a S/. 540 con una prdidadel 10% del costo. De cunto es la prdida?
Resolucin:
Pv = Pc -P 540 = 100%Pc -10%Pc
540 = (100 -10)% Pc = 90% Pc 540 = Pc Pc = S/.600
90100
Prdida: 600-540=S/.60=10% (600)
Para los casos donde la ganancia indicada es la gananciabruta, y se efectan gastos (g) se tiene:
GB: Ganancia bruta
GN: Ganancia neta
g: Gastos
Observacin 1
GB
=G
N+ g
Esquema
PrecioFijado
Precioventa real
Preciode costo
-Descuentos + Ganancia
Ejemplo 3:
Si despus de efectuar una venta se gan 250 soles, cules la ganancia neta obtenida si se debe cubrir los gastos
efectuados en la venta los cuales representan el 18% de laganancia bruta?
Resolucin:
Se conoce GB
= GN
+ g100% G
B= G
N+ 18% G
B
(100-18)% (250) = GN
Se obtiene GN
= 205 soles
Ejemplo 4:
Resolucin:
Un objeto se ofrece en 240 soles, pero al momento devenderlo se le rebaja un 15%. Cunto se gana si su costoes 190 soles?
VARIACIONES PORCENTUALES
Es la variacin porcentual que sufre una cantidad a causa delos aumentos o disminuciones porcentuales de las cantidadesde los que depende.
Ejemplo 1:
Sea M = a x b. Si a aumenta 25%, qu porcentaje debe devariar b para que M no vare?
Pf=
240 se le rebaja 15%
Pventa
=240 -15% (240)
=85% (240) = 204 soles Pv =Pc + g 204 =190 + g 204-190= 14 solesSe gana
Tambin
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Aritmtica
Resolucin:
Precio Costo 5kPrecio Venta 6k
ganancia: k=100%
Si precio Venta: 6, 6kGanancia: 1,6 = 160%
Rpta.: e
4) Cuando se fotocopia pgina por pgina, de un libronumerado del 1 al 1992, se obtiene un descuento del20% por las pginas que son mltiplos de 3. Si el pre-cio normal de cada fotocopia sola es S/.0,05, cuntose pag en total?
a) S/.96,18 b) S/.92,96 c) S/.50,56d) S/.86,32 e) S/.89,64
Resolucin:
Mltiplos de 3:
3; 6; 9; ...; 1 989; 1 992
Estos son en total: 664 pginas y los no 3 son 1 992 -664= 1 328
Costos:
1328 x 0,05 + 664 x 0,05 x 0,8 = S/.92,96
Rpta.: b
5) Una fbrica produce en un mes 3 toneladas de esprra-gos a un costo de 14 400 soles. Si se pierde el 20% dela produccin por falta de calidad, a cunto tiene quevender el kilo para ganar el 25%?
a) S/.8,7 b) S/.7,5 c) S/. 9,3d) S/.9,3 e) S/.6,
Rpta.: b
Resolucin:
Produce: 3000 kgPierde: 20% (3000) = 600 kg
Vende: 2 400 kg
Precio de costo: S/.14400Costo: S/.14400 Ganancia: 25%(14400) = 3 600
Precio de venta: S/.18000Precio de kilogramo
1800024000
=7,5 soles
Precio de venta: 125% (14400)Peso a vender: 80% (3 000)precio por kilo
1,25(14400)0,8(3000)
=S/.7,5
La Madre detodas las Batallas
Lewis Carrol, matemtico y escritor britnico, cuyoverdadero nombre era Charles Lutmidge Dogson. Se
le conoce principalmente por su obra Alicia en el pas
de las maravillas , en la cual manifiesta su inters por
lo absurdo, los acertijos y la confusin.
Un problema que se atribuye a l es el siguiente:
"En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70% de
los combatientes perdi un ojo, el 75% una oreja, por
lo menos el 80% perdi una mano y el 85% una pierna.
Cuntos por lo menos perdieron los 4 rganos?
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5to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3De un conjunto de 800 personas, el 75% sonhombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80%
de los hombres y el 15% de las mujeres fuman,
cuntas personas no fuman de dicho conjunto
de personas?
Resolucin:
En una granja el 20% son patos, el 45% gallinas y
el resto son pavos. Si el nmero de gallinas fuera
el doble, qu porcentaje del total seran pavos?
Resolucin:
A qu precio se debe vender un reloj que cost
S/.255 si se quiere ganar el 15% del precio de
venta?
Resolucin:
Pedro vendi su bicicleta en $150 ganando el25% de lo que le cost. Cunto pag Pedro por
la bicicleta?
Resolucin:
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Aritmtica
Rpta:
5
Rpta:
6Si Juan gastara el 30% del dinero que tiene y
ganase el 28% de lo que le quedara perdera
S/156. Cunto tiene Juan inicialmente?
Resolucin:
Un objeto cost S/.2400. Qu precio se fij para
su venta al pblico, sabiendo que si al venderlo se
hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%
todava se gana el 20% del costo?
Resolucin:
7. Gast el 60% de lo que no gast. Si inicialmentetena S/.320, con cunto me quedara si volvieraa gastar 50% ms de lo que gast al inicio?
8. Si cada una de las dimensiones de un paraleppedoaumentara en 20%, 50% y 40%, en cunto au-
mentari su volumen?
9. Se vende un lote de objetos de la siguiente mane-ra:
-El 50% ganando el 20%. -El 60% del resto perdiendo el 30% Qu porcentaje sobre el resto del lote debe ganarse
para que la ganancia total sea el 7%?
10. "A" vende un objeto a "B" ganando el 20%, "B"vende el objeto a "C" ganando el 25%, "C" vendeel objeto a "D" perdiendo el 10% y "D" vende elobjeto a "E" ganando el 40%. Si "E" pag S/.1134por el objeto, cunto gan "A" en la venta dedicho objeto?
11. Un objeto sufre dos descuentos sucesivos del 20%y del 30%, por lo que tan slo se gana S/.6 000. Sihubiesen sido dos descuentos iguales al 20% sehubiese ganado S/.11 200. Cul era el precio decosto?
