5%2bespacios%2bvectoriales
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Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
125
5
5.1 Definición de Espacio Vectorial
5.2 Propiedades
5.3 Subespacios 5.4 Subespacio generado
5.5 Dependencia e Independencia Lineal
5.6 Bases y Dimensión
5.7 Espacios asociados a matrices
5.8 Cambio de base
5.9 Bases ortonormales
OBJETIVOS: Conceptualizar Espacios Vectoriales. Determinar si un Conjunto es o no Espacio Vectorial Determinar si un Subconjunto es o no Subespacio Vectorial
Encontrar Subespacios Generados. Determinar si un conjunto de vectores es Linealmente Independiente o no. Determinar Bases y la dimensión de Subespacios Vectoriales.
Encontrar Espacios Filas, Espacios Columna, Núcleo e Imagen de una matriz. Obtener el vector de coordenadas de un vector con respecto a diversas bases
emplenado Matrices de Transición. Hallar Bases Ortonormales.
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El lector ya se habrá percatado, por los cursos de Matemáticas Básicas, que los conjuntos con los cuales trabajaba son estructuras en
los cuales se definen dos operaciones básicas “Suma entre sus elementos” y “Multiplicación por escalares”. Se trata ahora de
realizar un estudio más riguroso.
5.1 Definición de Espacio Vectorial
Un conjunto no vacio V junto con dos operaciones
"Suma" y "Multiplicación por Escalar", denotadas
como y respectivamente, constituyen un
Espacio Vectorial Real si se satisfacen los 10
axiomas siguientes: 1. Si sumamos dos elementos de V , el resultante debe ser elemento de V . Es
decir, si 1 2V Vv v , entonces 1 2 Vv v . La Suma debe ser Cerrada
2. 1 2, V v v ; 1 2 2 1 v v v v . La Suma debe ser Conmutativa.
3. 1 2 3, , V v v v ; 1 2 3 1 2 3 v v v v v v . La Suma debe ser
Asociativa.
4. Debe existir un elemento en V , denotémoslo como 0 , tal que sumado con
cualquier elemento de V el resultante sea el mismo elemento. Es decir,
V, V 0 v , tal que v 0 0 v v . Aquí 0 es llamado “Nulo”,
“Idéntico”, o “Neutro”
5. Para cada elemento de V debe existir un elemento, denotémoslo como v , de
modo que al sumarlos resulte el Neutro. Es decir, V,v v , tal que
v v 0 . Donde v es llamado “Inverso Aditivo de v ”
6. La Multiplicación por Escalar debe ser Cerrada. Es decir, si V v ,
entonces V v . Multiplicando a cualquier elemento de V por un número
real el resultado debe ser elemento de V .
7. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para su Suma . Es decir,
1 2 1 2 v v v v . Donde
8. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para la suma de números
reales. Es decir, v v v . Donde , .
9. La Multiplicación por Escalar debe ser Asociativa.
Es decir, v v . Donde ,
10. El número 1 debe ser el “ Idéntico Multiplicativo” . Es decir, 1 v v
A los elementos de los Espacios Vectoriales se los denomina
Vectores.
De acuerdo a lo definido los conjuntos conocidos con las
operaciones Suma convencional y Multiplicación por Escalar convencional serían Espacios Vectoriales.
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Ejemplo 1
V (El conjunto de los Números Reales) Con las operaciones usuales de suma y multiplicación entre números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 2
2V /x
x yy
(El conjunto de pares ordenados )
Con las operac iones usuales de suma entre pares ordenados y multipl icación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 3
3V /
x
y x y z
z
(El conjunto de ternas ordenadas)
Con las operaciones usuales de suma entre ternas ordenadas y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 4
1
241 2 3 4
3
4
V /
x
xx x x x
x
x
(El conjunto ordenado de 4
componentes. Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 5
1
2V / , 1,2,3, ,n
i
n
x
xx i n
x
(El conjunto ordenado de "n" componentes)
Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 6
V , / es una función continua en ,C a b f f a b
Con las operaciones usuales de suma entre funciones y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas..
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Ejemplo 7
2V / es un polinomio de grado menor o igual a 2P p p O también
22 /P at bt c a b c .
Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 8
3V / es un polinomio degrado menor o igual a 3P p p O también
3 23V / , , ,P at bt ct d a b c d
Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 9
1
1 2 2 1 0V , /n n
n n n n n iP a t a t a t a t a a
El conjunto de los polinomios de
grado menor o igual a " n ". Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 10
2 2V / , , ,a b
M a b c dc d
. El conjunto de las matrices 22 .
Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multipl icación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Ejemplo 11
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
V /
n
nm n ij
m m m mn
a a a a
a a a aM a
a a a a
El conjunto de las matrices de dimensión nm
Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multipl icación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.
Como ejemplos de conjuntos que no son Espacios Vectoriales,
también con las operaciones convencionales, tenemos:
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Ejemplo 1
V El conjunto de los números reales positivo no es espacio vectorial porque no cumple el ax ioma de la
ex istencia del elemento nulo, es decir, 0 PREGUNTA: ¿Sólo este ax ioma no cumple?.
Ejemplo 2
1 2 3V / , , ,
1 1 1 1
xx
El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es siempre igual a 1; no cumple con el ax ioma de cerradura para la suma, veamos:
Sean 1
11
x
v y 2
21
x
v entonces 1 2
2 V2
x x
1v v
Por tanto, este conjunto no es espacio vectorial.
Ejemplo 3
2V / , , 0at bt c a b c a
El conjunto de los Polinomio de grado exactamente igual a 2 , no es espacio vectorial porque al sumar dos polinomios de grado 2 no necesariamente resulta un polinomio de grado 2 ; por ejemplo (contraejemplo):
Sean 2
1 2 3 2t t v y 2
2 2 5 3t t v
Entonces 1 2 8 1 Vt v v
PREGUNTA: ¿Sólo este ax ioma no cumple?
Ejemplo 4
V / es no singularn nA M A
El conjunto de las Matrices no singulares (inversibles), no es espacio vectorial porque la matriz cero no pertenece a este conjunto ya que no tiene inversa PREGUNTA: ¿Sólo este ax ioma no cumple?
Ahora veamos, cómo proceder en el caso de que haya que
comprobar todos los axiomas.
Ejemplo
1 2 4V / 3 , , ,
3 6 12
xy x x
y
El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es 3 veces la primera componente; es decir,
los puntos que pertenecen a la recta con ecuación xy 3 .
Veamos que se satis facen los 10 ax iomas.
1. Si 1
113
x
x
v y 2
223
x
x
v entonces 1 2
1 21 2
V3( )
x x
x x
v v
2.
1
1
2
2
2
2
1
1
3333 x
x
x
x
x
x
x
x
3.
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
333333 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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4. 0
V0
0
5. Si 3
x
x
v entonces su inverso aditivo ser ía V3
x
x
v
6. Si 3
x
x
v entonces V3
x
x
v
7.
2
2
1
1
2
2
1
1
3333 x
x
x
x
x
x
x
x
8.
x
x
x
x
x
x
333)(
9.
x
x
x
x
33
10.
x
x
x
x
31.
3
Ejercicios propuestos 5.1
Determine si los siguientes conjuntos son Espacios Vectoriales o No.
1. V / 3 1x
y xy
2. V / 0
x
y x y z
z
3. V / 5 , 3 , 3
x
y x t y t z t t
z
Todos los ejemplos anteriores fueron considerados con las
operaciones convencionales, pero los resultados pueden ser diferentes si las operaciones de "Suma" y "Multiplicación por escalar" se definen
de manera diferente. De aquí en adelante, a menos que se diga lo contrario, se empleará las operaciones usuales.
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5.2 Propiedades de los Espacios Vectoriales Sea V un Espacio Vectorial. Entonces se cumplen las siguientes
propiedades:
Propiedad 1
El vector neutro 0 es único.
Demostración.
Suponga que existen dos neutros 10 y 20 .
Entonces: 1 1 1v 0 = 0 v 0
Como también: 2 2v 0 = 0 v v .
En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y supongamos que
20 es el neutro, entonces:
2 2
1
1
2 1 2
1 2
0 0
0
-v v 0 = -v v
0 0 0
0 0
Propiedad 2.
Cada vector v tiene un único inverso aditivo v .
Demostración.
Suponga que v tiene dos inversos aditivos 1
v y 2
v .
Entonces: 1 1
v v = v v = 0
Como también: 2 2
v v = v v = 0 .
En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros 2
v :
2
1
2 1 2
1 2
1 2
0 v
v
v v v = v 0
0 v = v
v = v
Propiedad 3
,para 0 0
Demostración.
En la ecuación: 0 0 0
Multip licamos a ambos miembros por el escalar y aplicamos propiedades distributivas:
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0 0 0
0 0 0
Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de 0 y consideramos la propiedad del
inverso aditivo y la del neutro:
0 0
0
0 0 0 0 0
0 0 = 0
0 = 0
Propiedad 4.
0 ,para Vv 0 v
Demostración.
En la ecuación: 0 0 0
Multip licamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas:
0 0 0
0 0 0
v v
v v = v
Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de 0 v , y consideramos la propiedad del
inverso aditivo y la del neutro:
0 0 0 0 0
0
0
0 0
v v v = v v
v 0 = 0
v = 0
Propiedad 5
( 1) ( ),para V v v v
Demostración.
En la ecuación 1 1 0
Multip licamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas:
1 1 0
1 1
1
v
v v
v v 0
v v 0
Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y consideramos la propiedad de l inverso
aditivo y la del neutro:
1
1
0 v
v v v v 0
v v
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5.3 SUBESPACIOS
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio
vectorial V . H es un subespacio de V si es en sí
mismo un espacio vectorial bajo las operaciones de
Suma y Multiplicación por Escalar definidas en V .
Es decir, un subespacio es un espacio vectorial contenido en otro Espacio Vectorial.
5.3.1 Criterio de Subespacio Teorema
H es un subespacio de V , si se cumplen en él los
dos axiomas de cerradura, es decir:
1.- Si H H x y , entonces H x y
2.- Si H x , entonces H x .
