EJERCICIOS A RESOLVER

1. ¿Cuál es la relación entre la cantidad gastada semanalmente en alimentos y el tamaño de una familia? ¿Familias grandes gastan más en comida? Una muestra de 10 familias de Lima dio los siguientes resultados por tamaño de familia y monto de gastos en comida por semana.

a) Elabore un diagrama de dispersión.b) Pruebe diferentes modelos y determine la mejor ecuación de regresión simple.c) Grafique la ecuación de regresión hallada.d) Estímese el gasto semanal en alimentos de una familia con 5 miembros.e) Calcule e interprete el coeficiente de determinaciónf) Calcule e interprete el coeficiente de correlación

SOLUCION

a)

X Y X 2ᶺ XY b1 b0 ycal =b0 + b1X1 3 99 9 297 11.27 60.35 94.192 6 104 36 624 128.013 5 151 25 755 116.744 6 129 36 774 128.015 6 142 36 852 128.016 3 111 9 333 94.197 4 74 16 296 105.468 4 91 16 364 105.469 5 119 25 595 116.74

10 3 91 9 273 94.19∑ 45 1111 217 5163 1111

r2

b) Ecuación:

∑∑

−−

=22 xnx

yxnxyb

Reemplazando valores: b1=11.27 y b0=60.35

La ecuación es y=b1x+b0 -> y = 11.276x + 102.5

c) Ya está graficada en la parte a)

d) reemplazamos x=5 en la ecuación de regresión

y=11.276*5+60.359y=116.74

e) El coeficiente de determinación se calcula así:

Reemplazando los valores tenemos la siguiente tabla:

ycal =b0 + b1X Syx Ypromycal-

yprom Y-yprom r 2ᶺ

94.191.7019328

7 111.1 286.08 146.41 0.347128.01 286.08 50.41 116.74 31.79 1592.01 128.01 286.08 320.41 128.01 286.08 954.81

( )( )∑

∑2

2

Y - iY

Y - Y=

94.19 286.08 0.01 105.46 31.79 1376.41 105.46 31.79 404.01 116.74 31.79 62.41 94.19 286.08 404.01

1111 1843.60 5310.9

Interpretación: El 30% de las variaciones en el incremento de la cantidad

Gastada pueden explicarse por el tamaño de la familia.

f) El coeficiente de correlación es la raíz cuadrada del coeficiente de Determinación, es decir: r

r=0.589 (+)

Interpretación: El incremento de la cantidad gastada está directamente relacionado Con el incremento del tamaño de la familia

1. En Finanzas, es de interés ver la relación entre la devolución promedio de acciones (Y), y la devolución global del mercado (X). El coeficiente de pendiente calculado por regresión lineal es denominado la beta de las acciones por los analistas de inversiones. Una beta mayor que 1 indica que las acciones son relativamente sensibles a cambios en el mercado, mientras que una beta menor que 1 indica que las acciones son relativamente insensibles.Para los datos siguientes:

a) Presente un diagrama de dispersión.b) Formule la ecuación de regresión.

SOLUCIONa)

X Y X 2ᶺ XY b1 b0 ycal =b0 + b1X1 11 10 121 110 0.41 6.066 10.582 15 12 225 180 12.223 3 8 9 24 7.304 18 15 324 270 13.455 10 9 100 90 10.176 12 11 144 132 10.997 6 8 36 48 8.538 7 10 49 70 8.949 18 13 324 234 13.45

10 13 11 169 143 11.40∑ 113 107 1501 1301 107

b) Ecuación:

∑∑

−−

=22 xnx

yxnxyb

Reemplazando valores tenemos: b1=0.41 y b0=6.066

La ecuación es y=b1x+b0 -> y = 0.41x + 6.066

1. El editor en jefe de un importante periódico metropolitano ha intentado convencer al dueño del periódico para que mejore las condiciones de trabajo en el taller de prensas. Está convencido de que, cuando trabajan las prensas, el grado de ruido crea niveles no saludables de tensión y ansiedad. Recientemente hizo que un psicólogo realizara una prueba durante la cual los prensistas se situaron en cuartos con niveles variables de ruido y luego se le hizo otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. La siguiente tabla muestra el índice de su grado de ansiedad o nerviosismo y el nivel de ruido al que se vieron expuestos. (1,0 es bajo y 10,0 es alto).

a) Represente gráficamente estos datos.b) Pruebe modelos de regresión y elija el mejor a base del coeficiente de determinación.c) Pronostique el grado de ansiedad que podríamos esperar cuando el nivel de ruido es 5.d) Calcule e interprete el coeficiente de correlación

e) Calcule e interprete el coeficiente de determinación

SOLUCIONa)

X Y X 2ᶺ XY b1 b0 ycal =b0 + b1X1 4 39 16 156 4.56 16.51 34.782 3 38 9 114 30.223 1 16 1 16 21.084 2 18 4 36 25.655 6 41 36 246 43.926 7 45 49 315 48.487 2 25 4 50 25.658 3 38 9 114 30.22

∑ 28 260 128 1047 260

r2

b) Ecuación:

∑∑

−−

=22 xnx

yxnxyb

Reemplazando valores: b1=4.56 y b0=16.51

La ecuación es y=b1x+b0 -> y = 4.56x + 16.51

c) Pronosticamos el grado de ansiedad cuando el nivel de ruido es 5:

Reemplazamos x=5 en la ecuación calculada

y=4.56*5+16.51

y=39.31

d) El coeficiente de correlación es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación, es Decir: r

r=0.848 (+)