12. Se vendieron tres refrigeradoras en $660 cadauna. En la primera se gan el 20%, en la segundase gan el 10%, qu tanto por ciento se gan enla tercera, sabiendo que en total se gan $330?
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5to Secundaria
1. Una seora lleva 3000 naranjas al mercado yencuentra que el 20% est malogrado y slo pudo
vender el 70% de los buenos. Cuntas naranjas
quedaron sin vender?
a) 720 b) 600 c) 1020
d) 1320 e) 1340
2. En cierto momento de una fiesta el 60% de los
hombres estn bailando y el 20% de las mujeres no
bailan. Si en total fueron 350 personas, cuntos
bailaron ese momento?
a) 120 b) 150 c) 200
d) 240 e) 180
3. Un tejido al lavarse se encoge en 2 por 15 de su
longitud y el 5% de su ancho.
Despus de lavarse, qu porcentaje del rea
original es el rea que ha quedado?
a) 72 2/3% b) 86 2/3% c) 90 1/3%d) 82 1/3% e) 69 1/3%
4. Si compr un televisor en $240 y lo quiere vender
ganando el 30% del costo, cul es el precio de
venta?
a) $288 b) $272 c) $312
d) $252 e) $324
5. Un mayorista vende computadoras en $700,
ganando el 20% del precio de venta. Cul es elprecio de costo de cada computadora?
a) $560 b) $480 c) $540
d) $490 e) $504
6. Se vendi un artculo en S/.450 ganndose el 25%
del costo. Cul sera el precio de venta si se quiere
ganar el 40% del costo?
a) S/.520 b) S/.480 c) S/.540
d) S/.490 e) S/.504
7. Se vende dos filmadoras en $720 cada una. En unade ellas se gana el 20% del costo y en la otra sepierde el 20%. Cunto se gan o perdi en estaventa?
a) Se gan $60 b) Se perdi $60c) Se gan $80d) Se perdi $80 e) No se gan ni perdi
8. Para fijar el precio de venta de un artculo seaumenta su costo en 40% y al momento devenderlo se hace una rebaja del 10% del precio
fijado. Qu tanto por ciento del precio de costose gana finalmente?
a) 30% b) 20% c) 24%d) 25% e) 26%
9. Si a es el 25% de c y b es el 40% de c, qu partede b es a?
a) 8/5 b) 1/2 c) 2/5d) 5/8 e) 3/2
10. Un tcnico compr un televisor en $200. Quprecio tiene que fijar para su venta teniendo encuenta que an haciendo al comprador una rebajadel 20% sobre el precio fijado todava gana un25% sobre el precio que el cost el aparato?
a) $275 b) $325 c) $287,5d) $235,5 e) $312,5
11. Cinco pantalones y veinte sacos cuestan S/.490.Si el precio del pantaln disminuye en 10% y elprecio del saco disminuye en 5%, el costo de 5
pantalones y 20 sacos sera S/.457. Cunto cuestaun saco y un pantaln?
a) 16 soles b) 20 soles c) 50 solesd) 64 soles e) 32 soles
12. Un comerciante vendi un artculo ganando el20% del costo. Con el importe de la venta comprotro artculo que lo vendi ganando el 30% delprecio de venta. Halla la relacin entre los preciosde venta de los artculos.
a) 3/4 b) 3/5 c) 7/10d) 7/12 e) 8/11
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Aritmtica
Rpta:
5
Rpta:
6Una persona coloca la mitad de su capital al 6%
anual, la tercera parte al 5% anual y el resto al
4% anual. Si luego de un ao gan S/.1600, cul
es su capital?
Resolucin:
La relacin de dos capitales es de 4 a 11. La
relacin entre los intereses producido despus de
algn tiempo es de 7 a 22. Si el segundo capital
est impuesto al 16% anual, cul es la tasa deimposicin del primer capital?
Resolucin:
7. Se sabe que S/.54000 es la suma de los capitalesde dos personas. La primera impone su dinero al4% durante tres meses y recibe un inters dobledel que tendra la segunda persona imponiendoel suyo al 5% durante 6 meses. Indica el capitalmenor.
8. La diferencia de dos capitales es S/.2000. Si elmayor se impone al 5% anual y el menor al 12%anual, luego de 10 meses los intereses obtenidosascienden a S/.650. Halla la suma de los capitales.
9. Dos capitales que suman S/.6000 se imponen auna misma tasa de inters, el primero durante 5meses y el segundo durante 8 meses, produciendoS/.125 y S/.280 de inters, respectivamente. Hallala diferencia de los capitales.
10. Se deposit un capital al 5% y el monto fueS/.4200. Pero si se hubiera depositado al 3%, elmonto hubiera sido S/.3920. Halla el monto si sehubiera depositado al 2%.
11. Un capital de S/.4500 es impuesto al 20%,
capitalizable cada ao. Halla el inters ganado alfinalizar el segundo ao.
12. Se ha prestado un capital de S/.2500 al 24%,capitalizable semestralmente. Al cabo de "n" aosel capital se convirti en S/.5184. Qu intersse habra ganado si el capital inicial se hubieseprestado al 48% de inters simple durante "n"aos?
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Aritmtica
9 Regla del Descuento
REGLA DEL DESCUENTO
Ejemplo 1:
Resolucin:
En la actividad comercial se usan letras o pagars, cuando secompra a crdito (plazos), los cuales tienen un vencimientode pago. Es costumbre, que los bancos compren estas letrasantes que se cumplan sus vencimientos.
Juan vende un artefacto a plazos y le firman una letra de 360dlares pagadero a los 3 meses. Esta letra, Juan la vende aun banco, ese mismo da que se firm, y el banquero le dice:bueno te la compro, pero ya sabes que te la voy a descontar
porque no deseas esperar los 3 meses, bueno si es as, aqudescontamos el 5% anual, es decir:
5100
x 360 por 1 ao
Por mes se descuenta
112
5100
x x 360
y por los 3 meses
112
5100
x3x x360 = 4,5 dlares
Entonces como efectivo o cantidad actual te entrego:360 -4,5 = 355,5 dlares
Ejemplo 2:
Una letra de 1200 soles es descontada al 1% trimestral por5 meses. Halla el valor actual o efectivo.