Cuando se cumple lo segundo existirá el vector nulo (0 ) en H y
también existirán los vectores inversos aditivos para cada vector de H . ¿Porqué?. El resto de propiedades se cumplirían debido a que ya
estamos dentro de un espacio vectorial.
Ejemplo 1
Sea el espacio vectorial V y sea el subconjunto 1H entonces:
1.- Si ( )x y x y
2.- Si ( ) ,x x cuando 0
Por tanto 1H NO es subespacio de V .
Ejemplo 2
Para el mismo Espacio Vectorial anterior, tómenos el subconjunto 2H 0 .
2
2
1. 0 0 0 H
2. 0 0 H ,
Por tanto 2H si es subespacio V . Además, es llamado SUBESPACIO TRIVIAl.
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En un Espacio Vectorial V , al Subespacio Trivial H 0 y a V se
los llaman SUBESPACIO NO PROPIOS, al resto son llamados SUBESPACIOS PROPIOS.
Ejemplo 3
Sea 2V . Determine si el subconjunto H / , donde " " es fijox
y mx my
es un
subespacio de V .
SOLUCIÓN:
1. Sean 1 2
1 2
x x
mx mx
x y entonces 1 2
1 2
Hx x
m x x
x y
2. 1 1
1 1
H( )
x x
mx m x
x
Por tanto H Si es un subespacio de 2
Ejemplo 4
Sea 3V . Determine si el subconjunto H /
x
y x at y bt z ct t
z
es
un subespacio de V . SOLUCIÓN:
1. Sean
1
1
1
at
bt
ct
x y
2
2
2
at
bt
ct
y entonces
1 2
1 2
1 2
( )
( ) H
( )
a t t
b t t
c t t
x y
2.
1
1
1
( )
( ) H
( )
a t
b t
c t
x
Por tanto H es un subespacio de 3
Ejemplo 5
Sea 3V . Determine si el subconjunto H / 0
x
y ax by cz
z
es un subespacio
de V . SOLUCIÓN:
1. Sean
1
1 1 1 1
1
tal que 0
x
y ax by cz
z
x y
2
2 2 2 2
2
tal que 0
x
y ax by cz
z
y
Al sumar las ecuaciones resulta: 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z
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Entonces, se observa que
1 2
1 2
1 2
H
x x
y y
z z
x y (porque satisface la condición de H )
2. Multiplicando la primera ecuación por el escalar tenemos:
1 1 1( ) ( ) ( ) 0a x b y c z
Entonces se observa que
1
1
1
H
x
y
z
x (porque satis face la condición de H )
Por lo tanto H es un subespacio de 3 .
Ejemplo 6
Sea 2 2V M . Determine si el subconjunto H / , ,0
a ba b d
d
(Matrices
triangulares Superior) es un subespacio de V . SOLUCIÓN:
1. Sean 1 1
10
a b
d
x y 2 2
20
a b
d
y entonces 1 2 1 2
1 2
H0
a a b b
d d
x y
2. 1 1
1
H0
a b
d
x
Por tanto H es un subespacio de V .
Ejemplo 7
Sea 2 2V M . Determine si el subconjunto
2 1 4 3 1 2
H / , , , , ,1 3 3 6 2 0
a ba b c
b c
es un subespacio de V . SOLUCIÓN:
1. Sean 1 1
1 1
a b
b c
x y
2 2
2 2
a b
b c
y entonces 1 2 1 2
1 2 1 2
H( )
a a b b
b b c c
x y
2. 1 1
1 1
H( )
a b
b c
x
Por tanto H es un subespacio de V .
Ejemplo 8
Sea 2 2V M . Determine si el subconjunto
1 1 2 2 3
H / 1 0 0 / , ,0 0 0 0 0 0
a b a ab a c d a
c d
Es un subespacio de V .
SOLUCIÓN:
1. Sean 1 11
0 0
a a
x y 2 21
0 0
a a
y entonces 1 2 1 22H
0 0
a a a a
x y
Por tanto H NO es un subespacio de V .
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Ejemplo 9
Sea V 0,1C . Determine si el subconjunto H 0,1 / (0) 0 (1) 0f C f f es
un subespacio de V . SOLUCIÓN:
1.- Sean tal que (0) 0 (1) 0f f f x y
tal que (0) 0 (1) 0g g g y
Como 0)0)((
00)0()0(
gf
gf y
0)1)((
00)1()1(
gf
gf entonces ( )( ) Hf g x
2.- Si H x es decir tal que (0) 0 (1) 0f f f x
Como 0)0)((
0)0(
f
f y
0)1)((
0)1(
f
f entonces Hf
Por tanto H es un subespacio de V .
Ejemplo 10
Sea 22V / , ,P at bt c a b c . Determine si el subconjunto
2H /at at a a es un subespacio de V .
SOLUCIÓN:
1. Sean 21 1a t a t a x y 2
2 2 2a t a t a y entonces
21 2 1 2 1 2 Ha a t a a t a a x y
2. 21 1 1 Ha t a t a x
Por tanto H es un subespacio de V .
Ejemplo 11
Sea 22V / , ,P at bt c a b c . Determine si el subconjunto
2 2 2H tal que 0 2 4 6 , 3 2 1 ,at bt c a b c t t t t
es un subespacio de V . SOLUCIÓN:
Note que
Independiente
c a b
a b
entonces el subconjunto puede ser expresado también de esta otra forma
2H /at bt a b a b
1.- Sean 2
1 1 1 1a t b t a b x y
2
2 2 2 2a t b t a b y
Entonces
21 2 1 2 1 2 1 2 Ha a t b b t a a b b x y
2.- 21 1 1 1 Ha t b t a b x
Por tanto H es un subespacio de V .
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Ejemplo 12
Sea 22V / , ,P at bt c a b c .
Determine si el subconjunto 2H / (1) 1p P p es un subespacio de V .
SOLUCIÓN:
Note que: cbap
cbtattp
)1(
)( 2
entonces el subconjunto puede ser expresado de esta otra forma
2 2H tal que 1 / 1at bt c a b c at bt c c a b
Ahora bien.
1. Sean 21 1 1 11a t b t a b x y
22 2 2 21a t b t a b y
Entonces
21 2 1 2 1 2 1 22 Ha a t b b t a a b b x y
Por tanto H no es subespacio de V .
Ejemplo 13
Sea 22V / , ,P at bt c a b c
Determine si el subconjunto 2H / (1) (́1)p P p p es un subespacio de V .
SOLUCIÓN:
Observe que bapcbap
battpcbtattp
2)1(́)1(
2)(́)( 2
entonces
ca
caa
bacba
pp
2
2
)1(́)1(
El subespacio puede ser expresado de esta otra forma
2 2 2H= / 2 3 2,4 5 4,at bt c c a t t t t
Bien, veamos si se cumplen los ax iomas de cerradura
1. Sean 2
1 1 1a t b t a x y
2
2 2 2a t b t a y
Entonces
21 2 1 2 1 2 Ha a t b b t a a x y
2. 21 1 1 Ha t b t a
x
Por tanto H es un subespacio de V .
Ejercicios propuestos 5.2
Determine si los siguientes subconjuntos H son subespacios de V o no.
1. 2V
a) 1H / 0x
yy
b) 2H /x
x yy
c) 2 2
3H / 0x
x yy
d) 4H / 0x
x yy
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2. 3V
a) 1H / 0
x
y z
z
b) 2H /
x
y x y z
z
c) 3H = / 1
x
y x
z
3. 2 2V M
a) 1
0H / , ,
aa c d
c d
b) 2
0H = /
0
aa d
d
c) 3H / 0a b
ac d
d) 4H /a b
a ba a
e) 5H / 1a b
ac d
f) 6H /a b
a b c dc d
g) 7H / 2 3 4 0a b
a b c dc d
h) 8H / ; , ,a b
c d a b dc d
i) 9 2 2H / / , ,t a bA M A A a b d
b d
j) 2
10H = /a b
A Tr A ab d
k) 11
0H = / Tr 0
aA A
c d
4. 3 3V M
a) 1 3 3H / es triangular SuperiorA M A
b) 2 3 3H / es DiagonalD M D
c) 3 3 3H / es inversibleA M A
d) 4 3 3H / es SimétricaA M A
e) 5 3 3H / 1A M A
5. 2V P
a) 2
1H = / 0at bt c b
b) 2
2H / 2 3 0at bt c a b c
c) 3 2H = / (0) (1)p P p p
d) 4 2H / (0) (1) 1p P p p
e) 5 2H / 1 (0) 0p P p p
f) 6 2H / ´ 1 0p P p
g) 7 2H = / (́0) (́1)p P p p
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5.3.2 Intersección de Subespacios
Definición
Sean 1H y 2H dos subespacios de V . Entonces:
1 2 1 2H H V tal que H H h h h
Es decir, el conjunto intersección agrupa elementos de los subespacios que tengan las características de ambos. Note que nunca será el conjunto vacío.
Teorema
Sean 1H y 2H dos subespacios de V . Entonces
1 2H H es un subespacio de V .
Demostración.
Para que 1 2H H sea un Subespacio de V , se deben satisfacer los dos axiomas de cerraduras.
Primero, sean x y y elementos de 1 2H H ,entonces 1 2H H x x como también
1 2H H y y , entonces 1H x y , por ser 1H subespacio; y también 2H x y , por ser 2H
subespacio. Entonces 1 2H H x y .
Segundo, sea y sea 1 2H H x , entonces 1 2H H x x , y se cumple que
1 2H H x x por ser 1H y 2H subespacios. Entonces 1 2H H x .
Por lo tanto, 1 2H H es un Subespacio de V .
