5.1.1 Método Euler y Euler mejorado

La primera derivada proporciona una aproximación directa a la

pendiente en x, (Fig. 16.2):

donde f (x„ y¡) es la ecuación diferencial evaluada en x¡ y y¡. Esta

aproximación se sustituye en la ecuación (16.1):

[16.2]

A esta fórmula se le conoce como método de Euler (o método de

Euler-Cauchy o de pendiente puntual). Se predice un nuevo valor de

y usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original

x) para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso h (Fig. 16.2)

FIGURA 16.2 Método de Euler.

EJEMPLO 16.1 Método de Euler

Enunciado del problema: utilícese el método de Euler para integrar

numéricamente la ecuación (VI. 14).

de x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición

inicial en x = 0 es y = 1. Recuérdese que la solución exacta está

dada por la ecuación (VI. 17):

Solución: se puede usar la ecuación (16.2) para implementar el

método de Euler:

Por lo tanto, el error es:

en donde y(0) = 1 y la aproximación a la pendiente en x = 0 es:

Por lo tanto:

La solución verdadera en x = 0.5 es:

Eu = verdadero — aproximado = 3.218 75 — 5.25 = —2.031 25

o, expresado como error relativo porcentual, e„ = —63.1%. en el

segundo paso:

CUADRO 16.1 Comparación de los valores verdaderos y

aproximados de la integral de y = 2x3 + 12x2 —20x + 8.5, con la

condición inicia! de qué y = 1 en x = 0. Los valores presentados se

calcularon usando el método de Euler con un tamaño de paso de

0.5. El error local se refiere al error obtenido en un paso. El error

global es la diferencia total debido a los pasos anteriores así como

al actual

error relativo

porcentualX Y verdadero y Euler Global Local

0.0 1.000 00 1.000 00

0.5 3.218 75 5.250 00 -63.1 -63.1

1.0 3.000 00 5.875 00 -95.8 -28.0

1.5 2.218 75 5.125 00 -131.0 -1.41

2.0 2.000 00 4.500 00 -125.0 20.5

2.5 2.718 75 4.750 00 -75.7 17.3

3.0 4.000 00 5.875 00 -46.9 4.0

3.5 4.718 75 7.125 00 -51.0 -11.34.0 3.000 00 7.000 00 -133.0 -53.0

FIGURA 16.3 Comparación de la solución verdadera con unasolución numérica usando el método de Euler para la integral de y'= —2x3 + 12x2 —20x + 8.5 de x = 0 a x = 4 con un tamaño de pasode 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1.

La solución verdadera en x = 1.0 es 3.0, y por lo tanto el error

relativo porcentual es —95.8%. Los cálculos se repiten, los

resultados se resumen en el cuadro 16.1 y en la figura 16.3.

Obsérvese que, aunque los cálculos capturan la tendencia general

de la solución verdadera, el error es considerable. Como se analiza

en la siguiente sección, este error se puede reducir usando un

tamaño de paso menor.

Análisis de error en el método de Euler

La solución numérica de EDO incluye dos tipos de error (recuérdese

la sección 3.6):

1. Errores de truncamiento causados por la naturaleza de los

métodos empleados en la aproximación a los valores de y, y

2. Errores de redondeo causados por el número limitado de dígitos o

de cifras significativas que puede retener la computadora.

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera

es un error de truncamiento local que resulta al aplicar el método en

cuestión en un paso. El segundo es un error de programación que

resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos

anteriores. La suma de los dos es el error de truncamiento global.

El conocimiento de la magnitud y propiedades del error de

truncamiento se puede obtener derivando el método de Euler

directamente de la expansión de la serie de Taylor. Con el fin de

hacer esto recuérdese que la ecuación diferencial que se está

integrando será de la forma general.