El descuento ser:
1100
x 1200 por 3 meses
Por 1 mes ser:13
1100
x x 1200
y por 5 meses:
13
1100
x5 x x 1200 = 20 soles
Luego, el valor actual ser: 1200 -20 = 1180 soles
En resumen, en todo esto, los elementos que participan son:
Valor Nominal (Vn)Es la cantidad de dinero que lleva impresa la letrao pagar.
Tasa de descuento (r)Est dado como porcentaje (r%) anual, trimestral,etc., y es el inters que se cobra a la hora de descontar.
Tiempo de vencimiento (t)
Es el tiempo que falta desde el da que se vendela letra al banco, hasta el da de vencimiento.Generalmente se presenta en meses.
Descuento Comercial (Dc)Es el descuento que realizan los bancos, por lo generalsobre el valor nominal y su clculo es:
(1) Dc=
Vn. r.t
aos 100meses 1 200das 36 000
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5to Secundaria
Siendo r:% porcentaje de la tasa anual.
A este descuento se le llama tambin externo oabusivo.
Valor actual comercial (Vac)Llamado tambien valor efectivo, es el dinero que setiene despus del descuento.
(2) Vac = Vn -Dc
Aplicando frmulas a los ejemplos anteriores, tenemos
Vn = S/.360t= 3 mesesr= 5% al ao
El descuento ser:
y el valor actual ser:
Ejemplo 1:
360 x 5 x 31200
Dc = =4,5 dlares
Vac = 360 -4,5 = 355,5 dlares
Existe otro descuento poco usual, llamado:
Descuento Racional (DR)Tambin se le llama matemtico o interno, cuyo clculo sehace sobre el valor actual que tendr la letra despus dedescontarla.Su clcula est dado por:
(3) DR =VaR. r.t
aos 100meses 1 200das 36 000
El valor actual racional ser:
(4) VaR= Vn -DR
Si esto ltimo se sustituye en lo anterior, se obtiene lafrmula ms usada:
(5) DR=
Vn. r.t
aos 100 + rt
meses 1 200 + rtdas 36 000 + rt
De las frmulas (1) y (5) se puede obtener:
(6) Vn =Dc . DRDc -DR
Observacin
El descuento es un inters que sirve de gananciapara el banco.
El descuento es DP al valor nominal, tasa ytiempo.
SiempreDc > DRy VaR> Vac
Dc -DR= VaR-Vac
El VaR= Vac = Vn en el da de vencimiento, esdecir no hay descuento.
Ejemplo 2:
Ejemplo 1:
Una letra de 1830 soles es descontada racionalmente al 4%
anual por 5 meses, calcula el valor actual de la letra.
Resolucin:
Vn = S/.1830r= 4% al aot= 5 mesesEl descuento racional ser:
1830.4.51200 + (4.5)
DR=
DR= 30 soles
y el valor actual racional ser:
VaR = 1830 - 30VaR = 1800 soles
Vn = S/.1200r= 1% en 3 meses4% al aot= 5 meses
El descuento ser:
Dc = = 20
y el valor actual ser:
Vac = 1200 -20 = 1180 soles
1200 x 4 x 51200
adems:
(7) Dc-DR=
DR. r.t1200 meses
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Aritmtica
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Cul de los siguientes documentos no esutilizado en el comercio?
a) letra
b) memorndun
c) factura
d) boleta
e) cheque
Resolucin:
Una letra de cambio de 2400 soles es aceptada el
15 de abril y se vence el 10 de junio. Si se negocia
el 15 de abril, el tiempo del descuento ser de:
Resolucin:
Calcula el descuento externo, de un pagar de
2400 dlares al 5% mensual por 3 meses.
Resolucin:
Una letra de 1000 soles es pagadera a los 10meses de firmada. Si se negocia a los 3 meses,
entonces el tiempo de descuento a considerar
ser:
Resolucin:
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Aritmtica
Qu precio debe fijarse para la venta de una mezcla dedos tipos de caf: de primera a S/.5 cada kilogramo y desegunda a S/.3 cada kilogramo, si del primer tipo hay 20
kg y del segundo 30 kg, debiendo ganarse adems un 20%?
Resolucin:
Ejemplo 4:
Al mezclarse dos ingredientes, conocidos sus precios y elprecio medio de la mezcla(P
1< P
m< P
2) se determina
una relacin entre las cantidades a mezclar.
Observacin
Mtodo del Aspa:
Ingrediente 1
C1
C2
Ingrediente 2P
m
S/.P1
S/.P2
Pm-P
1
P2-P
m
Se toma las diferencias
en aspa
Donde se cumple:
C1C
2
P2-PmP
m-P
1
=
Ejemplo 5:
MEZCLA ALCOHLICA
Ejemplo 6 :
El grado de un alcohol, formado por 24 litros de agua y 36
litros de alcohol puro, es:
Ejemplo 7:
Se mezclan tres alcoholes cuyos grados son 40, 50 y 65, yvolmenes 20 litros, 18 litros y 12 litros, respectivamente.Determina el grado del alcohol resultante.
Resolucin:
Se tiene dos sustancias cuyos precios por kilogramo sonS/.10 y S/.15. Qu cantidad de la primera se utiliza si semezclan ambas sustancias y de la segunda se utiliza 18kg,
obtenindose un precio medio de S/.12?
Resolucin:
Se utiliza 27kg del primero
x
18
12
S/.10
S/.15
15-12=3
12-10=3
x
18
=3
2
x = 27kg
Es la relacin que hay entre el volumen de alcohol puro y elvolumen total del alcohol (alcohol puro + agua).
Grado Alcohlico
Es un caso particular de mezcla, donde los ingredientes sonalcoholes con diferentes pureza y volumen.