Ejemplo 1
Sea el espacio vectorial 3V y los subespacios
1H / 0
x
y x y z
z
y 2H /3 2 0
x
y x y z
z
Hallar el subespacio 1 2H H
SOLUCIÓN. El subespacio intersección tendría la forma:
1 2H H / 0 3 2 0
x
y x y z x y z
z
Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolv iendo el sis tema
simultáneo
023
0
zyx
zyx
2 131 1 1 0 1 1 1 0
3 2 1 0 0 1 2 0
F F
zyzy
zyx
202
0
Reemplazando en la primera ecuación: zxzzx 02 Por tanto:
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140
1 2
1 2
H H / 2
1 0 1
H H 2 / 2 , 0 , 2 ,
1 0 1
x
y x z y z z
z
z
z z
z
Ejemplo 2
Sea el espacio vectorial 2V P y los subespacios
2
1H / 0at bt c a b c y 2
2H /at bt c c a
Hallar el subespacio 1 2H H
SOLUCIÓN. El subespacio intersección tendría la forma:
21 2H H / 0at bt c a b c c a
Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolv iendo el sis tema
simultáneo
0
0
ca
cba
2 11 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 0 0 1 2 0
F F
cbcb
cba
202
0
Reemplazando en la primera ecuación: cacca 02 Por tanto:
2 21 2
21 2
H H / 2 2 4 2,
H H 2 /
at bt c b c a c c t t
ct ct c c
Ejercicios Propuesto 5.3
1. Sea 3V y sean 1H / 2
x
y x y
z
y 2H / ,
x
y y x z x z
z
Determine 1 2H H
2. Sea 3V y sean los subconjuntos
1H / 0
x
y x y z
z
, 2H 1 / ,
x
x z
z
y 3H 2 /
3
x
x x
x
a) Determine cuál de los subconjuntos anteriores son subespacios de 3
b) Determine la intersección de los subespacios encontrados.
3. Considere los subespacios de 22xM
1W / 0a b
dc d
y 2W / 0a b
ac d
a) Determine 1 2W W
b) Demuestre que 1 2W W es un subespacio de 22xM
4. Sea 2 2V xM y los subespacios
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
141
1H / 0a b
a b c dc d
y 2H = / , ,a b
a b db d
Determine 1 2H H
5. Sea 2 2V xM y los subespacios
1
0H / 0
aa c d
c d
y 2H / 2 2 5 0
a ba b c c
b d
Determine 1 2H H
6. Considere 2V P y los subconjuntos:
1 2H / ' 1 2 1p P p p
22H 1 /at at a
23H 2 3 /at at a a
a) Determine cuál de los subconjuntos anteriores es subespacio de P2. b) Determine la intersección de los subespacios encontrados.
5.4 SUBESPACIO GENERADO
5.4.1 Combinación Lineal
Definición
Una combinación lineal de los vectores 1 2, , , nv v v
es una expresión de la forma: 1 1 2 2 n nc c c v v v
donde 1 2, , , nc c c .
Note que el resultado de poner en combinación lineal un conjunto de vectores es otro vector.
Ejemplo 1
Una combinación lineal de los vectores
1
2
1
y
1
2
3
podría ser
1
2
3
3
1
2
1
2 . Al realizar la
operación se tendr ía como resultado el vector
5
2
7
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
142
Ejemplo 2
Otra combinación lineal de los vectores
1
2
1
y
1
2
3
podría ser
1
2
3
1
1
2
1
3 . Al realizar la
operación tenemos el vector
4
4
0
Los vectores resultantes de las combinaciones lineales conforman otro conjunto cuyas características nos proponemos estudiar.
5.4.2 Conjunto de Combinaciones Lineales. Definición
Sea 1 2S , , , n v v v un conjunto de vectores de un
espacio vectorial V . Al conjunto 1 1 2 2 3 3 nH / paran iV c c c c c v v v v v v
se lo llama Conjunto de todas las combinaciones
lineales de los vectores de S
Teorema
Sea 1 2 nS , , , v v v un conjunto de vectores de un
espacio vectorial V . El conjunto de todas las
combinaciones lineales de los vectores de S es un
subespacio de V .
Demostración.
Primero, sea 1 1 2 2 3 3H / paran n iV c c c c c v v v v v v y sean , x y H ,
entonces 1 1 2 2 3 3 n na a a a x v v v v y 1 1 2 2 3 3 n nb b b b y v v v v . Si sumamos
tenemos:
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3+
n
n n n
c c c c
a b a b a b a b x y v v v v
Entonces H x y .
Segundo. Multipliquemos a x por un escalar , tenemos:
2 3
1 1 2 2 3 3
cn
n n
c c c
a a a a
1
x v v v v
Entonces H x . Por lo tanto H es un subespacio de V .
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
143
En tal caso se dice que H está generado por S . Se lo llamará de
aquí en adelante el Subespacio Generado por S y se lo denotará
como:
H gen(S)
A S se le llama Conjunto Generador de H .
Ejemplo 1
Sea
1 3
S 2 , 2
1 1
. Hallar el subespacio generado por S .
SOLUCIÓN:
La combinación lineal de los vectores de S , generan vectores de 3 cuya caracterís tica debemos determinar.
z
y
x
cc
1
2
3
1
2
1
21
El sistema
zcc
ycc
xcc
21
21
21
22
3
debe ser consis tente
3 12 1
3 1
21 3 1 3 1 3
2 2 0 4 2 0 4 2
1 1 0 4 0 0 0
F FF F
F F
x x x
y y x y x
z x z x y z x y z
El último renglón permite establecer la condición (caracterís tica) buscada de los vectores de H
1 3 4 7
H gen(S) / , 2 , 2 , 4 , 2 ,
1 1 0 5
x
y x y z y z
z
Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que determinar las
características de los vectores del conjunto S .
Ejemplo 2
Sea
3 1 2
S 2 , 1 , 3
1 1 0
. Hallar el subespacio generado por S .
SOLUCIÓN:
Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consis tencia del sis tema que se da a lugar.
z
y
x
ccc
0
3
2
1
1
1
1
2
3
321
zcc
yccc
xccc
0
32
23
21
321
321
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
144
3 1 2 1
3 1
3 3 2
2
3
3 2
3 1 2 1 1 0 1 1 0
2 1 3 2 1 3 0 3 3 2
1 1 0 3 1 2 0 2 2 3
1 1 0 1 1 0
0 3 3 2 0 3 3 2
0 6 6 3 9 0 0 0 3 2 5 3 2 5 0
F F F F
F F
F F F
x z z
y y y z
z x x z
z z
y z y z
x z x y z x y z
Por tanto:
H gen(S) / 3 2 5 0
x
y x y z
z
Ejemplo 3
Sea
3 1 2
S 2 , 1 , 0
1 1 1
. Hallar el subespacio generado por S .
SOLUCIÓN:
Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consis tencia del sis tema que se da a lugar.
z
y
x
ccc
1
0
2
1
1
1
1
2
3
321
1 3 2 1
3 1
3 2
2
3
2
3 1 2 1 1 1 1 1 1
2 1 0 2 1 0 0 1 2 2
1 1 1 3 1 2 0 2 5 3
1 1 1
0 1 2 2
0 0 1 2
F F F F
F F
F F
x z z
y y y z
z x x z
z
y z
x y z
Observe el último renglón, se concluye que para cualquier valor de zyx , es sis tema tendría solución
única, es decir:
3H /
x
y x y z
z
Por tanto, el conjunto S genera a todo el espacio vectorial V
Ejemplo 4
Sea 2 2S 1,2 3 1t t t t . Hallar el subespacio generado por S .
SOLUCIÓN:
Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan
cbtatttcttc 22
2
2
1 1321
Destruyendo paréntesis y agrupando, resulta:
cbtatcctcctcc
cbtatctctcctctc
22121
221
222
2211
21
32
32
Entonces:
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
145
ccc
bcc
acc
21
21
21
3
2
Analizando la consistencia del sistema:
2 1
3 1
3 3 15 3
1 2 1 2
1 3 0 5
1 1 0 3
1 2 1 2
0 5 0 5
0 15 5 5 0 0 2 3 5 2 3 5 0
F F
F F
F F F
a a
b b a
c c a
a a
b a b a
c a a b c a b c
Por tanto:
2H / 2 3 5 0at bt c a b c
Ejemplo 5
Sea 2 1 3 2 1 1
S , ,1 1 1 0 1 1
. Hallar el subespacio generado por S .
SOLUCIÓN:
Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan.
dc
baccc
11
11
01
23
11
12321
Realizando las operac iones de las matrices
dc
ba
ccccc
cccccc
dc
ba
cc
cc
c
cc
cc
cc
31321
321321
33
33
2
22
11
11
232
0
232
Entonces:
dcc
cccc
bccc
accc
31
321
321
321
2
32
Analizando la consistencia del sistema resulta:
4 1
2 31 2
2 3 134 1
3 22 4
3 2
2
2
3
2 3 1 1 0 1 1 0 1
1 2 1 2 3 1 0 3 1 2
1 1 1 1 2 1 0 2 2
1 0 1 1 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 2 2 0 0 2
0 3 1 2
F FF FF F
F F F FF F
F FF F
F F
a d a
b a a d
c b b d
d c c d
d d
c d c d
b d
a d
3 4 2 32
2
0 0 1 3 5
1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 3 5 0 0 1 3 5
0 0 2 2 0 0 0 2 8 11
F F F F
b d c
a c d
d d
c d c d
a c d a c d
b c d a b c d
Por tanto:
H / 2 8 11 0a b
a b c dc d
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
146
Ejemplo 6
Sea 1 2 1 1
S ,3 4 1 1
. Hallar el subespacio generado por S .
SOLUCIÓN:
Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan.
dc
bacc
11
11
43
2121
Realizando las operac iones de las matrices
dc
ba
cccc
cccc
2121
2121
43
2
Entonces:
dcc
ccc
bcc
acc
21
21
21
21
4
3
2
Analizando la consistencia del sistema resulta:
2 1
3 1
4 1
2 3 2
4 1
2
34
1 2
3
1 1 1 1
2 1 0 1 2
3 1 0 2 3
4 1 0 3 4
1 1 1 1
0 1 2 0 1 2
0 2 3 0 0 2
0 3 4 0 0 2 3
F F
F FF F
F F F
F F
a a
b b a
c c a
d d a
a a
a b a b
c a a b c
d a a b d
Aquí hay dos condiciones. Por tanto:
H / 2 0 2 3 0a b
a b c a b dc d
O también, H / 2 3 2 ,a b
c b a d b a a bc d
Ejercicios propuestos 5.4
1. Determine el subespacio generado por:
1. 1 2 5
S , ,1 2 5
2. 1 1
S ,1 2
3. 1
S1
4. 1 1 1
S , ,1 2 5
5.
