Tipos de soluciones de modelos de programacin lineal

No solucin, Mltiple y No acotada

Jois Torres Ibarra

VI Semestre

Profesor:Medardo Gonzalez

Asignatura:Investigacin de Operaciones

Universidad del AtlnticoFacultad de Ingeniera

Ingeniera Agroindustrial

Barranquilla, Marzo de 2011

Investigacin de Operaciones

TIPOS DE SOLUCIONES DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL

1. SOLUCIN FACTIBLE:

La elaboracin de una mesa de centro requiere 6 horas de trabajo del artesano y los materiales le cuestan 200 dlares. La fabricacin de una mesa de esquina requiere 5 horas de trabajo y los materiales un costo de 100 dlares. El artesano no piensa trabajar ms de 40 horas semanales y sus recursos financieros le permiten pagar hasta 1000 dlares de materiales semanalmente. Si vende la misma cantidad de mesas que fabrica, y si la utilidad es de 240 dlares por mesa de centro y 160 dlares por mesa de esquina, Cuntas mesas de centro y cuntas mesas de esquina se deben fabricar y vender semanalmente para tener el mximo de utilidades en la semana?

Solucin:

Planteamiento de variables

X = nmero de mesas de centro

Y = nmero de mesas de esquina

Funcin objetivo

Zmax=240x+160y

Restricciones

Restriccin de horas:

6x+5y40

Restriccin de costos:

200x+100y1000

Restriccin de Positividad:

x0 ;y0

6x+5y=40 200x+100y1000

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Investigacin de Operaciones

Si x=0 y=8 Si x=0 y=10

Si y=0 x=6.66 (0,8) ; (6.6,0) Si y=0 x=5 (0,10) ; (5,0)

Graficar el conjunto de Inecuaciones:

Hallar regin factible y punto mximo:

Si 6x+5y=40 (*) ; 200x+100y1000 (**)

x=40-5y6 *** Reemplazo en (**)20040-5y6+100y=1000 1333.3-166.6y+100y=1000 333.3=66.6y y=333.366.6 y=5Ahora lo reemplazo en (***)x=40-5(5)6 x=2.5

El punto mximo es (2.5,5)Zmax=2402.5+1605

Zmax=1400

1. SIN SOLUCIN:

Unos grandes supermercados encargan a un productor, yogures con sabor a mora y vino de mora. El productor dispone para la produccin de 18 lts. de zumo de mora y 22 Lts de un producto fermentado. Cada yogurt de mora precisa 7 Lts de producto fermentado y 5 Lts de zumo de mora. Para cada botella de vino se necesitan 8 Lts De zumo de mora y 10 Lts del mismo producto fermentado. El precio del yogurt es de $1600 y el del vino es de $10000. Cuntos yogures y vinos debe suministrar el productor a los supermercados para que stos consigan una venta mxima?

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Investigacin de Operaciones

Solucin:

Yogurt Vino Disponibilidad

Producto Fermentado

7 10 22

Zumo de Mora 5 8 18

Planteamiento de variables

X = nmero de yogures

Y = nmero de botellas de vino

Funcin objetivo

Zmax=1600x+10000y

Restricciones

Restriccin de Zumo de mora:

5x+8y22

Restriccin de Producto fermentado:

7x+10y18

Restriccin de Positividad:

x0 ;y0

Ecuaciones:

5x+8y22 7x+10y18

Si x=0 y=2.75 Si x=0 y=1.8

Si y=0 x=4.44 (0,2.75) ; (4.44,0) Si y=0 x=2.57 (0,1.8) ; (2.57,0)

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Investigacin de Operaciones

Graficar el conjunto de Inecuaciones:

En este caso, no hay solucin determinada, ya que, no hay regin factible donde podamos encontrar la solucin.

1. SOLUCIN MLTIPLE:

Un comerciante acude a cierto mercado para comprar $4000 entre tomates y cebollas. Necesita al menos, 8 cebollas por cada 4 tomates. Le ofrecen tomates a $160.44 el kg. y las cebollas $135.5 el kg.. Sabiendo que slo dispone en su camioneta de espacio para transportar 3000 gr. de su compra como mximo y que cada tomate pesa 4gr y cada cebolla peso 6 gr. Adems, piensa vender el kg. de tomates a $170 y el kg. de cebollas a $150 pesos, Cuntos kg. de tomates y cebollas deber comprar para obtener mximo beneficio?. Cul ser ese beneficio mximo?

Solucin:

Planteamiento de variables

X = nmero de Tomates

Y = nmero de Cebollas

Funcin objetivo

Zmax=170-160.44x+(150-135.5)y

Zmax=9.66+14.5y

Restricciones

Restriccin de Capacidad:4x+6y3000

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Tomate Cebolla

Valor compra 160.44 135.5

Valor venta 170 150

Investigacin de Operaciones

Restriccin de dinero:8x+4y4000

Restriccin de Positividad:x0 ;y0

Hallar regin factible y punto mximo:

Si 4x+6y3000 (*) ; 8x+4y4000 (**) x=4000-4y8 *** Reemplazo en (**)44000-4y8+6y=3000 6y-2y=3000-2000 4y=1000 y=10004 y=250Ahora lo reemplazo en (***)x= 4000-4(250)8 x=375

El punto mximo es (375,250)Zmax=9.66375+14.5250Zmax=7250

Graficar el conjunto de Inecuaciones:

Sin embargo, como podemos ver, el segmento de la lnea que corresponde a la funcin objetivo es paralela a un segmento de la regin factible. Entonces la funcin objetivo es mxima en:Zmax375,250=9.66375+14.5250=7250 (Mximo)Zmax0,500=10.350+14.5500=7250 (Mximo)

1. SOLUCIN NO ACOTADA:

Un granjero esta engordando cerdos y vacas para luego venderlos en la feria ganadera y desea determinar las cantidades de agua y alimento disponible que deben darse a cada animal para satisfacer con los requerimientos nutricionales a un costo mnimo. Para ello cuenta con la siguiente informacin:

Requerimiento diario Cerdos Vacas Disponibilidad

Alimento (Kg) 1 6 75

Agua (Lts) 8 14 280

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Investigacin de Operaciones

Determinar la cantidad de animales que debe criar para obtener el beneficio mximo, si por la venta de cada cerdo le pagan $9 y de los pollos $7 la unidad.

Solucin:

Planteamiento de variables

X = Cantidad de cerdos de cra para la venta

Y = Cantidad de vacas de cra para la venta

Funcin objetivo

Zmax=9x+7y

Restricciones

Restriccin de alimento:

x+6y75

Restriccin de agua:

8x+14y280

Restriccin de Positividad:

x0 ;y0

Ecuaciones:

x+6y75 8x+14y280

Si x=0 y=12.5 Si x=0 y=20

Si y=0 x=75 (0,12.5) ; (75,0) Si y=0 x=35 (0,20) ; (35,0)

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Investigacin de Operaciones

Graficar el conjunto de Inecuaciones:

Hallar regin factible y punto mximo:Si x+6y75 (*) ; 8x+14y280 (**)

x=75-6y *** Reemplazo en (**)8(75-6y)+14y=280 600-48y+14y=280 320=34y y=32034 y=9.41Ahora lo reemplazo en (***)x= 75-6(9.41) x=18.54

Zmax=918.54+79.41

Zmax=232.73

Esta solucin es No acotada pues la solucin de la funcin objetivo es menor a una de las restricciones.

Zmax=232.73 Y 8x+14y280

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