Volumen alcohol puroVolumen total
Grado= x100
VA: 24
36V0H
:
aguaalcoholpuro
Grado=36
24+36x 100
Grado= 60 60%
Para la mezcla de varios tipos de alcohol
Volmenes:
... VmV3V2V1
Grados: g1
g2
g3
gm...
El grado medio (gm) de la mezcla
g1V1+g2V2+g3V3+...+gnVnV
1+V
2+V
3+ ...+V
n
gm=
Grado medio
40(20)+50(18)+65(12)20 + 18 + 12
gm =
2480
50= = 49,6
Se obtiene alcohol de 49,6
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Aritmtica
1) Si 1 litro de mezcla formado del 75% de alcohol y 25%de agua pesa 850 gramos, cunto pesar 1 litro de
mezcla formado de 25% de alcohol y 75% de agua?a) 890 g b) 900 g c) 925 g
d) 950 g e) 980 g
Resolucin:
Calculamos el peso de 1 litro de alcohol.En 100 litros de mezcla:
2) Un joyero tiene un lingote de oro de ley 0,900 que pesa15000g. Qu cantidad de oro puro (en g) tendr queaadir al lingote para elevar su ley a 0,925?
a) 350 b) 500 c) 600
d) 750 e) 300
Resolucin:
Determinando la ley media
1,2(0,4)+1,8(0,6)+3(0,5)
1,2+1,8+3Lm=
= 0,51 = 0,510
Si las aleaciones fueran de oro: #quilates=24 x 0,51 = 12,24 quilates Si las aleaciones fueran de plata. #milsimos = 510
Ejemplo 12:
Se funden 3 aleaciones de oro cuyos pesos son de 800, 1200y 1600 gramos, y el nmero de quilates correspondientes
16, 20 y 18. Cul ser el nmero de quilates de la aleacinresultante?
Resolucin:
Nota
0 < Nmeros de quilates 24
W1W
2
=L
2- L
m
Lm - L1
Ejemplo 13:
Al fundir un ligote de ley 0,750 con 300 gramos de un lingote
de ley 0,800; se ha obtenido un aleacin de 0,780. Cul esel peso de la aleacin resultante?
Resolucin:
Lm
L1
L2
L2
- Lm
Lm- L
1
W1
W2
0,780
0,750X
300 0,800
0,800 - 0,780
0,780 - 0,750
=x
3000,800 -0,7800,780 -0,750
=2030
=23
Se obtiene x = 200gEl peso total de la aleacin: 200 + 300 = 500g
Agua 25 L 100 g
Alcohol 75 L x850g
850-x
150
2575
=350-x150
x = 800g
Peso medio de 100 litros de mezcla (cuando vara el volumende la mezcla, el peso medio no vara).
25x800 + 75x10025 + 75
Pm
= = 950g
Rpta.: d
Resolucin:
Peso inicial del oro: P
P1500
=0,900 P = 1350
Sea x el peso a aumentar:
1350+x1500+x
=0,925 x = 500
Para la mezcla de 2 tipos de aleaciones: L1< L
m< L
2
Rpta.: b
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70
5to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Se ha mezclado 120 kg de azcar de S/.3 el
kilogramo con otra cierta cantidad de azcar,
cuyo peso representa el 20% del peso total y se
ha obtenido como precio medio por kilogramoS/.2,70. Cul es el precio por kilogramo de la
segunda cantidad de azcar?
Resolucin:
Si fundimos 200g de oro de 18 kilates con 300g
de oro de 21 kilates y con 400g de oro de 14
kilates, cul es la ley de la aleacin, en kilates?
Resolucin:
7. Se mezcla 90 litros de vino de S/.20 el litro convino de S/.12 el litro y con un tercero de S/.18el litro, resultando un precio medio de S/.17.Sabiendo que por cada cinco litros del segundohay siete litros del tercero, cunto se recaudarsi se vende toda la mezcla?
8. Se han mezclado 50 litros de alcohol de 96 depureza con 46 litros de alcohol de 60 y 54 litrosde otro alcohol. Cul es la pureza de este ltimoalcohol si la mezcla tiene 68,4 de pureza?
9. Se mezcla 45 litros de vino de S/.20 el litro, convino de S/.12 el litro y con otro de S/.15 el litro,resultando un precio medio de S/.14. Sabiendoque por cada tres litros del segundo hay cuatrolitros del tercero, halla la cantidad total de la
mezcla.
10. Se disponen de lingotes de plata cuyas leyes son0,850 y 0,775. Cuntos kilogramos se debentomar del primero para obtener 60kg de plata conuna ley de 0,825?
11. Se mezclan tres tipos de t, cuyos pesos sonproporcionales a los nmeros 4; 3 y 8 ademssus precios por kilogramo son S/.9; S/.10 y S/.6respectivamente. Si se desea ganar el 25% delcosto, a cmo se debe vender el kilogramo demezcla?
12. Un joyero tiene tres lingotes de plata cuyas leyesson 650; 700 y 800 milsimos. Se quiere formarun lingote que pese 20kg y tenga una ley de 755milsimos empleando un poco de los tres lingotes.Qu peso debe tomar del primer lingote si el peso
tomado del tercero debe ser el doble del pesotomado del segundo?
-
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Aritmtica
1. Un comerciante ha mezclado tres tipos de arroz:80kg de S/2,5 por kilogramo; 120kg de S/.1,5 porkilogramos y 50kg de S/.2,0 por kilogramo. Cules el precio medio de un kilogramo de la mezcla?
a) S/. 1,96 b) S/. 2,05 c) S/. 1,48d) S/. 2,75 e) S/. 1,92
2. En un barril se mezclan 60 litros de vino de S/.15el litro, 50 litros de vino de S/.18 el litro y 40litros de vino de S/.12. Si al venderlo se deseaganar S/.2 por litro, cul es el precio de venta
por litro?
a) S/. 17,20 b) S/. 16,60 c) S/. 18,20d) S/. 15,80 e) S/. 14,60
3. Un comerciante compr 120kg de caf a S/.8 elkilogramo y los mezcl con 80kg de caf de S/.10.A cmo debe vender el kilogramo de la mezclasi quiere ganar el 25% del costo?