2 5
S 1 , 3
3 2
6.
2 5 1
S 1 , 3 , 1
3 2 1
7.
1 0
S 2 , 0
3 0
8.
1 0 1
S 2 , 0 , 1
3 0 1
9. 2 2S 2 1, 5t t t t
10. 2S 2 1t t 11. 2 2 2S 2 1, 5, 1t t t t t t
12. 1 1 1 1
S ,1 1 0 0
13. 1 1 1 1 1 2
S , ,1 1 0 0 3 4
14. 1 1
S1 1
15. 1 1 1 1 1 2 4 3
S , , ,1 1 0 0 3 4 2 1
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
147
2. Sea 2 2V M y sea
1 2 2 1 2 4S , ,
1 1 0 1 1 1
a) Determine si S genera a V .
b) En caso de no generarlo encuentre H=gen(S)
c) Determine si la matriz 1 1
H1 1
d) Considerando el subespacio W= /a b
b cc d
halle H W .
e) Determine si 1 1
H W1 1
5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Observe los vectores del conjunto
3 1 2
S 2 , 1 , 3
1 1 0
. Note que el tercer
vector es el resultante de sumar los dos primeros. Por lo anterior se dice que el
conjunto S es linealmente dependiente. Este es el concepto que vamos a
desarrollar ahora. Además, ocurre generalmente que determinar esta característica por inspección no es tan sencillo, por tanto debemos tener argumentos matemáticos que nos permitan realizar este trabajo.
Definición
Sean 1 2 n, , ,v v v , " "n vectores de un espacio
vectorial V . Se dice que los vectores son
linealmente dependientes si existen " "n
escalares nCCC ,,, 21 , no todos ceros, tales que:
1 1 2 2 nnC C C v v v 0
Caso contrario, se dice que son linealmente
independientes. Es decir, si:
00021
n
CCC
Ejemplo 1
Determine si el conjunto
3 1 2
S= 2 , 1 , 3
1 1 0
es linealmente independiente o dependiente
SOLUCIÓN: Aplicando la definición, ponemos los vectores en combinación lineal e igualando al vector cero se obtiene el sistema lineal que nos permite resolver el problema:
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
148
0
0
0
0
3
2
1
1
1
1
2
3
321CCC
0
032
023
21
321
321
CC
CCC
CCC
1 3 2 1
3 1
23 3 2
2
3
1
3 2 3
3 1 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0
2 1 3 0 2 1 3 0 0 3 3 0
1 1 0 0 3 1 2 0 0 2 2 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 3 3 0 0 3 3 0 0 1 1 0
0 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F F F F
F F
FF F F
El sistema homogéneo tiene Infinitas soluciones, por tanto el conjunto es linealmente dependiente.
Ejemplo 2
Determine si el conjunto
1 2 0
S 2 , 2 , 1
3 0 7
es linealmente independiente o dependiente
SOLUCIÓN:
1 2 3
01 2 0
2 2 1 0
3 0 7 0
c c c
1 2
1 2 3
1 3
2 0
2 2 0
3 7 0
C C
C C C
C C
3 12 1
3 1
32
3
1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0
2 2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0
3 0 7 0 0 6 7 0 0 0 10 0
F FF F
F F
1 2
2 3
3
2 0
2 0
10 0
C C
C C
C
3
2
1
0
0
0
C
C
C
El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente, es decir ningún vector se forma por combinación lineal de los restantes.
Ejemplo 3
Determine si el conjunto 1 2
S 2 , 5
4 3
es linealmente independiente o dependiente
SOLUCIÓN:
0
0
0
3
5
2
4
2
1
21cc
034
052
02
31
21
21
CC
CC
CC
3 12 1
3 1
112
4
1 2 0 1 2 0 1 2 0
2 5 0 0 1 0 0 1 0
4 3 0 0 11 0 0 0 0
F FF F
F F
0
02
2
21
C
CC
0
0
2
1
C
C
El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
149
Ejemplo 4
Determine si el conjunto 1 3
S= 2 , 6
3 9
es linealmente independiente o dependiente
SOLUCIÓN:
1 2
01 3
2 6 0
3 9 0
c c
1 2
1 2
1 3
3 0
2 6 0
3 9 0
C C
C C
C C
2 1
3 1
2
3
1 3 0 1 3 0
2 6 0 0 0 0
3 9 0 0 0 0
F F
F F
1 23 0C C
El sistema tiene infinitas soluc iones, por tanto el conjunto es linealmente dependiente.
Teorema
Dos vectores en un espacio vectorial son
linealmente dependientes, si y sólo sí uno es
múltiplo escalar del otro.
Demostración
Primero, demostremos que si dos vectores son múltiplo escalar entonces son linealmente independientes.
Sean 1v y 2v , suponga que 2 1 ; 0c c v v , entonces tenemos que 1 2-c v v 0 ,
entonces 1v y 2v son linealmente independientes.
Segundo, demostremos ahora que si dos vectores son linealmente independientes entonces son múltip lo escalar.
Sean 1v y 2v vectores linealmente independientes, en tonces existen escales 1c y 2c no todos
ceros tales que 1 1 2 2-c c v v 0 . Suponga 2 0c , entonces dividamos la ecuación anterior para 2c y
despejemos 1v :
1
1 21 2 1 1 2 2 1 1
2 2
1
-
c
c cc c
c c v v 0 v v 0 v v
Lo cual demuestra que los vectores son múltiplos.
Ejemplo 5
Determine si el conjunto 2 2 2S 1, 2 3, 2 2t t t t t t es linealmente
independiente o dependiente SOLUCIÓN: Poniendo los polinomios en combinación l ineal e igualando al polinomio cero
000)22()32()1( 22
3
2
2
2
1 ttttCttCttC
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
150
2 3 3 12 1
3 1
31 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0
1 1 2 0 0 3 3 0 0 1 3 0 0 1 3 0
1 3 2 0 0 1 3 0 0 3 3 0 0 0 12 0
F F F FF F
F F
1 2 3
2 3
3
2 0
3 0
12 0
C C C
C C
C
3
2
1
0
0
0
C
C
C
El sistema homogéneo tiene solución triv ial por tanto el conjunto es linealmente independiente
Ejemplo 6
Determine si el conjunto 2 2S 2 1, 5 2t t t t es linealmente independiente o
dependiente SOLUCIÓN: Por inspección, se observa que los polinomios no son múltiplo por tanto son linealmente independi ente.
Ejemplo 7
Determine si el conjunto 1 1 2 1 1 3
S= , ,1 1 0 1 1 0
es linealmente independiente
o dependiente SOLUCIÓN: Poniendo las matrices en combinación lineal e igualando a la matriz cero
1 2 3
1 1 2 1 1 3 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0c c c
1322 1
3 1 4
4 1
2 3 3 2
4 2
1
3
1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0
1 1 3 0 0 3 4 0 0 3 4 0
1 0 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 2 1 0 1 2 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0
0 3 4 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0
FF F
F F FF F
F F F F
F F
1 2 3
2 3
3
2 0
0
0
C C C
C C
C
3
2
1
0
0
0
C
C
C
El conjunto es linealmente independiente
Teorema
Sea A una matriz cuadrada nn . Sus filas o
Columnas son Linealmente Independiente si y sólo
sí 0A
Cuando lo anterior ocurre, al realizar eliminación de renglones
(Método de Gauss) no va a existir un reglón de ceros en la matriz resultante.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
151
Ejemplo 1
Sea la matriz
2 1 4
3 5 1
1 0 0
A
Hallando su determinante tenemos:
53
120
13
420
15
411
001
153
412
A
21)5)(4()1)(1(1
0015
411
A
A
Por tanto sus renglones y filas son linealmente independientes.
Ejemplo 2
Sea la matriz
2 1 4
3 5 1
5 6 3
A
Hallando su determinante tenemos:
53
123
13
426
15
415
001
153
412
A
0)7(3)14(6)21(5 A
Por tanto sus renglones y filas son linealmente dependientes. Note la tercera fila es la suma de las dos primeras.
Ejercicios propuestos 5.5
Determine si los conjuntos son linealmente independiente o dependiente.
1. 1 1
S ,1 2
2. 1
S1
3. 1 1 1
S , ,1 2 5
4.1 2 5
S , ,1 2 5
5.
2 5
S 1 , 3
3 2
6.
2 5 1
S= 1 , 3 , 1
3 2 1
7.
1 0 1
S= 2 , 0 , 1
3 0 1
8. 2 2S 2 1, 5t t t t
9. 2 2S= 1, 2, 1t t t t 10. 1 1 1 1
S= ,1 1 0 0
11. 1 1 1 1 1 2
S= , ,1 1 0 0 3 4
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
152
5.6 BASES Y DIMENSIÓN
Un conjunto finito de vectores 1 2 n, , ,v v v es una
base para un espacio vectorial, si:
1.- Son linealmente independientes,
2.- Generan al espacio vectorial. La dimensión del espacio vectorial es el número
de vectores de cualquier base.
Ejemplo 1
Sea 3V . Determine si
1 0 0
S 0 , 1 , 0
0 0 1
es una base para V
SOLUCIÓN:
Para que S sea una base para 3 , debe ser l inealmente independiente y deben generar a todo el espacio vectorial.
1.
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
321CCC Si es independiente
2.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
zyx
z
y
x
Si genera a todo vector de 3
Por tanto, este conjunto si es una basa para 3
. Además este conjunto es llamado Base Canónica o Estándar.
