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CIRCUITOS RCL SOBREAMOTIGUADOS, SUBAMORTIGUADOS YCRTICAMENTE AMORTIGUADOS

Antes de comenzar a explicar que son cada uno deestos tipos de circuitos RCL, es posible partir de uncircuito RCL conectado en paralelo o de un circuito RCLconectado en serie. Si se toma el caso del circuito enparalelo, es preferente obtener una ecuacin para elvoltaje y si es el caso de un circuito en serie, unaecuacin para la corriente en funcin del tiempo. Aqu,se tomar el caso de un circuito conectado en serie:

Figura1. Circuito RCL en serie

Ahora hay que obtener una ecuacin diferencial desegundo orden, debido a que se tienen dos elementosque almacenan energa. De forma rpida, es posibleconocer la ecuacin diferencial para la corriente delcircuito (de antemano se sabe que la corriente es lamisma para todos los elementos conectados). Aplicando

LVK alrededor de la malla y sustituyendo las condicionesde corriente del capacitor y voltaje del inductor :

0R c L

E V V V + + + = (1)

( ) 1( ) ( )

di tL Ri t i t dt E

dt C+ + = (2)

Si se sabe que existe una entrada constante de E(t),entonces, diferenciando a (2) con respecto del tiempo,se obtiene una ecuacin de segundo orden homognea:

2

2

( ) ( ) ( )

0

d i t di t i t

L Rdt dt C + + = (3)

Como ya se tiene la ED para la corriente, el objetivoahora es hallarle solucin de forma general para lacorriente para cualquier valor dado de un inductor,resistencia y capacitor. Con ayuda de una ecuacinauxiliar y como constantes a R, C y L:

2 10Lm Rm

C+ + = (4)

Del lgebra, es posible conocer de (4) las races que ledan solucin, nombradas m1 y m2. Empleando lafrmula general:

( )21

4 /

2 2

R L CRm

L L

= + (5)

( )22

4 /

2 2

R L CRm

L L

=

Es posible representar de otra forma a la estructura decada solucin de la ecuacin diferencial. Ahora, sepropone lo siguiente:

01,

2R

L LC = = (6)

Donde es llamado coeficiente de amortiguamiento y

0 es llamado frecuencia de resonancia. Reescribiendo

la ecuacin (5) se obtiene:

( ) ( )2 2 2 21 0 2 0,m m = + =

Ahora, la naturaleza de la corriente depender de losvalores de la resistencia, el capacitor y el inductor dentrodel resultado de m1 y m2. Por ello, existen tres casos en

los que se involucra al coeficiente de amortiguamiento yla frecuencia de resonancia. En cada uno de estos trescasos, el circuito recibe tres distintos nombres: sobre-amortiguado, sub-amortiguado y crticamenteamortiguado.

El coeficiente de amortiguamiento, que interviene en lostres casos posibles, es una expresin que determina lamedida de la rapidez con la decae o se amortigua larespuesta natural (cuando la solucin de la ED seobtuvo igualando esta a cero) hacia su estado finalpermanente.

1 CIRCUITO SOBREAMORTIGUADO

El caso de sobre amortiguamiento se da cuando lasiguiente expresin se cumple dentro de las races de laecuacin:

2 2 2

04 / R L C > > (7)

Con esta condicin, las races m1 y m2 sern reales ydistintas. Con ello, existir una solucin general deforma

1 2( )m t m t

i t Ae Be= + (8)

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Asimismo, es posible representar el comportamiento dela corriente en funcin del tiempo a travs de unagrfica:

Figura2. Corriente en un circuito sobre-amortiguado

Como se puede observar en la grfica anterior, lacorriente no presenta un comportamiento oscilatorio,tendiendo hacia el equilibrio al transcurso del tiempodebido a su naturaleza exponencial decreciente.

2 CIRCUITO CRITICAMENTEAMORTIGUADO

Un circuito RLC est crticamente amortiguado cuandola siguiente expresin se cumple dentro de las races dela ecuacin:

2 2 2

04 / R L C = = (9)

En la prctica, la expresin (8) no es posible, debido aque no se puede conseguir valores para la constante deamortiguamiento y la frecuencia de resonancia iguales,por lo tanto, siempre se tendrn como resultado circuitos

sub-amortiguados o sobre-amortiguados en la realidad.Volviendo a la teora, con esta condicin, las races m1 ym2 sern reales e iguales. Por lo tanto, existir unasolucin para la corriente en funcin del tiempo de laforma:

1 2( )m t m t

i t Ae Bte= + (10)

Representando el comportamiento general de lacorriente a travs del tiempo de un circuito crticamenteamortiguado:

Figura3. Corriente en un circuito crticamenteamortiguado

En la grfica anterior, se observa que la corrientecomienza a aumentar en los primeros instantes detiempo y en cierto valor comienza a decrecer (un tiempomnimo) hasta alcanzar el punto de equilibrio. Por ellose le llama amortiguamiento crtico, debido a que se dejapasar un cierto tiempo y de forma crtica se amortiguapara prevenir una oscilacin de, en este caso, la

corriente que existe en el circuito.

3 CIRCUITO SUB-AMORTIGUADO

El caso de sub-amortiguamiento se da cuando lasiguiente expresin se cumple dentro de las races de laecuacin:

2 2 2

04 / R L C < < (11)

Esta condicin se cumple en varias ocasiones al elegir,en el caso de los circuitos RLC en serie, valores deresistencia y capacitancia muy pequeos. Con estacondicin, las races m1 y m2 sern nmeros complejos.

La solucin de forma general a la corriente es:

( )( ) cos sinti t e A t B t = + (12)

Por lo tanto, su representacin grfica de forma generales la siguiente:

Figura3. Corriente en un circuito sub-amortiguado

Como se observa en la figura 4, la corriente, desde elinicio y en un intervalo de tiempo, posee uncomportamiento oscilatorio senoidal y cosenoidal, cuyaamplitud va decrementndose exponencialmente,hastaalcanzar el equilibrio, gracias a la constante deamortiguamiento existente en el argumento exponencial.

As como se presentaron los casos de amortiguamientoen un circuito RLC en serie, son los mismos en un

circuito RLC en paralelo, solamente que se involucracomo incgnita el voltaje en la ecuacin diferencial,siendo las grficas que representan el comportamientodel voltaje a travs del tiempo en un elemento dealmacenamiento de energa tambin de la misma forma.

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