a) S/. 12,00 b) S/. 11,50 c) S/. 13,00d) S/. 11,00 e) S/. 12,50
4. En qu relacin se debe mezclar dos cantidadesde vino cuyos precios unitarios son S/.20 y S/.12para obtener una mezcla con un precio unitariode S/.14?
a) 1 : 2 b) 1 : 3 c) 1 : 4d) 2 : 3 e) 2 : 5
5. Se quiere preparar una mezcla de 40 litros de vinoque cueste S/.24 el litro; para esto se disponen de24 litros de vino de S/.28 el litro y 16 litros de vino
de otra calidad. Cul es el precio por litro delsegundo vino?
a) S/. 15 b) S/. 20 c) S/. 16d) S/. 21 e) S/. 18
6. Se funden dos barras de plata, la primera pesa240 g y tiene una ley de 0,850; la segunda pesa120g ms y su ley es de 0,950. Cul es la ley dela aleacin?
a) 0,930 b) 0,915 c) 0,910
d) 0,925 e) 0,900
7. Con dos clases de azcar de S/.4,00 y S/.5,20 elkilogramo, se quiere hacer una mezcla de S/.4,80el kilogramo, de tal manera que del ms barato setenga 25 kg menos que del ms caro. Cul es elpeso de toda la mezcla?
a) 90 kg b) 75 kg c) 120 kgd) 60 kg e) 150 kg
8. Tenemos 54 litros de alcohol de 90 y se mezclancon 81 litros de otro alcohol de 72. Cuntoslitros de agua deben aadirse a esta mezcla para
obtener una mezcla de 60 de pureza?
a) 81,4 b) 64,8 c) 32,7d) 43,2 e) 86,4
9. Se tiene una barra de plata de 3,5kg y una ley de0,900. Qu cantidad de plata de ley 0,950 se debeemplear para obtener una aleacin de 0,915?
a) 2,0 kg b) 2,5 kg c) 1,5 kgd) 2,25 kg e) 3,25 kg
10. Cuntos kilogramos de carbn con 9% dehumedad se deben mezclar con carbn de 5% dehumedad para obtener una mezcla de 76kg decarbn con 6% de humedad?
a) 20 b) 19 c) 21d) 18 e) 32
11. Los pesos de tres lingotes de oro estn en la mismarelacin que los nmeros 2, 3 y 7. Si el ms pesadoes de 21 kilates y el menos pesado de 18 kilates,de cuntos kilates es el intermedio, si luego de
fusionarlos la ley resultante fue de19 kilates?
a) 14 b) 14,5 c) 15d) 15,5 e) 16
12. Una barra de plata pesa 5kg y tiene una ley de0,950. Se funde con otras dos barras cuyos pesosestn en la relacin de 2 a 3 y sus leyes son 0,800y 0,850 respectivamente, obtenindose una ley de0,860. Halla el peso de la segunda barra.
a) 9 kg b) 8 kg c) 5 kg
d) 4 kg e) 3 kg
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5to Secundaria
11 Estadstica I
Es una ciencia que nos porporciona un conjunto demtodos y procedimientos para la recoleccin, clasificacin,organizacin, presentacin, anlisis e interpretacin dedatos en forma adecuada con el fin de realizar una teorade decisiones ms efectivas.
Ejemplo:
CLASES DE ESTADSTICA
ESTADSTICA DESCRIPTIVAEs la parte de la estadstica que trata de recopilar, clasificar,
presentar y describir datos estadsticos.
ESTADSTICA INFERENCIALEs la parte de la estadstica cuyo objeto de estudio esinvestigar cmo deben ser utilizados los datos para producirresultados o probar alguna hiptesis.
Observacin:La diferencia entre la estadstica descriptiva y la inferenciales que la segunda usa el clculo de la probabilidad.
Poblacin:
Es un conjunto de datos referentes a determinadascaractersticas de un grupo de individuos o elementos.
La edades de los alumnos de la UNI.
MuestraEs el subconjunto tomado al azar de los elementos de unadeterminada poblacin.
Las edades de los alumnos de la facultad de Mecnica.
DEFINICIONES PREVIAS
ANCHO DE CLASE W:Es la diferencia que hay entre los extremos de cada intervalode clase.
DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASConsiste en distribuir los datos de la muestra de clase ocategoras e ir colocando el nmero de datos que caen encada intervalo.
ALCANCE A:Es el intervalo definido por los datos extremos (mayor ymenor valor).
INTERVALO DE CLASE O CATEGORA Li:
Son grupos que resultan de dividir el alcance o recorrido; elnmero de grupos (K) se determina por la regla propuestapor Sturges.
K = 1 + 3,32 logn
(redondeando al entero superior e inferior segn convenga).
Donde:n: nmero total de datos disponibles.
RANGO O RECORRIDO R:
Es la longitud de alcance que resulta de la diferencia entreel mayor y menor valor.
DEFINICIN
Ejemplo:
Ejemplo:
Sea el intervalo [L
i; L
i+1
W = Li+1
Li
tambin : W = RK
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Aritmtica
Calculando el ancho de clase:
W = = = 6,86 7
Con los siguientes datos encontradosharemos una tabla de distribucin defrecuencia.
RK
487
FRECUENCIA ABSOLUTA fi:
Es el nmero de datos que caen dentro de cada intervalo de clase.
FRECUENCIA RELATIVA hi:
Viene a ser el cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero total de datos.
Donde n : nmero de intervalos.
j = 1
iF
i= f
j
Donde : i = 1, 2, 3, ..., k
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA H
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA Fi:Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas.