La dim3 3
Ejemplo 2
Determine si
1 2 0
S 2 , 2 , 1
3 0 7
es otra base para 3
SOLUCIÓN:
Primero determinemos si S genera a 3
1 2 3
1 2 0
2 2 1
3 0 7
x
C C C y
z
3 12 1
3 1
32
3
1 2 0 1 2 0 1 2 0
2 2 1 0 2 1 2 0 2 1 2
3 0 7 0 6 7 3 0 0 10 3 3
F FF F
F F
x x x
y y x y x
z z x z y x
El último renglón indica que para cualquier valor de x , y y z ex istirán soluciones única por tanto el
conjunto S sí genera a 3
.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
153
Segundo, Para determinar si son linealmente independiente bastará con referirnos a la última matriz reducida con la columna aumentada de ceros.
01000
0120
0021
O también, como el sis tema tiene solución única, cuando x , y y z toman el valor de 0 se forma un
sistema homogéneo con solución triv ial. Entonces, S es linealmente independiente.
Por tanto, S si es otra base para 3
Teorema
Sea V un espacio vectorial con base S . Todo vector de V puede ser escrito en combinación
lineal única de los vectores de S .
Demostración
Sea 1 2 nS= , , ,v v v una base del espacio V y sea Vv ∈ .
Supongamos que existen dos combinaciones lineales para v en términos de S ; es decir:
1 1 2 2 nn v = v v v
1 1 2 2 nn v = v v v
Igualamos las ecuaciones:
1 1 2 2 n 1 1 2 2 nn n v v v v v v
De aquí obtenemos:
1 1 1 2 2 2 nn n - v - v v 0
Y como S es una base, entonces:
1 1
2 2
0
0
0n n
-
-
Es decir: 1 1 2 2 n n
Lo cual demuestra que la combinación lineal es única.
Ejemplo
En el ejemplo anterior se demostró que el conjunto
1 2 0
S 2 , 2 , 1
3 0 7
es otra base para 3
, por
tanto todo vector de 3
puede ser escrito en combinación lineal única de los vectores de S . Por ejemplo, al
expresar el vector
3
2
1
en término de los vectores de S se obtendrá solución única. Compruebe que el
sistema 1 2 3
1 2 0 1
2 2 1 2
3 0 7 3
C C C
tiene solución única
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
154
Bien, continuemos con otros espacios vectoriales.
Ejemplo 1
Sea 2V P . Determine si 2S , ,1t t es una base para V
SOLUCIÓN:
Se puede observar que S es linealmente independiente y además todo polinomio puede ser escrito en
combinación lineal de los vectores de S
2 2( ) ( ) (1)at bt c a t b t c
Por tanto S si es una base para 2
P . Esta sería la base canónica
La 2dim 3P
Ejemplo 2
Determine si 2 2 2S 2 1, 2 2, 1t t t t t t es otra base para 2V P
SOLUCIÓN:
Primero determinemos si S genera a 2P
c
b
a
CCC
1
1
1
2
1
2
1
2
1
321
2 1
3 1
21 2 1 1 2 0
2 1 1 0 3 1 2
1 2 1 0 4 1
F F
F F
a a
b b a
c c a
Hasta allí, como los dos últimos renglones no son múltiplos, ex istirán soluciones única; por tanto, el conjunto
S sí genera a 2P .
Segundo. Es fácil comprobar que el conjunto el linealmente independiente.
Por tanto, S es otra base para 2P .
Ejemplo 3
Sea 2 2V M . Determine si 1 0 0 1 0 0 0 0
S , , ,0 0 0 0 1 0 0 1
es una base para V
SOLUCIÓN:
Se puede observar que S es linealmente independiente y además toda Matriz puede ser escrita en
combinación lineal de los vectores de S
10
00
01
00
00
10
00
01dcba
dc
ba
Por tanto S si es una base para 22
M . Esta sería la base canónica
La 2 2dim 4M
Para el caso de subespacios tenemos:
Ejemplo 1
Hallar una base para el subespacio H / 0
x
y x y z
z
SOLUCIÓN:
Despejando una variable, le damos otra forma H que nos permita resolver el problema
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
155
1 0
H / 0 1 /
1 1
x
y x y x y x y
x y
Por tanto, una base para H sería
1 0
S 0 , 1
1 1
Además dimH 2
Teorema
Sea H un subespacio del espacio vectorial V .
Entonces:
dimH dimV Además si dimH dimV entonces H V .
Ejemplo 2
Hallar una base para el subespacio 2H / 2 3at bt c c a b
SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal
2H 2 3 /at bt a b a b
2H ( 2) ( 3) /a t b t a b
Por tanto una base para H sería 2S 2, 3t t , entonces dimH 2
Ejemplo 3
Hallar una base para H /a b
b cc d
SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal
H /
1 0 0 1 0 0H /
0 0 1 0 0 1
a ba b d
b d
a b d a d b
Por tanto una base para H sería 1 0 0 1 0 0
S , ,0 0 1 0 0 1
, entonces dimH 3
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
156
Ejemplo 4
Hallar una base para 2 2 2H gen 1, 2 3 1, 3 2 2t t t t t t
SOLUCIÓN: Primero hallamos el subespacio generado por el conjunto de vectores dados:
2 2 2 2
1 2 31 2 3 1 3 2 2C t t C t t C t t at bt c
La matriz aumentada sería:
1 2 3
1 3 2
1 1 2
a
b
c
Aplicando el método de Gauss:
2 31 2
1 3
2 35
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 2 0 5 5 0 1 1
1 1 2 0 1 1 0 5 5
1 2 3
0 1 1
0 0 0 4 5
F FF F
F F
F F
a a a
b b a c a
c c a b a
a
c a
a b c
El subespacio generado sería:
24 5 0H / a b cat bt c
O también 25 4H / b c aat bt c
Reemplazando la condición y agrupando:
2
2
2
5 4H / ,
H 4 4 / ,
H 4 4 1 / ,
c aat t c a c
at ct at c a c
a t t c t a c
Por tanto una base sería:
2S 4 , 4 1t t t y dim H 2
Ejemplo 5
Hallar una base para el espacio solución del sistema 2 3 0
0
x y z
x y z
SOLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución. La matriz aumentada sería:
1 2 3 0
1 1 1 0
Aplicando Gauss
1 21 2 3 0 1 2 3 0
1 1 1 0 0 1 2 0
F F
El sistema equivalente sería:
2 3 0
2 0
x y z
y z
De donde 2y z , y por sustitución regresiva:
2 2 3 0x z z
x z
Por tanto su conjunto solución, denotémoslo por H, sería:
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
157
H / 2
x
y x z y z z
z
Reemplazando
1
H 2 / 2 /
1
z
z z z z
z
Se observa que una base sería:
1
S 2
1
y dim H 1
Si H 0 , el subespacio trivial, entonces dimH 0 . Por tanto su
base sería S (El conjunto vacío)
Ejemplo
Hallar una base para el Espacio Solución del sistema
0
2 3 0
3 2 0
x y z
x y z
x y z
SOLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución del sistema:
1 2
1 3
2
3
1 1 1 1 1 1
2 1 3 0 3 1
3 2 1 0 1 2
F F
F F
Hasta aquí se observa que tiene solución triv ial (¿Por qué?) Por tanto su conjunto solución, H, sería:
0
0
0
H
Entonces dimH 0 y no hay base.
Analice ahora los siguientes teoremas.
Teorema
Sea V un Espacio Vectorial de dimensión n .
Entonces:
1. Si n vectores generan a V entonces son
linealmente independientes.
2. Si n vectores son linealmente independientes
entonces estos vectores generan a V .
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
158
Teorema
Un conjunto de vectores linealmente
independiente en un Espacio Vectorial de
dimensión n , contiene a lo más n vectores.
Por ejemplo, en un Espacio Vectorial de dimensión 3 a lo mucho habrá 3 vectores Linealmente Independiente, 4 vectores o más serán
dependientes.
Ejercicios Propuestos 5.6
1. Sea 3V y
1 1 3
S= 1 , 2 , 2
1 3 1
a) Determine si S es una base para 3
b) En caso de no ser base halle H=gen S
c) Determine una base y la dimensión de H
2. Determine si el conjunto 1 0 1 1 1 1 1 1
S , , ,0 0 0 0 1 0 1 1
es una base del espacio
22xM
3. Establezca una base y la dimensión del espacio solución del sistema
032
0
zyx
zyx
4. Establezca una base y la dimensión del espacio solución del sistema
0145
082
02245
02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
5. Considere 3V P y el conjunto
3 2 3 3 2 2S= 2 1, 1, 2 5 , 3 5 1x x x x x x x x x
a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S
6. Considere 2 2V M y el conjunto
1 2 1 1S ,
3 4 1 1
a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
159
5.7 ESPACIOS ASOCIADOS A MATRICES
5.7.1 ESPACIO FILA Podría presentarse la necesidad de determinar la característica de los
vectores fi las o la característica de los vectores columnas de una matriz.
mmnmmnmmm
n
n
n
nm
n
RF
RF
RF
RF
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
CCCC
,
,
,
,
33
22
11
321
3333231
2232221
1131211
)(
321
Definición
Sea m nA una matriz. El Espacio Fila o Espacio
Renglón, denotado por AR , se define como:
31 111 21
32 212 22
13 23 33 3
1 2 3
1 2 3, , , ,gen , , , , gen
m
m
m
n n n mn
mA
a aa a
a aa a
a a a a
a a a a
R F F F F
Note que los vectores del espacio fila pertenecen a un subespacio de n ¿Por qué?
Ejemplo
Sea
321
112A . Hallar el Espacio Fila
AR
SOLUCIÓN:
Por definición
2 1
gen 1 , 2
1 3
AR
Es decir: 1 2 1 2
2 1
/ 1 2 donde
1 3
A
x x
R y y c c c c
z z
Entonces
z
y
x
cc
3
2
1
1
1
2
21
yzx
zy
z
zx
zy
z
x
y
z
z
y
x
00
50
31
250
50
31
12
21
31
31
21
12
Por tanto:
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
160
0/ zyx
z
y
x
RA
Compruebe que los vectores filas satis facen la condición.