[16.3]

donde y' = dy/dx y x e y son las variables independiente y

dependiente, respectivamente. Si la solución, esto es, la función que

describe el comportamiento de y tiene derivadas continuas, ésta se

puede representar mediante una expansión de la serie de Taylor

alrededor del punto inicial (x,y¡), como en [recuérdese la Ec. (3.14)]:

[16.4]

donde está dentro del intervalo de x; a xi+1. Se puede desarrollar una

forma alternativa sustituyendo la ecuación (16.3) en las ecuaciones

(16.4) y (16.5) y obtener.

[16.6]

en donde 0 (hn + 1) especifica que el error de truncamiento local es

proporcional al tamaño de paso elevado a la (n + l)-ésima potencia

Comparando las ecuaciones (16.2) y (16.6), puede verse que el mé-

todo de Euler corresponde a la serie de Taylor truncada hasta el

término f (x¡, y¡) h. Adicionalmente, la comparación indica que el

error de truncamiento se debe a que se aproxima la solución

verdadera usando una cantidad finita de términos de la serie de

Taylor. Por lo tanto, se trunca o se deja fuera una parte de la

solución verdadera. Por ejemplo, el error de truncamiento en el

método de Euler es atribuible a los términos restantes de la

expansión que no se incluyen en la ecuación (16.2). Restando la

ecuación (16.2) de la ecuación (16.6) se obtiene

[16.7]

donde Eu es el error de truncamiento local. Para una h lo

suficientemente pequeña, los errores en los términos de la ecuación

(16.7) decrecen por lo común a medida que el orden crece

(recuérdese el ejemplo 3.7 y el análisis que lo acompaña), y el

resultado, a menudo, se representa como

[16.8]

[16.9]

donde Ea es el error de truncamiento local aproximado.

EJEMPLO 16.2

Aproximación del error en el método de Euler usando la serie de

Taylor.

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (16.7) para aproximar

el error del primer paso del ejemplo 16.1. Úsese también la ecuación

para determinar el error ocasionado por cada uno de los términos de

orden superior de la expansión de la serie de Taylor.

Solución: debido a que se trata de un polinomio, se puede usar la

expansión de la serie de Taylor para obtener una aproximación

exacta del error usando el método de Euler. La ecuación (16.7) se

puede escribir como:

[E16.2.1]

en donde /' (xf, y,) es la primera derivada de la ecuación diferencial

(es decir, la segunda derivada de la función original). Para este caso,

es:

Se pueden omitir los términos adicionales (esto es, las derivadas

cuarta y de orden superior) de la ecuación (E16.2.1) ya que en este

caso en particular son cero. Se debe notar que en otras funciones

(por ejemplo), las funciones trascendentes tales como seno, coseno

o exponenciales) esto no es necesariamente cierto, y los términos de

orden superior no valen cero. Sin embargo, en este caso, las

ecuaciones (E16.2.1) hasta la (E16.2.4) definen completamente el

error de truncamiento de una aplicación del método de Euler.

Por ejemplo, el error debido al truncamiento del segundo término se

puede calcular como:

Estos tres valores se pueden sumar para obtener el error total de

truncamiento:

que es exactamente el error incurrido en el paso inicial del ejemplo

16.1 Obsérvese cómo E„>2 > E„ 3 > E„ 4, que apoya la aproximación

representada por la ecuación (16.8).

MODIFICACIONES Y MEJORAS AL MÉTODO DE EULER

Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la

derivada al principio del intervalo se supone que se aplica a través

del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar

a evitar este inconveniente. Como se demuestra en la sección 16.3,

las dos modificaciones en realidad pertenecen a una clase mayor de

métodos de solución llamados métodos de Runge-Kutta. Sin

embargo, ya que tienen una interpretación gráfica sencilla, se

presentan antes de la derivación formal de los métodos de Runge-

Kutta.

16.2.1 Método de Heun

Un método para mejorar la aproximación a la pendiente implica el

cálculo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la

otra en el punto final.

En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una

aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo.

Este esquema, llamado método de Heun, se muestra gráficamente

en la figura 16.8.