Suponiendo k intervalos. F
1 = f
1 F
2 = f
1+ f
2 F
3 = f
1+ f
2+ f
3
F(k)
= f1+f
2+f
3+...+f
k=n
Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias relativas. H
1 = h
1
H2 = h
1+ h
2
H3 = h
1+ h
2+ h
3
H(k)
= h1+h
2+h
3+...+h
k=1 Donde : i = 1, 2, 3, ... k
fin
hi=
j = 1
jH
i= h
j
Li ; Li+1 Tabulacin fi Fi hi Hi xi
[ 46 ; 53 3 3 49,5
[ 53 ; 60 7 10 56,5
[ 60 ; 67 6 16 63,5
[ 67 ; 74 19 35 70,5
[ 74 ; 81 8 43 77,5
[ 81 ; 88 4 47 84,5
[ 88 ; 95 3 50 91,5
350
350
750
1050
650
1650
1960
3550
850
4350
450
4750
350
5050
Ejemplo:
Problema aplicativo:Se tiene los pesos de 50 estudiantes dela UNI con una aproximacin de 1 kg.
73 67 67 60 61 67 57 59 57 77 69 76 52 69 72 76 77 94 77 93
79 70 68 72 63 47 82 70 67 80 70 85 70 73 58
58 67 68 66 86 79 88 67 54 56 64 46 63 84 74
Calculando el alcance:Dato mayor : 94Dato menor : 46
A = [ 46 ; 94 ]
Calculando el Rango:
R= 94 46 = 48
Calculando el nmero de intervalos:
Si n = 50; (n = nmero de datos)
K = 1 + 3,32 log(50)
= 6,617
MARCA DE CLASE x:Son los puntos medios de los intervalosde clase.
Sea el intervalo [Li; Li+1
xi=
Ejemplo:
Li+Li+12
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Aritmtica
Diagrama Escalonado: Son diagramas similares alhistograma, con la diferencia de que las alturas sonfrecuencias absolutas o relativas acumuladas.
Ii
Ojiva
Diagramaescalonado
2
13
20
6
17
Fi
4 8 12 16 20
A40%
G20%
T26,7%
X13,3%
PORCENTAJES
GRADOS
144
72
96
48
1) En una empresa se realiz una encuesta sobre las edadesde los empleados, obtenendose:
Edades N de empleados
[25; 30> 60
[30; 35> 75
[35; 40> 120
[40; 45> 85[45; 50> 60
Donde A es el porcentaje de empleados con 30 aos o msy B es el porcentaje de empleados con menos de 45 aosHalla: A+B.
Resolucin:
Empleados con ms de 30 aos:f
2+f
3+f
4+f
5=75+120+85+60=340
A= x100%=85%340400
Empleados con menos de 45 aos:f
1+f
2+f
3+f
4=60+75+120+85=340
B= x100%=85%340400
A+B=85%+85%=170%
2) Dada la siguiente distribucin de frecuencias en base alingreso familiar de 450 familias:
Ingreso f F
[ ; > a
[240; > 80
[ ; > 2a+40 5a
[ ; >
[ ; 400> a-20
Si el ancho de clase es constante, cuntas familias tienenun ingreso comprendido entre 300 y 380 soles?
Resolucin:
Se cumple: 240+4w=400 w=40Tambin: f
1=F
i=a
F3=f
i+f
2+f
3
5a=a+80+2a+40 a=40
Tambin: fi=450
60+80+160+f4+40=450 f
4=110
5
i=1
Rpta.: 170%
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5to Secundaria
Ingreso fi
[200; 240> 60
[240; 280> 80
[280; 320> 160
[320; 360> 110
[360; 400> 40
}Entre 300 y
380 soles.
3) La siguiente ojiva muestra las frecuencias absolutasacumuladas correspondientes al ingreso diario (en soles)de un cierto nmero de empleados.
200
180
120
70
30
0 20 30 40 50 6010 Ingresos
Cuntos empleados ganan entre 20 y 45 soles?
De la ojiva se forma la tabla:
Resolucin:
Sueldos Fi fi
[10; 20> 30 30
[20; 30> 70 40
[30; 40> 120 50
[40; 50> 180 60
[50; 60> 200 20
En [20;40> hay 40+50=90, lo que corresponde a [40;45>lo averiguamos mediante una interpolacin.
[40;45> x[40;50> 60
Entonces entre 20 y 45 hay 90+30=120
x= =3060(45-40)
50-40}
4) El histograma muestra la distribucin de frecuenciasde las edades de los ingresantes a cierta facultad. Quporcentaje de ingresantes tienen entre 18 y 22 aos?
I fi hi (%)
[15; 17> 36 28,8%
[17; 19> 54 43,2%
[19; 21> 27 21,6%
[21; 23> 8 6,4%
Resolucin:
Rpta.: 210
f3=
160
f
4=110 f
5= 40
280 300 320 360 380 400
80+110+20=210
80 20
N. de empleados
Rpta.: 120
fi
36
27
8
0 15 17 19 21 23 Edades
54
Total 125
43,2% 21,6% 6,4%
17 18 19 21 22 23
En la tabla:
43,2%2
De 18 a 22 se tendr:
+21,6%+ =46,4%6,4%
2
Rpta.: 46,4%
-
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Aritmtica
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3ENUNCIADO 1:El siguiente diagrama muestra el nmero de
alumnos que llegaron tarde la semana pasada al
colegio MENTOR.
Cuntas tardanzas se registraron en toda la semana?
Resolucin:
Del ENUNCIADO 1:
Qu porcentaje del total de tardanzas se registr
el da viernes?
Resolucin:
Al averiguar el nmero de hijos de 20 familias se
obtuvo los siguientes datos:
3, 2, 5, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 2, 3
Determina qu porcentaje de familias tiene dos
hijos ms, pero menos de cuatro.
Resolucin:
Del ENUNCIADO 1:El nmero de tardanzas del viernes, con respecto
al da jueves, en qu porcentaje es mayor?
Resolucin:
40
30
25
20
0 Lun Mar Jue Vie
fi1 N. de alumnos
-
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5to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Para el siguiente grfico:
Qu se puede afirmar si la persona tiene un
ingreso de S/. 300?
I. La persona gasta S/. 135 en educacin.
II. Gasta igual en vivienda y en ropa.
III. En alimentacin gasta S/.50.
Resolucin:
Observa el siguiente histograma de frecuencias y
completa la tabla de frecuencias que est debajo.
Calcula x3+ f
5+ F
4+ n.