Además, una base para AR sería
1
1
0
,
1
0
1
S y 2dim AR
5.7.2 ESPACIO COLUMNA
Definición
Sea A una matriz nm . El Espacio Columna,
denotado por A
C , se define como:
32 111 12
23 221 22
31 32 33 3
1 2 3
1 2 3 , , , ,gen , , , , gen
n
n
n
m m m mn
nA
a aa a
a aa a
a a a a
a a a a
C C C C C
Note que los vectores del Espacio Columna pertenecen a un subespacio de m
¿Por qué?
Ejemplo
Sea
321
112A . Hallar el Espacio Columna
AC
SOLUCIÓN:
Por definición 2 1 1
gen , ,1 2 3
AC
Es decir 1 2 3 1 2 3
2 1 1/ donde
1 2 3A
x xC c c c c c c
y y
yx
y
x
y
y
x
2550
321
112
321
321
112
Por tanto:
2/A
xC x y
y
Las columnas no cumplen condición alguna.
Además 2dim AC
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
161
Ejemplo
Sea
1 1 0
3 1 4
1 0 1
A
. Hallar A
R , A
C , Bases y dimensiones.
SOLUCIÓN:
Por definición
1
4
0
,
0
1
1
,
1
3
1
genCA , entonces:
zyx
xz
x
xy
xz
x
xz
xy
x
z
y
x
4000
110
011
3440
110
011
)4(
110
3440
011
101
413
011)3(
Por tanto
04/ zyx
z
y
x
CA
1
0
4
,
0
1
1
ACparabaseUna y 2dim AC
En cambio
1 3 1
gen 1 , 1 , 0
0 4 1
AR
entonces:
1 3 1 1 3 1 1 3 1
1 1 0 0 4 1 0 4 1
0 4 1 0 4 1 0 0 0
x x x
y y x y x
z z z y x
Por tanto /A
x
R y z x y
z
,
1 0
0 , 1
1 1
AUna base para R
y dim 2AR
Teorema
Sea A una matriz nm . Entonces: dim dimA AR C
Ejemplo
Sea
436601
3410
3211
A . Hallar A
R , A
C , Bases y dimensiones.
SOLUCIÓN:
1 1 2 3
gen 0 , 1 , 4 , 3
1 0 6 6
AC
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
162
yxz
y
x
xz
y
x
z
y
x
0000
3410
3211
3410
3410
3211
6601
3410
3211
zyx
z
y
x
CA /
1
1
0
,
1
0
1
ACparabaseUna 2dim AC
En cambio
1 0 1
1 1 0gen , ,
2 4 6
3 3 6
AR
yxw
zyx
xy
x
yxw
xz
xy
x
xw
xz
xy
x
xw
xz
xy
x
w
z
y
x
36000
46000
110
101
36000
2440
110
101
3330
2440
110
101
3330
2440
110
101
633
642
011
101
/ 6 4 , 6 3 ,A
x
yR z x y w x y x y
z
w
y
4
3
1
0
,
6
6
0
1
ARparabaseUna y 2dim AR
5.7.3 Núcleo y Nulidad de una matriz
Definición
Sea A una matriz nm . El Núcleo de A ,
denotado por )(Anuc , se define como:
nuc /nA A x x 0
Teorema
El núcleo de la matriz m nA es un
subespacio de n
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
163
Además, la dimensión del núcleo es llamada nulidad de la matriz A y se la denota como: )(A
Ejemplo
Sea
013
211A . Hallar núcleo ( nuc( )A ) y nulidad ( )(A )
SOLUCIÓN:
Por definición: 1 1 2 0
nuc( ) /3 1 0 0
x x
A y y
z z
Entonces, el núcleo es el conjunto solución del sis tema
03
02
yx
zyx
Es decir
1 0
nuc( ) / 3 2 3 , 0 ,
2 0
x
A y x R y x z x
z
1
nuc( ) 3
2
Una base para A
y 1)( A
5.7.4 IMAGEN Y RANGO DE UNA MATRIZ
Definición
Sea A una matriz nm . La Imagen o recorrido
de A, denotada por )Im(A o rec( )A , se define
como: Im rec( ) / para cualquierm nA A A y y x x
Teorema
La imagen de la matriz m nA es un
subespacio de m
Además, la dimensión de la Imagen es llamada rango de la matriz A y se la
denota como: )(A
El rango de una matriz indica la cantidad de filas o columnas linealmente independientes.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
164
Ejemplo
Sea
013
211A . Hallar Imagen ( )Im(A ) y rango ( )(A )
SOLUCIÓN:
Por definición: 1 1
2 2
1 1 2rec( ) / para
3 1 0
xy y
A y x y zy y
z
Por tanto será cuestión de determinar los vectores de 2 que se generan o lo que es lo mismo,
determinar la condición (s i es que ex iste) que deben reunir 1
y y 2
y para que el sis tema
122
1
13
32013
211
y
y
z
y
x
sea consis tente.
Entonces:
2
1
3
2
yyx
yzyx
12
1
2
1
3640
211
013
211
yy
y
y
y
El último renglón nos indica que no hay condición, por tanto:
1 2
1 2
2
rec( ) /y
A y yy
1
0,
0
1)Im(AparabaseUna y 2)( A
Teorema
Para cualquier matriz m nA , se cumple que:
1. )Im(ACA
2.dim dim dimrec( ) ( )A AR C A A
3. nAA )()(
Ejemplo
Sea la matriz
6601
3410
3211
A
a) Hallar Espacio Fila AR , una base y dimensión.
1 0 1
1 1 0gen , ,
2 4 6
3 3 6
AR
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
165
Es decir 1 2 3 1 2 3
1 0 1
1 1 0/ donde , ,
2 4 6
3 3 6
A
x x
y yR c c c c c c
z z
w w
yxw
yxz
xy
x
xw
xz
xy
x
w
z
y
x
36000
46000
110
101
3330
2440
110
101
43
633
642
011
10123
/ 6 4 6 3A
x
yR z x y w x y x y
z
w
1 0
0 1/ /
6 4 6 4
6 3 6 3
A
x
yR x y x y x y
x y
x y
3
4
1
0
,
6
6
0
1
ARparabaseUna y 2dim
AR
b) Hallar Espacio Columna AC , una base y dimensión.
1 1 2 3
gen 0 , 1 , 4 , 3
1 0 6 6
AC
Es decir:
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 2 3
/ 0 1 4 3 donde , , ,
1 0 6 6
A
x x
C y y c c c c c c c c
z z
yxz
y
x
xz
y
x
z
y
x
0000
3410
3211
3410
3410
3211
1
6601
3410
32111
/A
x
C y z x y x y
z
1 0
/ 0 1 /
1 1
A
x
C y x y x y x y
x y
1
1
0
,
1
0
1
ACparabaseUna y 2dim
AC
c) Hallar Imagen )Im(A , una base y dimensión )(A .
Por el teorema A
CA )Im( y por tanto 2dim)( A
CA
d) Hallar núcleo )(Anuc , una base y )(A
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
166
1 1 2 3 0
nuc( ) / 0 1 4 3 0
1 0 6 6 0
x x
y yA
z z
w w
00000
03410
03211
03410
03410
03211
1
06601
03410
032111
El núcleo sería el conjunto solución del sis tema
034
032
wzy
wzyx. Es decir:
nuc( ) / 6 6 4 3
x
yA x w z y z w z w
z
w
6 6 6 6
4 3 4 3nuc( ) / /
1 0
0 1
w z
z wA z w z w z w
z
w
6 6
4 3nuc( ) ,
1 0
0 1
Una base para A
dimnuc( ) 2A
Note que se cumple que:
422
)()(
nAA
Teorema
Si A es equivalente por renglones a B ,
entonces:
, ( ) ( ), y ( ) ( )A BR R A B A B .
Ejemplo
Sea
131
402
311
A
Haciendo eliminación de renglones tenemos:
000
110
311
440
220
311
131
402
311)2)(1(
Entonces una matriz equivalente por renglones a la matriz A sería:
000
110
311
B
Veamos ahora:
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
167
1 2 3
1 2 1 1 2 1
gen 1 , 0 , 3 / 1 0 3
3 4 1 3 4 1
A
x x
R y y C C C
z z
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 0 3 0 2 4 0 2 4
3 4 1 0 2 4 3 0 0 0 2
x x x
y x y x y
z z x x y z
Por tanto
02/ zyx
z
y
x
RA
Por otro lado 1 2
1 0 1 0
gen 1 , 1 / 1 1
3 1 3 1
B
x x
R y y C C
z z
zyx
yx
x
xz
yx
x
z
y
x
200
10
01
310
10
01
13
11
01
Por tanto
02/ zyx
z
y
x
RB
Lo cual muestra que BA
RR
Además se concluye que las tres fi las de A son l inealmente dependiente, que sólo 2 son independiente de acuerdo a lo que se observa en la matriz B (2 filas diferentes de cero). Por tanto
2)()( BA .
Teorema
Sea nn
A una matriz cuadrada. Entonces A es
inversible sí y sólo si nA )( .
Ejemplo
Para la matriz anterior
1 1 3
2 0 4
1 3 1
A
Se determinó que ( ) 2A por tanto no es invertible. Además su determinante será cero.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
168
Ejercicios Propuestos 5.7
Determinar A
R , A
C , nuc( )A , )Im(A , bases y dimensiones para:
1)
654
321A 2)
63
52
41
A
3)
642
321A 4)
987
654
321
A
5)
642
654
321
A 6)
2109
8765
4321
A
7)
5432
1111
4321
A 8)
1 2 3 4
5 6 7 8
3 4 6 8
A
5.8 CAMBIO DE BASE
5.8.1 VECTORES DE COORDENADAS.
Definición
Sea S , , ,1 2 nv v v una base de un espacio
Vectorial V . Entonces: ; Vn 1 1 2 2 nv = v + v v v
Se define el vector de coordenadas de v con
respecto a S, denotado por S
v , como:
1
2
S
n
v
Ejemplo 1
En 2
considerando la base canónica 1
1 0S ,
0 1
hallar el vector de coordenadas de
5=
-4x
con respecto 1S .