Interpretación: El incremento del grado de ansiedad está directamente relacionado Con el nivel del ruido

e) El coeficiente de determinación se calcula así:( )( )∑

∑2

2

Y - iY

Y - Y=

Reemplazando los valores tenemos la siguiente tabla:

ycal =b0 + b1X Syx Yprom ycal-yprom Y-yprom r 2ᶺ34.78 1.72144696 32.5 5.21 42.25 0.71930.22 5.21 30.25 21.08 130.34 272.25 25.65 46.92 210.25 43.92 130.34 72.25 48.48 255.47 156.25 25.65 46.92 56.25 30.22 5.21 30.25

260 625.63 870

Interpretación: El 71.9% de las variaciones del grado de ansiedad pueden explicarse Por el nivel del ruido

1. Con la siguiente información:

a) Calcule e interprete los coeficientes de regresión (tenga en cuenta las unidades de medidas de las variables)

b) Estime las ventas si el gasto en publicidad es 13500.c) Calcule e interprete el coeficiente de determinaciónd) Calcule e interprete el coeficiente de correlación

SOLUCION

a)

X Y X 2ᶺ XY b1 b0 ycal =b0 + b1X1 8 25 64 200 2.69 6.88 28.472 12 40 144 480 39.263 10 35 100 350 33.864 5 22 25 110 20.375 16 50 256 800 50.05

∑ 51 172 589 1940 172

Ecuación:

r2

∑∑

−−

=22 xnx

yxnxyb

Reemplazando valores tenemos que los coeficientes de regresión son:

b1=2.69 y b0=6.88

La ecuación es y=b1x+b0 -> y = 2.69x + 6.88

b) Para calcular las ventas para un gasto de publicidad de 13500 reemplazamos este Valor convertido en miles en l ecuación de regresión

y= 2.69*13.5+6.88y=43.30

Ventas= 43.30*1000

Ventas = 43300

c) El coeficiente de determinación se calcula así:

Reemplazando los valores tenemos la siguiente tabla:

ycal =b0 + b1X Syx Yprom ycal-yprom Y-yprom r 2ᶺ28.47 2.00058582 34.4 35.22 88.36 0.96839.26 23.58 31.36 33.86 0.29 0.36 20.37 196.78 153.76

( )( )∑

∑2

2

Y - iY

Y - Y=

50.05 244.81 243.36 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0

172 500.69 517.2

Interpretación: El 96.8% de las variaciones de las ventas pueden explicarse por los Gastos de publicidad

d) El coeficiente de correlación es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación, es Decir: r

r=0.984 (+)

Interpretación: El incremento de las ventas está directamente relacionado con el gasto En publicad

1. Información sobre la tasa de interés anual (en soles) y el nivel de ahorro se presenta en el cuadro siguiente:

a. Elabore un diagrama de dispersiónb. Calcule e interprete los coeficientes de regresión a y bc. Formule la ecuación de regresión lineal

d. Estime el nivel de ahorro para una tasa de interés de 18,5%e. Calcule e interprete el coeficiente de determinaciónf. Calcule e interprete el coeficiente de correlacióng. Calcule el error estándar de la estimación. ¿Para qué sirve?

SOLUCIONa)

X Y X 2ᶺ XY b1 b0 ycal =b0 + b1X1 380 20 144400 7600 0.0619 -3.49 20.042 325 17 105625 5525 16.633 300 15 90000 4500 15.084 460 25 211600 11500 24.995 220 10 48400 2200 10.136 250 12 62500 3000 11.997 430 23 184900 9890 23.13

∑ 2365 122 847425 44215 122

b) Ecuación:

∑∑

−−

=22 xnx

yxnxyb

Reemplazando valores tenemos que los coeficientes de regresión son:

b1=0.0619 y b0= - 3.49

c) Ecuación La ecuación es y=b1x+b0 -> y = 0.0619x – 3.49

d) Para estimar el nivel de ahorro para una tasa de interés de 18.5% reemplazamos

r2

Este valor en la ecuación de regresión

y=18.5x=(y+3.49)/0.0619

x=(18.5+3.49)/0.0619x=355.1609

e) El coeficiente de determinación se calcula así:

Reemplazando los valores tenemos la siguiente tabla:

ycal =b0 + b1X Syx Ypromycal-

yprom Y-yprom r 2ᶺ

20.040.0169974

217.428571

4 6.81 6.6122449 0.999

16.63 0.630.1836734

7

15.08 5.495.8979591

8

24.99 57.2057.326530

6

10.13 53.2555.183673

5

11.99 29.5929.469387

8

23.13 32.5531.040816

3 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0

122 185.54 185.71

( )( )∑

∑2

2

Y - iY

Y - Y=

Interpretación: El 99.99% de las variaciones del ahorro pueden explicarse por los Valores de intereses

f) El coeficiente de correlación es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación, es Decir: r

r=0.984 (+)

Interpretación: El incremento de los ahorros están directamente relacionados con los Incrementos de los intereses

g) Error estándar de estimación

ycal Y Y-ycal (Y-ycal) 2ᶺ20.03 20 -0.0380 0.0014

16.632 17 0.3674 0.135015.084 15 -0.0845 0.007124.991 25 0.008 7.06E-10.131 10 -0.1310 0.017111.988 12 0.0113 0.000123.134 23 -0.1340 0.0179

0.17896682

2

2n

Y-Y )(=y xS−

∑

Sxy=0.1891

Sirve para medir la disparidad promedio entre los valores de tasa de interés y ahorro