Recuérdese que en el método de Euler, la pendiente al principio de

un intervalo

[16.12]

[16.13]

En el método estándar de Euler se pararía en este punto. Sin

embargo, en el método de Heun, la y°+1 calculada con la ecuación

(16.3) no es la respuesta final sino una predicción intermedia. Esto

se debe a que se ha distinguido a ésta con el superíndice 0. La

ecuación (16.13) se llama ecuación predictora. Proporciona una

aproximación de yi+1 que permite el cálculo de una pendiente

aproximada al final del intervalo:

[16.14]

FIGURA 16.8 Esquema gráfico del método de Heun. a) Predictor y b)

corrector.

Por lo tanto, se pueden combinar las dos pendientes [ecuaciones(16.12) y (16.14)] y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo:

Está pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente de y, a

yj+1 usando el método de Euler:

que se llama una ecuación correctora.

El método de Heun es un esquema predictor-corrector. Todos los

métodos de pasos múltiples por discutirse en el capítulo 17 son de

este tipo. El único método corrector-predictor de un paso descrito en

este libro es el método de Heun. Como se dijo antes, se puede

expresar concisamente como:

[16.15]

[16.16]

Nótese que debido a que la ecuación (16.16) tiene y1+1 en ambos

lados del signo igual, ésta puede aplicarse para "corregir" en un

esquema iterativo. Esto es, se puede usar una aproximación anterior

varias veces para proporcionar una aproximación mejorada de yi+1.

El proceso muestra en la figura 16.9. Se debe entender que este

proceso no necesariamente converge a la respuesta correcta sino

que converge a una aproximación con un error de truncamiento

finito, como se demuestra en el siguiente ejemplo

Como con los métodos iterativos similares analizados en las seccio-

nes previas del libro, un criterio de paro en la convergencia del

corrector lo proporciona [recuerde la ecuación (3.5)]

[16.17]

en donde la ecuación 16.17 son el resultado de la iteración anterior

y actual del corrector

FIGURA 16.9 Representación gráficade la iteración del corrector del métodode Heun para obtener una mejoraproximación.

EJEMPLO 16.5 Método de Heun

Enunciado del problema: empléese el método de Heun para integrar

y' = 4e0,8x — 0.5y desde x = 0 a x — 4 con tamaño de paso 1. La con-

dición inicial en x = 0 es y = 2.

Solución: antes de resolver el problema numéricamente, se puede

efectuar el cálculo mediante la siguiente solución analítica:

[E16.5]

Esta fórmula se puede usar para generar los valores verdaderos los

cuales se presentan en el cuadro 16.2.

La solución numérica se obtiene usando la fórmula predictora

[Ec. 16.15)] para obtener un valor de y para 0.5

Obsérvese que este es el resultado que se debería obtener con el

método de Euler estándar. Usando el valor verdadero del cuadro

16.2, a este corresponde un error relativo porcentual del 19.3%. La

pendiente en (x0, yo) es

Este resultado es muy diferente de la pendiente promedio verdadero

en intervalo de 0 a 1.0, que es igual a 4.194 6, calculada de la

ecuación diferencial original usando la ecuación (V.3). Por lo tanto,

para mejorar la aproximación de la pendiente, se usa el valor y° para

predecir la pendiente al final del intervalo:

que se puede combinar con la pendiente inicial y obtener:

que es más cercana a la pendiente promedio de 4.194 6. Este

resultado se puede sustituir en la ecuación correctora [Ec. (16.16)]

para obtener la predicción en x = 1:

CUADRO 16.2 Comparación de los valores verdaderos y

aproximados de la integral de y' - 4e0,8x —O5, y con la condición

inicial de que y = 2 en x = 0. Los valores aproximados se calcularon

usando el método de Heun con un tamaño de paso de 1. Se

muestran dos casos, correspondientes a números diferentes de

iteraciones del corrector, ¡unto con el error relativo porcentual

absoluto

X Y v e r da d e r o

Iteraciones con el método de Heun

1 15

Kheun M % Xheun kv¡ %

0 2.000 000 00 2.000 000 00 0.00 2.000 000 0 0.00

1 6.194 631 38 6.701 081 86 8.18 6.360 865 49 2.68

2 14.843 921 9 16.319 781 9 9.94 15.302 236 7 3.09

3 33.677 171 8 37.199 248 9 10.46 34.743 276 1 3.17

4 75.338 962 6 83.337 767 4 10.62 77.735 096 2 3.18

que representa un error relativo porcentual del —8.18%. Por lo tanto,

el método de Heun reduce el valor absoluto del error en un factor de

2.4 comparado con el método de Euler.

Ahora esta aproximación se puede usar para refinar o corregir la pre-

dicción de y\ sustituyendo el nuevo resultado de nuevo en el lado

derecho de la ecuación (16.16):

que representa un error relativo porcentual del 1.31%. Este

resultado, a su vez se puede sustituir en la ecuación (16.16) para

una mejor aproximación yx:

que representa un error |e„| de 3.03%. Nótese cómo los errores

algunas veces crecen a medida que las iteraciones avanzan. Por

ejemplo, en las tres iteraciones el error crece en un 3.03%, estos

incrementos pueden ocurrir, especialmente en tamaños de paso muy

grandes. El usuario debe evitar la conclusión general de que una

iteración adicional siempre mejora el resultado. No obstante, para un

tamaño de paso lo suficientemente pequeño, la iteración debe

eventualmente converger a un solo valor. En este caso, se obtiene el

resultado 6.360 865 49, que representa un error relativo del 2.68%

después de 15 iteraciones. En el cuadro 16.2 se muestran los

resultados de los cálculos restantes usando el método con 1 y 15

iteraciones por paso.

En el ejemplo anterior, la derivada es una función de la variable ce-

pendiente y y de la variable independiente x. Para casos

polinomiales en donde las EDO son sólo función de la variable

independiente, e tamaño predictor [Ec. (16.15)] no se necesita y se

aplica únicamente el corrector a cada una de las iteraciones. En

estos casos el método se expresa abreviadamente como

[16.15]

Nótese la similitud entre el lado derecho de la ecuación (16.18) y r-

regla trapezoidal [Ec. (13.3)]. La conexión entre los dos métodos se

puede demostrar formalmente empezando con la ecuación

diferencial ordinaria

Esta ecuación se resuelve para y integrando

[16.19]

[16.20]

[16.21]

Ahora, recuérdese de la sección 13.1 que la regla trapezoidal [Ec.

(13.3)] se define como

[16.22]

donde h — x,+] — x¡. Sustituyendo la ecuación (16.22) en la ecuación

(16.21) se obtiene

[16.23]

que es equivalente a la ecuación correctora [Ec. (16.16)].

Debido a que la ecuación (16.23) es una expresión directa de la

regla trapezoidal, el error local de truncamiento está dado por

[recuérdese la Ec. (13.6)]

[16.24]

donde £ está entre x¡ y x¡+1. Por lo tanto, el método es de segundo

orden debido a que la derivada de segundo orden de EDO es cero

cuando la solución es cuadrática. Además, los errores local y global

son de 0(h3) y 0(h2), respectivamente. Por lo tanto, disminuyendo el

tamaño de paso se disminuye también el error más rápidamente que

usando el método de Euler. La figura 16.10, que muestra el

resultado de usar el método de Heun para resolver el polinomio del

ejemplo 16.1, demuestra este comportamiento.

16.2.2 Método mejorado del polígono (Euler modificado)

La figura 16.11 ilustra otra modificación simple del método de Euler.

Este método, llamado polígono mejorado (o Euler modificado), usa

el ména se puede combinar con la figura 16.6 para desarrollar

programas de! método iterativo de Heun.

Figura 16.10 Comparación de la solución verdadera con un método numérico usando los métodos de Euler y Heun de la integral de y'') = —-2x3 + 12x - 20x + 8.5