SOLUCIÓN:
Empezamos expresando el vector en términos de 1S
5 1 0
5 4-4 0 1
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
169
Entonces: 1S
5=
-4x
Note que es el mismo vector.
Ejemplo 2
Halle el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta otra base
2
1 1S ,
1 2
de 2
.
Solución: Para determinar el vector de coordenadas del vector con respecto a esta base debemos poner el vector en
combinación lineal de los vectores de 2S , es decir:
1 2
5 1 1
4 1 2
y luego resolver el sistema que se forma:
1 2
1 2
5
2 4
De aquí se obtiene 1 2 y 2 3 , entonces:
2S
2=
-3x
Observe que la representación matricial del sistema anterior es:
1
2
1 1 5
1 2 4
Tiene la forma:
2 1S S
=A x x
Observe además que las columnas de la matriz A son las coordenadas de
los vectores de la base 2S con respecto a la base 1S , es decir:
1 1S S
1 1
1 2A
Esta matriz permite determinar las coordenadas del vector a la base 1S .
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
170
5.8.2 MATRIZ DE CAMBIO DE BASE. MATRIZ DE TRANSICIÓN.
Definición
Sean 1 1 2 nS , ,v ,v v y 2 1 2 nS , ,u ,u u dos
bases de un Espacio vectorial V . La MATRIZ
DE TRANSICIÓN de la base 1S a la base
2S ,
denotada como1 2S SA
, se define como:
1 2 2 2 2S S 1 2 nS S S
A v v v
La MATRIZ DE TRANSICIÓN de la base 2S a
la base 1S , denotada como
2 1S SA , se define
como:
2 1 1 1 1S S 1 2 nS S S
A u u u
Ejemplo
Obtenga el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta base
3
1 2S ,
1 1
de
2, directamente y luego resuelva el problema empleando la
Matriz de Transición de la base 2S a
3S
Solución: PRIMERO, directamente, ponemos al vector en combinación lineal con respecto a esta base, es decir:
1 2
5 1 2
4 1 1
Al resolver el sistema:
1 2
1 2
2 5
4
Se obtiene 1 3 y
2 1 , entonces:
3S
3=
-1x
SEGUNDO, empleando la Matriz de Transición de la base 2S a
3S .
Tenemos
1 2
2
1 1S ,
1 2
v v
y
1 2
3
1 2S ,
1 1
u u
,
Entonces 2 3 3 3S S 1 2S S
A v v (las columnas de A son las coordenadas de los vectores de
la base 2S con respecto a 3S )
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
171
Las coordenadas del primer vector ser ían:
1 2
1 1 2
1 1 1
1 2
1 2
2 1
1
1 3 2 2
Entonces 3
1 S
3
2v
Las coordenadas del primer vector ser ían:
1 2
1 1 2
2 1 1
1 2
1 2
2 1
2
1 3 2 1
Entonces 3
2 S
3
1v
La Matr iz de transición sería:
2 3S S
3 3
2 1A
Ahora, hallemos 2
2
S
S
5
4x
1 2
5 1 1
4 1 2
1 2
1 2
5
2 4
1 2 2 3
Entonces 2
2
S
S
5 2
4 3x
Finalmente:
2 33 2
S SS S
3 3 2 3=
2 1 3 1Ax x
Que es el mismo resultado anter ior.
Ejercicios propuestos 5.8
1. En 2
, sea 1B
4
1x
donde
1
2 7B ,
5 3
. Empleando Matriz de Transición
hallar 2B
x si 2
2 3B = ,
1 2
.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
172
2. En 3
, sea 1B
2
1
4
x
donde 1
1 0 1
B 1 , 1 , 0
0 1 1
. Empleando Matriz de
Transición hallar 2B
x si 2
3 1 0
B 0 , 2 , 1
0 1 5
.
5.9 BASES ORTONORMALES
5.9.1 Producto Interno Estándar para
vectores de n
Sean 1 1 2 3, , , nx x x xv y 2 1 2 3, , , ny y y yv
vectores de n . El Producto Interno
Estándar se define como: 1 2 1 1 2 2 n nx y x y x y v v
Note que se trata del Producto Punto o Producto Escalar que
definimos en el capítulo 3. En este caso se dice que n es un Espacio
Vectorial con Producto Interno.
Aunque ya se estudió en el capítulo 3 a los vectores de n, sin
embargo puntualicemos nociones que nos serán útiles.
5.9.2 Longitud o Norma
Sea v un vector de n . La Norma de v ,
denotada como v , está dada por:
v v v
5.9.3 Vectores Ortogonales
Sean 1v y 2v vectores de n . Entonces
1v y 2v son ortogonales si y sólo si
1 2 0 v v
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
173
Teorema
Todo conjunto ortogonal de vectores,
diferentes del vector nulo, es linealmente
independiente.
Demostración
Sea 1 2S , , , n v v v un conjunto or togonal de vectores no nulos.
En la combinación lineal 1 1 2 2 nc c c n v v v 0 , hallemos las constantes.
Realizamos el producto interno con 1v ,
1 1 1 2 2 1 n 1 1
00 0
c c c n v v v v v v 0 v
Entonces:1 1 1c 0 v v
Como 1v es diferente del vector nulo, entonces
1c 0 .
Ahora realizamos el producto interno con 2v
1 1 2 2 2 2 n 2 2
00 0
c c c n v v v v v v 0 v
Entonces:2 2 2c 0 v v
Como 2v es diferente del vector nulo, entonces 2c 0 .
Y así, realizamos el producto interno con nv
1 1 2 2 n
00 0
c c cn n n n n v v v v v v 0 v
Entonces: nc 0n n v v
Como nv es diferente del vector nulo, entonces nc 0 .
Lo cual demuestra que S es Linealmente Independiente.
De acuerdo al teorema si tuviésemos un conjunto ortogonal de vectores sería linealmente independiente, entonces surge la interrogante ¿es posible obtener vectores ortogonales a partir de un
conjunto linealmente independiente?. Esta interrogante la resolveremos luego.
5.9.4 Conjunto Ortonormal
El conjunto 1 2S , , , n u u u es Ortonormal
si y sólo si:
0 para
1 para
i j
i j
i j
i j
u u
u u
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
174
Es decir, S es un conjunto constituido por vectores unitarios y
ortogonales. Un ejemplo típico es la base canónica para 3
1 0 0
S 0 , 1 , 0
0 0 1
Bien, ahora definiremos el procedimiento para obtener un conjunto no sólo ortogonal, sino también ortonormal, a partir de un conjunto
linealmente independiente
5.9.5 Proceso de Gram-Schmidt para construir Bases Ortonormales
A partir de un conjunto 1 2, , , nS v v v linealmente
independiente, se puede hallar un conjunto ortonormal
1 2´ , , , nS u u u siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1:
Hallar el vector 1u de la siguiente forma: 11
1
v
uv
Paso 2:
Hallar el vector 2 2 2 1 1´ v v v u u . Luego el vector 22
2
´
´
vu
v
Paso 3:
Hallar el vector 3 3 3 1 1 3 2 2´ v v v u u v u u , luego el vector
33
3
´
´
vu
v
Y así sucesivamente. Es decir:
Paso n:
Hallar el vector 1 1 2 2 1 1´n n n n n n n v v v u u v u u v u u , luego
el vector ´
´
nn
n
v
uv
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
175
Ejemplo 1
Hallar una base ortonormal para 2V a partir de la base
1 2
1 2S ,
1 1
v v
SOLUCIÓN:
En este caso debemos hallar 1 2S , u u . Entonces:
Paso 1:
1
1
1
(1,1) 1 1,
2 2 2
vu
v
Paso 2:
1 1
2 2
2 2 2 1 1 1 12 2
12
12
312 2
312 2
32
322 3
2
2 2´
1 1
2 1
1 2
2
1
1´
1
v v v u u
v
Luego:
2
2
2
2
31,1
´ 23´
22
1 1,
2 2
vu
v
u
Por tanto:
1 12 2
1 12 2
S ,
Ejemplo 2
Hallar una base ortonormal para 3V a partir de la base
1 2 3
1 0 1
S 1 , 1 , 0
0 1 1
v v v
SOLUCIÓN:
En este caso debemos hallar 1 2 3S , , u u u . Entonces:
Paso 1: 1
1
1
(1,1,0) 1 1, ,0
2 2 2
vu
v
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
176
Paso 2:
1 12 2
1 12 2 2 1 1 2 2
12
12
12
12
12
122
0 0
´ 1 1
1 1 0 0
01
12
1 0
0
1
1 0
11
´ 12
1 2
v v v u u
v
Luego:
22
2
11,1,2
´ 1 1 22 , ,1´ 6 6 662
vu
v
Paso 3:
3 3 3 1 1 3 2 2
1 1 1 12 2 6 6
1 1 1 12 2 6 6
2 26 6
1 12 6
1 12 6
26
´
1 1 1
0 0 0
1 1 0 0 1
11 1
02 6
1 0
v v v u u v u u
1 12 6
1 12 6
13
23
2 23 33
23
1
0
1 0
1
´ 1
1
v
Luego:
33
3
21, 1,1
´ 1 1 13 , ,2´ 3 3 333
vu
v
Por tanto
1 11
6 32
1 1 1
2 6 3
2 1
6 3
S , ,
0
Ejemplo 3
Hallar una base ortonormal para el subespacio H /
x
y z x y
z
SOLUCIÓN:
Una base para H sería
1 0
S= 0 , 1
1 1
Ortonormalizandola, tenemos:
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
177
Paso 1: 11
1
(1,0,1) 1 1,0,
2 2 2
vu
v
Paso 2:
1 12 2
2 2 2 1 1
1 12 2
12
12
12
12
12
2
12
0 0
´ 1 1 0 0
1 1
01
1 02
1
0
1 0
1
´ 1
v v v u u
v
Luego:
22
2
11,2,1
´ 1 2 12 , ,1´ 6 6 662
vu
v
Por lo tanto una base ortonormal para H sería:
1162
26
1 12 6
S´ 0 ,
Ejercicios propuestos 5.9
1. Hallar un conjunto ortonormal, a partir de:
1. 1 1
S ,0 1
2. 1 1
S ,2 1
3.