Resolucin:
7. La tabla muestra la distribucin de frecuencias (fi)
de un conjunto de nios, sobre sus edades: Edades (aos) f
i
6 4 8 6 10 2 12 7 Cuntos nios tienen 8 aos? Cuntos nios tienen ms de 8 aos? Cuntos nios tienen por lo menos 10 aos?
Cul es la frecuencia absoluta de los nios quetienen 12 aos?
8. La inversin anual, en miles de dlares, de unamuestra de 40 pequeas empresas fueron:
Si se construye una distribucin de frecuencias de7 intervalos de clase.I. Determina la mayor frecuencia.II. Calcula qu porcentaje de empresas invirtieron
entre 14 mil y 20 mil dlares.
9. El siguiente cuadro corresponde al ingreso semanal(en soles) de cierto nmero de obreros. Calculacuntos empleados se estima que ganan entreS/.125 y S/.260.
10. Dada la siguiente distribucin de frecuencia halla: f
1+f
3+F
4
Ropa
36
Otros54
Vivienda10%
Alimentacin
20%
Educacin
45% 5 10 15 20 25
20
17
10
4
Clases xi f
i F
i
0 5
5 10
10 15
15 20
20 25
31 17 27 20 28 10 34 25 4 2415 39 18 30 41 26 12 46 18 2336 19 29 37 33 27 24 26 27 3125 28 33 28 22 23 31 29 35 21
I
[100, 150>
[150, 200>
[200, 250>
[250, 300>
fi50
5
hi
0,30
Fi Hi
0,95
Ii[10, 20>
[20, 30>
[30, 40>
[40, 50>
[50, 60>
fi
24
30
hi0,1
0,3
Hi
0,85
Fi
-
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Aritmtica
11. En la siguiente tabla de distribucin simtrica defrecuencias, de ancho de clase constante, calcula:
a+d+e+q+k+m+f3+x
1
12. El siguiente cuadro muestra la ojiva de lasfrecuencias relativas acumuladas de las notas deun examen de ingreso a la U.N.M.S.M. Determinaqu tanto por ciento de alumnos tuvieron una
nota entre 9 y 15.
* ENUNCIADO 1:
Se muestra la siguiente tabla de distribucin del
nmero de trabajadores de un ministerio, de
acuerdo a su ocupacin.
Completa la tabla.
1. Del ENUNCIADO 1:
Cul es la frecuencia relativa de los abogados?
a) 0,25 b) 0,20 c) 0,40d) 0,70 e) 0,80
2. Del ENUNCIADO 1:
Halla el porcentaje de administradores.
a) 30% b) 40% c) 25%
d) 50% e) 20%
3. Del ENUNCIADO 1: Halla F3.
a) 200 b) 220 c) 250
d) 400 e) 180
4. Dados los datos: 10; 4; 5; 7; 7; 4 ; 6 ; 10; 5; 10; 6
Calcula:
a) La frecuencia del 4.
Rpta.: _____________
b) La frecuencia del 6.
Rpta.: _____________c) La frecuencia absoluta del 10.
Rpta.: _____________
5. Dado el grfico:
(presupuesto de un estudiante)
Se afirma:
I. Destina el 40% a la educacin.
II. Destina un 30% a la alimentacin.
III. El 30% lo dedica a otras actividades.
Son ciertas:
a) Slo I b) I y II c) Slo II
d) II y III e) Slo III
Ii xi fi Fi
[ a ; b >
[ c ; d > 10
[ 80 ; 100 > m
[ e ; f > 2k
[ p ; q > k
n = 60
100
95
655030
0 8 10 16 204 Notas
xi
Ocupacin
AdministradoresIngenieros
Abogados
Obreros
Secretarias
fi
N. de personas
12050
80
90
60
n=400
Fi
hi
Alimentacin
Otros
Educacin108
144
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5to Secundaria
M E D I A , M E D I A N A Y M O D A P A R A D A T O SCLASIFICADOS
Media Aritmtica(Ma)
Ma = n
i=1
xih
ii=1
n
xif
i
k
=
de 18 aos 46 alumnos de 19 aos 23 alumnos de 20 aos 40 alumnos de 21 aos 27 alumnos de 22 aos 12 alumnos
por lo tanto la moda de edades ser 18.
Ejemplo:
[Li; Li +1 xi fi xifi
[5 -7 6 1 6 [7 -9 8 5 40 [9 -11 10 4 40 [11 -13 12 6 72 [13 -15 14 2 28 [15 -17 16 2 32
Total 20 218
Ma =21820
=10,9
Mediana (Me)
Me = Lm
+ Wm
m2
-fm-1
Fm
Donde:
Lm: Lmite inferior de la clase mediana.W
m: Ancho de la clase mediana.
m: Nmero total de datos.f
m-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase que
precede a la clase mediana.F
m: Frecuencia absoluta de la clase mediana.
Ejemplo:
[Li-Li +1 xi f i
[4000 -4200 80 80
[4200 -4400 120 200
[4400 -4600 125 325
[4600 -4800 99 424
[4800 -5000 88 512
[5000 -5200 78 590
[5200 -5400 10 600
Total 600
Clase mediana: Aquel que supera por primera vez a la mitaddel nmero de datos.
[4400 -4600
Me=4400+200 =45606002
- 200
125
Moda (Mo)
Mo= L
o+ W
o
d1d1 +d2
Donde:L
o: Lmite inferior de la clase modal.
Wo
: Ancho de la clase modal.d
1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de
la clase anterior.d
2: Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia
de la clase siguiente.
Ejemplo:
Clase modal: Aquel que posee la mayor frecuencia absoluta. [30 -40
d1= 10 -2 = 8 d2= 10 -8 = 2
Mo = 30 + 108
8+2= 38
[Li ; Li 1 fi
[20 -30 2
[30 -40 10
[40 -55 8[55 -65 6
[65 -85 2
Total 28
d1
d2
-
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Aritmtica
1) Las notas de 7 alumnos son: 08, 09, 10, 11, 08, 12, 14un alumno aprueba si su nota es mayor que la media o
que la mediana. Cuntos aprobaron?