1 1 1
S 1 , 0 , 1
0 1 1
4.
1 1 1
S 1 , 0 , 2
0 1 3
5.
1 1 1 0
1 0 1 1S , , ,
0 1 1 0
1 1 1 1
6.
1 1 1 0
0 0 1 1S , , ,
0 1 1 0
0 1 1 1
2. Sea 3V y el subespacio H / 2 3 0
x
y x y z
z
. Encuentre una base ortonormal
para H .
3. Construy a una base ortonormal para el subespacio H / 2 0
x
y x y z
z
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
178
5.9.6 PROYECCIÓN ORTOGONAL
Sea 1 2 3, , , , kS u u u u una base ortonormal
de H , un subespacio del espacio vectorial V .
Sea Vv . La proyección ortogonal de v
sobre H , denotada por Hproy v , se define
como: H 1 1 1 2 k k proy v v u u v u u v u u
Note que lo que se trata de definir es no otra cosa que un procedimiento diferente y muy sencillo que permite expresar un vector
en combinación lineal de una base ortonormal de un subespacio.
Ejemplo
Sea 3V . Exprese el vector
1
2
3
v en términos de los vectores de la base
ortonormal
3
1
3
1
3
1
6
2
6
1
6
1
2
1
2
1
,,
0
S
SOLUCIÓN:
Por definición 3 1 1 2 2 3 3 proy v v u u v u u v u u , entonces:
3
1 1 1 11 1
6 6 3 32 2
1 1 1 1 1 1
2 2 6 6 3 3
2 2 1 1
6 6 3 3
1 1 1
1, 2, 3 2 2 2
3 3 30 0
proy
Esto quiere decir que:
3
1
3
1
3
1
3
2
6
2
6
1
6
1
6
7
2
1
2
1
2
3
03
2
1
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
179
Misceláneos
1. Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifique.
a) El Conjunto Solución del sistema
03
0432
zyx
zyx es un subespacio de 3 .
b) La matriz 1 1 1 1 2 1
gen ,2 2 1 1 0 3
c) El conjunto 1,1,12 xxx genera a P2.
d) Sea el espacio vectorial 3V y el subconjunto H /
x
y x y z
z
. Entonces H es un
subespacio de dimensión 2.
e) Sea V / 0x
yy
. V es un espacio Vectorial.
f) Sea 1 2V , v v . Si 2 12v v Entonces S es un conjunto linealmente dependiente.
g) Sea 2V P y 3,22 xxxgenH . El polinomio
2( ) 3 Hp x x x
h) El conjunto 1 2 1 0 2 0 3 0
S , , ,0 1 1 0 1 1 1 1
genera a
2 2V M
i) El conjunto 2 2S 1, 2x x x no genera a 2P
j) El conjunto 1 0 1 2 0 1 0 0 1 2
S , , , ,0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
es una base para
2 2V XM
k) Sea 3PV y sean los polinomios 3 2 2S 2 3 1, 3, 1x x x x x x entonces S es
linealmente independiente.
l) Sea el subespacio
1 1
H=gen 2 , 1
0 1
entonces el vector
1
0 H
1
v
m) Si el conjunto 1 2 3S= , ,v v v genera a un espacio vectorial V y dimV 2 entonces S es
linealmente independiente.
n) Sean 1V y
2V dos espacios vectoriales. Si la 1dimV 2 y
2dimV 3 entonces 1 2V V
o) Sea V un espacio vectorial. Si la dimV 3 y el conjunto 1 2 3 4, , ,S v v v v genera a V
entonces el conjunto S es una base para V .
p) Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea el conjunto 1 2 3 1S= , , , , nv v v v de
1n v ectores de V . Entonces S genera a V .
q) Si el conjunto 1 1 2 3S , , v v v es una base del espacio v ectorial V , entonces el conjunto
2 1 1 2 1 2 3S , , v v v v v v es otra base para V .
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
180
2. Determine una base y la dimensión del espacio solución del sistema:
0
0
02
31
432
21
xx
xxx
xx
3. Sean 2V P y los subespacios:
2
1H ( ) ( ) / ,p x a b x ax b a b
2 2H ( ) / (1) (0)p x P p p
Encuentre 1 2H H , una base y su dimensión.
4. Sea 4 2 1 3 1 2 1 1 1
H=gen , ,3 2 1 2 2 2 1 a b
un subespacio de 32xM ,
Determine los valores de “a” y “b” para que la dimensión de H sea 2.
5. Sea 2 2V XM y sean los subconjuntos
1H / , , ,a b
a b c dc d
2H / TA M A A
3H / , ,0
a a ca c
c
a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio y cuál no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados. c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
6. Sea 3V y sean los siguientes subconjuntos:
1H / 2 , 3 ,
x
y x t y t z t
z
, 2H / 0
x
y x y z
z
y 3H / 0
2
x
y y
y
a) Demuestre cual de los subconjuntos son subespacios y cuales no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios. c) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios, incluidos la intersección.
7. Sea 3V y sean
1
1 0
H =gen 1 , 1
1 0
, 2H / 0
x
y x y
z
, 3H / 0
x
y y
z
.
a) Demuestre formalmente cual de los subconjuntos es Subespacio. b) Encuentre la intersección de los subespacios encontrados. c) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios encontrados y también de la intersección.
8. Sea 2 2V M y los subconjuntos:
1
1 2 0 1H =gen ,
1 1 0 2
2H / 1a b
a d cc d
y
3H / , , ,a b
a b cc a b
a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio vectorial b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados
c) Determine si la matriz
01
21 pertenece al subespacio intersección encontrado.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
181
d) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
9. Sea 2V P . Y sean los subconjuntos:
1 2H / ´ 2 1p x P p p
1
2 2
0
H / 0p x P p p x dx
2
3 1 2 1 2H = 1 1 / ,p x a x x a x a a
a) Determine ¿Cuál de esos subconjuntos son subespacios? b) Determine las intersecciones entre los subespacios encontrados. c) Determine la base y dimensión de los subespacios y de las intersecciones entre los subespacios.
10. Sea 2 2V xM , considere:
1H / ,
0
a aa d
d
2
1 1 1 0 0 0H =gen , ,
1 1 0 0 0 1
a) Encuentre 1 2H H
b) Demuestre que 1 2H H es un subespacio de V, bajo las operaciones convencionales.
c) Determine una base y la dimensión para 1 2H H .
11. Sea 3V y los subconjuntos 2
1H /at bt c a b c
2
2H /at bt c a b
2
3H / 2at bt c a b c
a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados
c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
12. Sea
2 1 1 2
1 0 2 2, , ,
1 0 1 1
0 1 2 1
S
a) Demuestre si el conjunto es linealmente independiente
b) Determine si S genera a 4 . Si no genera a 4 , encuentre el subespacio generado. d) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado.
13. Sea 2 2V M y los subconjuntos 1 / 0
a bH a d
c d
,
2 /a b
H a b cc d
y 3 / 2a b
H a b cc d
a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
14. Sea 3V y los subconjuntos
1 /
x
H y x y
z
, 2 /
x
H y x y z
z
y 3 / 2
x
H y x y z
z
a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados
c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.
Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales
182
15. Sea 2 1 1 0 1 2 2 2
, , ,1 0 0 1 1 2 1 1
S
a) Demuestre si el conjunto es linealmente independiente
b) Determine si S genera a 2 2M
. Si no genera a 2 2M
, encuentre el subespacio generado.
c) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado.
16. Determine si las siguientes proposiciones son VERDADERAS o FALSAS. JUSTIFIQUE formalmente su respuesta:
a) Sea A una matriz de 3x3 tal que detA=0. Entonces el máximo rango que tiene la matriz es 3 y la mínima nulidad es 0.
b) Sea 33
A una matriz. Si 0det A entonces el valor de 3)( A
c) Sea 32
A una matriz cualquiera, entonces su espacio fila interceptado con su espacio columna
origina un subespacio vectorial.
d) Si 33
A cuyo 0det , entonces 3
A AR C .
17. Para la siguiente matriz
110
121
011
encuentre:
a) El espacio fila, base y dimensión. b) El espacio columna, base y dimensión. c) El núcleo de A, base y dimensión. d) El recorrido de A, base y dimensión.
18. Sea
1 1 0 2
2 2 1 0
1 1 1 6
A
. Encuentre:
a) El espacio fila, base y dimensión.
b) El espacio columna, base y dimensión. c) El núcleo de A, base y dimensión. d) El recorrido de A, base y dimensión.
19. Califique las siguientes proposiciones como VERDADERAS o FALSAS. Justifique su respuesta.
a) El conjunto S= 1,0, 1 , 0,1,0 es un conjunto ortonormal
b) Si un conjunto de v ectores es ortogonal, entonces es un conjunto linealmente independientes.
c) Sea 2V y
1 2B= ,
2 1
, entonces B es una base ortogonal de V .
20. Encuentre una base ortonormal para 3
a partir de la siguiente base
B= 1,1,1 , 1,0, 1 , 1,2,3
21. Sea 3V . Halle una base ortonormal considerando
1 2 4
S= 1 , 1 , 1
2 1 5
22. Sea 4V , H= / ,
x
yz x y w z x
z
w
. Encuentre una base ortonormal para H .
23. Sea 4V donde se ha definido el producto interno canónico y
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 22 2 2 2S= ,0, ,0 , 0, ,0, , , , ,
a) Pruebe que el conjunto es ortonormal
b) Ex prese el vector (1,1,1,1)v como una combinación lineal de S.