Resolucin:
Me : se ordena las 7 notas: 8; 8; 9; 10; 11; 12; 14
Trmino central Me = 10
las notas aprobatorias son: 11; 12 y 14
Rpta.: 3
2) Conocida la siguiente distribucin de frecuenciasrelativas acumuladas:
Ii Hi
[4; 8 a[8; 12 2a
[12; 16 4a
[16; 20 7a
[20; 24 11a
[24; 28 12a
Calcula la suma de la media aritmtica, la mediana y lamoda.
Resolucin:
De la tabla se forma:
1 1
1 2
2 4
3 7
4 11
1 12
Relacin hi Relacin Hi
clasemedianaclasemodal
x = =10,288+9+10+11+8+12+14
7
Para el clculo de x, Me y Mo, basta tomar la relacin enque aparecen: h
i( f
i) y H
i( F
i)
iii) Mo = 20+ 4x (4 -3)(4 -3)+(4 -1)
= 21
Rpta.: 57,3
ii) Me = 16+ 4x (12/2 -4)3
= 18,6
Luego: x +Me + Mo = 57 = 57,313
3) De la siguiente ojiva de los sueldos de los empleados deuna empresa, halla en qu proporcin se encuentran lamedia y mediana.
100
90
60
35
15
200 400 600 800 1000 1200
Fi
I
Resolucin:
Formemos la siguiente tabla:
Ii
F f x
200, 400] 15 15 300
400, 600] 35 20 500
600, 800] 60 25 700800, 1000] 90 30 900
1000, 1200] 100 10 1100
clasemediana
i)1(6)+1(10)+2(14)+3(18)+4(22)+1(26) 1+1+2+3+4+1
x= 17,6
x=
I) Clculo de la media:
300(15)+500(20)+700(25)+900(30)+1100(10)15+20+25+30+10
= 700
xifi fi
==x
-
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5to Secundaria
5) Si la moda de la variable aleatoria x es un nmero impar,halla la M.A.
xi fi3 104 125 18+x6 18+y7 48 89 1510 10
Total: 100(x -y)= 1
Resolucin:
fi= 100 = x
1+ x
2+...+x
8
Se obtiene: x+y = 5 ... ()
como la moda es impar, debe corresponder Mo = 5 dondex > y, luego x -y = 1 ... (); de () y (): x = 3 y = 2
xifi f
i
630100
= 6,3=x =
Rpta.: 6,3
II) Clculo de la mediana:El intervalo de clase mediana es el tercero, porque de los100 datos su mitad es 50, y est en dicho intervalo:
Xm = 600+ 20025
1002
-35 = 720
Piden:720700
3635
=
Rpta.: 3635
4) En el siguiente grfico de frecuencias:
a 1412 160
4
8
20fi
x
Si la M.A. es 11, 9,halla "a".
Llevando a una tabla:
Ii x
i f
i
[0, a a/2 4
[a, 12 (12+a)/2 8
[12, 14 13 20
[14, 16 15 8
Total 40
Como: x = 11,9Se obtiene: a = 8
Rpta.: 8
Resolucin:
(4)+ 8+13x20+15x8
40
12+a2
a2 x=
-
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Aritmtica
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Dado el siguiente conjunto de datos:6; 8; 13; 4; 12; 12; 8; 7; 4; 13; 15; 7; 8
Calcula la media aritmtica, moda y mediana.
Resolucin:
En la siguiente distribucin:
Halla el promedio entre la mediana y la moda.
Resolucin:
Dado la siguiente tabla de frecuencias respecto al
sueldo diario de 20 empleados de una empresa:
Determina la media de los sueldos diarios.
Resolucin:
Dada la distribucin:
Determina la suma de la media, mediana y moda.
Resolucin:
Edades
(aos)f
i
20 522 424 626 328 2
Ii fi
[35;45>
[45;55>
4
8
[55;65>
[65;75>
[75;85>
10
15
13
fi
[20 ;50>
[50 ;60>
[60 ;80>
[80 ;100>
Ii
[100;150>
[150;200> 4
4
2
5
3
2
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5to Secundaria
6. Se muestra la frecuencia de la cantidad de bolasmetidas en 2 horas por Renzo y sus amigos:
[10 -20[20 -30
[30 -40
[40 -50
[50 -60]
23
5
612
fi
Ii
Calcula la mediana.
a) 43 b) 46 c) 46,25d) 47 e) 47,25
7. Dada la distribucin:
halla la mediana.
a) 61,67 b) 61,84 c) 60,54d) 62,21 e) 59,72
8. Se muestra las frecuencias absolutas de los
sueldos anuales en miles de soles de un grupo detrabajadores:
[40 ;50
[50 ;60
[60 -70
[70 -80
[80 -90]
2
8
4
10
6
fi
Sueldos
Calcula la moda.
a) 74 b) 75 c) 76
d) 77 e) 78
9. Dado el siguiente histograma, determina lamediana de la distribucin:
10. Halla la media de la distribucin cuyo histograma
se muestra, sabiendo que el tamao de la muestraes un nmero de 3 cifras.
a) 32 b) 39 c) 36
d) 38 e) N. A.
11. Halla la mediana de la siguiente distribucin cuyotamao de muestra es 80.
a) 19,6 b) 12,6 c) 15,6d) 14,6 e) 14,8
12. Dado la siguiente ojiva acerca de las edades decierto nmero de alumnos. Qu porcentajetienen entre 10 y 15 aos?
a) 22% b) 18% c) 21%
Ii fi[35;45> 5
12[45;55>[55;65>[65;75>[75;85>[85;95>
181463
5 10 15 Hi20
4
25 30
12
20
26
30
fi
40 60 Ii80 100
hi
200
0,40
0,20
0,30
a a
Fi
[6 ;10>
[10 ;14>
[14 ;18>
[18 ; 22>
Ii
[22 ; 26>
[26 ; 30>
12
20
40
10a
b
Hi
127 17 22 b
0,550,45
0,250,10
a